ଶ୍ରେଣୀ ୧୦ ଜ୍ୟାମିତି: ତୃତୀୟ ଅଧ୍ୟାୟ - ବୃତ୍ତର ସ୍ପର୍ଶକ (ଉତ୍କଳ ମାଷ୍ଟର ଷ୍ଟ୍ରୋକ୍)
ନମସ୍କାର ପିଲେ, ମାଟ୍ରିକ ବୋର୍ଡ ପରୀକ୍ଷାରେ ଜ୍ୟାମିତିର ତୃତୀୟ ଅଧ୍ୟାୟ "ବୃତ୍ତର ସ୍ପର୍ଶକ"ରୁ ବହିଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁରୁ ସ୍ପର୍ଶକ ଖଣ୍ଡ, ଛେଦକ-ସ୍ପର୍ଶକ ଉପପାଦ୍ୟ ଏବଂ ସ୍ପର୍ଶକ ବୃତ୍ତ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ପ୍ରଶ୍ନ ନିଶ୍ଚିତ ଭାବେ ଆସିଥାଏ। ଏହି ଅଧ୍ୟାୟର ସମସ୍ତ ସୂତ୍ର, ସର୍ଟକଟ୍ ଓ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ପ୍ରଶ୍ନୋତ୍ତର ଏଠାରେ ସରଳ ଓ ଶୁଦ୍ଧ ଓଡ଼ିଆରେ ପ୍ରଦାନ କରାଗଲା।
୧. ପରୀକ୍ଷା ସର୍ଟକଟ୍ (୫-ସେକେଣ୍ଡ୍ ଟ୍ରିକ୍):
ଯଦି ବୃତ୍ତର ବହିଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ P ରୁ ଏକ ସ୍ପର୍ଶକ ଖଣ୍ଡ PT ଏବଂ ଏକ ଛେଦକ P-A-B ଟଣାଯାଏ, ତେବେ ସର୍ବଦା ମନେରଖନ୍ତୁ:
PA × PB = PT²
ଏହି ତିନୋଟି ମଧ୍ୟରୁ ଯେକୌଣସି ଦୁଇଟି ମୂଲ୍ୟ ଦିଆଗଲେ ତୃତୀୟଟି ମାତ୍ର ୫ ସେକେଣ୍ଡରେ ବାହାର କରିପାରିବେ।
ଉଦାହରଣ: ଯଦି PA = ୪ ସେ.ମି. ଏବଂ PB = ୯ ସେ.ମି. ହୁଏ, ତେବେ:
PT² = ୪ × ୯ = ୩୬, ତେଣୁ PT = √୩୬ = ୬ ସେ.ମି.।
ପରୀକ୍ଷାରେ ଏହି ଯୋଗଫଳ ବା ବିୟୋଗଫଳ ଯାଞ୍ଚ କରି ଭୁଲ୍ ବିକଳ୍ପକୁ ତୁରନ୍ତ ବାଦ୍ ଦିଅନ୍ତୁ।
୨. ମନେରଖିବା କାହାଣୀ:
ବାହାରେ ଠିଆ ବିନ୍ଦୁର ଦୁଇ ସମାନ ବାହୁ:
କଳ୍ପନା କରନ୍ତୁ, ବୃତ୍ତ ବାହାରେ ଏକ ଅତିଥି P ଠିଆ ହୋଇଛି। ସେ ବୃତ୍ତକୁ ଛୁଇଁବା ପାଇଁ ନିଜର ଦୁଇଟି ହାତ ବଢ଼ାଇଲା—ଗୋଟିଏ ହାତ Q ବିନ୍ଦୁକୁ ଓ ଅନ୍ୟ ହାତ R ବିନ୍ଦୁକୁ ଛୁଇଁଲା। ଏହି ଦୁଇଟି ସ୍ପର୍ଶକ ଖଣ୍ଡ (PQ ଓ PR) ର ଲମ୍ବ ସବୁବେଳେ ସମାନ ରହିବ (PQ = PR)।
ଛନ୍ଦ:
ବୃତ୍ତ ବାହାରେ ବିନ୍ଦୁ P ଠିଆ ହୋଇ ରହି,
ଦୁଇ ସ୍ପର୍ଶକ ଟାଣିଲେ ସମାନ ଦୈର୍ଘ୍ୟ କହି!
ସ୍ପର୍ଶବିନ୍ଦୁଗାମୀ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ସ୍ପର୍ଶକ ଉପରେ ଲମ୍ବ,
PA × PB = PT² କରିଦିଏ ତୁମକୁ ଦମ୍ଭ!
୩. ସବୁଠୁ ବଡ଼ ଭୁଲ୍ (୯୦% ପିଲା କରୁଥିବା ତ୍ରୁଟି):
ଛେଦକ-ସ୍ପର୍ଶକ ଉପପାଦ୍ୟରେ PB ବଦଳରେ କେବଳ AB ନେଇଯିବା!
PA ହେଉଛି ବାହାର ଅଂଶ।
PB ହେଉଛି ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଛେଦକ ଖଣ୍ଡର ଲମ୍ବ (P ରୁ B ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ), ଅର୍ଥାତ୍ PB = PA + AB।
ତେଣୁ ସଠିକ୍ ସୂତ୍ର ହେଉଛି: PA × PB = PT² (ଅର୍ଥାତ୍ PA × (PA + AB) = PT²)।
୪. ବାସ୍ତବ ଜୀବନ ସହିତ ସମ୍ପର୍କ (୩୦-ସେକେଣ୍ଡ୍ ଉଦାହରଣ):
ସାଇକେଲର ଦୁଇଟି ଚକ କିମ୍ବା ଚେନ୍-ଗିଅର୍ କଥା ଭାବନ୍ତୁ:
ଆଗ ପେଡାଲ୍ ଗିଅର୍ ଓ ପଛ ଚକର ଗିଅର୍ ଦୁଇଟି ବୃତ୍ତ। ସେମାନଙ୍କ ଉପରେ ଲାଗିଥିବା ଟାଣ ଚେନ୍ ହେଉଛି ସେହି ଦୁଇଟି ବୃତ୍ତର ସାଧାରଣ ସ୍ପର୍ଶକ। ଏହି ସ୍ପର୍ଶକ ଯୋଗୁଁ ହିଁ ପେଡାଲ୍ ମାରିବା ଦ୍ୱାରା ବଳ ବିନା ଖସି ସିଧାସଳଖ ପଛ ଚକକୁ ଯାଇଥାଏ।
୫. ଶେଷ ମୁହୂର୍ତ୍ତ ରିଭିଜନ୍ ସାରଣୀ:
| ଉପପାଦ୍ୟ / ବିଷୟ | ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ବିବରଣୀ | ମୁଖ୍ୟ ସୂତ୍ର | ||
|---|---|---|---|---|
| ସ୍ପର୍ଶକ (ଉପପାଦ୍ୟ – ୧୨) | ସ୍ପର୍ଶବିନ୍ଦୁଗାମୀ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ସ୍ପର୍ଶକ ପ୍ରତି ଲମ୍ବ | OP ⊥ L (P ସ୍ପର୍ଶବିନ୍ଦୁ) | ||
| ବହିଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁରୁ ସ୍ପର୍ଶକ (ଉପପାଦ୍ୟ – ୧୩) | ବାହାର ବିନ୍ଦୁରୁ ଅଙ୍କିତ ଦୁଇ ସ୍ପର୍ଶକ ଖଣ୍ଡର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ | PQ = PR | ||
| ସ୍ପର୍ଶକ ଓ ଜ୍ୟା କୋଣ (ପ୍ରମେୟ – ୩.୨) | ସ୍ପର୍ଶବିନ୍ଦୁରେ କୋଣ ଏକାନ୍ତର ଚାପଖଣ୍ଡସ୍ଥ କୋଣ ସହ ସମାନ | ∠BAT = ∠APB | ||
| ଛେଦକ-ସ୍ପର୍ଶକ ପ୍ରମେୟ (ଉପପାଦ୍ୟ – ୧୪) | ଗୋଟିଏ ଛେଦକ P-A-B ଓ ସ୍ପର୍ଶକ PT ହେଲେ | PA × PB = PT² | ||
| ଦୁଇଟି ଛେଦକ (ଉପପାଦ୍ୟ – ୧୪ ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ) | ବହିଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁରୁ ଦୁଇଟି ଛେଦକ P-A-B ଓ P-C-D | PA × PB = PC × PD | ||
| ବହିଃସ୍ପର୍ଶୀ ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ରଦ୍ୱୟ ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା | ବାହାରୁ ସ୍ପର୍ଶ କଲେ କେନ୍ଦ୍ରଦ୍ୱୟର ଦୂରତା | d = r₁ + r₂ | ||
| ଅନ୍ତଃସ୍ପର୍ଶୀ ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ରଦ୍ୱୟ ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା | ଭିତରୁ ସ୍ପର୍ଶ କଲେ କେନ୍ଦ୍ରଦ୍ୱୟର ଦୂରତା | d = | r₁ - r₂ | |
| ପରସ୍ପର ଛେଦୀ ବୃତ୍ତ | ଦୁଇ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କଲେ | r₁ - r₂ | < d < r₁ + r₂ |
୬. ନିଶ୍ଚିତ ବୋର୍ଡ ପରୀକ୍ଷା ପ୍ରଶ୍ନ ଓ ଆଦର୍ଶ ଉତ୍ତର (୧୦ ବର୍ଷର ଟ୍ରେଣ୍ଡ୍):
(i) ପ୍ରମାଣ କର ଯେ: PA × PB = PC × PD।
(ii) ଯଦି PA = ୧୦ ସେ.ମି., PB = ୧୬ ସେ.ମି. ଏବଂ PD = ୨୦ ସେ.ମି. ହୁଏ, ତେବେ CD ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ମାର୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଆଦର୍ଶ ଉତ୍ତର:
(i) ପ୍ରଥମ ଅଂଶ ପ୍ରମାଣ:
ଦତ୍ତ:
P ଏକ ବହିଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ଏବଂ PAB, PCD ଦୁଇଟି ଛେଦକ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ:
PA × PB = PC × PD
ଅଙ୍କନ:
P ବିନ୍ଦୁରୁ ବୃତ୍ତ ପ୍ରତି ଏକ ସ୍ପର୍ଶକ ଖଣ୍ଡ PT ଅଙ୍କନ କରାଗଲା, ଯେଉଁଠାରେ T ସ୍ପର୍ଶବିନ୍ଦୁ।
ପ୍ରମାଣ:
୧. ଉପପାଦ୍ୟ – ୧୪ ଅନୁସାରେ, ଛେଦକ PAB ଏବଂ ସ୍ପର୍ଶକ PT ପାଇଁ:
PA × PB = PT² ...(ସମୀକରଣ ୧)
୨. ଅନୁରୂପ ଭାବେ, ଛେଦକ PCD ଏବଂ ସ୍ପର୍ଶକ PT ପାଇଁ:
PC × PD = PT² ...(ସମୀକରଣ ୨)
୩. ସମୀକରଣ (୧) ଓ (୨) ରୁ ପ୍ରତୀୟମାନ ହୁଏ:
PA × PB = PC × PD
(ପ୍ରଥମ ଅଂଶ ପ୍ରମାଣିତ)
(ii) ଦ୍ୱିତୀୟ ଅଂଶ ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ ମୂଲ୍ୟ:
PA = ୧୦ ସେ.ମି., PB = ୧୬ ସେ.ମି., PD = ୨୦ ସେ.ମି.
ସମାଧାନ:
ପ୍ରମାଣିତ ସମ୍ପର୍କରୁ:
PA × PB = PC × PD
୧୦ × ୧୬ = PC × ୨୦
୧୬୦ = PC × ୨୦
PC = ୧୬୦ / ୨୦ = ୮ ସେ.ମି.
ଯେହେତୁ C ବିନ୍ଦୁଟି P ଓ D ମଧ୍ୟରେ ଅବସ୍ଥିତ (P-C-D):
PD = PC + CD
୨୦ = ୮ + CD
CD = ୨୦ - ୮ = ୧୨ ସେ.ମି.
ଉତ୍ତର: CD ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ୧୨ ସେ.ମି.।
🤖 Have a Doubt in this Chapter?
Ask Gundulu AI Voice Tutor to explain any question in bilingual Odia & English with 24/7 step-by-step guidance!
🚀 Try Gundulu AI on Utkal Skill Centre App