ଶ୍ରେଣୀ ୧୦ ଜ୍ୟାମିତି: ଦ୍ୱିତୀୟ ଅଧ୍ୟାୟ - ବୃତ୍ତ (ଉତ୍କଳ ମାଷ୍ଟର ଷ୍ଟ୍ରୋକ୍)
ନମସ୍କାର ପିଲେ, ମାଟ୍ରିକ ବୋର୍ଡ ପରୀକ୍ଷାରେ ଜ୍ୟାମିତିର ଦ୍ୱିତୀୟ ଅଧ୍ୟାୟ "ବୃତ୍ତ"ରୁ ପ୍ରତ୍ୟେକ ବର୍ଷ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ଉପପାଦ୍ୟ, ଅନ୍ତର୍ଲିଖିତ କୋଣ ଓ ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖିତ ଚତୁର୍ଭୁଜ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ପ୍ରଶ୍ନ ଆସିଥାଏ। ଏହି ଅଧ୍ୟାୟର ସମସ୍ତ ସର୍ଟକଟ୍, ଉପପାଦ୍ୟ ପ୍ରମାଣ ଓ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ସୂତ୍ର ଏଠାରେ ସରଳ ଓ ଶୁଦ୍ଧ ଓଡ଼ିଆରେ ପ୍ରଦାନ କରାଗଲା।
୧. ପରୀକ୍ଷା ସର୍ଟକଟ୍ (୫-ସେକେଣ୍ଡ୍ ଟ୍ରିକ୍):
ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ରରୁ ଜ୍ୟା ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବ ଜ୍ୟାକୁ ସମାନ ଦୁଇ ଭାଗ କରେ। ଏଠାରେ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ (r), କେନ୍ଦ୍ରରୁ ଦୂରତା (d) ଏବଂ ଅର୍ଦ୍ଧେକ ଜ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ପର୍କ:
r² = d² + (ଜ୍ୟା / ୨)²
ଏହି ତିନୋଟିରୁ ଯେକୌଣସି ଦୁଇଟି ମାନ ଥିଲେ ତୃତୀୟଟି ପାଇଥାଗୋରିଆନ୍ ତ୍ରିପ୍ଲେଟ୍ (୩-୪-୫, ୫-୧୨-୧୩, ୮-୧୫-୧୭) ବ୍ୟବହାର କରି ମାତ୍ର ୫ ସେକେଣ୍ଡରେ ବାହାର କରିପାରିବେ।
କୌଣସି ଚାପ ଦ୍ୱାରା ଅନ୍ତର୍ଲିଖିତ କୋଣ, ସେହି ଚାପର କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ କୋଣର ଠିକ୍ ଅର୍ଦ୍ଧେକ ଅଟେ:
ଅନ୍ତର୍ଲିଖିତ କୋଣ = (୧/୨) × କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ କୋଣ
ଅର୍ଦ୍ଧବୃତ୍ତସ୍ଥ କୋଣ ସର୍ବଦା ଏକ ସମକୋଣ (୯୦°)।
ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖିତ ଚତୁର୍ଭୁଜର ସମ୍ମୁଖୀନ (ବିପରୀତ) କୋଣ ଦୁଇଟି ମିଶିଲେ ସବୁବେଳେ ୧୮୦° ହେବ:
∠A + ∠C = ୧୮୦° ଏବଂ ∠B + ∠D = ୧୮୦°
ଯଦି କୌଣସି ଅପ୍ସନ୍ରେ ବିପରୀତ କୋଣର ଯୋଗଫଳ ୧୮୦° ନହୁଏ, ତେବେ ତାକୁ ତୁରନ୍ତ ବାଦ୍ ଦିଅନ୍ତୁ।
୨. ମନେରଖିବା କାହାଣୀ:
ବୃତ୍ତ ପରିବାରର ନିୟମ:
ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ରବିନ୍ଦୁ ହେଉଛି ଘରର ମୁଖିଆ। କେନ୍ଦ୍ରରୁ ଚାରିପାଖର ସବୁ ବିନ୍ଦୁର ଦୂରତା ସବୁବେଳେ ସମାନ—ତାହା ହିଁ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ (r)। ସବୁଠୁ ବଡ଼ ସଦସ୍ୟ ହେଉଛି ବ୍ୟାସ, ଯାହାର ଲମ୍ବ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧର ଠିକ୍ ଦୁଇଗୁଣ (d = 2r)।
କେନ୍ଦ୍ରରୁ ଲମ୍ବ ଆସିଲେ ଜ୍ୟାକୁ ଠିକ୍ ମଝିରୁ ଦୁଇ ଖଣ୍ଡ କରିଦିଏ। ଆଉ ବୃତ୍ତ ଭିତରେ ବସିଥିବା ଚତୁର୍ଭୁଜର ସାମ୍ନାସାମ୍ନି ଦୁଇ ବନ୍ଧୁ ମିଶିଲେ ସବୁବେଳେ ୧୮୦° ହୋଇଯାଆନ୍ତି।
ଛନ୍ଦ:
କେନ୍ଦ୍ରରୁ ଲମ୍ବ ଆସିଲେ ଜ୍ୟାକୁ କରେ ଦୁଇ ଭାଗ,
ପାଇଥାଗୋରାସ୍ ସୂତ୍ର ଲଗାଇ ବାହାର କର ବେଗ!
ଅର୍ଦ୍ଧବୃତ୍ତସ୍ଥ କୋଣ ମୂଲ୍ୟ ଅଟଇ ସମକୋଣ,
ବିପରୀତ କୋଣ ମିଶିଲେ ଏକଶହ ଅଶୀ ଜାଣ!
୩. ସବୁଠୁ ବଡ଼ ଭୁଲ୍ (୯୦% ପିଲା କରୁଥିବା ତ୍ରୁଟି):
ଉପପାଦ୍ୟ ଲେଖିବା ବେଳେ "ବ୍ୟାସ ଭିନ୍ନ ଅନ୍ୟ ଏକ ଜ୍ୟା" ଶବ୍ଦ ଛାଡ଼ିଦେବା!
"ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ରରୁ ବ୍ୟାସ ଭିନ୍ନ କୌଣସି ଜ୍ୟା ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବ, ଉକ୍ତ ଜ୍ୟାକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡ କରେ।"
ଏହି "ବ୍ୟାସ ଭିନ୍ନ" ଶବ୍ଦ ନଲେଖିଲେ ପରୀକ୍ଷକ ନମ୍ବର କାଟିଦିଅନ୍ତି।
୪. ବାସ୍ତବ ଜୀବନ ସହିତ ସମ୍ପର୍କ (୩୦-ସେକେଣ୍ଡ୍ ଉଦାହରଣ):
ଗୋଟିଏ ଗୋଲାକାର ଷ୍ଟାଡିୟମ୍ କଥା ଭାବ:
ମଝିରେ ରେଫ୍ରି ଠିଆ ହୋଇଛନ୍ତି (କେନ୍ଦ୍ର)। ଖେଳପଡ଼ିଆର ଦୁଇ ଧାରକୁ ଯୋଡୁଥିବା ସିଧା ଦୌଡ଼ିବା ରାସ୍ତାଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି ଜ୍ୟା। ଯଦି ରେଫ୍ରି କୌଣସି ରାସ୍ତାର ଠିକ୍ ମଝି ବିନ୍ଦୁକୁ ଏକ ଦଉଡ଼ି ଟାଣନ୍ତି, ତେବେ ସେହି ଦଉଡ଼ିଟି ସେହି ରାସ୍ତା ଉପରେ ସିଧା ୯୦° ଲମ୍ବ ହୋଇ ରହିବ।
୫. ଶେଷ ମୁହୂର୍ତ୍ତ ରିଭିଜନ୍ ସାରଣୀ:
| ବିଷୟ / ଉପପାଦ୍ୟ | ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ | ମୁଖ୍ୟ ନିୟମ ଓ ସୂତ୍ର |
|---|---|---|
| ବ୍ୟାସ ଓ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ | ବୃତ୍ତର ବୃହତ୍ତମ ଜ୍ୟା ହେଉଛି ବ୍ୟାସ | d = 2r |
| ଲମ୍ବ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ (ଉପପାଦ୍ୟ – ୭) | କେନ୍ଦ୍ରରୁ ବ୍ୟାସ ଭିନ୍ନ ଜ୍ୟା AB ପ୍ରତି OD ⊥ AB | AD = DB (ବିପରୀତ ମଧ୍ୟ ସତ୍ୟ) |
| ଜ୍ୟା ଓ କେନ୍ଦ୍ରରୁ ଦୂରତା (ଉପପାଦ୍ୟ – ୮) | ସମାନ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ଜ୍ୟା କେନ୍ଦ୍ରରୁ ସମଦୂରବର୍ତ୍ତୀ | AB = CD ହେଲେ OE = OF |
| କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ କୋଣ (ଉପପାଦ୍ୟ – ୯) | ସମାନ ଜ୍ୟା କେନ୍ଦ୍ରରେ ସମାନ କୋଣ ସୃଷ୍ଟି କରେ | AB = CD ହେଲେ ∠AOB = ∠COD |
| ଅନ୍ତର୍ଲିଖିତ କୋଣ (ଉପପାଦ୍ୟ – ୨.୬) | ଚାପ ଦ୍ୱାରା ଅନ୍ତର୍ଲିଖିତ କୋଣ କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ କୋଣର ଅଧା | m∠APB = (୧/୨) m∠AOB |
| ଏକା ଚାପଖଣ୍ଡସ୍ଥ କୋଣ | ଏକା ଚାପଖଣ୍ଡରେ ଅନ୍ତର୍ଲିଖିତ ସମସ୍ତ କୋଣ ସମାନ | ∠ACB = ∠ADB |
| ଅର୍ଦ୍ଧବୃତ୍ତସ୍ଥ କୋଣ | ଅର୍ଦ୍ଧବୃତ୍ତରେ ଅନ୍ତର୍ଲିଖିତ କୋଣ ସର୍ବଦା ସମକୋଣ | ∠APB = ୯୦° |
| ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖିତ ଚତୁର୍ଭୁଜ (ଉପପାଦ୍ୟ – ୧୧) | ବିପରୀତ କୋଣ ଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପର ପରିପୂରକ | ∠A + ∠C = ୧୮୦°, ∠B + ∠D = ୧୮୦° |
| ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ ଗୁଣ | ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖିତ ଚତୁର୍ଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିପରୀତ କୋଣ ସହ ସମାନ | ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ = ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିପରୀତ କୋଣ |
| ପରସ୍ପର ଛେଦୀ ଜ୍ୟା | ଦୁଇ ଜ୍ୟା AB ଓ CD ପରସ୍ପରକୁ P ରେ ଛେଦ କଲେ | PA × PB = PC × PD |
୬. ନିଶ୍ଚିତ ବୋର୍ଡ ପରୀକ୍ଷା ପ୍ରଶ୍ନ ଓ ଆଦର୍ଶ ଉତ୍ତର (୧୦ ବର୍ଷର ଟ୍ରେଣ୍ଡ୍):
ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ମାର୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଆଦର୍ଶ ପ୍ରମାଣ:
ଦତ୍ତ:
ABCD ଏକ ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖିତ ଚତୁର୍ଭୁଜ। ଏହାର ଚାରୋଟି ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ A, B, C, D କେନ୍ଦ୍ର O ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ବୃତ୍ତ ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ:
୧. m∠DAB + m∠BCD = ୧୮୦°
୨. m∠ABC + m∠ADC = ୧୮୦°
ଅଙ୍କନ:
ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର O ସହିତ B ଓ D କୁ ଯୋଗ କରି ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ OB ଓ OD ଅଙ୍କନ କରାଗଲା।
ପ୍ରମାଣ:
୧. BCD ଚାପ ଦ୍ୱାରା କେନ୍ଦ୍ରରେ ଉତ୍ପନ୍ନ କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ କୋଣ ହେଉଛି ∠BOD ଏବଂ ଅନ୍ତର୍ଲିଖିତ କୋଣ ହେଉଛି ∠DAB।
ଉପପାଦ୍ୟ – ୨.୬ ଅନୁଯାୟୀ, ଅନ୍ତର୍ଲିଖିତ କୋଣ କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ କୋଣର ଅର୍ଦ୍ଧେକ:
m∠DAB = (୧/୨) m∠BOD ...(ସମୀକରଣ ୧)
୨. BAD ଚାପ ଦ୍ୱାରା କେନ୍ଦ୍ରରେ ଉତ୍ପନ୍ନ ପ୍ରବୃଦ୍ଧ କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ କୋଣ ହେଉଛି ପ୍ରବୃଦ୍ଧ ∠BOD ଏବଂ ଅନ୍ତର୍ଲିଖିତ କୋଣ ହେଉଛି ∠BCD।
ପୁନଶ୍ଚ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁଯାୟୀ:
m∠BCD = (୧/୨) (ପ୍ରବୃଦ୍ଧ ∠BOD) ...(ସମୀକରଣ ୨)
୩. ସମୀକରଣ (୧) ଓ (୨) କୁ ଯୋଗ କଲେ:
m∠DAB + m∠BCD = (୧/୨) [m∠BOD + ପ୍ରବୃଦ୍ଧ ∠BOD]
୪. ଯେହେତୁ ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁ ଚାରିପାଖର ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କୋଣର ପରିମାପ ୩୬୦°:
m∠BOD + ପ୍ରବୃଦ୍ଧ ∠BOD = ୩୬୦°
୫. ମାନ ବସାଇଲେ:
m∠DAB + m∠BCD = (୧/୨) × ୩୬୦° = ୧୮୦°
(ପ୍ରଥମ ଅଂଶ ପ୍ରମାଣିତ)
୬. ଚତୁର୍ଭୁଜର ଚାରୋଟି ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ସମଷ୍ଟି ୩୬୦°:
(m∠DAB + m∠BCD) + (m∠ABC + m∠ADC) = ୩୬୦°
୧୮୦° + (m∠ABC + m∠ADC) = ୩୬୦°
m∠ABC + m∠ADC = ୩୬୦° - ୧୮୦° = ୧୮୦°
(ଦ୍ୱିତୀୟ ଅଂଶ ପ୍ରମାଣିତ)
ସିଦ୍ଧାନ୍ତ:
ଅତଏବ, ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖିତ ଚତୁର୍ଭୁଜର ବିପରୀତ କୋଣମାନେ ପରସ୍ପର ପରିପୂରକ।
(ପ୍ରମାଣିତ)
🤖 Have a Doubt in this Chapter?
Ask Gundulu AI Voice Tutor to explain any question in bilingual Odia & English with 24/7 step-by-step guidance!
🚀 Try Gundulu AI on Utkal Skill Centre App