ଶ୍ରେଣୀ ୧୦ ବୀଜଗଣିତ: ତୃତୀୟ ଅଧ୍ୟାୟ - ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି (ଉତ୍କଳ ମାଷ୍ଟର ଷ୍ଟ୍ରୋକ୍)
ପ୍ରିୟ ଦଶମ ଶ୍ରେଣୀ ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀ, ମାଟ୍ରିକ ବୋର୍ଡ ପରୀକ୍ଷାରେ ବୀଜଗଣିତର ତୃତୀୟ ଅଧ୍ୟାୟ "ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି" (Arithmetic Progression - A.P.) ରୁ ଶତପ୍ରତିଶତ ନମ୍ବର ହାସଲ କରିବା ପାଇଁ ସରକାରୀ ପାଠ୍ୟପୁସ୍ତକ (ଅନୁଶୀଳନୀ 3(a), 3(b) ଓ 3(c)) ର ନିର୍ଭୁଲ୍ ସମାଧାନ, ସମସ୍ତ ସୂତ୍ରାବଳୀ ଓ ପରୀକ୍ଷା ଉପଯୋଗୀ ସର୍ଟକଟ୍ ଏଠାରେ ସରଳ ଓ ଶୁଦ୍ଧ ଓଡ଼ିଆରେ ପ୍ରଦାନ କରାଗଲା।
୧. ପରୀକ୍ଷା ସର୍ଟକଟ୍ (୫-ସେକେଣ୍ଡ୍ ଟ୍ରିକ୍):
୨. ମନେରଖିବା କାହାଣୀ:
ସିଡ଼ି ଚଢ଼ିବା ନିୟମ:
ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି (A.P.) ହେଉଛି ଏକ ସିଡ଼ି। ପ୍ରଥମ ପାହାଚ ହେଉଛି 'a'। ପ୍ରତ୍ୟେକ ପରବର୍ତ୍ତୀ ପାହାଚକୁ ଯିବା ପାଇଁ ଆପଣଙ୍କୁ ସମାନ ଉଚ୍ଚତା 'd' (ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର) ଉପରକୁ ଉଠିବାକୁ ପଡ଼େ।
୩. ସବୁଠୁ ବଡ଼ ଭୁଲ୍ (୯୦% ପିଲା କରୁଥିବା ତ୍ରୁଟି):
୪. ବାସ୍ତବ ଜୀବନ ସହିତ ସମ୍ପର୍କ (୩୦-ସେକେଣ୍ଡ୍ ଉଦାହରଣ):
ଆପଣ ପ୍ରତି ମାସରେ ୧୦୦ ଟଙ୍କା ସଞ୍ଚୟ ଆରମ୍ଭ କଲେ ଏବଂ ପ୍ରତି ମାସରେ ୨୦ ଟଙ୍କା ଲେଖାଏଁ ବୃଦ୍ଧି କଲେ (୧୦୦, ୧୨୦, ୧୪୦...), ଏହା ଏକ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି। ଟ୍ୟାକ୍ସି ଭଡ଼ା (ପ୍ରଥମ କିଲୋମିଟର ପାଇଁ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଏବଂ ପରବର୍ତ୍ତୀ ପ୍ରତି କିଲୋମିଟର ପାଇଁ ସମାନ ଦର) ଏବଂ ବ୍ୟାଙ୍କ ଆର.ଡି (RD) ଜମାରେ ମଧ୍ୟ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିର ନିୟମ କାର୍ଯ୍ୟ କରେ।
୫. ଶେଷ ମୁହୂର୍ତ୍ତ ରିଭିଜନ୍ ସାରଣୀ:
ବିଷୟ / ନାମ | ଗାଣିତିକ ସୂତ୍ର | ମନ୍ତବ୍ୟ / ସର୍ତ୍ତ
ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର | d = t_k - t_(k-1) | ସର୍ବଦା ସମାନ ରହେ
n-ତମ ପଦ | t_n = a + (n - 1)d | a = ପ୍ରଥମ ପଦ, d = ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର
ସମଷ୍ଟି (ଶେଷ ପଦ ଜଣାଥିଲେ) | S_n = n/2 (a + l) | l = ଶେଷ ପଦ (t_n)
ସମଷ୍ଟି (ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର ଜଣାଥିଲେ) | S_n = n/2 [2a + (n - 1)d] | ମୁଖ୍ୟ ସମଷ୍ଟି ସୂତ୍ର
ପ୍ରଥମ n ଗୋଟି ଗଣନସଂଖ୍ୟା ସମଷ୍ଟି | Σn = n(n + 1) / ୨ | ୧ + ୨ + ୩ + ... + n
ପ୍ରଥମ n ଗୋଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ସମଷ୍ଟି | S_n = n² | ୧ + ୩ + ୫ + ... + (2n - 1)
ପ୍ରଥମ n ଗୋଟି ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ସମଷ୍ଟି | S_n = n(n + 1) | ୨ + ୪ + ୬ + ... + 2n
ବର୍ଗଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି | Σn² = n(n + 1)(2n + 1) / ୬ | ୧² + ୨² + ୩² + ... + n²
ଘନଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି | Σn³ = [n(n + 1) / ୨]² = (Σn)² | ୧³ + ୨³ + ୩³ + ... + n³
ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ (A.M.) | x = (a + b) / ୨ | a, x, b ପ୍ରଗତିରେ ରହିଲେ 2x = a + b
୬. ନିଶ୍ଚିତ ବୋର୍ଡ ପରୀକ୍ଷା ପ୍ରଶ୍ନ ଓ ଆଦର୍ଶ ଉତ୍ତର (୧୦ ବର୍ଷର ଟ୍ରେଣ୍ଡ୍):
୩, x, ୯ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିରେ ରହିଲେ, x ର ମାନ କେତେ?
ଆଦର୍ଶ ଉତ୍ତର:
ଦତ୍ତ ଅନୁକ୍ରମ: ୩, x, ୯ A.P. ରେ ଅଛନ୍ତି।
ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିର ନିୟମ ଅନୁଯାୟୀ:
ଦ୍ୱିତୀୟ ପଦ - ପ୍ରଥମ ପଦ = ତୃତୀୟ ପଦ - ଦ୍ୱିତୀୟ ପଦ
⇒ x - ୩ = ୯ - x
⇒ x + x = ୯ + ୩
⇒ 2x = ୧୨
⇒ x = ୧୨ / ୨ = ୬
ଉତ୍ତର: x ର ମାନ ୬।
-୫, -୩, -୧, ୧, ... ଅନୁକ୍ରମରେ ୧୧-ତମ ପଦ (t₁₁) ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
ଆଦର୍ଶ ଉତ୍ତର:
ଦତ୍ତ ଅନୁକ୍ରମ: -୫, -୩, -୧, ୧, ...
ଏଠାରେ ପ୍ରଥମ ପଦ (a) = -୫
ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର (d) = -୩ - (-୫) = -୩ + ୫ = ୨
ପଦ ସଂଖ୍ୟା (n) = ୧୧
ଆମେ ଜାଣୁ, t_n = a + (n - 1)d
⇒ t₁₁ = -୫ + (୧୧ - ୧) × ୨
⇒ t₁₁ = -୫ + ୧୦ × ୨
⇒ t₁₁ = -୫ + ୨୦ = ୧୫
ଉତ୍ତର: ୧୧-ତମ ପଦଟି ହେଉଛି ୧୫।
୧ + ୨ + ୩ + ... ର ପ୍ରଥମ ୩୦ ଟି ପଦର ଯୋଗଫଳ (S₃₀) କେତେ?
ଆଦର୍ଶ ଉତ୍ତର:
ଏହା ପ୍ରଥମ ୩୦ ଟି ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ।
ସୂତ୍ର: S_n = n(n + 1) / ୨
ଏଠାରେ n = ୩୦
⇒ S₃₀ = ୩୦ × (୩୦ + ୧) / ୨
⇒ S₃₀ = ୩୦ × ୩୧ / ୨
⇒ S₃₀ = ୧୫ × ୩୧ = ୪୬୫
ଉତ୍ତର: ପ୍ରଥମ ୩୦ ଟି ପଦର ଯୋଗଫଳ ୪୬୫।
ଗୋଟିଏ ଅନୁକ୍ରମର n-ତମ ପଦ t_n = 3n + 2 ହେଲେ, S₆₁ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
ଆଦର୍ଶ ଉତ୍ତର:
ଦତ୍ତ ଅଛି: t_n = 3n + 2
ପ୍ରଥମ ପଦ a = t₁ = ୩(୧) + ୨ = ୫
ଦ୍ୱିତୀୟ ପଦ t₂ = ୩(୨) + ୨ = ୮
ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର d = t₂ - t₁ = ୮ - ୫ = ୩
୬୧-ତମ ପଦ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଯୋଗଫଳ (S₆₁):
ସୂତ୍ର: S_n = n/2 [2a + (n - 1)d]
⇒ S₆₁ = ୬୧/୨ [୨(୫) + (୬୧ - ୧) × ୩]
⇒ S₆₁ = ୬୧/୨ [୧୦ + ୬୦ × ୩]
⇒ S₆₁ = ୬୧/୨ [୧୦ + ୧୮୦]
⇒ S₆₁ = ୬୧/୨ × ୧୯୦
⇒ S₆₁ = ୬୧ × ୯୫ = ୫୭୯୫
ଉତ୍ତର: S₆₁ ର ମାନ ୫୭୯୫।
ଏକ A.P. ର a = ୩, d = ୪ ଏବଂ S_n = ୯୦୩ ହେଲେ, n ର ମାନ କେତେ?
ଆଦର୍ଶ ଉତ୍ତର:
ଦତ୍ତ ଅଛି: a = ୩, d = ୪, S_n = ୯୦୩
ଆମେ ଜାଣୁ, S_n = n/2 [2a + (n - 1)d]
⇒ ୯୦୩ = n/2 [୨(୩) + (n - ୧) × ୪]
⇒ ୯୦୩ = n/2 [୬ + 4n - ୪]
⇒ ୯୦୩ = n/2 [4n + ୨]
⇒ ୯୦୩ = n(2n + ୧)
⇒ 2n² + n - ୯୦୩ = ୦
ଏହା ଏକ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ। ଏଠାରେ a = ୨, b = ୧, c = -୯୦୩
n = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a
⇒ n = [-୧ ± √(୧² - ୪ × ୨ × (-୯୦୩))] / (୨ × ୨)
⇒ n = [-୧ ± √(୧ + ୭୨୨୪)] / ୪
⇒ n = [-୧ ± √୭୨୨୫] / ୪
⇒ n = [-୧ ± ୮୫] / ୪
ଯେହେତୁ ପଦ ସଂଖ୍ୟା n ସର୍ବଦା ଧନାତ୍ମକ:
⇒ n = (-୧ + ୮୫) / ୪ = ୮୪ / ୪ = ୨୧
ଉତ୍ତର: n ର ମାନ ୨୧।
🤖 Have a Doubt in this Chapter?
Ask Gundulu AI Voice Tutor to explain any question in bilingual Odia & English with 24/7 step-by-step guidance!
🚀 Try Gundulu AI on Utkal Skill Centre App