📚 E-Library 📱 Open in App
BSE ODISHA CLASS 10 • UTKAL MASTER STROKE

ଶ୍ରେଣୀ ୧୦ ବୀଜଗଣିତ: ଚତୁର୍ଥ ଅଧ୍ୟାୟ - ସମ୍ଭାବ୍ୟତା (ଉତ୍କଳ ମାଷ୍ଟର ଷ୍ଟ୍ରୋକ୍)

ପ୍ରିୟ ଦଶମ ଶ୍ରେଣୀ ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀ, ମାଟ୍ରିକ ବୋର୍ଡ ପରୀକ୍ଷାରେ ବୀଜଗଣିତର ଚତୁର୍ଥ ଅଧ୍ୟାୟ "ସମ୍ଭାବ୍ୟତା" (Probability) ରୁ ସମସ୍ତ ପ୍ରଶ୍ନର ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର ଦେବା ପାଇଁ ସରକାରୀ ପାଠ୍ୟପୁସ୍ତକ (ଅନୁଶୀଳନୀ 4(a) ଓ 4(b)) ର ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ନିର୍ଭୁଲ୍ ସମାଧାନ, ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ଓ ସର୍ଟକଟ୍ ଏଠାରେ ସରଳ ଓ ଶୁଦ୍ଧ ଓଡ଼ିଆରେ ଉପସ୍ଥାପନ କରାଗଲା।

୧. ପରୀକ୍ଷା ସର୍ଟକଟ୍ (୫-ସେକେଣ୍ଡ୍ ଟ୍ରିକ୍):

  • ସମ୍ଭାବ୍ୟତାର ସୀମା:
  • ଯେକୌଣସି ଘଟଣା E ପାଇଁ: ୦ ≤ P(E) ≤ ୧। ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କେବେହେଲେ ଋଣାତ୍ମକ ବା ୧ ରୁ ଅଧିକ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ।
  • ଅସମ୍ଭବ ଘଟଣାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା: P(ϕ) = ୦।
  • ନିଶ୍ଚିତ ଘଟଣାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା: P(S) = ୧।
  • ପରିପୂରକ ଘଟଣାର ସର୍ଟକଟ୍:
  • ଘଟଣା ନ ଘଟିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା: P(E') = ୧ - P(E)।
  • ଉଦାହରଣ: P(E) = ୦.୦୫ ହେଲେ, P(E') = ୧ - ୦.୦୫ = ୦.୯୫।
  • ସାମ୍ପଲ୍ ସ୍ପେସ୍‌ର ମୋଟ ଫଳାଫଳ ସଂଖ୍ୟା (|S|):
  • n ଥର ମୁଦ୍ରା ଟସ୍ କଲେ: |S| = 2ⁿ (ଗୋଟିଏ ମୁଦ୍ରା = ୨, ଦୁଇଟି ମୁଦ୍ରା = ୪, ତିନୋଟି ମୁଦ୍ରା = ୮)।
  • n ଥର ଲୁଡୁଗୋଟି ଗଡ଼ାଇଲେ: |S| = 6ⁿ (ଗୋଟିଏ ଲୁଡୁଗୋଟି = ୬, ଦୁଇଟି ଲୁଡୁଗୋଟି = ୩୬)।
  • ପରସ୍ପର ବହିର୍ଭୂତ ଘଟଣା (Mutually Exclusive Events):
  • ଯଦି E₁ ∩ E₂ = ϕ ହୁଏ, ତେବେ P(E₁ ∪ E₂) = P(E₁) + P(E₂)।

    • ୨. ମନେରଖିବା କାହାଣୀ:

    ଜଳ ଏବଂ ସ୍ଥଳର କାହାଣୀ:

    ସାମ୍ପଲ୍ ସ୍ପେସ୍ 'S' ହେଉଛି ସମଗ୍ର ପୃଥିବୀ (୧୦୦% ବା ମାନ = ୧)।

  • ଯଦି ତୁମେ ଜଳଭାଗ (ଘଟଣା E) ରେ ଅଛ, ତେବେ ତୁମେ ସ୍ଥଳଭାଗ (ପରିପୂରକ E') ରେ ରହିପାରିବ ନାହିଁ (ପରସ୍ପର ବହିର୍ଭୂତ)।
  • ଦୁହିଁଙ୍କର ଯୋଗଫଳ ସର୍ବଦା ପୂର୍ଣ୍ଣ ପୃଥିବୀ ହେବ: P(ଜଳ) + P(ସ୍ଥଳ) = ୧।
  • ଆକାଶରୁ ଖସିଲେ ତୁମେ ପୃଥିବୀ ଉପରେ ହିଁ ପଡ଼ିବ (ନିଶ୍ଚିତ ଘଟଣା = ୧) ଏବଂ ପୃଥିବୀ ବାହାରକୁ ଚାଲିଯିବା ଅସମ୍ଭବ (ଅସମ୍ଭବ ଘଟଣା = ୦)।

    • ୩. ସବୁଠୁ ବଡ଼ ଭୁଲ୍ (୯୦% ପିଲା କରୁଥିବା ତ୍ରୁଟି):

  • "ଅତି କମ୍‌ରେ" (At least) ଏବଂ "ଅତି ବେଶିରେ" (At most) ମଧ୍ୟରେ ଦ୍ୱନ୍ଦ୍ୱ:
  • "ଅତି କମ୍‌ରେ ଗୋଟିଏ H" ଅର୍ଥ: ୧ ଟି H କିମ୍ବା ତା'ଠାରୁ ଅଧିକ (୧ ବା ୨ ବା ୩ ଟି H)।
  • "ଅତି ବେଶିରେ ଗୋଟିଏ H" ଅର୍ଥ: ସର୍ବାଧିକ ୧ ଟି H କିମ୍ବା ଶୂନ ଟି H (କୌଣସି H ନାହିଁ)।
  • ଲୁଡୁଗୋଟି ଗଡ଼ାଇବାରେ ମୋଟ ଫଳାଫଳ:
  • ଦୁଇଟି ଲୁଡୁଗୋଟି ଏକତ୍ର ଗଡ଼ାଇଲେ ମୋଟ ଫଳାଫଳ ୬ + ୬ = ୧୨ ନୁହେଁ, ବରଂ ୬ × ୬ = ୩୬।
  • ତିନୋଟି ମୁଦ୍ରା ଟସ୍ କଲେ ମୋଟ ଫଳାଫଳ:
  • ୩² = ୯ ନୁହେଁ, ବରଂ ୨³ = ୮।

    • ୪. ବାସ୍ତବ ଜୀବନ ସହିତ ସମ୍ପର୍କ (୩୦-ସେକେଣ୍ଡ୍ ଉଦାହରଣ):

    ଆଜି ବର୍ଷା ହେବ କି ନାହିଁ ପାଣିପାଗ ବିଭାଗର ପୂର୍ବାନୁମାନ (ଯଥା ୭୦% ବର୍ଷା ସମ୍ଭାବନା = ୦.୭), କ୍ରିକେଟ୍ ମ୍ୟାଚ୍ ପୂର୍ବରୁ ଟସ୍ ଜିତିବା (ସମ୍ଭାବ୍ୟତା = ୧/୨), ବୀମା କମ୍ପାନୀଗୁଡ଼ିକର ବିପଦ ଗଣନା ଏବଂ ଲଟେରୀ ଜିତିବାର ହିସାବ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଭାବେ ଏହି ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ତତ୍ତ୍ୱ ଉପରେ ନିର୍ଭର କରେ।

    ୫. ଶେଷ ମୁହୂର୍ତ୍ତ ରିଭିଜନ୍ ସାରଣୀ:

    ସଂକଳ୍ପ / ସୂତ୍ର | ଗାଣିତିକ ରୂପ | ମନ୍ତବ୍ୟ / ସର୍ତ୍ତ

    ସମ୍ଭାବ୍ୟତାର ମୂଳ ସୂତ୍ର | P(E) = |E| / |S| | |E| = ଅନୁକୂଳ ଫଳାଫଳ, |S| = ମୋଟ ଫଳାଫଳ

    ସମ୍ଭାବ୍ୟତାର ପରିସର | ୦ ≤ P(E) ≤ ୧ | ଋଣାତ୍ମକ ବା >୧ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ

    ଅସମ୍ଭବ ଘଟଣା | P(ϕ) = ୦ | କେବେ ଘଟିପାରିବ ନାହିଁ

    ନିଶ୍ଚିତ ଘଟଣା | P(S) = ୧ | ନିଶ୍ଚିତ ରୂପେ ଘଟିବ

    ପରିପୂରକ ଘଟଣା | P(E') = ୧ - P(E) | P(E) + P(E') = ୧

    ସଂଯୋଗ ନିୟମ | P(E₁ ∪ E₂) = P(E₁) + P(E₂) - P(E₁ ∩ E₂) | ସାଧାରଣ ନିୟମ

    ବହିର୍ଭୂତ ଘଟଣା | P(E₁ ∪ E₂) = P(E₁) + P(E₂) | E₁ ∩ E₂ = ϕ ହେଲେ

    କେବଳ E₁ ଘଟିବା | P(E₁ ∩ E₂') = P(E₁) - P(E₁ ∩ E₂) | E₁ ଘଟିବ କିନ୍ତୁ E₂ ନୁହେଁ

    ୬. ନିଶ୍ଚିତ ବୋର୍ଡ ପରୀକ୍ଷା ପ୍ରଶ୍ନ ଓ ଆଦର୍ଶ ଉତ୍ତର (୧୦ ବର୍ଷର ଟ୍ରେଣ୍ଡ୍):

    ପ୍ରଶ୍ନ ୧ (ପାଠ୍ୟପୁସ୍ତକ ଅନୁଶୀଳନୀ 4a, ପ୍ରଶ୍ନ ୧-iv):

    ମିଲି ଓ ଲିମା ଟେନିସ୍ ଖେଳୁଥିଲେ। ଯଦି ଖେଳରେ ମିଲି ଜିଣିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ୦.୬୨ ହୁଏ, ତେବେ ଲିମା ହାରିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କେତେ?

    ଆଦର୍ଶ ଉତ୍ତର:

    ମନେକର ଘଟଣା E ହେଉଛି ମିଲି ଜିଣିବା।

    ଦତ୍ତ ଅଛି: P(E) = ୦.୬୨

    ମିଲି ଜିଣିଲେ ଲିମା ହାରିବ। ତେଣୁ ଲିମା ହାରିବା ଘଟଣାଟି ମିଲି ଜିଣିବା ଘଟଣା ସହିତ ସମାନ।

    ପ୍ରଶ୍ନରେ ଯଦି ଲିମା ଜିତିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା (ଅର୍ଥାତ୍ ମିଲି ହାରିବା) ପଚରାଯାଏ, ତେବେ ପରିପୂରକ ଘଟଣା E' ହେବ।

    ଲିମା ଜିତିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା P(E') = ୧ - P(E) = ୧ - ୦.୬୨ = ୦.୩୮।

    ଏବଂ ଲିମା ହାରିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା = ମିଲି ଜିଣିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା = ୦.୬୨।

    ଉତ୍ତର: ଲିମା ହାରିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ୦.୬୨ (ଏବଂ ଲିମା ଜିତିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ୦.୩୮)।

    ପ୍ରଶ୍ନ ୨ (ପାଠ୍ୟପୁସ୍ତକ ଅନୁଶୀଳନୀ 4a, ପ୍ରଶ୍ନ ୨):

    ଗୋଟିଏ ବାକ୍ସରେ ୩ ଟି ନୀଳ, ୨ ଟି ଧଳା ଓ ୪ ଟି ଲାଲ ମାର୍ବଲ ରହିଛି। ସେଥିରୁ ଗୋଟିଏ ମାର୍ବଲ ଯଦୃଚ୍ଛା ବାହାର କଲେ, ତାହା (i) ଧଳା, (ii) ନୀଳ, (iii) ଲାଲ ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କେତେ?

    ଆଦର୍ଶ ଉତ୍ତର:

    ବାକ୍ସରେ ଥିବା ମୋଟ ମାର୍ବଲ ସଂଖ୍ୟା |S| = ୩ + ୨ + ୪ = ୯

    (i) ଧଳା ମାର୍ବଲ ଆସିବା ଘଟଣା E₁:

    ଧଳା ମାର୍ବଲ ସଂଖ୍ୟା |E₁| = ୨

    ⇒ P(E₁) = |E₁| / |S| = ୨/୯

    (ii) ନୀଳ ମାର୍ବଲ ଆସିବା ଘଟଣା E₂:

    ନୀଳ ମାର୍ବଲ ସଂଖ୍ୟା |E₂| = ୩

    ⇒ P(E₂) = |E₂| / |S| = ୩/୯ = ୧/୩

    (iii) ଲାଲ ମାର୍ବଲ ଆସିବା ଘଟଣା E₃:

    ଲାଲ ମାର୍ବଲ ସଂଖ୍ୟା |E₃| = ୪

    ⇒ P(E₃) = |E₃| / |S| = ୪/୯

    ପ୍ରଶ୍ନ ୩ (ପାଠ୍ୟପୁସ୍ତକ ଅନୁଶୀଳନୀ 4b, ପ୍ରଶ୍ନ ୯-i):

    ଦୁଇଟି ମୁଦ୍ରାକୁ ଏକତ୍ର ଥରେ ଟସ୍ କରାଗଲେ, "ଅତି କମ୍‌ରେ ଗୋଟିଏ H" ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣ କର।

    ଆଦର୍ଶ ଉତ୍ତର:

    ଦୁଇଟି ମୁଦ୍ରା ଟସ୍ କଲେ ସାମ୍ପଲ୍ ସ୍ପେସ୍:

    S = {HH, HT, TH, TT}

    ତେଣୁ ମୋଟ ଫଳାଫଳ ସଂଖ୍ୟା |S| = ୪

    ଘଟଣା E = "ଅତି କମ୍‌ରେ ଗୋଟିଏ H"

    ଅନୁକୂଳ ଫଳାଫଳଗୁଡ଼ିକ: E = {HH, HT, TH}

    ତେଣୁ |E| = ୩

    ସମ୍ଭାବ୍ୟତା P(E) = |E| / |S| = ୩/୪

    ଉତ୍ତର: ଅତି କମ୍‌ରେ ଗୋଟିଏ H ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ୩/୪।

    ପ୍ରଶ୍ନ ୪ (ପାଠ୍ୟପୁସ୍ତକ ଅନୁଶୀଳନୀ 4b, ପ୍ରଶ୍ନ ୧୧-i, iv):

    ଗୋଟିଏ ଲୁଡୁଗୋଟିକୁ ଦୁଇଥର ଗଡ଼ାଇଲେ:

    (a) ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟିର ଯୋଗଫଳ ୬ ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କେତେ?

    (b) ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟିର ଯୋଗଫଳ > ୧୦ ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କେତେ?

    ଆଦର୍ଶ ଉତ୍ତର:

    ଲୁଡୁଗୋଟିକୁ ଦୁଇଥର ଗଡ଼ାଇଲେ ମୋଟ ଫଳାଫଳ ସଂଖ୍ୟା |S| = ୬² = ୩୬

    (a) ଯୋଗଫଳ ୬ ହେବା ଘଟଣା E₁:

    ଅନୁକୂଳ ଫଳାଫଳ: E₁ = {(୧, ୫), (୨, ୪), (୩, ୩), (୪, ୨), (୫, ୧)}

    ତେଣୁ |E₁| = ୫

    ⇒ P(E₁) = ୫/୩୬

    (b) ଯୋଗଫଳ > ୧୦ (ଅର୍ଥାତ୍ ୧୧ ବା ୧୨) ହେବା ଘଟଣା E₂:

    ଅନୁକୂଳ ଫଳାଫଳ: E₂ = {(୫, ୬), (୬, ୫), (୬, ୬)}

    ତେଣୁ |E₂| = ୩

    ⇒ P(E₂) = ୩/୩୬ = ୧/୧୨

    ଉତ୍ତର: (a) ୫/୩୬ ଏବଂ (b) ୧/୧୨।

    ପ୍ରଶ୍ନ ୫ (ପାଠ୍ୟପୁସ୍ତକ ଅନୁଶୀଳନୀ 4b, ପ୍ରଶ୍ନ ୧୩):

    ଯଦି P(E₁) = ୫/୮, P(E₂) = ୩/୮ ଏବଂ P(E₁ ∩ E₂) = ୧/୮ ହୁଏ, ତେବେ P(E₁ ∪ E₂) ଏବଂ P(E₁ ∩ E₂') ସ୍ଥିର କର।

    ଆଦର୍ଶ ଉତ୍ତର:

    (i) ସଂଯୋଗ ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ:

    P(E₁ ∪ E₂) = P(E₁) + P(E₂) - P(E₁ ∩ E₂)

    = ୫/୮ + ୩/୮ - ୧/୮

    = (୫ + ୩ - ୧) / ୮ = ୭/୮

    (ii) କେବଳ E₁ ଘଟିବା ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ:

    P(E₁ ∩ E₂') = P(E₁) - P(E₁ ∩ E₂)

    = ୫/୮ - ୧/୮ = ୪/୮ = ୧/୨

    ଉତ୍ତର: P(E₁ ∪ E₂) = ୭/୮ ଏବଂ P(E₁ ∩ E₂') = ୧/୨।

    🤖 Have a Doubt in this Chapter?

    Ask Gundulu AI Voice Tutor to explain any question in bilingual Odia & English with 24/7 step-by-step guidance!

    🚀 Try Gundulu AI on Utkal Skill Centre App