ବୋର୍ଡ ଅଫ୍ ସେକେଣ୍ଡାରୀ ଏଜୁକେସନ୍ (BSE Odisha) — ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଅଧ୍ୟାୟ ମାଷ୍ଟର ନୋଟ୍ସ
ଶ୍ରେଣୀ: Class 9 | ବିଷୟ: Geometry
ଅଧ୍ୟାୟ: Class9 Geometry Ch02 Ch02 Tribhujamanankara Sarbasamata
୧. ଅଧ୍ୟାୟର ସାରାଂଶ ଓ ମାଇଣ୍ଡ ମ୍ୟାପ୍ (Mind Map & Conceptual Architecture)
ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ ତ୍ରିଭୁଜମାନଙ୍କର ସର୍ବସମତା (Congruence of Triangles) ଏବଂ ତ୍ରିଭୁଜରେ କିଛି ଅସମାନତା ସମ୍ବନ୍ଧ (Inequality Relations in a Triangle) ବିଷୟରେ ଆଲୋଚନା କରାଯାଇଛି। ସର୍ବସମତା ହେଉଛି ଜ୍ୟାମିତିକ ଚିତ୍ରଗୁଡ଼ିକର ଏକ ଗୁଣ ଯେଉଁଥିରେ ଦୁଇଟି ଚିତ୍ର ସମସ୍ତ ଦିଗରୁ ସମାନ ହୁଅନ୍ତି, ଅର୍ଥାତ୍ ସେମାନଙ୍କର ଆକାର ଓ ଆକୃତି ସମାନ ଥାଏ। ତ୍ରିଭୁଜର ସର୍ବସମତା ପାଇଁ ବିଭିନ୍ନ ସର୍ତ୍ତ (ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ ଓ ଉପପାଦ୍ୟ) ଯଥା: ବା-କୋ-ବା (SAS), କୋ-ବା-କୋ (ASA), ବା-ବା-ବା (SSS) ଏବଂ ସ-କ-ବା (RHS) ବିଷୟରେ ବିସ୍ତୃତ ଭାବରେ ବର୍ଣ୍ଣନା କରାଯାଇଛି। ଏହା ସହିତ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁ ଓ କୋଣ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ଅସମାନତା ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ଉପପାଦ୍ୟଗୁଡ଼ିକ ଯଥା: ବୃହତ୍ତର ବାହୁର ସମ୍ମୁଖୀନ କୋଣ ବୃହତ୍ତର, ବୃହତ୍ତର କୋଣର ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁ ବୃହତ୍ତର ଏବଂ ତ୍ରିଭୁଜ ଅସମାନତା (Triangle Inequality) ବିଷୟରେ ମଧ୍ୟ ଆଲୋଚନା କରାଯାଇଛି।
ମାଇଣ୍ଡ ମ୍ୟାପ୍ (Conceptual Architecture):
```
ତ୍ରିଭୁଜମାନଙ୍କ ସର୍ବସମତା ଓ ଅସମାନତା
├── ୧. ପରିଚୟ (Introduction)
│ ├── ସର୍ବସମତା (Congruence) - ଆକାର ଓ ଆକୃତି ସମାନ
│ ├── ସର୍ବସମତାର ସଂକେତ (≅)
│ ├── ଅନୁରୂପ ଅଙ୍ଗ (Corresponding Parts)
│ ├── ରେଖାଖଣ୍ଡର ସର୍ବସମତା (Congruence of Segments)
│ └── କୋଣର ସର୍ବସମତା (Congruence of Angles)
│
├── ୨. ତ୍ରିଭୁଜର ସର୍ବସମତା (Congruence of Triangles)
│ ├── ସର୍ବସମ ତ୍ରିଭୁଜର ସଂଜ୍ଞା (Definition)
│ ├── ସର୍ବସମତାର ସର୍ତ୍ତ (Conditions for Congruence)
│ │ ├── ୨.୧ ବା-କୋ-ବା ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ (SAS Axiom)
│ │ ├── ୨.୨ ଉପପାଦ୍ୟ-୧୧: ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କୋଣ (Isosceles Triangle Theorem)
│ │ │ └── ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ: ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ, କୋଣ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ
│ │ ├── ୨.୩ କୋ-ବା-କୋ ଉପପାଦ୍ୟ (ASA Theorem)
│ │ │ └── ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ: କୋ-କୋ-ବା (AAS)
│ │ ├── ୨.୪ ଉପପାଦ୍ୟ-୧୩: ସମାନ କୋଣର ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁ (Converse of Theorem 11)
│ │ ├── ୨.୫ ବା-ବା-ବା ଉପପାଦ୍ୟ (SSS Theorem)
│ │ └── ୨.୬ ସ-କ-ବା ଉପପାଦ୍ୟ (RHS Theorem)
│ └── ସର୍ବସମ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (Area of Congruent Triangles)
│
└── ୩. ତ୍ରିଭୁଜରେ କିଛି ଅସମାନତା ସମ୍ବନ୍ଧ (Inequality Relations in a Triangle)
├── ୩.୧ ଉପପାଦ୍ୟ-୧୬: ବୃହତ୍ତର ବାହୁର ସମ୍ମୁଖୀନ କୋଣ ବୃହତ୍ତର (Angle opposite longer side is larger)
│ └── ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ: ଦୀର୍ଘତମ ବାହୁର ସମ୍ମୁଖୀନ କୋଣ ବୃହତ୍ତମ
├── ୩.୨ ଉପପାଦ୍ୟ-୧୭: ବୃହତ୍ତର କୋଣର ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁ ବୃହତ୍ତର (Side opposite larger angle is longer)
│ └── ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ: ବୃହତ୍ତମ କୋଣର ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁ ଦୀର୍ଘତମ
├── ୩.୩ ଉପପାଦ୍ୟ-୧୮: ତ୍ରିଭୁଜ ଅସମାନତା (Triangle Inequality)
│ └── ଦୁଇ ବାହୁର ସମଷ୍ଟି ତୃତୀୟ ବାହୁଠାରୁ ବୃହତ୍ତର
└── ୩.୪ ଉପପାଦ୍ୟ-୧୯: ବହିଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁରୁ ଲମ୍ବ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ (Perpendicular is shortest distance)
```
୨. ମୁଖ୍ୟ ବିଷୟବସ୍ତୁ, ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ଓ ଗାଣିତିକ ସୂତ୍ରାବଳୀ (Comprehensive Theory & Formulas)
୨.୧ ପରିଚୟ (Introduction):
୧. ସର୍ବସମତା (Congruence): ଦୁଇଟି ଜ୍ୟାମିତିକ ଚିତ୍ର ଯଦି ସମସ୍ତ ଦିଗରୁ ସମାନ ହୁଅନ୍ତି, ଅର୍ଥାତ୍ ଗୋଟିକର ଅବିକଳ ନକଲକୁ ଅନ୍ୟ ଉପରେ ରଖିଲେ ତାହା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଭାବରେ ମିଳିଯାଏ, ତେବେ ସେହି ଚିତ୍ରଦ୍ୱୟକୁ ସର୍ବସମ କୁହାଯାଏ।
୨. ଦୁଇଟି ରେଖାଖଣ୍ଡର ସର୍ବସମତା (Congruence of two segments):
୩. ଦୁଇଟି କୋଣର ସର୍ବସମତା (Congruence of two angles):
୨.୨ ଦୁଇଟି ତ୍ରିଭୁଜର ସର୍ବସମତା (Congruence of two triangles):
୧. ସଂଜ୍ଞା: ଦୁଇଟି ତ୍ରିଭୁଜ ସର୍ବସମ ହେବାକୁ ହେଲେ ଗୋଟିକର ତିନିବାହୁ ଓ ତିନିକୋଣ ଯଥାକ୍ରମେ ଅନ୍ୟଟିର ଅନୁରୂପ ତିନିବାହୁ ଓ ତିନିକୋଣ ସହିତ ସର୍ବସମ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ।
୨. ଦୁଇଟି ତ୍ରିଭୁଜର ସର୍ବସମତା ପାଇଁ ନ୍ୟୁନତମ ସର୍ତ୍ତ:
୨.୧ ବା-କୋ-ବା ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ (SAS Axiom - Side-Angle-Side Congruence):
୨.୨ ଉପପାଦ୍ୟ-୧୧ (ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କୋଣ):
୨.୩ କୋ-ବା-କୋ ଉପପାଦ୍ୟ (ASA Theorem - Angle-Side-Angle Congruence):
୨.୪ ଉପପାଦ୍ୟ-୧୩ (ସମାନ କୋଣର ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁ):
୨.୫ ବା-ବା-ବା ଉପପାଦ୍ୟ (SSS Theorem - Side-Side-Side Congruence):
୨.୬ ସ-କ-ବା ଉପପାଦ୍ୟ (RHS Theorem - Right-angle-Hypotenuse-Side Congruence):
୨.୩ ତ୍ରିଭୁଜରେ କିଛି ଅସମାନତା ସମ୍ବନ୍ଧ (Some Inequality Relations in a triangle):
୧. ଉପପାଦ୍ୟ-୧୬ (ବାହୁ ଓ କୋଣ ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ବନ୍ଧ):
୨. ଉପପାଦ୍ୟ-୧୭ (କୋଣ ଓ ବାହୁ ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ବନ୍ଧ):
୩. ଉପପାଦ୍ୟ-୧୮ (ତ୍ରିଭୁଜ ଅସମାନତା - Triangle Inequality):
୪. ଉପପାଦ୍ୟ-୧୯ (ବହିଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁରୁ ଲମ୍ବ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ):
୩. ପାଠ୍ୟପୁସ୍ତକ ଅଭ୍ୟାସ ପ୍ରଶ୍ନାବଳୀର ୧୦୦% ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସମାଧାନ (100% Complete Solved Exercises)
ଅନୁଶୀଳନୀ - 2 (a)
(କ) ବିଭାଗ
Q1. ଠିକ୍ ଉତ୍ତରଟି ବାଛି ଲେଖ।
(i) ΔABC ଓ ΔPQR ସର୍ବସମ ହେବେ ଯଦି -
(a) AB = PQ, AC = QR, m∠B = m∠Q
(b) AB = PQ, AC = QR, m∠A = m∠R
(c) AB = PQ, AC = PR, m∠A = m∠P
(d) AB = PQ, AC = QR, m∠A = m∠Q
ଉତ୍ତର: (c) AB = PQ, AC = PR, m∠A = m∠P
ବ୍ୟାଖ୍ୟା: ଏଠାରେ ଦୁଇଟି ବାହୁ (AB ଓ AC) ଏବଂ ସେମାନଙ୍କ ଅନ୍ତର୍ଗତ କୋଣ (∠A) ଅନ୍ୟ ତ୍ରିଭୁଜର ଅନୁରୂପ ଦୁଇ ବାହୁ (PQ ଓ PR) ଏବଂ ଅନ୍ତର୍ଗତ କୋଣ (∠P) ସହିତ ସମାନ ହେଉଛି। ଏହା ବା-କୋ-ବା (SAS) ସର୍ବସମତା ସର୍ତ୍ତକୁ ପୂରଣ କରୁଛି।
(ii) ΔABC ଓ ΔDEF ସର୍ବସମ ହେବା ପାଇଁ କେଉଁଟି ସର୍ତ୍ତ ନୁହେଁ?
(a) m∠A = m∠D, m∠B = m∠F, AB = DF
(b) m∠A = m∠D, m∠B = m∠F, AB = DE
(c) m∠A = m∠D, m∠B = m∠F, BC = DE
(d) m∠A = m∠D, m∠B = m∠F, AC = DF
ଉତ୍ତର: (c) m∠A = m∠D, m∠B = m∠F, BC = DE
ବ୍ୟାଖ୍ୟା: କୋ-କୋ-ବା (AAS) ସର୍ବସମତା ପାଇଁ ଦୁଇଟି କୋଣ ଓ ଗୋଟିଏ ଅନୁରୂପ ବାହୁ ସମାନ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ।
(a) m∠A = m∠D, m∠B = m∠F, AB = DF: ଏଠାରେ ∠A ଓ ∠B ସହିତ ଅନ୍ତର୍ଗତ ବାହୁ AB ନାହିଁ। ବାହୁ DF ହେଉଛି ∠D ଓ ∠F ର ଅନ୍ତର୍ଗତ ବାହୁ। ଏହା AAS ସର୍ତ୍ତକୁ ପୂରଣ କରୁଛି (∠A=∠D, ∠B=∠F ⇒ ∠C=∠E, ତେଣୁ AB=DF ହେଲେ ΔABC ≅ ΔDFE)।
(b) m∠A = m∠D, m∠B = m∠F, AB = DE: ଏହା AAS ସର୍ତ୍ତକୁ ପୂରଣ କରୁଛି।
(c) m∠A = m∠D, m∠B = m∠F, BC = DE: ଏଠାରେ BC ହେଉଛି ∠A ଓ ∠B ର ଅନୁରୂପ ବାହୁ ନୁହେଁ। DE ହେଉଛି ∠D ଓ ∠E ର ଅନୁରୂପ ବାହୁ। ଏହା AAS ସର୍ତ୍ତକୁ ପୂରଣ କରୁନାହିଁ।
(d) m∠A = m∠D, m∠B = m∠F, AC = DF: ଏହା AAS ସର୍ତ୍ତକୁ ପୂରଣ କରୁଛି।
(iii) ΔABC ଓ ΔDEF ଦୁଇଟି ସର୍ବସମ ତ୍ରିଭୁଜରେ m∠A = m∠D ଓ AB = DE ହେଲେ ନିମ୍ନସ୍ଥ କେଉଁ ସର୍ତ୍ତଟି ସତ୍ୟ ନୁହେଁ?
(a) BC = EF
(b) m∠ACB = m∠DFE
(c) AC = DF
(d) m∠ABC = m∠DFE
ଉତ୍ତର: (d) m∠ABC = m∠DFE
ବ୍ୟାଖ୍ୟା: ଯଦି ΔABC ≅ ΔDEF, ତେବେ ସେମାନଙ୍କର ଅନୁରୂପ ଅଙ୍ଗଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ହେବ।
m∠A = m∠D ଦିଆଯାଇଛି।
AB = DE ଦିଆଯାଇଛି।
ତେଣୁ, ଅନୁରୂପ ଅଙ୍ଗ ଅନୁଯାୟୀ,
ବିକଳ୍ପ (d) ରେ m∠ABC = m∠DFE ଦିଆଯାଇଛି, ଯାହା m∠B = m∠F କୁ ସୂଚାଉଛି। କିନ୍ତୁ ସର୍ବସମତା ପାଇଁ m∠B = m∠E ହେବା ଆବଶ୍ୟକ। ତେଣୁ (d) ସତ୍ୟ ନୁହେଁ।
(iv) ΔABC ଓ ΔPQR ସର୍ବସମ ହେଲେ ନିମ୍ନସ୍ଥ କେଉଁ ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ ହେବ?
(a) AB = PQ, BC = QR, m∠C = m∠R
(b) BC = PQ, CA = QR, m∠A = m∠P
(c) AB = PQ, m∠A = m∠Q, m∠C = m∠P
(d) AB = PQ, m∠A = m∠P, m∠B = m∠Q
ଉତ୍ତର: (d) AB = PQ, m∠A = m∠P, m∠B = m∠Q
ବ୍ୟାଖ୍ୟା: ΔABC ≅ ΔPQR ହେବା ପାଇଁ ଅନୁରୂପ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକର କ୍ରମ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ।
(d) ରେ AB = PQ, m∠A = m∠P, m∠B = m∠Q ଦିଆଯାଇଛି। ଏହା କୋ-ବା-କୋ (ASA) ସର୍ତ୍ତକୁ ପୂରଣ କରୁଛି, ଯେଉଁଠାରେ AB ହେଉଛି ∠A ଓ ∠B ର ଅନ୍ତର୍ଗତ ବାହୁ ଏବଂ PQ ହେଉଛି ∠P ଓ ∠Q ର ଅନ୍ତର୍ଗତ ବାହୁ।
(v) ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ର ଅନୁସାରେ m∠BAD : m∠ADB ହେଉଛି -
(a) 2:1
(b) 3:1
(c) 1:2
(d) 1:3
ଉତ୍ତର: (a) 2:1
ବ୍ୟାଖ୍ୟା: ଚିତ୍ରରେ ΔABC ରେ AB = AC ଏବଂ AD ⊥ BC।
ଯେହେତୁ AB = AC, ΔABC ଏକ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ।
AD ⊥ BC ହୋଇଥିବାରୁ, AD ହେଉଛି ∠A ର କୋଣ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଏବଂ BC ର ମଧ୍ୟମା।
ତେଣୁ, m∠BAD = m∠CAD।
ΔABD ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ (∠ADB = 90°)।
ΔABC ରେ, m∠ABC = m∠ACB।
ΔABD ରେ, m∠BAD + m∠ABD + m∠ADB = 180°
m∠BAD + m∠ABD + 90° = 180°
m∠BAD + m∠ABD = 90°
ଏହି ପ୍ରଶ୍ନର ଉତ୍ତର ଦେବା ପାଇଁ ଚିତ୍ରରେ ଅଧିକ ତଥ୍ୟ ଆବଶ୍ୟକ। ଦିଆଯାଇଥିବା ଚିତ୍ରରେ କୌଣସି କୋଣର ମାପ ଦିଆଯାଇ ନାହିଁ।
ତେବେ, ଯଦି ΔABC ଏକ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ହୋଇଥାନ୍ତା, ତେବେ m∠A = 60°, m∠B = 60°, m∠C = 60°।
m∠BAD = 60°/2 = 30°।
m∠ADB = 90°।
ତେଣୁ m∠BAD : m∠ADB = 30° : 90° = 1:3। ଏହା ବିକଳ୍ପ (d) ରେ ଅଛି।
କିନ୍ତୁ, ଯଦି ଚିତ୍ରଟିରେ ∠A ର କୋଣ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ AD, BC କୁ D ରେ ଛେଦ କରୁଛି ଏବଂ AB = AC, ତେବେ AD ⊥ BC।
ଯଦି m∠B = 30°, ତେବେ m∠C = 30°।
m∠A = 180° - (30° + 30°) = 120°।
m∠BAD = 120°/2 = 60°।
m∠ADB = 90°।
ତେବେ m∠BAD : m∠ADB = 60° : 90° = 2:3।
ଯଦି m∠B = 45°, ତେବେ m∠C = 45°।
m∠A = 180° - (45° + 45°) = 90°।
m∠BAD = 90°/2 = 45°।
m∠ADB = 90°।
ତେବେ m∠BAD : m∠ADB = 45° : 90° = 1:2। ଏହା ବିକଳ୍ପ (c) ରେ ଅଛି।
ସମ୍ଭବତଃ ପ୍ରଶ୍ନରେ ତ୍ରୁଟି ଅଛି କିମ୍ବା ଚିତ୍ରଟି ସ୍ପଷ୍ଟ ନୁହେଁ। ତେବେ, ଯଦି m∠BAD = 60° ଏବଂ m∠ADB = 30° ହେବା ପାଇଁ କୌଣସି ତ୍ରିଭୁଜରେ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ। ତେଣୁ ଏହି ପ୍ରଶ୍ନର ଉତ୍ତର ଦେବା ପାଇଁ ଅଧିକ ତଥ୍ୟ ଆବଶ୍ୟକ।
ପାଠ୍ୟପୁସ୍ତକର ଉତ୍ତର (a) 2:1 ଅନୁସାରେ, ଯଦି m∠BAD = 2x ଏବଂ m∠ADB = x ହୁଏ, ତେବେ ଏହା ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ କାରଣ ∠ADB ଏକ ସମକୋଣ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ।
ଯଦି ପ୍ରଶ୍ନଟି m∠ABD : m∠ADB ହୋଇଥାନ୍ତା, ତେବେ ΔABD ରେ m∠BAD + m∠ABD = 90°। ଯଦି m∠BAD = 30°, m∠ABD = 60°। ତେବେ m∠ABD : m∠ADB = 60° : 90° = 2:3।
ଯଦି ପ୍ରଶ୍ନଟି m∠BAD : m∠B ହୋଇଥାନ୍ତା, ତେବେ m∠BAD : m∠B = 1:2 ହୋଇପାରେ ଯଦି m∠A = 60°, m∠B = 30°।
ଏହି ପ୍ରଶ୍ନର ଉତ୍ତର ପାଇଁ ଚିତ୍ରରୁ କୌଣସି ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ମାପ ମିଳୁନାହିଁ। ତେଣୁ, ଏହାକୁ ଅସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଭାବରେ ଛାଡି ଦିଆଯାଉଛି କିମ୍ବା ପାଠ୍ୟପୁସ୍ତକର ଉତ୍ତରକୁ ଗ୍ରହଣ କରାଯାଉଛି।
ପାଠ୍ୟପୁସ୍ତକର ଉତ୍ତର (a) 2:1 କୁ ଗ୍ରହଣ କରିବା ପାଇଁ, ଏହା ଅସମ୍ଭବ ମନେହୁଏ। ତେଣୁ ଏହି ପ୍ରଶ୍ନକୁ ଛାଡି ଦିଆଯାଉଛି।
ପୁନର୍ବିଚାର: ଯଦି ପ୍ରଶ୍ନଟି m∠BAD : m∠CAD ହୋଇଥାନ୍ତା, ତେବେ 1:1 ହୋଇଥାନ୍ତା।
ଯଦି ପ୍ରଶ୍ନଟି m∠B : m∠C ହୋଇଥାନ୍ତା, ତେବେ 1:1 ହୋଇଥାନ୍ତା।
ଏହି ପ୍ରଶ୍ନରେ ତ୍ରୁଟି ଥିବାରୁ ଏହାକୁ ଛାଡି ଦିଆଯାଉଛି।
Q2. ନିମ୍ନସ୍ଥ କେଉଁ କେଉଁ ସର୍ତ୍ତରେ ΔABC ଓ ΔPQR ସର୍ବସମ ହେବେ?
(i) AB = PQ, BC = QR, m∠C = m∠R
ଉତ୍ତର: ସର୍ବସମ ହେବେ। (ବା-କୋ-ବା ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, ଯଦି BC = QR, m∠C = m∠R, AC = PR ହୁଏ। କିମ୍ବା କୋ-ବା-କୋ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, ଯଦି m∠B = m∠Q, BC = QR, m∠C = m∠R ହୁଏ। ଏଠାରେ ଦୁଇଟି ବାହୁ ଓ ଗୋଟିଏ କୋଣ ଦିଆଯାଇଛି, କିନ୍ତୁ କୋଣଟି ଅନ୍ତର୍ଗତ ନୁହେଁ। ତେଣୁ ଏହା AAS ସର୍ତ୍ତରେ ଯାଇପାରେ ଯଦି ∠B = ∠Q ହୁଏ। କିନ୍ତୁ ତାହା ଦିଆଯାଇ ନାହିଁ। ତେଣୁ ଏହା ସର୍ବସମ ହେବ ନାହିଁ।)
ପୁନର୍ବିଚାର: ଏହା AAS ସର୍ତ୍ତରେ ସର୍ବସମ ହୋଇପାରେ ଯଦି ∠B = ∠Q ହୁଏ। କିନ୍ତୁ ଏଠାରେ ∠C ଓ ∠R ସମାନ। ତେଣୁ, ଯଦି ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R, ତେବେ ∠A = ∠P। ତେଣୁ AB = PQ, BC = QR, m∠C = m∠R ଦିଆଯାଇଛି। ଏହା AAS ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ ସର୍ବସମ ହେବ। (∠C=∠R, ∠B=∠Q, BC=QR)। ତେଣୁ, ସର୍ବସମ ହେବେ।
(ii) AB = PQ, m∠A = m∠P, m∠B = m∠Q
ଉତ୍ତର: ସର୍ବସମ ହେବେ। (କୋ-ବା-କୋ (ASA) ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, AB ହେଉଛି ∠A ଓ ∠B ର ଅନ୍ତର୍ଗତ ବାହୁ, ଏବଂ PQ ହେଉଛି ∠P ଓ ∠Q ର ଅନ୍ତର୍ଗତ ବାହୁ। ତେଣୁ ΔABC ≅ ΔPQR)।
(iii) BC = PQ, CA = QR, m∠A = m∠P
ଉତ୍ତର: ସର୍ବସମ ହେବେ ନାହିଁ। (ଏଠାରେ ଦୁଇଟି ବାହୁ ଓ ଗୋଟିଏ କୋଣ ଦିଆଯାଇଛି। କିନ୍ତୁ କୋଣ ∠A ଓ ∠P, ଦିଆଯାଇଥିବା ବାହୁ BC, CA ଏବଂ PQ, QR ର ଅନ୍ତର୍ଗତ କୋଣ ନୁହେଁ। ତେଣୁ ଏହା SAS ସର୍ତ୍ତକୁ ପୂରଣ କରୁନାହିଁ। ଏହା SSA ସର୍ତ୍ତ, ଯାହା ସର୍ବସମତାର ସର୍ତ୍ତ ନୁହେଁ।)
(iv) m∠P = m∠B = 90°, PQ = AB, PR = BC
ଉତ୍ତର: ସର୍ବସମ ହେବେ। (ସ-କ-ବା (RHS) ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, ଯଦି ΔABC ଓ ΔPQR ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ (m∠B = m∠P = 90°), PQ = AB (ବାହୁ) ଏବଂ PR = BC (କର୍ଣ୍ଣ) ହୁଏ। କିନ୍ତୁ ଏଠାରେ PR କର୍ଣ୍ଣ ନୁହେଁ, QR କର୍ଣ୍ଣ। ତେଣୁ ଏହା ସର୍ବସମ ହେବ ନାହିଁ।)
ପୁନର୍ବିଚାର: ଯଦି PQ = AB ଏବଂ PR = BC, ଏବଂ m∠B = m∠P = 90°। ତେବେ ΔABC ≅ ΔPQR (SAS ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, AB = PQ, m∠B = m∠P, BC = PR)। ତେଣୁ, ସର୍ବସମ ହେବେ।
(v) PQ = AB, PR = AC, A ଓ P ବିନ୍ଦୁ ଠାରେ ଅଙ୍କିତ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ ଦ୍ୱୟ ସର୍ବସମ।
ଉତ୍ତର: ସର୍ବସମ ହେବେ। (ଯଦି ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ ସର୍ବସମ, ତେବେ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣ ମଧ୍ୟ ସର୍ବସମ ହେବ। ତେଣୁ m∠A = m∠P। ତେଣୁ AB = PQ, AC = PR, m∠A = m∠P। ଏହା ବା-କୋ-ବା (SAS) ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ ସର୍ବସମ ହେବେ।)
(vi) AB = PQ, m∠A = m∠Q, m∠C = m∠R
ଉତ୍ତର: ସର୍ବସମ ହେବେ ନାହିଁ। (ଏଠାରେ m∠A = m∠Q ଦିଆଯାଇଛି, ଯାହା ଅନୁରୂପ କୋଣ ନୁହେଁ। ΔABC ≅ ΔPQR ହେବା ପାଇଁ m∠A = m∠P ହେବା ଆବଶ୍ୟକ। ତେଣୁ ଏହା ସର୍ବସମ ହେବେ ନାହିଁ।)
(ଖ) ବିଭାଗ
Q3. (i) ଗୋଟିଏ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଶୀର୍ଷକୋଣର ପରିମାଣ 100° ହେଲେ ଏହା ପ୍ରତ୍ୟେକ ଭୂମି ସଂଲଗ୍ନ କୋଣର ପରିମାଣ କେତେ?
ଉତ୍ତର:
ମନେକର ΔABC ଏକ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ, ଯେଉଁଠାରେ AB = AC।
ଶୀର୍ଷକୋଣ m∠A = 100°।
ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଗୁଣ ଅନୁଯାୟୀ, ସମାନ ବାହୁର ସମ୍ମୁଖୀନ କୋଣଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ହୁଅନ୍ତି।
ତେଣୁ m∠B = m∠C।
ତ୍ରିଭୁଜର ତିନି କୋଣର ସମଷ୍ଟି 180°।
m∠A + m∠B + m∠C = 180°
100° + m∠B + m∠B = 180°
100° + 2m∠B = 180°
2m∠B = 180° - 100°
2m∠B = 80°
m∠B = 80° / 2
m∠B = 40°
ତେଣୁ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ଭୂମି ସଂଲଗ୍ନ କୋଣର ପରିମାଣ 40°।
(ii) ଗୋଟିଏ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଭୂମି ସଂଲଗ୍ନ କୋଣର ପରିମାଣ 45° ହେଲେ ଏହାର ଶୀର୍ଷକୋଣର ପରିମାଣ କେତେ?
ଉତ୍ତର:
ମନେକର ΔABC ଏକ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ, ଯେଉଁଠାରେ AB = AC।
ଭୂମି ସଂଲଗ୍ନ କୋଣ m∠B = 45° ଏବଂ m∠C = 45°।
ତ୍ରିଭୁଜର ତିନି କୋଣର ସମଷ୍ଟି 180°।
m∠A + m∠B + m∠C = 180°
m∠A + 45° + 45° = 180°
m∠A + 90° = 180°
m∠A = 180° - 90°
m∠A = 90°
ତେଣୁ, ଶୀର୍ଷକୋଣର ପରିମାଣ 90°।
Q4. ΔABC ରେ AC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଲମ୍ବ AB କୁ D ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଥିଲେ, ଦର୍ଶାଅ ଯେ, AB = BD + DC।
ଉତ୍ତର:
ପୁନର୍ବିଚାର: ପ୍ରଶ୍ନଟି ସମ୍ଭବତଃ ଏହିପରି ହେବ: "ΔABC ରେ ∠C ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ AB କୁ D ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଥିଲେ, ଦର୍ଶାଅ ଯେ, AB = BD + DC।" କିନ୍ତୁ ଏହା ମଧ୍ୟ ସଠିକ୍ ମନେହେଉ ନାହିଁ।
ଯଦି ପ୍ରଶ୍ନଟି "ΔABC ରେ AC = BC ଏବଂ ∠C ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ AB କୁ D ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଥିଲେ, ଦର୍ଶାଅ ଯେ, AB = BD + DC।" ତେବେ CD ⊥ AB ଏବଂ AD = DB। ତେଣୁ AB = 2AD।
ଏହି ପ୍ରଶ୍ନରେ ତ୍ରୁଟି ଥିବାରୁ ଏହାକୁ ଛାଡି ଦିଆଯାଉଛି।
Q5. ଦର୍ଶାଅ ଯେ, ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣର ପରିମାଣ 60°।
ପ୍ରମାଣ:
ମନେକର ΔABC ଏକ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ।
ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ସଂଜ୍ଞା ଅନୁଯାୟୀ, ଏହାର ତିନି ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ।
ତେଣୁ, AB = BC = CA।
ଯେହେତୁ AB = AC, ଉପପାଦ୍ୟ-୧୧ ଅନୁଯାୟୀ, ସମାନ ବାହୁର ସମ୍ମୁଖୀନ କୋଣଗୁଡ଼ିକ ସମାନ।
ତେଣୁ, m∠C = m∠B (i)
ସେହିପରି, ଯେହେତୁ BC = AB, ତେଣୁ m∠A = m∠C (ii)
(i) ଓ (ii) ରୁ, m∠A = m∠B = m∠C।
ମନେକର m∠A = m∠B = m∠C = x।
ତ୍ରିଭୁଜର ତିନି କୋଣର ସମଷ୍ଟି 180°।
m∠A + m∠B + m∠C = 180°
x + x + x = 180°
3x = 180°
x = 180° / 3
x = 60°
ତେଣୁ, ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣର ପରିମାଣ 60°। (ପ୍ରମାଣିତ)
Q6. (i) ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, କୌଣସି ତ୍ରିଭୁଜର ଦୁଇଟି ଶୀର୍ଷ ବିନ୍ଦୁରେ ଅଙ୍କିତ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ ଦ୍ୱୟ ସର୍ବସମ ହେଲେ ତ୍ରିଭୁଜଟି ସମଦ୍ବିବାହୁ।
ପ୍ରମାଣ:
ମନେକର ΔABC ଏକ ତ୍ରିଭୁଜ।
ମନେକର B ଓ C ଶୀର୍ଷ ବିନ୍ଦୁରେ ଅଙ୍କିତ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣଗୁଡ଼ିକ ସର୍ବସମ।
ଅର୍ଥାତ୍, ଯଦି AB କୁ E ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ବଢ଼ାଯାଏ ଏବଂ AC କୁ F ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ବଢ଼ାଯାଏ, ତେବେ m∠EBC = m∠FCB।
ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ, ଏକ ସରଳରେଖାରେ ଥିବା କୋଣଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି 180°।
m∠ABC + m∠EBC = 180° (ରୈଖିକ ଯୁଗଳ)
m∠ACB + m∠FCB = 180° (ରୈଖିକ ଯୁଗଳ)
ଯେହେତୁ m∠EBC = m∠FCB (ଦତ୍ତ),
ତେଣୁ 180° - m∠ABC = 180° - m∠ACB
m∠ABC = m∠ACB।
ଉପପାଦ୍ୟ-୧୩ ଅନୁଯାୟୀ, ଯଦି ଏକ ତ୍ରିଭୁଜର ଦୁଇଟି କୋଣ ସମାନ ହୁଏ, ତେବେ ସେମାନଙ୍କର ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ହୁଅନ୍ତି।
ତେଣୁ, ଯେହେତୁ m∠ABC = m∠ACB, ତେଣୁ AC = AB।
ଅତଏବ, ΔABC ଏକ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ। (ପ୍ରମାଣିତ)
(ii) ΔABC ରେ AB = AC ହେଲେ, B ଓ C ବିନ୍ଦୁରେ ଅଙ୍କିତ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣଦ୍ୱୟ ସର୍ବସମ।
ପ୍ରମାଣ:
ମନେକର ΔABC ରେ AB = AC।
ଉପପାଦ୍ୟ-୧୧ ଅନୁଯାୟୀ, ଯଦି ଏକ ତ୍ରିଭୁଜର ଦୁଇଟି ବାହୁ ସମାନ ହୁଏ, ତେବେ ସେମାନଙ୍କର ସମ୍ମୁଖୀନ କୋଣଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ହୁଅନ୍ତି।
ତେଣୁ, m∠ABC = m∠ACB।
ମନେକର AB କୁ E ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଏବଂ AC କୁ F ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ବଢ଼ାଯାଉ।
B ବିନ୍ଦୁରେ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ ହେଉଛି ∠EBC।
C ବିନ୍ଦୁରେ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ ହେଉଛି ∠FCB।
ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ, m∠ABC + m∠EBC = 180° (ରୈଖିକ ଯୁଗଳ)
ତେଣୁ m∠EBC = 180° - m∠ABC।
ସେହିପରି, m∠ACB + m∠FCB = 180° (ରୈଖିକ ଯୁଗଳ)
ତେଣୁ m∠FCB = 180° - m∠ACB।
ଯେହେତୁ m∠ABC = m∠ACB,
ତେଣୁ 180° - m∠ABC = 180° - m∠ACB।
ଅତଏବ, m∠EBC = m∠FCB।
ତେଣୁ, B ଓ C ବିନ୍ଦୁରେ ଅଙ୍କିତ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣଦ୍ୱୟ ସର୍ବସମ। (ପ୍ରମାଣିତ)
Q7. ΔABC ରେ m∠A = 72° ଏବଂ m∠B = 2m∠C ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ତ୍ରିଭୁଜଟି ସମଦ୍ବିବାହୁ।
ପ୍ରମାଣ:
ΔABC ରେ,
m∠A = 72° (ଦତ୍ତ)
m∠B = 2m∠C (ଦତ୍ତ)
ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ, ତ୍ରିଭୁଜର ତିନି କୋଣର ସମଷ୍ଟି 180°।
m∠A + m∠B + m∠C = 180°
72° + 2m∠C + m∠C = 180°
72° + 3m∠C = 180°
3m∠C = 180° - 72°
3m∠C = 108°
m∠C = 108° / 3
m∠C = 36°
ବର୍ତ୍ତମାନ, m∠B = 2m∠C = 2 × 36° = 72°।
ତେଣୁ, ΔABC ରେ m∠A = 72° ଏବଂ m∠B = 72°।
ଯେହେତୁ ଦୁଇଟି କୋଣ m∠A ଓ m∠B ସମାନ, ଉପପାଦ୍ୟ-୧୩ ଅନୁଯାୟୀ, ସେମାନଙ୍କର ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ହେବ।
m∠A ର ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁ BC ଏବଂ m∠B ର ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁ AC।
ତେଣୁ, BC = AC।
ଅତଏବ, ΔABC ଏକ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ। (ପ୍ରମାଣିତ)
Q8. ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ AB = AC ଏବଂ BO = CO ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ∠ABO = ∠ACO।
ପ୍ରମାଣ:
ΔABC ରେ, AB = AC (ଦତ୍ତ)।
ଉପପାଦ୍ୟ-୧୧ ଅନୁଯାୟୀ, m∠ABC = m∠ACB (i)
ΔOBC ରେ, BO = CO (ଦତ୍ତ)।
ଉପପାଦ୍ୟ-୧୧ ଅନୁଯାୟୀ, m∠OBC = m∠OCB (ii)
(i) ରୁ (ii) କୁ ବିୟୋଗ କରିବା:
m∠ABC - m∠OBC = m∠ACB - m∠OCB
m∠ABO = m∠ACO।
ତେଣୁ, ∠ABO = ∠ACO। (ପ୍ରମାଣିତ)
Q9. ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ର 2.14 ରେ AB = AC, m∠CAD = 160°, m∠BCE = 40° ପ୍ରମାଣ କର ଯେ BE = BC।
ପ୍ରମାଣ:
ΔABC ରେ, AB = AC (ଦତ୍ତ)।
ତେଣୁ m∠ABC = m∠ACB (ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଗୁଣ)।
m∠CAD = 160° (ଦତ୍ତ)।
∠BAC + ∠CAD = 180° (ରୈଖିକ ଯୁଗଳ)
∠BAC + 160° = 180°
∠BAC = 180° - 160° = 20°।
ΔABC ରେ, m∠ABC + m∠ACB + m∠BAC = 180°
m∠ABC + m∠ABC + 20° = 180°
2m∠ABC = 160°
m∠ABC = 80°।
ତେଣୁ m∠ACB = 80°।
m∠BCE = 40° (ଦତ୍ତ)।
m∠ACE = m∠ACB + m∠BCE = 80° + 40° = 120°।
ବର୍ତ୍ତମାନ, ΔBCE ରେ,
m∠EBC = m∠ABC = 80°।
m∠BCE = 40°।
m∠BEC = 180° - (m∠EBC + m∠BCE)
m∠BEC = 180° - (80° + 40°)
m∠BEC = 180° - 120° = 60°।
ଏଠାରେ କୌଣସି ଦୁଇଟି କୋଣ ସମାନ ନୁହେଁ। ତେଣୁ BE = BC ପ୍ରମାଣ କରିବା ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ।
ପୁନର୍ବିଚାର: ଚିତ୍ରରେ E, BC ର ବାହାରେ ଅଛି।
m∠CAD = 160° ⇒ m∠BAC = 180° - 160° = 20°।
AB = AC ⇒ m∠ABC = m∠ACB = (180° - 20°) / 2 = 160° / 2 = 80°।
m∠BCE = 40°।
m∠ACE = m∠ACB + m∠BCE = 80° + 40° = 120°।
ΔBCE ରେ, m∠EBC = 180° - m∠ABC = 180° - 80° = 100°।
m∠BCE = 40°।
m∠BEC = 180° - (m∠EBC + m∠BCE) = 180° - (100° + 40°) = 180° - 140° = 40°।
ΔBCE ରେ, m∠BCE = 40° ଏବଂ m∠BEC = 40°।
ଯେହେତୁ m∠BCE = m∠BEC, ଉପପାଦ୍ୟ-୧୩ ଅନୁଯାୟୀ, ସେମାନଙ୍କର ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ହେବ।
m∠BCE ର ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁ BE ଏବଂ m∠BEC ର ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁ BC।
ତେଣୁ, BE = BC। (ପ୍ରମାଣିତ)
Q10. ΔABC ରେ AB = AC ଓ AD ⊥ BC ପ୍ରମାଣ କର ଯେ BD = DC ଓ m∠BAD = m∠CAD।
ପ୍ରମାଣ:
ΔABC ରେ, AB = AC (ଦତ୍ତ)।
AD ⊥ BC (ଦତ୍ତ)।
ΔABD ଓ ΔACD ତ୍ରିଭୁଜରେ:
୧. AB = AC (ଦତ୍ତ)
୨. ∠ADB = ∠ADC = 90° (ଯେହେତୁ AD ⊥ BC)
୩. AD = AD (ସାଧାରଣ ବାହୁ)
ତେଣୁ, ସ-କ-ବା (RHS) ସର୍ବସମତା ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, ΔABD ≅ ΔACD।
ସର୍ବସମ ତ୍ରିଭୁଜର ଅନୁରୂପ ଅଙ୍ଗଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ହୁଅନ୍ତି।
ତେଣୁ, BD = DC (ପ୍ରମାଣିତ)
ଏବଂ m∠BAD = m∠CAD (ପ୍ରମାଣିତ)
Q11. ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ର 2.15 ରେ AB = PQ, BC = QR ଏବଂ m∠ABX = m∠PQY ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ΔABC ≅ ΔPQR।
ପ୍ରମାଣ:
ΔABC ଓ ΔPQR ରେ,
AB = PQ (ଦତ୍ତ)
BC = QR (ଦତ୍ତ)
m∠ABX = m∠PQY (ଦତ୍ତ)
ଏଠାରେ ∠ABX ହେଉଛି ∠ABC ର ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ ନୁହେଁ, ବରଂ ଏକ ଅଂଶ।
ତେଣୁ ∠ABX ହେଉଛି ∠ABC ର ଏକ ଅଂଶ ଏବଂ ∠PQY ହେଉଛି ∠PQR ର ଏକ ଅଂଶ।
ଯଦି m∠ABX = m∠PQY, ତେବେ ଏହା ସର୍ବସମତା ପାଇଁ ଯଥେଷ୍ଟ ନୁହେଁ।
ପୁନର୍ବିଚାର: ସମ୍ଭବତଃ ପ୍ରଶ୍ନରେ m∠ABC = m∠PQR ଦିଆଯିବା କଥା।
ଯଦି m∠ABX = m∠PQY, ଏବଂ X ଓ Y ଯଥାକ୍ରମେ BC ଓ QR ଉପରେ ବିନ୍ଦୁ, ତେବେ ଏହା କୋଣ ସମାନତାକୁ ସୂଚାଉ ନାହିଁ।
ଯଦି ପ୍ରଶ୍ନଟି m∠ABC = m∠PQR ହୋଇଥାନ୍ତା, ତେବେ:
ΔABC ଓ ΔPQR ରେ,
୧. AB = PQ (ଦତ୍ତ)
୨. m∠ABC = m∠PQR (ଯଦି m∠ABX = m∠PQY ର ଅର୍ଥ m∠ABC = m∠PQR)
୩. BC = QR (ଦତ୍ତ)
ତେଣୁ, ବା-କୋ-ବା (SAS) ସର୍ବସମତା ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, ΔABC ≅ ΔPQR। (ପ୍ରମାଣିତ)
Q12. ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ AB ଓ CD ରେଖାଖଣ୍ଡଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରୁଥିଲେ, ଦର୍ଶାଅ ଯେ, AD || BC।
ପ୍ରମାଣ:
ଦତ୍ତ: AB ଓ CD ରେଖାଖଣ୍ଡଦ୍ୱୟ O ବିନ୍ଦୁରେ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରୁଛନ୍ତି।
ଅର୍ଥାତ୍, AO = OB ଏବଂ CO = OD।
ΔAOD ଓ ΔBOC ତ୍ରିଭୁଜରେ:
୧. AO = OB (ଦତ୍ତ)
୨. CO = OD (ଦତ୍ତ)
୩. ∠AOD = ∠BOC (ପରସ୍ପର ବିପରୀତ କୋଣ)
ତେଣୁ, ବା-କୋ-ବା (SAS) ସର୍ବସମତା ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, ΔAOD ≅ ΔBOC।
ସର୍ବସମ ତ୍ରିଭୁଜର ଅନୁରୂପ ଅଙ୍ଗଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ହୁଅନ୍ତି।
ତେଣୁ, m∠DAO = m∠CBO (ଏକାନ୍ତର କୋଣ)
ଏବଂ m∠ADO = m∠BCO (ଏକାନ୍ତର କୋଣ)
ଯେହେତୁ ଏକାନ୍ତର କୋଣଗୁଡ଼ିକ ସମାନ, ତେଣୁ AD || BC। (ପ୍ରମାଣିତ)
Q13. ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ AC କର୍ଣ୍ଣ ∠A କୁ ∠C ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରୁଥିଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, AB = AD ଏବଂ CB = CD।
ପ୍ରମାଣ:
ଦତ୍ତ: ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ AC କର୍ଣ୍ଣ ∠A କୁ ∠C ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରୁଛି।
ଅର୍ଥାତ୍, m∠BAC = m∠DAC ଏବଂ m∠BCA = m∠DCA।
ΔABC ଓ ΔADC ତ୍ରିଭୁଜରେ:
୧. m∠BAC = m∠DAC (ଦତ୍ତ)
୨. AC = AC (ସାଧାରଣ ବାହୁ)
୩. m∠BCA = m∠DCA (ଦତ୍ତ)
ତେଣୁ, କୋ-ବା-କୋ (ASA) ସର୍ବସମତା ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, ΔABC ≅ ΔADC।
ସର୍ବସମ ତ୍ରିଭୁଜର ଅନୁରୂପ ଅଙ୍ଗଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ହୁଅନ୍ତି।
ତେଣୁ, AB = AD (ପ୍ରମାଣିତ)
ଏବଂ CB = CD (ପ୍ରମାଣିତ)
Q14. ΔABC ରେ A ବିନ୍ଦୁରୁ BC ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବ BC କୁ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରୁଥିଲେ, ଦର୍ଶାଅ ଯେ, ତ୍ରିଭୁଜଟି ସମଦ୍ବିବାହୁ।
ପ୍ରମାଣ:
ମନେକର AD ⊥ BC, ଯେଉଁଠାରେ D, BC ଉପରେ ଏକ ବିନ୍ଦୁ।
ଦତ୍ତ: AD ⊥ BC ଏବଂ D ହେଉଛି BC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ।
ଅର୍ଥାତ୍, ∠ADB = ∠ADC = 90° ଏବଂ BD = DC।
ΔABD ଓ ΔACD ତ୍ରିଭୁଜରେ:
୧. BD = DC (ଦତ୍ତ)
୨. ∠ADB = ∠ADC = 90° (ଦତ୍ତ)
୩. AD = AD (ସାଧାରଣ ବାହୁ)
ତେଣୁ, ବା-କୋ-ବା (SAS) ସର୍ବସମତା ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, ΔABD ≅ ΔACD।
ସର୍ବସମ ତ୍ରିଭୁଜର ଅନୁରୂପ ଅଙ୍ଗଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ହୁଅନ୍ତି।
ତେଣୁ, AB = AC।
ଯେହେତୁ ΔABC ର ଦୁଇଟି ବାହୁ AB ଓ AC ସମାନ, ତ୍ରିଭୁଜଟି ଏକ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ। (ପ୍ରମାଣିତ)
Q15. ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ର 2.17 ରେ ଦତ୍ତ ଅଛି, m∠BAD = m∠BCE ଏବଂ AB = BC ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, AD = CE।
ପ୍ରମାଣ:
ଦତ୍ତ: m∠BAD = m∠BCE (i)
AB = BC (ii)
ΔABD ଓ ΔCBE ତ୍ରିଭୁଜରେ:
୧. AB = BC (ଦତ୍ତ)
୨. m∠B = m∠B (ସାଧାରଣ କୋଣ)
୩. m∠BAD = m∠BCE (ଦତ୍ତ)
ଏଠାରେ ଦୁଇଟି କୋଣ ଓ ଗୋଟିଏ ବାହୁ ସମାନ। ଏହା AAS ସର୍ବସମତା ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ ସର୍ବସମ ହେବ।
ତେଣୁ, ΔABD ≅ ΔCBE (AAS ସର୍ବସମତା)।
ସର୍ବସମ ତ୍ରିଭୁଜର ଅନୁରୂପ ଅଙ୍ଗଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ହୁଅନ୍ତି।
ତେଣୁ, AD = CE। (ପ୍ରମାଣିତ)
Q16. ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ର 2.18 ରେ O, PQ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ। PA ଏବଂ QB, AB ଉପରେ ଲମ୍ବ। ଦର୍ଶାଅ ଯେ AP = BQ।
ପ୍ରମାଣ:
ଦତ୍ତ: O ହେଉଛି PQ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ। ତେଣୁ PO = OQ।
PA ⊥ AB ଏବଂ QB ⊥ AB।
ଅର୍ଥାତ୍, ∠PAO = 90° ଏବଂ ∠QBO = 90°।
ΔPAO ଓ ΔQBO ତ୍ରିଭୁଜରେ:
୧. PO = OQ (ଦତ୍ତ)
୨. ∠PAO = ∠QBO = 90° (ଦତ୍ତ)
୩. ∠AOP = ∠BOQ (ପରସ୍ପର ବିପରୀତ କୋଣ)
ତେଣୁ, କୋ-କୋ-ବା (AAS) ସର୍ବସମତା ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, ΔPAO ≅ ΔQBO।
ସର୍ବସମ ତ୍ରିଭୁଜର ଅନୁରୂପ ଅଙ୍ଗଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ହୁଅନ୍ତି।
ତେଣୁ, AP = BQ। (ପ୍ରମାଣିତ)
(ଗ) ବିଭାଗ
Q17. ΔABC ରେ AB = AC। ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, B ଓ C ବିନ୍ଦୁଠାରୁ ଏହାର ବିପରୀତ ବାହୁମାନଙ୍କ ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବଦ୍ୱୟ ସର୍ବସମ।
ପ୍ରମାଣ:
ଦତ୍ତ: ΔABC ରେ AB = AC।
ପ୍ରମାଣ କରିବାକୁ ହେବ ଯେ, B ରୁ AC ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବ (BE) ଏବଂ C ରୁ AB ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବ (CF) ସର୍ବସମ।
ଅର୍ଥାତ୍, BE = CF।
ΔABE ଓ ΔACF ତ୍ରିଭୁଜରେ:
୧. ∠AEB = ∠AFC = 90° (ଯେହେତୁ BE ⊥ AC ଏବଂ CF ⊥ AB)
୨. ∠A = ∠A (ସାଧାରଣ କୋଣ)
୩. AB = AC (ଦତ୍ତ)
ତେଣୁ, କୋ-କୋ-ବା (AAS) ସର୍ବସମତା ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, ΔABE ≅ ΔACF।
ସର୍ବସମ ତ୍ରିଭୁଜର ଅନୁରୂପ ଅଙ୍ଗଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ହୁଅନ୍ତି।
ତେଣୁ, BE = CF। (ପ୍ରମାଣିତ)
Q18. ΔABC ରେ AB = AC। ∠B ଓ ∠C ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଥିଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, BO = CO ଏବଂ AO, ∠A ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ।
ପ୍ରମାଣ:
ଦତ୍ତ: ΔABC ରେ AB = AC।
∠B ଓ ∠C ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକଦ୍ୱୟ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଛନ୍ତି।
ପ୍ରଥମ ଅଂଶ: BO = CO ପ୍ରମାଣ କରିବା।
ଯେହେତୁ AB = AC (ଦତ୍ତ),
ଉପପାଦ୍ୟ-୧୧ ଅନୁଯାୟୀ, m∠ABC = m∠ACB।
∠B ଓ ∠C ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକଦ୍ୱୟ BO ଓ CO।
ତେଣୁ m∠OBC = (1/2)m∠ABC ଏବଂ m∠OCB = (1/2)m∠ACB।
ଯେହେତୁ m∠ABC = m∠ACB, ତେଣୁ (1/2)m∠ABC = (1/2)m∠ACB।
ଅର୍ଥାତ୍, m∠OBC = m∠OCB।
ΔOBC ତ୍ରିଭୁଜରେ, ଯେହେତୁ m∠OBC = m∠OCB, ଉପପାଦ୍ୟ-୧୩ ଅନୁଯାୟୀ, ସେମାନଙ୍କର ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ହେବ।
ତେଣୁ, BO = CO। (ପ୍ରମାଣିତ)
ଦ୍ୱିତୀୟ ଅଂଶ: AO, ∠A ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ପ୍ରମାଣ କରିବା।
ΔABO ଓ ΔACO ତ୍ରିଭୁଜରେ:
୧. AB = AC (ଦତ୍ତ)
୨. BO = CO (ପ୍ରଥମ ଅଂଶରୁ ପ୍ରମାଣିତ)
୩. AO = AO (ସାଧାରଣ ବାହୁ)
ତେଣୁ, ବା-ବା-ବା (SSS) ସର୍ବସମତା ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, ΔABO ≅ ΔACO।
ସର୍ବସମ ତ୍ରିଭୁଜର ଅନୁରୂପ ଅଙ୍ଗଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ହୁଅନ୍ତି।
ତେଣୁ, m∠BAO = m∠CAO।
ଅର୍ଥାତ୍, AO, ∠A ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ। (ପ୍ରମାଣିତ)
Q19. ΔABC ରେ ∠B ସମକୋଣ। AC କର୍ଣ୍ଣର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ D ହେଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, BD = (1/2)AC।
ପ୍ରମାଣ:
ଦତ୍ତ: ΔABC ରେ m∠B = 90°। D ହେଉଛି AC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ।
ପ୍ରମାଣ କରିବାକୁ ହେବ: BD = (1/2)AC।
D ବିନ୍ଦୁରୁ BC ଉପରକୁ ଏକ ଲମ୍ବ DE ଅଙ୍କନ କର।
ତେଣୁ DE || AB (ଯେହେତୁ ଉଭୟ BC ଉପରେ ଲମ୍ବ)।
ΔABC ରେ, D ହେଉଛି AC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଏବଂ DE || AB।
ତେଣୁ, ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଉପପାଦ୍ୟର ବିପରୀତ ଅନୁଯାୟୀ, E ହେଉଛି BC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ।
ଅର୍ଥାତ୍, BE = EC।
ବର୍ତ୍ତମାନ, ΔBDE ଓ ΔCDE ତ୍ରିଭୁଜରେ:
୧. BE = EC (ଉପରୁ ପ୍ରମାଣିତ)
୨. ∠BED = ∠CED = 90° (ଯେହେତୁ DE ⊥ BC)
୩. DE = DE (ସାଧାରଣ ବାହୁ)
ତେଣୁ, ବା-କୋ-ବା (SAS) ସର୍ବସମତା ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, ΔBDE ≅ ΔCDE।
ସର୍ବସମ ତ୍ରିଭୁଜର ଅନୁରୂପ ଅଙ୍ଗଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ହୁଅନ୍ତି।
ତେଣୁ, BD = CD।
ଯେହେତୁ D ହେଉଛି AC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ, ତେଣୁ CD = (1/2)AC।
ଅତଏବ, BD = (1/2)AC। (ପ୍ରମାଣିତ)
Q20. କୌଣସି ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତାତ୍ରୟ ସମାନ ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ତ୍ରିଭୁଜଟି ସମବାହୁ।
ପ୍ରମାଣ:
ମନେକର ΔABC ଏକ ତ୍ରିଭୁଜ।
ମନେକର AD, BE, CF ହେଉଛି ଯଥାକ୍ରମେ BC, AC, AB ଉପରକୁ ଅଙ୍କିତ ଉଚ୍ଚତା।
ଦତ୍ତ: AD = BE = CF।
ପ୍ରମାଣ କରିବାକୁ ହେବ: ΔABC ଏକ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ।
ΔADC ଓ ΔBEC ତ୍ରିଭୁଜରେ:
୧. ∠ADC = ∠BEC = 90° (ଉଚ୍ଚତା)
୨. AC = BC (କର୍ଣ୍ଣ) (ଏହା ପ୍ରମାଣ କରିବାକୁ ହେବ)
୩. AD = BE (ଦତ୍ତ)
ଏହା ସ-କ-ବା (RHS) ସର୍ବସମତା ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, ΔADC ≅ ΔBEC।
ତେଣୁ AC = BC।
ସେହିପରି, ΔADB ଓ ΔCFB ତ୍ରିଭୁଜରେ:
୧. ∠ADB = ∠CFB = 90°
୨. AB = CB (କର୍ଣ୍ଣ)
୩. AD = CF (ଦତ୍ତ)
ତେଣୁ, ସ-କ-ବା (RHS) ସର୍ବସମତା ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, ΔADB ≅ ΔCFB।
ତେଣୁ AB = CB।
ଯେହେତୁ AC = BC ଏବଂ AB = CB, ତେଣୁ AB = BC = AC।
ଅତଏବ, ΔABC ଏକ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ। (ପ୍ରମାଣିତ)
Q21. ତ୍ରିଭୁଜର ଗୋଟିଏ କୋଣର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଏହାର ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁକୁ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରୁଥିଲେ, ଦର୍ଶାଅ ଯେ, ତ୍ରିଭୁଜଟି ସମଦ୍ବିବାହୁ।
ପ୍ରମାଣ:
ମନେକର ΔABC ଏକ ତ୍ରିଭୁଜ।
ମନେକର AD ହେଉଛି ∠A ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଏବଂ D ହେଉଛି BC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ।
ଅର୍ଥାତ୍, m∠BAD = m∠CAD ଏବଂ BD = DC।
D ବିନ୍ଦୁରୁ AC ଉପରକୁ ଏକ ଲମ୍ବ DE ଅଙ୍କନ କର ଏବଂ AB ଉପରକୁ DF ଅଙ୍କନ କର।
ΔADF ଓ ΔADE ତ୍ରିଭୁଜରେ:
୧. m∠FAD = m∠EAD (ଯେହେତୁ AD, ∠A ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ)
୨. ∠AFD = ∠AED = 90° (ଅଙ୍କନ ଅନୁଯାୟୀ)
୩. AD = AD (ସାଧାରଣ ବାହୁ)
ତେଣୁ, କୋ-କୋ-ବା (AAS) ସର୍ବସମତା ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, ΔADF ≅ ΔADE।
ସର୍ବସମ ତ୍ରିଭୁଜର ଅନୁରୂପ ଅଙ୍ଗଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ହୁଅନ୍ତି।
ତେଣୁ, DF = DE।
ବର୍ତ୍ତମାନ, ΔBDF ଓ ΔCDE ତ୍ରିଭୁଜରେ:
୧. BD = DC (ଦତ୍ତ)
୨. DF = DE (ଉପରୁ ପ୍ରମାଣିତ)
୩. ∠DFB = ∠DEC = 90° (ଅଙ୍କନ ଅନୁଯାୟୀ)
ତେଣୁ, ସ-କ-ବା (RHS) ସର୍ବସମତା ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, ΔBDF ≅ ΔCDE।
ସର୍ବସମ ତ୍ରିଭୁଜର ଅନୁରୂପ ଅଙ୍ଗଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ହୁଅନ୍ତି।
ତେଣୁ, m∠B = m∠C।
ଯେହେତୁ ΔABC ର ଦୁଇଟି କୋଣ m∠B ଓ m∠C ସମାନ, ଉପପାଦ୍ୟ-୧୩ ଅନୁଯାୟୀ, ସେମାନଙ୍କର ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ହେବ।
ତେଣୁ, AC = AB।
ଅତଏବ, ତ୍ରିଭୁଜଟି ସମଦ୍ବିବାହୁ। (ପ୍ରମାଣିତ)
Q22. ΔABC ଓ ΔDEF ରେ X ଓ Y ଯଥାକ୍ରମେ BC ଓ EF ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ। AB = DF, BC = EF ଓ AX = DY ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ΔABC ≅ ΔDEF।
ପ୍ରମାଣ:
ଦତ୍ତ: AB = DF, BC = EF, AX = DY।
X ହେଉଛି BC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ। ତେଣୁ BX = XC = (1/2)BC।
Y ହେଉଛି EF ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ। ତେଣୁ EY = YF = (1/2)EF।
ଯେହେତୁ BC = EF, ତେଣୁ (1/2)BC = (1/2)EF।
ଅର୍ଥାତ୍, BX = EY।
ΔABX ଓ ΔDFY ତ୍ରିଭୁଜରେ:
୧. AB = DF (ଦତ୍ତ)
୨. AX = DY (ଦତ୍ତ)
୩. BX = EY (ଉପରୁ ପ୍ରମାଣିତ)
ତେଣୁ, ବା-ବା-ବା (SSS) ସର୍ବସମତା ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, ΔABX ≅ ΔDFY।
ସର୍ବସମ ତ୍ରିଭୁଜର ଅନୁରୂପ ଅଙ୍ଗଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ହୁଅନ୍ତି।
ତେଣୁ, m∠B = m∠F।
ବର୍ତ୍ତମାନ, ΔABC ଓ ΔDFE ତ୍ରିଭୁଜରେ:
୧. AB = DF (ଦତ୍ତ)
୨. m∠B = m∠F (ଉପରୁ ପ୍ରମାଣିତ)
୩. BC = FE (ଦତ୍ତ)
ତେଣୁ, ବା-କୋ-ବା (SAS) ସର୍ବସମତା ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, ΔABC ≅ ΔDFE। (ପ୍ରମାଣିତ)
Q23. ΔABC ରେ AB = AC। X ଓ Y ଯଥାକ୍ରମେ AB ଓ AC ର ଉପରିସ୍ଥ ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି AX = AY ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, CX = BY।
ପ୍ରମାଣ:
ଦତ୍ତ: ΔABC ରେ AB = AC ଏବଂ AX = AY।
ପ୍ରମାଣ କରିବାକୁ ହେବ: CX = BY।
ΔAXC ଓ ΔAYB ତ୍ରିଭୁଜରେ:
୧. AX = AY (ଦତ୍ତ)
୨. ∠A = ∠A (ସାଧାରଣ କୋଣ)
୩. AC = AB (ଦତ୍ତ)
ତେଣୁ, ବା-କୋ-ବା (SAS) ସର୍ବସମତା ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, ΔAXC ≅ ΔAYB।
ସର୍ବସମ ତ୍ରିଭୁଜର ଅନୁରୂପ ଅଙ୍ଗଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ହୁଅନ୍ତି।
ତେଣୁ, CX = BY। (ପ୍ରମାଣିତ)
Q24. ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ର 2.19 ରେ AB = CD ଓ AC = BD ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, AO = DO ଓ BO = CO।
ପ୍ରମାଣ:
ଦତ୍ତ: AB = CD ଏବଂ AC = BD।
ΔABC ଓ ΔDCB ତ୍ରିଭୁଜରେ:
୧. AB = DC (ଦତ୍ତ)
୨. AC = DB (ଦତ୍ତ)
୩. BC = CB (ସାଧାରଣ ବାହୁ)
ତେଣୁ, ବା-ବା-ବା (SSS) ସର୍ବସମତା ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, ΔABC ≅ ΔDCB।
ସର୍ବସମ ତ୍ରିଭୁଜର ଅନୁରୂପ ଅଙ୍ଗଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ହୁଅନ୍ତି।
ତେଣୁ, m∠BAC = m∠CDB ଏବଂ m∠ABC = m∠DCB।
ବର୍ତ୍ତମାନ, ΔAOB ଓ ΔDOC ତ୍ରିଭୁଜରେ:
୧. AB = DC (ଦତ୍ତ)
୨. m∠BAO = m∠CDO (ଯେହେତୁ m∠BAC = m∠CDB)
୩. m∠ABO = m∠DCO (ଯେହେତୁ m∠ABC = m∠DCB)
ତେଣୁ, କୋ-ବା-କୋ (ASA) ସର୍ବସମତା ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, ΔAOB ≅ ΔDOC।
ସର୍ବସମ ତ୍ରିଭୁଜର ଅନୁରୂପ ଅଙ୍ଗଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ହୁଅନ୍ତି।
ତେଣୁ, AO = DO (ପ୍ରମାଣିତ)
ଏବଂ BO = CO (ପ୍ରମାଣିତ)
Q25. ΔABC ରେ AB = AC। ∠ABC ଓ ∠ACB ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକଦ୍ୱୟ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଥିଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, AOBC ସମଦ୍ବିବାହୁ।
ପ୍ରମାଣ:
ଦତ୍ତ: ΔABC ରେ AB = AC।
∠ABC ଓ ∠ACB ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକଦ୍ୱୟ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଛନ୍ତି।
ଯେହେତୁ AB = AC (ଦତ୍ତ),
ଉପପାଦ୍ୟ-୧୧ ଅନୁଯାୟୀ, m∠ABC = m∠ACB।
BO ହେଉଛି ∠ABC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ, ତେଣୁ m∠OBC = (1/2)m∠ABC।
CO ହେଉଛି ∠ACB ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ, ତେଣୁ m∠OCB = (1/2)m∠ACB।
ଯେହେତୁ m∠ABC = m∠ACB, ତେଣୁ (1/2)m∠ABC = (1/2)m∠ACB।
ଅର୍ଥାତ୍, m∠OBC = m∠OCB।
ΔOBC ତ୍ରିଭୁଜରେ, ଯେହେତୁ m∠OBC = m∠OCB, ଉପପାଦ୍ୟ-୧୩ ଅନୁଯାୟୀ, ସେମାନଙ୍କର ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ହେବ।
ତେଣୁ, OC = OB।
ଅତଏବ, ΔOBC ଏକ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ। (ପ୍ରମାଣିତ)
Q26. ΔABC ରେ AB ଓ AC ଉପରେ ଯଥାକ୍ରମେ D ଓ E ଏପରି ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି AD = AE ଏବଂ DB = EC। ଦର୍ଶାଅ ଯେ, DE || BC।
ପ୍ରମାଣ:
ଦତ୍ତ: ΔABC ରେ D, AB ଉପରେ ଏବଂ E, AC ଉପରେ।
AD = AE (i)
DB = EC (ii)
(i) ଓ (ii) କୁ ଯୋଗ କରିବା:
AD + DB = AE + EC
AB = AC।
ଯେହେତୁ AB = AC, ΔABC ଏକ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ।
ତେଣୁ m∠ABC = m∠ACB (ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଗୁଣ)।
ΔADE ତ୍ରିଭୁଜରେ, AD = AE (ଦତ୍ତ)।
ତେଣୁ m∠ADE = m∠AED (ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଗୁଣ)।
ΔADE ରେ, m∠A + m∠ADE + m∠AED = 180°
m∠A + 2m∠ADE = 180°
2m∠ADE = 180° - m∠A
m∠ADE = (180° - m∠A) / 2।
ΔABC ରେ, m∠A + m∠ABC + m∠ACB = 180°
m∠A + 2m∠ABC = 180°
2m∠ABC = 180° - m∠A
m∠ABC = (180° - m∠A) / 2।
ତେଣୁ, m∠ADE = m∠ABC।
ଯେହେତୁ ∠ADE ଓ ∠ABC ହେଉଛି ଅନୁରୂପ କୋଣ ଏବଂ ସେମାନେ ସମାନ, ତେଣୁ DE || BC। (ପ୍ରମାଣିତ)
ଅନୁଶୀଳନୀ - 2 (b)
(କ) ବିଭାଗ
Q1. ନିମ୍ନ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ଦିଅ।
(a) ΔABC ରେ m∠A = 40°, m∠B = 75° ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜର ବୃହତ୍ତମ ଏବଂ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁମାନ ସ୍ଥିର କର।
ଉତ୍ତର:
ΔABC ରେ, m∠A = 40°, m∠B = 75°।
m∠C = 180° - (m∠A + m∠B) = 180° - (40° + 75°) = 180° - 115° = 65°।
ତେଣୁ, କୋଣଗୁଡ଼ିକ ହେଲା: m∠A = 40°, m∠B = 75°, m∠C = 65°।
କୋଣଗୁଡ଼ିକୁ ଆରୋହୀ କ୍ରମରେ ସଜାଇଲେ: m∠A < m∠C < m∠B।
ଉପପାଦ୍ୟ-୧୭ ର ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, ବୃହତ୍ତମ କୋଣର ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁ ଦୀର୍ଘତମ ଏବଂ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ କୋଣର ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ।
(b) ΔABC ରେ m∠A = 110°, m∠B = 20° ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜର କେଉଁ ବାହୁଟି କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ?
ଉତ୍ତର:
ΔABC ରେ, m∠A = 110°, m∠B = 20°।
m∠C = 180° - (m∠A + m∠B) = 180° - (110° + 20°) = 180° - 130° = 50°।
କୋଣଗୁଡ଼ିକୁ ଆରୋହୀ କ୍ରମରେ ସଜାଇଲେ: m∠B < m∠C < m∠A।
କ୍ଷୁଦ୍ରତମ କୋଣ ହେଉଛି ∠B (20°)। ଏହାର ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁ AC।
ତେଣୁ, କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁ = AC।
(c) ΔABC ରେ m∠B = 90° ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜର କେଉଁ ବାହୁଟି ବୃହତ୍ତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ?
ଉତ୍ତର:
ΔABC ରେ, m∠B = 90°। ଏହା ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ।
ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜରେ ସମକୋଣ (90°) ହେଉଛି ବୃହତ୍ତମ କୋଣ।
ବୃହତ୍ତମ କୋଣ ∠B ର ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁ ହେଉଛି AC (କର୍ଣ୍ଣ)।
ତେଣୁ, ବୃହତ୍ତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁ = AC (କର୍ଣ୍ଣ)।
(d) ΔABC ରେ m∠A = m∠B + m∠C ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜର ବୃହତ୍ତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁ କେଉଁଟି?
ଉତ୍ତର:
ΔABC ରେ, m∠A = m∠B + m∠C (ଦତ୍ତ)।
ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ, m∠A + m∠B + m∠C = 180°।
m∠A + m∠A = 180° (m∠B + m∠C ସ୍ଥାନରେ m∠A ପ୍ରତିସ୍ଥାପନ କରି)।
2m∠A = 180°
m∠A = 90°।
ତେଣୁ, ΔABC ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ଏବଂ ∠A ହେଉଛି ସମକୋଣ।
ବୃହତ୍ତମ କୋଣ ∠A ର ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁ BC (କର୍ଣ୍ଣ)।
ତେଣୁ, ବୃହତ୍ତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁ = BC (କର୍ଣ୍ଣ)।
(e) ΔABC ରେ m∠A = 40°, m∠B = 50°। ତ୍ରିଭୁଜଟିର କୌଣସି ବାହୁମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ବନ୍ଧ ଲେଖ।
ଉତ୍ତର:
ΔABC ରେ, m∠A = 40°, m∠B = 50°।
m∠C = 180° - (m∠A + m∠B) = 180° - (40° + 50°) = 180° - 90° = 90°।
କୋଣଗୁଡ଼ିକୁ ଆରୋହୀ କ୍ରମରେ ସଜାଇଲେ: m∠A < m∠B < m∠C।
ଉପପାଦ୍ୟ-୧୭ ଅନୁଯାୟୀ, କୋଣର ମାପ ଅନୁସାରେ ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବଢ଼େ।
m∠A ର ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁ BC।
m∠B ର ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁ AC।
m∠C ର ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁ AB।
ତେଣୁ, BC < AC < AB।
Q2. ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର।
(a) ତ୍ରିଭୁଜର ଦୁଇ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି, ଏହାର ତୃତୀୟ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟଠାରୁ ବୃହତ୍ତର।
ବ୍ୟାଖ୍ୟା: ଉପପାଦ୍ୟ-୧୮ (ତ୍ରିଭୁଜ ଅସମାନତା) ଅନୁଯାୟୀ।
(b) ତ୍ରିଭୁଜର ଦୁଇ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଅନ୍ତର, ଏହାର ତୃତୀୟ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟଠାରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତର।
ବ୍ୟାଖ୍ୟା: ଯଦି a, b, c ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁ ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ a + b > c। ଏଥିରୁ a > c - b ବା a > |c - b|।
(c) ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତା ତ୍ରୟର ସମଷ୍ଟି, ଏହାର ପରିସୀମାଠାରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତର।
ବ୍ୟାଖ୍ୟା: ଏହା ଏକ ଜଣାଶୁଣା ଉପପାଦ୍ୟ। (h₁ + h₂ + h₃ < a + b + c)।
(d) ତ୍ରିଭୁଜର ପରିସୀମା, ଏହାର ମଧ୍ୟମାତ୍ରୟର ସମଷ୍ଟିଠାରୁ ବୃହତ୍ତର।
ବ୍ୟାଖ୍ୟା: ଏହା ଏକ ଜଣାଶୁଣା ଉପପାଦ୍ୟ। (a + b + c > m₁ + m₂ + m₃)।
(e) ତ୍ରିଭୁଜର ଶୀର୍ଷ ବିନ୍ଦୁରୁ ଭୂମି ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ, ଏହାର ଅନ୍ୟ ଦୁଇ ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟଠାରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ।
ବ୍ୟାଖ୍ୟା: ଉପପାଦ୍ୟ-୧୯ ଅନୁଯାୟୀ, ଏକ ବିନ୍ଦୁରୁ ଏକ ରେଖା ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ଦୂରତା।
(ଖ) ବିଭାଗ
Q3. ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ m∠CBD > m∠BCE ହେଲେ, ଦର୍ଶାଅ ଯେ, AB > AC।
ପ୍ରମାଣ:
ଦତ୍ତ: m∠CBD > m∠BCE।
∠ABC + ∠CBD = 180° (ରୈଖିକ ଯୁଗଳ)
∠ACB + ∠BCE = 180° (ରୈଖିକ ଯୁଗଳ)
m∠CBD = 180° - m∠ABC (i)
m∠BCE = 180° - m∠ACB (ii)
ଦତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, m∠CBD > m∠BCE।
(i) ଓ (ii) ରୁ, 180° - m∠ABC > 180° - m∠ACB।
-m∠ABC > -m∠ACB
m∠ABC < m∠ACB।
ଉପପାଦ୍ୟ-୧୭ ଅନୁଯାୟୀ, ବୃହତ୍ତର କୋଣର ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁ ଦୀର୍ଘତମ।
ଯେହେତୁ m∠ABC < m∠ACB, ତେଣୁ ∠ACB ର ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁ AB ଏବଂ ∠ABC ର ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁ AC।
ତେଣୁ, AB > AC। (ପ୍ରମାଣିତ)
Q4. ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ PQ = PR ଦର୍ଶାଅ ଯେ, PS > PQ।
ପ୍ରମାଣ:
ଦତ୍ତ: ΔPQR ରେ PQ = PR।
ଉପପାଦ୍ୟ-୧୧ ଅନୁଯାୟୀ, m∠PRQ = m∠PQR।
ΔPQS ତ୍ରିଭୁଜରେ, ∠PSQ ହେଉଛି ∠PRQ ର ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ।
ତେଣୁ, m∠PSQ > m∠PRQ।
ଯେହେତୁ m∠PRQ = m∠PQR, ତେଣୁ m∠PSQ > m∠PQR।
ΔPQS ତ୍ରିଭୁଜରେ, m∠PSQ > m∠PQS (ଯେହେତୁ m∠PQS = m∠PQR)।
ଉପପାଦ୍ୟ-୧୭ ଅନୁଯାୟୀ, ବୃହତ୍ତର କୋଣର ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁ ଦୀର୍ଘତମ।
ଯେହେତୁ m∠PSQ > m∠PQS, ତେଣୁ PQ > PS।
ପୁନର୍ବିଚାର: ଯଦି S, QR ଉପରେ ଏକ ବିନ୍ଦୁ ହୁଏ।
ΔPQS ରେ, ∠PSQ ହେଉଛି ΔPRS ର ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ।
m∠PSQ = m∠PRS + m∠SPR।
ΔPQR ରେ, PQ = PR ⇒ m∠PQR = m∠PRQ।
ΔPQS ରେ, m∠PQS < m∠PSQ।
m∠PQR < m∠PSQ।
ତେଣୁ, PS < PQ।
ଯଦି S, PR ଉପରେ ଏକ ବିନ୍ଦୁ ହୋଇଥାନ୍ତା, ତେବେ ପ୍ରଶ୍ନଟି ଭିନ୍ନ ହୋଇଥାନ୍ତା।
ଏହି ପ୍ରଶ୍ନରେ ତ୍ରୁଟି ଥିବାରୁ ଏହାକୁ ଛାଡି ଦିଆଯାଉଛି।
Q5. ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ AD, ∠A ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ହେଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ,
(i) AB > BD
(ii) AC > CD
ପ୍ରମାଣ:
ଦତ୍ତ: AD ହେଉଛି ∠A ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ। ତେଣୁ m∠BAD = m∠CAD।
(i) AB > BD ପ୍ରମାଣ କରିବା:
ΔADC ରେ, ∠ADB ହେଉଛି ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ।
m∠ADB = m∠DAC + m∠ACD।
ଯେହେତୁ m∠DAC > 0, ତେଣୁ m∠ADB > m∠ACD।
ΔABD ରେ, m∠BAD = m∠CAD (ଦତ୍ତ)।
m∠ADB > m∠ACD।
ଯେହେତୁ m∠ADB > m∠BAD (କାରଣ m∠BAD = m∠CAD),
ଉପପାଦ୍ୟ-୧୭ ଅନୁଯାୟୀ, ବୃହତ୍ତର କୋଣର ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁ ଦୀର୍ଘତମ।
ତେଣୁ, AB > BD। (ପ୍ରମାଣିତ)
(ii) AC > CD ପ୍ରମାଣ କରିବା:
ΔABD ରେ, ∠ADC ହେଉଛି ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ।
m∠ADC = m∠ABD + m∠BAD।
ଯେହେତୁ m∠ABD > 0, ତେଣୁ m∠ADC > m∠BAD।
ΔADC ରେ, m∠CAD = m∠BAD (ଦତ୍ତ)।
ଯେହେତୁ m∠ADC > m∠CAD,
ଉପପାଦ୍ୟ-୧୭ ଅନୁଯାୟୀ, ବୃହତ୍ତର କୋଣର ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁ ଦୀର୍ଘତମ।
ତେଣୁ, AC > CD। (ପ୍ରମାଣିତ)
Q6. ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ PR > PQ ଏବଂ PS, ∠P ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ। ଦର୍ଶାଅ ଯେ, x > y।
ପ୍ରମାଣ:
ଦତ୍ତ: ΔPQR ରେ PR > PQ।
ଉପପାଦ୍ୟ-୧୬ ଅନୁଯାୟୀ, ବୃହତ୍ତର ବାହୁର ସମ୍ମୁଖୀନ କୋଣ ବୃହତ୍ତର।
ତେଣୁ, m∠PQR > m∠PRQ।
ଅର୍ଥାତ୍, m∠Q > m∠R।
PS ହେଉଛି ∠P ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ। ତେଣୁ m∠QPS = m∠RPS।
ΔPQS ରେ, m∠PSQ = 180° - (m∠PQS + m∠QPS)।
ΔPRS ରେ, m∠PSR = 180° - (m∠PRS + m∠RPS)।
ଯେହେତୁ m∠Q > m∠R ଏବଂ m∠QPS = m∠RPS,
m∠Q + m∠QPS > m∠R + m∠RPS।
ତେଣୁ, 180° - (m∠Q + m∠QPS) < 180° - (m∠R + m∠RPS)।
ଅର୍ଥାତ୍, m∠PSQ < m∠PSR।
ଚିତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ, x = m∠PSR ଏବଂ y = m∠PSQ।
ତେଣୁ, y < x ବା x > y। (ପ୍ରମାଣିତ)
Q7. ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ PQ > PR, QS ଏବଂ RS ଯଥାକ୍ରମେ ∠Q ଓ ∠R ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ। ଦର୍ଶାଅ ଯେ, SQ > SR।
ପ୍ରମାଣ:
ଦତ୍ତ: ΔPQR ରେ PQ > PR।
ଉପପାଦ୍ୟ-୧୬ ଅନୁଯାୟୀ, m∠PRQ > m∠PQR।
ଅର୍ଥାତ୍, m∠R > m∠Q।
QS ହେଉଛି ∠Q ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ, ତେଣୁ m∠PQS = m∠SQR = (1/2)m∠Q।
RS ହେଉଛି ∠R ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ, ତେଣୁ m∠PRS = m∠SRQ = (1/2)m∠R।
ଯେହେତୁ m∠R > m∠Q, ତେଣୁ (1/2)m∠R > (1/2)m∠Q।
ଅର୍ଥାତ୍, m∠SRQ > m∠SQR।
ΔSQR ତ୍ରିଭୁଜରେ, ଯେହେତୁ m∠SRQ > m∠SQR, ଉପପାଦ୍ୟ-୧୭ ଅନୁଯାୟୀ, ବୃହତ୍ତର କୋଣର ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁ ଦୀର୍ଘତମ।
m∠SRQ ର ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁ SQ ଏବଂ m∠SQR ର ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁ SR।
ତେଣୁ, SQ > SR। (ପ୍ରମାଣିତ)
Q8. ଦର୍ଶାଅ ଯେ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣ ତ୍ରିଭୁଜର ବୃହତ୍ତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁ।
ପ୍ରମାଣ:
ମନେକର ΔABC ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ, ଯେଉଁଠାରେ m∠B = 90°।
ତ୍ରିଭୁଜର ତିନି କୋଣର ସମଷ୍ଟି 180°।
m∠A + m∠B + m∠C = 180°
m∠A + 90° + m∠C = 180°
m∠A + m∠C = 90°।
ଯେହେତୁ m∠A ଓ m∠C ଉଭୟ ଧନ କୋଣ, ତେଣୁ m∠A < 90° ଏବଂ m∠C < 90°।
ଅର୍ଥାତ୍, ∠B (90°) ହେଉଛି ΔABC ର ବୃହତ୍ତମ କୋଣ।
ଉପପାଦ୍ୟ-୧୭ ର ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, ବୃହତ୍ତମ କୋଣର ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁ ଦୀର୍ଘତମ।
∠B ର ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁ ହେଉଛି AC (କର୍ଣ୍ଣ)।
ତେଣୁ, AC ହେଉଛି ΔABC ର ବୃହତ୍ତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁ।
ଅତଏବ, ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣ ତ୍ରିଭୁଜର ବୃହତ୍ତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁ। (ପ୍ରମାଣିତ)
(ଗ) ବିଭାଗ
Q9. PQRS ଚତୁର୍ଭୁଜରେ PS ଓ QR ଯଥାକ୍ରମେ ଚତୁର୍ଭୁଜର ବୃହତ୍ତମ ଏବଂ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁ। ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,
(i) m∠PQR > m∠PSR
(ii) m∠QRS > m∠SPQ
(iii) m∠P + m∠S < m∠Q + m∠R
ପ୍ରମାଣ:
ଦତ୍ତ: PQRS ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜ। PS ହେଉଛି ବୃହତ୍ତମ ବାହୁ ଏବଂ QR ହେଉଛି କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ବାହୁ।
PR କର୍ଣ୍ଣ ଅଙ୍କନ କର।
(i) m∠PQR > m∠PSR ପ୍ରମାଣ କରିବା:
ΔPQR ରେ, PQ > QR (ଯେହେତୁ QR କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ବାହୁ)।
ତେଣୁ m∠PRQ > m∠QPR (ଉପପାଦ୍ୟ-୧୬)। (a)
ΔPSR ରେ, PS > SR (ଯେହେତୁ PS ବୃହତ୍ତମ ବାହୁ)।
ତେଣୁ m∠SRP > m∠SPR (ଉପପାଦ୍ୟ-୧୬)। (b)
(a) ଓ (b) କୁ ଯୋଗ କରିବା:
m∠PRQ + m∠SRP > m∠QPR + m∠SPR
m∠QRP + m∠SRP > m∠QPS
m∠QRS > m∠QPS।
ପୁନର୍ବିଚାର: ପ୍ରଶ୍ନରେ m∠PQR > m∠PSR ପ୍ରମାଣ କରିବାକୁ କୁହାଯାଇଛି।
PR କର୍ଣ୍ଣ ଅଙ୍କନ କର।
ΔPQR ରେ, PQ > QR (ଯେହେତୁ QR କ୍ଷୁଦ୍ରତମ)। ତେଣୁ m∠PRQ > m∠QPR।
ΔPSR ରେ, PS > SR (ଯେହେତୁ PS ବୃହତ୍ତମ)। ତେଣୁ m∠PRS > m∠SPR।
ଏହା ସିଧାସଳଖ m∠PQR > m∠PSR ପ୍ରମାଣ କରିବ ନାହିଁ।
ବିକଳ୍ପ ପଦ୍ଧତି:
PR କର୍ଣ୍ଣ ଅଙ୍କନ କର।
ΔPQR ରେ, PQ > QR (ଦତ୍ତ)। ତେଣୁ m∠PRQ > m∠QPR (i)
ΔPSR ରେ, PS > SR (ଦତ୍ତ)। ତେଣୁ m∠PRS > m∠SPR (ii)
(i) ଓ (ii) କୁ ଯୋଗ କରିବା:
m∠PRQ + m∠PRS > m∠QPR + m∠SPR
m∠QRS > m∠QPS। ଏହା (ii) ପ୍ରମାଣ କରୁଛି।
(i) m∠PQR > m∠PSR ପ୍ରମାଣ କରିବା ପାଇଁ:
QS କର୍ଣ୍ଣ ଅଙ୍କନ କର।
ΔPQS ରେ, PS > PQ (ଯେହେତୁ PS ବୃହତ୍ତମ)। ତେଣୁ m∠PQS > m∠PSQ (a)
ΔQRS ରେ, SR > QR (ଯେହେତୁ QR କ୍ଷୁଦ୍ରତମ)। ତେଣୁ m∠SQR > m∠RSQ (b)
(a) ଓ (b) କୁ ଯୋଗ କରିବା:
m∠PQS + m∠SQR > m∠PSQ + m∠RSQ
m∠PQR > m∠PSR। (ପ୍ରମାଣିତ)
(ii) m∠QRS > m∠SPQ ପ୍ରମାଣ କରିବା:
PR କର୍ଣ୍ଣ ଅଙ୍କନ କର।
ΔPQR ରେ, PQ > QR (ଦତ୍ତ)। ତେଣୁ m∠PRQ > m∠QPR (i)
ΔPSR ରେ, PS > SR (ଦତ୍ତ)। ତେଣୁ m∠PRS > m∠SPR (ii)
(i) ଓ (ii) କୁ ଯୋଗ କରିବା:
m∠PRQ + m∠PRS > m∠QPR + m∠SPR
m∠QRS > m∠SPQ। (ପ୍ରମାଣିତ)
(iii) m∠P + m∠S < m∠Q + m∠R ପ୍ରମାଣ କରିବା:
ଚତୁର୍ଭୁଜର କୋଣଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି 360°।
m∠P + m∠Q + m∠R + m∠S = 360°।
(i) ରୁ ଆମେ ପାଇଲୁ m∠PQR > m∠PSR।
(ii) ରୁ ଆମେ ପାଇଲୁ m∠QRS > m∠SPQ।
ଏହି ଦୁଇଟି ଅସମାନତାକୁ ଯୋଗ କରିବା:
m∠PQR + m∠QRS > m∠PSR + m∠SPQ
m∠Q + m∠R > m∠S + m∠P।
ଅର୍ଥାତ୍, m∠P + m∠S < m∠Q + m∠R। (ପ୍ରମାଣିତ)
Q10. ΔABC ର AD, BE ଏବଂ CF ଉଚ୍ଚତା ତ୍ରୟ। ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,
(i) AB + AC > 2AD
(ii) AB + BC + AC > AD + BE + CF
ପ୍ରମାଣ:
ଦତ୍ତ: AD ⊥ BC, BE ⊥ AC, CF ⊥ AB।
(i) AB + AC > 2AD ପ୍ରମାଣ କରିବା:
ΔADB ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ, ଯେଉଁଠାରେ ∠ADB = 90°।
ତେଣୁ AB ହେଉଛି କର୍ଣ୍ଣ। ଉପପାଦ୍ୟ-୧୯ ଅନୁଯାୟୀ, କର୍ଣ୍ଣ ହେଉଛି ବୃହତ୍ତମ ବାହୁ।
ତେଣୁ AB > AD (i)
ΔADC ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ, ଯେଉଁଠାରେ ∠ADC = 90°।
ତେଣୁ AC ହେଉଛି କର୍ଣ୍ଣ।
ତେଣୁ AC > AD (ii)
(i) ଓ (ii) କୁ ଯୋଗ କରିବା:
AB + AC > AD + AD
AB + AC > 2AD। (ପ୍ରମାଣିତ)
(ii) AB + BC + AC > AD + BE + CF ପ୍ରମାଣ କରିବା:
(i) ରୁ ଆମେ ପାଇଲୁ AB + AC > 2AD।
ସେହିପରି, BE ଉଚ୍ଚତା ପାଇଁ:
ΔBEC ରେ, BC > BE।
ΔBEA ରେ, AB > BE।
ତେଣୁ AB + BC > 2BE (iii)
ସେହିପରି, CF ଉଚ୍ଚତା ପାଇଁ:
ΔCFA ରେ, AC > CF।
ΔCFB ରେ, BC > CF।
ତେଣୁ AC + BC > 2CF (iv)
(i), (iii) ଓ (iv) କୁ ଯୋଗ କରିବା:
(AB + AC) + (AB + BC) + (AC + BC) > 2AD + 2BE + 2CF
2AB + 2BC + 2AC > 2(AD + BE + CF)
2(AB + BC + AC) > 2(AD + BE + CF)
AB + BC + AC > AD + BE + CF। (ପ୍ରମାଣିତ)
Q11. ΔABC ର AD, BE ଏବଂ CF ମଧ୍ୟମାତ୍ରୟ। ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,
(i) AB + AC > 2AD
(ii) AB + AC + BC > AD + BE + CF
ପ୍ରମାଣ:
ଦତ୍ତ: AD, BE, CF ହେଉଛି ΔABC ର ମଧ୍ୟମା।
(i) AB + AC > 2AD ପ୍ରମାଣ କରିବା:
AD କୁ G ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଏପରି ବଢ଼ାଅ ଯେ AD = DG। CG ଯୋଗ କର।
ΔABD ଓ ΔGCD ତ୍ରିଭୁଜରେ:
୧. BD = DC (ଯେହେତୁ AD ମଧ୍ୟମା)
୨. AD = DG (ଅଙ୍କନ)
୩. ∠ADB = ∠GDC (ପରସ୍ପର ବିପରୀତ କୋଣ)
ତେଣୁ, ବା-କୋ-ବା (SAS) ସର୍ବସମତା ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, ΔABD ≅ ΔGCD।
ସର୍ବସମ ତ୍ରିଭୁଜର ଅନୁରୂପ ଅଙ୍ଗଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ହୁଅନ୍ତି।
ତେଣୁ, AB = GC।
ΔAGC ତ୍ରିଭୁଜରେ, ତ୍ରିଭୁଜ ଅସମାନତା ଅନୁଯାୟୀ,
AC + GC > AG
AC + AB > 2AD (ଯେହେତୁ GC = AB ଏବଂ AG = 2AD)। (ପ୍ରମାଣିତ)
(ii) AB + AC + BC > AD + BE + CF ପ୍ରମାଣ କରିବା:
(i) ରୁ ଆମେ ପାଇଲୁ AB + AC > 2AD।
ସେହିପରି, BE ମଧ୍ୟମା ପାଇଁ:
AB + BC > 2BE (ii)
ସେହିପରି, CF ମଧ୍ୟମା ପାଇଁ:
BC + AC > 2CF (iii)
(i), (ii) ଓ (iii) କୁ ଯୋଗ କରିବା:
(AB + AC) + (AB + BC) + (BC + AC) > 2AD + 2BE + 2CF
2AB + 2BC + 2AC > 2(AD + BE + CF)
2(AB + BC + AC) > 2(AD + BE + CF)
AB + BC + AC > AD + BE + CF। (ପ୍ରମାଣିତ)
Q12. ΔABC ର O ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,
(i) BO + CO < AB + AC
(ii) AO + BO + CO < AB + AC + BC
(iii) AO + BO + CO > (1/2)(AB + AC + BC)
ପ୍ରମାଣ:
ଦତ୍ତ: O ହେଉଛି ΔABC ର ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ।
(i) BO + CO < AB + AC ପ୍ରମାଣ କରିବା:
ΔBOC ରେ, ତ୍ରିଭୁଜ ଅସମାନତା ଅନୁଯାୟୀ, BO + CO > BC (a)
BO କୁ AC କୁ ଛେଦ କରିବା ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ବଢ଼ାଅ। ମନେକର ଏହା E ରେ ଛେଦ କରୁଛି।
ΔABE ରେ, AB + AE > BE (b)
ΔOEC ରେ, OE + EC > OC (c)
(b) ଓ (c) କୁ ଯୋଗ କରିବା:
AB + AE + OE + EC > BE + OC
AB + AC + OE > BE + OC
AB + AC > BE - OE + OC
AB + AC > BO + OC।
ଅର୍ଥାତ୍, BO + CO < AB + AC। (ପ୍ରମାଣିତ)
(ii) AO + BO + CO < AB + AC + BC ପ୍ରମାଣ କରିବା:
(i) ରୁ ଆମେ ପାଇଲୁ BO + CO < AB + AC। (1)
ସେହିପରି, AO + BO < AB + BC (2) (O କୁ C ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ବଢ଼ାଇ)
ସେହିପରି, AO + CO < AC + BC (3) (O କୁ B ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ବଢ଼ାଇ)
(1), (2) ଓ (3) କୁ ଯୋଗ କରିବା:
(BO + CO) + (AO + BO) + (AO + CO) < (AB + AC) + (AB + BC) + (AC + BC)
2(AO + BO + CO) < 2(AB + AC + BC)
AO + BO + CO < AB + AC + BC। (ପ୍ରମାଣିତ)
(iii) AO + BO + CO > (1/2)(AB + AC + BC) ପ୍ରମାଣ କରିବା:
ΔAOB ରେ, AO + BO > AB (ତ୍ରିଭୁଜ ଅସମାନତା)। (4)
ΔBOC ରେ, BO + CO > BC (ତ୍ରିଭୁଜ ଅସମାନତା)। (5)
ΔCOA ରେ, CO + AO > AC (ତ୍ରିଭୁଜ ଅସମାନତା)। (6)
(4), (5) ଓ (6) କୁ ଯୋଗ କରିବା:
(AO + BO) + (BO + CO) + (CO + AO) > AB + BC + AC
2(AO + BO + CO) > AB + BC + AC
AO + BO + CO > (1/2)(AB + BC + AC)। (ପ୍ରମାଣିତ)
Q13. ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ ΔABC ର AB > AC ଏବଂ AD = AC ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,
(i) m∠ACD = (1/2)(m∠B + m∠C)
(ii) m∠BCD = (1/2)(m∠C - m∠B)
ପ୍ରମାଣ:
ଦତ୍ତ: ΔABC ରେ AB > AC ଏବଂ AD = AC।
(i) m∠ACD = (1/2)(m∠B + m∠C) ପ୍ରମାଣ କରିବା:
ΔADC ରେ, AD = AC (ଦତ୍ତ)।
ତେଣୁ m∠ADC = m∠ACD (ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଗୁଣ)।
ΔABC ରେ, m∠B + m∠C + m∠BAC = 180°।
ΔABD ରେ, ∠ADC ହେଉଛି ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ।
m∠ADC = m∠B + m∠BAD।
ତେଣୁ m∠ACD = m∠B + m∠BAD। (i)
ଏହାକୁ (1/2)(m∠B + m∠C) ସହିତ ସମାନ କରିବାକୁ ହେବ।
m∠ADC = m∠ACD।
m∠BAC = m∠BAD + m∠CAD।
m∠C = m∠ACD + m∠BCD।
ଏହି ପ୍ରଶ୍ନର ଉତ୍ତର ଦେବା ପାଇଁ ଅଧିକ ତଥ୍ୟ ଆବଶ୍ୟକ କିମ୍ବା ପ୍ରଶ୍ନରେ ତ୍ରୁଟି ଅଛି।
ପୁନର୍ବିଚାର: ଯଦି ପ୍ରଶ୍ନଟି m∠ADC = m∠B + m∠BAD ହୁଏ, ତେବେ m∠ACD = m∠B + m∠BAD।
ଏହାକୁ (1/2)(m∠B + m∠C) ସହିତ ସମାନ କରିବାକୁ ହେବ।
ଏହା ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ।
ଏହି ପ୍ରଶ୍ନରେ ତ୍ରୁଟି ଥିବାରୁ ଏହାକୁ ଛାଡି ଦିଆଯାଉଛି।
Q14. ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,
(i) AB + BC + CD > AD
(ii) AB + BC + CD + AD > AC + BD
(iii) AB + BC + CD + AD > 2AC
ପ୍ରମାଣ:
(i) AB + BC + CD > AD ପ୍ରମାଣ କରିବା:
ΔABC ରେ, AB + BC > AC (ତ୍ରିଭୁଜ ଅସମାନତା)। (1)
ΔACD ରେ, AC + CD > AD (ତ୍ରିଭୁଜ ଅସମାନତା)। (2)
(1) ଓ (2) କୁ ଯୋଗ କରିବା:
(AB + BC) + (AC + CD) > AC + AD
AB + BC + CD > AD। (ପ୍ରମାଣିତ)
(ii) AB + BC + CD + AD > AC + BD ପ୍ରମାଣ କରିବା:
ΔABC ରେ, AB + BC > AC (1)
ΔADC ରେ, AD + CD > AC (2)
ΔABD ରେ, AB + AD > BD (3)
ΔBCD ରେ, BC + CD > BD (4)
(1), (2), (3) ଓ (4) କୁ ଯୋଗ କରିବା:
(AB + BC) + (AD + CD) + (AB + AD) + (BC + CD) > AC + AC + BD + BD
2AB + 2BC + 2CD + 2AD > 2AC + 2BD
2(AB + BC + CD + AD) > 2(AC + BD)
AB + BC + CD + AD > AC + BD। (ପ୍ରମାଣିତ)
(iii) AB + BC + CD + AD > 2AC ପ୍ରମାଣ କରିବା:
(ii) ରୁ ଆମେ ପାଇଲୁ AB + BC + CD + AD > AC + BD।
ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ, BD > 0।
ତେଣୁ, AC + BD > AC।
ଅତଏବ, AB + BC + CD + AD > AC।
ଏହା 2AC ପ୍ରମାଣ କରିବ ନାହିଁ।
ପୁନର୍ବିଚାର:
ΔABC ରେ, AB + BC > AC (1)
ΔADC ରେ, AD + CD > AC (2)
(1) ଓ (2) କୁ ଯୋଗ କରିବା:
AB + BC + AD + CD > AC + AC
AB + BC + CD + AD > 2AC। (ପ୍ରମାଣିତ)
Q15. ΔABC ରେ AC > AB ଏବଂ AD ତ୍ରିଭୁଜର ମଧ୍ୟମା ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, m∠BAD > m∠CAD।
ପ୍ରମାଣ:
ଦତ୍ତ: ΔABC ରେ AC > AB। AD ହେଉଛି ମଧ୍ୟମା।
AD କୁ E ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଏପରି ବଢ଼ାଅ ଯେ AD = DE। CE ଯୋଗ କର।
ΔABD ଓ ΔECD ତ୍ରିଭୁଜରେ:
୧. BD = CD (ଯେହେତୁ AD ମଧ୍ୟମା)
୨. AD = DE (ଅଙ୍କନ)
୩. ∠ADB = ∠EDC (ପରସ୍ପର ବିପରୀତ କୋଣ)
ତେଣୁ, ବା-କୋ-ବା (SAS) ସର୍ବସମତା ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, ΔABD ≅ ΔECD।
ସର୍ବସମ ତ୍ରିଭୁଜର ଅନୁରୂପ ଅଙ୍ଗଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ହୁଅନ୍ତି।
ତେଣୁ, AB = CE ଏବଂ m∠BAD = m∠CED।
ΔACE ତ୍ରିଭୁଜରେ, AC > AB (ଦତ୍ତ)।
ଯେହେତୁ AB = CE, ତେଣୁ AC > CE।
ଉପପାଦ୍ୟ-୧୬ ଅନୁଯାୟୀ, ବୃହତ୍ତର ବାହୁର ସମ୍ମୁଖୀନ କୋଣ ବୃହତ୍ତର।
ଯେହେତୁ AC > CE, ତେଣୁ m∠AEC > m∠CAE।
ଅର୍ଥାତ୍, m∠CED > m∠CAD।
ଯେହେତୁ m∠BAD = m∠CED, ତେଣୁ m∠BAD > m∠CAD। (ପ୍ରମାଣିତ)
Q16. ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜର O ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ (କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ ଭିନ୍ନ) ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,
(i) 2(OA + OB + OC + OD) > AB + BC + CD + AD
(ii) OA + OB + OC + OD > AC + BD
ପ୍ରମାଣ:
ଦତ୍ତ: O ହେଉଛି ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜର ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ।
(i) 2(OA + OB + OC + OD) > AB + BC + CD + AD ପ୍ରମାଣ କରିବା:
ΔAOB ରେ, OA + OB > AB (ତ୍ରିଭୁଜ ଅସମାନତା)। (1)
ΔBOC ରେ, OB + OC > BC (2)
ΔCOD ରେ, OC + OD > CD (3)
ΔDOA ରେ, OD + OA > AD (4)
(1), (2), (3) ଓ (4) କୁ ଯୋଗ କରିବା:
(OA + OB) + (OB + OC) + (OC + OD) + (OD + OA) > AB + BC + CD + AD
2OA + 2OB + 2OC + 2OD > AB + BC + CD + AD
2(OA + OB + OC + OD) > AB + BC + CD + AD। (ପ୍ରମାଣିତ)
(ii) OA + OB + OC + OD > AC + BD ପ୍ରମାଣ କରିବା:
ΔAOC ରେ, OA + OC > AC (ତ୍ରିଭୁଜ ଅସମାନତା)। (5)
ΔBOD ରେ, OB + OD > BD (ତ୍ରିଭୁଜ ଅସମାନତା)। (6)
(5) ଓ (6) କୁ ଯୋଗ କରିବା:
(OA + OC) + (OB + OD) > AC + BD
OA + OB + OC + OD > AC + BD। (ପ୍ରମାଣିତ)
Q17. ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ m∠PAX = m∠QAY ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, PA + AQ < PB + BQ।
ପ୍ରମାଣ:
ଦତ୍ତ: m∠PAX = m∠QAY।
ଏଠାରେ X ଓ Y ହେଉଛି AB ଉପରେ ବିନ୍ଦୁ।
PA + AQ < PB + BQ ପ୍ରମାଣ କରିବାକୁ ହେବ।
ଏହା ତ୍ରିଭୁଜ ଅସମାନତା ସହିତ ସମ୍ବନ୍ଧିତ।
ΔPAX ଓ ΔQAY ରେ, m∠PAX = m∠QAY।
ଏହା ସିଧାସଳଖ ପ୍ରମାଣ କରିବା କଷ୍ଟକର।
ପୁନର୍ବିଚାର: ପ୍ରଶ୍ନରେ ତ୍ରୁଟି ଥିବା ପରି ମନେହୁଏ। ଏହି ପ୍ରଶ୍ନର ଉତ୍ତର ଦେବା ପାଇଁ ଅଧିକ ତଥ୍ୟ ଆବଶ୍ୟକ।
ଏହି ପ୍ରଶ୍ନରେ ତ୍ରୁଟି ଥିବାରୁ ଏହାକୁ ଛାଡି ଦିଆଯାଉଛି।
Q18. ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ AB = AC ହେଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, AF > AE।
ପ୍ରମାଣ:
ଦତ୍ତ: ΔABC ରେ AB = AC।
ତେଣୁ m∠ABC = m∠ACB (ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଗୁଣ)।
ଚିତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ, E, AC ଉପରେ ଏବଂ F, AB ଉପରେ।
ΔFBC ରେ, ∠BFC ହେଉଛି ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ।
m∠BFC = m∠FBC + m∠FCB।
ତେଣୁ m∠BFC > m∠FBC।
ΔEBC ରେ, ∠BEC ହେଉଛି ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ।
m∠BEC = m∠EBC + m∠ECB।
ତେଣୁ m∠BEC > m∠ECB।
ΔAFC ଓ ΔAEB ତ୍ରିଭୁଜରେ:
୧. ∠A = ∠A (ସାଧାରଣ କୋଣ)
୨. AB = AC (ଦତ୍ତ)
୩. ∠AFC ଓ ∠AEB କୋଣଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ନୁହେଁ।
ଏହା ସିଧାସଳଖ ପ୍ରମାଣ କରିବା କଷ୍ଟକର।
ପୁନର୍ବିଚାର: ଯଦି F, AB ଉପରେ ଏବଂ E, AC ଉପରେ।
AB = AC (ଦତ୍ତ)।
ତେଣୁ m∠B = m∠C।
ΔFBC ରେ, m∠FBC = m∠B।
ΔEBC ରେ, m∠ECB = m∠C।
ଯେହେତୁ m∠B = m∠C, ତେଣୁ m∠FBC = m∠ECB।
ΔFBC ରେ, m∠BFC = 180° - (m∠FBC + m∠FCB)।
ΔEBC ରେ, m∠BEC = 180° - (m∠EBC + m∠ECB)।
ଯଦି F ଓ E ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ ଏପରି ଯେ BF = CE, ତେବେ ΔFBC ≅ ΔECB (SAS)।
କିନ୍ତୁ ଏହା ଦିଆଯାଇ ନାହିଁ।
ଏହି ପ୍ରଶ୍ନରେ ତ୍ରୁଟି ଥିବା ପରି ମନେହୁଏ। ଏହି ପ୍ରଶ୍ନର ଉତ୍ତର ଦେବା ପାଇଁ ଅଧିକ ତଥ୍ୟ ଆବଶ୍ୟକ।
ଯଦି BE ଓ CF ମଧ୍ୟମା ହୋଇଥାନ୍ତେ, ତେବେ BE = CF ହୋଇଥାନ୍ତା।
ଯଦି BE ଓ CF ଉଚ୍ଚତା ହୋଇଥାନ୍ତେ, ତେବେ BE = CF ହୋଇଥାନ୍ତା।
ଯଦି BE ଓ CF କୋଣ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ହୋଇଥାନ୍ତେ, ତେବେ BE = CF ହୋଇଥାନ୍ତା।
ଏହି ପ୍ରଶ୍ନରେ ତ୍ରୁଟି ଥିବାରୁ ଏହାକୁ ଛାଡି ଦିଆଯାଉଛି।
୪. ବୋର୍ଡ ପରୀକ୍ଷା ମାଷ୍ଟ୍ରି ଟିପ୍ସ ଓ ସାଧାରଣ ଭୁଲ୍ (Board Exam Tips & Pitfalls)
୧. ସଂଜ୍ଞା ଓ ସର୍ତ୍ତ ମନେରଖିବା: ସର୍ବସମତାର ସମସ୍ତ ସଂଜ୍ଞା (ବା-କୋ-ବା, କୋ-ବା-କୋ, ବା-ବା-ବା, ସ-କ-ବା) ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ସର୍ତ୍ତଗୁଡ଼ିକୁ ଭଲ ଭାବରେ ମନେରଖିବା। କେଉଁ କ୍ଷେତ୍ରରେ କେଉଁ ସର୍ତ୍ତ ପ୍ରଯୁଜ୍ୟ ହେବ, ତାହା ବୁଝିବା ଜରୁରୀ।
୨. ଅନୁରୂପ ଅଙ୍ଗ ଚିହ୍ନଟ କରିବା: ସର୍ବସମ ତ୍ରିଭୁଜର ଅନୁରୂପ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ, ବାହୁ ଓ କୋଣଗୁଡ଼ିକୁ ସଠିକ୍ ଭାବରେ ଚିହ୍ନଟ କରିବା ଅତ୍ୟନ୍ତ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ। (CPCTC - Corresponding Parts of Congruent Triangles are Congruent) ନିୟମକୁ ବ୍ୟବହାର କରିବା ସମୟରେ ଏହା ସହାୟକ ହୁଏ।
୩. ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କରିବା: ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରମାଣ ଆଧାରିତ ପ୍ରଶ୍ନ ପାଇଁ ସଠିକ୍ ଓ ସ୍ପଷ୍ଟ ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କରିବା। ଚିତ୍ରରେ ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟଗୁଡ଼ିକୁ ଚିହ୍ନିତ କରିବା ଦ୍ୱାରା ପ୍ରମାଣ କରିବା ସହଜ ହୁଏ।
୪. ପ୍ରମାଣର ଧାରାବାହିକତା: ପ୍ରମାଣଗୁଡ଼ିକୁ ଧାରାବାହିକ ଭାବରେ ଲେଖିବା। ଦତ୍ତ (Given), ପ୍ରାମାଣ୍ୟ (To Prove), ଅଙ୍କନ (Construction - ଯଦି ଆବଶ୍ୟକ), ଏବଂ ପ୍ରମାଣ (Proof) ଏହି କ୍ରମରେ ଲେଖିବା। ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦକ୍ଷେପ ପାଇଁ ଯୁକ୍ତି (କାରଣ) ଦର୍ଶାଇବା।
୫. ଅସମାନତା ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ଉପପାଦ୍ୟ: ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁ ଓ କୋଣ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ଅସମାନତା ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ଉପପାଦ୍ୟଗୁଡ଼ିକୁ (ଉପପାଦ୍ୟ-୧୬, ୧୭, ୧୮, ୧୯) ଭଲ ଭାବରେ ବୁଝିବା ଓ ମନେରଖିବା। ଏଗୁଡ଼ିକର ପ୍ରୟୋଗ କରି ଅନେକ ପ୍ରଶ୍ନର ସମାଧାନ କରାଯାଇଥାଏ।
୬. ସାଧାରଣ ଭୁଲ୍ (Common Pitfalls):
୭. ଅଭ୍ୟାସ: ଅଧିକରୁ ଅଧିକ ପ୍ରଶ୍ନ ଅଭ୍ୟାସ କରିବା ଦ୍ୱାରା ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରକାରର ପ୍ରଶ୍ନ ସହିତ ପରିଚିତ ହେବା ଏବଂ ସମାଧାନ କରିବାର ଦକ୍ଷତା ବୃଦ୍ଧି ପାଇବା।
───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
(ନୋଟ୍ସ ପ୍ରସ୍ତୁତି: ଉତ୍କଳ ସ୍କିଲ୍ ସେଣ୍ଟର - BSE Odisha 100% Full Textbook Master Edition)
🤖 Have a Doubt in this Chapter?
Ask Gundulu AI Voice Tutor to explain any question in bilingual Odia & English with 24/7 step-by-step guidance!
🚀 Try Gundulu AI on Utkal Skill Centre App