(-୩, ୦) ଓ (୫, ୬) ବିନ୍ଦୁଦ୍ୱୟ ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

ଆଦର୍ଶ ଉତ୍ତର:

ମନେକର P₁(x₁, y₁) = (-୩, ୦) ଏବଂ P₂(x₂, y₂) = (୫, ୬)

ଦୂରତା ସୂତ୍ର: D = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]

⇒ D = √[(୫ - (-୩))² + (୬ - ୦)²]

⇒ D = √[(୫ + ୩)² + ୬²]

⇒ D = √[୮² + ୬²]

⇒ D = √[୬୪ + ୩୬]

⇒ D = √୧୦୦ = ୧୦ ଏକକ

ଉତ୍ତର: ବିନ୍ଦୁଦ୍ୱୟ ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା ୧୦ ଏକକ।

(୦, ୨) ଓ (୨, ୦) ବିନ୍ଦୁଦ୍ୱୟର ସଂଯୋଜକ ରେଖାଖଣ୍ଡକୁ ୧ : ୨ ଅନୁପାତରେ ଅନ୍ତର୍ବିଭାଜନ କରୁଥିବା ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

ଆଦର୍ଶ ଉତ୍ତର:

ଏଠାରେ (x₁, y₁) = (୦, ୨), (x₂, y₂) = (୨, ୦) ଏବଂ ଅନୁପାତ m : n = ୧ : ୨

ଅନ୍ତର୍ବିଭାଜନ ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ:

x = (mx₂ + nx₁) / (m + n) = (୧(୨) + ୨(୦)) / (୧ + ୨) = (୨ + ୦) / ୩ = ୨/୩

y = (my₂ + ny₁) / (m + n) = (୧(୦) + ୨(୨)) / (୧ + ୨) = (୦ + ୪) / ୩ = ୪/୩

ଉତ୍ତର: ବିଭାଜନ ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ (୨/୩, ୪/୩)।

ଯଦି (୧, -୨) ବିନ୍ଦୁଟି (୪, ୨) ଓ (k, -୬) ବିନ୍ଦୁଦ୍ୱୟର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ହୁଏ, ତେବେ k ର ମାନ ନିରୂପଣ କର।

ଆଦର୍ଶ ଉତ୍ତର:

ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର x-ସ୍ଥାନାଙ୍କ = (x₁ + x₂) / ୨

ଦତ୍ତ ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର x-ସ୍ଥାନାଙ୍କ = ୧

⇒ (୪ + k) / ୨ = ୧

⇒ ୪ + k = ୨

⇒ k = ୨ - ୪ = -୨

ଉତ୍ତର: k ର ମାନ -୨।

k ର କେଉଁ ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ (୨, ୩), (୩, k) ଏବଂ (୫, ୯) ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ ଏକ ସରଳରେଖା ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ (ଏକରେଖୀୟ) ହେବେ?

ଆଦର୍ଶ ଉତ୍ତର:

ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ ଏକରେଖୀୟ ହେବାର ସର୍ତ୍ତ:

x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂) = ୦

ଏଠାରେ (x₁, y₁) = (୨, ୩), (x₂, y₂) = (୩, k), (x₃, y₃) = (୫, ୯)

⇒ ୨(k - ୯) + ୩(୯ - ୩) + ୫(୩ - k) = ୦

⇒ 2k - ୧୮ + ୩(୬) + ୧୫ - 5k = ୦

⇒ 2k - ୧୮ + ୧୮ + ୧୫ - 5k = ୦

⇒ -3k + ୧୫ = ୦

⇒ 3k = ୧୫

⇒ k = ୧୫ / ୩ = ୫

ଉତ୍ତର: k ର ମାନ ୫।

ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କର ସ୍ଥାନାଙ୍କ (୧, -୩), (୨, -୫) ଓ (x, ୧) ଏବଂ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ୪ ବର୍ଗ ଏକକ ହେଲେ, x ର ମାନ ନିରୂପଣ କର।

ଆଦର୍ଶ ଉତ୍ତର:

ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ୧/୨ |x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)| = ୪

⇒ |୧(-୫ - ୧) + ୨(୧ - (-୩)) + x(-୩ - (-୫))| = ୮

⇒ |୧(-୬) + ୨(୪) + x(୨)| = ୮

⇒ |-୬ + ୮ + 2x| = ୮

⇒ |୨ + 2x| = ୮

ଏଥିରୁ ଦୁଇଟି ସମ୍ଭାବନା ମିଳେ:

(i) ୨ + 2x = ୮ ⇒ 2x = ୬ ⇒ x = ୩

(ii) ୨ + 2x = -୮ ⇒ 2x = -୧୦ ⇒ x = -୫

ଉତ୍ତର: x ର ମାନ ୩ ବା -୫।