ଅଧ୍ୟାୟ: Class9 Geometry Ch04 Ch04 Kshetraphala

BSE ODISHA CLASS 9 • UTKAL MASTER STROKE

ବୋର୍ଡ ଅଫ୍ ସେକେଣ୍ଡାରୀ ଏଜୁକେସନ୍ (BSE Odisha) — ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଅଧ୍ୟାୟ ମାଷ୍ଟର ନୋଟ୍ସ

ଶ୍ରେଣୀ: Class 9 | ବିଷୟ: Geometry

୧. ଅଧ୍ୟାୟର ସାରାଂଶ ଓ ମାଇଣ୍ଡ ମ୍ୟାପ୍ (Mind Map & Conceptual Architecture)

ଏହି ଅଧ୍ୟାୟଟି ଜ୍ୟାମିତିକ ଚିତ୍ରଗୁଡ଼ିକର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (Area) ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ବିଭିନ୍ନ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ, ଉପପାଦ୍ୟ ଏବଂ ସେଗୁଡ଼ିକର ପ୍ରୟୋଗ ଉପରେ ଆଧାରିତ । ଏଠାରେ ଆମେ ମୁଖ୍ୟତଃ ତ୍ରିଭୁଜ ଏବଂ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ପାରସ୍ପରିକ ସମ୍ପର୍କ ବିଷୟରେ ଆଲୋଚନା କରିବା ।

ମାଇଣ୍ଡ ମ୍ୟାପ୍ (Conceptual Architecture):

୧.୧ କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ସଂଜ୍ଞା: ପ୍ରତ୍ୟେକ ସରଳରୈଖିକ ଆବଦ୍ଧ ଚିତ୍ର ଏବଂ ତାହାର ଅନ୍ତର୍ଦେଶର ସଂଯୋଗରେ ଏକ ସରଳରୈଖିକ କ୍ଷେତ୍ର ସୃଷ୍ଟି ହୁଏ । ଏହି କ୍ଷେତ୍ରର ମାପକୁ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କୁହାଯାଏ, ଯାହା ଏକ ଧନାତ୍ମକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ।

୧.୨ ଉଚ୍ଚତା (Height):

ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତା: ଯେକୌଣସି ବାହୁକୁ ଭୂମି ରୂପେ ଗ୍ରହଣ କଲେ, ତାହାର ବିପରୀତ କୌଣସିକ ବିନ୍ଦୁରୁ ଭୂମି ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ।

ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଉଚ୍ଚତା: ଯେକୌଣସି ବାହୁକୁ ଭୂମି ରୂପେ ଗ୍ରହଣ କଲେ, ବିପରୀତ ବାହୁର ଯେକୌଣସି ବିନ୍ଦୁରୁ ଏହି ଭୂମି ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ।

୧.୩ ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାଦ୍ୱୟ ମଧ୍ୟରେ ଅବସ୍ଥିତ କ୍ଷେତ୍ର: ଯଦି ଦୁଇଟି ଜ୍ୟାମିତିକ ଚିତ୍ରର ଭୂମି ଏକା ସରଳରେଖାରେ ଥାଏ ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ବିପରୀତ ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖା ଉପରେ ଥାଏ, ତେବେ ସେମାନଙ୍କର ଉଚ୍ଚତା ସମାନ ହୋଇଥାଏ ।

୧.୪ ସର୍ବସମତା ଓ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ: ଦୁଇଟି ସରଳରୈଖିକ କ୍ଷେତ୍ର ସର୍ବସମ ହେଲେ ସେମାନଙ୍କର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସମାନ ହୁଏ, ମାତ୍ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସମାନ ହେଲେ ସେମାନେ ସର୍ବସମ ନହୋଇ ମଧ୍ୟ ପାରନ୍ତି ।

୨. ମୁଖ୍ୟ ବିଷୟବସ୍ତୁ, ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ଓ ଗାଣିତିକ ସୂତ୍ରାବଳୀ (Comprehensive Theory & Formulas)

୨.୧ ମୁଖ୍ୟ ସୂତ୍ରାବଳୀ:

୧. ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 1/2 × ଭୂମି × ଉଚ୍ଚତା

୨. ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଭୂମି × ଉଚ୍ଚତା

୩. ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ପ୍ରସ୍ଥ

୪. ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ବାହୁ² = 1/2 × (କର୍ଣ୍ଣ)²

୫. ରମ୍ବସର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 1/2 × କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଗୁଣଫଳ

୬. ଟ୍ରାପିଜିୟମର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 1/2 × ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ସମଷ୍ଟି × ଉଚ୍ଚତା

୨.୨ ମୁଖ୍ୟ ଉପପାଦ୍ୟ ସମୂହ:

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

ଉପପାଦ୍ୟ - ୩୩:

ଏକା ଭୂମି ଉପରେ ଏବଂ ଏକା ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାଦ୍ୱୟ ମଧ୍ୟରେ ଅବସ୍ଥିତ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରଗୁଡ଼ିକର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସମାନ ।

ପ୍ରମାଣ ସଂକ୍ଷେପରେ: ABCD ଓ EFCD ଦୁଇଟି ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ଏକା ଭୂମି DC ଏବଂ ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାଦ୍ୱୟ AF ଓ DC ମଧ୍ୟରେ ଅବସ୍ଥିତ ।

ΔAED ଏବଂ ΔBFC ମଧ୍ୟରେ:

m∠EAD = m∠FBC (ଅନୁରୂପ କୋଣ, AD || BC ଏବଂ AF ଛେଦକ)

m∠AED = m∠BFC (ଅନୁରୂପ କୋଣ, ED || FC ଏବଂ AF ଛେଦକ)

AD = BC (ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ବିପରୀତ ବାହୁ)

∴ ΔAED ≅ ΔBFC (କୋ-ବା-କୋ ସର୍ବସମତା)

⇒ Area(ΔAED) = Area(ΔBFC)

ବର୍ତ୍ତମାନ, Area(ABCD) = Area(ADCF) - Area(ΔBFC)

Area(EFCD) = Area(ADCF) - Area(ΔAED)

ଯେହେତୁ Area(ΔAED) = Area(ΔBFC), ତେଣୁ Area(ABCD) = Area(EFCD) । (ପ୍ରମାଣିତ)

ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ ୧: ଏକା ଭୂମି ଉପରେ ଦଣ୍ଡାୟମାନ ଏବଂ ଏକା ଉଚ୍ଚତା ବିଶିଷ୍ଟ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରମାନଙ୍କର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସମାନ ।

ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ ୨: ଏକା ଭୂମି ଉପରେ ଏବଂ ଏକା ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାଦ୍ୱୟ ମଧ୍ୟରେ ଅବସ୍ଥିତ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ର ଓ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସମାନ ।

ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ ୩: ଯେକୌଣସି ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ଉଚ୍ଚତା ।

ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ ୪: ସମାନ ସମାନ ଭୂମି ଏବଂ ଏକା ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାଦ୍ୱୟ ମଧ୍ୟରେ ଅବସ୍ଥିତ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରଗୁଡ଼ିକର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସମାନ ।

ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ ୫: ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜ ଓ ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ର ଏକା ଭୂମି ଉପରେ ଏବଂ ଏକା ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାଦ୍ୱୟ ମଧ୍ୟରେ ଅବସ୍ଥିତ ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅର୍ଦ୍ଧେକ ହେବ ।

ଉପପାଦ୍ୟ - ୩୪:

ଏକା ଭୂମି ଉପରେ ଏବଂ ଏକା ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାଦ୍ୱୟ ମଧ୍ୟରେ ଅବସ୍ଥିତ ତ୍ରିଭୁଜଗୁଡ଼ିକର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସମାନ ।

ପ୍ରମାଣ ସଂକ୍ଷେପରେ: ΔABC ଓ ΔDBC ଏକା ଭୂମି BC ଏବଂ ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାଦ୍ୱୟ AD ଓ BC ମଧ୍ୟରେ ଅବସ୍ଥିତ ।

ଅଙ୍କନ: B ଓ C ବିନ୍ଦୁରେ BC ପ୍ରତି ଯଥାକ୍ରମେ BX ଏବଂ CY ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ କରାଗଲା । XBCY ଏକ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ର ।

Area(ΔABC) = 1/2 × Area(XBCY)

Area(ΔDBC) = 1/2 × Area(XBCY)

∴ Area(ΔABC) = Area(ΔDBC) । (ପ୍ରମାଣିତ)

ଉପପାଦ୍ୟ - ୩୫:

ସମାନ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜ ମାନଙ୍କର ଭୂମି ସମାନ ହେଲେ, ସେମାନଙ୍କର ଅନୁରୂପ ଉଚ୍ଚତା ସମାନ ।

ଉପପାଦ୍ୟ - ୩୬:

ଏକା ଭୂମି ଉପରେ ଏବଂ ତାହାର ଏକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଅବସ୍ଥିତ ସମାନ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜ ମାନ ଏକା ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାଦ୍ୱୟ ମଧ୍ୟରେ ଅବସ୍ଥିତ ।

୩. ପାଠ୍ୟପୁସ୍ତକ ଅଭ୍ୟାସ ପ୍ରଶ୍ନାବଳୀର ୧୦୦% ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସମାଧାନ (100% Complete Solved Exercises)

ଅନୁଶୀଳନୀ - ୪ (କ - ବିଭାଗ)

Q1. ତଳଲିଖିତ ଚିତ୍ର ଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଥିରେ ଚିତ୍ରିତ (Shaded) ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅଧା ?

ସମାଧାନ:

ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ, ଯଦି ଏକ ତ୍ରିଭୁଜ ଏବଂ ଏକ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ର ଏକା ଭୂମି ଉପରେ ଏବଂ ଏକା ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାଦ୍ୱୟ ମଧ୍ୟରେ ଅବସ୍ଥିତ ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅଧା ହେବ ।

(i) ଚିତ୍ର (i) ରେ ତ୍ରିଭୁଜର ଭୂମି AB (ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ବାହୁ) ଏବଂ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ E ବିପରୀତ ବାହୁ CD ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ । ତେଣୁ ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଅଧା । (ଉତ୍ତର: ହଁ)

(ii) ଚିତ୍ର (ii) ରେ ତ୍ରିଭୁଜର ଭୂମି CD ର ଏକ ଅଂଶ CE ଅଟେ, ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ବାହୁ ନୁହେଁ । ତେଣୁ ଏହା ଅଧା ନୁହେଁ । (ଉତ୍ତର: ନାହିଁ)

(iii) ଚିତ୍ର (iii) ରେ ତ୍ରିଭୁଜର ଭୂମି AD (ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ପ୍ରସ୍ଥ) ଏବଂ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ E ବିପରୀତ ବାହୁ BC ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ । ତେଣୁ ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଅଧା । (ଉତ୍ତର: ହଁ)

(iv) ଚିତ୍ର (iv) ରେ ତ୍ରିଭୁଜର ଭୂମି ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ବାହୁ ନୁହେଁ । (ଉତ୍ତର: ନାହିଁ)

(v) ଚିତ୍ର (v) ରେ ତ୍ରିଭୁଜର ଭୂମି AB ଏବଂ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ E ବିପରୀତ ବାହୁ CD ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ । ତେଣୁ ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଅଧା । (ଉତ୍ତର: ହଁ)

Q2. ଚିତ୍ର 4.13 ରେ ABCD ଓ DCEX ଦୁଇଟି ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ର, AB = CF; B ଓ X ବିନ୍ଦୁ A ଓ E ର ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ହେଲେ,

(i) ନିମ୍ନଲିଖିତ ଉକ୍ତିଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁ ଗୁଡ଼ିକ ଠିକ୍ ଉକ୍ତି -

(a) ABCD ଓ DCEX କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ୱୟ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ।

(b) ABCD ଓ CFEX କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ୱୟ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ।

(d) DCEX ଓ CFEX କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ୱୟ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ।

ସମାଧାନ:

(a) ଠିକ୍ । କାରଣ ABCD ଏବଂ DCEX ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରଦ୍ୱୟ ଏକା ଭୂମି CD ଉପରେ ଏବଂ ଏକା ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାଦ୍ୱୟ AE ଓ CD ମଧ୍ୟରେ ଅବସ୍ଥିତ ।

(b) ଠିକ୍ । କାରଣ ABCD ର ଭୂମି CD ଏବଂ CFEX ର ଭୂମି CF । ଦତ୍ତ ଅଛି AB = CF ଏବଂ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ବିପରୀତ ବାହୁ ସମାନ ହେତୁ AB = CD । ତେଣୁ CD = CF (ସମାନ ଭୂମି) ଏବଂ ସେମାନେ ଏକା ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାଦ୍ୱୟ ମଧ୍ୟରେ ଅବସ୍ଥିତ ।

(d) ଠିକ୍ । କାରଣ ସେମାନଙ୍କର ଭୂମି CD = CF ଏବଂ ସେମାନେ ଏକା ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାଦ୍ୱୟ ମଧ୍ୟରେ ଅବସ୍ଥିତ ।

(ii) ନିମ୍ନୋକ୍ତ ଉକ୍ତିମାନଙ୍କରେ ଭୁଲ୍ ଥିଲେ ସଂଶୋଧନ କର ।

(a) Area(ΔXDC) = 1/2 Area(ABCD)

(b) Area(ΔXCE) = 1/2 Area(BCFE)

(d) Area(ΔCEX) = Area(ΔCEF)

(e) Area(ABCD) = 2 × Area(ΔCEF)

(f) Area(BCEF) = 2 × Area(ΔDCX)

ସମାଧାନ:

(a) ଠିକ୍ ଉକ୍ତି । (ΔXDC ଏବଂ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ABCD ଏକା ଭୂମି CD ଏବଂ ଏକା ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାଦ୍ୱୟ ମଧ୍ୟରେ ଅବସ୍ଥିତ) ।

(b) ଭୁଲ୍ ଉକ୍ତି । ସଂଶୋଧିତ ଉକ୍ତି: Area(ΔXCE) = 1/2 Area(DCEX) ।

(d) ଠିକ୍ ଉକ୍ତି । (ΔCEX ଏବଂ ΔCEF ଏକା ଭୂମି CE ଉପରେ ଏବଂ ଏକା ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାଦ୍ୱୟ CE ଓ XF ମଧ୍ୟରେ ଅବସ୍ଥିତ) ।

(e) ଠିକ୍ ଉକ୍ତି । (Area(ABCD) = Area(DCEX) ଏବଂ Area(ΔCEF) = 1/2 Area(DCEX) ⇒ Area(ABCD) = 2 × Area(ΔCEF)) ।

(f) ଠିକ୍ ଉକ୍ତି । (Area(BCEF) = Area(ABCD) ଏବଂ Area(ΔDCX) = 1/2 Area(ABCD) ⇒ Area(BCEF) = 2 × Area(ΔDCX)) ।

Q3. ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ AF || BG, AB || DC, BE || CF ଓ AC || DG ।

(a) ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର :

(i) ABCD କ୍ଷେତ୍ର ସହ ............... ଓ ............. କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ୱୟର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସମାନ ।

(ii) ΔABC କ୍ଷେତ୍ର ସହ ..... ଓ ........... କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ୱୟର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସମାନ ।

ସମାଧାନ:

(i) ABCD କ୍ଷେତ୍ର ସହ EBCF ଓ ABGD କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ୱୟର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସମାନ ।

(ii) ΔABC କ୍ଷେତ୍ର ସହ ΔEBC ଓ ΔFBC କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ୱୟର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସମାନ ।

(b) ପ୍ରମାଣ କର ଯେ :

(i) Area(ΔABC) = 1/2 Area(ACGD)

(ii) Area(ΔACD) = 1/2 Area(BCFE)

ସମାଧାନ:

(i) ଦତ୍ତ ଅଛି AC || DG ଏବଂ AD || CG (ଯେହେତୁ AF || BG) ।

ତେଣୁ ACGD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।

ΔABC ଏବଂ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ACGD ଏକା ଭୂମି AC ଉପରେ ଏବଂ ଏକା ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାଦ୍ୱୟ AC ଓ DG ମଧ୍ୟରେ ଅବସ୍ଥିତ ।

∴ Area(ΔABC) = 1/2 Area(ACGD) । (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) ΔACD ଏବଂ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର BCFE କୁ ବିଚାର କରନ୍ତୁ ।

ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର, ତେଣୁ Area(ΔACD) = 1/2 Area(ABCD) ।

କିନ୍ତୁ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ABCD ଏବଂ BCFE ଏକା ଭୂମି BC ଉପରେ ଏବଂ ଏକା ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାଦ୍ୱୟ AD ଓ BC ମଧ୍ୟରେ ଅବସ୍ଥିତ ।

ତେଣୁ, Area(ABCD) = Area(BCFE) ।

∴ Area(ΔACD) = 1/2 Area(BCFE) । (ପ୍ରମାଣିତ)

(i) ΔABC ଓ ΔBCF

(ii) ΔAEB ଓ ସାମାନ୍ତରିକ ABCD

(iii) ΔBCF ଓ BCFE କ୍ଷେତ୍ର,

(iv) ΔDFC ଓ ସାମାନ୍ତରିକ BCFE ଏବଂ

(v) ΔABE ଓ ΔDCF.

ସମାଧାନ:

(i) Area(ΔABC) = Area(ΔBCF) (ଏକା ଭୂମି BC ଏବଂ ଏକା ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାଦ୍ୱୟ AD ଓ BC ମଧ୍ୟରେ ଅବସ୍ଥିତ) ।

(ii) Area(ΔAEB) = 1/4 Area(ABCD) (ଯେହେତୁ E, AD ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ, ତେଣୁ Area(ΔABD) = 1/2 Area(ABCD) ଏବଂ BE ଏକ ମଧ୍ୟମା ହେତୁ Area(ΔAEB) = 1/2 Area(ΔABD) = 1/4 Area(ABCD)) ।

(iii) Area(ΔBCF) = 1/2 Area(BCFE) (F, AC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ହେଲେ BF ହେଉଛି ମଧ୍ୟମା) ।

(iv) Area(ΔDFC) = 1/2 Area(BCFE) ।

(v) Area(ΔABE) = Area(ΔDCF) ।

Q4. ଚିତ୍ର 4.15 (i) ଓ (ii) ରେ ଚିହ୍ନିତ ଅଂଶଦ୍ୱୟର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କାହିଁକି ସମାନ ?

ସମାଧାନ:

ଚିତ୍ର (i) ରେ ଚିହ୍ନିତ ଅଂଶଟି ଏକ ତ୍ରିଭୁଜ ଯାହାର ଭୂମି = 6 ମିଟର ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା = 4 ମିଟର ।

∴ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 1/2 × ଭୂମି × ଉଚ୍ଚତା = 1/2 × 6 × 4 = 12 ବର୍ଗ ମିଟର ।

ଚିତ୍ର (ii) ରେ ଚିହ୍ନିତ ଅଂଶଟି ଏକ ତ୍ରିଭୁଜ ଯାହାର ଭୂମି = 8 ମିଟର ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା = 3 ମିଟର ।

∴ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 1/2 × ଭୂମି × ଉଚ୍ଚତା = 1/2 × 8 × 3 = 12 ବର୍ଗ ମିଟର ।

ଯେହେତୁ ଦୁଇଟିଯାକ ଚିହ୍ନିତ ଅଂଶର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 12 ବର୍ଗ ମିଟର, ତେଣୁ ସେମାନଙ୍କର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସମାନ ।

ଅନୁଶୀଳନୀ - ୪ (ଖ - ବିଭାଗ)

Q5. ଚିତ୍ର 4.16 ରେ ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ର; CX ⊥ AD, BY ⊥ CA ଏବଂ CZ ⊥ BA । ନିମ୍ନଲିଖିତ ଉକ୍ତିମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁ ଉକ୍ତି ଠିକ୍ ? କାରଣ ଦର୍ଶାଅ ।

(i) AD.CX = BZ.CZ

(ii) AD.CX = CY.BY

(iii) BZ.CZ = AC.BY

(iv) BC.CX = AB.CZ

(v) AB.CZ = 2AC.BY

ସମାଧାନ:

ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ, ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଭୂମି × ଉଚ୍ଚତା ।

ଏଠାରେ, Area(ABCD) = AD × CX (ଭୂମି AD ଓ ଅନୁରୂପ ଉଚ୍ଚତା CX)

ଏବଂ Area(ABCD) = AB × CZ (ଭୂମି AB ଓ ଅନୁରୂପ ଉଚ୍ଚତା CZ)

ତେଣୁ, AD × CX = AB × CZ

ଯେହେତୁ AD = BC (ବିପରୀତ ବାହୁ), ତେଣୁ BC × CX = AB × CZ ।

ଏହା ସହିତ, ΔABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 1/2 × AB × CZ = 1/2 × AC × BY

⇒ AB × CZ = AC × BY

ଏହି ସିଦ୍ଧାନ୍ତଗୁଡ଼ିକ ଆଧାରରେ:

(i) ଭୁଲ୍ ।

(ii) ଭୁଲ୍ ।

(iii) ଠିକ୍ (BZ ସ୍ଥାନରେ AB ହେବ, AB.CZ = AC.BY) ।

(iv) ଠିକ୍ । କାରଣ BC.CX = AD.CX = Area(ABCD) ଏବଂ AB.CZ = Area(ABCD) ।

(v) ଭୁଲ୍ ।

Q6. ΔABC ରେ BC ଓ AC ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 16 ସେ.ମି. ଓ 12 ସେ.ମି. । A ରୁ BC ଉପରେ ପତିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 9 ସେ.ମି. ।

(i) ΔABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସ୍ଥିର କର ।

(ii) B ରୁ AC ଉପରେ ପତିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

(i) ଦତ୍ତ ଅଛି, ଭୂମି BC = 16 ସେ.ମି. ଏବଂ ଅନୁରୂପ ଉଚ୍ଚତା h₁ = 9 ସେ.ମି. ।

∴ ΔABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 1/2 × ଭୂମି × ଉଚ୍ଚତା

= 1/2 × 16 × 9 = 72 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।

(ii) ମନେକର B ରୁ AC ଉପରେ ପତିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ h₂ ଅଟେ ।

ଏଠାରେ ଭୂମି AC = 12 ସେ.ମି. ।

∴ ΔABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 1/2 × AC × h₂

⇒ 72 = 1/2 × 12 × h₂

⇒ 72 = 6 × h₂

⇒ h₂ = 72 / 6 = 12 ସେ.ମି. ।

∴ B ରୁ AC ଉପରେ ପତିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 12 ସେ.ମି. ।

Q7. ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରରେ AN ⊥ BC ଏବଂ AM ⊥ CD । BC = 25 ସେ.ମି., AN = 10 ସେ.ମି., CD = 15 ସେ.ମି. ହେଲେ -

(i) AM କେତେ ହେବ ସ୍ଥିର କର ।

(ii) ΔABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସ୍ଥିର କର ।

(iii) ΔADC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସ୍ଥିର କର ।

ସମାଧାନ:

(i) ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ABCD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଭୂମି × ଉଚ୍ଚତା

= BC × AN = 25 × 10 = 250 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।

ପୁନଶ୍ଚ, କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = CD × AM

⇒ 250 = 15 × AM

⇒ AM = 250 / 15 = 50 / 3 = 16.67 ସେ.ମି. ।

(ii) ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣ ଏହାକୁ ଦୁଇଟି ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜରେ ବିଭକ୍ତ କରେ ।

∴ ΔABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 1/2 × Area(ABCD)

= 1/2 × 250 = 125 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।

(iii) ସେହିପରି, ΔADC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 1/2 × Area(ABCD)

= 1/2 × 250 = 125 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।

Q8. ଚିତ୍ର 4.18 ରେ ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ର । PQ || AD, XY || AB । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,

(i) POYB ଓ XOQD କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ୱୟ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ।

(ii) AXYB ଓ APQD କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ୱୟ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ।

(iii) PBCQ ଓ XYCD କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ୱୟ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ।

ସମାଧାନ:

କର୍ଣ୍ଣ AC ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ABCD କୁ ଦୁଇଟି ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜରେ ବିଭକ୍ତ କରେ ।

∴ Area(ΔADC) = Area(ΔABC) ---- (ସମୀକରଣ ୧)

ସେହିପରି, AXOP ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ଏବଂ AO ଏହାର କର୍ଣ୍ଣ ।

∴ Area(ΔAXO) = Area(ΔAPO) ---- (ସମୀକରଣ ୨)

ଏବଂ OYCQ ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ଏବଂ OC ଏହାର କର୍ଣ୍ଣ ।

∴ Area(ΔOQC) = Area(ΔOYC) ---- (ସମୀକରଣ ୩)

(i) ସମୀକରଣ (୧) ରୁ ସମୀକରଣ (୨) ଓ (୩) କୁ ବିୟୋଗ କଲେ:

Area(ΔADC) - Area(ΔAXO) - Area(ΔOQC) = Area(ΔABC) - Area(ΔAPO) - Area(ΔOYC)

⇒ Area(XOQD) = Area(POYB)

∴ POYB ଓ XOQD କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ୱୟ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ । (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) Area(AXYB) = Area(AXOP) + Area(POYB)

Area(APQD) = Area(AXOP) + Area(XOQD)

ଯେହେତୁ Area(POYB) = Area(XOQD),

ତେଣୁ Area(AXYB) = Area(APQD) । (ପ୍ରମାଣିତ)

(iii) Area(PBCQ) = Area(POYB) + Area(OYCQ)

Area(XYCD) = Area(XOQD) + Area(OYCQ)

ଯେହେତୁ Area(POYB) = Area(XOQD),

ତେଣୁ Area(PBCQ) = Area(XYCD) । (ପ୍ରମାଣିତ)

Q9. ଦତ୍ତ ମାନ ଅନୁଯାୟୀ ନିମ୍ନଲିଖିତ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରଗୁଡ଼ିକର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର - ଯାହାର,

(i) ଉଚ୍ଚତା 5 ସେ.ମି. ଓ ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 10 ସେ.ମି.,

(ii) ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 18 ମି. ଓ ବିପରୀତ ସମାନ୍ତର ବାହୁଠାରୁ ତାହାର ଦୂରତା 7 ସେ.ମି. (ମିଟର),

(iii) ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 120 ଡେସି.ମି. ଓ ତାହାର ବିପରୀତ ଏକ କୌଣସିକ ବିନ୍ଦୁରୁ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବ 22 ଡେସି.ମି. ।

ସମାଧାନ:

(i) କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଭୂମି × ଉଚ୍ଚତା = 10 × 5 = 50 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।

(ii) କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ବାହୁ × ଦୂରତା (ଉଚ୍ଚତା) = 18 × 7 = 126 ବର୍ଗ ମିଟର ।

(iii) କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଭୂମି × ଲମ୍ବ (ଉଚ୍ଚତା) = 120 × 22 = 2640 ବର୍ଗ ଡେସି.ମି. ।

Q10. ଚିତ୍ର 4.19 ରେ AP ⊥ BC, CQ ⊥ AB ଏବଂ XBCY ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ର; ନିମ୍ନ ଦତ୍ତ ମାନ ଅନୁଯାୟୀ ΔABC ଓ XBCY ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ଏବଂ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, ΔABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ, XBCY ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅର୍ଦ୍ଧେକ ।

(i) BC = 16 ସେ.ମି., AP = 6 ସେ.ମି.

(ii) AB = 12 ସେ.ମି., CQ = 8 ସେ.ମି.

ସମାଧାନ:

(i) ΔABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 1/2 × BC × AP = 1/2 × 16 × 6 = 48 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।

XBCY ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = BC × AP = 16 × 6 = 96 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।

ଏଠାରେ, 48 = 1/2 × 96

∴ ΔABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 1/2 × Area(XBCY) । (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) ΔABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 1/2 × AB × CQ = 1/2 × 12 × 8 = 48 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।

XBCY ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = AB × CQ = 12 × 8 = 96 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।

ଏଠାରେ, 48 = 1/2 × 96

∴ ΔABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 1/2 × Area(XBCY) । (ପ୍ରମାଣିତ)

ଅନୁଶୀଳନୀ - ୪ (ଗ - ବିଭାଗ)

Q11. ଗୋଟିଏ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର ଓ ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ ଏକା ଭୂମି ଉପରେ ଓ ତାହାର ଏକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଅବସ୍ଥିତ; ସେମାନଙ୍କର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସମାନ; ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ସେମାନେ ଏକ ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାଦ୍ୱୟ ମଧ୍ୟରେ ଅବସ୍ଥିତ ।

ସମାଧାନ:

ଦତ୍ତ: ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର ABCD ଏବଂ ରମ୍ବସ ABEF ଏକା ଭୂମି AB ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ ।

Area(ABCD) = Area(ABEF)

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: ସେମାନେ ଏକା ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାଦ୍ୱୟ ମଧ୍ୟରେ ଅବସ୍ଥିତ ।

ପ୍ରମାଣ:

ମନେକର ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ଉଚ୍ଚତା h₁ ଏବଂ ରମ୍ବସର ଉଚ୍ଚତା h₂ ।

ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = AB × h₁

ରମ୍ବସର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = AB × h₂

ଯେହେତୁ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସମାନ,

AB × h₁ = AB × h₂

⇒ h₁ = h₂

ଯେହେତୁ ଦୁଇଟିଯାକ ଚିତ୍ରର ଭୂମି ଏକା ସରଳରେଖା AB ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ଉଚ୍ଚତା ସମାନ, ତେଣୁ ସେମାନଙ୍କର ବିପରୀତ ବାହୁଗୁଡ଼ିକ (CD ଏବଂ EF) ଏକା ସରଳରେଖାରେ ରହିବେ ଯାହା AB ସହ ସମାନ୍ତର ।

∴ ସେମାନେ ଏକ ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାଦ୍ୱୟ ମଧ୍ୟରେ ଅବସ୍ଥିତ । (ପ୍ରମାଣିତ)

Q12. ΔABC ର BC ଉପରିସ୍ଥ D ଏପରି ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି BD = 1/2 DC । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ΔABD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 1/3 × ΔABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।

ସମାଧାନ:

ଦତ୍ତ: BD = 1/2 DC ⇒ DC = 2BD

ବର୍ତ୍ତମାନ, BC = BD + DC = BD + 2BD = 3BD

⇒ BD = 1/3 BC

ମନେକର A ରୁ BC ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବ (ଉଚ୍ଚତା) h ଅଟେ ।

ΔABD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 1/2 × BD × h

ΔABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 1/2 × BC × h

ବର୍ତ୍ତମାନ, Area(ΔABD) = 1/2 × (1/3 BC) × h

= 1/3 × (1/2 × BC × h)

= 1/3 × Area(ΔABC)

∴ ΔABD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 1/3 × ΔABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ । (ପ୍ରମାଣିତ)

Q13. ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, କୌଣସି ତ୍ରିଭୁଜର ମଧ୍ୟମା ତାହାକୁ ଦୁଇ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜରେ ବିଭକ୍ତ କରେ ।

ସମାଧାନ:

ଦତ୍ତ: ΔABC ର AD ଏକ ମଧ୍ୟମା । ତେଣୁ D ହେଉଛି BC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ, ଅର୍ଥାତ୍ BD = CD ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: Area(ΔABD) = Area(ΔACD)

ଅଙ୍କନ: A ବିନ୍ଦୁରୁ BC ପ୍ରତି AL ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ କରାଗଲା । AL ହେଉଛି ଉଭୟ ΔABD ଏବଂ ΔACD ର ଉଚ୍ଚତା ।

ପ୍ରମାଣ:

Area(ΔABD) = 1/2 × BD × AL

Area(ΔACD) = 1/2 × CD × AL

ଯେହେତୁ BD = CD,

ତେଣୁ Area(ΔABD) = 1/2 × BD × AL = Area(ΔACD) ।

∴ ତ୍ରିଭୁଜର ମଧ୍ୟମା ତାହାକୁ ଦୁଇ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜରେ ବିଭକ୍ତ କରେ । (ପ୍ରମାଣିତ)

Q14. ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣ କ୍ଷେତ୍ରଟିକୁ ଦୁଇଗୋଟି ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜରେ ବିଭକ୍ତ କରେ ।

ସମାଧାନ:

ଦତ୍ତ: ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ଏବଂ AC ଏହାର ଏକ କର୍ଣ୍ଣ ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: Area(ΔABC) = Area(ΔADC)

ପ୍ରମାଣ:

ΔABC ଏବଂ ΔADC ମଧ୍ୟରେ:

AB = CD (ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ବିପରୀତ ବାହୁ)

BC = AD (ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ବିପରୀତ ବାହୁ)

AC = AC (ସାଧାରଣ ବାହୁ)

∴ ΔABC ≅ ΔADC (ବା-ବା-ବା ସର୍ବସମତା)

ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ ସର୍ବସମ ତ୍ରିଭୁଜମାନଙ୍କର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସମାନ ହୋଇଥାଏ ।

∴ Area(ΔABC) = Area(ΔADC) । (ପ୍ରମାଣିତ)

Q15. ଚିତ୍ର 4.20 ରେ ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ର । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,

(i) ADQP ଓ BCQP କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ୱୟ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ।

(ii) ΔAOD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 1/4 ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।

ସମାଧାନ:

(i) ADQP ଏବଂ BCQP କୁ ବିଚାର କରନ୍ତୁ ।

ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ହେତୁ AB || CD ।

ADQP ଏବଂ BCQP ର ଭୂମି ଯଥାକ୍ରମେ AD ଏବଂ BC ଅଟନ୍ତି, ଯାହା ସମାନ (AD = BC) ।

ସେମାନେ ଏକା ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାଦ୍ୱୟ AB ଓ CD ମଧ୍ୟରେ ଅବସ୍ଥିତ ।

∴ Area(ADQP) = Area(BCQP) । (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ AC ଏବଂ BD ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି ।

ତେଣୁ, O ହେଉଛି BD ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।

ΔABD ରେ, AO ଏକ ମଧ୍ୟମା ।

∴ Area(ΔAOD) = 1/2 Area(ΔABD) (ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁଯାୟୀ)

କିନ୍ତୁ କର୍ଣ୍ଣ BD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ABCD କୁ ଦୁଇଟି ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜରେ ବିଭକ୍ତ କରେ ।

∴ Area(ΔABD) = 1/2 Area(ABCD)

ତେଣୁ, Area(ΔAOD) = 1/2 × (1/2 Area(ABCD)) = 1/4 Area(ABCD) । (ପ୍ରମାଣିତ)

Q16. ABCD ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍; ଏହାର AB || DC; ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,

(i) ΔADC ଓ ΔBDC ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ।

(ii) ΔADB ଓ ΔACB ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ।

ସମାଧାନ:

(i) ΔADC ଏବଂ ΔBDC ଏକା ଭୂମି DC ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ ।

ସେମାନେ ଏକା ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାଦ୍ୱୟ AB ଓ DC ମଧ୍ୟରେ ଅବସ୍ଥିତ (ଯେହେତୁ AB || DC) ।

∴ ଉପପାଦ୍ୟ - ୩୪ ଅନୁଯାୟୀ, Area(ΔADC) = Area(ΔBDC) । (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) ΔADB ଏବଂ ΔACB ଏକା ଭୂମି AB ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ ।

ସେମାନେ ଏକା ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାଦ୍ୱୟ AB ଓ DC ମଧ୍ୟରେ ଅବସ୍ଥିତ ।

∴ ଉପପାଦ୍ୟ - ୩୪ ଅନୁଯାୟୀ, Area(ΔADB) = Area(ΔACB) । (ପ୍ରମାଣିତ)

Q17. ΔABC ର E ଓ F ଯଥାକ୍ରମେ AB ଓ AC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।

(i) ଦର୍ଶାଅ ଯେ, EBCF ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ ।

(ii) ΔABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 50 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ହେଲେ, ଦର୍ଶାଅ ଯେ, EBCF ଟ୍ରାପିଜିୟମର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 37.5 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।

ସମାଧାନ:

(i) ΔABC ରେ, E ଓ F ଯଥାକ୍ରମେ AB ଓ AC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।

ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁଯାୟୀ, EF || BC ଏବଂ EF = 1/2 BC ।

ଯେହେତୁ ଚତୁର୍ଭୁଜ EBCF ର ଗୋଟିଏ ଯୋଡ଼ା ବିପରୀତ ବାହୁ ସମାନ୍ତର (EF || BC), ତେଣୁ EBCF ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ । (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) ମନେକର A ରୁ BC ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ h ।

ଯେହେତୁ E ଓ F ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ, ତେଣୁ ΔAEF ର ଉଚ୍ଚତା h/2 ଏବଂ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ EBCF ର ଉଚ୍ଚତା ମଧ୍ୟ h/2 ହେବ ।

Area(ΔAEF) = 1/2 × EF × (h/2)

= 1/2 × (1/2 BC) × (h/2)

= 1/4 × (1/2 × BC × h)

= 1/4 × Area(ΔABC)

ଦତ୍ତ ଅଛି, Area(ΔABC) = 50 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।

∴ Area(ΔAEF) = 1/4 × 50 = 12.5 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।

ବର୍ତ୍ତମାନ, ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ EBCF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Area(ΔABC) - Area(ΔAEF)

= 50 - 12.5 = 37.5 ବର୍ଗ ସେ.ମି. । (ପ୍ରମାଣିତ)

Q18. ΔABC ର E ଓ F ଯଥାକ୍ରମେ AB ଓ AC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ । CE ଓ BF ର ଛେଦବିନ୍ଦୁ O ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ΔOBC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = AEOF ଚତୁର୍ଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।

ସମାଧାନ:

ଯେହେତୁ E ଓ F ଯଥାକ୍ରମେ AB ଓ AC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ, ତେଣୁ CE ଏବଂ BF ହେଉଛନ୍ତି ΔABC ର ଦୁଇଟି ମଧ୍ୟମା ।

ମଧ୍ୟମା CE ତ୍ରିଭୁଜକୁ ଦୁଇଟି ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜରେ ବିଭକ୍ତ କରେ ।

∴ Area(ΔAEC) = 1/2 Area(ΔABC) ---- (ସମୀକରଣ ୧)

ସେହିପରି, ମଧ୍ୟମା BF ହେତୁ:

Area(ΔABF) = 1/2 Area(ΔABC) ---- (ସମୀକରଣ ୨)

ସମୀକରଣ (୧) ଓ (୨) ରୁ ଆମେ ପାଉ:

Area(ΔAEC) = Area(ΔABF)

⇒ Area(AEOF) + Area(ΔOCF) = Area(AEOF) + Area(ΔOBE) (ଏହା ପ୍ରୟୋଗ କରିବା ପରିବର୍ତ୍ତେ)

ଅନ୍ୟ ପକ୍ଷରେ, Area(ΔBEC) = 1/2 Area(ΔABC)

ଏବଂ Area(ΔABF) = 1/2 Area(ΔABC)

⇒ Area(ΔOBC) + Area(ΔOBE) = Area(AEOF) + Area(ΔOBE)

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ Area(ΔOBE) କୁ ବିୟୋଗ କଲେ:

Area(ΔOBC) = Area(AEOF)

∴ ΔOBC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = AEOF ଚତୁର୍ଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ । (ପ୍ରମାଣିତ)

Q19. ଦର୍ଶାଅ ଯେ ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରକୁ ଚାରିଗୋଟି ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜରେ ପରିଣତ କରେ ।

ସମାଧାନ:

ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ AC ଏବଂ BD ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।

ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି ।

ତେଣୁ, O ହେଉଛି AC ଏବଂ BD ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।

ΔABC ରେ, BO ଏକ ମଧ୍ୟମା ।

∴ Area(ΔAOB) = Area(ΔBOC) ---- (ସମୀକରଣ ୧)

ΔBCD ରେ, CO ଏକ ମଧ୍ୟମା ।

∴ Area(ΔBOC) = Area(ΔCOD) ---- (ସମୀକରଣ ୨)

ΔACD ରେ, DO ଏକ ମଧ୍ୟମା ।

∴ Area(ΔCOD) = Area(ΔAOD) ---- (ସମୀକରଣ ୩)

ସମୀକରଣ (୧), (୨) ଏବଂ (୩) ରୁ ଆମେ ପାଉ:

Area(ΔAOB) = Area(ΔBOC) = Area(ΔCOD) = Area(ΔAOD)

∴ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ଏହାକୁ ଚାରିଗୋଟି ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜରେ ପରିଣତ କରେ । (ପ୍ରମାଣିତ)

Q20. କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ଉପପାଦ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗ କରି ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,

(i) ତ୍ରିଭୁଜର କୌଣସି ଦୁଇ ବାହୁର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁକୁ ଯୋଗ କରୁଥିବା ସରଳରେଖା ତୃତୀୟ ବାହୁ ସଂଗେ ସମାନ୍ତର ।

(ii) ଟ୍ରାପିଜିୟମର ଅସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁକୁ ଯୋଗ କରୁଥିବା ସରଳରେଖା ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟ ସହିତ ସମାନ୍ତର ।

ସମାଧାନ:

(i) ଦତ୍ତ: ΔABC ର AB ଓ AC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଯଥାକ୍ରମେ D ଓ E ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: DE || BC

ପ୍ରମାଣ:

B, E ଏବଂ C, D କୁ ଯୋଗ କରାଗଲା ।

ଯେହେତୁ D, AB ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ, ତେଣୁ CD ହେଉଛି ΔABC ର ମଧ୍ୟମା ।

∴ Area(ΔADC) = Area(ΔBDC) = 1/2 Area(ΔABC)

ସେହିପରି, E, AC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ହେତୁ BE ହେଉଛି ΔABC ର ମଧ୍ୟମା ।

∴ Area(ΔAEB) = Area(ΔCEB) = 1/2 Area(ΔABC)

ବର୍ତ୍ତମାନ, Area(ΔADE) = 1/2 Area(ΔADC) (ଯେହେତୁ E, AC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ, DE ହେଉଛି ΔADC ର ମଧ୍ୟମା)

= 1/2 × (1/2 Area(ΔABC)) = 1/4 Area(ΔABC)

ସେହିପରି, Area(ΔADE) = 1/2 Area(ΔAEB) = 1/4 Area(ΔABC)

ବର୍ତ୍ତମାନ, Area(ΔBDE) = Area(ΔAEB) - Area(ΔADE) = 1/2 Area(ΔABC) - 1/4 Area(ΔABC) = 1/4 Area(ΔABC)

Area(ΔCDE) = Area(ΔADC) - Area(ΔADE) = 1/2 Area(ΔABC) - 1/4 Area(ΔABC) = 1/4 Area(ΔABC)

∴ Area(ΔBDE) = Area(ΔCDE)

ଏହି ଦୁଇଟି ତ୍ରିଭୁଜ ଏକା ଭୂମି DE ଉପରେ ଏବଂ DE ର ଏକା ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଅବସ୍ଥିତ ।

∴ ଉପପାଦ୍ୟ - ୩୬ ଅନୁଯାୟୀ, DE || BC । (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) ଦତ୍ତ: ABCD ଟ୍ରାପିଜିୟମର AB || DC । AD ଓ BC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଯଥାକ୍ରମେ E ଓ F ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: EF || AB || DC

ପ୍ରମାଣ:

DF କୁ ଯୋଗ କରି ଏହାକୁ ବର୍ଦ୍ଧିତ କରାଗଲା ଯାହା ବର୍ଦ୍ଧିତ AB କୁ G ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରେ ।

ΔDFC ଏବଂ ΔGFB ମଧ୍ୟରେ:

CF = BF (F, BC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ)

m∠DFC = m∠GFB (ପ୍ରତୀପ କୋଣ)

m∠FCD = m∠FBG (ଏକାନ୍ତର କୋଣ, DC || AB)

∴ ΔDFC ≅ ΔGFB (କୋ-ବା-କୋ ସର୍ବସମତା)

⇒ DF = GF (F ହେଉଛି DG ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ) ଏବଂ Area(ΔDFC) = Area(ΔGFB)

ବର୍ତ୍ତମାନ, ΔADG ରେ, E ହେଉଛି AD ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଏବଂ F ହେଉଛି DG ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।

ପୂର୍ବ ପ୍ରମାଣିତ (i) ଅନୁଯାୟୀ, EF || AG

⇒ EF || AB

ଯେହେତୁ AB || DC, ତେଣୁ EF || AB || DC । (ପ୍ରମାଣିତ)

Q21. P, ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ΔABP ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + ΔCDP ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 1/2 ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।

ସମାଧାନ:

ଅଙ୍କନ: P ବିନ୍ଦୁ ଦେଇ AB ସହ ସମାନ୍ତର କରି EF ସରଳରେଖା ଅଙ୍କନ କରାଗଲା, ଯାହା AD କୁ E ଏବଂ BC କୁ F ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରେ ।

ପ୍ରମାଣ:

ଯେହେତୁ EF || AB ଏବଂ AD || BC, ତେଣୁ ABFE ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।

ΔABP ଏବଂ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ABFE ଏକା ଭୂମି AB ଉପରେ ଏବଂ ଏକା ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାଦ୍ୱୟ AB ଓ EF ମଧ୍ୟରେ ଅବସ୍ଥିତ ।

∴ Area(ΔABP) = 1/2 Area(ABFE) ---- (ସମୀକରଣ ୧)

ସେହିପରି, EFCD ମଧ୍ୟ ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।

ΔCDP ଏବଂ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର EFCD ଏକା ଭୂମି CD ଉପରେ ଏବଂ ଏକା ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାଦ୍ୱୟ CD ଓ EF ମଧ୍ୟରେ ଅବସ୍ଥିତ ।

∴ Area(ΔCDP) = 1/2 Area(EFCD) ---- (ସମୀକରଣ ୨)

ସମୀକରଣ (୧) ଓ (୨) କୁ ଯୋଗ କଲେ:

Area(ΔABP) + Area(ΔCDP) = 1/2 Area(ABFE) + 1/2 Area(EFCD)

= 1/2 [Area(ABFE) + Area(EFCD)]

= 1/2 Area(ABCD)

∴ ΔABP ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + ΔCDP ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 1/2 ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ । (ପ୍ରମାଣିତ)

Q22. ଚିତ୍ର 4.21 ରେ ଥିବା ΔABC ରେ AB = AC; BC ଉପରିସ୍ଥ P ଯେକୌଣସି ଏକ ବିନ୍ଦୁ । PX ⊥ AB, PY ⊥ AC ଏବଂ CQ ⊥ AB ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, PX + PY = CQ ।

ସମାଧାନ:

ଅଙ୍କନ: A ଓ P କୁ ଯୋଗ କରାଗଲା ।

ପ୍ରମାଣ:

ΔABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ΔABP ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + ΔACP ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ

ଆମେ ଜାଣୁ, ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 1/2 × ଭୂମି × ଉଚ୍ଚତା

∴ Area(ΔABP) = 1/2 × AB × PX (ଯେହେତୁ PX ⊥ AB)

Area(ΔACP) = 1/2 × AC × PY (ଯେହେତୁ PY ⊥ AC)

Area(ΔABC) = 1/2 × AB × CQ (ଯେହେତୁ CQ ⊥ AB)

ବର୍ତ୍ତମାନ, 1/2 × AB × CQ = 1/2 × AB × PX + 1/2 × AC × PY

ଯେହେତୁ ଦତ୍ତ ଅଛି AB = AC, ତେଣୁ AC ସ୍ଥାନରେ AB ଲେଖିଲେ:

1/2 × AB × CQ = 1/2 × AB × PX + 1/2 × AB × PY

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 1/2 × AB କୁ କାଟିଦେଲେ:

CQ = PX + PY

ଅର୍ଥାତ୍, PX + PY = CQ । (ପ୍ରମାଣିତ)

Q23. ΔABC ସମବାହୁ; O ଏହାର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଏକ ବିନ୍ଦୁ; OX, OY ଓ OZ ଯଥାକ୍ରମେ Δ ର ବାହୁମାନଙ୍କ ପ୍ରତି ଲମ୍ବ; ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, OX + OY + OZ = ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତା ।

ସମାଧାନ:

ଦତ୍ତ: ΔABC ଏକ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ । ତେଣୁ AB = BC = CA = a (ମନେକର) ।

O ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ଏବଂ OX ⊥ BC, OY ⊥ AC, OZ ⊥ AB ।

ମନେକର ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତା h ଅଟେ ।

∴ ΔABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 1/2 × a × h

ଅଙ୍କନ: OA, OB ଏବଂ OC କୁ ଯୋଗ କରାଗଲା ।

ପ୍ରମାଣ:

Area(ΔABC) = Area(ΔOBC) + Area(ΔOCA) + Area(ΔOAB)

⇒ 1/2 × a × h = (1/2 × BC × OX) + (1/2 × CA × OY) + (1/2 × AB × OZ)

⇒ 1/2 × a × h = (1/2 × a × OX) + (1/2 × a × OY) + (1/2 × a × OZ)

⇒ 1/2 × a × h = 1/2 × a × (OX + OY + OZ)

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 1/2 × a କୁ କାଟିଦେଲେ:

h = OX + OY + OZ

∴ OX + OY + OZ = ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତା । (ପ୍ରମାଣିତ)

Q24. ଦର୍ଶାଅ ଯେ, ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ, ଏହାର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଗୁଣଫଳର ଅର୍ଦ୍ଧେକ ।

ସମାଧାନ:

ଦତ୍ତ: ABCD ଏକ ରମ୍ବସ ଯାହାର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ AC ଏବଂ BD ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।

ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ ରମ୍ବସର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମକୋଣରେ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି ।

ତେଣୁ, AC ⊥ BD ଏବଂ OB = OD = 1/2 BD ।

ପ୍ରମାଣ:

ରମ୍ବସ ABCD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Area(ΔABC) + Area(ΔADC)

= (1/2 × AC × OB) + (1/2 × AC × OD)

= 1/2 × AC × (OB + OD)

ଯେହେତୁ OB + OD = BD,

∴ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 1/2 × AC × BD

∴ ରମ୍ବସର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 1/2 × କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଗୁଣଫଳ । (ପ୍ରମାଣିତ)

Q25. ΔABC ର AD ମଧ୍ୟମା ଉପରେ X ଯେ କୌଣସି ଏକ ବିନ୍ଦୁ ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ΔABX ଓ ΔACX ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ।

ସମାଧାନ:

ଦତ୍ତ: ΔABC ର AD ଏକ ମଧ୍ୟମା ଏବଂ X, AD ଉପରେ ଏକ ବିନ୍ଦୁ ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: Area(ΔABX) = Area(ΔACX)

ପ୍ରମାଣ:

ଯେହେତୁ AD, ΔABC ର ମଧ୍ୟମା,

∴ Area(ΔABD) = Area(ΔACD) ---- (ସମୀକରଣ ୧)

ପୁନଶ୍ଚ, ΔXBC ରେ, XD ହେଉଛି ମଧ୍ୟମା (କାରଣ D ହେଉଛି BC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ) ।

∴ Area(ΔXBD) = Area(ΔXCD) ---- (ସମୀକରଣ ୨)

ସମୀକରଣ (୧) ରୁ ସମୀକରଣ (୨) କୁ ବିୟୋଗ କଲେ:

Area(ΔABD) - Area(ΔXBD) = Area(ΔACD) - Area(ΔXCD)

⇒ Area(ΔABX) = Area(ΔACX)

∴ ΔABX ଓ ΔACX ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ । (ପ୍ରମାଣିତ)

Q26. ΔABC ର BC ବାହୁ ଉପରେ P କୌଣସି ଏକ ବିନ୍ଦୁ; AP ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ X ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ΔXBC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 1/2 × (ΔABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ) ।

ସମାଧାନ:

ଅଙ୍କନ: BX ଏବଂ CX କୁ ଯୋଗ କରାଗଲା ।

ପ୍ରମାଣ:

ΔABP ରେ, BX ହେଉଛି ମଧ୍ୟମା (କାରଣ X, AP ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ) ।

∴ Area(ΔBPX) = 1/2 Area(ΔABP) ---- (ସମୀକରଣ ୧)

ΔACP ରେ, CX ହେଉଛି ମଧ୍ୟମା (କାରଣ X, AP ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ) ।

∴ Area(ΔCPX) = 1/2 Area(ΔACP) ---- (ସମୀକରଣ ୨)

ବର୍ତ୍ତମାନ, Area(ΔXBC) = Area(ΔBPX) + Area(ΔCPX)

= 1/2 Area(ΔABP) + 1/2 Area(ΔACP)

= 1/2 [Area(ΔABP) + Area(ΔACP)]

= 1/2 Area(ΔABC)

∴ ΔXBC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 1/2 × (ΔABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ) । (ପ୍ରମାଣିତ)

Q27. ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ର; P ଓ Q ଯଥାକ୍ରମେ AB ଓ DC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, PBQD କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅଧା ।

ସମାଧାନ:

ଦତ୍ତ: ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର । P ଓ Q ଯଥାକ୍ରମେ AB ଓ DC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: Area(PBQD) = 1/2 Area(ABCD)

ପ୍ରମାଣ:

ଯେହେତୁ ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର, ତେଣୁ AB || CD ଏବଂ AB = CD ।

P, AB ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ହେତୁ PB = 1/2 AB ।

Q, CD ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ହେତୁ DQ = 1/2 CD ।

ଯେହେତୁ AB = CD, ତେଣୁ PB = DQ ।

ପୁନଶ୍ଚ, PB || DQ (ଯେହେତୁ AB || CD) ।

ତେଣୁ, PBQD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।

ମନେକର ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ABCD ର ଉଚ୍ଚତା h ଅଟେ ।

Area(ABCD) = AB × h

Area(PBQD) = PB × h = (1/2 AB) × h = 1/2 (AB × h) = 1/2 Area(ABCD)

∴ PBQD କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅଧା । (ପ୍ରମାଣିତ)

Q28. ପ୍ରମାଣ କର ଯେ କୌଣସି ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁମାନଙ୍କର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଗୁଡ଼ିକୁ ଯୋଗ କରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡ ତ୍ରୟ ତ୍ରିଭୁଜକୁ ଚାରୋଟି ସମାନ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜରେ ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତି ।

ସମାଧାନ:

ଦତ୍ତ: ΔABC ର BC, CA ଏବଂ AB ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଯଥାକ୍ରମେ D, E ଏବଂ F ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: Area(ΔAFE) = Area(ΔFBD) = Area(ΔEDC) = Area(ΔDEF)

ପ୍ରମାଣ:

ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁଯାୟୀ, FE || BC ଏବଂ FE = 1/2 BC = BD = CD ।

ତେଣୁ, BDFE ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।

କର୍ଣ୍ଣ FD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର BDFE କୁ ଦୁଇଟି ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜରେ ବିଭକ୍ତ କରେ ।

∴ Area(ΔFBD) = Area(ΔDEF) ---- (ସମୀକରଣ ୧)

ସେହିପରି, CDEF ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ଏବଂ ED ଏହାର କର୍ଣ୍ଣ ।

∴ Area(ΔEDC) = Area(ΔDEF) ---- (ସମୀକରଣ ୨)

ଏବଂ AFDE ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ଏବଂ FE ଏହାର କର୍ଣ୍ଣ ।

∴ Area(ΔAFE) = Area(ΔDEF) ---- (ସମୀକରଣ ୩)

ସମୀକରଣ (୧), (୨) ଏବଂ (୩) ରୁ ଆମେ ପାଉ:

Area(ΔAFE) = Area(ΔFBD) = Area(ΔEDC) = Area(ΔDEF)

∴ ରେଖାଖଣ୍ଡ ତ୍ରୟ ତ୍ରିଭୁଜକୁ ଚାରୋଟି ସମାନ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜରେ ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତି । (ପ୍ରମାଣିତ)

Q29. ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜର AC ଓ BD କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି; AO = CO ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ΔABD ଓ ΔBCD ଦ୍ୱୟ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ।

ସମାଧାନ:

ଦତ୍ତ: ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜର AO = CO ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: Area(ΔABD) = Area(ΔBCD)

ପ୍ରମାଣ:

ΔABC କୁ ବିଚାର କରନ୍ତୁ । O ହେଉଛି AC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ (ଯେହେତୁ AO = CO) ।

ତେଣୁ, BO ହେଉଛି ΔABC ର ମଧ୍ୟମା ।

∴ Area(ΔAOB) = Area(ΔCOB) ---- (ସମୀକରଣ ୧)

ସେହିପରି, ΔADC ରେ, DO ହେଉଛି ମଧ୍ୟମା (ଯେହେତୁ AO = CO) ।

∴ Area(ΔAOD) = Area(ΔCOD) ---- (ସମୀକରଣ ୨)

ସମୀକରଣ (୧) ଓ (୨) କୁ ଯୋଗ କଲେ:

Area(ΔAOB) + Area(ΔAOD) = Area(ΔCOB) + Area(ΔCOD)

⇒ Area(ΔABD) = Area(ΔBCD)

∴ ΔABD ଓ ΔBCD ଦ୍ୱୟ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ । (ପ୍ରମାଣିତ)

Q30. D, E ଓ F ଯଥାକ୍ରମେ ΔABC ର BC, CA ଓ AB ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ । ଦର୍ଶାଅ ଯେ,

(i) FDCE ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ଏବଂ

(ii) FDCE ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 1/2 × ΔABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।

ସମାଧାନ:

(i) ΔABC ରେ, F ଓ E ଯଥାକ୍ରମେ AB ଓ AC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।

∴ FE || BC ⇒ FE || DC

ସେହିପରି, F ଓ D ଯଥାକ୍ରମେ AB ଓ BC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।

∴ FD || AC ⇒ FD || EC

ଯେହେତୁ ଚତୁର୍ଭୁଜ FDCE ର ବିପରୀତ ବାହୁଗୁଡ଼ିକ ପରସ୍ପର ସମାନ୍ତର, ତେଣୁ FDCE ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର । (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) ପ୍ରଶ୍ନ ୨୮ ର ପ୍ରମାଣ ଅନୁଯାୟୀ, ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ ଯୋଗ କରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡଗୁଡ଼ିକ ΔABC କୁ ଚାରୋଟି ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜରେ ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତି ।

∴ Area(ΔDEF) = Area(ΔEDC) = 1/4 Area(ΔABC)

ବର୍ତ୍ତମାନ, ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର FDCE ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Area(ΔDEF) + Area(ΔEDC)

= 1/4 Area(ΔABC) + 1/4 Area(ΔABC)

= 2/4 Area(ΔABC)

= 1/2 Area(ΔABC)

∴ FDCE ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 1/2 × ΔABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ । (ପ୍ରମାଣିତ)

୪. ବୋର୍ଡ ପରୀକ୍ଷା ମାଷ୍ଟ୍ରି ଟିପ୍ସ ଓ ସାଧାରଣ ଭୁଲ୍ (Board Exam Tips & Pitfalls)

୪.୧ ପରୀକ୍ଷା ଉପଯୋଗୀ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ଟିପ୍ସ (Exam Mastery Tips):

ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ: ଜ୍ୟାମିତିର ଯେକୌଣସି ପ୍ରମାଣ କରିବା ସମୟରେ ପେନ୍ସିଲ୍ ଏବଂ ସ୍କେଲ୍ ସାହାଯ୍ୟରେ ସ୍ପଷ୍ଟ ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କରନ୍ତୁ । ଚିତ୍ର ବିନା ପ୍ରମାଣ ଅସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଏବଂ ଏଥିପାଇଁ ନମ୍ବର କଟିପାରେ ।

ଦତ୍ତ, ପ୍ରାମାଣ୍ୟ, ଅଙ୍କନ ଓ ପ୍ରମାଣ: ପ୍ରତ୍ୟେକ ଦୀର୍ଘ ପ୍ରଶ୍ନର ସମାଧାନକୁ ଏହି ଚାରୋଟି ସୋପାନରେ ଲେଖନ୍ତୁ । ଏହା ପରୀକ୍ଷକଙ୍କ ଉପରେ ଭଲ ପ୍ରଭାବ ପକାଇଥାଏ ।

ସୂତ୍ରର ଉଲ୍ଲେଖ: ଗାଣିତିକ ସମସ୍ୟାର ସମାଧାନ ସମୟରେ ବ୍ୟବହୃତ ସୂତ୍ର (ଯଥା: ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 1/2 × ଭୂମି × ଉଚ୍ଚତା) କୁ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ସ୍ପଷ୍ଟ ଭାବରେ ଲେଖନ୍ତୁ ।

୪.୨ ସାଧାରଣ ଭୁଲ୍ (Common Student Pitfalls):

ଏକକ (Units) ର ଭୁଲ୍ ବ୍ୟବହାର: କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସର୍ବଦା ବର୍ଗ ଏକକ (sq. cm / sq. m) ରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଏ । ଅନେକ ସମୟରେ ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀମାନେ କେବଳ ସେ.ମି. ବା ମି. ଲେଖିଦିଅନ୍ତି, ଯାହା ଭୁଲ୍ ।

ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖା ଚିହ୍ନଟରେ ଭୁଲ୍: ଦୁଇଟି ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସମାନ ବୋଲି ଦର୍ଶାଇବା ପାଇଁ ସେମାନେ ଏକା ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖା ମଧ୍ୟରେ ଅଛନ୍ତି କି ନାହିଁ ତାହା ଯାଞ୍ଚ କରିବା ଜରୁରୀ । କେବଳ ଭୂମି ସମାନ ହେଲେ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସମାନ ହୁଏନାହିଁ ।

ମଧ୍ୟମା ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ଭ୍ରମ: ମନେରଖନ୍ତୁ, ତ୍ରିଭୁଜର ମଧ୍ୟମା ତ୍ରିଭୁଜକୁ ଦୁଇଟି ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜରେ ବିଭକ୍ତ କରେ, ମାତ୍ର ସେମାନେ ସର୍ବସମ (Congruent) ନହୋଇ ମଧ୍ୟ ପାରନ୍ତି ।

(ନୋଟ୍ସ ପ୍ରସ୍ତୁତି: ଉତ୍କଳ ସ୍କିଲ୍ ସେଣ୍ଟର - BSE Odisha 100% Full Textbook Master Edition)

🤖 Have a Doubt in this Chapter?

Ask Gundulu AI Voice Tutor to explain any question in bilingual Odia & English with 24/7 step-by-step guidance!

🚀 Try Gundulu AI on Utkal Skill Centre App