ଶ୍ରେଣୀ ୧୦ ଜ୍ୟାମିତି: ଅଧ୍ୟାୟ ୪ - ତ୍ରିକୋଣମିତି ଅନୁଶୀଳନୀ ପ୍ରୟୋଗ ଓ ଉତ୍ତର ସମାଧାନ (ଉତ୍କଳ ମାଷ୍ଟର ଷ୍ଟ୍ରୋକ୍)
ନମସ୍କାର ପିଲେ, ତ୍ରିକୋଣମିତିର ବିଭିନ୍ନ ଅନୁଶୀଳନୀ ପ୍ରଶ୍ନ ଓ ଉଚ୍ଚତା-ଦୂରତା ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ପ୍ରୟୋଗମୂଳକ ସମସ୍ୟାର ସମାଧାନ ପାଇଁ ସର୍ଟକଟ୍ ଓ ବୋର୍ଡ ପରୀକ୍ଷା ଉପଯୋଗୀ ଆଦର୍ଶ ଉତ୍ତର ଏଠାରେ ସରଳ ଓ ଶୁଦ୍ଧ ଓଡ଼ିଆରେ ପ୍ରଦାନ କରାଗଲା।
୧. ପରୀକ୍ଷା ସର୍ଟକଟ୍ (୫-ସେକେଣ୍ଡ୍ ଟ୍ରିକ୍):
ଯେତେବେଳେ ପ୍ରଶ୍ନରେ sin²A + sin²(90°-A) କିମ୍ବା tan A × tan(90°-A) ଥାଏ, ଏବଂ A ଏକ ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣ ହୁଏ, ତେବେ ଏହାର ମାନ ସର୍ବଦା ୧ ହେବ। ସେହିପରି sec²A - cot²(90°-A) = ୧ ଏବଂ cosec²A - tan²(90°-A) = ୧।
ଉଦାହରଣ: sin² ୨୧° + cos² ୨୧° ଦେଖିବା ମାତ୍ରେ ଉତ୍ତର ୧ ବାଛନ୍ତୁ।
୦°, ୯୦°, ୧୮୦° କୋଣମାନଙ୍କ ପାଇଁ ତ୍ରିକୋଣମିତିକ ଅନୁପାତର ମାନ କେବଳ ୦, ୧, କିମ୍ବା -୧ ହିଁ ହୋଇଥାଏ (କିମ୍ବା ସଂଜ୍ଞାବିହୀନ)।
ଉଦାହରଣ: sin ୧୮୦° = ୦। ଚାରୋଟି ବିକଳ୍ପ ମଧ୍ୟରୁ ଦଶମିକ ଥିବା ଅପ୍ସନ୍ (ଯଥା ୦.୫) କୁ ତୁରନ୍ତ ବାଦ୍ ଦିଅନ୍ତୁ।
ଯଦି ଉନ୍ନତି ବା ଅବନତି କୋଣ ୪୫° ଥାଏ, ତେବେ ଉଚ୍ଚତା ଏବଂ ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସର୍ବଦା ସମାନ ହେବ (ଉଚ୍ଚତା = ଭୂମି)।
ଯଦି କୋଣ ୩୦° ହୁଏ, ତେବେ ଉଚ୍ଚତା = ଭୂମି / √୩।
ଯଦି କୋଣ ୬୦° ହୁଏ, ତେବେ ଉଚ୍ଚତା = ଭୂମି × √୩।
୨. ମନେରଖିବା କାହାଣୀ:
ମୌଳିକ ତ୍ରିକୋଣମିତିକ ଅନୁପାତ ମନେରଖିବା ସୂତ୍ର:
ଲମ୍ବ ହରିଲେ କର୍ଣ୍ଣ ଦେଇ sin ବୋଲି ଜାଣି,
ଭୂମି ହରିଲେ କର୍ଣ୍ଣ ଦେଇ cos ଆସେ ଟାଣି!
ଲମ୍ବ ବାଏ ଭୂମି ହେଲେ tan ହୋଇଯାଏ,
ଏହି ତିନି ମନେ ରହିଲେ ପୂରା ମାର୍କ ପାଏ!
ଚତୁର୍ଥାଂଶ ଚିହ୍ନ ନିୟମ:
ପ୍ରଥମ ପାଦ (୦° ରୁ ୯୦°): ସମସ୍ତେ ଧନାତ୍ମକ (+)।
ଦ୍ୱିତୀୟ ପାଦ (୯୦° ରୁ ୧୮୦°): କେବଳ sin ଓ cosec ଧନାତ୍ମକ (+), ବାକି ସମସ୍ତେ ଋଣାତ୍ମକ (-)।
୩. ସବୁଠୁ ବଡ଼ ଭୁଲ୍ (୯୦% ପିଲା କରୁଥିବା ତ୍ରୁଟି):
ଦ୍ୱିତୀୟ ପାଦରେ ଚିହ୍ନ (Sign) ଭୁଲ୍ କରିବା!
ତେଣୁ ସଠିକ୍ ସୂତ୍ର: cos(180°-A) = -cos A
ସେହିପରି tan(180°-A) = -tan A
ଏହି ବିୟୋଗ ଚିହ୍ନ ନଦେଲେ ପରୀକ୍ଷାରେ ପୂରା ମାର୍କ କଟିଯାଏ।
୪. ବାସ୍ତବ ଜୀବନ ସହିତ ସମ୍ପର୍କ (୩୦-ସେକେଣ୍ଡ୍ ଉଦାହରଣ):
କେବୁଲ୍ କାର୍ (Ropeway) ତିଆରି କଥା ଚିନ୍ତା କରନ୍ତୁ:
ପାହାଡ଼ ଉପରେ କେବୁଲ୍ କାର୍ ଷ୍ଟେସନ୍ କରିବାକୁ ହେଲେ କେତେ ଲମ୍ବର ତାର ଦରକାର ଏବଂ ଟାୱାର କେତେ ଉଚ୍ଚ ହେବ, ତାହା ଇଞ୍ଜିନିୟରମାନେ ତ୍ରିକୋଣମିତିକ ଉନ୍ନତି ଓ ଅବନତି କୋଣ ସାହାଯ୍ୟରେ ତଳେ ଥାଇ ହିସାବ କରିଦିଅନ୍ତି।
୫. ଶେଷ ମୁହୂର୍ତ୍ତ ରିଭିଜନ୍ ସାରଣୀ:
| ବିଷୟ | ଗାଣିତିକ ନିୟମ | ଓଡ଼ିଆ ଅର୍ଥ |
|---|---|---|
| ମୌଳିକ ଅନୁପାତ | sin = ଲମ୍ବ / କର୍ଣ୍ଣ, cos = ଭୂମି / କର୍ଣ୍ଣ, tan = ଲମ୍ବ / ଭୂମି | ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ବାହୁ ଅନୁପାତ |
| ବ୍ୟୁତ୍କ୍ରମ ଅନୁପାତ | cosec = ୧ / sin, sec = ୧ / cos, cot = ୧ / tan | ବିପରୀତ ଅନୁପାତ |
| ଭାଗଫଳ ଅଭେଦ | tan = sin / cos, cot = cos / sin | ଭାଗଫଳ ସମ୍ପର୍କ |
| ପାଇଥାଗୋରାସ୍ ଅଭେଦ | sin²θ + cos²θ = ୧, sec²θ - tan²θ = ୧, cosec²θ - cot²θ = ୧ | ବର୍ଗ ଅଭେଦ |
| ପୂରକ କୋଣ (୯୦°-A) | sin(90°-A) = cos A, cos(90°-A) = sin A, tan(90°-A) = cot A | ସମସ୍ତେ ଧନାତ୍ମକ (+) |
| ପରିପୂରକ କୋଣ (୧୮୦°-A) | sin(180°-A) = sin A, cos(180°-A) = -cos A, tan(180°-A) = -tan A | କେବଳ sin (+) |
| ଉଚ୍ଚତା ଓ ଦୂରତା | tan θ = ଲମ୍ବ / ଭୂମି | ଉନ୍ନତି ଓ ଅବନତି କୋଣ |
୬. ନିଶ୍ଚିତ ବୋର୍ଡ ପରୀକ୍ଷା ପ୍ରଶ୍ନ ଓ ଆଦର୍ଶ ଉତ୍ତର (୧୦ ବର୍ଷର ଟ୍ରେଣ୍ଡ୍):
ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ମାର୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଆଦର୍ଶ ଉତ୍ତର:
ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟ:
କୋଠାର ଉଚ୍ଚତା AB = ୭୫ ମିଟର (A ଶୀର୍ଷ, B ପାଦଦେଶ)।
ରାସ୍ତା ଉପରେ କୋଠାର ଦୁଇ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା କାର୍ ଦୁଇଟିର ସ୍ଥିତି ଯଥାକ୍ରମେ C ଏବଂ D।
A ବିନ୍ଦୁଠାରେ ଭୂସମାନ୍ତର ରେଖା AX କଳ୍ପନା କଲେ:
କାର୍ C ର ଅବନତି କୋଣ = ୪୫°
କାର୍ D ର ଅବନତି କୋଣ = ୩୦°
ଏକାନ୍ତର କୋଣ ନିୟମ ଅନୁସାରେ:
∠ACB = ୪୫°
∠ADB = ୩୦°
ସମାଧାନ:
୧. ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ΔABC ରେ:
tan ୪୫° = AB / BC
୧ = ୭୫ / BC
BC = ୭୫ ମିଟର
୨. ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ΔABD ରେ:
tan ୩୦° = AB / BD
୧ / √୩ = ୭୫ / BD
BD = ୭୫ × √୩ ମିଟର
୩. କାର୍ ଦୁଇଟି ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ସମୁଦାୟ ଦୂରତା (CD):
CD = BC + BD
= ୭୫ + ୭୫√୩
= ୭୫ (୧ + √୩)
= ୭୫ (୧ + ୧.୭୩୨)
= ୭୫ × ୨.୭୩୨
= ୨୦୪.୯ ମିଟର
ଉତ୍ତର: କାର୍ ଦୁଇଟି ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ଦୂରତା ୨୦୪.୯ ମିଟର।
🤖 Have a Doubt in this Chapter?
Ask Gundulu AI Voice Tutor to explain any question in bilingual Odia & English with 24/7 step-by-step guidance!
🚀 Try Gundulu AI on Utkal Skill Centre App