ଶ୍ରେଣୀ ୧୦ ଜ୍ୟାମିତି: ଚତୁର୍ଥ ଅଧ୍ୟାୟ - ତ୍ରିକୋଣମିତି (ଉତ୍କଳ ମାଷ୍ଟର ଷ୍ଟ୍ରୋକ୍)
ନମସ୍କାର ପିଲେ, ମାଟ୍ରିକ ବୋର୍ଡ ପରୀକ୍ଷାରେ ତ୍ରିକୋଣମିତିରୁ ଅନେକ ବହୁବିକଳ୍ପ (MCQ) ଓ ଦୀର୍ଘ ଉତ୍ତରମୂଳକ ପ୍ରଶ୍ନ ଆସିଥାଏ। ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ କୋଣର ତ୍ରିକୋଣମିତିକ ଅନୁପାତ, ଯୌଗିକ କୋଣ ସୂତ୍ର, ଅନୁପୂରକ-ପରିପୂରକ ସମ୍ପର୍କ ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା ଓ ଦୂରତାର ସମସ୍ତ ସର୍ଟକଟ୍ ଓ ନିଶ୍ଚିତ ବୋର୍ଡ ପ୍ରଶ୍ନୋତ୍ତର ଏଠାରେ ସରଳ ଓ ଶୁଦ୍ଧ ଓଡ଼ିଆରେ ପ୍ରଦାନ କରାଗଲା।
୧. ପରୀକ୍ଷା ସର୍ଟକଟ୍ (୫-ସେକେଣ୍ଡ୍ ଟ୍ରିକ୍):
ଯେତେବେଳେ ପରୀକ୍ଷାରେ tan 1° × tan 2° × ... × tan 89° କିମ୍ବା cot 1° × cot 2° × ... × cot 89° ଭଳି ପ୍ରଶ୍ନ ଆସେ, ସେତେବେଳେ ପୂରା ଗୁଣନ କରିବାର ଆବଶ୍ୟକତା ନାହିଁ।
ଯେହେତୁ tan θ × tan(90°-θ) = tan θ × cot θ = ୧, ତେଣୁ ପ୍ରଥମ ଓ ଶେଷ ପଦ ଯୋଡ଼ି ହୋଇ କଟିଯାଆନ୍ତି (tan 1° × tan 89° = ୧, tan 2° × tan 88° = ୧)। କେବଳ ମଝି ପଦ tan 45° = ୧ ରହିବ। ତେଣୁ ସମଗ୍ର ଗୁଣନଫଳ ସର୍ବଦା ୧ ହେବ! ଏହାକୁ ମାତ୍ର ୨ ସେକେଣ୍ଡରେ ଉତ୍ତର ଦେଇପାରିବେ।
୯୦° ରୁ ୧୮୦° ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ କୋଣମାନଙ୍କ ପାଇଁ (ଯଥା: ୧୨୦°, ୧୩୫°, ୧୫୦°):
କେବଳ sin ଏବଂ cosec ର ମାନ ଧନାତ୍ମକ (+) ହୁଏ।
ବାକି ସବୁ ଅନୁପାତ (cos, tan, cot, sec) ର ମାନ ଋଣାତ୍ମକ (-) ହୁଏ।
ଯଦି ପ୍ରଶ୍ନରେ cos 135° ର ମାନ ପଚାରାଯାଏ, ତେବେ ଧନାତ୍ମକ ଚିହ୍ନ ଥିବା ସବୁ ବିକଳ୍ପକୁ ତୁରନ୍ତ ବାଦ୍ ଦିଅନ୍ତୁ (ଏହାର ସଠିକ୍ ମାନ -୧/√୨)।
୨. ମନେରଖିବା କାହାଣୀ:
ବାମ ହାତର ଆଙ୍ଗୁଠି ଗଣନା ଟ୍ରିକ୍ (୦°, ୩୦°, ୪୫°, ୬୦°, ୯୦°):
ତୁମ ବାମ ହାତର ପାପୁଲିକୁ ନିଜ ଆଡ଼କୁ ରଖ:
sin θ ପାଇଁ: ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଆଙ୍ଗୁଠିର ତଳେ ଥିବା ଆଙ୍ଗୁଠି ସଂଖ୍ୟା ଗଣ:
sin θ = √(ତଳ ଆଙ୍ଗୁଠି ସଂଖ୍ୟା) / ୨
cos θ ପାଇଁ: ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଆଙ୍ଗୁଠିର ଉପରେ ଥିବା ଆଙ୍ଗୁଠି ସଂଖ୍ୟା ଗଣ:
cos θ = √(ଉପର ଆଙ୍ଗୁଠି ସଂଖ୍ୟା) / ୨
୩. ସବୁଠୁ ବଡ଼ ଭୁଲ୍ (୯୦% ପିଲା କରୁଥିବା ତ୍ରୁଟି):
"ସଂଜ୍ଞାବିହୀନ" ଏବଂ "ଶୂନ୍ୟ" ମଧ୍ୟରେ ଗୋଳମାଳ କରିବା!
ଯେତେବେଳେ ଭଗ୍ନାଂଶର ତଳେ (ହରରେ) ଶୂନ୍ୟ ଆସେ, ତାହା ସଂଜ୍ଞାବିହୀନ ହୁଏ:
tan ୯୦° = sin ୯୦° / cos ୯୦° = ୧ / ୦ (ସଂଜ୍ଞାବିହୀନ)
cot ୦° = cos ୦° / sin ୦° = ୧ / ୦ (ସଂଜ୍ଞାବିହୀନ)
sec ୯୦° = ୧ / cos ୯୦° = ୧ / ୦ (ସଂଜ୍ଞାବିହୀନ)
cosec ୦° = ୧ / sin ୦° = ୧ / ୦ (ସଂଜ୍ଞାବିହୀନ)
ଯେତେବେଳେ ଉପରେ (ଲବରେ) ଶୂନ୍ୟ ଆସେ, ତାହାର ମାନ ଶୂନ୍ୟ (୦) ହୁଏ:
tan ୦° = ୦ / ୧ = ୦, cot ୯୦° = ୦ / ୧ = ୦
୪. ବାସ୍ତବ ଜୀବନ ସହିତ ସମ୍ପର୍କ (୩୦-ସେକେଣ୍ଡ୍ ଉଦାହରଣ):
ଗୋଟିଏ ବିରାଟ କୋଠା କିମ୍ବା ଉଚ୍ଚ ପାହାଡ଼ ଉପରକୁ ନଚଢ଼ି ତଳେ ଠିଆ ହୋଇ ତା’ର ଉଚ୍ଚତା କିପରି ମାପିହୁଏ?
ଇଞ୍ଜିନିୟରମାନେ ତଳେ ଭୂମିର ଦୂରତା ମାପନ୍ତି ଏବଂ ଶୀର୍ଷର ଉନ୍ନତି କୋଣ (θ) ଯନ୍ତ୍ର ସାହାଯ୍ୟରେ ମାପନ୍ତି। ତା’ପରେ tan θ = ଲମ୍ବ / ଭୂମି ସୂତ୍ର ପକାଇ ମାତ୍ର କିଛି ସେକେଣ୍ଡରେ କୋଠାର ପ୍ରକୃତ ଉଚ୍ଚତା କହିଦିଅନ୍ତି।
୫. ଶେଷ ମୁହୂର୍ତ୍ତ ରିଭିଜନ୍ ସାରଣୀ:
ମୌଳିକ ସୂତ୍ରାବଳୀ:
sin²θ + cos²θ = ୧
sec²θ - tan²θ = ୧
cosec²θ - cot²θ = ୧
ଯୌଗିକ କୋଣ ସୂତ୍ର:
sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B
sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B
cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B
cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B
tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B)
tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A tan B)
ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ କୋଣର ତ୍ରିକୋଣମିତିକ ଅନୁପାତ ସାରଣୀ:
| କୋଣ (θ) | sin θ | cos θ | tan θ | cot θ | sec θ | cosec θ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| ୦° | ୦ | ୧ | ୦ | ସଂଜ୍ଞାବିହୀନ | ୧ | ସଂଜ୍ଞାବିହୀନ |
| ୩୦° | ୧/୨ | √୩/୨ | ୧/√୩ | √୩ | ୨/√୩ | ୨ |
| ୪୫° | ୧/√୨ | ୧/√୨ | ୧ | ୧ | √୨ | √୨ |
| ୬୦° | √୩/୨ | ୧/୨ | √୩ | ୧/√୩ | ୨ | ୨/√୩ |
| ୯୦° | ୧ | ୦ | ସଂଜ୍ଞାବିହୀନ | ୦ | ସଂଜ୍ଞାବିହୀନ | ୧ |
| ୧୨୦° | √୩/୨ | -୧/୨ | -√୩ | -୧/√୩ | -୨ | ୨/√୩ |
| ୧୩୫° | ୧/√୨ | -୧/√୨ | -୧ | -୧ | -√୨ | √୨ |
| ୧୫୦° | ୧/୨ | -√୩/୨ | -୧/√୩ | -√୩ | -୨/√୩ | ୨ |
| ୧୮୦° | ୦ | -୧ | ୦ | ସଂଜ୍ଞାବିହୀନ | -୧ | ସଂଜ୍ଞାବିହୀନ |
୬. ନିଶ୍ଚିତ ବୋର୍ଡ ପରୀକ୍ଷା ପ୍ରଶ୍ନ ଓ ଆଦର୍ଶ ଉତ୍ତର (୧୦ ବର୍ଷର ଟ୍ରେଣ୍ଡ୍):
ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ମାର୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଆଦର୍ଶ ଉତ୍ତର:
ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟ:
ମନେକର ପାହାଡ଼ର ଉଚ୍ଚତା AB = h ମିଟର (A ହେଉଛି ଶୀର୍ଷ, B ହେଉଛି ପାଦଦେଶ)।
ସ୍ତମ୍ଭର ଉଚ୍ଚତା CD = ୧୦୦ ମିଟର (D ହେଉଛି ଶୀର୍ଷ, C ହେଉଛି ପାଦଦେଶ)।
ଭୂସମାନ୍ତର ଦୂରତା BC = x ମିଟର।
D ବିନ୍ଦୁରୁ AB ପ୍ରତି DE ⊥ AB ଅଙ୍କନ କଲେ, BCDE ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର ହେବ।
ତେଣୁ BE = CD = ୧୦୦ ମିଟର ଏବଂ DE = BC = x ମିଟର।
AE = AB - BE = (h - ୧୦୦) ମିଟର।
ଏକାନ୍ତର କୋଣ ଅନୁସାରେ:
∠ADE = ୩୦°
∠ACB = ୬୦°
ସମାଧାନ:
୧. ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ΔADE ରେ:
tan ୩୦° = AE / DE
୧ / √୩ = (h - ୧୦୦) / x
x = √୩ (h - ୧୦୦) ...(ସମୀକରଣ ୧)
୨. ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ΔABC ରେ:
tan ୬୦° = AB / BC
√୩ = h / x
x = h / √୩ ...(ସମୀକରଣ ୨)
୩. ସମୀକରଣ (୧) ଓ (୨) ରୁ x ର ମାନକୁ ସମାନ କଲେ:
√୩ (h - ୧୦୦) = h / √୩
√୩ × √୩ (h - ୧୦୦) = h
୩(h - ୧୦୦) = h
୩h - ୩୦୦ = h
୩h - h = ୩୦୦
୨h = ୩୦୦
h = ୩୦୦ / ୨ = ୧୫୦ ମିଟର
ଉତ୍ତର: ପାହାଡ଼ର ଉଚ୍ଚତା ୧୫୦ ମିଟର।
🤖 Have a Doubt in this Chapter?
Ask Gundulu AI Voice Tutor to explain any question in bilingual Odia & English with 24/7 step-by-step guidance!
🚀 Try Gundulu AI on Utkal Skill Centre App