ଶ୍ରେଣୀ ୧୦ ବୀଜଗଣିତ: ପ୍ରଥମ ଅଧ୍ୟାୟ - ସରଳ ସହସମୀକରଣ (ଉତ୍କଳ ମାଷ୍ଟର ଷ୍ଟ୍ରୋକ୍)
ନମସ୍କାର ପିଲେ, ମାଟ୍ରିକ ବୋର୍ଡ ପରୀକ୍ଷାରେ ସରଳ ସହସମୀକରଣରୁ ପୂରା ନମ୍ବର ରଖିବା ପାଇଁ ସବୁଠୁ ଦରକାରୀ ନିୟମ, ସର୍ଟକଟ୍ ଟ୍ରିକ୍ ଏବଂ ବୋର୍ଡ ପ୍ରଶ୍ନୋତ୍ତର ଏଠାରେ ସରଳ ଭାବେ ଦିଆଗଲା।
୧. ପରୀକ୍ଷା ସର୍ଟକଟ୍ (୫-ସେକେଣ୍ଡ୍ ଟ୍ରିକ୍):
MCQ ପ୍ରଶ୍ନରେ (x, y) ର ମୂଲ୍ୟ ବାହାର କରିବା ପାଇଁ ପୂରା ଅଙ୍କ କଷିବା ଦରକାର ନାହିଁ। ଚାରୋଟି ବିକଳ୍ପରୁ x ଓ y ର ମାନକୁ ସମୀକରଣରେ ବସାଇ ଦେଖନ୍ତୁ। ଯେଉଁ ବିକଳ୍ପ ଉଭୟ ସମୀକରଣକୁ ଠିକ୍ ଭାବେ ମିଳାଇବ, ସେଇଟା ହିଁ ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର। ଏହା ମାତ୍ର ୧୦ ରୁ ୧୫ ସେକେଣ୍ଡରେ ଉତ୍ତର ଦେଇଥାଏ।
ସହଗମାନଙ୍କ ଅନୁପାତ ମନେରଖ:
ପରୀକ୍ଷାରେ k ଥିବା ଅନୁପାତକୁ ସିଧାସଳଖ ସମାନ କରି ବଜ୍ରଗୁଣନ (କ୍ରସ୍-ଗୁଣନ) କରି ତୁରନ୍ତ ଉତ୍ତର ବାହାର କର।
୨. ମନେରଖିବା କାହାଣୀ:
ସହସମୀକରଣର ତିନୋଟି ସର୍ତ୍ତକୁ ମନେରଖିବା ପାଇଁ ଏହି କଥାଟି ମନେରଖ:
ପ୍ରଥମରୁ a₁/a₂ ସହିତ b₁/b₂ ଅସମାନ (a₁/a₂ ≠ b₁/b₂) ହେଲେ, ରେଖା ଦୁଇଟି ପରସ୍ପରକୁ ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି। ତେଣୁ କେବଳ ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ ମିଳେ।
ସବୁ ଅନୁପାତ ସମାନ (a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂) ହେଲେ, ଦୁଇଟି ଯାକ ରେଖା ଗୋଟିଏ ଉପରେ ଆଉ ଗୋଟିଏ ରହିଯାଆନ୍ତି (ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ ରେଖା)। ତେଣୁ ଏହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବିନ୍ଦୁ ସମାଧାନ, ଅର୍ଥାତ୍ ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ଥାଏ।
ପ୍ରଥମେ ସମାନ ହୋଇ ଶେଷରେ ସ୍ଥିରାଙ୍କ ଅନୁପାତ ଅଲଗା (a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂) ହୋଇଗଲେ, ରେଖା ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ହୋଇ ରହିବେ। ସେମାନେ କେବେ ପରସ୍ପରକୁ ଭେଟିବେ ନାହିଁ, ତେଣୁ କୌଣସି ସମାଧାନ ମିଳିବ ନାହିଁ।
୩. ସବୁଠୁ ବଡ଼ ଭୁଲ୍ (୯୦% ପିଲା କରୁଥିବା ତ୍ରୁଟି):
ସମୀକରଣକୁ ପ୍ରଥମେ a₁x + b₁y + c₁ = ୦ ଆକାରରେ ନଲେଖି ବଜ୍ରଗୁଣନ କରିବା!
ସବୁଠାରୁ ବଡ଼ ଭୁଲ୍ c₁ ଏବଂ c₂ ର ଚିହ୍ନ ନେବାରେ ହୁଏ।
2x + 3y - 5 = 0, ତେଣୁ c₁ = -5 ନେବାକୁ ହେବ। ଏହି ଚିହ୍ନ ପରିବର୍ତ୍ତନ ଠିକ୍ କଲେ ଉତ୍ତର କେବେ ଭୁଲ୍ ହେବ ନାହିଁ।
୪. ବାସ୍ତବ ଜୀବନ ସହିତ ସମ୍ପର୍କ (୩୦-ସେକେଣ୍ଡ୍ ଉଦାହରଣ):
ତୁମେ ଦୋକାନକୁ ଯାଇ ୨ଟି କଲମ ଓ ୩ଟି ଖାତା କିଣି ୪୦ ଟଙ୍କା ଦେଲ। ତୁମ ସାଙ୍ଗ ସେହି ଦୋକାନରୁ ୩ଟି କଲମ ଓ ୧ଟି ଖାତା କିଣି ୩୦ ଟଙ୍କା ଦେଲା।
ଏଠାରେ କଲମର ଦାମ୍ x ଓ ଖାତାର ଦାମ୍ y ଧରିଲେ ଦୁଇଟି ସହସମୀକରଣ ତିଆରି ହୁଏ:
2x + 3y = 40
3x + y = 30
ଏହି ଦୁଇଟିକୁ ସମାଧାନ କରି ଆମେ ଗୋଟିଏ କଲମ ଓ ଖାତାର ପ୍ରକୃତ ଦାମ୍ ସହଜରେ ପାଇପାରିବା।
୫. ଶେଷ ମୁହୂର୍ତ୍ତ ରିଭିଜନ୍ ସାରଣୀ:
ମାନକ ରୂପ:
a₁x + b₁y + c₁ = 0
a₂x + b₂y + c₂ = 0
| ସହଗ ଅନୁପାତ ସର୍ତ୍ତ | ରେଖାର ଜ୍ୟାମିତିକ ରୂପ | ସମାଧାନ ସଂଖ୍ୟା | ସଙ୍ଗତତା |
|---|---|---|---|
| a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ | ପରସ୍ପର ଛେଦକ ରେଖା | ଅନନ୍ୟ (କେବଳ ୧ଟି) | ସଙ୍ଗତ ଓ ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର |
| a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ | ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ (ସମ୍ପାତୀ) ରେଖା | ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ | ସଙ୍ଗତ ଓ ନିର୍ଭରଶୀଳ |
| a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ | ପରସ୍ପର ସମାନ୍ତର ରେଖା | ଶୂନ୍ୟ (କୌଣସି ସମାଧାନ ନାହିଁ) | ଅସଙ୍ଗତ |
କ୍ରାମର୍ଙ୍କ ନିୟମ ସୂତ୍ର:
x = (c₂b₁ - c₁b₂) / (a₁b₂ - a₂b₁)
y = (c₁a₂ - c₂a₁) / (a₁b₂ - a₂b₁)
୬. ନିଶ୍ଚିତ ବୋର୍ଡ ପରୀକ୍ଷା ପ୍ରଶ୍ନ ଓ ଆଦର୍ଶ ଉତ୍ତର (୧୦ ବର୍ଷର ଟ୍ରେଣ୍ଡ୍):
ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ମାର୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଆଦର୍ଶ ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ ସହସମୀକରଣ ଦ୍ୱୟ:
kx + 3y - (k-3) = 0 ...(୧)
12x + ky - k = 0 ...(୨)
ଏଠାରେ ସହଗ ଓ ସ୍ଥିରାଙ୍କର ମାନ:
a₁ = k, b₁ = 3, c₁ = -(k-3)
a₂ = 12, b₂ = k, c₂ = -k
ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ପାଇଁ ସର୍ତ୍ତ:
a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂
ସହଗଗୁଡ଼ିକର ମାନ ବସାଇଲେ:
k/12 = 3/k = -(k-3)/(-k)
ପ୍ରଥମ ଦୁଇଟି ଅନୁପାତକୁ ସମାନ କଲେ:
k/12 = 3/k
k × k = 3 × 12
k² = 36
k = ± √36
k = ± ୬ (ଅର୍ଥାତ୍ k = +୬ କିମ୍ବା k = -୬)
ଶେଷ ଦୁଇଟି ଅନୁପାତକୁ ସମାନ କଲେ:
3/k = -(k-3)/(-k)
3/k = (k-3)/k (ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର ବିୟୋଗ ଚିହ୍ନ କଟିଗଲା)
ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର ହରରୁ k କାଟିଦେଲେ:
3 = k - 3
k = 3 + 3
k = ୬
ସିଦ୍ଧାନ୍ତ:
ଉତ୍ତର: k = ୬ ହେଲେ ପ୍ରଦତ୍ତ ସହସମୀକରଣ ଦ୍ୱୟର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ।
🤖 Have a Doubt in this Chapter?
Ask Gundulu AI Voice Tutor to explain any question in bilingual Odia & English with 24/7 step-by-step guidance!
🚀 Try Gundulu AI on Utkal Skill Centre App