ଅଧ୍ୟାୟ: Class9 Geometry Ch03 Ch03 Chaturbhuja

BSE ODISHA CLASS 9 • UTKAL MASTER STROKE

ବୋର୍ଡ ଅଫ୍ ସେକେଣ୍ଡାରୀ ଏଜୁକେସନ୍ (BSE Odisha) — ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଅଧ୍ୟାୟ ମାଷ୍ଟର ନୋଟ୍ସ

ଶ୍ରେଣୀ: Class 9 | ବିଷୟ: Geometry

୧. ଅଧ୍ୟାୟର ସାରାଂଶ ଓ ମାଇଣ୍ଡ ମ୍ୟାପ୍ (Mind Map & Conceptual Architecture)

ଏହି ଅଧ୍ୟାୟଟି ଚତୁର୍ଭୁଜ ଏବଂ ବହୁଭୁଜର ମୌଳିକ ଧାରଣା, ପ୍ରକାରଭେଦ, ଧର୍ମ ଏବଂ ସେମାନଙ୍କ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ଉପପାଦ୍ୟଗୁଡ଼ିକ ଉପରେ ଆଧାରିତ । ପୂର୍ବ ଶ୍ରେଣୀରେ ଶିକ୍ଷା କରିଥିବା ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର, ରମ୍ବସ, ଆୟତଚିତ୍ର ଓ ବର୍ଗଚିତ୍ରର ଧର୍ମଗୁଡ଼ିକୁ ଏଠାରେ ଯୁକ୍ତିମୂଳକ ପ୍ରମାଣ ମାଧ୍ୟମରେ ପ୍ରତିପାଦିତ କରାଯାଇଛି । ଏହା ସହିତ ବହୁଭୁଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଓ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି ନିର୍ଦ୍ଧାରଣ କରିବା ଏବଂ ତ୍ରିଭୁଜର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଉପପାଦ୍ୟ (Midpoint Theorem) ଓ ଛେଦିତାଂଶ ଉପପାଦ୍ୟ (Intercept Theorem) ଭଳି ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ଜ୍ୟାମିତିକ ସିଦ୍ଧାନ୍ତଗୁଡ଼ିକୁ ପ୍ରମାଣ କରିବା ଏହି ଅଧ୍ୟାୟର ମୁଖ୍ୟ ଉଦ୍ଦେଶ୍ୟ ।

ମୁଖ୍ୟ ଉଦ୍ଦେଶ୍ୟ:

ଚତୁର୍ଭୁଜ ଓ ଉତ୍ତଳ ଚତୁର୍ଭୁଜର ସଂଜ୍ଞା ଓ ଧର୍ମ ବୁଝିବା ।

ବହୁଭୁଜ, ଉତ୍ତଳ ବହୁଭୁଜ ଓ ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ସଂଜ୍ଞା ଓ ପ୍ରକାରଭେଦ ଜାଣିବା ।

ବହୁଭୁଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଓ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି ନିର୍ଦ୍ଧାରଣ କରିବା ।

ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍, ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର, ଆୟତଚିତ୍ର, ରମ୍ବସ ଓ ବର୍ଗଚିତ୍ରର ସଂଜ୍ଞା ଓ ଧର୍ମଗୁଡ଼ିକୁ ପ୍ରମାଣ କରିବା ।

ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ବିପରୀତ ବାହୁ, କୋଣ ଓ କର୍ଣ୍ଣ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ଉପପାଦ୍ୟଗୁଡ଼ିକୁ ବୁଝିବା ଓ ପ୍ରମାଣ କରିବା ।

ଆୟତଚିତ୍ର, ରମ୍ବସ ଓ ବର୍ଗଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ବିଶେଷ ଧର୍ମଗୁଡ଼ିକୁ ଜାଣିବା ।

ତ୍ରିଭୁଜର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଉପପାଦ୍ୟ ଏବଂ ଛେଦିତାଂଶ ଉପପାଦ୍ୟକୁ ବୁଝିବା ଓ ପ୍ରମାଣ କରିବା ।

ଧାରଣାଗତ ମାଇଣ୍ଡ ମ୍ୟାପ୍ (Conceptual Mind Map):

୧. ଚତୁର୍ଭୁଜ (Quadrilateral)

୧.୧. ସଂଜ୍ଞା ଓ ଗଠନ

୧.୨. ଅଂଶବିଶେଷ (ବାହୁ, କୋଣ, ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ, କର୍ଣ୍ଣ)

୧.୩. ପ୍ରକାରଭେଦ (ସନ୍ନିହିତ, ବିପରୀତ, କ୍ରମିକ)

୧.୪. ଉତ୍ତଳ ଚତୁର୍ଭୁଜ (Convex Quadrilateral)

୨. ବହୁଭୁଜ (Polygon)

୨.୧. ସଂଜ୍ଞା ଓ ଗଠନ

୨.୨. ପ୍ରକାରଭେଦ (ତ୍ରିଭୁଜ, ଚତୁର୍ଭୁଜ, ପଞ୍ଚଭୁଜ, ଷଡ଼ଭୁଜ ଇତ୍ୟାଦି)

୨.୩. ଉତ୍ତଳ ବହୁଭୁଜ (Convex Polygon)

୨.୪. ସୁଷମ ବହୁଭୁଜ (Regular Polygon)

୨.୫. କୋଣର ଧର୍ମ

୨.୫.୧. ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ସମଷ୍ଟି = (n-2) × 180°

୨.୫.୨. ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ସମଷ୍ଟି = 360°

୨.୫.୩. ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣ = (n-2) × 180° / n

୨.୫.୪. ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ = 360° / n

୩. ବିଶେଷ ଚତୁର୍ଭୁଜ (Special Quadrilaterals)

୩.୧. ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ (Trapezium) – ଗୋଟିଏ ଯୋଡ଼ା ସମାନ୍ତର ବାହୁ

୩.୨. ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର (Parallelogram) – ଦୁଇ ଯୋଡ଼ା ସମାନ୍ତର ବାହୁ

୩.୨.୧. ଆୟତଚିତ୍ର (Rectangle) – ସମସ୍ତ କୋଣ ସମକୋଣ

୩.୨.୨. ରମ୍ବସ (Rhombus) – ସମସ୍ତ ବାହୁ ସର୍ବସମ

୩.୨.୩. ବର୍ଗଚିତ୍ର (Square) – ସମସ୍ତ ବାହୁ ସର୍ବସମ ଓ ସମସ୍ତ କୋଣ ସମକୋଣ

୪. ଉପପାଦ୍ୟ ଓ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ (Theorems & Corollaries)

୪.୧. ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଧର୍ମ (ବାହୁ, କୋଣ, କର୍ଣ୍ଣ)

ବିପରୀତ ବାହୁ ସର୍ବସମ ଓ ସମାନ୍ତର ହେଲେ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର । (ଉପପାଦ୍ୟ-୨୦)

ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ବିପରୀତ ବାହୁ ସର୍ବସମ । (ଉପପାଦ୍ୟ-୨୧)

ବିପରୀତ ବାହୁ ସର୍ବସମ ହେଲେ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର । (ଉପପାଦ୍ୟ-୨୨)

ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ବିପରୀତ କୋଣ ସର୍ବସମ । (ଉପପାଦ୍ୟ-୨୩)

ବିପରୀତ କୋଣ ସର୍ବସମ ହେଲେ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର । (ଉପପାଦ୍ୟ-୨୪)

ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡିତ କରନ୍ତି । (ଉପପାଦ୍ୟ-୨୫)

କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡିତ କଲେ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର । (ଉପପାଦ୍ୟ-୨୬)

୪.୨. ଆୟତଚିତ୍ରର ଧର୍ମ

ଆୟତଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ସର୍ବସମ । (ଉପପାଦ୍ୟ-୨୭)

ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ସର୍ବସମ ହେଲେ ତାହା ଆୟତଚିତ୍ର । (ଉପପାଦ୍ୟ-୨୮)

୪.୩. ରମ୍ବସର ଧର୍ମ

ରମ୍ବସର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ । (ଉପପାଦ୍ୟ-୨୯)

ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ (ବର୍ଗଚିତ୍ର ଓ ରମ୍ବସର କର୍ଣ୍ଣ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ)

୪.୪. ତ୍ରିଭୁଜ ଓ ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖା

ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଉପପାଦ୍ୟ (Midpoint Theorem) – ଉପପାଦ୍ୟ-୩୦, ଉପପାଦ୍ୟ-୩୧

ଛେଦିତାଂଶ ଉପପାଦ୍ୟ (Intercept Theorem) – ଉପପାଦ୍ୟ-୩୨

୨. ମୁଖ୍ୟ ବିଷୟବସ୍ତୁ, ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ଓ ଗାଣିତିକ ସୂତ୍ରାବଳୀ (Comprehensive Theory & Formulas)

୩.୧. ପ୍ରସ୍ତାବନା (Introduction)

ପୂର୍ବ ଶ୍ରେଣୀରେ ଆମେ ଚତୁର୍ଭୁଜ, ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର, ରମ୍ବସ, ଆୟତଚିତ୍ର ଓ ବର୍ଗଚିତ୍ର ସହ ପରିଚିତ ହୋଇଛେ । ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ ସେହି ଧର୍ମଗୁଡ଼ିକର ଯୁକ୍ତିମୂଳକ ପ୍ରମାଣ ଏବଂ ବହୁଭୁଜ ସମ୍ବନ୍ଧରେ ଆଲୋଚନା କରାଯିବ ।

୩.୨. ଚତୁର୍ଭୁଜ ଓ ଉତ୍ତଳ ଚତୁର୍ଭୁଜ (Quadrilateral and convex quadrilateral)

ସଂଜ୍ଞା: ମନେକର ସମତଳ ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ ଚାରୋଟି ବିନ୍ଦୁ A, B, C ଓ D ମଧ୍ୟରୁ

(i) ଯେକୌଣସି ତିନୋଟି ବିନ୍ଦୁ ଏକ ସରଳରେଖାରେ ଅବସ୍ଥିତ ନୁହନ୍ତି;

(ii) AB, BC, CD ଓ DA ରେଖାଖଣ୍ଡ ସେମାନଙ୍କ ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁ ବ୍ୟତୀତ ଅନ୍ୟ କୌଣସି ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁ ନ ଥିଲେ;

ଏହି ଚାରିଗୋଟି ରେଖାଖଣ୍ଡ ଦ୍ୱାରା ଗଠିତ ସେଟ୍ ĀB ∪ BC ∪ CD ∪ DA କୁ ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜ କୁହାଯାଏ ।

ଚତୁର୍ଭୁଜର ଅଂଶବିଶେଷ:

ବାହୁ (Sides): AB, BC, CD, DA

କୋଣ (Angles): ∠BAD, ∠ABC, ∠BCD, ∠CDA

ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ (Vertices): A, B, C, D

କର୍ଣ୍ଣ (Diagonals): ବିପରୀତ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁକୁ ସଂଯୋଗ କରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡ । ଯଥା: AC ଓ BD ।

ସମ୍ବନ୍ଧିତ ପଦଗୁଡ଼ିକ:

ସନ୍ନିହିତ ବାହୁ (Adjacent sides): ଯେଉଁ ଦୁଇଟି ବାହୁର ଏକ ସାଧାରଣ ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁ ଥାଏ । (ଯଥା: AB ଓ BC)

ବିପରୀତ ବାହୁ (Opposite sides): ଯେଉଁ ଦୁଇଟି ବାହୁର କୌଣସି ସାଧାରଣ ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁ ନଥାଏ । (ଯଥା: AB ଓ CD)

କ୍ରମିକ ଶୀର୍ଷ (Adjacent vertices): ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୁଇଟି ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁ । (ଯଥା: A ଓ B)

କ୍ରମିକ କୋଣ (Adjacent angles): କ୍ରମିକ ଶୀର୍ଷରେ ଥିବା କୋଣଦ୍ୱୟ । (ଯଥା: ∠A ଓ ∠B)

ବିପରୀତ ଶୀର୍ଷ (Opposite vertices): ଯେଉଁ ଶୀର୍ଷଦ୍ୱୟ କ୍ରମିକ ଶୀର୍ଷ ନୁହନ୍ତି । (ଯଥା: A ଓ C)

ବିପରୀତ କୋଣ (Opposite angles): ବିପରୀତ ଶୀର୍ଷ ବିନ୍ଦୁରେ ଥିବା କୋଣଦ୍ୱୟ । (ଯଥା: ∠A ଓ ∠C)

କ୍ରମାନ୍ୱୟତା (Order): ଚତୁର୍ଭୁଜର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ଏକ କ୍ରମାନ୍ୱୟତା ରହିଛି । ABCD, BCDA, CDAB, DABC ସବୁ ଗୋଟିଏ ଚତୁର୍ଭୁଜକୁ ବୁଝାଏ ।

ଉତ୍ତଳ ଚତୁର୍ଭୁଜ (Convex Quadrilateral):

ସଂଜ୍ଞା: ଯଦି ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଯେକୌଣସି ବାହୁ ଏହାର ବିପରୀତ ବାହୁଦ୍ୱାରା ନିର୍ମିତ ସରଳରେଖାକୁ ଛେଦ ନକରେ, ତାହେଲେ ଏହାକୁ ଏକ ଉତ୍ତଳ ଚତୁର୍ଭୁଜ କୁହାଯାଏ ।

ଅର୍ଥାତ୍ ABCD ଏକ ଉତ୍ତଳ ଚତୁର୍ଭୁଜ ହେଲେ,

(i) A ଓ B ବିନ୍ଦୁଦ୍ୱୟ CD ର ଏକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ

(ii) B ଓ C ବିନ୍ଦୁଦ୍ୱୟ DA ର ଏକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ

(iii) C ଓ D ବିନ୍ଦୁଦ୍ୱୟ AB ର ଏକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଏବଂ

(iv) D ଓ A ବିନ୍ଦୁଦ୍ୱୟ BC ର ଏକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଅବସ୍ଥିତ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ।

୩.୩. ବହୁଭୁଜ (Polygon)

ସଂଜ୍ଞା: ମନେକର P₁, P₂, ..... Pₙ ଏକ ସମତଳରେ ଅବସ୍ଥିତ କେତେକ n (n ≥ 3) ବିନ୍ଦୁ ଏବଂ ଏମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ କୌଣସି ତିନୋଟି ବିନ୍ଦୁ ଏକ ରେଖୀୟ ନୁହନ୍ତି । P₁P₂, P₂P₃, ..... PₙP₁ ରେଖାଖଣ୍ଡ ସେମାନଙ୍କ ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁ ବ୍ୟତୀତ ଅନ୍ୟ କୌଣସି ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁନଥିଲେ ଏହି n ସଂଖ୍ୟକ ରେଖାଖଣ୍ଡ ଦ୍ୱାରା ଗଠିତ ସେଟ୍ P₁P₂ ∪ P₂P₃ ∪ ... ∪ PₙP₁ କୁ P₁P₂...Pₙ ବହୁଭୁଜ କୁହାଯାଏ ।

P₁P₂, P₂P₃, .... PₙP₁ ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ଏବଂ P₁, P₂, ..... Pₙ ବହୁଭୁଜର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ଅଟନ୍ତି । n ସଂଖ୍ୟକ ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ବହୁଭୁଜରେ n ସଂଖ୍ୟକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣ ଥାଏ ।

ଉତ୍ତଳ ବହୁଭୁଜ (Convex Polygon):

P₁P₂...Pₙ ବହୁଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁ ଦ୍ୱାରା ନିର୍ଦ୍ଧିଷ୍ଟ ରେଖାର ଏକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଯଦି ବହୁଭୁଜର ଅନ୍ୟ ସମସ୍ତ ଶୀର୍ଷ ଅବସ୍ଥାନ କରନ୍ତି ତେବେ ବହୁଭୁଜଟିକୁ ଉତ୍ତଳ ବହୁଭୁଜ କୁହାଯାଏ ।

ସୁଷମ ବହୁଭୁଜ (Regular Polygon):

ଯେଉଁ ବହୁଭୁଜର ସମସ୍ତ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ଏବଂ ସମସ୍ତ କୋଣର ପରିମାଣ ସମାନ, ସେପରି ବହୁଭୁଜକୁ ସୁଷମ ବହୁଭୁଜ କୁହାଯାଏ ।

ବହୁଭୁଜର ନାମକରଣ (Naming Polygons):

ବାହୁସଂଖ୍ୟା	ବହୁଭୁଜର ନାମ
3	ତ୍ରିଭୁଜ (Triangle)
4	ଚତୁର୍ଭୁଜ (Quadrilateral)
5	ପଞ୍ଚଭୁଜ (Pentagon)
6	ଷଡ଼ଭୁଜ (Hexagon)

ସେହିପରି 7 ପାଇଁ Heptagon (ସପ୍ତଭୁଜ), 8 ପାଇଁ Octagon (ଅଷ୍ଟଭୁଜ), 9 ପାଇଁ Nonagon (ନଅଭୁଜ) ଓ 10 ପାଇଁ Decagon (ଦଶଭୁଜ) ।

୩.୪. ବହୁଭୁଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଓ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ ମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି (Sum of the measures of the interior and exterior angles of a polygon)

A) ବହୁଭୁଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣ ମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି:

ତ୍ରିଭୁଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି = 180°

ଚତୁର୍ଭୁଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି = 2 × 180° = (4-2) × 180° = 360°

ପଞ୍ଚଭୁଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି = 3 × 180° = (5-2) × 180° = 540°

n ସଂଖ୍ୟକ ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ (n ≥ 3) ବହୁଭୁଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି = (n-2) × 180° = (2n-4) ସମକୋଣ ।

B) ବହୁଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି:

ପ୍ରତ୍ୟେକ ଶୀର୍ଷରେ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ + ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ = 180° = 2 ସମକୋଣ ।

ଗୋଟିଏ n-ଭୁଜ ବିଶିଷ୍ଟ ବହୁଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି

= n × 2 ସମକୋଣ - n ସଂଖ୍ୟକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି

= n × 2 ସମକୋଣ - (2n-4) ସମକୋଣ

= 2n ସମକୋଣ - 2n ସମକୋଣ + 4 ସମକୋଣ

= 4 ସମକୋଣ = 360°

ମନେରଖ: ପ୍ରତ୍ୟେକ ବହୁଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ସମଷ୍ଟି 360° । (ଏହା ବାହୁସଂଖ୍ୟାର ନିରପେକ୍ଷ)

ସୁଷମ ବହୁଭୁଜ (Regular Polygon) ପାଇଁ:

n ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ = (n-2) × 180° / n = (2n-4)/n ସମକୋଣ ।

n ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ = 360° / n ।

୩.୫. କେତେକ ବିଶେଷ ଚତୁର୍ଭୁଜ (Some special quadrilaterals)

ଚତୁର୍ଭୁଜର ବିପରୀତ ବାହୁଯୋଡ଼ା ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସମାନ୍ତରତାର ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ ଚତୁର୍ଭୁଜ ମୁଖ୍ୟତଃ ଦୁଇ ଭାଗରେ ବିଭକ୍ତ, ଯଥା: (1) ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍, (2) ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।

୧. ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ (Trapezium):

ସଂଜ୍ଞା: ଯେଉଁ ଚତୁର୍ଭୁଜର କେବଳ ଏକ ଯୋଡ଼ା ବିପରୀତ ବାହୁ ସମାନ୍ତର ତାହାକୁ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ କୁହାଯାଏ ।

ସମାନ୍ତର ବାହୁ ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ଦୂରତାକୁ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା (Height) କୁହାଯାଏ ।

୨. ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର (Parallelogram):

ସଂଜ୍ଞା: ଯେଉଁ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଦୁଇଯୋଡ଼ା ବିପରୀତ ବାହୁ ସମାନ୍ତର ତାହା ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।

i) ଆୟତଚିତ୍ର (Rectangle):

ସଂଜ୍ଞା: ଯେଉଁ ଚତୁର୍ଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣ ସମକୋଣ ତାହା ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର ।

ଆୟତଚିତ୍ର ଏକ ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର ପ୍ରକାରର ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର, ଯାହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣର ପରିମାଣ 90° ।

ii) ରମ୍ବସ୍ (Rhombus):

ସଂଜ୍ଞା: ଯେଉଁ ଚତୁର୍ଭୁଜର ବାହୁମାନଙ୍କ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ତାହା ଏକ ରମ୍ବସ୍ ।

ରମ୍ବସ୍ ମଧ୍ୟ ଗୋଟିଏ ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର ପ୍ରକାରର ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର, ଯାହାର ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ।

iii) ବର୍ଗଚିତ୍ର (Square):

ସଂଜ୍ଞା: ଯେଉଁ ଚତୁର୍ଭୁଜର ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ଓ ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣର ପରିମାଣ 90° ତାହା ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ।

ବର୍ଗଚିତ୍ର ଏକ ସମକୋଣ ବିଶିଷ୍ଟ ରମ୍ବସ୍ ଅଟେ ।

ଚତୁର୍ଭୁଜର ପ୍ରକାରଭେଦ (Hierarchy of Quadrilaterals):

ଚତୁର୍ଭୁଜ (ଚାରି ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ)

├── ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର (ଉଭୟ ଯୋଡ଼ା ବିପରୀତ ବାହୁ ସମାନ୍ତର)

│ ├── ରମ୍ବସ୍ (ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ)

│ │ └── ବର୍ଗଚିତ୍ର (କୋଣମାନ ସମକୋଣ)

│ └── ଆୟତଚିତ୍ର (କୋଣମାନ ସମକୋଣ)

│ └── ବର୍ଗଚିତ୍ର (ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ)

└── ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ (କେବଳ ଏକ ଯୋଡ଼ା ବିପରୀତ ବାହୁ ସମାନ୍ତର)

୩.୬. କେତେକ ଉପପାଦ୍ୟ (Some theorems)

ଉପପାଦ୍ୟ - ୨୦: ଗୋଟିଏ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଦୁଇଟି ବିପରୀତ ବାହୁ ସର୍ବସମ ଓ ସମାନ୍ତର ହେଲେ ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।

(If two opposite sides of a quadrilateral are congruent and parallel, the quadrilateral is a parallelogram.)

ଦତ୍ତ: ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ AB = CD ଏବଂ AB || CD

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ଅର୍ଥାତ୍ AD || BC

ପ୍ରମାଣ: ΔABD ≅ ΔBDC (ବା-କୋ-ବା ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ) ⇒ AD || BC (ଏକାନ୍ତର କୋଣ ସମାନ ହେତୁ) ।

ଉପପାଦ୍ୟ - ୨୧: ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ବିପରୀତ ବାହୁମାନେ ସର୍ବସମ ।

(The opposite sides of a parallelogram are congruent.)

ଦତ୍ତ: ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର, ଅର୍ଥାତ୍ AB || CD ଏବଂ AD || BC

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: AB = CD ଏବଂ AD = BC

ପ୍ରମାଣ: ΔABD ≅ ΔBDC (କୋ-ବା-କୋ ଉପପାଦ୍ୟ) ⇒ AB = CD ଏବଂ AD = BC ।

ଉପପାଦ୍ୟ - ୨୨: ଗୋଟିଏ ଚତୁର୍ଭୁଜର ବିପରୀତ ବାହୁମାନ ସର୍ବସମ ହେଲେ ଏହା ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।

(A quadrilateral is a parallelogram if both pairs of its opposite sides are congruent.)

ଦତ୍ତ: ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ AB = CD, AD = BC

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର, ଅର୍ଥାତ୍ AB || CD ଓ AD || BC

ପ୍ରମାଣ: ΔABD ≅ ΔBDC (ବା-ବା-ବା ଉପପାଦ୍ୟ) ⇒ AB || CD ଏବଂ AD || BC (ଏକାନ୍ତର କୋଣ ସମାନ ହେତୁ) ।

ଉପପାଦ୍ୟ - ୨୩: ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ବିପରୀତ କୋଣମାନେ ସର୍ବସମ ।

(The opposite angles of a parallelogram are congruent.)

ଦତ୍ତ: ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର । ଅର୍ଥାତ୍ AB || CD ଏବଂ AD || BC

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: ∠A = ∠C, ∠B = ∠D

ପ୍ରମାଣ: ΔABD ≅ ΔBDC (କୋ-ବା-କୋ ଉପପାଦ୍ୟ) ⇒ m∠A = m∠C । ସେହିପରି m∠B = m∠D ।

ଉପପାଦ୍ୟ - ୨୪: ଗୋଟିଏ ଚତୁର୍ଭୁଜର ବିପରୀତ କୋଣମାନ ସର୍ବସମ ହେଲେ ଏହା ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।

(A quadrilateral whose opposite angles are congruent, is a parallelogram.)

ଦତ୍ତ: ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ ∠A = ∠C ଓ ∠B = ∠D

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।

ପ୍ରମାଣ: m∠A + m∠B + m∠C + m∠D = 360° । m∠A = m∠C, m∠B = m∠D ହେତୁ, 2m∠A + 2m∠B = 360° ⇒ m∠A + m∠B = 180° । ଏଣୁ AD || BC । ସେହିପରି AB || CD ।

ଉପପାଦ୍ୟ - ୨୫: ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି ।

(Diagonals of a parallelogram bisect each other.)

ଦତ୍ତ: ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ AC ଓ BD ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: AO = CO ଏବଂ BO = DO

ପ୍ରମାଣ: ΔAOB ≅ ΔCOD (କୋ-ବା-କୋ ଉପପାଦ୍ୟ) ⇒ AO = CO ଏବଂ BO = DO ।

ଉପପାଦ୍ୟ - ୨୬: ଯେଉଁ ଚତୁର୍ଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି ତାହା ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।

(A quadrilateral whose diagonals bisect each other is a parallelogram.)

ଦତ୍ତ: ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣ AC ଓ BD ର ଛେଦବିନ୍ଦୁ O; AO = CO ଏବଂ BO = DO

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର । ଅର୍ଥାତ୍ AB || CD ଏବଂ AD || BC

ପ୍ରମାଣ: ΔAOB ≅ ΔCOD (ବା-କୋ-ବା ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ) ⇒ m∠ABO = m∠ODC ⇒ AB || DC । ସେହିପରି AD || BC ।

ଉପପାଦ୍ୟ - ୨୭: ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ସର୍ବସମ ।

(The diagonals of a rectangle are congruent.)

ଦତ୍ତ: ABCD ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର ଓ AC, BD ଏହାର କର୍ଣ୍ଣ ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: AC = BD

ପ୍ରମାଣ: ΔADC ≅ ΔBCD (ବା-କୋ-ବା ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ) ⇒ AC = BD ।

ଉପପାଦ୍ୟ - ୨୮: ଯେଉଁ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ସର୍ବସମ ତାହା ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର ।

(If the diagonals of a parallelogram are congruent, it is a rectangle.)

ଦତ୍ତ: ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ କର୍ଣ୍ଣ AC = BD ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: ABCD ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର ଅର୍ଥାତ୍ ∠A, ∠B, ∠C, ∠D ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମକୋଣ ।

ପ୍ରମାଣ: ΔADC ≅ ΔBCD (ବା-ବା-ବା ଉପପାଦ୍ୟ) ⇒ m∠ADC = m∠BCD । ଯେହେତୁ AD || BC, m∠ADC + m∠BCD = 180° । ତେଣୁ m∠ADC = m∠BCD = 90° । ସେହିପରି ଅନ୍ୟ କୋଣଗୁଡ଼ିକ 90° ।

ଉପପାଦ୍ୟ - ୨୯: ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ।

(The diagonals of a rhombus are perpendicular to each other.)

ଦତ୍ତ: ABCD ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ ଏବଂ AC, BD ଏହାର ଦୁଇ କର୍ଣ୍ଣ ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: AC ⊥ BD

ପ୍ରମାଣ: ΔAOD ≅ ΔDOC (ବା-ବା-ବା ଉପପାଦ୍ୟ) ⇒ m∠AOD = m∠DOC । ଯେହେତୁ m∠AOD + m∠DOC = 180°, ତେଣୁ m∠AOD = m∠DOC = 90° । ଅର୍ଥାତ୍ AC ⊥ BD ।

ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ (Corollaries):

ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ - ୧: ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ସର୍ବସମ ଓ ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ହେଲେ ଏହା ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ।

ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ - ୨: ଗୋଟିଏ ବର୍ଗଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ସର୍ବସମ ଓ ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ।

ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ - ୩: ଯେଉଁ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ, ତାହା ଏକ ରମ୍ବସ ।

୩.୭. ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖା ଏବଂ ତ୍ରିଭୁଜ (Parallel lines and Triangles)

ଉପପାଦ୍ୟ - ୩୦ (ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଉପପାଦ୍ୟର ପ୍ରଥମ ଭାଗ): ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର ଏକ ବାହୁର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁରୁ ଅନ୍ୟ ଏକ ବାହୁ ସହ ସମାନ୍ତର ଭାବେ ଅଙ୍କିତ ସରଳରେଖା ତୃତୀୟ ବାହୁକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡ କରେ ।

(In a triangle, a line drawn through the mid-point of one side parallel to another side, bisects the third side)

ଦତ୍ତ: ΔABC ରେ AB ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ D ଏବଂ DG || BC ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: DG ଓ AC ର ଛେଦବିନ୍ଦୁ E, AC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ହେବ ।

ପ୍ରମାଣ: BDEF ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ଗଠନ କରି ΔADE ≅ ΔEFC ପ୍ରମାଣ କରାଯାଏ । ଫଳରେ AE = EC ।

ଉପପାଦ୍ୟ - ୩୧ (ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଉପପାଦ୍ୟର ଦ୍ୱିତୀୟ ଭାଗ): ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର ଯେକୌଣସି ଦୁଇବାହୁର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁକୁ ଯୋଗ କରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡ ତୃତୀୟ ବାହୁ ସହ ସମାନ୍ତର ଓ ଏହାର ଅର୍ଦ୍ଧ-ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ।

(The segment joining the midpoints of two sides of a triangle is parallel to the third side and its length is half of that of the third side.)

ଦତ୍ତ: ΔABC ରେ D ଓ E ଯଥାକ୍ରମେ AB ଓ AC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: (i) DE || BC ଏବଂ (ii) DE = (1/2) BC

ପ୍ରମାଣ: ଉପପାଦ୍ୟ ୩୦ ପ୍ରୟୋଗ କରି E, AC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ପ୍ରମାଣ କରାଯାଏ । ପୁନଶ୍ଚ, ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ଗଠନ କରି DE || BC ଏବଂ DE = (1/2) BC ପ୍ରମାଣ କରାଯାଏ ।

୩.୮. ଛେଦିତାଂଶ (Intercepts)

ସଂଜ୍ଞା: ଏକ ସମତଳରେ ଅବସ୍ଥିତ l ଓ m ଦୁଇଟି ସରଳ ରେଖା । ଯଦି ଏକ ଛେଦକ n, ସରଳରେଖା ଦ୍ୱୟକୁ P ଓ Q ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରେ, ତେବେ PQ କୁ ଛେଦକ ର ଏକ ଛେଦାଂଶ ବା ଛେଦିତ ଅଂଶ କୁହାଯାଏ ।

ଉପପାଦ୍ୟ - ୩୨ (ଛେଦିତାଂଶ ଉପପାଦ୍ୟ): ତିନି ବା ତତୋଧିକ ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାକୁ ଛେଦ କରୁଥିବା ଏକ ଛେଦକର ଛେଦିତ ଅଂଶଗୁଡ଼ିକ ସର୍ବସମ ହେଲେ, ଅନ୍ୟ ଯେ କୌଣସି ଛେଦକର ଛେଦିତ ଅନୁରୂପ ଅଂଶ ଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟ ସର୍ବସମ ହେବ ।

(If three or more parallel lines have congruent intercepts on any transversal, they have congruent intercepts on any other transversal.)

ଦତ୍ତ: L₁, L₂, L₃ ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖା । T₁ ଛେଦକ L₁, L₂, L₃ କୁ A, B, C ରେ ଛେଦ କରେ ଏବଂ AB = BC । T₂ ଛେଦକ L₁, L₂, L₃ କୁ D, E, F ରେ ଛେଦ କରେ ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: T₂ ର ଛେଦିତ ଅଂଶ ଦ୍ୱୟ ସର୍ବସମ ଅର୍ଥାତ୍ DE = EF ।

ପ୍ରମାଣ: ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ଓ ସର୍ବସମ ତ୍ରିଭୁଜର ଧର୍ମ ପ୍ରୟୋଗ କରି ପ୍ରମାଣ କରାଯାଏ ।

୩. ପାଠ୍ୟପୁସ୍ତକ ଅଭ୍ୟାସ ପ୍ରଶ୍ନାବଳୀର ୧୦୦% ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସମାଧାନ (100% Complete Solved Exercises)

ଅନୁଶୀଳନୀ 3 (a)

(କ) ବିଭାଗ

୧. ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।

(i) ଗୋଟିଏ ଉତ୍ତଳ ଚତୁର୍ଭୁଜର କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 360° ।

(ii) ଗୋଟିଏ ପଞ୍ଚଭୁଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 540° ।

(iii) ଗୋଟିଏ ଅଷ୍ଟଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 360° ।

(iv) ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ଷଡ଼ଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ 120° ।

ଷଡ଼ଭୁଜର ବାହୁସଂଖ୍ୟା n = 6 ।

ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣ = (n-2) × 180° / n = (6-2) × 180° / 6 = 4 × 180° / 6 = 4 × 30° = 120° ।

(v) ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ 45° ହେଲେ ବହୁଭୁଜର ବାହୁସଂଖ୍ୟା 8 ।

ବାହୁସଂଖ୍ୟା n = 360° / ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ = 360° / 45° = 8 ।

(vi) ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ 150° ହେଲେ, ବହୁଭୁଜର ବାହୁସଂଖ୍ୟା 12 ।

ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ = 180° - 150° = 30° ।

ବାହୁସଂଖ୍ୟା n = 360° / 30° = 12 ।

(vii) ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 1440° ହେଲେ, ବହୁଭୁଜର ବାହୁସଂଖ୍ୟା 10 ।

(n-2) × 180° = 1440°

n-2 = 1440 / 180 = 8

n = 8 + 2 = 10 ।

(viii) ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ବାହୁସଂଖ୍ୟା n ହେଲେ, ଏହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ 360°/n ।

(ix) n ସଂଖ୍ୟକ ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ (n-2) × 180° / n ।

(x) n ସଂଖ୍ୟକ ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ 360° / n ।

(ଖ) ବିଭାଗ

୨.

(i) ଗୋଟିଏ ଚତୁର୍ଭୁଜର କୋଣମାନଙ୍କର ଅନୁପାତ 2:3:4:6 ହେଲେ, ସେମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।

ମନେକର କୋଣଗୁଡ଼ିକ 2x, 3x, 4x, 6x ।

ଚତୁର୍ଭୁଜର କୋଣମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି = 360° ।

2x + 3x + 4x + 6x = 360°

15x = 360°

x = 360° / 15 = 24° ।

କୋଣଗୁଡ଼ିକ: 2 × 24° = 48°, 3 × 24° = 72°, 4 × 24° = 96°, 6 × 24° = 144° ।

ଉତ୍ତର: 48°, 72°, 96°, 144° ।

(ii) ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଦୁଇ କ୍ରମିକ କୋଣ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିକର ପରିମାଣ ଅନ୍ୟର ପରିମାଣର 3 ଗୁଣ ହେଲେ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।

ମନେକର ଗୋଟିଏ କ୍ରମିକ କୋଣ x । ଅନ୍ୟ କ୍ରମିକ କୋଣ 3x ।

ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର କ୍ରମିକ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି 180° ।

x + 3x = 180°

4x = 180°

x = 45° ।

କୋଣଗୁଡ଼ିକ: 45°, 3 × 45° = 135° ।

ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ବିପରୀତ କୋଣ ସମାନ ହେତୁ, କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ ହେଉଛି 45°, 135°, 45°, 135° ।

ଉତ୍ତର: 45°, 135°, 45°, 135° ।

(iii) ଗୋଟିଏ ପଞ୍ଚଭୁଜର କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ଅନୁପାତ 2:3:4:5:6 ହେଲେ ବୃହତ୍ତମ କୋଣର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।

ମନେକର କୋଣଗୁଡ଼ିକ 2x, 3x, 4x, 5x, 6x ।

ପଞ୍ଚଭୁଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି = (5-2) × 180° = 3 × 180° = 540° ।

2x + 3x + 4x + 5x + 6x = 540°

20x = 540°

x = 540° / 20 = 27° ।

ବୃହତ୍ତମ କୋଣ = 6x = 6 × 27° = 162° ।

ଉତ୍ତର: 162° ।

(iv) ଗୋଟିଏ ଉତ୍ତଳ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଦୁଇଟି କୋଣ ସମକୋଣ ଏବଂ ଅନ୍ୟ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ 120° ହେଲେ, ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା ସ୍ଥିର କର ।

ଏଠାରେ 'ଚତୁର୍ଭୁଜ' ବଦଳରେ 'ବହୁଭୁଜ' ହେବ ।

ମନେକର ବହୁଭୁଜର ବାହୁସଂଖ୍ୟା n ।

ଦୁଇଟି କୋଣ 90° ଏବଂ ଅନ୍ୟ କୋଣଗୁଡ଼ିକ 120° ।

ଯଦି n = 4, ତେବେ 2 × 90° + 2 × 120° = 180° + 240° = 420° । କିନ୍ତୁ ଚତୁର୍ଭୁଜର କୋଣ ସମଷ୍ଟି 360° । ତେଣୁ ଏହା ଚତୁର୍ଭୁଜ ନୁହେଁ ।

ଏହି ପ୍ରଶ୍ନରେ କିଛି ତ୍ରୁଟି ଥିବା ପରି ମନେହୁଏ । ଯଦି ଏହା ଏକ ବହୁଭୁଜ ହୁଏ, ତେବେ ଏହାର ବାହୁସଂଖ୍ୟା n ହେଲେ, (n-2) × 180° ହେବ ।

ଯଦି ଦୁଇଟି କୋଣ 90° ଏବଂ ଅନ୍ୟ (n-2) କୋଣ 120° ହୁଏ:

2 × 90° + (n-2) × 120° = (n-2) × 180°

180 + 120n - 240 = 180n - 360

120n - 60 = 180n - 360

300 = 60n

n = 5 ।

ଯଦି n = 5, ତେବେ କୋଣଗୁଡ଼ିକ 90°, 90°, 120°, 120°, 120° । ସମଷ୍ଟି = 180° + 360° = 540° ।

ପଞ୍ଚଭୁଜର କୋଣ ସମଷ୍ଟି = (5-2) × 180° = 540° । ଏହା ସଠିକ୍ ।

ଉତ୍ତର: 5 ।

(v) ଗୋଟିଏ ପଞ୍ଚଭୁଜର କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ x°, (x-10)°, (x-20)°, (2x-40)°, (2x-90)° ହେଲେ 'x' ର ମାନ ସ୍ଥିର କର ।

ପଞ୍ଚଭୁଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି = (5-2) × 180° = 540° ।

x + (x-10) + (x-20) + (2x-40) + (2x-90) = 540

x + x - 10 + x - 20 + 2x - 40 + 2x - 90 = 540

7x - 160 = 540

7x = 540 + 160

7x = 700

x = 100 ।

ଉତ୍ତର: x = 100 ।

(vi) ଗୋଟିଏ ଅଷ୍ଟଭୁଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣ ମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି ଏବଂ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ସମଷ୍ଟି ସ୍ଥିର କର ।

ଅଷ୍ଟଭୁଜର ବାହୁସଂଖ୍ୟା n = 8 ।

ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି = (n-2) × 180° = (8-2) × 180° = 6 × 180° = 1080° ।

ବହିଃସ୍ଥ କୋଣମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି = 360° (ସବୁ ବହୁଭୁଜ ପାଇଁ ସମାନ) ।

ଉତ୍ତର: ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣ ସମଷ୍ଟି = 1080°, ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ ସମଷ୍ଟି = 360° ।

(vii) ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଦୁଇ କ୍ରମିକ କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣର ଅନୁପାତ 2:3 ହେଲେ, ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଅନ୍ୟକୋଣ ମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।

ମନେକର କ୍ରମିକ କୋଣଗୁଡ଼ିକ 2x ଓ 3x ।

ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର କ୍ରମିକ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି 180° ।

2x + 3x = 180°

5x = 180°

x = 36° ।

କ୍ରମିକ କୋଣଗୁଡ଼ିକ: 2 × 36° = 72°, 3 × 36° = 108° ।

ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ବିପରୀତ କୋଣ ସମାନ ହେତୁ, ଅନ୍ୟ ଦୁଇଟି କୋଣ ମଧ୍ୟ 72° ଓ 108° ହେବ ।

ଉତ୍ତର: 72°, 108°, 72°, 108° ।

(ଗ) ବିଭାଗ

୩. ଦର୍ଶାଅ ଯେ, ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ପଞ୍ଚଭୁଜର ଗୋଟିଏ ଅନ୍ତଃସ୍ଥକୋଣର ପରିମାଣ ଏହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣର ତିନିଗୁଣ ।

ସୁଷମ ପଞ୍ଚଭୁଜର ବାହୁସଂଖ୍ୟା n = 5 ।

ପ୍ରତ୍ୟେକ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ = 360° / n = 360° / 5 = 72° ।

ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ = (n-2) × 180° / n = (5-2) × 180° / 5 = 3 × 180° / 5 = 3 × 36° = 108° ।

ଆମକୁ ଦର୍ଶାଇବାକୁ ହେବ ଯେ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣ = 3 × ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ ।

108° = 3 × 72°

108° = 216° । ଏହା ସତ୍ୟ ନୁହେଁ ।

ସମାଧାନରେ ତ୍ରୁଟି: ପ୍ରଶ୍ନରେ ତ୍ରୁଟି ଥିବା ପରି ମନେହୁଏ । ଯଦି ପ୍ରଶ୍ନଟି "ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ଗୋଟିଏ ଅନ୍ତଃସ୍ଥକୋଣର ପରିମାଣ ଏହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣର ତିନିଗୁଣ ହେଲେ, ବହୁଭୁଜଟି କେଉଁ ପ୍ରକାରର?" ହୋଇଥାନ୍ତା ।

ମନେକର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣ = 3 × ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ ।

180° - ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ = 3 × ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ ।

180° = 4 × ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ ।

ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ = 180° / 4 = 45° ।

ବାହୁସଂଖ୍ୟା n = 360° / 45° = 8 ।

ତେଣୁ ବହୁଭୁଜଟି ଏକ ଅଷ୍ଟଭୁଜ ହୋଇଥାନ୍ତା ।

ପ୍ରଶ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥିବା "ପଞ୍ଚଭୁଜ" ଶବ୍ଦଟି ଭୁଲ୍ । ଯଦି ପ୍ରଶ୍ନଟି "ଅଷ୍ଟଭୁଜ" ହୋଇଥାନ୍ତା, ତେବେ 135° = 3 × 45° ସତ୍ୟ ହୋଇଥାନ୍ତା ।

ଉତ୍ତର: ପ୍ରଶ୍ନରେ ତ୍ରୁଟି ଅଛି । ସୁଷମ ପଞ୍ଚଭୁଜ ପାଇଁ ଏହି ଉକ୍ତିଟି ମିଥ୍ୟା ।

୪. ABCDE ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ପଞ୍ଚଭୁଜ ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜ ABED ର ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।

ସୁଷମ ପଞ୍ଚଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣ = 108° (ପ୍ରଶ୍ନ ୩ ରୁ) ।

ତେଣୁ m∠A = m∠B = m∠C = m∠D = m∠E = 108° ।

AB = BC = CD = DE = EA (ସୁଷମ ପଞ୍ଚଭୁଜର ବାହୁ) ।

ΔABC ରେ AB = BC, ତେଣୁ ଏହା ଏକ ସମଦ୍ୱିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ।

m∠BAC = m∠BCA = (180° - m∠B) / 2 = (180° - 108°) / 2 = 72° / 2 = 36° ।

ସେହିପରି ΔCDE ରେ CD = DE, ତେଣୁ m∠DCE = m∠DEC = 36° ।

ΔAED ରେ AE = ED, ତେଣୁ m∠EAD = m∠EDA = (180° - m∠E) / 2 = (180° - 108°) / 2 = 36° ।

ΔABED ରେ,

m∠EAB = m∠A = 108° ।

m∠EAD = 36° ।

m∠DAB = m∠EAB - m∠EAD = 108° - 36° = 72° ।

m∠ADE = 36° ।

m∠EDC = 108° ।

m∠ADC = m∠EDC - m∠EDA = 108° - 36° = 72° ।

ΔABED ର କୋଣଗୁଡ଼ିକ:

m∠EAB = 108° (ଏହା ତ୍ରିଭୁଜ ABED ର କୋଣ ନୁହେଁ, ଏହା ପଞ୍ଚଭୁଜର କୋଣ) ।

ତ୍ରିଭୁଜ ABED ର କୋଣଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି ∠EAB, ∠ABE, ∠BED, ∠EDA, ∠DAB ।

ପ୍ରଶ୍ନଟି ତ୍ରିଭୁଜ ABED ନୁହେଁ, ବରଂ ତ୍ରିଭୁଜ ABE, ΔBCD, ΔCDE, ΔDEA, ΔEAB ଭଳି ତ୍ରିଭୁଜର କୋଣ ପଚାରିଥାଇପାରେ ।

ଯଦି ପ୍ରଶ୍ନଟି ΔABE ର କୋଣ ପଚାରୁଛି: m∠A = 108°, m∠ABE = m∠AEB = 36° ।

ଯଦି ପ୍ରଶ୍ନଟି ΔABED ର କୋଣ ପଚାରୁଛି, ତେବେ ଏହା ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜ ।

ପ୍ରଶ୍ନରେ ତ୍ରୁଟି ଥିବା ପରି ମନେହୁଏ । ଯଦି ପ୍ରଶ୍ନଟି ΔABE ର କୋଣ ପଚାରୁଛି, ତେବେ 108°, 36°, 36° ।

ଯଦି ପ୍ରଶ୍ନଟି ΔABD ର କୋଣ ପଚାରୁଛି:

m∠DAB = m∠EAB - m∠EAD = 108° - 36° = 72° ।

m∠ABD = m∠ABC - m∠DBC = 108° - 36° = 72° ।

ତେଣୁ ΔABD ଏକ ସମଦ୍ୱିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ । m∠BDA = 180° - 72° - 72° = 36° ।

ତେଣୁ ΔABD ର କୋଣଗୁଡ଼ିକ 72°, 72°, 36° ।

ଉତ୍ତର: ପ୍ରଶ୍ନରେ ତ୍ରୁଟି ଅଛି । ତ୍ରିଭୁଜ ABED ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜ । ଯଦି ΔABD ର କୋଣ ପଚରାଯାଏ, ତେବେ 72°, 72°, 36° ।

୫. ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଏବଂ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣର ଅନୁପାତ 5:1 ହେଲେ, ବହୁଭୁଜର ବାହୁସଂଖ୍ୟା ସ୍ଥିର କର ।

ମନେକର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣ = 5x ଏବଂ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ = x ।

ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣ + ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ = 180° ।

5x + x = 180°

6x = 180°

x = 30° ।

ତେଣୁ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ = 30° ।

ବାହୁସଂଖ୍ୟା n = 360° / ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ = 360° / 30° = 12 ।

ଉତ୍ତର: 12 ।

୬. n ସଂଖ୍ୟକ ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ ଓ (n+2) ସଂଖ୍ୟକ ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ ମଧ୍ୟରେ ଅନ୍ତର 2° ହେଲେ, ବହୁଭୁଜର ବାହୁସଂଖ୍ୟା ସ୍ଥିର କର ।

n ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ବହୁଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ = 360° / n ।

(n+2) ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ବହୁଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ = 360° / (n+2) ।

ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ: (360° / n) - (360° / (n+2)) = 2°

360 ( (n+2 - n) / (n(n+2)) ) = 2

360 ( 2 / (n² + 2n) ) = 2

720 / (n² + 2n) = 2

720 = 2(n² + 2n)

360 = n² + 2n

n² + 2n - 360 = 0

ଏହାକୁ ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ, n = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କରିବା ।

n = (-2 ± √(2² - 4 × 1 × (-360))) / (2 × 1)

n = (-2 ± √(4 + 1440)) / 2

n = (-2 ± √1444) / 2

n = (-2 ± 38) / 2

ବାହୁସଂଖ୍ୟା ଧନାତ୍ମକ ହେବ, ତେଣୁ n = (-2 + 38) / 2 = 36 / 2 = 18 ।

ଉତ୍ତର: 18 ।

୭. ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ 120° ହେଲେ, ବହୁଭୁଜର ବାହୁସଂଖ୍ୟା ସ୍ଥିର କର ।

ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣ = 120° ।

ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ = 180° - 120° = 60° ।

ବାହୁସଂଖ୍ୟା n = 360° / ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ = 360° / 60° = 6 ।

ଉତ୍ତର: 6 ।

୮. (n-1) ସଂଖ୍ୟକ ଏବଂ (n+2) ସଂଖ୍ୟକ ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥ କୋଣଦ୍ୱୟର ଅନ୍ତର 6° ହେଲେ, ଦର୍ଶାଅ ଯେ, 'n' ର ମାନ 13 ହେବ ।

(n-1) ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ବହୁଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ = 360° / (n-1) ।

(n+2) ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ବହୁଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ = 360° / (n+2) ।

ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ: (360° / (n-1)) - (360° / (n+2)) = 6° (ଧରିନେବା n-1 < n+2, ତେଣୁ ପ୍ରଥମଟି ବଡ଼)

360 ( (n+2 - (n-1)) / ((n-1)(n+2)) ) = 6

360 ( (n+2 - n + 1) / (n² + 2n - n - 2) ) = 6

360 ( 3 / (n² + n - 2) ) = 6

1080 / (n² + n - 2) = 6

1080 = 6(n² + n - 2)

180 = n² + n - 2

n² + n - 182 = 0

n = (-1 ± √(1² - 4 × 1 × (-182))) / (2 × 1)

n = (-1 ± √(1 + 728)) / 2

n = (-1 ± √729) / 2

n = (-1 ± 27) / 2

ବାହୁସଂଖ୍ୟା ଧନାତ୍ମକ ହେବ, ତେଣୁ n = (-1 + 27) / 2 = 26 / 2 = 13 ।

ଉତ୍ତର: n = 13 । (ପ୍ରମାଣିତ)

୯. ଗୋଟିଏ ପଞ୍ଚଭୁଜର ଗୋଟିଏ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ 140° । ଅନ୍ୟ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣର ଅନୁପାତ 1:2:3:4 ହେଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, ବୃହତ୍ତମ କୋଣର ପରିମାଣ 160° ।

ପଞ୍ଚଭୁଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି = 540° ।

ଗୋଟିଏ କୋଣ = 140° ।

ଅନ୍ୟ ଚାରୋଟି କୋଣର ସମଷ୍ଟି = 540° - 140° = 400° ।

ମନେକର ଅନ୍ୟ ଚାରୋଟି କୋଣ x, 2x, 3x, 4x ।

x + 2x + 3x + 4x = 400°

10x = 400°

x = 40° ।

ଅନ୍ୟ କୋଣଗୁଡ଼ିକ: 40°, 2 × 40° = 80°, 3 × 40° = 120°, 4 × 40° = 160° ।

ପଞ୍ଚଭୁଜର କୋଣଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି 140°, 40°, 80°, 120°, 160° ।

ଏଥିମଧ୍ୟରୁ ବୃହତ୍ତମ କୋଣ ହେଉଛି 160° ।

ଉତ୍ତର: ବୃହତ୍ତମ କୋଣର ପରିମାଣ 160° । (ଦର୍ଶାଯାଇଛି)

୧୦. ABCDE ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ପଞ୍ଚଭୁଜର AD, ∠CDE କୁ ଦୁଇଭାଗ କରୁଥିଲେ, ଦର୍ଶାଅ ଯେ, m∠ADE : m∠ADC = 1:2 ।

ସୁଷମ ପଞ୍ଚଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣ = 108° ।

ତେଣୁ m∠CDE = 108° ।

ΔCDE ରେ CD = DE (ସୁଷମ ପଞ୍ଚଭୁଜର ବାହୁ) ।

ତେଣୁ ΔCDE ଏକ ସମଦ୍ୱିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ।

m∠DCE = m∠DEC = (180° - m∠CDE) / 2 = (180° - 108°) / 2 = 72° / 2 = 36° ।

ΔADE ରେ AE = ED (ସୁଷମ ପଞ୍ଚଭୁଜର ବାହୁ) ।

ତେଣୁ ΔADE ଏକ ସମଦ୍ୱିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ।

m∠EAD = m∠EDA = (180° - m∠E) / 2 = (180° - 108°) / 2 = 36° ।

ତେଣୁ m∠ADE = 36° ।

m∠ADC = m∠CDE - m∠ADE = 108° - 36° = 72° ।

m∠ADE : m∠ADC = 36° : 72° = 1 : 2 ।

ଉତ୍ତର: m∠ADE : m∠ADC = 1:2 । (ଦର୍ଶାଯାଇଛି)

ଅନୁଶୀଳନୀ 3 (b)

୧. ନିମ୍ନଲିଖିତ ଉକ୍ତିଗୁଡ଼ିକ ଭୁଲ୍ କି ଠିକ୍ ଲେଖ ।

(a) ଚତୁର୍ଭୁଜର ଚାରୋଟି ବାହୁ ସର୍ବସମ ହେଲେ, ତାହା ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ।

ଭୁଲ୍ (ଏହା ରମ୍ବସ ମଧ୍ୟ ହୋଇପାରେ) ।

(b) ପ୍ରତ୍ୟେକ ରମ୍ବସ ଏକ ସାମାନ୍ତରିକଚିତ୍ର ।

ଠିକ୍ ।

ଭୁଲ୍ (ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ବାହୁ ସମାନ ନହୋଇପାରେ) ।

(d) ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଦୁଇ ସନ୍ନିହିତ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ହେଲେ, ତାହା ଏକ ରମ୍ବସ୍ ।

ଠିକ୍ ।

(e) ରମ୍ବସ୍‌ର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ସର୍ବସମ ।

ଭୁଲ୍ (କେବଳ ବର୍ଗଚିତ୍ର ପାଇଁ ସର୍ବସମ) ।

(f) ଗୋଟିଏ ଆୟତଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି ।

ଠିକ୍ (ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଧର୍ମ) ।

(g) ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ 90° ହେଲେ, ତାହା ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ।

ଠିକ୍ ।

(h) ଗୋଟିଏ ବର୍ଗଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମକୋଣରେ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି ।

ଠିକ୍ ।

(i) ଯଦି ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ।

ଭୁଲ୍ (ଏହା ରମ୍ବସ ମଧ୍ୟ ହୋଇପାରେ) ।

(j) ପ୍ରତ୍ୟେକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ ।

ଠିକ୍ (ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ରେ ଅତିକମରେ ଗୋଟିଏ ଯୋଡ଼ା ସମାନ୍ତର ବାହୁ ଥାଏ, ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ ଦୁଇ ଯୋଡ଼ା ଥାଏ) ।

(k) ପ୍ରତ୍ୟେକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର ।

ଠିକ୍ ।

(l) ରମ୍ବସ ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ।

ଭୁଲ୍ (କେବଳ ଯଦି କୋଣ 90° ହୁଏ) ।

୨. ନିମ୍ନଚିତ୍ରଗୁଡ଼ିକୁ ଦେଖ୍ "x"ର ମୂଲ୍ୟ ସ୍ଥିର କର ।

(i) ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର:

ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ କ୍ରମିକ କୋଣର ସମଷ୍ଟି 180° ।

x + 75° = 180°

x = 180° - 75° = 105° ।

ଉତ୍ତର: x = 105° ।

(ii) ରମ୍ବସ:

ରମ୍ବସ ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର । କ୍ରମିକ କୋଣର ସମଷ୍ଟି 180° ।

x + 60° = 180°

x = 180° - 60° = 120° ।

ଉତ୍ତର: x = 120° ।

(iii) ଆୟତଚିତ୍ର:

ଆୟତଚିତ୍ରର ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣ 90° ।

କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡିତ କରନ୍ତି ଏବଂ ସର୍ବସମ । ତେଣୁ କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱାରା ଗଠିତ ତ୍ରିଭୁଜଗୁଡ଼ିକ ସମଦ୍ୱିବାହୁ ।

ଚିତ୍ରରେ, ତ୍ରିଭୁଜର ଏକ କୋଣ 120° । ଏହା କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁରେ ଥିବା କୋଣ ।

ଏହାର ସନ୍ନିହିତ କୋଣ = 180° - 120° = 60° ।

ଏହି 60° କୋଣଟି ସମଦ୍ୱିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଶୀର୍ଷ କୋଣ ।

ତେଣୁ ଭୂମି କୋଣଗୁଡ଼ିକ = (180° - 60°) / 2 = 120° / 2 = 60° ।

x ହେଉଛି ଆୟତଚିତ୍ରର କୋଣର ଏକ ଅଂଶ ।

ଆୟତଚିତ୍ରର କୋଣ 90° ।

ଯଦି କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ O ହୁଏ, ତେବେ ΔAOB ରେ m∠AOB = 120° ।

m∠OAB = m∠OBA = (180°-120°)/2 = 30° ।

m∠OBC = m∠OCB = 30° ।

m∠OCD = m∠ODC = 30° ।

m∠ODA = m∠OAD = 30° ।

x ହେଉଛି m∠OAD ।

ଉତ୍ତର: x = 30° ।

(iv) ବର୍ଗଚିତ୍ର:

ବର୍ଗଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ 90° ରେ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡିତ କରନ୍ତି ।

କର୍ଣ୍ଣଗୁଡ଼ିକ କୋଣଗୁଡ଼ିକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡିତ କରନ୍ତି ।

ବର୍ଗଚିତ୍ରର ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣ 90° ।

ତେଣୁ କର୍ଣ୍ଣ ଦ୍ୱାରା ସୃଷ୍ଟି ହୋଇଥିବା କୋଣଗୁଡ଼ିକ 90° / 2 = 45° ।

x ହେଉଛି 45° ।

ଉତ୍ତର: x = 45° ।

୩. ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।

(a) ବର୍ଗଚିତ୍ର ର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ସର୍ବସମ ଏବଂ ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ।

(b) ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ ∠A ଓ ∠B ପରସ୍ପର ପରିପୂରକ ହେଲେ, ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ । (ଯଦି AD || BC)

(d) ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜର AB = CD, AB || CD ହେଲେ ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।

(e) ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜର AB = BC ଏବଂ AC = BD ଏବଂ ∠B ଏକ ସମକୋଣ ହେଲେ ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ବର୍ଗଚିତ୍ର ।

(f) ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ 90° ହେଲେ, ରମ୍ବସ୍‌ଟି ବର୍ଗଚିତ୍ର ।

(g) ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜର AC ଓ BD କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି ଏବଂ m∠A = 90° ହେଲେ, ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ଆୟତଚିତ୍ର ।

(h) ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜର AC ଓ BD କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି ଏବଂ AC = BD ହେଲେ, ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ଆୟତଚିତ୍ର ।

(ଖ) ବିଭାଗ

୪.

(i) ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ m∠B = (x+30)° ଓ m∠C = (2x-60)° ହେଲେ m∠A କେତେ ?

ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ କ୍ରମିକ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି 180° ।

m∠B + m∠C = 180°

(x+30) + (2x-60) = 180

3x - 30 = 180

3x = 210

x = 70 ।

m∠B = 70 + 30 = 100° ।

m∠C = 2 × 70 - 60 = 140 - 60 = 80° ।

ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ ବିପରୀତ କୋଣ ସମାନ । ତେଣୁ m∠A = m∠C = 80° ।

ଉତ୍ତର: m∠A = 80° ।

(ii) ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର । ∠A ଓ ∠B ର ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ P ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରନ୍ତି । ∠APB ର ପରିମାଣ କେତେ ?

ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ m∠A + m∠B = 180° ।

ΔAPB ରେ, m∠PAB = m∠A / 2 ଏବଂ m∠PBA = m∠B / 2 ।

m∠APB + m∠PAB + m∠PBA = 180°

m∠APB + m∠A / 2 + m∠B / 2 = 180°

m∠APB + (m∠A + m∠B) / 2 = 180°

m∠APB + 180° / 2 = 180°

m∠APB + 90° = 180°

m∠APB = 90° ।

ଉତ୍ତର: 90° ।

(iii) ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସର କ୍ଷୁଦ୍ରତର କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଏକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସହ ସମାନ ହେଲେ, ରମ୍ବସର ବୃହତ୍ତର କୋଣର ପରିମାଣ କେତେ ?

ମନେକର ରମ୍ବସ ABCD, ବାହୁ AB = BC = CD = DA ।

କର୍ଣ୍ଣ AC ଓ BD । ମନେକର AC କ୍ଷୁଦ୍ରତର କର୍ଣ୍ଣ ।

ଯଦି AC = AB, ତେବେ ΔABC ଏକ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ (AB=BC=AC) ।

ତେଣୁ m∠ABC = 60° ।

ରମ୍ବସର କ୍ରମିକ କୋଣର ସମଷ୍ଟି 180° ।

m∠DAB = 180° - m∠ABC = 180° - 60° = 120° ।

ରମ୍ବସର କୋଣଗୁଡ଼ିକ 60°, 120°, 60°, 120° ।

ବୃହତ୍ତର କୋଣର ପରିମାଣ 120° ।

ଉତ୍ତର: 120° ।

(iv) ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ଶୀର୍ଷରେ ଉତ୍ପନ୍ନ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ଅନୁପାତ 2 : 3 ହେଲେ, ବୃହତ୍ତର କୋଣର ପରିମାଣ କେତେ ?

ମନେକର କ୍ରମିକ କୋଣଗୁଡ଼ିକ 2x ଓ 3x ।

2x + 3x = 180° (ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର କ୍ରମିକ କୋଣ ପରିପୂରକ) ।

5x = 180°

x = 36° ।

କୋଣଗୁଡ଼ିକ: 2 × 36° = 72°, 3 × 36° = 108° ।

ବୃହତ୍ତର କୋଣ = 108° ।

ଉତ୍ତର: 108° ।

(v) ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ ଏହାର ଏକ ସନ୍ନିହିତ କୋଣର 4/5 ହେଲେ, ସନ୍ନିହିତ କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।

ମନେକର ସନ୍ନିହିତ କୋଣଦ୍ୱୟ x ଓ y ।

x = (4/5)y ।

x + y = 180° ।

(4/5)y + y = 180°

(4y + 5y) / 5 = 180°

9y / 5 = 180°

9y = 180 × 5 = 900

y = 100° ।

x = (4/5) × 100° = 80° ।

ଉତ୍ତର: 80°, 100° ।

(ଗ) ବିଭାଗ

୫.

(i) ABCD ଏକ ଉତ୍ତଳ ଚତୁର୍ଭୁଜ । ଏଥିରେ ∠B, ∠C, ∠D ର ପରିମାଣ ଯଥାକ୍ରମେ ∠A ର ପରିମାଣର ଦୁଇଗୁଣ, ତିନିଗୁଣ, ଚାରିଗୁଣ ହେଲେ, ଦର୍ଶାଅ ଯେ, ଏହା ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ ।

ମନେକର m∠A = x ।

m∠B = 2x, m∠C = 3x, m∠D = 4x ।

ଚତୁର୍ଭୁଜର କୋଣମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି = 360° ।

x + 2x + 3x + 4x = 360°

10x = 360°

x = 36° ।

କୋଣଗୁଡ଼ିକ: m∠A = 36°, m∠B = 72°, m∠C = 108°, m∠D = 144° ।

m∠A + m∠D = 36° + 144° = 180° ।

ଯେହେତୁ କ୍ରମିକ କୋଣ ∠A ଓ ∠D ପରିପୂରକ, ତେଣୁ AB || DC ।

m∠B + m∠C = 72° + 108° = 180° ।

ଯେହେତୁ କ୍ରମିକ କୋଣ ∠B ଓ ∠C ପରିପୂରକ, ତେଣୁ AB || DC ।

ଏଠାରେ AD ଓ BC ସମାନ୍ତର ନୁହନ୍ତି । m∠A + m∠B = 36° + 72° = 108° ≠ 180° ।

ତେଣୁ ABCD ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ । (ଦର୍ଶାଯାଇଛି)

(ii) ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ ∠A ଓ ∠B ର ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ଏବଂ ∠AOB ଏକ ସମକୋଣ ହେଲେ, ପ୍ରମାଣକର ଯେ, ABCD ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ ।

ΔAOB ରେ m∠OAB + m∠OBA + m∠AOB = 180° ।

m∠A / 2 + m∠B / 2 + 90° = 180° ।

(m∠A + m∠B) / 2 = 90° ।

m∠A + m∠B = 180° ।

ଯେହେତୁ କ୍ରମିକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣ ∠A ଓ ∠B ପରିପୂରକ, ତେଣୁ AD || BC ।

ଚତୁର୍ଭୁଜର ଗୋଟିଏ ଯୋଡ଼ା ବିପରୀତ ବାହୁ ସମାନ୍ତର ହେଲେ ତାହା ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ ।

ଉତ୍ତର: ABCD ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ । (ପ୍ରମାଣିତ)

(iii) ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ ∠ADC ଏକ ସମକୋଣ, m∠BAC = m∠ACB = 45° ଏବଂ AD = DC ହେଲେ, ପ୍ରମାଣକର ଯେ, ଏହା ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ।

m∠ADC = 90° ।

ΔABC ରେ m∠BAC = m∠ACB = 45° ।

ତେଣୁ m∠ABC = 180° - (45° + 45°) = 180° - 90° = 90° ।

ΔADC ରେ AD = DC ଏବଂ m∠ADC = 90° । ତେଣୁ ΔADC ଏକ ସମକୋଣୀ ସମଦ୍ୱିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ।

m∠DAC = m∠DCA = (180° - 90°) / 2 = 45° ।

m∠DAB = m∠DAC + m∠CAB = 45° + 45° = 90° ।

m∠BCD = m∠BCA + m∠ACD = 45° + 45° = 90° ।

ତେଣୁ ଚତୁର୍ଭୁଜ ABCD ର ସମସ୍ତ କୋଣ 90° । (∠A=∠B=∠C=∠D=90°) ।

ଯେହେତୁ ସମସ୍ତ କୋଣ 90°, ଏହା ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର ।

ଆୟତଚିତ୍ରରେ AD = DC ଦିଆଯାଇଛି ।

ଆୟତଚିତ୍ରର ସନ୍ନିହିତ ବାହୁ ସମାନ ହେଲେ ତାହା ବର୍ଗଚିତ୍ର ।

ଉତ୍ତର: ABCD ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର । (ପ୍ରମାଣିତ)

(iv) ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ AD = BC = 3 ସେ.ମି, AB = 8 ସେମି । AB ଉପରେ E ଓ F ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ । ଯେପରିକି A-E-F ଏବଂ EF = 2 ସେମି । m∠BCF = m∠BFC = m∠AED = m∠ADF = 45° ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ABCD ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର ।

ପ୍ରଶ୍ନରେ m∠ADF = 45° ଦିଆଯାଇଛି, କିନ୍ତୁ ଚତୁର୍ଭୁଜ ABCD ରେ F ବିନ୍ଦୁ ନାହିଁ । ଏହା m∠ADE ହେବ ।

m∠AED = 45° । ΔADE ରେ m∠DAE = 180° - (m∠ADE + m∠AED) = 180° - (45° + 45°) = 90° ।

ସେହିପରି m∠BCF = m∠BFC = 45° । ΔBCF ରେ m∠CBF = 180° - (45° + 45°) = 90° ।

ତେଣୁ m∠A = 90°, m∠B = 90° ।

ଯେହେତୁ AD = BC = 3 ସେ.ମି, ଏବଂ AB || DC (କୋଣ 90° ହେତୁ) ।

ABCD ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର ।

ଉତ୍ତର: ABCD ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର । (ପ୍ରମାଣିତ)

(v) ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର । ଯଦି AB = 2AD ଏବଂ P, CD ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ହୁଏ, ତେବେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, ∠APB = 90° ।

ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର । ତେଣୁ AB || CD ଏବଂ AD || BC ।

AB = CD ଏବଂ AD = BC ।

ଦିଆଯାଇଛି AB = 2AD । ତେଣୁ CD = 2AD ।

P, CD ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ । ତେଣୁ CP = PD = CD / 2 = (2AD) / 2 = AD ।

ΔADP ରେ AD = PD । ତେଣୁ m∠DAP = m∠DPA ।

m∠D + m∠A = 180° ।

m∠DAP + m∠APB + m∠PBC = 180° ।

m∠DAP = m∠APD (AD=PD ହେତୁ) ।

m∠BCP = m∠BPC (BC=CP ହେତୁ) ।

m∠D + 2m∠DPA = 180° ।

m∠C + 2m∠CPB = 180° ।

m∠D + m∠C = 180° ।

m∠DAP + m∠ADP + m∠DPA = 180° ।

m∠CBP + m∠BCP + m∠BPC = 180° ।

m∠DAP = m∠ADP (AD=PD) ।

m∠CBP = m∠BCP (BC=CP) ।

m∠DAP + m∠ADP = 180° - m∠DPA ।

m∠CBP + m∠BCP = 180° - m∠BPC ।

m∠D + m∠C = 180° ।

m∠DAP + m∠CBP = m∠A / 2 + m∠B / 2 ।