ଶ୍ରେଣୀ ୧୦ ଜ୍ୟାମିତି: ପଞ୍ଚମ ଅଧ୍ୟାୟ - ପରିମିତି (ଉତ୍କଳ ମାଷ୍ଟର ଷ୍ଟ୍ରୋକ୍)
ନମସ୍କାର ପିଲେ, ମାଟ୍ରିକ ବୋର୍ଡ ପରୀକ୍ଷାରେ ପରିମିତି ଅଧ୍ୟାୟରୁ ବୃତ୍ତ, ବୃତ୍ତକଳା, ପ୍ରିଜିମ୍, ସିଲିଣ୍ଡର, କୋନ୍ ଏବଂ ଗୋଲକ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଓ ଆୟତନର ବହୁବିଧ ପ୍ରଶ୍ନ ଆସିଥାଏ। ଏହି ଅଧ୍ୟାୟର ସମସ୍ତ ସୂତ୍ର, ବିକଳ୍ପ ବର୍ଜନ ପଦ୍ଧତି ଓ ବୋର୍ଡ ପରୀକ୍ଷା ଉପଯୋଗୀ ଆଦର୍ଶ ଉତ୍ତର ଏଠାରେ ସରଳ ଓ ଶୁଦ୍ଧ ଓଡ଼ିଆରେ ପ୍ରଦାନ କରାଗଲା।
୧. ପରୀକ୍ଷା ସର୍ଟକଟ୍ (୫-ସେକେଣ୍ଡ୍ ଟ୍ରିକ୍):
ଯଦି ପ୍ରଶ୍ନରେ ପରିଧି କିମ୍ବା କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ପଚରାଯାଇଛି, ତେବେ ଚାରୋଟି ବିକଳ୍ପ ମଧ୍ୟରୁ ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଟି ୧୧ ଦ୍ୱାରା ଭାଗ ଯାଉଛି (ଯୁଗ୍ମ ଓ ଅଯୁଗ୍ମ ସ୍ଥାନର ଅଙ୍କ ଯୋଗଫଳର ଅନ୍ତର ୦ କିମ୍ବା ୧୧ ର ଗୁଣିତକ), ସେହି ବିକଳ୍ପ ସଠିକ୍ ହେବାର ସମ୍ଭାବନା ସବୁଠୁ ଅଧିକ। ଭୁଲ୍ ବିକଳ୍ପକୁ ମାତ୍ର ୫ ସେକେଣ୍ଡରେ ବାଦ୍ ଦିଆଯାଇପାରିବ।
ଯଦି ଦୁଇଟି ସଦୃଶ ବସ୍ତୁର (ଯଥା: ଦୁଇଟି ଗୋଲକ କିମ୍ବା ଦୁଇଟି କୋନ୍) ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧର ଅନୁପାତ a : b ହୁଏ, ତେବେ:
କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନୁପାତ = a² : b²
ଆୟତନର ଅନୁପାତ = a³ : b³
ହ୍ୟାକ୍: ଯଦି ଦୁଇଟି ଗୋଲକର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧର ଅନୁପାତ ୨ : ୩ ଦିଆଯାଏ, ତେବେ ଆୟତନର ଅନୁପାତ ସିଧା ୨³ : ୩³ = ୮ : ୨୭ ହେବ। ବିନା କୌଣସି ଜଟିଳ ଗଣନାରେ ତୁରନ୍ତ ଉତ୍ତର ବାଛନ୍ତୁ।
୨. ମନେରଖିବା କାହାଣୀ:
ପରିମିତି ମାଷ୍ଟର ମନ୍ତ୍ର:
ବୁଲି ବୁଲି ବୃତ୍ତର ଧାରେ ଯେବେ ଚାଲିବ,
ପରିଧି ପାଇଁ 2πr ସୂତ୍ର ଲଗାଇବ!
ଭିତର ଅଞ୍ଚଳ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଯେତେ ହେବ ଭାଇ,
πr² ସୂତ୍ର ବିନା ଅନ୍ୟ ବାଟ ନାହିଁ!
ସିଲିଣ୍ଡର ଗଡ଼ିଗଲେ ବକ୍ରପୃଷ୍ଠ 2πrh ଜାଣ,
ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳେ 2πr(r+h) ରଖ ଧ୍ୟାନ!
କୋନ୍ ମୁଣ୍ଡ ଟୋପି ଭଳି ତୀକ୍ଷ୍ଣ ବକ୍ର ଉଚ୍ଚତା,
πrl ବକ୍ରପୃଷ୍ଠ, (୧/୩)πr²h ଆୟତନ କଥା!
ଗୋଲକ ଏକ ଫୁଟବଲ୍ ନାହିଁ କୋଣ ଧାର,
ପୃଷ୍ଠତଳ 4πr², (୪/୩)πr³ ଆୟତନ ତା’ର!
ଅଧା କାଟିଦେଲେ ଅର୍ଦ୍ଧଗୋଲକ ପାଇବ,
ବକ୍ରପୃଷ୍ଠ 2πr², ସମଗ୍ର ପାଇଁ 3πr² ଲେଖିବ!
୩. ସବୁଠୁ ବଡ଼ ଭୁଲ୍ (୯୦% ପିଲା କରୁଥିବା ତ୍ରୁଟି):
ବ୍ୟାସ (d) ଏବଂ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ (r) ମଧ୍ୟରେ ବିଭ୍ରାଟ!
ପରିମିତିରେ ୯୦% ପିଲା ପ୍ରଶ୍ନର ଉତ୍ତର ଜାଣି ମଧ୍ୟ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଅସାବଧାନତା ପାଇଁ ନମ୍ବର ହରାନ୍ତି।
r = d / ୨ = ୧୪ / ୨ = ୭ ସେ.ମି.।
ତା’ପରେ ଯାଇ କୌଣସି ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କରନ୍ତୁ।
୪. ବାସ୍ତବ ଜୀବନ ସହିତ ସମ୍ପର୍କ (୩୦-ସେକେଣ୍ଡ୍ ଉଦାହରଣ):
ମେଳାରେ ତୁମେ ବୁଲୁଥିବା ବେଳର କଥା ଭାବ:
୫. ଶେଷ ମୁହୂର୍ତ୍ତ ରିଭିଜନ୍ ସାରଣୀ:
| ଆକୃତି | ପାରାମିଟର | ମୁଖ୍ୟ ସୂତ୍ର |
|---|---|---|
| ବୃତ୍ତ | ପରିଧି ଓ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ | ପରିଧି = 2πr = πd, କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = πr² |
| ବୃତ୍ତକଳା | ଚାପ ଦୈର୍ଘ୍ୟ (l) ଓ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ | l = (θ/୩୬୦°) × 2πr, କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (θ/୩୬୦°) × πr² = (୧/୨)lr |
| ବୃତ୍ତୀୟ ବଳୟ | କ୍ଷେତ୍ରଫଳ | π(R² - r²) |
| ପ୍ରିଜିମ୍ | ପାର୍ଶ୍ୱପୃଷ୍ଠ ଓ ଆୟତନ | ପାର୍ଶ୍ୱପୃଷ୍ଠ = ଭୂମି ପରିସୀମା × ଉଚ୍ଚତା, ଆୟତନ = ଭୂମି କ୍ଷେତ୍ରଫଳ × ଉଚ୍ଚତା |
| ସିଲିଣ୍ଡର | ବକ୍ରପୃଷ୍ଠ, ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠ ଓ ଆୟତନ | ବକ୍ରପୃଷ୍ଠ = 2πrh, ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠ = 2πr(r+h), ଆୟତନ = πr²h |
| ଫମ୍ପା ସିଲିଣ୍ଡର | ବକ୍ରପୃଷ୍ଠ ଓ ଆୟତନ | ବକ୍ରପୃଷ୍ଠ = 2π(R+r)h, ଆୟତନ = π(R² - r²)h |
| କୋନ୍ | ବକ୍ର ଉଚ୍ଚତା (l) | l = √(r² + h²) |
| କୋନ୍ | ବକ୍ରପୃଷ୍ଠ, ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠ ଓ ଆୟତନ | ବକ୍ରପୃଷ୍ଠ = πrl, ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠ = πr(r+l), ଆୟତନ = (୧/୩)πr²h |
| ଗୋଲକ | ପୃଷ୍ଠତଳ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଓ ଆୟତନ | ପୃଷ୍ଠତଳ = 4πr², ଆୟତନ = (୪/୩)πr³ |
| ଅର୍ଦ୍ଧଗୋଲକ | ବକ୍ରପୃଷ୍ଠ, ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠ ଓ ଆୟତନ | ବକ୍ରପୃଷ୍ଠ = 2πr², ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠ = 3πr², ଆୟତନ = (୨/୩)πr³ |
୬. ନିଶ୍ଚିତ ବୋର୍ଡ ପରୀକ୍ଷା ପ୍ରଶ୍ନ ଓ ଆଦର୍ଶ ଉତ୍ତର (୧୦ ବର୍ଷର ଟ୍ରେଣ୍ଡ୍):
ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ମାର୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଆଦର୍ଶ ଉତ୍ତର:
ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟ:
ସିଲିଣ୍ଡରାକାର ପାତ୍ରର ଭୂମିର ବ୍ୟାସ = ୧୦ ସେ.ମି.
ତେଣୁ ସିଲିଣ୍ଡରର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ R = ୧୦ / ୨ = ୫ ସେ.ମି.
ବୃଦ୍ଧି ପାଇଥିବା ଜଳପତନର ଉଚ୍ଚତା h = ୨ ସେ.ମି.
ନିମଜ୍ଜିତ ଗୋଲାକାର ଲୁହା ଗୁଳିର ସଂଖ୍ୟା = ୩୦୦
ନିୟମ:
ପାତ୍ରରେ ବୃଦ୍ଧି ପାଇଥିବା ଜଳର ଆୟତନ, ୩୦୦ ଟି ଗୋଲାକାର ଲୁହା ଗୁଳିର ମୋଟ ଆୟତନ ସଙ୍ଗେ ସମାନ।
ସମାଧାନ:
୧. ବୃଦ୍ଧି ପାଇଥିବା ଜଳର ଆୟତନ:
ଉପରକୁ ଉଠିଥିବା ଜଳ ଏକ କ୍ଷୁଦ୍ର ସିଲିଣ୍ଡର ଆକାର ଧାରଣ କରେ (R = ୫ ସେ.ମି., h = ୨ ସେ.ମି.)।
ଆୟତନ = π R² h
= π × (୫)² × ୨
= π × ୨୫ × ୨
= ୫୦π ଘନ ସେ.ମି.
୨. ୩୦୦ ଟି ଗୋଲାକାର ଲୁହା ଗୁଳିର ଆୟତନ:
ମନେକର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଗୁଳିର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ r ସେ.ମି.।
ଗୋଟିଏ ଗୋଲକର ଆୟତନ = (୪/୩) π r³
୩୦୦ ଟି ଗୁଳିର ଆୟତନ = ୩୦୦ × (୪/୩) π r³
= ୧୦୦ × ୪ π r³
= ୪୦୦π r³ ଘନ ସେ.ମି.
୩. ଉଭୟ ଆୟତନକୁ ସମାନ କଲେ:
୪୦୦π r³ = ୫୦π
୪୦୦ r³ = ୫୦
r³ = ୫୦ / ୪୦୦
r³ = ୧ / ୮
r = ∛(୧ / ୮)
r = ୧ / ୨ = ୦.୫ ସେ.ମି.
ଉତ୍ତର: ପ୍ରତ୍ୟେକ ଲୁହା ଗୁଳିର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ୦.୫ ସେ.ମି. (ବା ୫ ମିଲିମିଟର)।
🤖 Have a Doubt in this Chapter?
Ask Gundulu AI Voice Tutor to explain any question in bilingual Odia & English with 24/7 step-by-step guidance!
🚀 Try Gundulu AI on Utkal Skill Centre App