ଶ୍ରେଣୀ ୧୦ ଜ୍ୟାମିତି: ପ୍ରଥମ ଅଧ୍ୟାୟ - ଜ୍ୟାମିତିରେ ସାଦୃଶ୍ୟ (ଉତ୍କଳ ମାଷ୍ଟର ଷ୍ଟ୍ରୋକ୍)
ନମସ୍କାର ପିଲେ, ମାଟ୍ରିକ ବୋର୍ଡ ପରୀକ୍ଷାରେ ଜ୍ୟାମିତିର ପ୍ରଥମ ଅଧ୍ୟାୟ "ଜ୍ୟାମିତିରେ ସାଦୃଶ୍ୟ"ରୁ ପୂରା ମାର୍କ ପାଇବା ପାଇଁ ଥେଲିସ୍ଙ୍କ ଉପପାଦ୍ୟ, ସାଦୃଶ୍ୟ ନିୟମ, କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଅନୁପାତ ଓ ବୋର୍ଡ ପରୀକ୍ଷାର ନିଶ୍ଚିତ ପ୍ରଶ୍ନୋତ୍ତର ଏଠାରେ ସରଳ ଓ ପରିଷ୍କାର ଭାବେ ଦିଆଗଲା।
୧. ପରୀକ୍ଷା ସର୍ଟକଟ୍ (୫-ସେକେଣ୍ଡ୍ ଟ୍ରିକ୍):
ଯଦି ΔABC ରେ ଭୂମି BC ସହିତ ସମାନ୍ତର ରେଖା DE ଟଣାଯାଏ (DE || BC), ତେବେ ଖଣ୍ଡିତ ବାହୁଗୁଡ଼ିକର ଅନୁପାତ ସର୍ବଦା ସମାନ ରହିବ:
AD / DB = AE / EC
ଏବଂ ପୂରା ବାହୁ ସହିତ: AD / AB = AE / AC
MCQ ରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ବିକଳ୍ପରୁ ଏହି ଅନୁପାତକୁ ମାତ୍ର ୫ ସେକେଣ୍ଡରେ ଯାଞ୍ଚ କରି ଭୁଲ୍ ଅପ୍ସନ୍ ବାଦ୍ ଦିଅନ୍ତୁ।
ଦୁଇଟି ସଦୃଶ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଅନୁପାତ, ସେମାନଙ୍କ ଅନୁରୂପ ବାହୁମାନଙ୍କ ଦୈର୍ଘ୍ୟର ବର୍ଗର ଅନୁପାତ ସଙ୍ଗେ ସମାନ:
କ୍ଷେତ୍ରଫଳ(ΔABC) / କ୍ଷେତ୍ରଫଳ(ΔDEF) = (AB / DE)² = (BC / EF)² = (AC / DF)²
ହ୍ୟାକ୍: ଯଦି ବାହୁର ଅନୁପାତ ୨:୩ ଦିଆଯାଇଛି, କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଅନୁପାତ ସିଧା ୨² : ୩² = ୪:୯ ହେବ। ଯଦି କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଅନୁପାତ ୧୬:୨୫ ଥାଏ, ବାହୁର ଅନୁପାତ √୧୬ : √୨୫ = ୪:୫ ହେବ।
ଯଦି ∠A ର ଅନ୍ତଃସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ AD ହୁଏ, ତେବେ:
BD / CD = AB / AC
୨. ମନେରଖିବା କାହାଣୀ:
ଜ୍ଞାନୀ ରାଜା ଥେଲିସ୍ ଓ ତାଙ୍କ ସମାନୁପାତୀ ରାଜ୍ୟ:
କଳ୍ପନା କରନ୍ତୁ, ରାଜା ଥେଲିସ୍ ଏକ ତ୍ରିକୋଣୀୟ ରାଜ୍ୟ (ΔABC) ଶାସନ କରୁଥିଲେ। ତାଙ୍କର ଦୁଇ ବିଶ୍ୱସ୍ତ ପୁଅ AB ଓ AC ଦୁଇଟି ସୀମା ପରିଚାଳନା କରୁଥିଲେ। ତଳ ଭାଗରେ ଥିବା ମୁଖ୍ୟ ରାଜପଥ ଥିଲା BC।
ଦିନେ ମୁଖ୍ୟ ରାଜପଥ BC ସହିତ ସମାନ୍ତର କରି ଏକ ନୂଆ ସୀମା ରେଖା (DE) ଟଣାଗଲା। ରାଜା ଥେଲିସ୍ କଡ଼ା ନିର୍ଦ୍ଦେଶ ଦେଲେ: "ଯେହେତୁ ନୂଆ ରାସ୍ତାଟି ମୁଖ୍ୟ ରାସ୍ତା ସହ ସମାନ୍ତର, ତେଣୁ ଏହା ଦୁଇ ପୁଅଙ୍କ ଜମିକୁ ସମାନ ଅନୁପାତରେ ହିଁ ବାଣ୍ଟିବ!"
ଅର୍ଥାତ୍, AB ପାଖର ଉପର ଭାଗ AD ସହିତ ତଳ ଭାଗ DB ର ଅନୁପାତ, AC ପାଖର ଉପର ଭାଗ AE ସହିତ ତଳ ଭାଗ EC ର ଅନୁପାତ ସଙ୍ଗେ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସମାନ ହେବ (AD / DB = AE / EC)।
୩. ସବୁଠୁ ବଡ଼ ଭୁଲ୍ (୯୦% ପିଲା କରୁଥିବା ତ୍ରୁଟି):
ଥେଲିସ୍ଙ୍କ ନିୟମରେ ଖଣ୍ଡିତ ବାହୁ ବଦଳରେ ପୂରା ବାହୁ ଲେଖିଦେବା!
AD / DB = AE / EC (ସଠିକ୍!)
ଯଦି ପୂରା ବାହୁ AB ଦରକାର, ତେବେ ଉଭୟ ପାଖରେ ୧ ଯୋଗ କରି ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ ବାହାର କରନ୍ତୁ: AD / AB = AE / AC।
୪. ବାସ୍ତବ ଜୀବନ ସହିତ ସମ୍ପର୍କ (୩୦-ସେକେଣ୍ଡ୍ ଉଦାହରଣ):
ତୁମେ ବହିରେ ଓଡ଼ିଶାର ଏକ ଛୋଟ ମାନଚିତ୍ର ଦେଖିଛ ଏବଂ କାନ୍ଥରେ ଝୁଲୁଥିବା ବଡ଼ ମାନଚିତ୍ର ମଧ୍ୟ ଦେଖିଛ। ଉଭୟଙ୍କ ଆକୃତି ସମାନ, କିନ୍ତୁ ଆକାର ଅଲଗା। ଛୋଟ ମାନଚିତ୍ରରୁ ବଡ଼ ମାନଚିତ୍ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଜିଲ୍ଲାର ଦୂରତାକୁ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଅନୁପାତରେ ବଢ଼ାଇ ତିଆରି ହୋଇଛି। ଏହା ହିଁ ହେଉଛି ଜ୍ୟାମିତିରେ ସାଦୃଶ୍ୟ!
୫. ଶେଷ ମୁହୂର୍ତ୍ତ ରିଭିଜନ୍ ସାରଣୀ:
| ଉପପାଦ୍ୟ / ନିୟମ | ସର୍ତ୍ତ ଓ ବିବରଣୀ | ମୁଖ୍ୟ ସୂତ୍ର | ||
|---|---|---|---|---|
| ଥେଲିସ୍ଙ୍କ ଉପପାଦ୍ୟ (ଉପପାଦ୍ୟ – ୧) | ΔABC ରେ DE | BC ହେଲେ | AD / DB = AE / EC ଏବଂ AD / AB = AE / AC | |
| ବିପରୀତ ଥେଲିସ୍ ଉପପାଦ୍ୟ (ଉପପାଦ୍ୟ – ୨) | ବାହୁ ସମାନୁପାତୀ ହେଲେ ରେଖା ସମାନ୍ତର | ଯଦି AD / DB = AE / EC ହୁଏ, ତେବେ DE | BC | |
| କୋଣ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ ଉପପାଦ୍ୟ (ଉପପାଦ୍ୟ – ୩) | ∠A ର ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ AD ହେଲେ | BD / CD = AB / AC | ||
| କୋ-କୋ-କୋ ସାଦୃଶ୍ୟ (ଉପପାଦ୍ୟ – ୪) | ତିନୋଟି ଅନୁରୂପ କୋଣ ସମାନ ହେଲେ | ΔABC ~ ΔDEF | ||
| ବା-ବା-ବା ସାଦୃଶ୍ୟ (ଉପପାଦ୍ୟ – ୫) | ତିନୋଟି ଅନୁରୂପ ବାହୁ ସମାନୁପାତୀ ହେଲେ | AB / DE = BC / EF = CA / FD | ||
| ବା-କୋ-ବା ସାଦୃଶ୍ୟ (ଉପପାଦ୍ୟ – ୬) | ଦୁଇ ବାହୁ ସମାନୁପାତୀ ଓ ଅନ୍ତର୍ଗତ କୋଣ ସମାନ | AB / DE = AC / DF ଏବଂ ∠A = ∠D | ||
| ସଦୃଶ ତ୍ରିଭୁଜ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (ପ୍ରମେୟ – ୧.୩) | କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଅନୁପାତ ବାହୁର ବର୍ଗ ସହ ସମାନ | କ୍ଷେତ୍ରଫଳ(ΔABC) / କ୍ଷେତ୍ରଫଳ(ΔDEF) = (AB / DE)² | ||
| ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ଲମ୍ବ ସାଦୃଶ୍ୟ (ପ୍ରମେୟ – ୧.୪) | ∠B = ୯୦° ଏବଂ BD ⊥ AC ହେଲେ | AB² = AD × AC, BC² = CD × AC, BD² = AD × DC |
୬. ନିଶ୍ଚିତ ବୋର୍ଡ ପରୀକ୍ଷା ପ୍ରଶ୍ନ ଓ ଆଦର୍ଶ ଉତ୍ତର (୧୦ ବର୍ଷର ଟ୍ରେଣ୍ଡ୍):
ପ୍ରମାଣ କର ଯେ:
(i) ∠BAC ଏକ ସମକୋଣ (ଅର୍ଥାତ୍ ∠BAC = ୯୦°)।
(ii) କ୍ଷେତ୍ରଫଳ(ΔABD) / କ୍ଷେତ୍ରଫଳ(ΔCAD) = AB² / AC²।
ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ମାର୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଆଦର୍ଶ ପ୍ରମାଣ:
ଦତ୍ତ:
ΔABC ରେ:
୧. AD ⊥ BC (ତେଣୁ ∠ADB = ୯୦° ଏବଂ ∠ADC = ୯୦°)।
୨. AD² = DC × BD।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ:
(i) ∠BAC = ୯୦°
(ii) କ୍ଷେତ୍ରଫଳ(ΔABD) / କ୍ଷେତ୍ରଫଳ(ΔCAD) = AB² / AC²
ପ୍ରମାଣ:
(i) ପ୍ରଥମ ଅଂଶ ପ୍ରମାଣ (∠BAC = ୯୦°):
୧. ଦତ୍ତ ସର୍ତ୍ତରୁ:
AD² = DC × BD
AD × AD = DC × BD
AD / BD = DC / AD ...(ସମୀକରଣ ୧)
୨. ΔADB ଏବଂ ΔCDA ମଧ୍ୟରେ:
୩. ବା-କୋ-ବା ସାଦୃଶ୍ୟ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁସାରେ:
ΔADB ~ ΔCDA
(ଅନୁରୂପ ଶୀର୍ଷ: A ↔ C, D ↔ D, B ↔ A)
୪. ସଦୃଶ ତ୍ରିଭୁଜର ଅନୁରୂପ କୋଣଗୁଡ଼ିକ ସମାନ:
∠DAB = ∠ACD
∠DBA = ∠DAC
୫. ΔABC ର ତିନି କୋଣର ସମଷ୍ଟି ୧୮୦°:
∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = ୧୮୦°
∠BAC + ∠DBA + ∠ACD = ୧୮୦°
୬. ଆମେ ଜାଣୁ: ∠BAC = ∠DAB + ∠DAC = ∠ACD + ∠DBA
ତେଣୁ ସମୀକରଣରେ ବସାଇଲେ:
∠BAC + ∠BAC = ୧୮୦°
୨ × ∠BAC = ୧୮୦°
∠BAC = ୧୮୦° / ୨ = ୯୦°
(ପ୍ରଥମ ଅଂଶ ପ୍ରମାଣିତ)
(ii) ଦ୍ୱିତୀୟ ଅଂଶ ପ୍ରମାଣ (କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଅନୁପାତ):
୧. ପ୍ରଥମ ଅଂଶରୁ ଆମେ ପ୍ରମାଣ ପାଇଛୁ ଯେ ΔADB ~ ΔCDA (ଅର୍ଥାତ୍ ΔABD ~ ΔCAD)।
୨. ପ୍ରମେୟ ୧.୩ ଅନୁଯାୟୀ, ଦୁଇଟି ସଦୃଶ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନୁପାତ ସେମାନଙ୍କ ଅନୁରୂପ ବାହୁର ବର୍ଗର ଅନୁପାତ ସହ ସମାନ।
ତେଣୁ:
କ୍ଷେତ୍ରଫଳ(ΔABD) / କ୍ଷେତ୍ରଫଳ(ΔCAD) = AB² / AC²
(ଦ୍ୱିତୀୟ ଅଂଶ ପ୍ରମାଣିତ)
🤖 Have a Doubt in this Chapter?
Ask Gundulu AI Voice Tutor to explain any question in bilingual Odia & English with 24/7 step-by-step guidance!
🚀 Try Gundulu AI on Utkal Skill Centre App