ଶ୍ରେଣୀ ୧୦ ବୀଜଗଣିତ: ଦ୍ୱିତୀୟ ଅଧ୍ୟାୟ - ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ (ଉତ୍କଳ ମାଷ୍ଟର ଷ୍ଟ୍ରୋକ୍)
ପ୍ରିୟ ଦଶମ ଶ୍ରେଣୀ ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀ, ମାଟ୍ରିକ ବୋର୍ଡ ପରୀକ୍ଷାରେ ବୀଜଗଣିତର ଦ୍ୱିତୀୟ ଅଧ୍ୟାୟ "ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ" (Quadratic Equations) ରୁ ପୂର୍ଣ୍ଣ ମାର୍କ ରଖିବା ପାଇଁ ସରକାରୀ ପାଠ୍ୟପୁସ୍ତକ (ଅନୁଶୀଳନୀ 2(a), 2(b) ଓ 2(c)) ର ଶତପ୍ରତିଶତ ନିର୍ଭୁଲ୍ ସମାଧାନ, ସୂତ୍ରାବଳୀ ଓ ପରୀକ୍ଷା ଉପଯୋଗୀ ସର୍ଟକଟ୍ ଏଠାରେ ସରଳ ଓ ଶୁଦ୍ଧ ଓଡ଼ିଆରେ ପ୍ରଦାନ କରାଗଲା।
୧. ପରୀକ୍ଷା ସର୍ଟକଟ୍ (୫-ସେକେଣ୍ଡ୍ ଟ୍ରିକ୍):
ax² + bx + c = ୦ ର ପ୍ରଭେଦକ D = b² - 4ac।
୨. ମନେରଖିବା କାହାଣୀ:
ରାଜକୁମାର ପ୍ରଭେଦକ (D) ର ତିନୋଟି ପରୀକ୍ଷା:
ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ ରାଜାଙ୍କର ଦୁଇ ଯମଜ ରାଜପୁତ୍ର α ଓ β। ଜ୍ୟୋତିଷ 'ପ୍ରଭେଦକ' (D = b² - 4ac) ସେମାନଙ୍କ ଭାଗ୍ୟ କହିଲେ:
୩. ସବୁଠୁ ବଡ଼ ଭୁଲ୍ (୯୦% ପିଲା କରୁଥିବା ତ୍ରୁଟି):
ଯଦି ସମୀକରଣ 2x² - 5x + 3 = ୦, ତେବେ b = -୫। ଏଠାରେ (-୫)² = +୨୫ ହେବ। ଅନେକ ପିଲା -୨୫ ଲେଖି ଭୁଲ୍ କରନ୍ତି।
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a। ଯଦି b = -୬, ତେବେ -b = -(-୬) = +୬ ହେବ।
ସମୀକରଣ ଗଠନ ସୂତ୍ର: x² - (α + β)x + αβ = ୦ (ମଝିରେ ମାଇନସ୍ ଚିହ୍ନ ରହିବ)।
୪. ବାସ୍ତବ ଜୀବନ ସହିତ ସମ୍ପର୍କ (୩୦-ସେକେଣ୍ଡ୍ ଉଦାହରଣ):
ଆପଣ ଯେତେବେଳେ କ୍ରିକେଟ୍ରେ ବଲ୍କୁ ବ୍ୟାଟ୍ରେ ଉପରକୁ ମାରନ୍ତି, ବଲ୍ଟି ଉପରକୁ ଯାଇ ପୁଣି ତଳକୁ ଖସି ଆସିବା ଏକ ପାରାବୋଲା (ଦ୍ୱିଘାତ ବକ୍ରରେଖା)। ତାର ଉଚ୍ଚତା ଓ ସମୟ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ ଦ୍ୱାରା ମପାଯାଏ। ନଦୀରେ ଡଙ୍ଗାର ଅନୁକୂଳ-ପ୍ରତିକୂଳ ଗତି ଏବଂ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସମସ୍ୟା ମଧ୍ୟ ଏହି ସମୀକରଣ ସାହାଯ୍ୟରେ ସମାଧାନ ହୁଏ।
୫. ଶେଷ ମୁହୂର୍ତ୍ତ ରିଭିଜନ୍ ସାରଣୀ:
ବିଷୟ / ନିୟମ | ସୂତ୍ର / ଗାଣିତିକ ରୂପ | ମନ୍ତବ୍ୟ
ମାନକ ଆକାର | ax² + bx + c = ୦ (a ≠ ୦) | a, b, c ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା
ଶ୍ରୀଧର ଆଚାର୍ଯ୍ୟ ସୂତ୍ର | x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a | ଦ୍ୱିଘାତ ସୂତ୍ର
ପ୍ରଭେଦକ | D = b² - 4ac | ମୂଳର ସ୍ୱରୂପ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରେ
ମୂଳଦ୍ୱୟର ସମଷ୍ଟି | α + β = -b / a | x ର ସହଗ ÷ x² ର ସହଗ (ଋଣାତ୍ମକ)
ମୂଳଦ୍ୱୟର ଗୁଣଫଳ | αβ = c / a | ଧ୍ରୁବକ ପଦ ÷ x² ର ସହଗ
ସମୀକରଣ ଗଠନ | x² - (α + β)x + αβ = ୦ | ମୂଳଦ୍ୱୟ ଜଣାଥିଲେ ପ୍ରୟୋଗ ହୁଏ
୧/α + ୧/β ର ମୂଲ୍ୟ | (α + β) / αβ = -b / c | ସିଧାସଳଖ ପରୀକ୍ଷା ସର୍ଟକଟ୍
α² + β² ର ମୂଲ୍ୟ | (α + β)² - 2αβ = (b² - 2ac) / a² | ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ସୂତ୍ର
୬. ନିଶ୍ଚିତ ବୋର୍ଡ ପରୀକ୍ଷା ପ୍ରଶ୍ନ ଓ ଆଦର୍ଶ ଉତ୍ତର (୧୦ ବର୍ଷର ଟ୍ରେଣ୍ଡ୍):
4x² - 2x + c = ୦ ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ୱୟ ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ (ସମାନ) ହେଲେ, c ର ମାନ ନିରୂପଣ କର।
ଆଦର୍ଶ ଉତ୍ତର:
ଦତ୍ତ ସମୀକରଣ: 4x² - 2x + c = ୦
ଏଠାରେ a = ୪, b = -୨, c = c
ମୂଳଦ୍ୱୟ ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ (ସମାନ) ହେବାର ସର୍ତ୍ତ ହେଉଛି: ପ୍ରଭେଦକ D = ୦
⇒ b² - 4ac = ୦
⇒ (-୨)² - 4 × 4 × c = ୦
⇒ ୪ - 16c = ୦
⇒ 16c = ୪
⇒ c = ୪ / ୧୬ = ୧ / ୪
ଉତ୍ତର: c ର ମାନ ୧/୪।
mx² - 2x + (2m - 1) = ୦ ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ୱୟର ଗୁଣଫଳ ୩ ହେଲେ, m ର ମାନ କେତେ?
ଆଦର୍ଶ ଉତ୍ତର:
ଦତ୍ତ ସମୀକରଣ: mx² - 2x + (2m - 1) = ୦
ଏଠାରେ a = m, b = -୨, c = 2m - 1
ମୂଳଦ୍ୱୟର ଗୁଣଫଳ ସୂତ୍ର: αβ = c / a
⇒ (2m - 1) / m = ୩
⇒ 2m - 1 = 3m
⇒ 2m - 3m = ୧
⇒ -m = ୧
⇒ m = -୧
ଉତ୍ତର: m ର ମାନ -୧।
ଗୋଟିଏ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ୱୟ ୩ ଓ -୫ ହେଲେ, ସମୀକରଣଟି ନିରୂପଣ କର।
ଆଦର୍ଶ ଉତ୍ତର:
ମୂଳଦ୍ୱୟ α = ୩ ଏବଂ β = -୫
ମୂଳଦ୍ୱୟର ସମଷ୍ଟି (α + β) = ୩ + (-୫) = -୨
ମୂଳଦ୍ୱୟର ଗୁଣଫଳ (αβ) = ୩ × (-୫) = -୧୫
ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ ଗଠନ ସୂତ୍ର:
x² - (α + β)x + αβ = ୦
⇒ x² - (-୨)x + (-୧୫) = ୦
⇒ x² + 2x - ୧୫ = ୦
ଉତ୍ତର: ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣଟି ହେଉଛି x² + 2x - 15 = 0।
ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତା ତାର ଭୂମିଠାରୁ ୭ ସେମି କମ୍। ଯଦି କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ୧୩ ସେମି ହୁଏ, ତେବେ ଅନ୍ୟ ଦୁଇ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
ଆଦର୍ଶ ଉତ୍ତର:
ମନେକର ଭୂମି = x ସେମି
ତେଣୁ ଉଚ୍ଚତା = (x - ୭) ସେମି
କର୍ଣ୍ଣ = ୧୩ ସେମି
ପିଥାଗୋରାସ୍ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁସାରେ:
(ଭୂମି)² + (ଉଚ୍ଚତା)² = (କର୍ଣ୍ଣ)²
⇒ x² + (x - ୭)² = ୧୩²
⇒ x² + x² - 14x + ୪୯ = ୧୬୯
⇒ 2x² - 14x + ୪୯ - ୧୬୯ = ୦
⇒ 2x² - 14x - ୧୨୦ = ୦
ଦୁଇ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ୨ ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ:
⇒ x² - 7x - ୬୦ = ୦
ମଧ୍ୟପଦ ବିଭାଜନ (ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ):
⇒ x² - 12x + 5x - ୬୦ = ୦
⇒ x(x - ୧୨) + 5(x - ୧୨) = ୦
⇒ (x - ୧୨)(x + ୫) = ୦
⇒ x = ୧୨ କିମ୍ବା x = -୫
ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଋଣାତ୍ମକ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ, ତେଣୁ x = ୧୨ ସେମି।
ଭୂମି = ୧୨ ସେମି ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା = ୧୨ - ୭ = ୫ ସେମି।
ଉତ୍ତର: ଅନ୍ୟ ଦୁଇ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ୧୨ ସେମି ଏବଂ ୫ ସେମି।
🤖 Have a Doubt in this Chapter?
Ask Gundulu AI Voice Tutor to explain any question in bilingual Odia & English with 24/7 step-by-step guidance!
🚀 Try Gundulu AI on Utkal Skill Centre App