ଅଧ୍ୟାୟ: Class9 Geometry Ch01 Rekha O Kona

BSE ODISHA CLASS 9 • UTKAL MASTER STROKE

ବୋର୍ଡ ଅଫ୍ ସେକେଣ୍ଡାରୀ ଏଜୁକେସନ୍ (BSE Odisha) — ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଅଧ୍ୟାୟ ମାଷ୍ଟର ନୋଟ୍ସ

ଶ୍ରେଣୀ: Class 9 | ବିଷୟ: Geometry

୧. ଅଧ୍ୟାୟର ସାରାଂଶ ଓ ମାଇଣ୍ଡ ମ୍ୟାପ୍ (Mind Map & Conceptual Architecture)

ଏହି ଅଧ୍ୟାୟଟି ଜ୍ୟାମିତିର ମୌଳିକ ଧାରଣା, ଯଥା ବିନ୍ଦୁ, ରେଖା, ସମତଳ ଏବଂ କୋଣ ଉପରେ ଆଧାରିତ । ଏହା ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀମାନଙ୍କୁ ଜ୍ୟାମିତିକ ସିଦ୍ଧାନ୍ତଗୁଡ଼ିକୁ ବୁଝିବା ପାଇଁ ଏକ ଦୃଢ଼ ଭିତ୍ତିଭୂମି ପ୍ରଦାନ କରେ ।

ମୁଖ୍ୟ ଧାରଣାଗୁଡ଼ିକ:

ମୌଳିକ ପଦ (Undefined Terms): ବିନ୍ଦୁ, ରେଖା ଓ ସମତଳ ହେଉଛନ୍ତି ଜ୍ୟାମିତିର ମୌଳିକ ପଦ, ଯାହାର କୌଣସି ସଂଜ୍ଞା ନାହିଁ ।

ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ (Axioms): ଏଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି ସତ୍ୟ ବୋଲି ଗ୍ରହଣ କରାଯାଇଥିବା ମୌଳିକ ତଥ୍ୟ, ଯାହାକୁ ପ୍ରମାଣ କରିବାର ଆବଶ୍ୟକତା ନାହିଁ ।

ଦୁଇଟି ପୃଥକ୍ ବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟଦେଇ କେବଳ ଗୋଟିଏ ସରଳରେଖା ଯାଇପାରେ ।

ତିନୋଟି ନୈକରେଖୀ ବିନ୍ଦୁ ଏକମାତ୍ର ସମତଳ ନିର୍ଦ୍ଧାରଣ କରନ୍ତି ।

ରୁଲର୍ ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ: ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତାକୁ ଏକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ପ୍ରକାଶ କରାଯାଏ ।

ପ୍ରୋଟାକ୍ଟର ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ: କୋଣର ପରିମାଣକୁ ଏକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ପ୍ରକାଶ କରାଯାଏ ।

ସମତଳ-ବିଭାଜନ ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ: ଏକ ସରଳରେଖା ସମତଳକୁ ଦୁଇଟି ଅର୍ଦ୍ଧସମତଳରେ ବିଭାଜିତ କରେ ।

ସମାନ୍ତର ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ: ଏକ ସରଳରେଖାର ବହିଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟଦେଇ ତାହାପ୍ରତି କେବଳ ଗୋଟିଏ ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖା ଅଙ୍କନ କରାଯାଇପାରେ ।

ରେଖାଖଣ୍ଡ (Segment): ଦୁଇଟି ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କର ସମାହାର ।

ରଶ୍ମି (Ray): ଗୋଟିଏ ଆଦ୍ୟବିନ୍ଦୁରୁ ଆରମ୍ଭ ହୋଇ ଗୋଟିଏ ଦିଗରେ ଅସୀମ ଭାବରେ ବିସ୍ତୃତ ।

କୋଣ (Angle): ଗୋଟିଏ ସାଧାରଣ ଆଦ୍ୟବିନ୍ଦୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଦୁଇଟି ରଶ୍ମିର ସଂଯୋଗ ।

କୋଣର ପ୍ରକାରଭେଦ: ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣ, ସମକୋଣ, ସ୍ଥୂଳକୋଣ ।

କୋଣର ସମ୍ପର୍କ: ଅନୁପୂରକ, ପରିପୂରକ, ସନ୍ନିହିତ, ପ୍ରତୀପ କୋଣ ।

ସମାନ୍ତର ରେଖା (Parallel Lines): ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦ ନକରୁଥିବା ସମତଳସ୍ଥ ରେଖା ।

ଛେଦକ (Transversal): ଦୁଇ ବା ତତୋଽଧିକ ରେଖାକୁ ଛେଦ କରୁଥିବା ରେଖା ।

ଛେଦକ ଦ୍ୱାରା ସୃଷ୍ଟି କୋଣ: ଏକାନ୍ତର, ଅନୁରୂପ, ଅନ୍ତଃସୁ ଓ ବହିଃସୁ କୋଣ ।

ତ୍ରିଭୁଜ (Triangle):

ତ୍ରିଭୁଜର ତିନିକୋଣର ସମଷ୍ଟି ୧୮୦° ।

ବହିଃସୁକୋଣ: ଏହାର ଅନ୍ତଃସୁ ଦୂରବର୍ତ୍ତୀ କୋଣଦ୍ୱୟର ସମଷ୍ଟି ସହ ସମାନ ।

ମାଇଣ୍ଡ ମ୍ୟାପ୍:

```

ଜ୍ୟାମିତିର ମୌଳିକ ଧାରଣା

├── ମୌଳିକ ପଦ (ବିନ୍ଦୁ, ରେଖା, ସମତଳ)

├── ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ (Axioms)

│ ├── ଦୁଇ ବିନ୍ଦୁ → ଏକ ରେଖା

│ ├── ତିନି ନୈକରେଖୀ ବିନ୍ଦୁ → ଏକ ସମତଳ

│ ├── ରୁଲର୍ ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ (ଦୂରତା)

│ ├── ପ୍ରୋଟାକ୍ଟର ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ (କୋଣ ପରିମାଣ)

│ ├── ସମତଳ-ବିଭାଜନ ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ

│ └── ସମାନ୍ତର ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ

├── ରେଖା ଓ ରେଖାଖଣ୍ଡ

│ ├── ରେଖାଖଣ୍ଡ (Segment)

│ │ ├── ଦୈର୍ଘ୍ୟ (Length)

│ │ └── ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ (Mid-point)

│ ├── ରଶ୍ମି (Ray)

│ │ └── ବିପରୀତ ରଶ୍ମି (Opposite Rays)

│ └── ଏକରେଖୀ ଓ ନୈକରେଖୀ ବିନ୍ଦୁ/ରଶ୍ମି

├── କୋଣ (Angle)

│ ├── ସଂଜ୍ଞା (ରଶ୍ମିର ସଂଯୋଗ)

│ ├── ଅନ୍ତର୍ଦେଶ ଓ ବହିର୍ଦେଶ

│ ├── ପ୍ରକାରଭେଦ (ସୂକ୍ଷ୍ମ, ସମ, ସ୍ଥୂଳ)

│ ├── ସମ୍ପର୍କ (ଅନୁପୂରକ, ପରିପୂରକ, ସନ୍ନିହିତ, ପ୍ରତୀପ)

│ ├── କୋଣ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ

│ └── ଲମ୍ବ ରେଖା ଓ ଲମ୍ବ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ

├── ସମାନ୍ତର ରେଖା ଓ ଛେଦକ

│ ├── ସମାନ୍ତର ରେଖାର ସଂଜ୍ଞା

│ ├── ଛେଦକ ଦ୍ୱାରା ସୃଷ୍ଟି କୋଣ

│ │ ├── ଏକାନ୍ତର କୋଣ

│ │ ├── ଅନୁରୂପ କୋଣ

│ │ └── ଅନ୍ତଃସୁ କୋଣ

│ └── ସମାନ୍ତର ରେଖାର ଧର୍ମାବଳୀ (ଉପପାଦ୍ୟ)

└── ତ୍ରିଭୁଜ ଓ ଏହାର କୋଣ

├── ତ୍ରିଭୁଜର କୋଣ ସମଷ୍ଟି (୧୮୦°)

└── ବହିଃସୁକୋଣ ଧର୍ମ

୨. ମୁଖ୍ୟ ବିଷୟବସ୍ତୁ, ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ଓ ଗାଣିତିକ ସୂତ୍ରାବଳୀ (Comprehensive Theory & Formulas)

୧.୧ ଉପକ୍ରମଣିକା (Introduction):

ଜ୍ୟାମିତି ଶାସ୍ତ୍ରର ଉଦ୍ଭବ ମାନବ ସଭ୍ୟତାର ଆବଶ୍ୟକତା ଓ କୌତୁହଳରୁ ହୋଇଛି । 'ଜ୍ୟାମିତି' ଶବ୍ଦଟି 'ଜ୍ୟା' (ପୃଥିବୀ) ଓ 'ମିତି' (ମାପ) ରୁ ଆସିଛି । 'Geometry' ଶବ୍ଦଟି Geo (ପୃଥିବୀ) ଓ Metron (ମାପ) ରୁ ସୃଷ୍ଟି । ମିଶରୀୟ ସଭ୍ୟତା, ଭାରତୀୟ ଶୁଲ୍‌ବ ସୂତ୍ର, ମହେନ୍‌ଜୋଦାରୋ ଓ ହରପ୍‌ପା ସଭ୍ୟତାରେ ଜ୍ୟାମିତିର ପ୍ରୟୋଗ ଦେଖିବାକୁ ମିଳେ । ଥାଲେସ୍, ପିଥାଗୋରାସ୍, ଇଉକ୍ଲିଡ୍, ବର୍ଟ୍ରାଣ୍ଡ୍ ରସେଲ୍, ଜର୍ଜ ଡେଭିଡ୍ ବିର୍‌କଫ୍ ଓ ଡେଭିଡ୍ ହିଲ୍‌ବର୍ଟ୍ ପ୍ରମୁଖ ଗଣିତଜ୍ଞମାନେ ଜ୍ୟାମିତିର ବିକାଶରେ ପ୍ରମୁଖ ଭୂମିକା ଗ୍ରହଣ କରିଛନ୍ତି । ଇଉକ୍ଲିଡ୍‌ଙ୍କୁ 'ଜ୍ୟାମିତିର ଜନକ' କୁହାଯାଏ । ଆମେ ପଢୁଥିବା ଜ୍ୟାମିତିକୁ 'ଇଉକ୍ଲିଡୀୟ ଜ୍ୟାମିତି' ବା 'ସମତଳ ଜ୍ୟାମିତି' କୁହାଯାଏ ।

୧.୨ ମୌଳିକ ଅବବୋଧ – ଏକ ପୁନରାବୃତ୍ତି (Fundamental Concepts - a Recapitulation):

ସଂଜ୍ଞାବିହୀନ ପଦ (Undefined Terms):

ବିନ୍ଦୁ (Point): ଏହାର କୌଣସି ଦୈର୍ଘ୍ୟ, ପ୍ରସ୍ଥ ବା ଉଚ୍ଚତା ନାହିଁ । ଏହା କେବଳ ଏକ ଅବସ୍ଥାନକୁ ସୂଚାଏ ।

ରେଖା ବା ସରଳରେଖା (Line or Straight Line): ଏହା ଅସୀମ ଭାବରେ ଉଭୟ ଦିଗକୁ ବିସ୍ତୃତ । ଏହାର କେବଳ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅଛି, ପ୍ରସ୍ଥ ବା ଉଚ୍ଚତା ନାହିଁ ।

ସମତଳ (Plane): ଏହା ଅସୀମ ଭାବରେ ଚାରିଆଡ଼କୁ ବିସ୍ତୃତ । ଏହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ପ୍ରସ୍ଥ ଅଛି, କିନ୍ତୁ ଉଚ୍ଚତା ନାହିଁ ।

ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ (Axioms):

ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ – 1: ରେଖା ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କର ସମାହାର ବା ସେଟ୍ । (L ରେଖା P ବିନ୍ଦୁକୁ ଧାରଣ କରେ, P ∈ L)

ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ – 2: ଦୁଇଟି ପୃଥକ୍ ବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟ ଦେଇ ଗୋଟିଏ ଏବଂ କେବଳ ମାତ୍ର ଗୋଟିଏ ସରଳରେଖା ଅବସ୍ଥିତ ।

ଏହାର ଅର୍ଥ ହେଉଛି, ଦୁଇଟି ପୃଥକ୍ ବିନ୍ଦୁ ନିଶ୍ଚିତ ଭାବରେ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସରଳରେଖାରେ ଅବସ୍ଥିତ ।

ଦୁଇଟି ପୃଥକ୍ ବିନ୍ଦୁ P ଓ Q ଯଦି L ସରଳରେଖାରେ ଅବସ୍ଥିତ ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ L କୁ PQ↔ ସଙ୍କେତ ଦ୍ୱାରା ନାମିତ କରାଯାଏ ।

ଏକରେଖୀ ଓ ନୈକରେଖୀ ବିନ୍ଦୁ (Collinear and Non-collinear Points):

ସଂଜ୍ଞା: ତିନି ବା ତାହାଠାରୁ ଅଧିକ ସଂଖ୍ୟକ ବିନ୍ଦୁ ଯଦି ଏକ ସରଳରେଖାରେ ଅବସ୍ଥିତ ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ ସେମାନଙ୍କୁ ଏକରେଖୀ ବିନ୍ଦୁ କୁହାଯାଏ ।

ସଂଜ୍ଞା: ଯେଉଁସବୁ ବିନ୍ଦୁ ଏକ ସରଳରେଖାରେ ଅବସ୍ଥିତ ନୁହଁନ୍ତି, ସେମାନଙ୍କୁ ନୈକରେଖୀ ବିନ୍ଦୁ କୁହାଯାଏ ।

ଦୁଇ ସରଳରେଖାର ଛେଦ (Intersection of two lines):

L₁ ∩ L₂ = ∅ ହେଲେ ରେଖାଦ୍ୱୟକୁ ଅଣଚ୍ଛେଦୀ ରେଖା (Non-intersecting lines) କୁହାଯାଏ ।

L₁ ∩ L₂ ≠ ∅ ହେଲେ ରେଖାଦ୍ୱୟର ସାଧାରଣ ବିନ୍ଦୁ ବା ଛେଦବିନ୍ଦୁ ଥାଏ ।

ଉପପାଦ୍ୟ – 1: ଦୁଇଟି ପୃଥକ୍ ସରଳରେଖାର ଏକାଧିକ ଛେଦବିନ୍ଦୁ ରହିବା ଅସମ୍ଭବ । (ଅର୍ଥାତ୍ ସେମାନେ ପରସ୍ପରକୁ ଆଦୌ ଛେଦ କରନ୍ତି ନାହିଁ କିମ୍ବା ପରସ୍ପରକୁ ଗୋଟିଏ ମାତ୍ର ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।)

ପ୍ରମାଣ (ଅସମ୍ଭବାୟନ ସୂତ୍ର – Reductio ad absurdum): ଯଦି L₁ ଓ L₂ ର ଅତିକମ୍‌ରେ ଦୁଇଟି ଛେଦବିନ୍ଦୁ P ଓ Q ରହିଛି ବୋଲି ମାନିବା, ତେବେ ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ-2 ଅନୁଯାୟୀ P ଓ Q ମଧ୍ୟଦେଇ କେବଳ ଗୋଟିଏ ସରଳରେଖା PQ↔ ଅବସ୍ଥିତ । ତେଣୁ L₁ = PQ↔ ଓ L₂ = PQ↔ ହେବ । ଏହା L₁ ≠ L₂ ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟର ବିରୋଧାତ୍ମକ । ଅତଏବ, L₁ ଓ L₂ ର ଏକାଧିକ ଛେଦବିନ୍ଦୁ ରହିବା ଅସମ୍ଭବ ।

ସମତଳ (Plane):

ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ – 3: ସମତଳ ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କର ସେଟ୍ ଅଟେ ।

ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ – 4: ଗୋଟିଏ ସମତଳରେ ଅନ୍ତତଃ ତିନିଗୋଟି ନୈକରେଖୀ ବିନ୍ଦୁ ଥାଏ ଏବଂ ଯେକୌଣସି ତିନିଗୋଟି ନୈକରେଖୀ ବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟଦେଇ ଗୋଟିଏ ମାତ୍ର ସମତଳ ଅବସ୍ଥିତ ।

ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ – 5: ଏକ ସମତଳସ୍ଥ ଦୁଇଟି ପୃଥକ୍ ବିନ୍ଦୁକୁ ଧାରଣ କରୁଥିବା ସରଳରେଖା ଉକ୍ତ ସମତଳରେ ଅବସ୍ଥିତ । (ଯଦି A ଓ B, P-ସମତଳର ଦୁଇଟି ପୃଥକ୍ ବିନ୍ଦୁ ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ AB↔ ⊂ P)

ଦୁଇ ବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟସ୍ଥ ଦୂରତା (Distance between two points):

ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ – 6 (ରୁଲର୍ ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ / Ruler Postulate): ଗୋଟିଏ ସମତଳରେ ଥିବା ବିନ୍ଦୁଯୋଡ଼ା ଗୁଡ଼ିକ ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ଅଣଋଣାତ୍ମକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ସହ ସମ୍ପୃକ୍ତ, ଯାହାକୁ ବିନ୍ଦୁ ଦ୍ୱୟ ମଧ୍ୟସ୍ଥ ଦୂରତା କୁହାଯାଏ ।

ଯଦି A ଓ B ବିନ୍ଦୁ ଦ୍ୱୟର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଯଥାକ୍ରମେ a ଓ b ହୁଏ, ତେବେ AB = |a – b| = |b – a| = BA ।

ସ୍ଥାନାଙ୍କ (Coordinate): ରେଖା ଉପରିସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁକୁ ଚିହ୍ନଟ କରୁଥିବା ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟାକୁ ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ କୁହାଯାଏ ।

ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତିତା (Betweenness):

ସଂଜ୍ଞା: ତିନୋଟି ପୃଥକ୍ ବିନ୍ଦୁ A, B ଓ C ଯଦି (i) ଏକ ସରଳରେଖାରେ ଅବସ୍ଥାନ କରନ୍ତି ଓ (ii) AB + BC = AC ହୁଏ, ତେବେ B କୁ A ଓ C ର ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ବିନ୍ଦୁ କୁହାଯାଏ । ଏହାକୁ A-B-C ଭାବରେ ଲେଖାଯାଏ ।

ରେଖାଖଣ୍ଡ (Segment or Line segment):

ସଂଜ୍ଞା: ଦୁଇଟି ପୃଥକ୍ ବିନ୍ଦୁ A, B ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କର ସେଟ୍‌କୁ AB¯ ବା BA¯ ରେଖାଖଣ୍ଡ କୁହାଯାଏ ।

AB¯ = {A, B} ∪ {P : A-P-B} ।

ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁ (End-points): A ଓ B କୁ AB¯ ର ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁ କୁହାଯାଏ ।

ଦୈର୍ଘ୍ୟ (Length): ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁ ଦ୍ୱୟ ମଧ୍ୟସ୍ଥ ଦୂରତାକୁ ରେଖାଖଣ୍ଡର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କୁହାଯାଏ । ତେଣୁ AB¯ ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = AB ଅଟେ ।

ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ (Mid-point): AB¯ ଉପରେ M ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଯଦି AM = MB ହୁଏ, ତେବେ M କୁ AB¯ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ କୁହାଯାଏ ।

ଯଦି A ଓ B ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଯଥାକ୍ରମେ x ଓ y ହୁଏ, ତେବେ ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ M ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ (x+y)/2 ଅଟେ ।

ରଶ୍ମି (Ray):

ସଂଜ୍ଞା: ଗୋଟିଏ ସରଳରେଖାରେ ଥିବା ଏକ ବିନ୍ଦୁ A ଓ ଅନ୍ୟ ଏକ ବିନ୍ଦୁ B ନେଇ, AB¯ ରେଖାଖଣ୍ଡ ଓ B-P-A ସମ୍ପର୍କରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ବିନ୍ଦୁ P ର ସମାହାରକୁ AB→ ରଶ୍ମି କୁହାଯାଏ ।

AB→ = AB¯ ∪ {P : A-B-P} ।

ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ (Vertex) ବା ଆଦ୍ୟବିନ୍ଦୁ (Initial Point): A କୁ AB→ ର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ କୁହାଯାଏ ।

ବିପରୀତ ରଶ୍ମି (Opposite rays): ଯଦି O, A ଓ B ର ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ବିନ୍ଦୁ ହୁଏ, ତେବେ OA→ ଓ OB→ କୁ ବିପରୀତ ରଶ୍ମି କୁହାଯାଏ । OA→ ∪ OB→ = AB↔ ।

ଏକରେଖୀ ଓ ନୈକରେଖୀ ରଶ୍ମି (Collinear and noncollinear rays):

ଯେଉଁସବୁ ରଶ୍ମି ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ରେଖାର ଅଂଶ ବିଶେଷ, ସେମାନଙ୍କୁ ଏକରେଖୀ ରଶ୍ମି କୁହାଯାଏ ।

୧.୫ କୋଣ ଓ କୋଣ-ପରିମାଣ (Angle and Angle-measure):

ଉତ୍ତଳ ସେଟ୍ (Convex Set):

ସଂଜ୍ଞା: ଏକ ସେଟ୍ S ର ଯେ କୌଣସି ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ A ଓ B ପାଇଁ ଯଦି AB¯ ⊂ S ହୁଏ, ତେବେ S କୁ ଏକ ଉତ୍ତଳ ସେଟ୍ କୁହାଯାଏ । ଉଦାହରଣ: ରେଖାଖଣ୍ଡ, ରଶ୍ମି, ସରଳରେଖା, ସମତଳ ।

ସମତଳ – ବିଭାଜନ ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ (Plane-Separation Postulate / ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ – 7):

ମନେକର L ସରଳରେଖାଟି P ସମତଳରେ ଅବସ୍ଥିତ । ସମତଳର ଯେଉଁ ବିନ୍ଦୁ ଗୁଡିକ ଏହି ସରଳରେଖାରେ ନାହାଁନ୍ତି, ସେମାନଙ୍କୁ ଦୁଇଟି ସେଟ୍ H₁ ଓ H₂ ରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଇପାରିବ; ଯେପରି:

(i) H₁ ଓ H₂ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ଉତ୍ତଳ ସେଟ୍ ହେବ ଏବଂ

(ii) ଦୁଇଟି ପୃଥକ୍ ବିନ୍ଦୁ A ଓ B ଯଥାକ୍ରମେ H₁ ଓ H₂ ରେ ରହିଲେ, AB¯ L ସରଳରେଖାକୁ ଛେଦ କରିବ ।

L ର H₁ ଓ H₂ ସେଟ୍ ଦୁଇଟିକୁ L ର ପାର୍ଶ୍ଵ (Half-planes) କୁହାଯାଏ ।

କୋଣ (Angle):

ସଂଜ୍ଞା: ତିନୋଟି ପୃଥକ୍ ବିନ୍ଦୁ A, B ଓ C ଯଦି ଏକ ସରଳରେଖାରେ ଅବସ୍ଥିତ ନହୁଅନ୍ତି, ତେବେ BA→ ଓ BC→ ର ସଂଯୋଗକୁ ABC କୋଣ କୁହାଯାଏ ଓ ଉକ୍ତ କୋଣକୁ ∠ABC ସଙ୍କେତ ଦ୍ୱାରା ପ୍ରକାଶ କରାଯାଏ ।

∠ABC = BA→ ∪ BC→ ।

ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ (Vertex): B କୁ ∠ABC ର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ କୁହାଯାଏ ।

ବାହୁ (Side): BA→ ଓ BC→ କୁ ∠ABC ର ବାହୁ କୁହାଯାଏ ।

ଅନ୍ତର୍ଦେଶ (Interior): BC↔ ର A-ପାର୍ଶ୍ଵ ଓ AB↔ ର C-ପାର୍ଶ୍ଵର ଛେଦକୁ ∠ABC ର ଅନ୍ତର୍ଦେଶ କୁହାଯାଏ ।

ବହିର୍ଦେଶ (Exterior): ଅନ୍ତର୍ଦେଶରେ ନଥିବା ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କର ସେଟ୍‌କୁ କୋଣର ବହିର୍ଦେଶ କୁହାଯାଏ ।

ପ୍ରତିଚ୍ଛେଦୀ ଉପପାଦ୍ୟ (Cross-bar theorem): P, ∠ABC ର ଏକ ଅନ୍ତଃସୁ ବିନ୍ଦୁ ହେଲେ BP→, AC¯ କୁ ଛେଦ କରିବ ।

କୋଣର ପରିମାଣ (Measure of an Angle):

ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ – 8 (ପ୍ରୋଟାକ୍ଟର ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ / Protractor Postulate): ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣ ସହ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଧନାତ୍ମକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ସଂପୃକ୍ତ ଓ ଏହାକୁ ସଂପୃକ୍ତ କୋଣର ପରିମାଣ କୁହାଯାଏ । ∠ABC ର ପରିମାଣକୁ m∠ABC ରୂପେ ସୂଚିତ କରାଯାଏ ।

(i) 0 < m∠ABC < 180° ।

(ii) 0 < θ < 180 ହେଲେ BC→ ର ଯେ କୌଣସି ପାର୍ଶ୍ଵରେ କେବଳ ମାତ୍ର ଗୋଟିଏ ରଶ୍ମି BQ→ ଅବସ୍ଥିତ, ଯେପରି m∠QBC = θ° ।

(iii) ∠ABC ର ଅନ୍ତର୍ଦେଶରେ P ଯେ କୌଣସି ଏକ ବିନ୍ଦୁ ହେଲେ m∠ABC = m∠ABP + m∠PBC ।

କୋଣର ପ୍ରକାରଭେଦ (Types of Angles):

ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣ (Acute Angle): ଯେଉଁ କୋଣର ପରିମାଣ 0° ରୁ ଅଧିକ ଓ 90° ରୁ କମ୍ ।

ସମକୋଣ (Right Angle): ଯେଉଁ କୋଣର ପରିମାଣ 90° ।

ସ୍ଥୂଳକୋଣ (Obtuse Angle): ଯେଉଁ କୋଣର ପରିମାଣ 90° ରୁ ଅଧିକ ଓ 180° ରୁ କମ୍ ।

ଅନୁପୂରକ ଓ ପରିପୂରକ କୋଣ (Complementary and Supplementary Angles):

ଅନୁପୂରକ କୋଣ (Complementary Angles): ଦୁଇଟି କୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 90° ହେଲେ ସେମାନଙ୍କୁ ପରସ୍ପର ଅନୁପୂରକ କୋଣ କୁହାଯାଏ ।

ପରିପୂରକ କୋଣ (Supplementary Angles): ଦୁଇଟି କୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 180° ହେଲେ ସେମାନଙ୍କୁ ପରସ୍ପର ପରିପୂରକ କୋଣ କୁହାଯାଏ ।

ସନ୍ନିହିତ କୋଣ (Adjacent Angles): ଦୁଇଟି କୋଣର ଗୋଟିଏ ସାଧାରଣ ବାହୁ ଓ କୋଣ ଦ୍ୱୟର ଅନ୍ୟବାହୁ ଦୁଇଟି ସାଧାରଣ ବାହୁର ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ବିସ୍ତୃତ ହେଲେ, ସେମାନଙ୍କୁ ସନ୍ନିହିତ କୋଣ କୁହାଯାଏ ।

ପ୍ରତୀପ କୋଣ (Vertically Opposite Angles):

ଗୋଟିଏ କୋଣର ବାହୁଦ୍ୱୟର ବିପରୀତ ରଶ୍ମି ମାନଙ୍କ ଦ୍ୱାରା ଗଠିତ କୋଣକୁ ଉକ୍ତ କୋଣର ପ୍ରତୀପ କୋଣ କୁହାଯାଏ ।

ଉପପାଦ୍ୟ – 2: ଦୁଇଟି ସରଳରେଖା ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦ କଲେ ଉତ୍ପନ୍ନ ହେଉଥିବା ପ୍ରତୀପ କୋଣ ମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ସମାନ ।

ଦତ୍ତ: AB↔ ଓ CD↔ ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: m∠AOD = m∠BOC, m∠AOC = m∠BOD ।

ପ୍ରମାଣ: OA→ ର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ O, OD→ ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ ।

m∠AOC + m∠AOD = 180° (ପରିପୂରକ କୋଣ)

OC→ ର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ O, AB↔ ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ ।

m∠AOC + m∠BOC = 180° (ପରିପୂରକ କୋଣ)

ତେଣୁ m∠AOC + m∠AOD = m∠AOC + m∠BOC

⇒ m∠AOD = m∠BOC (ପ୍ରମାଣିତ)

ସେହିପରି m∠AOC = m∠BOD ପ୍ରମାଣ କରାଯାଇପାରିବ ।

ପରସ୍ପର ଲମ୍ବ (Mutually perpendicular) ରେଖା ଓ ରଶ୍ମି:

ଦୁଇଟି ପରସ୍ପର ଅଣଛେଦୀ ରେଖା ଦ୍ୱାରା ସୃଷ୍ଟି ହେଉଥିବା ଚାରିକୋଣ ମଧ୍ୟରୁ କୌଣସି ଗୋଟିଏ କୋଣ ସମକୋଣ ହେଲେ ରେଖାଦ୍ୱୟ ‘ପରସ୍ପର ଲମ୍ବ’ ହୁଅନ୍ତି । (AB↔ ⊥ CD↔)

ରେଖାଖଣ୍ଡର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଲମ୍ବ (Perpendicular bisector):

ଗୋଟିଏ ରେଖାଖଣ୍ଡର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଦେଇ ଅଙ୍କିତ ଓ ଏହା ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ହେଉଥିବା ସରଳରେଖାକୁ ରେଖାଖଣ୍ଡର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଲମ୍ବ କୁହାଯାଏ ।

ପରିପୂରକ ଉପପାଦ୍ୟ (Supplementary Theorem):

(a) ଗୋଟିଏ ରଶ୍ମିର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ଅନ୍ୟ ଏକ ରେଖାରେ ଅବସ୍ଥିତ ହେଲେ ଯେଉଁ ଦୁଇଟି ସନ୍ନିହିତ କୋଣ ଉତ୍ପନ୍ନ ହୁଅନ୍ତି, ସେମାନେ ପରସ୍ପର ପରିପୂରକ; ଅର୍ଥାତ୍ ସେମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 180° ଅଟେ ।

(b) ବିପରୀତ କ୍ରମେ ଦୁଇଟି ସନ୍ନିହିତ କୋଣ ପରସ୍ପର ପରିପୂରକ ହେଲେ, ସେମାନଙ୍କ ବହିଃସୁ ବାହୁ ଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପର ବିପରୀତ ରଶ୍ମି ଅଟନ୍ତି ।

୧.୭ ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖା (Parallel Lines):

ସଂଜ୍ଞା: ଏକ ସମତଳରେ ଅବସ୍ଥିତ ଦୁଇଟି ପୃଥକ୍ ସରଳରେଖା ଯଦି ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦ କରୁ ନଥାନ୍ତି, ତେବେ ସେମାନଙ୍କୁ ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖା କୁହାଯାଏ । (L₁ || L₂)

ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ – 9 (ସମାନ୍ତର ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ / Parallel Postulate): ଗୋଟିଏ ସରଳରେଖାର ବହିଃସ୍ଥ ଏକ ବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟଦେଇ ତାହାପ୍ରତି ସମାନ୍ତର ହେଉଥିବା କେବଳ ମାତ୍ର ଗୋଟିଏ ସରଳରେଖା ଅବସ୍ଥିତ ।

ଉପପାଦ୍ୟ – 3: ଏକ ସମତଳରେ ଅବସ୍ଥିତ ଓ ପରସ୍ପର ଠାରୁ ପୃଥକ୍ ଯେଉଁ ସବୁ ସରଳରେଖା ଅନ୍ୟ ଏକ ସରଳରେଖା ସହ ସମାନ୍ତର, ସେମାନେ ପରସ୍ପର ସମାନ୍ତର ।

ଦତ୍ତ: L₁, L₂ ଓ L₃ ଏକ ସମତଳରେ ଅବସ୍ଥିତ ପୃଥକ୍ ସରଳରେଖା । L₁ || L₂ ଓ L₁ || L₃ ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: L₂ || L₃ ।

ପ୍ରମାଣ: ଯଦି L₂ ଓ L₃ ସମାନ୍ତର ନୁହଁନ୍ତି, ତେବେ ସେମାନେ ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦ କରିବେ । ମନେକର ଛେଦବିନ୍ଦୁ P । ତେବେ P, L₁ ର ବହିଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ହେବ । P ମଧ୍ୟଦେଇ L₁ ପ୍ରତି L₂ ଓ L₃ ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ରେଖା ଅବସ୍ଥିତ । ଏହା ସମାନ୍ତର ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟର ବିରୋଧାତ୍ମକ । ଅତଏବ L₂ || L₃ (ପ୍ରମାଣିତ) ।

୧.୮ ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖା ଓ ସେମାନଙ୍କର ଛେଦକ (Parallel Lines and their transversals):

ଛେଦକ (Transversal): ଗୋଟିଏ ସରଳରେଖା ଦୁଇ ବା ତତୋଽଧିକ ସମାନ୍ତର ରେଖାକୁ ଛେଦ କଲେ ତାହାକୁ ସମ୍ପୃକ୍ତ ସମାନ୍ତର ରେଖା ମାନଙ୍କର ଛେଦକ କୁହାଯାଏ ।

ଛେଦକ ଦ୍ୱାରା ସୃଷ୍ଟି କୋଣ:

ଏକାନ୍ତର କୋଣ (Alternate angles): ∠AGH ଓ ∠GHD, ∠BGH ଓ ∠GHC ।

ଅନୁରୂପ କୋଣ (Corresponding angles): ∠EGB ଓ ∠GHD, ∠DHF ଓ ∠BGH, ∠EGA ଓ ∠GHC, ∠CHF ଓ ∠AGH ।

ଅନ୍ତଃସୁ କୋଣ (Interior Angles): ∠AGH, ∠BGH, ∠GHC, ∠GHD ।

ବହିଃସୁ କୋଣ (Exterior Angles): ∠EGA, ∠EGB, ∠CHF, ∠DHF ।

ଉପପାଦ୍ୟ – 4: ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାକୁ ଏକ ଛେଦକ ଛେଦକଲେ, ଯେ କୌଣସି ଦୁଇଟି ଅନୁରୂପ କୋଣର ପରିମାଣ ସମାନ ହୁଏ । (m∠EGB = m∠GHD, m∠DHF = m∠BGH ଇତ୍ୟାଦି)

ଉପପାଦ୍ୟ – 5: ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାକୁ ଏକ ଛେଦକ ଛେଦକଲେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଯୋଡ଼ା ଏକାନ୍ତର କୋଣର ପରିମାଣ ସମାନ ହୁଏ ।

ଦତ୍ତ: L₁ || L₂ ଏବଂ L₃ ସେମାନଙ୍କର ଛେଦକ । ∠1 ଓ ∠3, ∠2 ଓ ∠4 ଦୁଇ ଯୋଡ଼ା ଏକାନ୍ତରକୋଣ ଅଟନ୍ତି ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: m∠1 = m∠3 ଏବଂ m∠2 = m∠4 ।

ପ୍ରମାଣ: ∠3 ଭିନ୍ନ ∠2 ର ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣକୁ ∠5 ଦ୍ୱାରା ଚିହ୍ନିତ କରାଯାଉ ।

L₁ || L₂ ହେତୁ m∠5 = m∠1 (ଅନୁରୂପକୋଣ)

m∠5 = m∠3 (ପ୍ରତୀପକୋଣ)

∴ m∠1 = m∠3 (ପ୍ରମାଣିତ)

ସେହିପରି m∠2 = m∠4 ପ୍ରମାଣ କରାଯାଇପାରେ ।

ଉପପାଦ୍ୟ – 6 (ଉପପାଦ୍ୟ – 5 ର ବିପରୀତ): ଏକ ସମତଳରେ ଥିବା ଦୁଇଟି ସରଳରେଖାକୁ ଏକ ଛେଦକ ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକଲେ, ଯଦି ଦୁଇଟି ଏକାନ୍ତର କୋଣର ପରିମାଣ ସମାନ ହୁଏ, ତେବେ ସରଳରେଖା ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ।

ଦତ୍ତ: L₁ ଓ L₂ ସରଳରେଖା L₃ ଦ୍ୱାରା ଛେଦିତ । ∠1 ଓ ∠2 ଏକଯୋଡ଼ା ଏକାନ୍ତରକୋଣ ଏବଂ m∠1 = m∠2 ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: L₁ || L₂ ।

ପ୍ରମାଣ: ∠2 ର ପ୍ରତୀପ କୋଣକୁ ∠3 ଦ୍ୱାରା ନାମିତ କରାଯାଉ ।

m∠2 = m∠3 (ପ୍ରତୀପ କୋଣ)

ଦତ୍ତ ଅଛି m∠1 = m∠2 ।

∴ m∠1 = m∠3 ।

କିନ୍ତୁ, ∠1 ଓ ∠3 ଅନୁରୂପକୋଣ ।

ଅନୁରୂପକୋଣ ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ ଅନୁଯାୟୀ, L₁ || L₂ (ପ୍ରମାଣିତ) ।

ଉପପାଦ୍ୟ – 7: ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାକୁ ଏକ ଛେଦକ ଛେଦକଲେ, ଛେଦକର ଏକପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ ଅନ୍ତଃସୁ କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 180° ।

ଦତ୍ତ: L₁ || L₂ ଏବଂ L₃ ଛେଦକ L₁ ଓ L₂ କୁ ଯଥାକ୍ରମେ P ଓ Q ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରେ । ∠1 ଓ ∠2 ଏକପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ ଅନ୍ତଃସୁ କୋଣ ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: m∠1 + m∠2 = 180° ।

ପ୍ରମାଣ: ∠4 ର ପ୍ରତୀପ କୋଣକୁ ∠5 ଦ୍ୱାରା ନାମିତ କରାଯାଉ ।

m∠2 + m∠5 = 180° (ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ)

L₁ || L₂ ହେତୁ m∠5 = m∠1 (ଅନୁରୂପ କୋଣ)

∴ m∠1 + m∠2 = 180° (ପ୍ରମାଣିତ) ।

ଉପପାଦ୍ୟ – 8 (ଉପପାଦ୍ୟ – 7 ର ବିପରୀତ): ଏକ ସମତଳରେ ଥିବା ଦୁଇଟି ସରଳରେଖାକୁ ଏକ ଛେଦକ ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକଲେ, ଯଦି ଛେଦକର ଏକ ପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ ଅନ୍ତଃସୁ କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 180° ହୁଏ, ତେବେ ସରଳରେଖାଦ୍ୱୟ ସମାନ୍ତର ।

ଦତ୍ତ: L₁ ଓ L₂ ସରଳରେଖା L₃ ଦ୍ୱାରା ଛେଦିତ । m∠1 + m∠2 = 180° ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: L₁ || L₂ ।

ପ୍ରମାଣ: m∠2 + m∠3 = 180° (ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ)

ଦତ୍ତ ଅଛି m∠1 + m∠2 = 180° ।

∴ m∠2 + m∠3 = m∠1 + m∠2

⇒ m∠3 = m∠1 ।

କିନ୍ତୁ, ∠1 ଓ ∠3 ଅନୁରୂପକୋଣ ।

ଅନୁରୂପକୋଣ ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ ଅନୁଯାୟୀ, L₁ || L₂ (ପ୍ରମାଣିତ) ।

୧.୯ ତ୍ରିଭୁଜ ଓ ଏହାର ବହିଃସୁକୋଣ (Angles of a triangle and its exterior angles):

ଉପପାଦ୍ୟ – 9: ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର ତିନିକୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 180° ।

ଦତ୍ତ: ABC କୌଣସି ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜ ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: m∠A + m∠B + m∠C = 180° ।

ଅଙ୍କନ: A ବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟ ଦେଇ DE↔ ଅଙ୍କନ କର ଯେପରିକି DE↔ || BC↔ ଏବଂ D-A-E ।

ପ୍ରମାଣ:

DE↔ || BC↔ ଓ AB↔ ଛେଦକ ହେତୁ, m∠DAB = m∠ABC (ଏକାନ୍ତର କୋଣ) (i)

DE↔ || BC↔ ଓ AC↔ ଛେଦକ ହେତୁ, m∠CAE = m∠ACB (ଏକାନ୍ତର କୋଣ) (ii)

D-A-E ହେତୁ, m∠DAB + m∠BAC + m∠CAE = 180° (ସରଳକୋଣ) (iii)

(i), (ii) ଓ (iii) ରୁ, m∠ABC + m∠BAC + m∠ACB = 180°

⇒ m∠A + m∠B + m∠C = 180° (ପ୍ରମାଣିତ) ।

ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ (Corollaries):

୧. ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପର ଅନୁପୂରକ ।

୨. ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜରେ ଗୋଟିକରୁ ଅଧିକ ସମକୋଣ ବା ସ୍ଥୂଳକୋଣ ରହିପାରିବ ନାହିଁ ।

୩. ଏକ ଉତ୍ତଳ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଚାରିକୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 360° ।

ପ୍ରମାଣ: ABCD ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜ । BD କର୍ଣ୍ଣ ଅଙ୍କନ କର ।

ΔABD ରେ m∠ABD + m∠BDA + m∠BAD = 180° (i)

ΔCBD ରେ m∠CBD + m∠BDC + m∠BCD = 180° (ii)

(i) + (ii) ⇒ (m∠ABD + m∠CBD) + (m∠BDA + m∠BDC) + m∠BAD + m∠BCD = 360°

m∠ABD + m∠CBD = m∠ABC

m∠BDA + m∠BDC = m∠ADC

∴ m∠ABC + m∠ADC + m∠BAD + m∠BCD = 360° (ପ୍ରମାଣିତ) ।

ତ୍ରିଭୁଜର ବହିଃସୁକୋଣ (Exterior angle of a triangle):

ସଂଜ୍ଞା: ତ୍ରିଭୁଜର ଅନ୍ତଃସୁକୋଣର ସନ୍ନିହିତପରିପୂରକ କୋଣକୁ ତ୍ରିଭୁଜର ବହିଃସୁକୋଣ କୁହାଯାଏ ।

ଉପପାଦ୍ୟ – 10: ତ୍ରିଭୁଜର କୌଣସି ଏକ ବହିଃସୁକୋଣର ପରିମାଣ ଏହାର ଅନ୍ତଃସୁ ଦୂରବର୍ତ୍ତୀ କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି ସହ ସମାନ ।

ଦତ୍ତ: ΔABC ର C ବିନ୍ଦୁରେ ବହିଃସୁକୋଣ ∠ACD ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: m∠ACD = m∠A + m∠B ।

ପ୍ରମାଣ: ΔABC ରେ m∠A + m∠B + m∠C = 180° (ଉପପାଦ୍ୟ – 9)

m∠C + m∠ACD = 180° (ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ)

∴ m∠A + m∠B + m∠C = m∠C + m∠ACD

⇒ m∠A + m∠B = m∠ACD (ପ୍ରମାଣିତ) ।

ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ:

୧. ତ୍ରିଭୁଜର କୌଣସି ବହିଃସୁକୋଣର ପରିମାଣ, ଏହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସୁ ଦୂରବର୍ତ୍ତୀ କୋଣ ପରିମାଣ ଠାରୁ ବୃହତ୍ତର ।

୨. ତ୍ରିଭୁଜର ବହିଃସୁକୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 360° ।

୩. ପାଠ୍ୟପୁସ୍ତକ ଅଭ୍ୟାସ ପ୍ରଶ୍ନାବଳୀର ୧୦୦% ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସମାଧାନ (100% Complete Solved Exercises)

ଅନୁଶୀଳନୀ - 1(a)

୧. ନିମ୍ନଲିଖିତ ପଦ ଗୁଡିକରୁ ସଂଜ୍ଞାବିହୀନ ଓ ସଂଜ୍ଞାବିଶିଷ୍ଟ (ଯାହାର ସଂଜ୍ଞା ଅଛି) ପଦଗୁଡିକୁ ଚିହ୍ନାଅ ।

ରେଖାଖଣ୍ଡର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ, ସ୍ଥାନାଙ୍କ, ଦୂରତା, ସରଳରେଖା, ରଶ୍ମି, ରେଖାଖଣ୍ଡ, ସମତଳ, ବିନ୍ଦୁ ।

ଉତ୍ତର:

ସଂଜ୍ଞାବିହୀନ ପଦ: ସରଳରେଖା, ସମତଳ, ବିନ୍ଦୁ ।

ସଂଜ୍ଞାବିଶିଷ୍ଟ ପଦ: ରେଖାଖଣ୍ଡର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ, ସ୍ଥାନାଙ୍କ, ଦୂରତା, ରଶ୍ମି, ରେଖାଖଣ୍ଡ ।

୨. ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଉତ୍ତର ପ୍ରଦାନ କର ।

(କ) ଗୋଟିଏ ସରଳରେଖାରେ କେତୋଟି ବିନ୍ଦୁ ଥାଏ ?

ଉତ୍ତର: ଅସଂଖ୍ୟ ।

(ଖ) ଗୋଟିଏ ରେଖାଖଣ୍ଡରେ କେତୋଟି ବିନ୍ଦୁ ଥାଏ ?

ଉତ୍ତର: ଅସଂଖ୍ୟ ।

(ଗ) ଗୋଟିଏ ରେଖାଖଣ୍ଡରେ କେତୋଟି ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁ ଓ କେତୋଟି ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଥାଏ ?

ଉତ୍ତର: ଦୁଇଟି ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁ ଓ ଗୋଟିଏ ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।

(ଘ) ଗୋଟିଏ ରଶ୍ମି ଓ ତାହାର ବିପରୀତ ରଶ୍ମିର ସଂଯୋଗରେ କ’ଣ ଗଠିତ ହୁଏ ?

ଉତ୍ତର: ଗୋଟିଏ ସରଳରେଖା ।

(ଙ) ଗୋଟିଏ ରଶ୍ମି ଓ ତାହାର ବିପରୀତ ରଶ୍ମିର ଛେଦରେ କେତୋଟି ବିନ୍ଦୁ ଥାଏ ?

ଉତ୍ତର: ଗୋଟିଏ ମାତ୍ର ବିନ୍ଦୁ (ଆଦ୍ୟବିନ୍ଦୁ) ।

(ଚ) ତିନୋଟି ପୃଥକ୍ ସରଳରେଖା ପରସ୍ପରକୁ ଅତିବେଶିରେ କେତୋଟି ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବେ ?

ଉତ୍ତର: ତିନୋଟି ।

(ଛ) ଚାରୋଟି ପୃଥକ୍ ସରଳରେଖା ପରସ୍ପରକୁ ଅତିବେଶିରେ କେତୋଟି ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବେ ?

ଉତ୍ତର: ଛଅଟି । (n ସରଳରେଖା ପରସ୍ପରକୁ ଅତିବେଶିରେ n(n-1)/2 ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । ଏଠାରେ n=4, ତେଣୁ 4(4-1)/2 = 4×3/2 = 6) ।

(ଜ) ଚାରୋଟି ପୃଥକ୍ ବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟରୁ କୌଣସି ତିନୋଟି ଏକରେଖୀ ହୋଇ ନଥିଲେ, ସେମାନଙ୍କ ଦ୍ୱାରା କେତୋଟି ସରଳରେଖା ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ ହୋଇ ପାରିବ ?

ଉତ୍ତର: ଛଅଟି । (n ବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟରୁ କୌଣସି ତିନୋଟି ଏକରେଖୀ ନହେଲେ, ସେମାନଙ୍କ ଦ୍ୱାରା n(n-1)/2 ସରଳରେଖା ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ ହୋଇପାରିବ । ଏଠାରେ n=4, ତେଣୁ 4(4-1)/2 = 6) ।

୩. ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର । ଦତ୍ତ ଅଛି A - B - C

(i) AB→ ∪ AC→ = AC→ (ଯେହେତୁ B, C ର ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ନୁହେଁ, A-B-C ଅର୍ଥାତ୍ B, A ଓ C ର ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ)

(ii) BA→ ∪ BC→ = AC↔ (ଯେହେତୁ A-B-C, BA→ ଓ BC→ ବିପରୀତ ରଶ୍ମି ନୁହଁନ୍ତି, କିନ୍ତୁ ସେମାନେ ଏକ ସରଳରେଖାରେ ଅବସ୍ଥିତ)

(iii) AB¯ ∪ BC¯ = AC¯ (ଯେହେତୁ A-B-C)

(iv) AB→ ∩ AC→ = AB→ (ଯେହେତୁ B, A ଓ C ର ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ)

(v) AB→ ∩ BA→ = AB¯

(vi) AC¯ ∩ BC¯ = BC¯ (ଯେହେତୁ A-B-C)

(vii) BA→ ∩ BC→ = B (ଯେହେତୁ A-B-C, BA→ ଓ BC→ ର ସାଧାରଣ ବିନ୍ଦୁ କେବଳ B)

(viii) AC - BC = AB (ଯେହେତୁ A-B-C, AC = AB + BC)

(ix) AC - AB = BC (ଯେହେତୁ A-B-C, AC = AB + BC)

୪. L ସରଳରେଖା ଉପରିସ୍ଥ A ଓ B ବିନ୍ଦୁଦ୍ୱୟର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଯଥାକ୍ରମେ –3 ଓ 5 ହେଲେ AB କେତେ ?

ଉତ୍ତର:

ଦତ୍ତ, A ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ a = -3

B ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ b = 5

ରୁଲର୍ ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ ଅନୁଯାୟୀ,

AB = |a - b|

AB = |-3 - 5|

AB = |-8|

AB = 8

∴ AB = 8 ଏକକ ।

୫. AB↔ ଉପରିସ୍ଥ A ଓ B ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଯଥାକ୍ରମେ –16 ଓ 20 ହେଲେ AB¯ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ କେତେ ?

ଉତ୍ତର:

ଦତ୍ତ, A ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ a = -16

B ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ b = 20

AB¯ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ = (a + b) / 2

= (-16 + 20) / 2

= 4 / 2

= 2

∴ AB¯ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ 2 ଅଟେ ।

(ଖ) ବିଭାଗ

୬. ନିମ୍ନସ୍ଥ ପ୍ରଶ୍ନ ଗୁଡିକରେ ସମ୍ପୃକ୍ତ ସମସ୍ତ ବିନ୍ଦୁ ଏକରେଖୀ ଅଟନ୍ତି ।

(କ) A, B ଓ C ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଯଥାକ୍ରମେ –11, 4 ଓ 2 ହେଲେ, କେଉଁ ବିନ୍ଦୁଟି ଅନ୍ୟ ଦୁଇଟିର ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ?

ଉତ୍ତର:

A ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ = -11

B ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ = 4

C ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ = 2

AB = |4 - (-11)| = |4 + 11| = 15

BC = |2 - 4| = |-2| = 2

AC = |2 - (-11)| = |2 + 11| = 13

ଯେହେତୁ BC + AC = 2 + 13 = 15 = AB, ତେଣୁ C ବିନ୍ଦୁ A ଓ B ର ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ଅଟେ ।

∴ C ବିନ୍ଦୁ A ଓ B ର ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ।

(ଖ) PQ = 8, QR = 5 ଓ RP = 3 ହେଲେ, P, Q ଓ R ମଧ୍ୟରେ କେଉଁ ବିନ୍ଦୁଟି ଅନ୍ୟ ଦ୍ୱୟର ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ?

ଉତ୍ତର:

ଦତ୍ତ, PQ = 8, QR = 5, RP = 3 ।

ଯେହେତୁ QR + RP = 5 + 3 = 8 = PQ, ତେଣୁ R ବିନ୍ଦୁ P ଓ Q ର ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ଅଟେ ।

∴ R ବିନ୍ଦୁ P ଓ Q ର ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ।

(ଗ) A ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ –3, A - C - B, BC = 2 ଓ C ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ –4 ହେଲେ, B ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଓ AB କେତେ ?

ଉତ୍ତର:

ଦତ୍ତ, A ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ a = -3

C ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ c = -4

BC = 2

A-C-B ହେତୁ C ବିନ୍ଦୁ A ଓ B ର ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ।

ତେଣୁ AC + CB = AB ।

AC = |c - a| = |-4 - (-3)| = |-4 + 3| = |-1| = 1 ।

BC = 2 (ଦତ୍ତ) ।

ଯେହେତୁ A-C-B, C ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ A ଓ B ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ରହିବ ।

A ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ -3 ଓ C ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ -4 ।

C ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ A ଠାରୁ କମ୍ । ତେଣୁ B ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ C ଠାରୁ କମ୍ ହେବ ।

ମନେକର B ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ b ।

BC = |b - c| = |b - (-4)| = |b + 4| = 2 ।

b + 4 = 2 କିମ୍ବା b + 4 = -2 ।

b = -2 କିମ୍ବା b = -6 ।

ଯେହେତୁ C ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ -4, B ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ C ଠାରୁ କମ୍ ହେବ । ତେଣୁ b = -6 ।

∴ B ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ = -6 ।

AB = |b - a| = |-6 - (-3)| = |-6 + 3| = |-3| = 3 ।

(ବିକଳ୍ପ ପଦ୍ଧତି: AB = AC + CB = 1 + 2 = 3)

∴ B ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ -6 ଓ AB = 3 ।

(ଘ) A ଓ B ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଯଥାକ୍ରମେ –11 ଓ 21 ହେଲେ, AB¯ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ କେତେ ଓ A ଠାରୁ ଏହାର ଦୂରତା କେତେ ?

ଉତ୍ତର:

ଦତ୍ତ, A ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ a = -11

B ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ b = 21

AB¯ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ M ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ = (a + b) / 2

= (-11 + 21) / 2

= 10 / 2

= 5

∴ AB¯ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ 5 ଅଟେ ।

A ଠାରୁ ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ M ର ଦୂରତା = AM = |M ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ - A ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ|

= |5 - (-11)|

= |5 + 11|

= |16|

= 16

∴ A ଠାରୁ ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର ଦୂରତା 16 ଅଟେ ।

(ଙ) A ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ –5 ଓ AB¯ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ O ହେଲେ B ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ କେତେ ?

ଉତ୍ତର:

ଦତ୍ତ, A ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ a = -5

AB¯ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ M ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ = 0

ମନେକର B ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ b ।

ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ, M ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ = (a + b) / 2

0 = (-5 + b) / 2

0 = -5 + b

b = 5

∴ B ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ 5 ଅଟେ ।

୭. A, L ସରଳରେଖା ଉପରିସ୍ଥ ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଏବଂ A ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ 5 ଅଟେ । A ଠାରୁ 2 ଏକକ ଦୂରତା ବିଶିଷ୍ଟ କେତୋଟି ବିନ୍ଦୁ L ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ ହେବ ଓ ସେମାନଙ୍କର ସ୍ଥାନାଙ୍କ କେତେ ହେବ ?

ଉତ୍ତର:

A ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ = 5 ।

A ଠାରୁ 2 ଏକକ ଦୂରତା ବିଶିଷ୍ଟ ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ L ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ ହେବେ ।

ମନେକର ସେହି ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକର ସ୍ଥାନାଙ୍କ x ।

ତେବେ |x - 5| = 2 ।

x - 5 = 2 କିମ୍ବା x - 5 = -2 ।

x = 2 + 5 କିମ୍ବା x = -2 + 5 ।

x = 7 କିମ୍ବା x = 3 ।

∴ A ଠାରୁ 2 ଏକକ ଦୂରତା ବିଶିଷ୍ଟ ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ L ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ ହେବେ ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଯଥାକ୍ରମେ 3 ଓ 7 ହେବ ।

୮. ନିମ୍ନଲିଖିତ ପଦଗୁଡ଼ିକୁ ଉଦାହରଣ ମାଧ୍ୟମରେ ବୁଝାଅ ।

ରେଖାଖଣ୍ଡର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ, ବିପରୀତ ରଶ୍ମି, ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟସ୍ଥ ଦୂରତା, ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତିତା ।

ଉତ୍ତର:

ରେଖାଖଣ୍ଡର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ (Mid-point of a line segment):

ସଂଜ୍ଞା: ଯଦି ଏକ ରେଖାଖଣ୍ଡ AB¯ ଉପରେ M ଏକ ବିନ୍ଦୁ ହୁଏ ଏବଂ AM = MB ହୁଏ, ତେବେ M କୁ AB¯ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ କୁହାଯାଏ ।

ଉଦାହରଣ: ଯଦି ଏକ ରେଖାଖଣ୍ଡ PQ¯ ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 10 ଏକକ ହୁଏ ଏବଂ R ବିନ୍ଦୁ PQ¯ ଉପରେ ଏପରି ଅବସ୍ଥିତ ଯେ PR = 5 ଏକକ, ତେବେ R ହେଉଛି PQ¯ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।

ବିପରୀତ ରଶ୍ମି (Opposite rays):

ସଂଜ୍ଞା: ଯଦି ଗୋଟିଏ ସରଳରେଖା AB↔ ଉପରେ O ଏକ ବିନ୍ଦୁ ହୁଏ ଏବଂ O, A ଓ B ର ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ହୁଏ, ତେବେ OA→ ଓ OB→ କୁ ପରସ୍ପର ବିପରୀତ ରଶ୍ମି କୁହାଯାଏ ।

ଉଦାହରଣ: ଏକ ସରଳରେଖା L ଉପରେ P ଏକ ବିନ୍ଦୁ । P ରୁ ଆରମ୍ଭ ହୋଇ ଦୁଇ ବିପରୀତ ଦିଗକୁ ଯାଉଥିବା ରଶ୍ମିଗୁଡ଼ିକ P ରୁ ଆରମ୍ଭ ହୋଇଥିବା ବିପରୀତ ରଶ୍ମି ଅଟନ୍ତି ।

ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟସ୍ଥ ଦୂରତା (Distance between points):

ସଂଜ୍ଞା: ରୁଲର୍ ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ ଅନୁଯାୟୀ, ଗୋଟିଏ ସରଳରେଖାରେ ଥିବା ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ A ଓ B ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଯଥାକ୍ରମେ a ଓ b ହେଲେ, ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟସ୍ଥ ଦୂରତା AB = |a - b| ଅଟେ ।

ଉଦାହରଣ: ଯଦି ସଂଖ୍ୟାରେଖାରେ ବିନ୍ଦୁ X ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ 3 ଏବଂ ବିନ୍ଦୁ Y ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ 8 ହୁଏ, ତେବେ X ଓ Y ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା XY = |8 - 3| = 5 ଏକକ ।

ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତିତା (Betweenness):

ସଂଜ୍ଞା: ତିନୋଟି ପୃଥକ୍ ବିନ୍ଦୁ A, B ଓ C ଯଦି ଏକ ସରଳରେଖାରେ ଅବସ୍ଥାନ କରନ୍ତି ଏବଂ AB + BC = AC ହୁଏ, ତେବେ B କୁ A ଓ C ର ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ବିନ୍ଦୁ କୁହାଯାଏ । ଏହାକୁ A-B-C ଭାବରେ ଲେଖାଯାଏ ।

ଉଦାହରଣ: ଯଦି ଏକ ସରଳରେଖାରେ ତିନୋଟି ବିନ୍ଦୁ P, Q, R ଅଛନ୍ତି ଏବଂ PQ = 7 ଏକକ, QR = 4 ଏକକ ଓ PR = 11 ଏକକ ହୁଏ, ତେବେ PQ + QR = 7 + 4 = 11 = PR । ତେଣୁ Q ବିନ୍ଦୁ P ଓ R ର ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ଅଟେ ।

ଅନୁଶୀଳନୀ - 1(b)

୧. ନିମ୍ନଲିଖିତ ପଦଗୁଡିକର ସଂଜ୍ଞା ଲେଖ ।

କୋଣର ଅନ୍ତର୍ଦେଶ, ସନ୍ନିହିତ କୋଣ, ପ୍ରତୀପ କୋଣ, ପରିପୂରକ କୋଣ, ଅନୁପୂରକ କୋଣ ।

ଉତ୍ତର:

କୋଣର ଅନ୍ତର୍ଦେଶ (Interior of an Angle):

ସଂଜ୍ଞା: ∠ABC ର ଅନ୍ତର୍ଦେଶ ହେଉଛି BC↔ ର A-ପାର୍ଶ୍ଵ ଓ AB↔ ର C-ପାର୍ଶ୍ଵର ଛେଦ । ଏହି ଅନ୍ତର୍ଦେଶରେ ଥିବା ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ କୋଣର ଅନ୍ତଃସୁ ବିନ୍ଦୁ କୁହାଯାଏ ।

ସନ୍ନିହିତ କୋଣ (Adjacent Angles):

ସଂଜ୍ଞା: ଦୁଇଟି କୋଣର ଗୋଟିଏ ସାଧାରଣ ବାହୁ ଓ କୋଣ ଦ୍ୱୟର ଅନ୍ୟବାହୁ ଦୁଇଟି ସାଧାରଣ ବାହୁର ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ବିସ୍ତୃତ ହେଲେ, ସେମାନଙ୍କୁ ସନ୍ନିହିତ କୋଣ କୁହାଯାଏ ।

ପ୍ରତୀପ କୋଣ (Vertically Opposite Angles):

ସଂଜ୍ଞା: ଗୋଟିଏ କୋଣର ବାହୁଦ୍ୱୟର ବିପରୀତ ରଶ୍ମି ମାନଙ୍କ ଦ୍ୱାରା ଗଠିତ କୋଣକୁ ଉକ୍ତ କୋଣର ପ୍ରତୀପ କୋଣ କୁହାଯାଏ ।

ପରିପୂରକ କୋଣ (Supplementary Angles):

ସଂଜ୍ଞା: ଦୁଇଟି କୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 180° ହେଲେ ସେମାନଙ୍କୁ ପରସ୍ପର ପରିପୂରକ କୋଣ କୁହାଯାଏ ।

ଅନୁପୂରକ କୋଣ (Complementary Angles):

ସଂଜ୍ଞା: ଦୁଇଟି କୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 90° ହେଲେ ସେମାନଙ୍କୁ ପରସ୍ପର ଅନୁପୂରକ କୋଣ କୁହାଯାଏ ।

୨. ନିମ୍ନ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ଦିଅ ।

(i) ଗୋଟିଏ କୋଣର କେତୋଟି ବାହୁ ଥାଏ ?

ଉତ୍ତର: ଦୁଇଟି ।

(ii) ଗୋଟିଏ କୋଣର କେତୋଟି ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ଥାଏ ?

ଉତ୍ତର: ଗୋଟିଏ ।

(iii) କୋଣର ଅନ୍ତର୍ଦେଶରେ କେତୋଟି ବିନ୍ଦୁ ଥାଏ ?

ଉତ୍ତର: ଅସଂଖ୍ୟ ।

(iv) କୋଣ ଓ ଏହାର ଅନ୍ତର୍ଦେଶର ଛେଦରେ କେତୋଟି ବିନ୍ଦୁ ଥାଏ ?

ଉତ୍ତର: ଅସଂଖ୍ୟ । (କୋଣର ଅନ୍ତର୍ଦେଶ କୋଣର ବାହୁକୁ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ କରେ ନାହିଁ, ତେଣୁ ଛେଦ କେବଳ ଅନ୍ତର୍ଦେଶରେ ଥିବା ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ ହେବ ।)

୩. ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ତାଲିକାରୁ କେଉଁ ଗୁଡିକ ଉତ୍ତଳ ସେଟ୍ ଦର୍ଶାଅ :

(i) ରେଖାଖଣ୍ଡ, (ii) ରଶ୍ମି, (iii) ରେଖା, (iv) କୋଣ, (v) କୋଣର ଅନ୍ତର୍ଦେଶ, (vi) ସମତଳ, (vii) କୋଣର ବହିର୍ଦେଶ ।

ଉତ୍ତର:

ଉତ୍ତଳ ସେଟ୍: (i) ରେଖାଖଣ୍ଡ, (ii) ରଶ୍ମି, (iii) ରେଖା, (v) କୋଣର ଅନ୍ତର୍ଦେଶ, (vi) ସମତଳ ।

ଉତ୍ତଳ ନୁହେଁ: (iv) କୋଣ, (vii) କୋଣର ବହିର୍ଦେଶ ।

୪. ତିନୋଟି ସରଳରେଖା ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦକରୁଥିବାର ଏକ ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର । ତତ୍ପରେ ଚିତ୍ରକୁ ଦେଖି ପ୍ରତୀପ କୋଣ ଯୋଡ଼ା ଗୁଡ଼ିକୁ ଲେଖ ।

ଉତ୍ତର:

(ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କରାଯାଇଛି, ଛେଦବିନ୍ଦୁ O, P, Q)

ମନେକର ତିନୋଟି ସରଳରେଖା L₁, L₂, L₃ ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦ କରୁଛନ୍ତି ।

ଯଦି ସେମାନେ ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି (ଯେପରିକି O), ତେବେ ପ୍ରତୀପ କୋଣ ଯୋଡ଼ାଗୁଡ଼ିକ ହେବ:

∠AOC ଓ ∠BOD

∠AOD ଓ ∠BOC

∠AOE ଓ ∠BOF

∠AOF ଓ ∠BOE

∠COE ଓ ∠DOF

∠COF ଓ ∠DOE

(ଏଠାରେ ଚିତ୍ର ଦିଆଯାଇ ନାହିଁ, କିନ୍ତୁ ଉତ୍ତରରେ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ପ୍ରତୀପ କୋଣ ଯୋଡ଼ାଗୁଡ଼ିକ ଲେଖାଯାଇଛି ।)

୫. ଦୁଇଟି ସରଳରେଖା ପରସ୍ପରକୁ ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଥିବାର ଚିତ୍ରଟିଏ ଅଙ୍କନ କର । ତତ୍ପରେ ଚିତ୍ରରୁ ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣଯୋଡ଼ାଗୁଡ଼ିକୁ ଲେଖ ।

ଉତ୍ତର:

(ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କରାଯାଇଛି, AB↔ ଓ CD↔ ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଛନ୍ତି)

ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣଯୋଡ଼ାଗୁଡ଼ିକ ହେବ:

∠AOC ଓ ∠AOD

∠AOD ଓ ∠BOD

∠BOD ଓ ∠BOC

∠BOC ଓ ∠AOC

୬. XY ସରଳରେଖାର ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ଵରେ M ଓ N ବିନ୍ଦୁକୁ ଚିହ୍ନଟ କର । ଅଙ୍କିତ ସରଳରେଖାର N-ପାର୍ଶ୍ଵରେ C ବିନ୍ଦୁ ଏବଂ M-ପାର୍ଶ୍ଵରେ B ବିନ୍ଦୁ ଚିହ୍ନଟ କର । ଚିତ୍ର ମାଧ୍ୟମରେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, BM¯ ଓ NC¯ ରେଖାଖଣ୍ଡଦ୍ୱୟ ସରଳରେଖାର ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ରହିବେ ।

ଉତ୍ତର:

(ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କରାଯିବ)

XY↔ ସରଳରେଖା ଅଙ୍କନ କର ।

XY↔ ର ଉପର ପାର୍ଶ୍ଵରେ M ବିନ୍ଦୁ ଓ ତଳ ପାର୍ଶ୍ଵରେ N ବିନ୍ଦୁ ଚିହ୍ନଟ କର ।

N-ପାର୍ଶ୍ଵରେ (ତଳ ପାର୍ଶ୍ଵରେ) C ବିନ୍ଦୁ ଚିହ୍ନଟ କର ।

M-ପାର୍ଶ୍ଵରେ (ଉପର ପାର୍ଶ୍ଵରେ) B ବିନ୍ଦୁ ଚିହ୍ନଟ କର ।

BM¯ ଓ NC¯ ରେଖାଖଣ୍ଡ ଅଙ୍କନ କର ।

ଚିତ୍ରରୁ ଦେଖାଯିବ ଯେ, BM¯ ରେଖାଖଣ୍ଡ XY↔ କୁ ଛେଦ କରୁନାହିଁ, କାରଣ B ଓ M ଉଭୟ XY↔ ର ଗୋଟିଏ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଅଛନ୍ତି ।

ସେହିପରି NC¯ ରେଖାଖଣ୍ଡ XY↔ କୁ ଛେଦ କରୁନାହିଁ, କାରଣ N ଓ C ଉଭୟ XY↔ ର ଗୋଟିଏ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଅଛନ୍ତି ।

ତେଣୁ BM¯ ଓ NC¯ ରେଖାଖଣ୍ଡଦ୍ୱୟ ସରଳରେଖାର ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ରହିବେ ନାହିଁ । ବରଂ ଉଭୟ ରେଖାଖଣ୍ଡ XY↔ ର ଗୋଟିଏ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ରହିବେ ।

(ପ୍ରଶ୍ନରେ 'ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ରହିବେ' ବୋଲି ଦର୍ଶାଇବାକୁ କୁହାଯାଇଛି, ଯାହାକି ଭୁଲ୍ । ସେମାନେ ଗୋଟିଏ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ରହିବେ ।)

୭. ନିମ୍ନ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ଦିଅ । ଆବଶ୍ୟକ ସ୍ଥଳେ ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର ।

(i) x ବିନ୍ଦୁ AB↔ ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ ନହେଲେ ଓ A - O - B ହେଲେ m∠XOA + m∠XOB କେତେ ?

ଉତ୍ତର:

ଯେହେତୁ A-O-B, OA→ ଓ OB→ ପରସ୍ପର ବିପରୀତ ରଶ୍ମି ।

X ବିନ୍ଦୁ AB↔ ଉପରେ ନାହିଁ । ତେଣୁ OX→ ରଶ୍ମି OA→ ଓ OB→ ରଶ୍ମି ସହ କୋଣ ସୃଷ୍ଟି କରିବ ।

m∠XOA + m∠XOB = 180° (ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ) ।

∴ m∠XOA + m∠XOB = 180° ।

(ii) AB↔ ଓ CD↔ ର ଛେଦବିନ୍ଦୁ O ହେଲେ ∠AOC ର ପ୍ରତୀପ କୋଣ କେଉଁଟି ?

ଉତ୍ତର: ∠BOD ।

(iii) C, ∠AOB ର ଅନ୍ତଃସୁ ବିନ୍ଦୁ, m∠AOC = x ଓ m∠AOB = y ହେଲେ m∠BOC କେତେ ?

ଉତ୍ତର:

ପ୍ରୋଟାକ୍ଟର ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ ଅନୁଯାୟୀ, ଯଦି C, ∠AOB ର ଅନ୍ତଃସୁ ବିନ୍ଦୁ ହୁଏ, ତେବେ m∠AOB = m∠AOC + m∠BOC ।

y = x + m∠BOC

m∠BOC = y - x ।

∴ m∠BOC = y - x ।

(iv) ଦୁଇଟି ସରଳରେଖା ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦ କଲେ ଉତ୍ପନ୍ନ ହେଉଥିବା କୋଣ ଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଯଦି ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ 30° ହୁଏ, ତେବେ ଏହାର ପ୍ରତୀପ କୋଣର ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣ କେତେ ହେବ ?

ଉତ୍ତର:

ମନେକର ଦୁଇଟି ସରଳରେଖା ଛେଦ କରିବା ଦ୍ୱାରା ଉତ୍ପନ୍ନ ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ 30° ।

ଏହାର ପ୍ରତୀପ କୋଣର ପରିମାଣ ମଧ୍ୟ 30° ହେବ (ଉପପାଦ୍ୟ – 2 ଅନୁଯାୟୀ) ।

ଏହି ପ୍ରତୀପ କୋଣର ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣ = 180° - 30° = 150° ।

∴ ପ୍ରତୀପ କୋଣର ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣ 150° ହେବ ।

୮. (ଖ) ବିଭାଗ

(i) m∠ABC = x° ଓ ∠ABC ର ଅନୁପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣ 2x° ହେଲେ x ର ମାନ ଡିଗ୍ରୀରେ ପ୍ରକାଶ କର ।

ଉତ୍ତର:

ଦତ୍ତ, m∠ABC = x°

∠ABC ର ଅନୁପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣ = 2x°

ଅନୁପୂରକ କୋଣର ସଂଜ୍ଞା ଅନୁଯାୟୀ, ଦୁଇଟି କୋଣର ସମଷ୍ଟି 90° ।

x° + 2x° = 90°

3x° = 90°

x = 90 / 3

x = 30

∴ x ର ମାନ 30 ଡିଗ୍ରୀ ।

(ii) ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ, ଏହାର ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣର ଦୁଇଗୁଣରୁ 18° ଅଧିକ ହେଲେ କୋଣଟିର ପରିମାଣ କେତେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ଉତ୍ତର:

ମନେକର କୋଣଟିର ପରିମାଣ = x° ।

ଏହାର ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣ = (180 - x)° ।

ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ,

x = 2(180 - x) + 18

x = 360 - 2x + 18

x + 2x = 378

3x = 378

x = 378 / 3

x = 126

∴ କୋଣଟିର ପରିମାଣ 126° ।

(iii) ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ, ତାହାର ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣର ଏକ ପଞ୍ଚମାଂଶ ହେଲେ କୋଣଟିର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।

ଉତ୍ତର:

ମନେକର କୋଣଟିର ପରିମାଣ = x° ।

ଏହାର ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣ = (180 - x)° ।

ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ,

x = (1/5) × (180 - x)

5x = 180 - x

5x + x = 180

6x = 180

x = 180 / 6

x = 30

∴ କୋଣଟିର ପରିମାଣ 30° ।

(iv) ଦୁଇଟି ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣର ଅନୁପାତ 4:5 ହେଲେ କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ଉତ୍ତର:

ମନେକର କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣ ଯଥାକ୍ରମେ 4k ଓ 5k ।

ଯେହେତୁ କୋଣଦ୍ୱୟ ପରିପୂରକ, ସେମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 180° ।

4k + 5k = 180

9k = 180

k = 180 / 9

k = 20

ପ୍ରଥମ କୋଣର ପରିମାଣ = 4k = 4 × 20 = 80° ।

ଦ୍ୱିତୀୟ କୋଣର ପରିମାଣ = 5k = 5 × 20 = 100° ।

∴ କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣ 80° ଓ 100° ।

(v) ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ, ତାହାର ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣ ଠାରୁ 20° କମ୍ ହେଲେ, କୋଣଟିର ପରିମାଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ଉତ୍ତର:

ମନେକର କୋଣଟିର ପରିମାଣ = x° ।

ଏହାର ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣ = (180 - x)° ।

ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ,

x = (180 - x) - 20

x = 160 - x

x + x = 160

2x = 160

x = 160 / 2

x = 80

∴ କୋଣଟିର ପରିମାଣ 80° ।

(vi) ଦୁଇଟି ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣର ଅନ୍ତର 30° ହେଲେ କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।

ଉତ୍ତର:

ମନେକର କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣ ଯଥାକ୍ରମେ x° ଓ y° ।

ଯେହେତୁ କୋଣଦ୍ୱୟ ପରିପୂରକ, x + y = 180° (i)

ଯେହେତୁ ସେମାନଙ୍କର ଅନ୍ତର 30°, x - y = 30° (ii)

(i) ଓ (ii) କୁ ଯୋଗ କରିବା:

(x + y) + (x - y) = 180 + 30

2x = 210

x = 210 / 2

x = 105

x ର ମାନ (i) ରେ ସ୍ଥାପନ କରିବା:

105 + y = 180

y = 180 - 105

y = 75

∴ କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣ 105° ଓ 75° ।

(vii) ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ ତାହାର ଅନୁପୂରକ କୋଣ ପରିମାଣର ଏକ ପଞ୍ଚମାଂଶ ହେଲେ, କୋଣଟିର ପରିମାଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ଉତ୍ତର:

ମନେକର କୋଣଟିର ପରିମାଣ = x° ।

ଏହାର ଅନୁପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣ = (90 - x)° ।

ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ,

x = (1/5) × (90 - x)

5x = 90 - x

5x + x = 90

6x = 90

x = 90 / 6

x = 15

∴ କୋଣଟିର ପରିମାଣ 15° ।

୯. ନିମ୍ନସ୍ଥ ଚିତ୍ରଗୁଡ଼ିକ ଅନୁସାରେ x ର ମାନ କେତେ ହେବ ସ୍ଥିର କର ।

(କ) ଚିତ୍ର 1.35 (କ)

ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ, 3x° ଓ 2x° ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ ।

3x + 2x = 180°

5x = 180°

x = 180 / 5

x = 36

∴ x = 36 ।

(ଖ) ଚିତ୍ର 1.35 (ଖ)

ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ, (x - 4)° ଓ (3x + 8)° ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ ।

(x - 4) + (3x + 8) = 180°

4x + 4 = 180°

4x = 180 - 4

4x = 176

x = 176 / 4

x = 44

∴ x = 44 ।

(ଗ) ଚିତ୍ର 1.35 (ଗ)

ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ, (2x - 30)° ଓ (x + 20)° ପ୍ରତୀପ କୋଣ ।

(2x - 30) = (x + 20)

2x - x = 20 + 30

x = 50

∴ x = 50 ।

୧୦. ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ AB↔ ଓ CD↔ ସରଳରେଖାଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । m∠COE = 90° ହେଲେ x, y ଓ z ର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

(ଚିତ୍ର 1.36)

ଉତ୍ତର:

ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ, AB↔ ଓ CD↔ ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।

m∠COE = 90° ।

m∠AOC = x°, m∠BOD = y°, m∠AOE = 2x°, m∠DOE = z° ।

∠AOC ଓ ∠BOD ପ୍ରତୀପ କୋଣ ।

ତେଣୁ m∠AOC = m∠BOD

x = y ।

∠COE ଓ ∠DOE ସନ୍ନିହିତ କୋଣ ।

m∠COE + m∠DOE = m∠COD (ଯଦି O, C, D ଏକ ସରଳରେଖାରେ ଥାଆନ୍ତି)

କିନ୍ତୁ ଚିତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ, C, O, D ଏକ ସରଳରେଖାରେ ଅଛନ୍ତି ।

m∠COE + m∠DOE = 180° (ସରଳକୋଣ)

90° + z = 180°

z = 180° - 90°

z = 90° ।

∠AOE ଓ ∠BOE ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ ।

m∠AOE + m∠BOE = 180° ।

2x + (m∠BOD + m∠DOE) = 180°

2x + (y + z) = 180°

2x + (x + 90) = 180° (ଯେହେତୁ y = x ଓ z = 90)

3x + 90 = 180°

3x = 180 - 90

3x = 90

x = 90 / 3

x = 30 ।

ଯେହେତୁ x = y, ତେଣୁ y = 30 ।

∴ x = 30°, y = 30°, z = 90° ।

୧୧. ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ PQ↔ ଓ RS↔ ଦ୍ୱୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ O ହେଲେ m∠POC = 75°, a, b ଏବଂ c ର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

(ଚିତ୍ର 1.37)

ଉତ୍ତର:

ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ, PQ↔ ଓ RS↔ ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।

m∠POC = 75° ।

m∠QOR = 2c, m∠POS = a, m∠SOQ = 4b, m∠POR = b ।

∠POC ଓ ∠SOQ ପ୍ରତୀପ କୋଣ ।

ତେଣୁ m∠SOQ = m∠POC = 75° ।

4b = 75

b = 75 / 4 = 18.75 ।

∠POC ଓ ∠POS ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ ।

m∠POC + m∠POS = 180°

75° + a = 180°

a = 180° - 75°

a = 105° ।

∠POS ଓ ∠QOR ପ୍ରତୀପ କୋଣ ।

ତେଣୁ m∠QOR = m∠POS = a = 105° ।

2c = 105

c = 105 / 2 = 52.5 ।

∴ a = 105°, b = 18.75°, c = 52.5° ।

(ଗ) ବିଭାଗ

୧୨. ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ଦୁଇଟି ପ୍ରତୀପ କୋଣର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଏକ ସରଳରେଖା ଉପରିସ୍ଥ ଦୁଇଟି ବିପରୀତ ରଶ୍ମିହେବେ ।

ଦତ୍ତ: AB↔ ଓ CD↔ ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।

∠AOC ଓ ∠BOD ପ୍ରତୀପ କୋଣ ।

OM→ ହେଉଛି ∠AOC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।

ON→ ହେଉଛି ∠BOD ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: OM→ ଓ ON→ ବିପରୀତ ରଶ୍ମି ଅଟନ୍ତି ।

ପ୍ରମାଣ:

OM→ ହେଉଛି ∠AOC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।

ତେଣୁ m∠AOM = m∠MOC = (1/2) m∠AOC (i)

ON→ ହେଉଛି ∠BOD ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।

ତେଣୁ m∠BON = m∠NOD = (1/2) m∠BOD (ii)

ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ ପ୍ରତୀପ କୋଣଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ।

m∠AOC = m∠BOD (iii)

(i), (ii) ଓ (iii) ରୁ, m∠AOM = m∠BON (iv)

∠AOC ଓ ∠BOC ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ ।

m∠AOC + m∠BOC = 180° (v)

m∠AOM + m∠MOC + m∠BOC = 180°

m∠AOM + m∠AOM + m∠BOC = 180° (m∠MOC = m∠AOM)

2 m∠AOM + m∠BOC = 180° (vi)

ସେହିପରି, m∠BON + m∠NOD + m∠COB = 180°

m∠BON + m∠BON + m∠COB = 180°

2 m∠BON + m∠COB = 180° (vii)

(vi) ଓ (vii) ରୁ, 2 m∠AOM + m∠BOC = 2 m∠BON + m∠COB ।

ଯେହେତୁ m∠BOC = m∠COB,

2 m∠AOM = 2 m∠BON

m∠AOM = m∠BON (ଯାହା (iv) ରେ ପ୍ରମାଣିତ) ।

ବର୍ତ୍ତମାନ, m∠AOM + m∠AOD + m∠DON = 180° (ସରଳକୋଣ)

m∠AOM + m∠AOD + m∠BON = 180° (ଯେହେତୁ m∠DON = m∠BON)

m∠AOM + m∠AOD + m∠AOM = 180° (ଯେହେତୁ m∠BON = m∠AOM)

2 m∠AOM + m∠AOD = 180° ।

ଆମେ ଜାଣୁ m∠AOC + m∠AOD = 180° ।

2 m∠AOM + m∠AOD = m∠AOC + m∠AOD

2 m∠AOM = m∠AOC । ଏହା ସତ୍ୟ ।

m∠MON = m∠MOC + m∠COB + m∠BON

m∠MON = (1/2)m∠AOC + m∠COB + (1/2)m∠BOD

m∠MON = (1/2)m∠AOC + m∠COB + (1/2)m∠AOC (ଯେହେତୁ m∠AOC = m∠BOD)

m∠MON = m∠AOC + m∠COB

m∠MON = 180° (ଯେହେତୁ ∠AOC ଓ ∠COB ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ) ।

ଯେହେତୁ m∠MON = 180°, ତେଣୁ OM→ ଓ ON→ ଏକ ସରଳରେଖାରେ ଅବସ୍ଥିତ ଏବଂ O ସେମାନଙ୍କର ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ବିନ୍ଦୁ ।

ଅତଏବ, OM→ ଓ ON→ ବିପରୀତ ରଶ୍ମି ଅଟନ୍ତି (ପ୍ରମାଣିତ) ।

୧୩. ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ଦୁଇଟି ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ରଶ୍ମିଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ।

ଦତ୍ତ: ∠AOC ଓ ∠BOC ଦୁଇଟି ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ ।

OM→ ହେଉଛି ∠AOC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।

ON→ ହେଉଛି ∠BOC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: OM→ ⊥ ON→ (ଅର୍ଥାତ୍ m∠MON = 90°) ।

ପ୍ରମାଣ:

ଯେହେତୁ ∠AOC ଓ ∠BOC ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ,

m∠AOC + m∠BOC = 180° (i)

OM→ ହେଉଛି ∠AOC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।

ତେଣୁ m∠MOC = (1/2) m∠AOC (ii)

ON→ ହେଉଛି ∠BOC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।

ତେଣୁ m∠NOC = (1/2) m∠BOC (iii)

m∠MON = m∠MOC + m∠NOC (ଯେହେତୁ OC→, OM→ ଓ ON→ ମଧ୍ୟରେ ଅଛି)

m∠MON = (1/2) m∠AOC + (1/2) m∠BOC (ii) ଓ (iii) ରୁ)

m∠MON = (1/2) (m∠AOC + m∠BOC)

m∠MON = (1/2) (180°) (i) ରୁ)

m∠MON = 90° ।

ଯେହେତୁ m∠MON = 90°, ତେଣୁ OM→ ⊥ ON→ (ପ୍ରମାଣିତ) ।

୧୪. ପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ ∠AOE ଏବଂ ∠EOB ଦୁଇଟି ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ ଓ OC→, ∠AOE କୁ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡିତ କରେ । m∠COD = 90° ହେଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, OD→, ∠EOB ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ହେବ ।

(ଚିତ୍ର 1.38)

ଦତ୍ତ: ∠AOE ଓ ∠EOB ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ ।

OC→, ∠AOE ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।

m∠COD = 90° ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: OD→, ∠EOB ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ । (ଅର୍ଥାତ୍ m∠EOD = m∠DOB)

ପ୍ରମାଣ:

ଯେହେତୁ ∠AOE ଓ ∠EOB ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ,

m∠AOE + m∠EOB = 180° (i)

OC→, ∠AOE ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।

ତେଣୁ m∠AOC = m∠COE = (1/2) m∠AOE (ii)

ଆମକୁ ଦତ୍ତ ଅଛି m∠COD = 90° ।

m∠COE + m∠EOD = m∠COD (ଯେହେତୁ OE→, OC→ ଓ OD→ ମଧ୍ୟରେ ଅଛି)

m∠COE + m∠EOD = 90° (iii)

(ii) ରୁ m∠COE = (1/2) m∠AOE ।

(iii) ରେ ସ୍ଥାପନ କରିବା:

(1/2) m∠AOE + m∠EOD = 90° (iv)

(i) ରୁ m∠AOE = 180° - m∠EOB ।

(iv) ରେ m∠AOE ର ମାନ ସ୍ଥାପନ କରିବା:

(1/2) (180° - m∠EOB) + m∠EOD = 90°

90° - (1/2) m∠EOB + m∠EOD = 90°

m∠EOD = (1/2) m∠EOB ।

ଯେହେତୁ m∠EOD = (1/2) m∠EOB, ତେଣୁ OD→, ∠EOB ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଅଟେ (ପ୍ରମାଣିତ) ।

୧୫. AB↔ ଓ CD↔ ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । ∠AOC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ OX→ । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ XO→ କୋଣ BOD କୁ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡିତ କରେ ।

(ଚିତ୍ର 1.38 ରେ ∠AOC ଓ ∠BOD ପ୍ରତୀପ କୋଣ, OX→ ∠AOC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ, OY→ ∠BOD ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ । ଏଠାରେ OY→ ବଦଳରେ OX→ କୁ ପ୍ରମାଣ କରିବାକୁ ହେବ ।)

ଦତ୍ତ: AB↔ ଓ CD↔ ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।

OX→ ହେଉଛି ∠AOC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: OX→, ∠BOD ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ । (ଅର୍ଥାତ୍ m∠BOX = m∠DOX)

ପ୍ରମାଣ:

ଯେହେତୁ AB↔ ଓ CD↔ ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି,

m∠AOC = m∠BOD (ପ୍ରତୀପ କୋଣ) (i)

OX→ ହେଉଛି ∠AOC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।

ତେଣୁ m∠AOX = m∠XOC = (1/2) m∠AOC (ii)

∠AOC ଓ ∠AOD ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ ।

m∠AOC + m∠AOD = 180° (iii)

∠AOD ଓ ∠BOD ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ ।

m∠AOD + m∠BOD = 180° (iv)

(iii) ଓ (iv) ରୁ, m∠AOC = m∠BOD (ଯାହା (i) ରେ ପ୍ରମାଣିତ) ।

ବର୍ତ୍ତମାନ, m∠AOX + m∠AOD + m∠DOX = 180° (ସରଳକୋଣ)

(1/2) m∠AOC + m∠AOD + m∠DOX = 180° (ii) ରୁ)

(1/2) m∠BOD + m∠AOD + m∠DOX = 180° (i) ରୁ) (v)

ଆମେ ଜାଣୁ m∠AOD + m∠BOD = 180° ।

m∠AOD = 180° - m∠BOD ।

ଏହି ମାନକୁ (v) ରେ ସ୍ଥାପନ କରିବା:

(1/2) m∠BOD + (180° - m∠BOD) + m∠DOX = 180°

(1/2) m∠BOD - m∠BOD + m∠DOX = 0

(1/2) m∠BOD + m∠DOX = 0

m∠DOX = (1/2) m∠BOD ।

ଯେହେତୁ m∠DOX = (1/2) m∠BOD, ତେଣୁ OX→, ∠BOD ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଅଟେ (ପ୍ରମାଣିତ) ।

୧୬. OA→, OB→, OC→ ଏକ ସମତଳରେ ଅବସ୍ଥିତ ରଶ୍ମି । କୌଣସି ରଶ୍ମି ଅନ୍ୟ ରଶ୍ମି ଦୁଇଟି ଦ୍ୱାରା ଗଠିତ କୋଣର ଅନ୍ତର୍ଦେଶରେ ନୁହେଁ । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, m∠AOB + m∠BOC + m∠COA = 360° ।

(ଚିତ୍ର 1.39)

ଦତ୍ତ: OA→, OB→, OC→ ଏକ ସମତଳରେ ଅବସ୍ଥିତ ତିନୋଟି ରଶ୍ମି ।

କୌଣସି ରଶ୍ମି ଅନ୍ୟ ରଶ୍ମି ଦୁଇଟି ଦ୍ୱାରା ଗଠିତ କୋଣର ଅନ୍ତର୍ଦେଶରେ ନୁହେଁ ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: m∠AOB + m∠BOC + m∠COA = 360° ।

ଅଙ୍କନ: OA→ ର ବିପରୀତ ରଶ୍ମି OD→ ଅଙ୍କନ କର ।

ପ୍ରମାଣ:

ଯେହେତୁ OA→ ଓ OD→ ବିପରୀତ ରଶ୍ମି, ତେଣୁ ∠AOD ଏକ ସରଳକୋଣ ।

m∠AOD = 180° ।

ସେହିପରି, m∠BOD = 180° ।

m∠AOB + m∠BOD = m∠AOD = 180° (ଯେହେତୁ OB→, OA→ ଓ OD→ ମଧ୍ୟରେ ଅଛି) (i)

m∠BOC + m∠COD = m∠BOD = 180° (ଯେହେତୁ OC→, OB→ ଓ OD→ ମଧ୍ୟରେ ଅଛି) (ii)

(i) ରୁ m∠BOD = 180° - m∠AOB ।

(ii) ରେ ସ୍ଥାପନ କରିବା:

m∠BOC + m∠COD = 180° - m∠AOB

m∠COD = 180° - m∠AOB - m∠BOC (iii)

ଆମେ ଜାଣୁ m∠COA = m∠COD + m∠DOA (ଯେହେତୁ OD→, OC→ ଓ OA→ ମଧ୍ୟରେ ଅଛି)

m∠COA = (180° - m∠AOB - m∠BOC) + 180° (iii) ରୁ m∠COD ଓ m∠DOA = 180°)

m∠COA = 360° - m∠AOB - m∠BOC

m∠AOB + m∠BOC + m∠COA = 360° (ପ୍ରମାଣିତ) ।

୧୭. ପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ OE→, ∠AOB ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ରଶ୍ମି । OF→, OE→ ର ବିପରୀତ ରଶ୍ମି ହେଲେ, ଦର୍ଶାଅ ଯେ, m∠BOF = m∠AOF ।

(ଚିତ୍ର 1.39)

ଦତ୍ତ: OE→, ∠AOB ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ରଶ୍ମି ।

OF→, OE→ ର ବିପରୀତ ରଶ୍ମି ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: m∠BOF = m∠AOF ।

ପ୍ରମାଣ:

OE→, ∠AOB ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।

ତେଣୁ m∠AOE = m∠BOE (i)

OF→ ଓ OE→ ବିପରୀତ ରଶ୍ମି ।

ତେଣୁ ∠AOF ଓ ∠AOE ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ ।

m∠AOF + m∠AOE = 180° (ii)

ସେହିପରି, ∠BOF ଓ ∠BOE ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ ।

m∠BOF + m∠BOE = 180° (iii)

(ii) ରୁ m∠AOF = 180° - m∠AOE ।

(iii) ରୁ m∠BOF = 180° - m∠BOE ।

ଯେହେତୁ m∠AOE = m∠BOE (i) ରୁ),

ତେଣୁ 180° - m∠AOE = 180° - m∠BOE ।

∴ m∠AOF = m∠BOF (ପ୍ରମାଣିତ) ।

ଅନୁଶୀଳନୀ - 1(c)

୧. ନିମ୍ନଲିଖିତ ଉକ୍ତିଗୁଡ଼ିକ ଠିକ୍ ବା ଭୁଲ୍ ଲେଖ :

(a) L₁ || L₂ ଓ L₂ || L₃ ହେଲେ L₁ || L₃ ।

ଉତ୍ତର: ଠିକ୍ । (ଉପପାଦ୍ୟ – 3)

(b) L₁ ⊥ L₂ ଓ L₂ ⊥ L₃ ହେଲେ L₁ ⊥ L₃ ।

ଉତ୍ତର: ଭୁଲ୍ । (L₁ ଓ L₃ ସମାନ୍ତର ହେବେ, ଲମ୍ବ ନୁହଁନ୍ତି)

ଉତ୍ତର: ଭୁଲ୍ । (ସମାନ୍ତର ରେଖା ପୃଥକ୍ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ)

(d) ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖା ଏକ ସମତଳରେ ଅବସ୍ଥିତ ।

ଉତ୍ତର: ଠିକ୍ । (ସମାନ୍ତର ରେଖାର ସଂଜ୍ଞା ଅନୁଯାୟୀ)

(e) AB↔ || ED↔ ଓ BC↔ || EF↔ ହେଲେ m∠ABC = m∠DEF ।

ଉତ୍ତର: ଠିକ୍ । (ଯଦି ବାହୁଗୁଡ଼ିକ ସମାନ୍ତର ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ କୋଣଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ବା ପରିପୂରକ ହୁଅନ୍ତି । ଏଠାରେ ସମାନ ଦିଗରେ ସମାନ୍ତର ହେଲେ ସମାନ ହେବ) ।

୨. ପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ ଚିତ୍ର 1.49 ରେ L₁ || L₂ ଓ L₃ ସେମାନଙ୍କର ଛେଦକ । ଛେଦବିନ୍ଦୁରେ ଉତ୍ପନ୍ନକୋଣଗୁଡ଼ିକ 1, 2, 3 ........8 ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ଚିହ୍ନିତ । ଯଦି m∠3 = 65° ହେଲେ, ଅନ୍ୟ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।

(ଚିତ୍ର 1.49)

ଉତ୍ତର:

ଦତ୍ତ, L₁ || L₂ ଓ L₃ ଛେଦକ । m∠3 = 65° ।

m∠3 ଓ m∠1 ପ୍ରତୀପ କୋଣ । ତେଣୁ m∠1 = m∠3 = 65° ।

m∠3 ଓ m∠2 ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ । m∠3 + m∠2 = 180° ।

65° + m∠2 = 180° ⇒ m∠2 = 180° - 65° = 115° ।

m∠2 ଓ m∠4 ପ୍ରତୀପ କୋଣ । ତେଣୁ m∠4 = m∠2 = 115° ।

m∠3 ଓ m∠7 ଅନୁରୂପ କୋଣ । ତେଣୁ m∠7 = m∠3 = 65° ।

m∠1 ଓ m∠5 ଅନୁରୂପ କୋଣ । ତେଣୁ m∠5 = m∠1 = 65° ।

m∠4 ଓ m∠8 ଅନୁରୂପ କୋଣ । ତେଣୁ m∠8 = m∠4 = 115° ।

m∠2 ଓ m∠6 ଅନୁରୂପ କୋଣ । ତେଣୁ m∠6 = m∠2 = 115° ।

ବିକଳ୍ପରେ, m∠3 ଓ m∠5 ଏକପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ ଅନ୍ତଃସୁ କୋଣ । m∠3 + m∠5 = 180° ।

65° + m∠5 = 180° ⇒ m∠5 = 115° । (ଏହା ଭୁଲ୍, m∠5 = 65° ହେବା କଥା । ଚିତ୍ରରେ ∠3 ଓ ∠5 ଏକାନ୍ତର କୋଣ ।)

(ପାଠ୍ୟପୁସ୍ତକ ଚିତ୍ର 1.42 ରେ ∠3 ଓ ∠6 ଏକାନ୍ତର କୋଣ, ∠4 ଓ ∠5 ଏକାନ୍ତର କୋଣ । ଚିତ୍ର 1.49 ରେ ∠3 ଓ ∠5 ଏକାନ୍ତର କୋଣ ।)

ଚିତ୍ର 1.49 ଅନୁଯାୟୀ:

m∠3 = 65° (ଦତ୍ତ)

m∠1 = m∠3 = 65° (ପ୍ରତୀପ କୋଣ)

m∠3 + m∠4 = 180° (ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ) ⇒ m∠4 = 180° - 65° = 115°

m∠2 = m∠4 = 115° (ପ୍ରତୀପ କୋଣ)

m∠5 = m∠3 = 65° (ଏକାନ୍ତର କୋଣ)

m∠6 = m∠4 = 115° (ଏକାନ୍ତର କୋଣ)

m∠7 = m∠1 = 65° (ଅନୁରୂପ କୋଣ)

m∠8 = m∠2 = 115° (ଅନୁରୂପ କୋଣ)

ସମସ୍ତ କୋଣର ପରିମାଣ:

m∠1 = 65°, m∠2 = 115°, m∠3 = 65°, m∠4 = 115°,

m∠5 = 65°, m∠6 = 115°, m∠7 = 65°, m∠8 = 115° ।

୩. ପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ ଚିତ୍ର 1.50 ରେ L₁ || L₂ ଏବଂ L₃ || L₄ । ଚିତ୍ରରୁ ନିମ୍ନଲିଖିତ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କରି ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନଗୁଡ଼ିକୁ ପୂରଣ କର ।

(ଚିତ୍ର 1.50)

ଉତ୍ତର:

ଦତ୍ତ, L₁ || L₂ ଓ L₃ || L₄ ।

ଚିତ୍ରରେ, L₃ ଓ L₁ ଛେଦକ । L₄ ଓ L₁ ଛେଦକ ।

L₃ ଓ L₂ ଛେଦକ । L₄ ଓ L₂ ଛେଦକ ।

L₁ ଓ L₃ ଛେଦନରୁ ଉତ୍ପନ୍ନ କୋଣ 60° ।

m∠x: ∠x ଓ 60° ପ୍ରତୀପ କୋଣ । ତେଣୁ m∠x = 60° ।

m∠p: ∠p ଓ 60° ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ । ତେଣୁ m∠p = 180° - 60° = 120° ।

m∠r: ∠r ଓ ∠x ଅନୁରୂପ କୋଣ (L₃ || L₄ ହେତୁ) । ତେଣୁ m∠r = m∠x = 60° ।

m∠z: ∠z ଓ ∠p ଅନୁରୂପ କୋଣ (L₃ || L₄ ହେତୁ) । ତେଣୁ m∠z = m∠p = 120° ।

m∠q: ∠q ଓ ∠p ପ୍ରତୀପ କୋଣ । ତେଣୁ m∠q = m∠p = 120° ।

m∠s: ∠s ଓ ∠x ଏକାନ୍ତର କୋଣ (L₃ || L₄ ହେତୁ) । ତେଣୁ m∠s = m∠x = 60° ।

ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ:

m∠x = 60°, m∠p = 120°, m∠r = 60°, m∠z = 120°, m∠q = 120°, m∠s = 60° ।

୪. ପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ ଚିତ୍ର 1.51 ରେ L₁ || L₂ । ଚିତ୍ରକୁ ବ୍ୟବହାର କରି a, b, c, d ଦ୍ୱାରା ଚିହ୍ନିତ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।

(ଚିତ୍ର 1.51)

ଉତ୍ତର:

ଦତ୍ତ, L₁ || L₂ ।

ଚିତ୍ରରେ, 75° ଓ ∠a ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ ।

75° + ∠a = 180° ⇒ ∠a = 180° - 75° = 105° ।

∠a ଓ ∠b ଏକାନ୍ତର କୋଣ । ତେଣୁ ∠b = ∠a = 105° ।

130° ଓ ∠c ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ ।

130° + ∠c = 180° ⇒ ∠c = 180° - 130° = 50° ।

∠c ଓ ∠d ଏକାନ୍ତର କୋଣ । ତେଣୁ ∠d = ∠c = 50° ।

∴ a = 105°, b = 105°, c = 50°, d = 50° ।

୫. ପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ ଚିତ୍ର 1.52 ରେ AB¯ || CD¯ ଏବଂ AD¯ || BC¯ । ଚିତ୍ରରୁ x, y, z ର ମାନ ସ୍ଥିର କର ।

(ଚିତ୍ର 1.52)

ଉତ୍ତର:

ଦତ୍ତ, AB¯ || CD¯ ଓ AD¯ || BC¯ ।

ଚିତ୍ରରେ, ∠A = 48°, ∠D = z°, ∠C = x°, ∠B = y° ।

AB¯ || CD¯ ଏବଂ AD ଛେଦକ ।

ତେଣୁ ∠A + ∠D = 180° (ଏକପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ ଅନ୍ତଃସୁ କୋଣ)

48° + z = 180°

z = 180° - 48° = 132° ।

AD¯ || BC¯ ଏବଂ AB ଛେଦକ ।

ତେଣୁ ∠A + ∠B = 180° (ଏକପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ ଅନ୍ତଃସୁ କୋଣ)

48° + y = 180°

y = 180° - 48° = 132° ।

AD¯ || BC¯ ଏବଂ CD ଛେଦକ ।

ତେଣୁ ∠D + ∠C = 180° (ଏକପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ ଅନ୍ତଃସୁ କୋଣ)

132° + x = 180°

x = 180° - 132° = 48° ।

∴ x = 48°, y = 132°, z = 132° ।

୬. ପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ ଚିତ୍ର 1.53 ରେ PQ↔ || RS↔ । RS↔ କୁ BN↔ C ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରେ । ଚିତ୍ରରୁ x ଓ y ର ମାନ ସ୍ଥିର କର ।

(ଚିତ୍ର 1.53)

ଉତ୍ତର:

ଦତ୍ତ, PQ↔ || RS↔ । BN↔ ଛେଦକ ।

ଚିତ୍ରରେ, ∠PBN = x°, ∠QBC = y° ।

∠RCN = 80°, ∠SCN = 130° ।

∠RCN ଓ ∠SCN ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ ।

m∠RCN + m∠SCN = 180° ।

80° + 130° = 210° । ଏହା ଭୁଲ୍ । ଚିତ୍ରରେ ∠SCN 130° ହେବ ନାହିଁ ।

ଚିତ୍ରରେ, ∠RCN = 80° ।

∠RCN ଓ ∠SCN ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ ନୁହଁନ୍ତି ।

∠RCN ଓ ∠NCS ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ ।

m∠RCN = 80° ।

m∠NCS = 180° - 80° = 100° ।

∠SCN = 130° ଦିଆଯାଇଛି । ଏହା ∠RCS ର ବହିଃସୁକୋଣ ।

ଏହାକୁ ଅନ୍ୟ ଭାବରେ ଦେଖିବା ।

∠RCN = 80° ।

∠RCN ଓ ∠SCN ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ ନୁହଁନ୍ତି ।

∠RCN ଓ ∠BCS ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ ।

m∠BCS = 180° - 80° = 100° ।

ଚିତ୍ରରେ, ∠SCN = 130° ଦିଆଯାଇଛି । ଏହା ∠BCS ର ବହିଃସୁକୋଣ ।

∠SCN = 130° ।

∠BCS = 180° - 130° = 50° ।

ଯେହେତୁ PQ↔ || RS↔,

∠QBC ଓ ∠BCS ଏକାନ୍ତର କୋଣ ।

y = m∠BCS = 50° ।

∠PBN ଓ ∠RCN ଅନୁରୂପ କୋଣ ।

x = m∠RCN = 80° ।

∴ x = 80°, y = 50° ।

୭. ଚିତ୍ର 1.54 ରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଚିତ୍ର ଦୁଇଯୋଡ଼ା ସମାନ୍ତର ରେଖାଦ୍ୱାରା ଗଠିତ ଏବଂ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଚିତ୍ରରେ ଦୁଇଟି କୋଣର ପରିମାଣ ସଂକେତରେ ଦର୍ଶାଯାଇଛି ।

(i) ଚିତ୍ର 1.54 (a) ରୁ x ଓ y ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ବନ୍ଧ ସ୍ଥିର କର ।

ଉତ୍ତର:

ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ, ଉଭୟ x° ଓ y° ଏକପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ ଅନ୍ତଃସୁ କୋଣ ।

ତେଣୁ x + y = 180° ।

∴ x ଓ y ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ବନ୍ଧ x + y = 180° ।

(ii) ଚିତ୍ର 1.54 (b) ରୁ a ଓ b ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ବନ୍ଧ ସ୍ଥିର କର ।

ଉତ୍ତର:

ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ, ଉଭୟ a° ଓ b° ଏକାନ୍ତର କୋଣ ।

ତେଣୁ a = b ।

∴ a ଓ b ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ବନ୍ଧ a = b ।

୮. (ଖ) ବିଭାଗ

(i) ପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ ଚିତ୍ର 1.55 ରେ m∠ABC = 74°, m∠EDC = 38°, m∠BCD = 36° । ପ୍ରମାଣକର ଯେ, DE→ || BA→ ।

(ଚିତ୍ର 1.55)

ଦତ୍ତ: m∠ABC = 74°, m∠EDC = 38°, m∠BCD = 36° ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: DE→ || BA→ ।

ଅଙ୍କନ: C ବିନ୍ଦୁ ଦେଇ BA→ ସହ ସମାନ୍ତର ଏକ ସରଳରେଖା CF↔ ଅଙ୍କନ କର ।

ପ୍ରମାଣ:

ଯେହେତୁ CF↔ || BA→,

m∠BCF = m∠ABC = 74° (ଏକାନ୍ତର କୋଣ) ।

ଆମକୁ ଦତ୍ତ ଅଛି m∠BCD = 36° ।

m∠FCD = m∠BCF - m∠BCD = 74° - 36° = 38° ।

ବର୍ତ୍ତମାନ, m∠FCD = 38° ଓ m∠EDC = 38° ।

ଯେହେତୁ ∠FCD ଓ ∠EDC ଏକାନ୍ତର କୋଣ ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ସମାନ,

ତେଣୁ CF↔ || DE→ ।

ଯେହେତୁ CF↔ || BA→ ଓ CF↔ || DE→,

ତେଣୁ BA→ || DE→ (ପ୍ରମାଣିତ) ।

(ii) ପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ ଚିତ୍ର 1.55 ରେ m∠ABC = 60°, m∠EDC = 38° ଏବଂ DE→ || BA→ ହେଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, m∠BCD = 22° ।

ଦତ୍ତ: m∠ABC = 60°, m∠EDC = 38°, DE→ || BA→ ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: m∠BCD = 22° ।

ଅଙ୍କନ: C ବିନ୍ଦୁ ଦେଇ BA→ ସହ ସମାନ୍ତର ଏକ ସରଳରେଖା CF↔ ଅଙ୍କନ କର ।

ପ୍ରମାଣ:

ଯେହେତୁ CF↔ || BA→,

m∠BCF = m∠ABC = 60° (ଏକାନ୍ତର କୋଣ) ।

ଯେହେତୁ DE→ || BA→ ଓ CF↔ || BA→,

ତେଣୁ CF↔ || DE→ ।

ଯେହେତୁ CF↔ || DE→,

m∠FCD = m∠EDC = 38° (ଏକାନ୍ତର କୋଣ) ।

m∠BCD = m∠BCF - m∠FCD

m∠BCD = 60° - 38°

m∠BCD = 22° (ପ୍ରମାଣିତ) ।

୯. (i) ପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ ଚିତ୍ର 1.56 ରେ ∠ACD ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ CE→, AB¯ ସହ ସମାନ୍ତର ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, m∠A = m∠B ।

(ଚିତ୍ର 1.56)

ଦତ୍ତ: CE→, ∠ACD ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।

CE→ || AB¯ ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: m∠A = m∠B ।

ପ୍ରମାଣ:

ଯେହେତୁ CE→ || AB¯,

m∠ACE = m∠A (ଏକାନ୍ତର କୋଣ) (i)

m∠ECD = m∠B (ଅନୁରୂପ କୋଣ) (ii)

ଯେହେତୁ CE→, ∠ACD ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ,

m∠ACE = m∠ECD (iii)

(i), (ii) ଓ (iii) ରୁ, m∠A = m∠B (ପ୍ରମାଣିତ) ।

(ii) ପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ ଚିତ୍ର 1.56 ରେ CE→ || AB¯, m∠ECD = 70° ଏବଂ m∠A = 50° ହେଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, m∠ACB = 60° ।

ଦତ୍ତ: CE→ || AB¯, m∠ECD = 70°, m∠A = 50° ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: m∠ACB = 60° ।

ପ୍ରମାଣ:

ଯେହେତୁ CE→ || AB¯,

m∠B = m∠ECD (ଅନୁରୂପ କୋଣ)

m∠B = 70° ।

ΔABC ରେ, m∠A + m∠B + m∠ACB = 180° (ତ୍ରିଭୁଜର କୋଣ ସମଷ୍ଟି)

50° + 70° + m∠ACB = 180°

120° + m∠ACB = 180°

m∠ACB = 180° - 120°

m∠ACB = 60° (ପ୍ରମାଣିତ) ।

୧୦. ପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ ଚିତ୍ର 1.57 ରେ L₁ || L₂ ଓ L₃, L₁ ଓ L₂ ର ଛେଦକ ।

(i) m∠2 = 2m∠1 ହେଲେ ∠1 ଓ ∠2 ର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।

ଉତ୍ତର:

ଦତ୍ତ, L₁ || L₂, L₃ ଛେଦକ ।

m∠2 = 2m∠1 ।

∠1 ଓ ∠2 ଏକପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ ଅନ୍ତଃସୁ କୋଣ ।

ତେଣୁ m∠1 + m∠2 = 180° ।

m∠1 + 2m∠1 = 180°

3m∠1 = 180°

m∠1 = 180° / 3 = 60° ।

m∠2 = 2m∠1 = 2 × 60° = 120° ।

∴ m∠1 = 60°, m∠2 = 120° ।

(ii) m∠2 = 3m∠1 ହେଲେ ∠1 ଓ ∠2 ର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।

ଉତ୍ତର:

ଦତ୍ତ, L₁ || L₂, L₃ ଛେଦକ ।

m∠2 = 3m∠1 ।

∠1 ଓ ∠2 ଏକପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ ଅନ୍ତଃସୁ କୋଣ ।

ତେଣୁ m∠1 + m∠2 = 180° ।

m∠1 + 3m∠1 = 180°

4m∠1 = 180°

m∠1 = 180° / 4 = 45° ।

m∠2 = 3m∠1 = 3 × 45° = 135° ।

∴ m∠1 = 45°, m∠2 = 135° ।

(iii) m∠1 : m∠2 = 2 : 3 ହେଲେ ∠1 ଓ ∠2 ର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।

ଉତ୍ତର:

ଦତ୍ତ, L₁ || L₂, L₃ ଛେଦକ ।

m∠1 : m∠2 = 2 : 3 ।

ମନେକର m∠1 = 2k ଓ m∠2 = 3k ।

∠1 ଓ ∠2 ଏକପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ ଅନ୍ତଃସୁ କୋଣ ।

ତେଣୁ m∠1 + m∠2 = 180° ।

2k + 3k = 180°

5k = 180°

k = 180° / 5 = 36° ।

m∠1 = 2k = 2 × 36° = 72° ।

m∠2 = 3k = 3 × 36° = 108° ।

∴ m∠1 = 72°, m∠2 = 108° ।

୧୧. ପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ ଚିତ୍ର 1.58 ରେ L₁ || L₂ । L₃ ଛେଦକ L₁ ଓ L₂ ସରଳରେଖାଦ୍ୱୟକୁ ଯଥାକ୍ରମେ A ଓ C ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରେ । ∠BAC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଓ ∠ACD ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରନ୍ତି । ଦର୍ଶାଅ ଯେ, m∠AOC = 90° ।

(ଚିତ୍ର 1.58)

ଦତ୍ତ: L₁ || L₂ । L₃ ଛେଦକ ।

AO→, ∠BAC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।

CO→, ∠ACD ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।

AO→ ଓ CO→ ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: m∠AOC = 90° ।

ପ୍ରମାଣ:

ଯେହେତୁ L₁ || L₂,

m∠BAC + m∠ACD = 180° (ଏକପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ ଅନ୍ତଃସୁ କୋଣ) (i)

AO→, ∠BAC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।

ତେଣୁ m∠OAC = (1/2) m∠BAC (ii)

CO→, ∠ACD ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।

ତେଣୁ m∠OCA = (1/2) m∠ACD (iii)

ΔAOC ରେ, m∠AOC + m∠OAC + m∠OCA = 180° (ତ୍ରିଭୁଜର କୋଣ ସମଷ୍ଟି)

m∠AOC + (1/2) m∠BAC + (1/2) m∠ACD = 180° (ii) ଓ (iii) ରୁ)

m∠AOC + (1/2) (m∠BAC + m∠ACD) = 180°

m∠AOC + (1/2) (180°) = 180° (i) ରୁ)

m∠AOC + 90° = 180°

m∠AOC = 180° - 90°

m∠AOC = 90° (ପ୍ରମାଣିତ) ।

୧୨. (i) ପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ ଚିତ୍ର 1.59 ରେ AB↔ || CD↔, m∠OAB = 135°, m∠OCD = 145° ହେଲେ ∠AOC ର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।

(ଚିତ୍ର 1.59)

ଉତ୍ତର:

ଦତ୍ତ, AB↔ || CD↔ । m∠OAB = 135°, m∠OCD = 145° ।

ଅଙ୍କନ: O ବିନ୍ଦୁ ଦେଇ AB↔ ଓ CD↔ ସହ ସମାନ୍ତର ଏକ ସରଳରେଖା EF↔ ଅଙ୍କନ କର ।

ପ୍ରମାଣ:

ଯେହେତୁ EF↔ || AB↔,

m∠EOA + m∠OAB = 180° (ଏକପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ ଅନ୍ତଃସୁ କୋଣ)

m∠EOA + 135° = 180°

m∠EOA = 180° - 135° = 45° ।

ଯେହେତୁ EF↔ || CD↔,

m∠EOC + m∠OCD = 180° (ଏକପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ ଅନ୍ତଃସୁ କୋଣ)

m∠EOC + 145° = 180°

m∠EOC = 180° - 145° = 35° ।

m∠AOC = m∠EOA + m∠EOC

m∠AOC = 45° + 35°

m∠AOC = 80° ।

∴ m∠AOC = 80° ।

(ii) ପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ XB↔ || YD↔, m∠XAO = 60°, m∠YCO = 70° ହେଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, m∠AOC = 130° ।

(ଚିତ୍ର 1.59 ରେ ଦ୍ୱିତୀୟ ଚିତ୍ର)

ଦତ୍ତ: XB↔ || YD↔ । m∠XAO = 60°, m∠YCO = 70° ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: m∠AOC = 130° ।

ଅଙ୍କନ: O ବିନ୍ଦୁ ଦେଇ XB↔ ଓ YD↔ ସହ ସମାନ୍ତର ଏକ ସରଳରେଖା EF↔ ଅଙ୍କନ କର ।

ପ୍ରମାଣ:

ଯେହେତୁ EF↔ || XB↔,

m∠AOE = m∠XAO = 60° (ଏକାନ୍ତର କୋଣ) ।

ଯେହେତୁ EF↔ || YD↔,

m∠COE = m∠YCO = 70° (ଏକାନ୍ତର କୋଣ) ।

m∠AOC = m∠AOE + m∠COE

m∠AOC = 60° + 70°

m∠AOC = 130° (ପ୍ରମାଣିତ) ।

(ଗ) ବିଭାଗ

୧୩. ଗୋଟିଏ ସରଳରେଖା ଅନ୍ୟ ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାକୁ ଛେଦକଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,

(i) ଯେକୌଣସି ଏକାନ୍ତର କୋଣ ଦୁଇଟିର ଅନ୍ତଃସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପର ସମାନ୍ତର ।

ଦତ୍ତ: L₁ || L₂ । L₃ ଛେଦକ ।

∠AGH ଓ ∠GHD ଏକାନ୍ତର କୋଣ ।

GM→, ∠AGH ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।

HN→, ∠GHD ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: GM→ || HN→ ।

ପ୍ରମାଣ:

ଯେହେତୁ L₁ || L₂,

m∠AGH = m∠GHD (ଏକାନ୍ତର କୋଣ) (i)

GM→, ∠AGH ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।

ତେଣୁ m∠MGH = (1/2) m∠AGH (ii)

HN→, ∠GHD ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।

ତେଣୁ m∠NHG = (1/2) m∠GHD (iii)

(i), (ii) ଓ (iii) ରୁ, m∠MGH = m∠NHG ।

ଯେହେତୁ ∠MGH ଓ ∠NHG ଏକାନ୍ତର କୋଣ ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ସମାନ,

ତେଣୁ GM→ || HN→ (ପ୍ରମାଣିତ) ।

(ii) ଯେକୌଣସି ଅନୁରୂପ କୋଣ ଦୁଇଟିର ଅନ୍ତଃସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପର ସମାନ୍ତର ।

ଦତ୍ତ: L₁ || L₂ । L₃ ଛେଦକ ।

∠EGB ଓ ∠GHD ଅନୁରୂପ କୋଣ ।

GM→, ∠EGB ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।

HN→, ∠GHD ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: GM→ || HN→ ।

ପ୍ରମାଣ:

ଯେହେତୁ L₁ || L₂,

m∠EGB = m∠GHD (ଅନୁରୂପ କୋଣ) (i)

GM→, ∠EGB ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।

ତେଣୁ m∠MGB = (1/2) m∠EGB (ii)

HN→, ∠GHD ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।

ତେଣୁ m∠NHD = (1/2) m∠GHD (iii)

(i), (ii) ଓ (iii) ରୁ, m∠MGB = m∠NHD ।

ଯେହେତୁ ∠MGB ଓ ∠NHD ଅନୁରୂପ କୋଣ ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ସମାନ,

ତେଣୁ GM→ || HN→ (ପ୍ରମାଣିତ) ।

୧୪. ΔABC ର m∠B = m∠C, BC¯ ସହ ସମାନ୍ତର କରି ଅଙ୍କିତ ସରଳରେଖା AB¯ ଓ AC¯ କୁ ଯଥାକ୍ରମେ P ଓ Q ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, m∠APQ = m∠AQP ।

ଦତ୍ତ: ΔABC ରେ m∠B = m∠C ।

PQ↔ || BC¯ ।

PQ↔, AB¯ କୁ P ରେ ଓ AC¯ କୁ Q ରେ ଛେଦ କରେ ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: m∠APQ = m∠AQP ।

ପ୍ରମାଣ:

ଯେହେତୁ PQ↔ || BC¯,

m∠APQ = m∠ABC (ଅନୁରୂପ କୋଣ) (i)

m∠AQP = m∠ACB (ଅନୁରୂପ କୋଣ) (ii)

ଆମକୁ ଦତ୍ତ ଅଛି m∠ABC = m∠ACB (iii)

(i), (ii) ଓ (iii) ରୁ, m∠APQ = m∠AQP (ପ୍ରମାଣିତ) ।

୧୫. ଗୋଟିଏ କୋଣର ଦୁଇବାହୁ ଅନ୍ୟ ଏକ କୋଣର ଦୁଇବାହୁ ସହ ସମାନ୍ତର ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, କୋଣଦ୍ୱୟ ସମପରିମାଣ ବିଶିଷ୍ଟ ବା ପରିପୂରକ ହେବେ ।

ଦତ୍ତ: ∠ABC ଓ ∠DEF ଦୁଇଟି କୋଣ ।

AB→ || DE→ ଏବଂ BC→ || EF→ ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: m∠ABC = m∠DEF କିମ୍ବା m∠ABC + m∠DEF = 180° ।

ପ୍ରମାଣ:

ପ୍ରଥମ କ୍ଷେତ୍ର: ଯଦି AB→ ଓ DE→ ସମାନ ଦିଗରେ ସମାନ୍ତର ଏବଂ BC→ ଓ EF→ ସମାନ ଦିଗରେ ସମାନ୍ତର ।

ଏହି କ୍ଷେତ୍ରରେ, m∠ABC = m∠DEF (ଅନୁରୂପ କୋଣର ଧର୍ମ) ।

ଦ୍ୱିତୀୟ କ୍ଷେତ୍ର: ଯଦି AB→ ଓ DE→ ସମାନ ଦିଗରେ ସମାନ୍ତର ଏବଂ BC→ ଓ EF→ ବିପରୀତ ଦିଗରେ ସମାନ୍ତର ।

ଏହି କ୍ଷେତ୍ରରେ, m∠ABC + m∠DEF = 180° (ଏକପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ ଅନ୍ତଃସୁ କୋଣର ଧର୍ମ) ।

ତୃତୀୟ କ୍ଷେତ୍ର: ଯଦି AB→ ଓ DE→ ବିପରୀତ ଦିଗରେ ସମାନ୍ତର ଏବଂ BC→ ଓ EF→ ସମାନ ଦିଗରେ ସମାନ୍ତର ।

ଏହି କ୍ଷେତ୍ରରେ, m∠ABC + m∠DEF = 180° ।

ଚତୁର୍ଥ କ୍ଷେତ୍ର: ଯଦି AB→ ଓ DE→ ବିପରୀତ ଦିଗରେ ସମାନ୍ତର ଏବଂ BC→ ଓ EF→ ବିପରୀତ ଦିଗରେ ସମାନ୍ତର ।

ଏହି କ୍ଷେତ୍ରରେ, m∠ABC = m∠DEF ।

ଅତଏବ, ଗୋଟିଏ କୋଣର ଦୁଇବାହୁ ଅନ୍ୟ ଏକ କୋଣର ଦୁଇବାହୁ ସହ ସମାନ୍ତର ହେଲେ କୋଣଦ୍ୱୟ ସମପରିମାଣ ବିଶିଷ୍ଟ ବା ପରିପୂରକ ହେବେ (ପ୍ରମାଣିତ) ।

୧୬. ଗୋଟିଏ ସରଳରେଖା ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାକୁ ଛେଦ କରି ସେଥୁମଧ୍ୟରୁ କୌଣସି ଗୋଟିଏ ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ତାହା ଅନ୍ୟଟି ପ୍ରତି ମଧ୍ୟ ଲମ୍ବ ହେବ ।

ଦତ୍ତ: L₁ || L₂ । L₃ ଛେଦକ L₁ ଓ L₂ କୁ ଯଥାକ୍ରମେ P ଓ Q ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରେ ।

L₃ ⊥ L₁ ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: L₃ ⊥ L₂ ।

ପ୍ରମାଣ:

ଯେହେତୁ L₃ ⊥ L₁,

L₃ ଓ L₁ ମଧ୍ୟରେ ଉତ୍ପନ୍ନ କୋଣ 90° ।

ମନେକର L₃ ଓ L₁ ମଧ୍ୟରେ ଉତ୍ପନ୍ନ ଅନୁରୂପ କୋଣ ∠1 ଓ L₃ ଓ L₂ ମଧ୍ୟରେ ଉତ୍ପନ୍ନ ଅନୁରୂପ କୋଣ ∠2 ।

ଯେହେତୁ L₁ || L₂,

m∠1 = m∠2 (ଅନୁରୂପ କୋଣ) ।

ଯେହେତୁ L₃ ⊥ L₁, ତେଣୁ m∠1 = 90° ।

∴ m∠2 = 90° ।

ଯେହେତୁ L₃ ଓ L₂ ମଧ୍ୟରେ ଉତ୍ପନ୍ନ କୋଣ 90°,

ତେଣୁ L₃ ⊥ L₂ (ପ୍ରମାଣିତ) ।

ଅନୁଶୀଳନୀ - 1(d)

୧. ନିମ୍ନ ଉକ୍ତିଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ ଭୁଲ୍ ଉକ୍ତି ପାଖରେ ‘X’ ଚିହ୍ନ ଏବଂ ଠିକ୍ ଉକ୍ତି ପାଖରେ ‘✓’ ଚିହ୍ନ ଦିଅ ।

(a) କୌଣସି ତ୍ରିଭୁଜର ଦୁଇଟି କୋଣର ପରିମାଣ ସମଷ୍ଟି ତୃତୀୟ କୋଣର ପରିମାଣ ସହ ସମାନ ହେଲେ ତ୍ରିଭୁଜଟି ସମକୋଣୀ ।

ଉତ୍ତର: ✓ (ଯଦି m∠A + m∠B = m∠C, ତେବେ m∠A + m∠B + m∠C = 180° ⇒ m∠C + m∠C = 180° ⇒ 2m∠C = 180° ⇒ m∠C = 90°)

(b) କୌଣସି ତ୍ରିଭୁଜର ଦୁଇଟି କୋଣର ପରିମାଣ ସମଷ୍ଟି ତୃତୀୟ କୋଣର ପରିମାଣ ଠାରୁ ବୃହତ୍ତର ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜଟି ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣୀ ।

ଉତ୍ତର: X (ଏହା ସର୍ବଦା ସତ୍ୟ ନୁହେଁ । ଉଦାହରଣ: 30°, 40°, 110° । 30+40=70 < 110 । ଏହା ସ୍ଥୂଳକୋଣୀ ।)

ଉତ୍ତର: ✓ (ଉପପାଦ୍ୟ – 10)

(d) ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜରେ ଅତିବେଶିରେ ଗୋଟିଏ ସ୍ଥୂଳକୋଣ ରହିପାରିବ ।

ଉତ୍ତର: ✓ (ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ – 2)

(e) ତ୍ରିଭୁଜର ତିନିକୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି ସର୍ବଦା 180° ।

ଉତ୍ତର: ✓ (ଉପପାଦ୍ୟ – 9)

(f) ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରର ପରିପୂରକ ।

ଉତ୍ତର: ✓ (ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ – 1)

(g) ତ୍ରିଭୁଜର ବହିଃସୁକୋଣ ସର୍ବଦା ଏକ ସ୍ଥୂଳକୋଣ ।

ଉତ୍ତର: X (ଯଦି ତ୍ରିଭୁଜର ଅନ୍ତଃସୁ ଦୂରବର୍ତ୍ତୀ କୋଣଦ୍ୱୟର ସମଷ୍ଟି 90° ରୁ କମ୍ ହୁଏ, ତେବେ ବହିଃସୁକୋଣ ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣ ହୋଇପାରେ । ଉଦାହରଣ: 20°, 30°, 130° ତ୍ରିଭୁଜର କୋଣ । 130° ର ବହିଃସୁକୋଣ 50° ।)

(h) ତ୍ରିଭୁଜର ବହିଃସୁକୋଣର ପରିମାଣ ଏହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସୁ ଦୂରବର୍ତ୍ତୀ କୋଣର ପରିମାଣ ଠାରୁ ବୃହତ୍ତର ।

ଉତ୍ତର: ✓ (ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ – 1)

୨. ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।

(a) ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣଦ୍ୱୟ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିକର ପରିମାଣ 30° ହେଲେ, ଅନ୍ୟଟିର ପରିମାଣ 60° ।

(b) ତ୍ରିଭୁଜର ଗୋଟିଏ ବହିଃସୁକୋଣର ପରିମାଣ 130° । ଏହାର ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଦୂରବର୍ତ୍ତୀ କୋଣର ପରିମାଣ 75° ହେଲେ, ଅନ୍ୟ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଦୂରବର୍ତ୍ତୀ କୋଣର ପରିମାଣ 55° । (130 - 75 = 55)

(d) କୌଣସି ତ୍ରିଭୁଜର କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 180° ।

(e) ΔABC ରେ m∠A = 90°, m∠B = 2 m∠C ହେଲେ ∠C ର ପରିମାଣ 30° । (90 + 2C + C = 180 ⇒ 3C = 90 ⇒ C = 30)

(f) ΔABC ରେ AB = AC, m∠A = 60° ହେଲେ m∠B = 60° । (ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ)

(g) ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର ଶୀର୍ଷକୋଣର ପରିମାଣ 120° ଏବଂ ଅନ୍ୟ ଦୁଇକୋଣର ପରିମାଣ ସମାନ ହେଲେ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନକୋଣର ପରିମାଣ 30° । (180 - 120 = 60, 60/2 = 30)

(h) ΔABC ରେ AB = AC, m∠B = 30° ହେଲେ ∠A ର ପରିମାଣ 120° । (m∠C = 30°, m∠A = 180 - (30+30) = 120)

୩. ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ଚିତ୍ରରେ ‘x’ ଚିହ୍ନିତ କୋଣର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।

(i) ଚିତ୍ର 1.65 (i)

ଉତ୍ତର:

x° ହେଉଛି 130° ର ବହିଃସୁକୋଣ ।

x = 130° । (ଏହା ଭୁଲ୍, x ହେଉଛି ଅନ୍ତଃସୁକୋଣ)

ତ୍ରିଭୁଜର କୋଣଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି 125°, x° ଏବଂ ତୃତୀୟ କୋଣ ।

125° ର ବହିଃସୁକୋଣ = 180° - 125° = 55° ।

x° + 55° = 180° (ସରଳକୋଣ)

x = 180 - 55 = 125° ।

(ବିକଳ୍ପ: 125° ର ପ୍ରତୀପ କୋଣ x° । ତେଣୁ x = 125°)

∴ x = 125° ।

(ii) ଚିତ୍ର 1.65 (ii)

ଉତ୍ତର:

ତ୍ରିଭୁଜର କୋଣଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି 60°, 50° ଏବଂ x° ।

60° + 50° + x = 180°

110° + x = 180°

x = 180° - 110° = 70° ।

∴ x = 70° ।

(iii) ଚିତ୍ର 1.65 (iii)

ଉତ୍ତର:

ତ୍ରିଭୁଜର କୋଣଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି 45°, 25° ଏବଂ ତୃତୀୟ କୋଣ ।

ତୃତୀୟ କୋଣ = 180° - (45° + 25°) = 180° - 70° = 110° ।

x° ହେଉଛି 110° ର ବହିଃସୁକୋଣ ।

x = 180° - 110° = 70° ।

(ବିକଳ୍ପ: ବହିଃସୁକୋଣ ଧର୍ମ ଅନୁଯାୟୀ, x = 45° + 25° = 70°)

∴ x = 70° ।

(iv) ଚିତ୍ର 1.65 (iv)

ଉତ୍ତର:

ତ୍ରିଭୁଜର କୋଣଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି 126°, 80° ଏବଂ ତୃତୀୟ କୋଣ ।

ତୃତୀୟ କୋଣ = 180° - (126° + 80°) = 180° - 206° = -26° । (ଏହା ଭୁଲ୍, ଚିତ୍ରରେ 126° ବହିଃସୁକୋଣ)

126° ହେଉଛି ଅନ୍ତଃସୁକୋଣର ବହିଃସୁକୋଣ ।

ଅନ୍ତଃସୁକୋଣ = 180° - 126° = 54° ।

ତ୍ରିଭୁଜର କୋଣଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି 54°, 80° ଏବଂ x° ।

54° + 80° + x = 180°

134° + x = 180°

x = 180° - 134° = 46° ।

∴ x = 46° ।

(v) ଚିତ୍ର 1.65 (v)

ଉତ୍ତର:

ତ୍ରିଭୁଜର କୋଣଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି 45°, x° ଏବଂ ତୃତୀୟ କୋଣ ।

132° ହେଉଛି ତୃତୀୟ କୋଣର ବହିଃସୁକୋଣ ।

ତୃତୀୟ କୋଣ = 180° - 132° = 48° ।

45° + x + 48° = 180°

93° + x = 180°

x = 180° - 93° = 87° ।

∴ x = 87° ।

(vi) ଚିତ୍ର 1.65 (vi)

ଉତ୍ତର:

ତ୍ରିଭୁଜର କୋଣଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି 70°, 56° ଏବଂ ତୃତୀୟ କୋଣ ।

ତୃତୀୟ କୋଣ = 180° - (70° + 56°) = 180° - 126° = 54° ।

x° ହେଉଛି 54° ର ବହିଃସୁକୋଣ ।

x = 180° - 54° = 126° ।

(ବିକଳ୍ପ: ବହିଃସୁକୋଣ ଧର୍ମ ଅନୁଯାୟୀ, x = 70° + 56° = 126°)

∴ x = 126° ।

(vii) ଚିତ୍ର 1.65 (vii)

ଉତ୍ତର:

ତ୍ରିଭୁଜର କୋଣଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି 70°, 50° ଏବଂ ତୃତୀୟ କୋଣ ।

ତୃତୀୟ କୋଣ = 180° - (70° + 50°) = 180° - 120° = 60° ।

x° ହେଉଛି 60° ର ବହିଃସୁକୋଣ ।

x = 180° - 60° = 120° ।

(ବିକଳ୍ପ: ବହିଃସୁକୋଣ ଧର୍ମ ଅନୁଯାୟୀ, x = 70° + 50° = 120°)

∴ x = 120° ।

୪. ΔABC ର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଏକ ବିନ୍ଦୁ O । ଦର୍ଶାଅ ଯେ, m∠BOC = m∠BAC + m∠ABO + m∠ACO ।

(ଚିତ୍ର 1.66)

ଦତ୍ତ: ΔABC ର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ O ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: m∠BOC = m∠BAC + m∠ABO + m∠ACO ।

ଅଙ୍କନ: BO→ କୁ ବଢ଼ାଇ AC¯ କୁ D ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରାଯାଉ ।

ପ୍ରମାଣ:

ΔABD ରେ, ∠BDC ହେଉଛି ବହିଃସୁକୋଣ ।

m∠BDC = m∠BAC + m∠ABD (i)

ΔODC ରେ, ∠BOC ହେଉଛି ବହିଃସୁକୋଣ ।

m∠BOC = m∠ODC + m∠OCD (ii)

m∠BOC = m∠BDC + m∠OCD (ଯେହେତୁ ∠ODC = ∠BDC)

m∠BOC = (m∠BAC + m∠ABD) + m∠OCD (i) ରୁ)

m∠BOC = m∠BAC + m∠ABD + m∠OCD

m∠BOC = m∠BAC + m∠ABO + m∠ACO (ପ୍ରମାଣିତ) ।

୫. ପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ ଚିତ୍ରରୁ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, a° + b° = x° + y° ।

(ଚିତ୍ର 1.67)

ଦତ୍ତ: ଚିତ୍ରରେ ଦୁଇଟି ତ୍ରିଭୁଜ ଅଛି ।

∠A = a°, ∠B = b°, ∠C = x°, ∠D = y° ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: a° + b° = x° + y° ।

ଅଙ୍କନ: A ଓ D ବିନ୍ଦୁକୁ ଯୋଗ କର । (ଏହା ଚିତ୍ରରେ ଦିଆଯାଇଛି)

ପ୍ରମାଣ:

ΔABC ରେ, m∠A + m∠B + m∠ACB = 180° (i)

ΔADC ରେ, m∠D + m∠C + m∠ACD = 180° (ii)

(i) ରୁ m∠ACB = 180° - a - b ।

(ii) ରୁ m∠ACD = 180° - x - y ।

ଚିତ୍ରରେ, ∠ACB ଓ ∠ACD ପ୍ରତୀପ କୋଣ ।

ତେଣୁ m∠ACB = m∠ACD ।

180° - a - b = 180° - x - y

-a - b = -x - y

a + b = x + y (ପ୍ରମାଣିତ) ।

୬. ΔABC ରେ ∠A ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ AD¯, BC¯ କୁ D ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରେ । ଦର୍ଶାଅ ଯେ, m∠ABC + m∠ACE = 2m∠ADC ।

(ଚିତ୍ର 1.68)

ଦତ୍ତ: ΔABC ରେ AD¯, ∠A ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ । D, BC¯ ଉପରେ ଅଛି ।

∠ACE ହେଉଛି ΔABC ର ବହିଃସୁକୋଣ ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: m∠ABC + m∠ACE = 2m∠ADC ।

ପ୍ରମାଣ:

ΔABC ରେ, ∠ACE ହେଉଛି ବହିଃସୁକୋଣ ।

m∠ACE = m∠ABC + m∠BAC (i)

AD¯, ∠BAC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।

ତେଣୁ m∠BAD = m∠CAD = (1/2) m∠BAC (ii)

ΔABD ରେ, ∠ADC ହେଉଛି ବହିଃସୁକୋଣ ।

m∠ADC = m∠ABC + m∠BAD (iii)

(iii) ରେ m∠BAD ର ମାନ (ii) ରୁ ସ୍ଥାପନ କରିବା:

m∠ADC = m∠ABC + (1/2) m∠BAC

2m∠ADC = 2m∠ABC + m∠BAC (iv)

(i) ରୁ m∠BAC = m∠ACE - m∠ABC ।

ଏହି ମାନକୁ (iv) ରେ ସ୍ଥାପନ କରିବା:

2m∠ADC = 2m∠ABC + (m∠ACE - m∠ABC)

2m∠ADC = m∠ABC + m∠ACE (ପ୍ରମାଣିତ) ।

୭. ΔABC ରେ m∠B = 90° । BD¯ ⊥ AC¯ । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, m∠ABD = m∠ACB ଏବଂ m∠BAD = m∠DBC ।

(ଚିତ୍ର 1.69)

ଦତ୍ତ: ΔABC ରେ m∠B = 90° । BD¯ ⊥ AC¯ ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: m∠ABD = m∠ACB ଏବଂ m∠BAD = m∠DBC ।

ପ୍ରମାଣ:

ΔABC ରେ, m∠A + m∠B + m∠C = 180° ।

m∠A + 90° + m∠C = 180°

m∠A + m∠C = 90° (i)

ΔABD ରେ, m∠BAD + m∠ABD + m∠BDA = 180° ।

ଯେହେତୁ BD¯ ⊥ AC¯, m∠BDA = 90° ।

m∠BAD + m∠ABD + 90° = 180°

m∠BAD + m∠ABD = 90° (ii)

(i) ଓ (ii) ରୁ, m∠A + m∠C = m∠BAD + m∠ABD ।

ଯେହେତୁ m∠A = m∠BAD,

m∠C = m∠ABD ।

∴ m∠ABD = m∠ACB (ପ୍ରଥମ ଅଂଶ ପ୍ରମାଣିତ) ।

ବର୍ତ୍ତମାନ, m∠ABC = m∠ABD + m∠DBC = 90° ।

m∠DBC = 90° - m∠ABD ।

m∠BAD = 90° - m∠ABD (ii) ରୁ) ।

∴ m∠BAD = m∠DBC (ଦ୍ୱିତୀୟ ଅଂଶ ପ୍ରମାଣିତ) ।

୮. ΔABC ରେ DE↔ || BC↔, m∠ABC = 60° ଏବଂ m∠DEC = 135° ହେଲେ, ∠A ର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।

(ଚିତ୍ର 1.70)

ଦତ୍ତ: ΔABC ରେ DE↔ || BC↔ ।

m∠ABC = 60° ।

m∠DEC = 135° ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: m∠A ର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।

ପ୍ରମାଣ:

ଯେହେତୁ DE↔ || BC↔,

m∠ADE = m∠ABC = 60° (ଅନୁରୂପ କୋଣ) ।

∠DEC ଓ ∠DEB ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ ।

m∠DEC + m∠DEB = 180° ।

135° + m∠DEB = 180°

m∠DEB = 180° - 135° = 45° ।

ΔADE ରେ, m∠A + m∠ADE + m∠AED = 180° ।

m∠A + 60° + 45° = 180°

m∠A + 105° = 180°

m∠A = 180° - 105°

m∠A = 75° ।

∴ m∠A = 75° ।

୯. ପ୍ରମାଣକର ଯେ, କୌଣସି ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଯୋଡ଼ାକୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି, ତୃତୀୟକୋଣର ପରିମାଣ ଠାରୁ ବୃହତ୍ତର ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜଟି ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣୀ ।

ଦତ୍ତ: ΔABC ରେ m∠A + m∠B > m∠C, m∠B + m∠C > m∠A, m∠C + m∠A > m∠B ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: ΔABC ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣୀ । (ଅର୍ଥାତ୍ m∠A < 90°, m∠B < 90°, m∠C < 90°)

ପ୍ରମାଣ:

ଆମେ ଜାଣୁ m∠A + m∠B + m∠C = 180° ।

ଦତ୍ତ ଅଛି m∠A + m∠B > m∠C ।

(180° - m∠C) > m∠C

180° > 2m∠C

m∠C < 90° ।

ସେହିପରି, m∠B + m∠C > m∠A ରୁ,

(180° - m∠A) > m∠A

180° > 2m∠A

m∠A < 90° ।

ଏବଂ m∠C + m∠A > m∠B ରୁ,

(180° - m∠B) > m∠B

180° > 2m∠B

m∠B < 90° ।

ଯେହେତୁ ତ୍ରିଭୁଜର ସମସ୍ତ କୋଣର ପରିମାଣ 90° ରୁ କମ୍, ତେଣୁ ତ୍ରିଭୁଜଟି ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣୀ (ପ୍ରମାଣିତ) ।

୧୦. ΔABC ରେ m∠ABC = m∠ACB, ∠BAC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ BC¯ କୁ D ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରେ । ପ୍ରମାଣ କରଯେ, AD¯, BC¯ ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ।

ଦତ୍ତ: ΔABC ରେ m∠ABC = m∠ACB ।

AD¯, ∠BAC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ । D, BC¯ ଉପରେ ଅଛି ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: AD¯ ⊥ BC¯ । (ଅର୍ଥାତ୍ m∠ADB = 90°)

ପ୍ରମାଣ:

ΔABD ଓ ΔACD ରେ,

m∠ABD = m∠ACD (ଦତ୍ତ, m∠ABC = m∠ACB)

m∠BAD = m∠CAD (ଦତ୍ତ, AD¯, ∠BAC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ)

AD = AD (ସାଧାରଣ ବାହୁ)

ତେଣୁ ΔABD ≅ ΔACD (ASA ସର୍ବସମତା ନିୟମ ଅନୁଯାୟୀ) । (ଏହା ଭୁଲ୍, ASA ନିୟମ ପାଇଁ ଦୁଇଟି କୋଣ ଓ ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ବାହୁ ଆବଶ୍ୟକ । ଏଠାରେ ଦୁଇଟି କୋଣ ଓ ଅଣ-ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ବାହୁ ଅଛି । AAS ନିୟମ ହେବ ।)

ΔABD ≅ ΔACD (AAS ସର୍ବସମତା ନିୟମ ଅନୁଯାୟୀ) ।

ସର୍ବସମ ତ୍ରିଭୁଜର ଅନୁରୂପ ଅଂଶଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ।

ତେଣୁ m∠ADB = m∠ADC ।

ଯେହେତୁ ∠ADB ଓ ∠ADC ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ,

m∠ADB + m∠ADC = 180° ।

m∠ADB + m∠ADB = 180°

2m∠ADB = 180°

m∠ADB = 90° ।

ଯେହେତୁ m∠ADB = 90°, ତେଣୁ AD¯ ⊥ BC¯ (ପ୍ରମାଣିତ) ।

୧୧. ΔABC ରେ ∠B ର ଅନ୍ତଃସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଏବଂ C ବିନ୍ଦୁରେ ଉତ୍ପନ୍ନ ବହିଃସୁକୋଣର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକର ଛେଦ ବିନ୍ଦୁ E ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, m∠BEC = (1/2) m∠A ।

(ଚିତ୍ର 1.71)

ଦତ୍ତ: ΔABC ରେ BE→, ∠ABC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।

CE→, ∠ACD ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ । (∠ACD ହେଉଛି C ବିନ୍ଦୁରେ ବହିଃସୁକୋଣ) ।

BE→ ଓ CE→ ପରସ୍ପରକୁ E ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: m∠BEC = (1/2) m∠A ।

ପ୍ରମାଣ:

ΔABC ରେ, ∠ACD ହେଉଛି ବହିଃସୁକୋଣ ।

m∠ACD = m∠A + m∠B (i)

CE→, ∠ACD ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।

ତେଣୁ m∠ECD = (1/2) m∠ACD = (1/2) (m∠A + m∠B) (ii)

BE→, ∠ABC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।

ତେଣୁ m∠EBC = (1/2) m∠ABC = (1/2) m∠B (iii)

ΔEBC ରେ, ∠ECD ହେଉଛି ବହିଃସୁକୋଣ ।

m∠ECD = m∠EBC + m∠BEC (iv)

(ii), (iii) ଓ (iv) ରୁ,

(1/2) (m∠A + m∠B) = (1/2) m∠B + m∠BEC

(1/2) m∠A + (1/2) m∠B = (1/2) m∠B + m∠BEC

(1/2) m∠A = m∠BEC ।

∴ m∠BEC = (1/2) m∠A (ପ୍ରମାଣିତ) ।

୧୨. ΔABC ରେ ∠ABC ଓ ∠ACB ର ଅନ୍ତଃସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, m∠BOC = 90° + (1/2) m∠A ।

ଦତ୍ତ: ΔABC ରେ BO→, ∠ABC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।

CO→, ∠ACB ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।

BO→ ଓ CO→ ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: m∠BOC = 90° + (1/2) m∠A ।

ପ୍ରମାଣ:

ΔABC ରେ, m∠A + m∠B + m∠C = 180° (i)

BO→, ∠ABC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।

ତେଣୁ m∠OBC = (1/2) m∠B (ii)

CO→, ∠ACB ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।

ତେଣୁ m∠OCB = (1/2) m∠C (iii)

ΔOBC ରେ, m∠BOC + m∠OBC + m∠OCB = 180° (iv)

(ii) ଓ (iii) ର ମାନକୁ (iv) ରେ ସ୍ଥାପନ କରିବା:

m∠BOC + (1/2) m∠B + (1/2) m∠C = 180°

m∠BOC + (1/2) (m∠B + m∠C) = 180° (v)

(i) ରୁ m∠B + m∠C = 180° - m∠A ।

ଏହି ମାନକୁ (v) ରେ ସ୍ଥାପନ କରିବା:

m∠BOC + (1/2) (180° - m∠A) = 180°

m∠BOC + 90° - (1/2) m∠A = 180°

m∠BOC = 180° - 90° + (1/2) m∠A

m∠BOC = 90° + (1/2) m∠A (ପ୍ରମାଣିତ) ।

୧୩. ΔABC ରେ ∠B ଓ ∠C ର ବହିଃସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କଲେ, ପ୍ରମାଣ କରଯେ m∠BOC = 90° - (1/2) m∠A ।

ଦତ୍ତ: ΔABC ରେ BO→, ∠ABC ର ବହିଃସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।

CO→, ∠ACB ର ବହିଃସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।

BO→ ଓ CO→ ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: m∠BOC = 90° - (1/2) m∠A ।

ପ୍ରମାଣ:

ΔABC ରେ, m∠A + m∠B + m∠C = 180° (i)

∠ABC ର ବହିଃସୁକୋଣ = 180° - m∠B ।

BO→, ଏହାର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।

ତେଣୁ m∠OBC = (1/2) (180° - m∠B) = 90° - (1/2) m∠B (ii)

∠ACB ର ବହିଃସୁକୋଣ = 180° - m∠C ।

CO→, ଏହାର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।

ତେଣୁ m∠OCB = (1/2) (180° - m∠C) = 90° - (1/2) m∠C (iii)

ΔOBC ରେ, m∠BOC + m∠OBC + m∠OCB = 180° (iv)

(ii) ଓ (iii) ର ମାନକୁ (iv) ରେ ସ୍ଥାପନ କରିବା:

m∠BOC + (90° - (1/2) m∠B) + (90° - (1/2) m∠C) = 180°

m∠BOC + 180° - (1/2) (m∠B + m∠C) = 180°

m∠BOC = (1/2) (m∠B + m∠C) (v)

(i) ରୁ m∠B + m∠C = 180° - m∠A ।

ଏହି ମାନକୁ (v) ରେ ସ୍ଥାପନ କରିବା:

m∠BOC = (1/2) (180° - m∠A)

m∠BOC = 90° - (1/2) m∠A (ପ୍ରମାଣିତ) ।

୧୪. ପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ PS↔, ∠P ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଏବଂ PT↔ ⊥ QR↔ । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, m∠TPS = (1/2) (m∠Q - m∠R) ।

(ଚିତ୍ର 1.72)

ଦତ୍ତ: ΔPQR ରେ PS↔, ∠P ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।

PT↔ ⊥ QR↔ ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: m∠TPS = (1/2) (m∠Q - m∠R) ।

ପ୍ରମାଣ:

ΔPQT ରେ, m∠PTQ = 90° ।

m∠Q + m∠QPT = 90° (i)

ΔPRT ରେ, m∠PTR = 90° ।

m∠R + m∠RPT = 90° (ii)

(i) ରୁ m∠QPT = 90° - m∠Q ।

(ii) ରୁ m∠RPT = 90° - m∠R ।

PS↔, ∠P ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।

ତେଣୁ m∠QPS = m∠RPS = (1/2) m∠P ।

m∠TPS = m∠QPS - m∠QPT (ଯେହେତୁ PT↔, PS↔ ଓ PQ↔ ମଧ୍ୟରେ ଅଛି)

m∠TPS = (1/2) m∠P - (90° - m∠Q) (iii)

ΔPQR ରେ, m∠P + m∠Q + m∠R = 180° ।

m∠P = 180° - m∠Q - m∠R ।

ଏହି ମାନକୁ (iii) ରେ ସ୍ଥାପନ କରିବା:

m∠TPS = (1/2) (180° - m∠Q - m∠R) - (90° - m∠Q)

m∠TPS = 90° - (1/2) m∠Q - (1/2) m∠R - 90° + m∠Q

m∠TPS = m∠Q - (1/2) m∠Q - (1/2) m∠R

m∠TPS = (1/2) m∠Q - (1/2) m∠R

m∠TPS = (1/2) (m∠Q - m∠R) (ପ୍ରମାଣିତ) ।

୧୫. ΔABC ରେ BC¯ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ Q ଏବଂ BQ = AQ ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ∠BAC ସମକୋଣ ।

ଦତ୍ତ: ΔABC ରେ Q, BC¯ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।

BQ = AQ ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: ∠BAC ସମକୋଣ । (ଅର୍ଥାତ୍ m∠BAC = 90°)

ପ୍ରମାଣ:

ଯେହେତୁ Q, BC¯ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ, ତେଣୁ BQ = QC ।

ଆମକୁ ଦତ୍ତ ଅଛି BQ = AQ ।

ତେଣୁ AQ = BQ = QC ।

ΔAQB ରେ, AQ = BQ ।

ତେଣୁ m∠QAB = m∠QBA = m∠B (ସମଦ୍ୱିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଗୁଣ) (i)

ΔAQC ରେ, AQ = QC ।

ତେଣୁ m∠QAC = m∠QCA = m∠C (ସମଦ୍ୱିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଗୁଣ) (ii)

m∠BAC = m∠QAB + m∠QAC (iii)

ΔABC ରେ, m∠BAC + m∠ABC + m∠ACB = 180° ।

m∠BAC + m∠B + m∠C = 180° ।

(m∠QAB + m∠QAC) + m∠B + m∠C = 180° (iii) ରୁ)

(m∠B + m∠C) + m∠B + m∠C = 180° (i) ଓ (ii) ରୁ)

2m∠B + 2m∠C = 180°

2(m∠B + m∠C) = 180°

m∠B + m∠C = 90° ।

(i) ଓ (ii) ରୁ m∠QAB = m∠B ଏବଂ m∠QAC = m∠C ।

ତେଣୁ m∠QAB + m∠QAC = 90° ।

m∠BAC = 90° (ପ୍ରମାଣିତ) ।

୧୬. ΔABC ର O ଏକ ଅନ୍ତଃସୁ ବିନ୍ଦୁ । ଯଦି m∠OAB = m∠OCA ହୁଏ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, m∠AOC + m∠BAC = 180° ।

ଦତ୍ତ: ΔABC ର O ଏକ ଅନ୍ତଃସୁ ବିନ୍ଦୁ ।

m∠OAB = m∠OCA ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: m∠AOC + m∠BAC = 180° ।

ଅଙ୍କନ: BO→ କୁ ବଢ଼ାଇ AC¯ କୁ D ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରାଯାଉ ।

ପ୍ରମାଣ:

ΔABD ରେ, ∠BDC ହେଉଛି ବହିଃସୁକୋଣ ।

m∠BDC = m∠BAD + m∠ABD (i)

ΔODC ରେ, ∠AOC ହେଉଛି ବହିଃସୁକୋଣ ।

m∠AOC = m∠ODC + m∠OCD (ii)

m∠AOC = m∠BDC + m∠OCD (ଯେହେତୁ ∠ODC = ∠BDC)

m∠AOC = (m∠BAD + m∠ABD) + m∠OCD (i) ରୁ)

m∠AOC = m∠BAD + m∠ABD + m∠OCD (iii)

ଆମକୁ ଦତ୍ତ ଅଛି m∠OAB = m∠OCA ।

m∠BAD = m∠BAC ।

m∠OCD = m∠OCA ।

(iii) ରେ ମାନ ସ୍ଥାପନ କରିବା:

m∠AOC = m∠BAC + m∠ABO + m∠OCA ।

m∠AOC = m∠BAC + m∠ABO + m∠OAB ।

ଏହା ପ୍ରମାଣ କରିବା ପାଇଁ ଅନ୍ୟ ପଦ୍ଧତି ଆବଶ୍ୟକ ।

ବିକଳ୍ପ ପ୍ରମାଣ:

ΔAOC ରେ, m∠AOC + m∠OAC + m∠OCA = 180° (i)

ΔABC ରେ, m∠BAC + m∠ABC + m∠BCA = 180° (ii)

ଦତ୍ତ ଅଛି m∠OAB = m∠OCA ।

m∠OAC = m∠BAC - m∠OAB ।

(i) ରେ ସ୍ଥାପନ କରିବା:

m∠AOC + (m∠BAC - m∠OAB) + m∠OCA = 180°

m∠AOC + m∠BAC - m∠OAB + m∠OAB = 180° (ଯେହେତୁ m∠OAB = m∠OCA)

m∠AOC + m∠BAC = 180° (ପ୍ରମାଣିତ) ।

୪. ବୋର୍ଡ ପରୀକ୍ଷା ମାଷ୍ଟ୍ରି ଟିପ୍ସ ଓ ସାଧାରଣ ଭୁଲ୍ (Board Exam Tips & Pitfalls)

ପରୀକ୍ଷା ପ୍ରସ୍ତୁତି ରଣନୀତି:

୧. ମୌଳିକ ଧାରଣାଗୁଡ଼ିକର ସ୍ପଷ୍ଟତା: ବିନ୍ଦୁ, ରେଖା, ସମତଳ, ରଶ୍ମି, ରେଖାଖଣ୍ଡ, କୋଣ ଇତ୍ୟାଦିର ସଂଜ୍ଞା ଓ ଧର୍ମଗୁଡ଼ିକୁ ଭଲ ଭାବରେ ବୁଝିବା ।

୨. ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ ଓ ଉପପାଦ୍ୟଗୁଡ଼ିକ ମନେରଖିବା: ପ୍ରତ୍ୟେକ ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ (Axiom) ଓ ଉପପାଦ୍ୟ (Theorem) ର ବିବୃତ୍ତି (Statement) ମନେରଖିବା ସହ ସେଗୁଡ଼ିକର ପ୍ରମାଣ ପଦ୍ଧତିକୁ ଭଲ ଭାବରେ ଅଭ୍ୟାସ କରିବା ।

୩. ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନର ଅଭ୍ୟାସ: ଜ୍ୟାମିତିକ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ସଠିକ୍ ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କରିବା ଅତ୍ୟନ୍ତ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ । ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କରିବା ଦ୍ୱାରା ପ୍ରଶ୍ନକୁ ବୁଝିବା ଓ ସମାଧାନ କରିବା ସହଜ ହୁଏ ।

୪. ସୂତ୍ରାବଳୀର ପ୍ରୟୋଗ: ଦୂରତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ, ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ, କୋଣର ପରିମାଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ଇତ୍ୟାଦି ସୂତ୍ରଗୁଡ଼ିକୁ ମନେରଖିବା ଓ ସଠିକ୍ ଭାବରେ ପ୍ରୟୋଗ କରିବା ।

୫. ଅଭ୍ୟାସ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ସମାଧାନ: ପାଠ୍ୟପୁସ୍ତକର ସମସ୍ତ ଅଭ୍ୟାସ ପ୍ରଶ୍ନକୁ ବାରମ୍ବାର ଅଭ୍ୟାସ କରିବା । ବିଶେଷ କରି ପ୍ରମାଣଭିତ୍ତିକ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକୁ ଅଧିକ ଧ୍ୟାନ ଦେବା ।

୬. ପୂର୍ବ ବର୍ଷର ପ୍ରଶ୍ନପତ୍ର ଅଭ୍ୟାସ: ବୋର୍ଡ ପରୀକ୍ଷାରେ ଆସିଥିବା ପୂର୍ବ ବର୍ଷର ପ୍ରଶ୍ନପତ୍ରଗୁଡ଼ିକୁ ସମାଧାନ କରିବା ଦ୍ୱାରା ପରୀକ୍ଷା ଶୈଳୀ ଓ ସମୟ ପରିଚାଳନା ବିଷୟରେ ଧାରଣା ମିଳିବ ।

୭. ସମୀକ୍ଷା ଓ ସଂଶୋଧନ: ନିୟମିତ ଭାବରେ ପଢ଼ାଯାଇଥିବା ବିଷୟଗୁଡ଼ିକୁ ସମୀକ୍ଷା କରିବା ଏବଂ ଭୁଲ୍ କରୁଥିବା କ୍ଷେତ୍ରଗୁଡ଼ିକୁ ଚିହ୍ନଟ କରି ସଂଶୋଧନ କରିବା ।

ସାଧାରଣ ଭୁଲ୍ (Common Student Errors):

୧. ସଂଜ୍ଞା ଓ ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟରେ ଦ୍ୱନ୍ଦ୍ୱ: ଅନେକ ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀ ସଂଜ୍ଞାବିହୀନ ପଦ, ସଂଜ୍ଞାବିଶିଷ୍ଟ ପଦ, ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ ଓ ଉପପାଦ୍ୟ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ପାର୍ଥକ୍ୟକୁ ଠିକ୍ ଭାବରେ ବୁଝିପାରନ୍ତି ନାହିଁ ।

୨. ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନରେ ତ୍ରୁଟି: ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ ସଠିକ୍ ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ ନକରିବା ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ ଭୁଲ୍ ହୋଇଥାଏ ।

୩. କୋଣର ପ୍ରକାରଭେଦରେ ଭ୍ରମ: ଅନୁପୂରକ, ପରିପୂରକ, ସନ୍ନିହିତ, ପ୍ରତୀପ, ଏକାନ୍ତର, ଅନୁରୂପ, ଅନ୍ତଃସୁ କୋଣଗୁଡ଼ିକୁ ଚିହ୍ନଟ କରିବାରେ ଓ ସେମାନଙ୍କର ଧର୍ମ ପ୍ରୟୋଗ କରିବାରେ ଭୁଲ୍ ।

୪. ଗାଣିତିକ ପ୍ରକ୍ରିୟାରେ ଅସାବଧାନତା: ସ୍ଥାନାଙ୍କ, ଦୂରତା, କୋଣ ପରିମାଣ ଇତ୍ୟାଦି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ସମୟରେ ଗାଣିତିକ ପ୍ରକ୍ରିୟାରେ ଭୁଲ୍ କରିବା ।

୫. ପ୍ରମାଣରେ ଯୁକ୍ତିର ଅଭାବ: ପ୍ରମାଣଭିତ୍ତିକ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକରେ ସଠିକ୍ ଯୁକ୍ତି ଓ ସିଦ୍ଧାନ୍ତର ପ୍ରୟୋଗ ନକରିବା । ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦକ୍ଷେପ ପାଇଁ କାରଣ ଦର୍ଶାଇବା ଜରୁରୀ ।

୬. ସମାନ୍ତର ରେଖାର ଧର୍ମ ପ୍ରୟୋଗରେ ଭୁଲ୍: ଛେଦକ ଦ୍ୱାରା ସୃଷ୍ଟି କୋଣଗୁଡ଼ିକର ଧର୍ମକୁ ସମାନ୍ତର ରେଖା କ୍ଷେତ୍ରରେ ହିଁ ପ୍ରୟୋଗ କରିବା କଥା, କିନ୍ତୁ ଅନେକ ସମୟରେ ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀ ଏହାକୁ ଅଣ-ସମାନ୍ତର ରେଖା କ୍ଷେତ୍ରରେ ମଧ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗ କରିଥାନ୍ତି ।

୭. ତ୍ରିଭୁଜର କୋଣ ଧର୍ମରେ ଭୁଲ୍: ତ୍ରିଭୁଜର କୋଣ ସମଷ୍ଟି ଓ ବହିଃସୁକୋଣ ଧର୍ମକୁ ସଠିକ୍ ଭାବରେ ପ୍ରୟୋଗ ନକରିବା ।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

(ନୋଟ୍ସ ପ୍ରସ୍ତୁତି: ଉତ୍କଳ ସ୍କିଲ୍ ସେଣ୍ଟର - BSE Odisha 100% Full Textbook Master Edition)

🤖 Have a Doubt in this Chapter?

Ask Gundulu AI Voice Tutor to explain any question in bilingual Odia & English with 24/7 step-by-step guidance!

🚀 Try Gundulu AI on Utkal Skill Centre App