(ii) A ABC ରେ ଉଚ୍ଚତା AD = 12 ସେ.ମି. ଓ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 96 ବର୍ଗ ସେ.ମି. । ଭୂମି BC କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × ଭୂମି × ଉଚ୍ଚତା

96 = (୧/୨) × BC × 12

96 = 6 × BC

BC = 96 / 6 = 16 ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 16 ସେ.ମି.

(iii) ABC ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 25√3 ବର୍ଗ ଏକକ । ଏହାର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (√3/4) × ବାହୁ²

25√3 = (√3/4) × ବାହୁ²

ବାହୁ² = (25√3 × 4) / √3 = 100

ବାହୁ = √100 = 10 ଏକକ

ଉତ୍ତର: 10 ଏକକ

(iv) ABC ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 25√3 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ହେଲେ ଏହାର ଉଚ୍ଚତା କେତେ ?

ସମାଧାନ:

(iii) ରୁ, ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (a) = 10 ସେ.ମି.

ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତା (h) = (√3/2) × a

h = (√3/2) × 10 = 5√3 ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 5√3 ସେ.ମି.

(v) ABC ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କୌଣସି ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁରୁ ବାହୁମାନଙ୍କ ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବତ୍ରୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 3 ସେ.ମି., 4 ସେ.ମି. ଓ 5 ସେ.ମି. ହେଲେ ତ୍ରିଭୁଜ ର ଉଚ୍ଚତା କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁରୁ ବାହୁମାନଙ୍କ ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବତ୍ରୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତା ସହିତ ସମାନ ।

ଉଚ୍ଚତା = 3 + 4 + 5 = 12 ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 12 ସେ.ମି.

(vi) ଗୋଟିଏ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରରେ ଗୋଟିଏ ସରଳରେଖା ଅଙ୍କନ କରିବାରୁ ଏହା ଦୁଇଗୋଟି ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରରେ ପରିଣତ ହେଲା । ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୁଇ ସନ୍ନିହିତ ବାହୁମାନଙ୍କ ଅନୁପାତ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ମନେକର ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = l ଓ ପ୍ରସ୍ଥ = b

ଯଦି ଏହାକୁ ଦୁଇଟି ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଏ, ତେବେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁ ପ୍ରସ୍ଥ 'b' ସହିତ ସମାନ ହେବ ।

ତେଣୁ, ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (l) = b + b = 2b

ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୁଇ ସନ୍ନିହିତ ବାହୁର ଅନୁପାତ = l : b = 2b : b = 2 : 1

ଉତ୍ତର: 2 : 1

(vii) ଗୋଟିଏ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ପ୍ରସ୍ଥକୁ 3 ଗୁଣ କଲେ, ଲବ୍ଧ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଦତ୍ତ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର କେତେ ଗୁଣ ?

ସମାଧାନ:

ମୂଳ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = l, ପ୍ରସ୍ଥ = b

ମୂଳ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = lb

ନୂତନ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 3l, ପ୍ରସ୍ଥ = 3b

ନୂତନ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (3l) × (3b) = 9lb

ନୂତନ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ / ମୂଳ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 9lb / lb = 9

ତେଣୁ, ନୂତନ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ମୂଳ କ୍ଷେତ୍ରଫଳର 9 ଗୁଣ ।

ଉତ୍ତର: 9 ଗୁଣ

(viii) ଗୋଟିଏ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଗୋଟିଏ ବାହୁ 4 ମିଟର ଓ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 5 ମିଟର । କ୍ଷେତ୍ରଟିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ମନେକର ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = l, ପ୍ରସ୍ଥ = b

ଦତ୍ତ: ଗୋଟିଏ ବାହୁ = 4 ମିଟର (ମନେକର ପ୍ରସ୍ଥ b = 4 ମିଟର)

କର୍ଣ୍ଣ = 5 ମିଟର

ପିଥାଗୋରାସ୍ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁସାରେ: l² + b² = କର୍ଣ୍ଣ²

l² + 4² = 5²

l² + 16 = 25

l² = 25 - 16 = 9

l = √9 = 3 ମିଟର

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = l × b = 3 × 4 = 12 ବର୍ଗ ମିଟର

ଉତ୍ତର: 12 ବର୍ଗ ମିଟର

(ix) ଗୋଟିଏ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର ର କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 4 ସେ.ମି. ହେଲେ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁ = a

କର୍ଣ୍ଣ = a√2

4 = a√2

a = 4/√2 = 2√2 ସେ.ମି.

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = a² = (2√2)² = 4 × 2 = 8 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ବିକଳ୍ପ ପଦ୍ଧତି: ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × କର୍ଣ୍ଣ² = (୧/୨) × 4² = (୧/୨) × 16 = 8 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 8 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

(x) ଗୋଟିଏ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର ଓ ଗୋଟିଏ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ । ସେମାନଙ୍କ କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନୁପାତ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ମନେକର ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର ଓ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = a

ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = a²

ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (√3/4)a²

କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନୁପାତ = a² : (√3/4)a² = 1 : √3/4 = 4 : √3

ଉତ୍ତର: 4 : √3

(xi) ଏକ ସମକୋଣୀ ସମଦ୍ୱିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 4 ସେ.ମି. ହେଲେ ସମକୋଣରୁ କର୍ଣ୍ଣ ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ମନେକର ସମକୋଣୀ ସମଦ୍ୱିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ସମାନ ବାହୁଦ୍ୱୟ = a = 4 ସେ.ମି.

କର୍ଣ୍ଣ (h) = √a² + a² = √2a² = a√2 = 4√2 ସେ.ମି.

ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × ଭୂମି × ଉଚ୍ଚତା = (୧/୨) × 4 × 4 = 8 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ମନେକର ସମକୋଣରୁ କର୍ଣ୍ଣ ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = x

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × କର୍ଣ୍ଣ × x

8 = (୧/୨) × 4√2 × x

8 = 2√2 × x

x = 8 / (2√2) = 4/√2 = 2√2 ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 2√2 ସେ.ମି.

୨. ନିମ୍ନଲିଖୂତ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ଦିଅ :

(i) ABCD ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରରେ BC – AB = 20 ମିଟର ଓ AB : BC = 4 : 5 | ABCD ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ପରିସୀମା କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ମନେକର AB = 4x ଓ BC = 5x

ଦତ୍ତ: BC – AB = 20

5x – 4x = 20

x = 20

ତେଣୁ, AB = 4 × 20 = 80 ମିଟର

BC = 5 × 20 = 100 ମିଟର

ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ପରିସୀମା = 2(ଦୈର୍ଘ୍ୟ + ପ୍ରସ୍ଥ) = 2(AB + BC) = 2(80 + 100) = 2 × 180 = 360 ମିଟର

ଉତ୍ତର: 360 ମିଟର

(ii) ABCD ବର୍ଗ କ୍ଷେତ୍ରର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 4 ସେ.ମି. ବୃଦ୍ଧି କଲେ କ୍ଷେତ୍ରଫଳରେ 60 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ବୃଦ୍ଧି ହୁଏ । ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ମନେକର ମୂଳ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = a ସେ.ମି.

ମୂଳ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = a² ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 4 ସେ.ମି. ବୃଦ୍ଧି କଲେ ନୂତନ ବାହୁ = (a + 4) ସେ.ମି.

ନୂତନ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (a + 4)² ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ଦତ୍ତ: ନୂତନ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ - ମୂଳ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 60

(a + 4)² - a² = 60

a² + 8a + 16 - a² = 60

8a + 16 = 60

8a = 60 - 16

8a = 44

a = 44 / 8 = 11 / 2 = 5.5 ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 5.5 ସେ.ମି.

(iii) ଗୋଟିଏ ସମଦ୍ୱିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିସୀମା 18 ସେ.ମି. । ଭୂମି ଓ ଏକ ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଅନୁପାତ 8 : 5 ହେଲେ A ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିରୂପଣ କର ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର ସମଦ୍ୱିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଭୂମି = b, ସମାନ ବାହୁଦ୍ୱୟ = a

ଦତ୍ତ: b : a = 8 : 5

ତେଣୁ, b = 8x, a = 5x

ପରିସୀମା = a + a + b = 2a + b

18 = 2(5x) + 8x

18 = 10x + 8x

18 = 18x

x = 1

ତେଣୁ, ସମାନ ବାହୁ = 5 ସେ.ମି., ଭୂମି = 8 ସେ.ମି.

ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତା (h) = √a² - (b/2)² = √5² - (8/2)² = √5² - 4² = √25 - 16 = √9 = 3 ସେ.ମି.

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × ଭୂମି × ଉଚ୍ଚତା = (୧/୨) × 8 × 3 = 12 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 12 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

୩. ଗୋଟିଏ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଏକ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅଧା । ଏହାର ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଠାରୁ 12 ମିଟର ବେଶୀ ଏବଂ ଅନ୍ୟ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 12 ମିଟର କମ୍ ହେଲେ, ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରରେ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = x ମିଟର

ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = x² ବର୍ଗ ମିଟର

ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨)x²

ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଗୋଟିଏ ବାହୁ = x + 12 ମିଟର

ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଅନ୍ୟ ବାହୁ = x - 12 ମିଟର

ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (x + 12)(x - 12) = x² - 12² = x² - 144

ତେଣୁ, (୧/୨)x² = x² - 144

x² = 2x² - 288

2x² - x² = 288

x² = 288

ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨)x² = (୧/୨) × 288 = 144 ବର୍ଗ ମିଟର

ଉତ୍ତର: 144 ବର୍ଗ ମିଟର

୪. ଗୋଟିଏ ଘରର ଚାରିକାନ୍ଥର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 540 ବର୍ଗ ମିଟର ଏବଂ କାନ୍ଥର ଉଚ୍ଚତା 10 ମିଟର । ଘରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ପ୍ରସ୍ତର ଅନୁପାତ 5 : 4 ହେଲେ, ଚଟାଣର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ଘରର ଚାରିକାନ୍ଥର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2(ଦୈର୍ଘ୍ୟ + ପ୍ରସ୍ଥ) × ଉଚ୍ଚତା

ମନେକର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 5x, ପ୍ରସ୍ଥ = 4x, ଉଚ୍ଚତା = 10 ମିଟର

540 = 2(5x + 4x) × 10

540 = 2(9x) × 10

540 = 18x × 10

540 = 180x

x = 540 / 180 = 3

ତେଣୁ, ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 5 × 3 = 15 ମିଟର

ପ୍ରସ୍ଥ = 4 × 3 = 12 ମିଟର

ଚଟାଣର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ପ୍ରସ୍ଥ = 15 × 12 = 180 ବର୍ଗ ମିଟର

ଉତ୍ତର: 180 ବର୍ଗ ମିଟର

୫. ଗୋଟିଏ ବର୍ଗାକାର ଜମିର ବାହାର ଧାରକୁ ଲାଗି 2 ମିଟର ଚଉଡ଼ା ର ଏକ ରାସ୍ତା ଅଛି । ରାସ୍ତାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 416 ବର୍ଗ ମିଟର ହେଲେ ଜମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର ଜମିର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = x ମିଟର

ଜମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = x² ବର୍ଗ ମିଟର

ରାସ୍ତା ସହିତ ଜମିର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = x + 2 + 2 = x + 4 ମିଟର (ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵରେ 2 ମିଟର ଚଉଡ଼ା)

ରାସ୍ତା ସହିତ ଜମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (x + 4)² ବର୍ଗ ମିଟର

ରାସ୍ତାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (ରାସ୍ତା ସହିତ ଜମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ) - (ଜମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ)

416 = (x + 4)² - x²

416 = x² + 8x + 16 - x²

416 = 8x + 16

416 - 16 = 8x

400 = 8x

x = 400 / 8 = 50 ମିଟର

ଜମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = x² = 50² = 2500 ବର୍ଗ ମିଟର

ଉତ୍ତର: 2500 ବର୍ଗ ମିଟର

୬. ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 44 ମିଟର, ଏବଂ ଅନ୍ୟ ଦୁଇବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି 88 ମିଟର ହେଲେ ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ଭୂମି = b, ଲମ୍ବ = p, କର୍ଣ୍ଣ = h

ଦତ୍ତ: b = 44 ମିଟର

p + h = 88 ମିଟର ⇒ h = 88 - p

ପିଥାଗୋରାସ୍ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁସାରେ: p² + b² = h²

p² + 44² = (88 - p)²

p² + 1936 = 88² - 2 × 88 × p + p²

p² + 1936 = 7744 - 176p + p²

1936 = 7744 - 176p

176p = 7744 - 1936

176p = 5808

p = 5808 / 176 = 33 ମିଟର

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × ଭୂମି × ଲମ୍ବ = (୧/୨) × 44 × 33 = 22 × 33 = 726 ବର୍ଗ ମିଟର

ଉତ୍ତର: 726 ବର୍ଗ ମିଟର

୭. କୌଣସି ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ସମକୋଣ ସଂଲଗ୍ନ ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 45 ସେ.ମି. ଓ 60 ସେ.ମି. ହେଲେ ସମକୋଣରୁ କର୍ଣ୍ଣ ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ସମକୋଣ ସଂଲଗ୍ନ ବାହୁଦ୍ୱୟ = p = 45 ସେ.ମି., b = 60 ସେ.ମି.

କର୍ଣ୍ଣ (h) = √p² + b² = √45² + 60² = √2025 + 3600 = √5625 = 75 ସେ.ମି.

ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × p × b = (୧/୨) × 45 × 60 = 45 × 30 = 1350 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ମନେକର ସମକୋଣରୁ କର୍ଣ୍ଣ ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = x

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × h × x

1350 = (୧/୨) × 75 × x

2700 = 75x

x = 2700 / 75 = 36 ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 36 ସେ.ମି.

୮. ଗୋଟିଏ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 2 ମିଟର ବଢ଼ାଇଦେଲେ ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 6√3 ବର୍ଗ ମିଟର ବଢ଼ିଯାଏ । ଏହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର ମୂଳ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = a ମିଟର

ମୂଳ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (√3/4)a²

ନୂତନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = (a + 2) ମିଟର

ନୂତନ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (√3/4)(a + 2)²

ଦତ୍ତ: ନୂତନ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ - ମୂଳ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 6√3

(√3/4)(a + 2)² - (√3/4)a² = 6√3

(√3/4) [(a + 2)² - a²] = 6√3

(a + 2)² - a² = (6√3 × 4) / √3

a² + 4a + 4 - a² = 24

4a + 4 = 24

4a = 20

a = 5 ମିଟର

ଉତ୍ତର: 5 ମିଟର

୯. ଗୋଟିଏ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 2 ସେ.ମି. କମାଇଦେଲେ ତାହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 16/√3 ବର୍ଗ ସେ.ମି. କମିଯାଏ । ଏହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର ମୂଳ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = a ସେ.ମି.

ମୂଳ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (√3/4)a²

ନୂତନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = (a - 2) ସେ.ମି.

ନୂତନ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (√3/4)(a - 2)²

ଦତ୍ତ: ମୂଳ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ - ନୂତନ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 16/√3

(√3/4)a² - (√3/4)(a - 2)² = 16/√3

(√3/4) [a² - (a - 2)²] = 16/√3

a² - (a - 2)² = (16/√3 × 4) / √3

a² - (a² - 4a + 4) = 64/3

a² - a² + 4a - 4 = 64/3

4a - 4 = 64/3

4a = 64/3 + 4 = (64 + 12) / 3 = 76/3

a = (76/3) / 4 = 19/3 ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 19/3 ସେ.ମି.

୧୦. ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ସମଦ୍ୱିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ସମକୋଣ ସଂଲଗ୍ନ ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 20 ସେ.ମି. ହେଲେ ଏହାର ସମକୋଣରୁ କର୍ଣ୍ଣପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ସମକୋଣୀ ସମଦ୍ୱିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜରେ ସମକୋଣ ସଂଲଗ୍ନ ବାହୁଦ୍ୱୟ ସମାନ ।

ତେଣୁ, ଲମ୍ବ = 20 ସେ.ମି., ଭୂମି = 20 ସେ.ମି.

କର୍ଣ୍ଣ (h) = √20² + 20² = √400 + 400 = √800 = 20√2 ସେ.ମି.

ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × ଭୂମି × ଲମ୍ବ = (୧/୨) × 20 × 20 = 200 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ମନେକର ସମକୋଣରୁ କର୍ଣ୍ଣ ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = x

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × କର୍ଣ୍ଣ × x

200 = (୧/୨) × 20√2 × x

200 = 10√2 × x

x = 200 / (10√2) = 20/√2 = 10√2 ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 10√2 ସେ.ମି.

୧୧. ଗୋଟିଏ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଗୋଟିଏ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର 3.5 ଗୁଣ । ବର୍ଗାକାର କ୍ଷେତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 20 ମିଟର ହେଲେ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିସୀମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । (√3 = 1.732)

ସମାଧାନ:

ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣ = 20 ମିଟର

ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × କର୍ଣ୍ଣ² = (୧/୨) × 20² = (୧/୨) × 400 = 200 ବର୍ଗ ମିଟର

ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 3.5 × (ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ) = 3.5 × 200 = 700 ବର୍ଗ ମିଟର

ମନେକର ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁ = a

(√3/4)a² = 700

a² = (700 × 4) / √3 = 2800 / √3

a = √(2800 / √3) = √(2800 / 1.732) = √1616.628 = 40.207 ମିଟର (ପାଖାପାଖି)

ତ୍ରିଭୁଜର ପରିସୀମା = 3a = 3 × 40.207 = 120.621 ମିଟର

ଉତ୍ତର: ପ୍ରାୟ 120.62 ମିଟର

୧୨. ଗୋଟିଏ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଏକ ବିନ୍ଦୁରୁ ଏହାର ବାହୁମାନଙ୍କ ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବତ୍ରୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 3 ସେ.ମି., 4 ସେ.ମି. ଓ 5 ସେ.ମି ହେଲେ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତା (h) = ଲମ୍ବତ୍ରୟର ସମଷ୍ଟି = 3 + 4 + 5 = 12 ସେ.ମି.

ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/√3)h²

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/√3) × 12² = 144/√3 = (144√3)/3 = 48√3 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 48√3 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

୧୩. ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିସୀମା 84 ସେ.ମି. ; ଏହାର ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 30 ସେ.ମି. ଓ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 336 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ହେଲେ ଅନ୍ୟ ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁଗୁଡ଼ିକ = a, b, c

ଦତ୍ତ: ପରିସୀମା = a + b + c = 84 ସେ.ମି.

ଗୋଟିଏ ବାହୁ (a) = 30 ସେ.ମି.

ତେଣୁ, b + c = 84 - 30 = 54 ସେ.ମି. ⇒ c = 54 - b

ଅର୍ଦ୍ଧ-ପରିସୀମା (s) = 84 / 2 = 42 ସେ.ମି.

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = √s(s-a)(s-b)(s-c)

336 = √42(42-30)(42-b)(42-(54-b))

336 = √42 × 12 × (42-b)(b-12)

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ବର୍ଗ କରିବା:

336² = 42 × 12 × (42-b)(b-12)

112896 = 504 × (42b - 504 - b² + 12b)

112896 / 504 = -b² + 54b - 504

224 = -b² + 54b - 504

b² - 54b + 504 + 224 = 0

b² - 54b + 728 = 0

ଏହା ଏକ ଦ୍ୱିଘାତୀ ସମୀକରଣ ।

b = [-(-54) ± √(-54)² - 4 × 1 × 728] / (2 × 1)

b = [54 ± √2916 - 2912] / 2

b = [54 ± √4] / 2

b = [54 ± 2] / 2

ଦୁଇଟି ସମ୍ଭାବ୍ୟ ମୂଲ୍ୟ:

b₁ = (54 + 2) / 2 = 56 / 2 = 28 ସେ.ମି.

b₂ = (54 - 2) / 2 = 52 / 2 = 26 ସେ.ମି.

ଯଦି b = 28 ସେ.ମି., ତେବେ c = 54 - 28 = 26 ସେ.ମି.

ଯଦି b = 26 ସେ.ମି., ତେବେ c = 54 - 26 = 28 ସେ.ମି.

ତେଣୁ, ଅନ୍ୟ ଦୁଇ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 28 ସେ.ମି. ଓ 26 ସେ.ମି. ।

ଉତ୍ତର: 28 ସେ.ମି. ଓ 26 ସେ.ମି.

୧୪. ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 25 ସେ.ମି., 29 ସେ.ମି. ଓ 36 ସେ.ମି ହେଲେ, ଏହାର ବୃହତ୍ତମ ବାହୁ ଉପରେ ବିପରୀତ କୌଣିକ ବିନ୍ଦୁରୁ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ବାହୁଗୁଡ଼ିକ: a = 25, b = 29, c = 36

ଅର୍ଦ୍ଧ-ପରିସୀମା (s) = (25 + 29 + 36) / 2 = 90 / 2 = 45 ସେ.ମି.

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = √s(s-a)(s-b)(s-c)

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = √45(45-25)(45-29)(45-36)

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = √45 × 20 × 16 × 9

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = √(9 × 5) × (4 × 5) × (4 × 4) × 9

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = √(9² × 5² × 4²) = 9 × 5 × 4 = 180 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ବୃହତ୍ତମ ବାହୁ = 36 ସେ.ମି.

ମନେକର ବୃହତ୍ତମ ବାହୁ ଉପରେ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = h

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × ଭୂମି × ଉଚ୍ଚତା

180 = (୧/୨) × 36 × h

180 = 18h

h = 180 / 18 = 10 ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 10 ସେ.ମି.

୧୫. ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁମାନଙ୍କ ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଅନୁପାତ 3 : 5 : 7 ଓ ପରିସୀମା 300 ମିଟର ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର ବାହୁଗୁଡ଼ିକ = 3x, 5x, 7x

ପରିସୀମା = 3x + 5x + 7x = 15x

15x = 300 ମିଟର

x = 300 / 15 = 20 ମିଟର

ତେଣୁ, ବାହୁଗୁଡ଼ିକ: a = 3 × 20 = 60 ମିଟର, b = 5 × 20 = 100 ମିଟର, c = 7 × 20 = 140 ମିଟର

ଅର୍ଦ୍ଧ-ପରିସୀମା (s) = 300 / 2 = 150 ମିଟର

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = √s(s-a)(s-b)(s-c)

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = √150(150-60)(150-100)(150-140)

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = √150 × 90 × 50 × 10

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = √(15 × 10) × (9 × 10) × (5 × 10) × 10

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = √(3 × 5 × 10) × (3² × 10) × (5 × 10) × 10

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = √(3³ × 5² × 10⁴) = 3√3 × 5 × 10² = 1500√3 ବର୍ଗ ମିଟର

ଉତ୍ତର: 1500√3 ବର୍ଗ ମିଟର

୧୬. ଗୋଟିଏ ସମଦ୍ୱିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିସୀମା 30 ସେ.ମି. ଓ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 12 ସେ.ମି. ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର ସମଦ୍ୱିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ସମାନ ବାହୁଦ୍ୱୟ = a = 12 ସେ.ମି.

ପରିସୀମା = 30 ସେ.ମି.

ଭୂମି (b) = ପରିସୀମା - 2a = 30 - 2 × 12 = 30 - 24 = 6 ସେ.ମି.

ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତା (h) = √a² - (b/2)² = √12² - (6/2)² = √12² - 3² = √144 - 9 = √135 = √9 × 15 = 3√15 ସେ.ମି.

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × ଭୂମି × ଉଚ୍ଚତା = (୧/୨) × 6 × 3√15 = 9√15 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 9√15 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

ଅନୁଶୀଳନୀ – 5 (b)

୧. ନିମ୍ନଲିଖୂତ ପ୍ରଶ୍ନମାନଙ୍କ ଉତ୍ତର ସଂକ୍ଷେପରେ ଦିଅ ।

(i) ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 6 ସେ.ମି. ଓ ଉଚ୍ଚତା = 3 ସେ.ମି., ହେଲେ ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଭୂମି × ଉଚ୍ଚତା

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 6 × 3 = 18 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 18 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

(ii) ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 10 ସେ.ମି ଓ ଏହାର ସମ୍ମୁଖୀନ କୌଣିକ ବିନ୍ଦୁରୁ କର୍ଣ୍ଣପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 6 ସେ.ମି. ହେଲେ ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 10 × 6 = 60 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 60 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

(iii) ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରରେ AB + BD + AD = 2s ଏକକ | s(s-AB)(s-BD)(s-AD) = 64 ହେଲେ, ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରଟିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ଦତ୍ତ ସୂତ୍ର s(s-AB)(s-BD)(s-AD) ହେଉଛି ତ୍ରିଭୁଜ ABD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ବର୍ଗ ।

ତେଣୁ, ତ୍ରିଭୁଜ ABD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = √64 = 8 ବର୍ଗ ଏକକ ।

ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2 × (ତ୍ରିଭୁଜ ABD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ) = 2 × 8 = 16 ବର୍ଗ ଏକକ ।

ଉତ୍ତର: 16 ବର୍ଗ ଏକକ ।

(iv) ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 96 ବର୍ଗ ଏକକ ଓ ଏହାର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 8 ଏକକ ହେଲେ, କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁରୁ ଭୂମିପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଭୂମି × ଉଚ୍ଚତା

96 = 8 × ଉଚ୍ଚତା

ଉଚ୍ଚତା = 96 / 8 = 12 ଏକକ ।

କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁରୁ ଭୂମିପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର ଉଚ୍ଚତାର ଅଧା ହୋଇଥାଏ ।

ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = ଉଚ୍ଚତା / 2 = 12 / 2 = 6 ଏକକ ।

ଉତ୍ତର: 6 ଏକକ ।

(v) ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 144 ବର୍ଗ ଏକକ ଓ ଏହାର ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 24 ଏକକ ହେଲେ, କର୍ଣ୍ଣ ସମ୍ମୁଖୀନ କୌଣିକ ବିନ୍ଦୁରୁ କର୍ଣ୍ଣପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ

144 = 24 × ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ

ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 144 / 24 = 6 ଏକକ ।

ଉତ୍ତର: 6 ଏକକ ।

୨. ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 2.5 ଡେସିମିଟର ଓ ଉଚ୍ଚତା 4.8 ଡେସିମିଟର ବିଶିଷ୍ଟ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ଭୂମି = 2.5 ଡେସିମିଟର = 25 ସେ.ମି.

ଉଚ୍ଚତା = 4.8 ଡେସିମିଟର = 48 ସେ.ମି.

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଭୂମି × ଉଚ୍ଚତା = 25 × 48 = 1200 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 1200 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

୩. କୌଣସି ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 4 ଡେ.ମି. 6 ସେ.ମି. ଏବଂ ଏହି କର୍ଣ୍ଣପ୍ରତି ବିପରୀତ କୌଣିକ ବିନ୍ଦୁରୁ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 22 ସେ.ମି. ହେଲେ ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 4 ଡେ.ମି. 6 ସେ.ମି. = 46 ସେ.ମି.

ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 22 ସେ.ମି.

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 46 × 22 = 1012 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 1012 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

୪. ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 50 ସେ.ମି. ଓ 58 ସେ.ମି.; ଏବଂ ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 36 ସେ.ମି. ହେଲେ, ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ = d₁ = 50 ସେ.ମି., d₂ = 58 ସେ.ମି.

ବାହୁ = a = 36 ସେ.ମି.

କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ ଦ୍ୱାରା ଗଠିତ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁଗୁଡ଼ିକ ହେବ: d₁/2, d₂/2, a

ତେଣୁ, 25 ସେ.ମି., 29 ସେ.ମି., 36 ସେ.ମି.

ଏହି ତ୍ରିଭୁଜର ଅର୍ଦ୍ଧ-ପରିସୀମା (s) = (25 + 29 + 36) / 2 = 90 / 2 = 45 ସେ.ମି.

ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = √s(s-a)(s-b)(s-c) = √45(45-25)(45-29)(45-36)

= √45 × 20 × 16 × 9 = √9 × 5 × 4 × 5 × 16 × 9 = √(9² × 5² × 4² × 4) = 9 × 5 × 4 × 2 = 360 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 4 × (ଏହି ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ) = 4 × 360 = 1440 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 1440 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

୫. ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର ଦୁଇଟି ସନ୍ନିହିତ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 26 ମି. ଓ 28 ମି. ଏବଂ ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 30 ମି. ହେଲେ, ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ସନ୍ନିହିତ ବାହୁଦ୍ୱୟ = a = 26 ମି., c = 28 ମି.

କର୍ଣ୍ଣ = b = 30 ମି.

ଏହି ବାହୁଗୁଡ଼ିକ ଦ୍ୱାରା ଗଠିତ ତ୍ରିଭୁଜର ଅର୍ଦ୍ଧ-ପରିସୀମା (s) = (26 + 28 + 30) / 2 = 84 / 2 = 42 ମି.

ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = √s(s-a)(s-b)(s-c) = √42(42-26)(42-28)(42-30)

= √42 × 16 × 14 × 12 = √(6 × 7) × 16 × (2 × 7) × (2 × 6)

= √(6² × 7² × 2² × 4) = 6 × 7 × 2 × 2 = 168 ବର୍ଗ ମିଟର

ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2 × (ଏହି ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ) = 2 × 168 = 336 ବର୍ଗ ମିଟର

ଉତ୍ତର: 336 ବର୍ଗ ମିଟର

୬. ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 24 ସେ.ମି. ଏବଂ ଏହି ବାହୁ ଉପରେ କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁରୁ ପତିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 10 ସେ.ମି. ହେଲେ, କ୍ଷେତ୍ରଟିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = a = 24 ସେ.ମି.

କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁରୁ ବାହୁ ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = p = 10 ସେ.ମି.

ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2 × a × p = 2 × 24 × 10 = 480 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 480 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

୭. ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ଉଚ୍ଚତାର ଅନୁପାତ 2:3 ଓ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 726 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ହେଲେ, ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ଉଚ୍ଚତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର ଭୂମି = 2x, ଉଚ୍ଚତା = 3x

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଭୂମି × ଉଚ୍ଚତା

726 = 2x × 3x

726 = 6x²

x² = 726 / 6 = 121

x = √121 = 11

ଭୂମି = 2x = 2 × 11 = 22 ସେ.ମି.

ଉଚ୍ଚତା = 3x = 3 × 11 = 33 ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: ଭୂମି = 22 ସେ.ମି., ଉଚ୍ଚତା = 33 ସେ.ମି.

୮. ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର ଉଚ୍ଚତା ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟର 3/4 ଅଂଶ ଏବଂ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 300 ବର୍ଗମିଟର । କ୍ଷେତ୍ରଟିର ଉଚ୍ଚତା ଓ ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର ଭୂମି = b

ଉଚ୍ଚତା = (3/4)b

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଭୂମି × ଉଚ୍ଚତା

300 = b × (3/4)b

300 = (3/4)b²

b² = (300 × 4) / 3 = 100 × 4 = 400

b = √400 = 20 ମିଟର

ଉଚ୍ଚତା = (3/4) × 20 = 3 × 5 = 15 ମିଟର

ଉତ୍ତର: ଭୂମି = 20 ମିଟର, ଉଚ୍ଚତା = 15 ମିଟର

୯. ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ତା’ର ଉଚ୍ଚତା ଅପେକ୍ଷା 4 ମିଟର ଅଧୂକ । କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 285 ବର୍ଗମିଟର ହେଲେ, ଉଚ୍ଚତା ଓ ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର ଉଚ୍ଚତା = h

ଭୂମି = h + 4

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଭୂମି × ଉଚ୍ଚତା

285 = (h + 4)h

285 = h² + 4h

h² + 4h - 285 = 0

h² + 19h - 15h - 285 = 0

h(h + 19) - 15(h + 19) = 0

(h + 19)(h - 15) = 0

h = -19 (ଅସମ୍ଭବ) କିମ୍ବା h = 15

ତେଣୁ, ଉଚ୍ଚତା = 15 ମିଟର

ଭୂମି = 15 + 4 = 19 ମିଟର

ଉତ୍ତର: ଉଚ୍ଚତା = 15 ମିଟର, ଭୂମି = 19 ମିଟର

୧୦. ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 420 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ଓ ଗୋଟିଏ କୌଣିକ ବିନ୍ଦୁରୁ ଏକ କର୍ଣ୍ଣ ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 14 ସେ.ମି. ହେଲେ, କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ

420 = କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × 14

କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 420 / 14 = 30 ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 30 ସେ.ମି.

୧୧. ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର ଦୁଇଟି ସନ୍ନିହିତ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 25 ମିଟର, 29 ମି. ଓ 36 ମି. । ଏହି କର୍ଣ୍ଣପ୍ରତି ବିପରୀତ କୌଣିକ ବିନ୍ଦୁରୁ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ସନ୍ନିହିତ ବାହୁଦ୍ୱୟ = a = 25 ମି., c = 29 ମି.

କର୍ଣ୍ଣ = b = 36 ମି.

ଏହି ବାହୁଗୁଡ଼ିକ ଦ୍ୱାରା ଗଠିତ ତ୍ରିଭୁଜର ଅର୍ଦ୍ଧ-ପରିସୀମା (s) = (25 + 29 + 36) / 2 = 90 / 2 = 45 ମି.

ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = √s(s-a)(s-b)(s-c) = √45(45-25)(45-29)(45-36)

= √45 × 20 × 16 × 9 = √9 × 5 × 4 × 5 × 16 × 9 = √(9² × 5² × 4² × 4) = 9 × 5 × 4 × 2 = 360 ବର୍ଗ ମିଟର

ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2 × 360 = 720 ବର୍ଗ ମିଟର

କର୍ଣ୍ଣପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (p) = କ୍ଷେତ୍ରଫଳ / କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 720 / 36 = 20 ମିଟର

ଉତ୍ତର: 20 ମିଟର

୧୨. ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ, ଗୋଟିଏ 40 ସେ.ମି. କର୍ଣ୍ଣ ବିଶିଷ୍ଟ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସହ ସମାନ । ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 40 ସେ.ମି. ହେଲେ, ଏହାର ଉଚ୍ଚତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣ = 40 ସେ.ମି.

ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × କର୍ଣ୍ଣ² = (୧/୨) × 40² = (୧/୨) × 1600 = 800 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 800 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର ଭୂମି = 40 ସେ.ମି.

ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଭୂମି × ଉଚ୍ଚତା

800 = 40 × ଉଚ୍ଚତା

ଉଚ୍ଚତା = 800 / 40 = 20 ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 20 ସେ.ମି.

୧୩. ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 13 ମିଟର ଏବଂ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 336 ବର୍ଗମିଟର । ଏହାର ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅନ୍ୟ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅପେକ୍ଷା 2 ମିଟର ଅଧିକ ହେଲେ, କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

ସମାଧାନ:

ମନେକର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = d₁ ଓ d₂

ଦତ୍ତ: d₁ = d₂ + 2

ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 336 ବର୍ଗ ମିଟର

ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = a = 13 ମିଟର

ଆମେ ଜାଣୁ, ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 4 × (d₁/2, d₂/2, a ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ)

ମନେକର d₂ = 2x, ତେବେ d₁ = 2x + 2

ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁଗୁଡ଼ିକ = (2x+2)/2, (2x)/2, 13 = x+1, x, 13

ତ୍ରିଭୁଜର ଅର୍ଦ୍ଧ-ପରିସୀମା (s) = (x+1 + x + 13) / 2 = (2x + 14) / 2 = x + 7

ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = √s(s-(x+1))(s-x)(s-13)

= √(x+7)(x+7-x-1)(x+7-x)(x+7-13)

= √(x+7)(6)(7)(x-6) = √42(x+7)(x-6)

ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 4 × √42(x+7)(x-6)

336 = 4 × √42(x+7)(x-6)

84 = √42(x+7)(x-6)

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ବର୍ଗ କରିବା:

84² = 42(x+7)(x-6)

7056 = 42(x² + x - 42)

7056 / 42 = x² + x - 42

168 = x² + x - 42

x² + x - 42 - 168 = 0

x² + x - 210 = 0

x² + 15x - 14x - 210 = 0

x(x + 15) - 14(x + 15) = 0

(x + 15)(x - 14) = 0

x = -15 (ଅସମ୍ଭବ) କିମ୍ବା x = 14

ତେଣୁ, d₂ = 2x = 2 × 14 = 28 ମିଟର

d₁ = 2x + 2 = 28 + 2 = 30 ମିଟର

ଉତ୍ତର: 28 ମିଟର ଓ 30 ମିଟର ।

୧୪. ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର ସନ୍ନିହିତ ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି 16 ସେ.ମି. ଓ ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 8 ସେ.ମି. । ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 48 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ହେଲେ, ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର ସନ୍ନିହିତ ବାହୁଦ୍ୱୟ = a, b

ଦତ୍ତ: a + b = 16 ସେ.ମି. ⇒ b = 16 - a

କର୍ଣ୍ଣ = c = 8 ସେ.ମି.

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 48 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2 × (a, b, c ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ)

ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 48 / 2 = 24 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ତ୍ରିଭୁଜର ଅର୍ଦ୍ଧ-ପରିସୀମା (s) = (a + b + c) / 2 = (16 + 8) / 2 = 24 / 2 = 12 ସେ.ମି.

ହେରନ୍‌ଙ୍କ ସୂତ୍ର ଅନୁସାରେ:

24 = √s(s-a)(s-b)(s-c)

24 = √12(12-a)(12-b)(12-8)

24 = √12(12-a)(12-(16-a))(4)

24 = √12(12-a)(a-4)(4)

24² = 48(12-a)(a-4)

576 = 48(12a - 48 - a² + 4a)

576 / 48 = -a² + 16a - 48

12 = -a² + 16a - 48

a² - 16a + 48 + 12 = 0

a² - 16a + 60 = 0

a² - 10a - 6a + 60 = 0

a(a - 10) - 6(a - 10) = 0

(a - 10)(a - 6) = 0

a = 10 କିମ୍ବା a = 6

ଯଦି a = 10 ସେ.ମି., ତେବେ b = 16 - 10 = 6 ସେ.ମି.

ଯଦି a = 6 ସେ.ମି., ତେବେ b = 16 - 6 = 10 ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 6 ସେ.ମି. ଓ 10 ସେ.ମି.

୧୫. ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଅନ୍ତର 8 ମିଟର ଓ ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 16 ମିଟର । ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 192 ବର୍ଗମିଟର ହେଲେ, ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର ସନ୍ନିହିତ ବାହୁଦ୍ୱୟ = a, b

ଦତ୍ତ: a - b = 8 ମିଟର ⇒ a = b + 8

କର୍ଣ୍ଣ = c = 16 ମିଟର

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 192 ବର୍ଗ ମିଟର

ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 192 / 2 = 96 ବର୍ଗ ମିଟର

ତ୍ରିଭୁଜର ଅର୍ଦ୍ଧ-ପରିସୀମା (s) = (a + b + c) / 2 = (b + 8 + b + 16) / 2 = (2b + 24) / 2 = b + 12

ହେରନ୍‌ଙ୍କ ସୂତ୍ର ଅନୁସାରେ:

96 = √s(s-a)(s-b)(s-c)

96 = √(b+12)(b+12-(b+8))(b+12-b)(b+12-16)

96 = √(b+12)(4)(12)(b-4)

96² = 48(b+12)(b-4)

9216 = 48(b² + 8b - 48)

9216 / 48 = b² + 8b - 48

192 = b² + 8b - 48

b² + 8b - 48 - 192 = 0

b² + 8b - 240 = 0

b² + 20b - 12b - 240 = 0

b(b + 20) - 12(b + 20) = 0

(b + 20)(b - 12) = 0

b = -20 (ଅସମ୍ଭବ) କିମ୍ବା b = 12

ତେଣୁ, b = 12 ମିଟର

a = b + 8 = 12 + 8 = 20 ମିଟର

ଉତ୍ତର: 12 ମିଟର ଓ 20 ମିଟର ।

୧୬. ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 10 ମିଟର ଓ ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 21 ମିଟର ଏବଂ ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 168 ବର୍ଗମିଟର । ମିଟରକୁ 12 ଟଙ୍କା ହିସାବରେ ଏହାର ଚାରିପାଖରେ ତାର ବାଡ ଦେବାକୁ କେତେ ଖର୍ଚ୍ଚ ଲାଗିବ ?

ସମାଧାନ:

ମନେକର ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର ସନ୍ନିହିତ ବାହୁଦ୍ୱୟ = a, b

ଦତ୍ତ: a = 10 ମିଟର

କର୍ଣ୍ଣ = c = 21 ମିଟର

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 168 ବର୍ଗ ମିଟର

ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 168 / 2 = 84 ବର୍ଗ ମିଟର

ତ୍ରିଭୁଜର ଅର୍ଦ୍ଧ-ପରିସୀମା (s) = (a + b + c) / 2 = (10 + b + 21) / 2 = (b + 31) / 2

ହେରନ୍‌ଙ୍କ ସୂତ୍ର ଅନୁସାରେ:

84 = √s(s-a)(s-b)(s-c)

84 = √((b+31)/2)((b+31)/2 - 10)((b+31)/2 - b)((b+31)/2 - 21)

84 = √((b+31)/2)((b+11)/2)((31-b)/2)((b-11)/2)

84² = (1/16)(b+31)(b+11)(31-b)(b-11)

7056 × 16 = (31+b)(31-b)(b+11)(b-11)

112896 = (31² - b²)(b² - 11²)

112896 = (961 - b²)(b² - 121)

ମନେକର b² = y

112896 = (961 - y)(y - 121)

112896 = 961y - 961 × 121 - y² + 121y

112896 = 1082y - 116281 - y²

y² - 1082y + 112896 + 116281 = 0

y² - 1082y + 229177 = 0

y = [1082 ± √(1082)² - 4 × 1 × 229177] / 2

y = [1082 ± √1170724 - 916708] / 2

y = [1082 ± √254016] / 2

y = [1082 ± 504] / 2

y₁ = (1082 + 504) / 2 = 1586 / 2 = 793

y₂ = (1082 - 504) / 2 = 578 / 2 = 289

ଯଦି y = 793, ତେବେ b² = 793 (ଏହା ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ନୁହେଁ, ତେଣୁ ଏହା ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ କାରଣ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ହେବା ଉଚିତ)

ଯଦି y = 289, ତେବେ b² = 289 ⇒ b = √289 = 17 ମିଟର

ତେଣୁ, ସନ୍ନିହିତ ବାହୁଦ୍ୱୟ = 10 ମିଟର ଓ 17 ମିଟର ।

ପରିସୀମା = 2(10 + 17) = 2 × 27 = 54 ମିଟର

ତାର ବାଡ ଦେବାକୁ ଖର୍ଚ୍ଚ = 54 × 12 = 648 ଟଙ୍କା

ଉତ୍ତର: 648 ଟଙ୍କା ।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

ଅନୁଶୀଳନୀ – 5 (c)

୧. ନିମ୍ନଲିଖୂତ ପ୍ରଶ୍ନମାନଙ୍କ ଉତ୍ତର ଦିଅ :

(i) ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 288 ବର୍ଗ ମିଟର ଏବଂ ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 18 ମିଟର ହେଲେ ଉଚ୍ଚତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ବାହୁ × ଉଚ୍ଚତା

288 = 18 × ଉଚ୍ଚତା

ଉଚ୍ଚତା = 288 / 18 = 16 ମିଟର

ଉତ୍ତର: 16 ମିଟର

(ii) ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 196 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ଏବଂ ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 28 ସେ.ମି.ହେଲେ, ଅନ୍ୟ କର୍ଣ୍ଣଟିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × d₁ × d₂

196 = (୧/୨) × 28 × d₂

196 = 14 × d₂

d₂ = 196 / 14 = 14 ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 14 ସେ.ମି.

(iii) ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର ଦୁଇକର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 24 ମିଟର ଓ 10 ମିଟର ହେଲେ, ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

d₁ = 24 ମିଟର, d₂ = 10 ମିଟର

ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (a) = (୧/୨)√d₁² + d₂²

a = (୧/୨)√24² + 10² = (୧/୨)√576 + 100 = (୧/୨)√676 = (୧/୨) × 26 = 13 ମିଟର

ଉତ୍ତର: 13 ମିଟର

(iv) ABCD ରମ୍ବସ୍‌ର କର୍ଣ୍ଣ ଦ୍ୱୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ O ଏବଂ AO = 3 ସେ.ମି ଓ OB = 4 ସେ.ମି ହେଲେ ABCD ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ରମ୍ବସ୍‌ରେ କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମକୋଣରେ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି ।

ତେଣୁ, AC = 2 × AO = 2 × 3 = 6 ସେ.ମି. (d₁)

BD = 2 × OB = 2 × 4 = 8 ସେ.ମି. (d₂)

ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × d₁ × d₂ = (୧/୨) × 6 × 8 = 24 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 24 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

(v) ABCD ରମ୍ବସ୍‌ର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ O ଓ AO = 6 ସେ.ମି ଓ AB = 10 ସେ.ମି ହେଲେ, ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ରମ୍ବସ୍‌ରେ କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମକୋଣରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।

ତ୍ରିଭୁଜ AOB ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ଯେଉଁଠାରେ AB କର୍ଣ୍ଣ ।

AO = 6 ସେ.ମି., AB = 10 ସେ.ମି.

OB = √AB² - AO² = √10² - 6² = √100 - 36 = √64 = 8 ସେ.ମି.

AC = 2 × AO = 2 × 6 = 12 ସେ.ମି. (d₁)

BD = 2 × OB = 2 × 8 = 16 ସେ.ମି. (d₂)

ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × d₁ × d₂ = (୧/୨) × 12 × 16 = 96 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 96 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

୨. ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 10 ସେ.ମି ଏବଂ ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 12 ସେ.ମି ହେଲେ, ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (a) = 10 ସେ.ମି.

ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣ (d₁) = 12 ସେ.ମି.

ଆମେ ଜାଣୁ, a = (୧/୨)√d₁² + d₂²

10 = (୧/୨)√12² + d₂²

20 = √144 + d₂²

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ବର୍ଗ କରିବା:

20² = 144 + d₂²

400 = 144 + d₂²

d₂² = 400 - 144 = 256

d₂ = √256 = 16 ସେ.ମି.

ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × d₁ × d₂ = (୧/୨) × 12 × 16 = 96 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 96 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

୩. ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର ପରିସୀମା 52 ମିଟର ଏବଂ ଏହାର ବୃହତ୍ତମ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 24 ମିଟର ହେଲେ, ଅନ୍ୟ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ରମ୍ବସ୍‌ର ପରିସୀମା = 4 × ବାହୁ

52 = 4 × ବାହୁ

ବାହୁ (a) = 52 / 4 = 13 ମିଟର

ବୃହତ୍ତମ କର୍ଣ୍ଣ (d₁) = 24 ମିଟର

ଆମେ ଜାଣୁ, a = (୧/୨)√d₁² + d₂²

13 = (୧/୨)√24² + d₂²

26 = √576 + d₂²

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ବର୍ଗ କରିବା:

26² = 576 + d₂²

676 = 576 + d₂²

d₂² = 676 - 576 = 100

d₂ = √100 = 10 ମିଟର

ଉତ୍ତର: 10 ମିଟର

୪. ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 144 ବର୍ଗ ସେ.ମି ଏବଂ ଏହାର ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅନ୍ୟଟିର 2 ଗୁଣ ହେଲେ, କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣ (d₂) = x

ଅନ୍ୟ କର୍ଣ୍ଣ (d₁) = 2x

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × d₁ × d₂

144 = (୧/୨) × 2x × x

144 = x²

x = √144 = 12 ସେ.ମି.

ତେଣୁ, d₂ = 12 ସେ.ମି.

d₁ = 2 × 12 = 24 ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 12 ସେ.ମି. ଓ 24 ସେ.ମି.

୫. ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 18 ସେ.ମି. ଏବଂ ବିପରୀତ ବାହୁଠାରୁ ଏହାର ଦୂରତା 14 ସେ.ମି. ହେଲେ, ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ରମ୍ବସ୍‌ର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (a) = 18 ସେ.ମି.

ବିପରୀତ ବାହୁଠାରୁ ଦୂରତା ହେଉଛି ଉଚ୍ଚତା (h) = 14 ସେ.ମି.

ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ବାହୁ × ଉଚ୍ଚତା = 18 × 14 = 252 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 252 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

୬. ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର ଏକ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅନ୍ୟ କର୍ଣ୍ଣଟିର ଦୈର୍ଘ୍ୟର 80 ପ୍ରତିଶତ (ଶତକଡା 80 ଭାଗ) ହେଲେ, ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବୃହତ୍ତମ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ବର୍ଗର କେତେ ଗୁଣ ହେବ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର ବୃହତ୍ତମ କର୍ଣ୍ଣ (d₁) = x

ଅନ୍ୟ କର୍ଣ୍ଣ (d₂) = 80% of x = (80/100)x = (4/5)x

ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × d₁ × d₂ = (୧/୨) × x × (4/5)x = (2/5)x²

ତେଣୁ, ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବୃହତ୍ତମ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ବର୍ଗର (2/5) ଗୁଣ ହେବ ।

ଉତ୍ତର: 2/5 ଗୁଣ

୭. ଗୋଟିଏ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର ଓ ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍ ଏକା ଭୂମି ଉପରେ ଦଣ୍ଡାୟମାନ । ତେବେ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର ଓ ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନୁପାତ କେତେ ହେବ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର ଓ ରମ୍ବସ୍‌ର ଭୂମି (ବାହୁ) = a

ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ଉଚ୍ଚତା = a

ରମ୍ବସ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା = h (h < a, କାରଣ ରମ୍ବସ୍‌ର କୋଣ 90° ନୁହେଁ)

ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = a²

ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = a × h

ଅନୁପାତ = a² : ah = a : h

ଯେହେତୁ h < a, ଅନୁପାତ 1 : (h/a) ଯାହା 1 ରୁ ଅଧିକ ।

ଉତ୍ତର: a : h (ଯେଉଁଠାରେ h ରମ୍ବସ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା)

୮. ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 560 ବର୍ଗ ମିଟର । ଏହାର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ଉଚ୍ଚତାର ଅନୁପାତ 7 : 5 ହେଲେ, ସେମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (a) = 7x, ଉଚ୍ଚତା (h) = 5x

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = a × h

560 = 7x × 5x

560 = 35x²

x² = 560 / 35 = 16

x = √16 = 4

ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 7x = 7 × 4 = 28 ମିଟର

ଉଚ୍ଚତା = 5x = 5 × 4 = 20 ମିଟର

ଉତ୍ତର: ବାହୁ = 28 ମିଟର, ଉଚ୍ଚତା = 20 ମିଟର

୯. ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 4 ଡେସିମିଟର 5 ସେଣ୍ଟିମିଟର ଓ 6 ଡେସିମିଟର 4 ସେଣ୍ଟି ମିଟର ହେଲେ, ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଓ ପରିସୀମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

d₁ = 4 ଡେସିମିଟର 5 ସେ.ମି. = 45 ସେ.ମି.

d₂ = 6 ଡେସିମିଟର 4 ସେ.ମି. = 64 ସେ.ମି.

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × d₁ × d₂ = (୧/୨) × 45 × 64 = 45 × 32 = 1440 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (a) = (୧/୨)√d₁² + d₂² = (୧/୨)√45² + 64² = (୧/୨)√2025 + 4096 = (୧/୨)√6121

√6121 ≈ 78.23

a ≈ (୧/୨) × 78.23 = 39.115 ସେ.ମି.

ପରିସୀମା = 4a = 4 × 39.115 = 156.46 ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 1440 ବର୍ଗ ସେ.ମି., ପରିସୀମା ≈ 156.46 ସେ.ମି.

୧୦. ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 1320 ବର୍ଗ ମିଟର । ଏହାର ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 22 ମିଟର ହେଲେ, ଅନ୍ୟ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 1320 ବର୍ଗ ମିଟର

d₁ = 22 ମିଟର

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × d₁ × d₂

1320 = (୧/୨) × 22 × d₂

1320 = 11 × d₂

d₂ = 1320 / 11 = 120 ମିଟର

ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (a) = (୧/୨)√d₁² + d₂² = (୧/୨)√22² + 120² = (୧/୨)√484 + 14400 = (୧/୨)√14884 = (୧/୨) × 122 = 61 ମିଟର

ଉତ୍ତର: ଅନ୍ୟ କର୍ଣ୍ଣ = 120 ମିଟର, ବାହୁ = 61 ମିଟର ।

୧୧. ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 3456 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ଓ ଏହାର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଅନୁପାତ 3 : 4 ହେଲେ, ରମ୍ବସ୍‌ର ପରିସୀମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର d₁ = 3x, d₂ = 4x

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × d₁ × d₂

3456 = (୧/୨) × 3x × 4x

3456 = (୧/୨) × 12x²

3456 = 6x²

x² = 3456 / 6 = 576

x = √576 = 24

d₁ = 3 × 24 = 72 ସେ.ମି.

d₂ = 4 × 24 = 96 ସେ.ମି.

ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (a) = (୧/୨)√d₁² + d₂² = (୧/୨)√72² + 96² = (୧/୨)√5184 + 9216 = (୧/୨)√14400 = (୧/୨) × 120 = 60 ସେ.ମି.

ପରିସୀମା = 4a = 4 × 60 = 240 ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 240 ସେ.ମି.

୧୨. ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 867 ବର୍ଗ ମିଟର ଏବଂ ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅନ୍ୟଟିର 2/3 ହେଲେ, କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର d₁ = x

d₂ = (2/3)x

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × d₁ × d₂

867 = (୧/୨) × x × (2/3)x

867 = (୧/୩)x²

x² = 867 × 3 = 2601

x = √2601 = 51 ମିଟର

d₁ = 51 ମିଟର

d₂ = (2/3) × 51 = 2 × 17 = 34 ମିଟର

ଉତ୍ତର: 34 ମିଟର ଓ 51 ମିଟର ।

୧୩. ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 240 ବର୍ଗ ସେ.ମି । ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅନ୍ୟ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟଠାରୁ 14 ସେ.ମି. ବେଶୀ ହେଲେ, ରମ୍ବସ୍‌ର ପରିସୀମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର d₂ = x

d₁ = x + 14

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × d₁ × d₂

240 = (୧/୨) × (x + 14)x

480 = x² + 14x

x² + 14x - 480 = 0

x² + 30x - 16x - 480 = 0

x(x + 30) - 16(x + 30) = 0

(x + 30)(x - 16) = 0

x = -30 (ଅସମ୍ଭବ) କିମ୍ବା x = 16

ତେଣୁ, d₂ = 16 ସେ.ମି.

d₁ = 16 + 14 = 30 ସେ.ମି.

ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (a) = (୧/୨)√d₁² + d₂² = (୧/୨)√30² + 16² = (୧/୨)√900 + 256 = (୧/୨)√1156 = (୧/୨) × 34 = 17 ସେ.ମି.

ପରିସୀମା = 4a = 4 × 17 = 68 ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 68 ସେ.ମି.

୧୪. ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 13 ମିଟର ଓ ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 24 ମିଟର । ଏହାର ଅନ୍ୟ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (a) = 13 ମିଟର

d₁ = 24 ମିଟର

ଆମେ ଜାଣୁ, a = (୧/୨)√d₁² + d₂²

13 = (୧/୨)√24² + d₂²

26 = √576 + d₂²

26² = 576 + d₂²

676 = 576 + d₂²

d₂² = 676 - 576 = 100

d₂ = √100 = 10 ମିଟର

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × d₁ × d₂ = (୧/୨) × 24 × 10 = 120 ବର୍ଗ ମିଟର

ଉତ୍ତର: ଅନ୍ୟ କର୍ଣ୍ଣ = 10 ମିଟର, କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 120 ବର୍ଗ ମିଟର ।

୧୫. ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 17 ସେ.ମି. ଏବଂ କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଅନୁପାତ 8 : 15 ହେଲେ, ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (a) = 17 ସେ.ମି.

ମନେକର d₁ = 8x, d₂ = 15x

ଆମେ ଜାଣୁ, a = (୧/୨)√d₁² + d₂²

17 = (୧/୨)√(8x)² + (15x)²

34 = √64x² + 225x²

34 = √289x²

34 = 17x

x = 34 / 17 = 2

d₁ = 8 × 2 = 16 ସେ.ମି.

d₂ = 15 × 2 = 30 ସେ.ମି.

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × d₁ × d₂ = (୧/୨) × 16 × 30 = 8 × 30 = 240 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 240 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

୧୬. ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 15 ମିଟର ଏବଂ ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅନ୍ୟ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟଠାରୁ 6 ମିଟର ବେଶୀ । ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (a) = 15 ମିଟର

ମନେକର d₂ = x

d₁ = x + 6

ଆମେ ଜାଣୁ, a = (୧/୨)√d₁² + d₂²

15 = (୧/୨)√(x + 6)² + x²

30 = √(x² + 12x + 36) + x²

30 = √2x² + 12x + 36

30² = 2x² + 12x + 36

900 = 2x² + 12x + 36

2x² + 12x + 36 - 900 = 0

2x² + 12x - 864 = 0

x² + 6x - 432 = 0

x² + 24x - 18x - 432 = 0

x(x + 24) - 18(x + 24) = 0

(x + 24)(x - 18) = 0

x = -24 (ଅସମ୍ଭବ) କିମ୍ବା x = 18

ତେଣୁ, d₂ = 18 ମିଟର

d₁ = 18 + 6 = 24 ମିଟର

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × d₁ × d₂ = (୧/୨) × 24 × 18 = 12 × 18 = 216 ବର୍ଗ ମିଟର

ଉତ୍ତର: 216 ବର୍ଗ ମିଟର ।

୧୭. 720 ବର୍ଗ ମିଟର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ରମ୍ବସ୍‌ର ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 41 ମିଟର ହେଲେ, କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 720 ବର୍ଗ ମିଟର

ବାହୁ (a) = 41 ମିଟର

ମନେକର d₁ ଓ d₂ କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ।

ଆମେ ଜାଣୁ, d₁d₂ = 2 × କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2 × 720 = 1440 (ସମୀକରଣ ୧)

ଆମେ ମଧ୍ୟ ଜାଣୁ, d₁² + d₂² = (2a)² = (2 × 41)² = 82² = 6724 (ସମୀକରଣ ୨)

(d₁ + d₂)² = d₁² + d₂² + 2d₁d₂ = 6724 + 2 × 1440 = 6724 + 2880 = 9604

d₁ + d₂ = √9604 = 98 (ସମୀକରଣ ୩)

(d₁ - d₂)² = d₁² + d₂² - 2d₁d₂ = 6724 - 2 × 1440 = 6724 - 2880 = 3844

d₁ - d₂ = √3844 = 62 (ସମୀକରଣ ୪)

ସମୀକରଣ ୩ ଓ ୪ କୁ ଯୋଗ କରିବା:

(d₁ + d₂) + (d₁ - d₂) = 98 + 62

2d₁ = 160 ⇒ d₁ = 80 ମିଟର

ସମୀକରଣ ୩ ରୁ d₁ ମୂଲ୍ୟ ବାଦ ଦେବା:

d₂ = 98 - d₁ = 98 - 80 = 18 ମିଟର

ଉତ୍ତର: 18 ମିଟର ଓ 80 ମିଟର ।

୧୮. ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ 60° ଓ ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 8 ମିଟର ହେଲେ, ଏହାର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (a) = 8 ମିଟର

ଗୋଟିଏ କୋଣ = 60°

ଯଦି ଗୋଟିଏ କୋଣ 60° ହୁଏ, ତେବେ ଏହା ସହିତ ସଂଲଗ୍ନ କୋଣ 180° - 60° = 120° ହେବ ।

ଯଦି ରମ୍ବସ୍‌ର ଗୋଟିଏ କୋଣ 60° ହୁଏ, ତେବେ ଏହାକୁ ଦୁଇଟି ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଇପାରିବ ।

ତେଣୁ, ଛୋଟ କର୍ଣ୍ଣ (d₁) = ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 8 ମିଟର

ବଡ କର୍ଣ୍ଣ (d₂) = √ (2a)² - a² = √ (16)² - 8² = √256 - 64 = √192 = 8√3 ମିଟର

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × d₁ × d₂ = (୧/୨) × 8 × 8√3 = 32√3 ବର୍ଗ ମିଟର

ବିକଳ୍ପ ପଦ୍ଧତି:

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2 × (ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ) = 2 × (√3/4)a² = 2 × (√3/4) × 8² = 2 × (√3/4) × 64 = 2 × 16√3 = 32√3 ବର୍ଗ ମିଟର

ଉତ୍ତର: କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ = 8 ମିଟର ଓ 8√3 ମିଟର, କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 32√3 ବର୍ଗ ମିଟର ।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

ଅନୁଶୀଳନୀ – 5 (d)

୧. ନିମ୍ନଲିଖୂତ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡିକର ଉତ୍ତର ଦିଅ ।

(i) ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 3 ସେ.ମି. ଓ 5 ସେ.ମି. । ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ବ୍ୟବଧାନ 3 ସେ.ମି. ହେଲେ, ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟ = a = 3 ସେ.ମି., b = 5 ସେ.ମି.

ଉଚ୍ଚତା (h) = 3 ସେ.ମି.

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × (a + b) × h = (୧/୨) × (3 + 5) × 3 = (୧/୨) × 8 × 3 = 12 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 12 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

(ii) ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି 18 ସେ.ମି ଓ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 36 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ହେଲେ, ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ବ୍ୟବଧାନ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ସମଷ୍ଟି (a + b) = 18 ସେ.ମି.

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 36 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × (a + b) × h

36 = (୧/୨) × 18 × h

36 = 9 × h

h = 36 / 9 = 4 ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 4 ସେ.ମି.

(iii) ABCD ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ରେ AB II CD | ଯଦି AB = 6 ସେ.ମି., ବ୍ୟବଧାନ AE = 4 ସେ.ମି.ଓ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 28 ବର୍ଗ ସେ.ମି, ହୁଏ । ତେବେ CD କେତେ ?

ସମାଧାନ:

AB = 6 ସେ.ମି.

ଉଚ୍ଚତା (AE) = 4 ସେ.ମି.

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 28 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × (AB + CD) × AE

28 = (୧/୨) × (6 + CD) × 4

28 = 2 × (6 + CD)

14 = 6 + CD

CD = 14 - 6 = 8 ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 8 ସେ.ମି.

(iv) ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ଅସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁକୁ ଯୋଗକରୁଥିବା ସରଳରେଖାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 8 ସେ.ମି. ଓ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 40 ବର୍ଗ ସେ.ମି ହେଲେ, ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ବ୍ୟବଧାନ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁକୁ ଯୋଗକରୁଥିବା ସରଳରେଖାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (m) = 8 ସେ.ମି.

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 40 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = m × h

40 = 8 × h

h = 40 / 8 = 5 ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 5 ସେ.ମି.

(v) ABCD ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ରେ AB II CD ଓ 2AB = CD | ଯଦି ସମାନ୍ତର ବାହୁମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ବ୍ୟବଧାନ 4 ସେ.ମି ଓ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 42 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ହୁଏ, ତେବେ CD କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ମନେକର AB = x, ତେବେ CD = 2x

ଉଚ୍ଚତା (h) = 4 ସେ.ମି.

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 42 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × (AB + CD) × h

42 = (୧/୨) × (x + 2x) × 4

42 = (୧/୨) × 3x × 4

42 = 6x

x = 42 / 6 = 7 ସେ.ମି.

ତେଣୁ, CD = 2x = 2 × 7 = 14 ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 14 ସେ.ମି.

୨. (i) ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା 12 ସେ.ମି. ଏବଂ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 96 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ହେଲେ, ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ଉଚ୍ଚତା (h) = 12 ସେ.ମି.

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 96 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × (a + b) × h

96 = (୧/୨) × (a + b) × 12

96 = 6 × (a + b)

(a + b) = 96 / 6 = 16 ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 16 ସେ.ମି.

(ii) ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 5 ମିଟର ଓ 7 ମିଟର ଏବଂ ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ବ୍ୟବଧାନ 6 ମିଟର ହେଲେ, ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟ = a = 5 ମିଟର, b = 7 ମିଟର

ଉଚ୍ଚତା (h) = 6 ମିଟର

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × (a + b) × h = (୧/୨) × (5 + 7) × 6 = (୧/୨) × 12 × 6 = 36 ବର୍ଗ ମିଟର

ଉତ୍ତର: 36 ବର୍ଗ ମିଟର

(iii) ABCD ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ରେ AB ଓ CD ପରସ୍ପର ସମାନ୍ତର ଏବଂ AB = 2 CD । ଯଦି ଏହାର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି, ତେବେ AAOB ଓ ACOD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ର ଅନୁପାତ କେତେ ହେବ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ରେ AB II CD

ତ୍ରିଭୁଜ AOB ଓ ତ୍ରିଭୁଜ COD ସଦୃଶ (ସମାନ କୋଣଗୁଡ଼ିକ ଯୋଗୁଁ)

ସଦୃଶ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନୁପାତ ସେମାନଙ୍କ ଅନୁରୂପ ବାହୁର ବର୍ଗର ଅନୁପାତ ସହିତ ସମାନ ।

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ(AAOB) / କ୍ଷେତ୍ରଫଳ(ACOD) = (AB/CD)²

ଦତ୍ତ: AB = 2CD

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ(AAOB) / କ୍ଷେତ୍ରଫଳ(ACOD) = (2CD/CD)² = (2/1)² = 4/1

ଅନୁପାତ = 4 : 1

ଉତ୍ତର: 4 : 1

୩. ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 384 ବର୍ଗ ସେ.ମି । ଯଦି ଏହାର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଅନୁପାତ 3 : 5 ହୁଏ, ଏବଂ ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ବ୍ୟବଧାନ 12 ସେ.ମି ହୁଏ ତେବେ କ୍ଷୁଦ୍ରତର ସମାନ୍ତର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟ = 3x, 5x

ଉଚ୍ଚତା (h) = 12 ସେ.ମି.

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 384 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × (3x + 5x) × 12

384 = (୧/୨) × 8x × 12

384 = 4x × 12

384 = 48x

x = 384 / 48 = 8

କ୍ଷୁଦ୍ରତର ସମାନ୍ତର ବାହୁ = 3x = 3 × 8 = 24 ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 24 ସେ.ମି.

୪. ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 58 ମିଟର ଓ 72 ମିଟର ଏବଂ ଏହାର ଉଚ୍ଚତା 15 ମିଟର ହେଲେ, କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟ = a = 58 ମିଟର, b = 72 ମିଟର

ଉଚ୍ଚତା (h) = 15 ମିଟର

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × (a + b) × h = (୧/୨) × (58 + 72) × 15 = (୧/୨) × 130 × 15 = 65 × 15 = 975 ବର୍ଗ ମିଟର

ଉତ୍ତର: 975 ବର୍ଗ ମିଟର

୫. ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 55 ମିଟର ଓ 35 ମିଟର ଏବଂ ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 810 ବର୍ଗ ମି. ହେଲେ, ଉଚ୍ଚତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟ = a = 55 ମିଟର, b = 35 ମିଟର

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 810 ବର୍ଗ ମିଟର

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × (a + b) × h

810 = (୧/୨) × (55 + 35) × h

810 = (୧/୨) × 90 × h

810 = 45 × h

h = 810 / 45 = 18 ମିଟର

ଉତ୍ତର: 18 ମିଟର

୬. ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ଦୁଇ ସମାନ୍ତର ବାହୁ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିକର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅନ୍ୟଠାରୁ 20 ସେ.ମି. ବେଶୀ ଓ ଏହି ବାହୁଦ୍ୱୟ ମଧ୍ୟରେ ବ୍ୟବଧାନ 25 ସେ.ମି. । ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 1250 ବର୍ଗ ସେ.ମି ହେଲେ, ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର ଛୋଟ ସମାନ୍ତର ବାହୁ = x

ବଡ ସମାନ୍ତର ବାହୁ = x + 20

ଉଚ୍ଚତା (h) = 25 ସେ.ମି.

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 1250 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × (x + x + 20) × 25

1250 = (୧/୨) × (2x + 20) × 25

1250 = (x + 10) × 25

1250 / 25 = x + 10

50 = x + 10

x = 40 ସେ.ମି.

ଛୋଟ ସମାନ୍ତର ବାହୁ = 40 ସେ.ମି.

ବଡ ସମାନ୍ତର ବାହୁ = 40 + 20 = 60 ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 40 ସେ.ମି. ଓ 60 ସେ.ମି.

୭. ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟ ମଧ୍ୟରେ ବ୍ୟବଧାନ 30 ମିଟର ଏବଂ ସେହି ଦୁଇଟିର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଅନୁପାତ 2 : 3 ଅଟେ । ଗୋଟିକର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅନ୍ୟଠାରୁ 10 ମିଟର ଅଧୂକ ହେଲେ, କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ଉଚ୍ଚତା (h) = 30 ମିଟର

ମନେକର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟ = 2x, 3x

ଦତ୍ତ: 3x - 2x = 10 ⇒ x = 10

ତେଣୁ, ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟ = a = 2 × 10 = 20 ମିଟର, b = 3 × 10 = 30 ମିଟର

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × (a + b) × h = (୧/୨) × (20 + 30) × 30 = (୧/୨) × 50 × 30 = 25 × 30 = 750 ବର୍ଗ ମିଟର

ଉତ୍ତର: 750 ବର୍ଗ ମିଟର

୮. ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 960 ବର୍ଗ ମିଟର । ଏହାର ଉଚ୍ଚତା 6 ମିଟର ଓ ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଅନ୍ତର 20 ମିଟର ହେଲେ, ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 960 ବର୍ଗ ମିଟର

ଉଚ୍ଚତା (h) = 6 ମିଟର

ମନେକର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟ = a, b

ଦତ୍ତ: a - b = 20 ⇒ a = b + 20

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × (a + b) × h

960 = (୧/୨) × (b + 20 + b) × 6

960 = (୧/୨) × (2b + 20) × 6

960 = (b + 10) × 6

960 / 6 = b + 10

160 = b + 10

b = 150 ମିଟର

a = 150 + 20 = 170 ମିଟର

ଉତ୍ତର: 150 ମିଟର ଓ 170 ମିଟର ।

୯. ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ଏକ ସମାନ୍ତର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 44 ମିଟର ଓ ଅନ୍ୟ ସମାନ୍ତର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଉଚ୍ଚତାର ଅର୍ଦ୍ଧେକ । ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 885 ବର୍ଗ ମିଟର ହେଲେ, ଉଚ୍ଚତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ଗୋଟିଏ ସମାନ୍ତର ବାହୁ (a) = 44 ମିଟର

ମନେକର ଉଚ୍ଚତା = h

ଅନ୍ୟ ସମାନ୍ତର ବାହୁ (b) = h / 2

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 885 ବର୍ଗ ମିଟର

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × (a + b) × h

885 = (୧/୨) × (44 + h/2) × h

885 = (୧/୨) × ((88 + h)/2) × h

885 = (88h + h²) / 4

885 × 4 = 88h + h²

3540 = h² + 88h

h² + 88h - 3540 = 0

h² + 118h - 30h - 3540 = 0

h(h + 118) - 30(h + 118) = 0

(h + 118)(h - 30) = 0

h = -118 (ଅସମ୍ଭବ) କିମ୍ବା h = 30

ତେଣୁ, ଉଚ୍ଚତା = 30 ମିଟର

ଉତ୍ତର: 30 ମିଟର ।

୧୦. ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ଅସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁକୁ ଛେଦକରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 39 ସେ.ମି । ଏହି ରେଖାଖଣ୍ଡଠାରୁ ବୃହତ୍ତର ସମାନ୍ତର ବାହୁର ଦୂରତା 12 ସେ.ମି ହେଲେ, କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁକୁ ଯୋଗକରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (m) = 39 ସେ.ମି.

ଏହି ରେଖାଖଣ୍ଡଠାରୁ ବୃହତ୍ତର ସମାନ୍ତର ବାହୁର ଦୂରତା 12 ସେ.ମି.

ଏହାର ଅର୍ଥ ହେଉଛି ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ଉଚ୍ଚତାର ଅଧା = 12 ସେ.ମି.

ତେଣୁ, ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା (h) = 2 × 12 = 24 ସେ.ମି.

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = m × h = 39 × 24 = 936 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 936 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

୧୧. ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 24 ମିଟର ଓ 50 ମିଟର ଏବଂ ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ବ୍ୟବଧାନ 12 ମିଟର । ଅସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁକୁ ଯୋଗ କରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌କୁ ଯେଉଁ ଦୁଇଟି ଚତୁର୍ଭୁଜରେ ବିଭକ୍ତ କରେ, ସେମାନଙ୍କର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟ = a = 24 ମିଟର, b = 50 ମିଟର

ଉଚ୍ଚତା (h) = 12 ମିଟର

ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ରେଖାଖଣ୍ଡର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (m) = (a + b) / 2 = (24 + 50) / 2 = 74 / 2 = 37 ମିଟର

ଏହି ରେଖାଖଣ୍ଡ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌କୁ ଦୁଇଟି ଛୋଟ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ରେ ବିଭକ୍ତ କରେ, ଯେଉଁମାନଙ୍କର ଉଚ୍ଚତା ମୂଳ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ଉଚ୍ଚତାର ଅଧା ହେବ ।

ତେଣୁ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ଛୋଟ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା = 12 / 2 = 6 ମିଟର

ପ୍ରଥମ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟ = 24 ମିଟର ଓ 37 ମିଟର

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ୧ = (୧/୨) × (24 + 37) × 6 = (୧/୨) × 61 × 6 = 61 × 3 = 183 ବର୍ଗ ମିଟର

ଦ୍ୱିତୀୟ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟ = 37 ମିଟର ଓ 50 ମିଟର

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ୨ = (୧/୨) × (37 + 50) × 6 = (୧/୨) × 87 × 6 = 87 × 3 = 261 ବର୍ଗ ମିଟର

ଉତ୍ତର: 183 ବର୍ଗ ମିଟର ଓ 261 ବର୍ଗ ମିଟର ।

୧୨. ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 35 ମିଟର ଓ 50 ମିଟର । ଏହାର ଅସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ସମାନ୍ତର ବାହୁମାନଙ୍କ ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ଓ ଅନ୍ୟଟିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 17 ମିଟର ହେଲେ, କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟ = a = 35 ମିଟର, b = 50 ମିଟର

ଅସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ସମାନ୍ତର ବାହୁମାନଙ୍କ ପ୍ରତି ଲମ୍ବ, ତେଣୁ ଏହା ଉଚ୍ଚତା (h) ।

ଅନ୍ୟ ଅସମାନ୍ତର ବାହୁ = 17 ମିଟର ।

ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଅନ୍ତର = 50 - 35 = 15 ମିଟର ।

ଉଚ୍ଚତା (h) = √17² - 15² = √289 - 225 = √64 = 8 ମିଟର ।

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × (a + b) × h = (୧/୨) × (35 + 50) × 8 = (୧/୨) × 85 × 8 = 85 × 4 = 340 ବର୍ଗ ମିଟର ।

ଉତ୍ତର: 340 ବର୍ଗ ମିଟର ।

୧୩. ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 210 ବର୍ଗ ସେ.ମି. । ଏହାର ଅସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିକର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 17 ସେ.ମି. ଓ ଅନ୍ୟଟି ସମାନ୍ତର ବାହୁମାନଙ୍କ ପ୍ରତି ଲମ୍ବ । ଯଦି ଗୋଟିଏ ସମାନ୍ତର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅନ୍ୟଠାରୁ 8 ସେ.ମି. ଅଧୂକ ହୁଏ, ତେବେ ବାହୁ ତିନୋଟିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 210 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ଅସମାନ୍ତର ବାହୁ = 17 ସେ.ମି.

ଅନ୍ୟ ଅସମାନ୍ତର ବାହୁ ଉଚ୍ଚତା (h) ।

ମନେକର ଛୋଟ ସମାନ୍ତର ବାହୁ = x

ବଡ ସମାନ୍ତର ବାହୁ = x + 8

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × (x + x + 8) × h

210 = (୧/୨) × (2x + 8) × h

210 = (x + 4)h (ସମୀକରଣ ୧)

ଆମେ ଜାଣୁ, ଉଚ୍ଚତା (h) = √17² - (ବଡ ସମାନ୍ତର ବାହୁ - ଛୋଟ ସମାନ୍ତର ବାହୁ)² = √17² - (x + 8 - x)² = √17² - 8² = √289 - 64 = √225 = 15 ସେ.ମି.

h = 15 କୁ ସମୀକରଣ ୧ ରେ ରଖିବା:

210 = (x + 4) × 15

210 / 15 = x + 4

14 = x + 4

x = 10 ସେ.ମି.

ତେଣୁ, ଛୋଟ ସମାନ୍ତର ବାହୁ = 10 ସେ.ମି.

ବଡ ସମାନ୍ତର ବାହୁ = 10 + 8 = 18 ସେ.ମି.

ବାହୁ ତିନୋଟିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ: 10 ସେ.ମି., 18 ସେ.ମି., 17 ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 10 ସେ.ମି., 18 ସେ.ମି., 17 ସେ.ମି.

୧୪. ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ଦୁଇ ସମାନ୍ତର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 54 ସେ.ମି. ଓ 30 ସେ.ମି. ଏବଂ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅସମାନ୍ତର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 20 ସେ.ମି. ହେଲେ, କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟ = a = 54 ସେ.ମି., b = 30 ସେ.ମି.

ଅସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟ = 20 ସେ.ମି. (ସମଦ୍ୱିବାହୁ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍)

ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଅନ୍ତର = 54 - 30 = 24 ସେ.ମି.

ଉଚ୍ଚତା (h) = √20² - (24/2)² = √20² - 12² = √400 - 144 = √256 = 16 ସେ.ମି.

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × (a + b) × h = (୧/୨) × (54 + 30) × 16 = (୧/୨) × 84 × 16 = 84 × 8 = 672 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 672 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

୧୫. ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ 60° ଅଟେ । ଏହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅସମାନ୍ତର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 16 ସେ.ମି. ଏବଂ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 336√3 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ହେଲେ, ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ଅସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟ = 16 ସେ.ମି. (ସମଦ୍ୱିବାହୁ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍)

ଗୋଟିଏ କୋଣ = 60°

ଉଚ୍ଚତା (h) = 16 × sin(60°) = 16 × (√3/2) = 8√3 ସେ.ମି.

ମନେକର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟ = a, b

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × (a + b) × h

336√3 = (୧/୨) × (a + b) × 8√3

336√3 = 4√3 × (a + b)

336 = 4 × (a + b)

a + b = 336 / 4 = 84 (ସମୀକରଣ ୧)

ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଅନ୍ତର = 2 × (ଅସମାନ୍ତର ବାହୁ × cos(60°)) = 2 × 16 × (1/2) = 16 (ସମୀକରଣ ୨)

ସମୀକରଣ ୧ ଓ ୨ କୁ ଯୋଗ କରିବା:

(a + b) + (a - b) = 84 + 16

2a = 100 ⇒ a = 50 ସେ.ମି.

b = 84 - a = 84 - 50 = 34 ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 34 ସେ.ମି. ଓ 50 ସେ.ମି.

୧୬. ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 550√3 ବର୍ଗ ମିଟର ଏବଂ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅସମାନ୍ତର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 20 ମିଟର । ଏହାର ବୃହତ୍ତର ସମାନ୍ତର ବାହୁ ସଂଲଗ୍ନ କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ 60° ହେଲେ, ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ଅସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟ = 20 ମିଟର

ବୃହତ୍ତର ସମାନ୍ତର ବାହୁ ସଂଲଗ୍ନ କୋଣଦ୍ୱୟ = 60°

ଉଚ୍ଚତା (h) = 20 × sin(60°) = 20 × (√3/2) = 10√3 ମିଟର

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 550√3 ବର୍ଗ ମିଟର

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × (a + b) × h

550√3 = (୧/୨) × (a + b) × 10√3

550 = (୧/୨) × (a + b) × 10

550 = 5 × (a + b)

a + b = 550 / 5 = 110 (ସମୀକରଣ ୧)

ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଅନ୍ତର = 2 × (ଅସମାନ୍ତର ବାହୁ × cos(60°)) = 2 × 20 × (1/2) = 20 (ସମୀକରଣ ୨)

ସମୀକରଣ ୧ ଓ ୨ କୁ ଯୋଗ କରିବା:

(a + b) + (a - b) = 110 + 20

2a = 130 ⇒ a = 65 ମିଟର

b = 110 - a = 110 - 65 = 45 ମିଟର

ଉତ୍ତର: 45 ମିଟର ଓ 65 ମିଟର ।

୧୭. ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ଦୁଇ ସମାନ୍ତର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 42 ମିଟର ଓ 30 ମିଟର । ଏହାର ବୃହତ୍ତର ସମାନ୍ତର ବାହୁର ସଂଲଗ୍ନ କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣ 90° ଓ 45° ହେଲେ, ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟ = a = 42 ମିଟର, b = 30 ମିଟର

ବୃହତ୍ତର ସମାନ୍ତର ବାହୁ ସଂଲଗ୍ନ କୋଣଦ୍ୱୟ = 90° ଓ 45°

ଏହାର ଅର୍ଥ ହେଉଛି ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ଗୋଟିଏ ପାର୍ଶ୍ଵ ଲମ୍ବ ।

ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଅନ୍ତର = 42 - 30 = 12 ମିଟର ।

ଉଚ୍ଚତା (h) = 12 × tan(45°) = 12 × 1 = 12 ମିଟର ।

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × (a + b) × h = (୧/୨) × (42 + 30) × 12 = (୧/୨) × 72 × 12 = 72 × 6 = 432 ବର୍ଗ ମିଟର ।

ଉତ୍ତର: 432 ବର୍ଗ ମିଟର ।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

ଅନୁଶୀଳନୀ – 5 (e)

୧. ନିମ୍ନଲିଖୂତ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡିକର ଉତ୍ତର ଦିଅ ।

(a) ଗୋଟିଏ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 25 ମିଟର ଏବଂ ଏହି କର୍ଣ୍ଣପ୍ରତି ବିପରୀତ କୌଣିକ ବିନ୍ଦୁଦ୍ୱୟରୁ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 13 ସେ.ମି. ଓ 11 ସେ.ମି ହେଲେ ଚତୁର୍ଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (d) = 25 ମିଟର

ଲମ୍ବଦ୍ୱୟ (p₁) = 13 ସେ.ମି. = 0.13 ମିଟର, (p₂) = 11 ସେ.ମି. = 0.11 ମିଟର

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × d × (p₁ + p₂) = (୧/୨) × 25 × (0.13 + 0.11) = (୧/୨) × 25 × 0.24 = 25 × 0.12 = 3 ବର୍ଗ ମିଟର

ଉତ୍ତର: 3 ବର୍ଗ ମିଟର ।

(b) ଗୋଟିଏ ଚତୁର୍ଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 560 ବର୍ଗ ସେ.ମି ଏବଂ କର୍ଣ୍ଣପ୍ରତି ବିପରୀତ କୌଣିକ ବିନ୍ଦୁରୁ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି 28 ସେ.ମି. ହେଲେ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 560 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ଲମ୍ବଦ୍ୱୟର ସମଷ୍ଟି (p₁ + p₂) = 28 ସେ.ମି.

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × d × (p₁ + p₂)

560 = (୧/୨) × d × 28

560 = 14 × d

d = 560 / 14 = 40 ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 40 ସେ.ମି.

(c) ଗୋଟିଏ ଚତୁର୍ଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 36 ମିଟର ଏବଂ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 270 ବର୍ଗ ମିଟର ହେଲେ, କର୍ଣ୍ଣପ୍ରତି ବିପରୀତ କୌଣିକ ବିନ୍ଦୁଦ୍ୱୟରୁ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି କେତେ ?

ସମାଧାନ:

କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (d) = 36 ମିଟର

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 270 ବର୍ଗ ମିଟର

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × d × (p₁ + p₂)

270 = (୧/୨) × 36 × (p₁ + p₂)

270 = 18 × (p₁ + p₂)

p₁ + p₂ = 270 / 18 = 15 ମିଟର

ଉତ୍ତର: 15 ମିଟର

(d) ବହିଃସ୍ଥ କର୍ଣ୍ଣ ବିଶିଷ୍ଟ ଗୋଟିଏ ଚତୁର୍ଭୁଜର ବହିଃସୁ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 36 ସେ.ମି. ଏବଂ କର୍ଣ୍ଣପ୍ରତି ବିପରୀତ କୌଣିକ ବିନ୍ଦୁରୁ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 24 ସେ.ମି. ଓ 16 ସେ.ମି. ହେଲେ ଚତୁର୍ଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (d) = 36 ସେ.ମି.

ଲମ୍ବଦ୍ୱୟ (p₁) = 24 ସେ.ମି., (p₂) = 16 ସେ.ମି.

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × d × |p₁ - p₂| = (୧/୨) × 36 × |24 - 16| = (୧/୨) × 36 × 8 = 18 × 8 = 144 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 144 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

(e) ଗୋଟିଏ ଚତୁର୍ଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମକୋଣରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 24 ମିଟର ଓ 15 ମିଟର ହେଲେ, ଚତୁର୍ଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ (d₁) = 24 ମିଟର, (d₂) = 15 ମିଟର

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × d₁ × d₂ = (୧/୨) × 24 × 15 = 12 × 15 = 180 ବର୍ଗ ମିଟର

ଉତ୍ତର: 180 ବର୍ଗ ମିଟର

(f) ଗୋଟିଏ ବହିଃସୁ କର୍ଣ୍ଣ ବିଶିଷ୍ଟ ଚତୁର୍ଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣପ୍ରତି ବିପରୀତ କୌଣିକ ବିନ୍ଦୁଦ୍ୱୟରୁ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବଦ୍ୱୟର ଅନ୍ତର 10 ସେ.ମି ଓ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 180 ବର୍ଗ ସେ.ମି ହେଲେ, ଉକ୍ତ ବହିଃସୁ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ଲମ୍ବଦ୍ୱୟର ଅନ୍ତର |p₁ - p₂| = 10 ସେ.ମି.

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 180 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × d × |p₁ - p₂|

180 = (୧/୨) × d × 10

180 = 5 × d

d = 180 / 5 = 36 ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 36 ସେ.ମି.

(g) ଗୋଟିଏ ଚତୁର୍ଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମକୋଣରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । ଯଦି ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 32 ମିଟର ଏବଂ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 640 ବର୍ଗ ମିଟର ହୁଏ, ତେବେ ଅନ୍ୟ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

d₁ = 32 ମିଟର

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 640 ବର୍ଗ ମିଟର

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × d₁ × d₂

640 = (୧/୨) × 32 × d₂

640 = 16 × d₂

d₂ = 640 / 16 = 40 ମିଟର

ଉତ୍ତର: 40 ମିଟର

୨. ଗୋଟିଏ ଚତୁର୍ଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 48 ମିଟର ଏବଂ ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 1296 ବର୍ଗ ମିଟର । ଏହି କର୍ଣ୍ଣ ଉପରେ ବିପରୀତ କୌଣିକ ବିନ୍ଦୁଦ୍ୱୟରୁ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବ ଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଅନୁପାତ 4 : 5 ହେଲେ, ଲମ୍ବଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (d) = 48 ମିଟର

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 1296 ବର୍ଗ ମିଟର

ମନେକର ଲମ୍ବଦ୍ୱୟ = 4x, 5x

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × d × (4x + 5x)

1296 = (୧/୨) × 48 × 9x

1296 = 24 × 9x

1296 = 216x

x = 1296 / 216 = 6

ଲମ୍ବଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ: p₁ = 4x = 4 × 6 = 24 ମିଟର

p₂ = 5x = 5 × 6 = 30 ମିଟର

ଉତ୍ତର: 24 ମିଟର ଓ 30 ମିଟର ।

୩. ଗୋଟିଏ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 28 ମିଟର ଏବଂ ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 336 ବର୍ଗ ମିଟର । ଏହି କର୍ଣ୍ଣ ପ୍ରତି ବିପରୀତ କୌଣିକ ବିନ୍ଦୁରୁ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବ ଦ୍ୱୟ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ଅନ୍ୟଠାରୁ 6 ମିଟର ଅଧୂକ ହେଲେ, ଲମ୍ବଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (d) = 28 ମିଟର

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 336 ବର୍ଗ ମିଟର

ମନେକର ଲମ୍ବଦ୍ୱୟ = x, x + 6

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × d × (x + x + 6)

336 = (୧/୨) × 28 × (2x + 6)

336 = 14 × (2x + 6)

336 / 14 = 2x + 6

24 = 2x + 6

2x = 18

x = 9 ମିଟର

ଲମ୍ବଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ: p₁ = 9 ମିଟର

p₂ = 9 + 6 = 15 ମିଟର

ଉତ୍ତର: 9 ମିଟର ଓ 15 ମିଟର ।

୪. କୌଣସି ଚତୁର୍ଭୁଜର ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 70 ସେ.ମି । ଏହି କର୍ଣ୍ଣପ୍ରତି ବିପରୀତ କୌଣିକ ବିନ୍ଦୁରୁ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି ଦତ୍ତ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟର 3/5 ହେଲେ, ଚତୁର୍ଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (d) = 70 ସେ.ମି.

ଲମ୍ବଦ୍ୱୟର ସମଷ୍ଟି (p₁ + p₂) = (3/5) × 70 = 3 × 14 = 42 ସେ.ମି.

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × d × (p₁ + p₂) = (୧/୨) × 70 × 42 = 35 × 42 = 1470 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 1470 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

୫. ଗୋଟିଏ ଚତୁର୍ଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 192 ବର୍ଗ ମିଟର ଏବଂ ଏହାର ବହିଃସୁ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 32 ମିଟର । ଏହି କର୍ଣ୍ଣ ଉପରେ ବିପରୀତ କୌଣିକ ବିନ୍ଦୁରୁ ଏହା ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି 26 ମିଟର ହେଲେ, ସେମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 192 ବର୍ଗ ମିଟର

ବହିଃସୁ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (d) = 32 ମିଟର

ଲମ୍ବଦ୍ୱୟର ସମଷ୍ଟି (p₁ + p₂) = 26 ମିଟର

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × d × |p₁ - p₂|

192 = (୧/୨) × 32 × |p₁ - p₂|

192 = 16 × |p₁ - p₂|

|p₁ - p₂| = 192 / 16 = 12 (ସମୀକରଣ ୧)

ଆମ ପାଖରେ p₁ + p₂ = 26 (ସମୀକରଣ ୨)

ସମୀକରଣ ୧ ଓ ୨ କୁ ଯୋଗ କରିବା:

(p₁ + p₂) + (p₁ - p₂) = 26 + 12

2p₁ = 38 ⇒ p₁ = 19 ମିଟର

p₂ = 26 - p₁ = 26 - 19 = 7 ମିଟର

ଉତ୍ତର: 7 ମିଟର ଓ 19 ମିଟର ।

୬. ଗୋଟିଏ ଚତୁର୍ଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମକୋଣରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । ଚତୁର୍ଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 864 ବର୍ଗ ମିଟର ଓ କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଅନୁପାତ 3 : 4 ହେଲେ, କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 864 ବର୍ଗ ମିଟର

ମନେକର d₁ = 3x, d₂ = 4x

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × d₁ × d₂

864 = (୧/୨) × 3x × 4x

864 = 6x²

x² = 864 / 6 = 144

x = √144 = 12

d₁ = 3 × 12 = 36 ମିଟର

d₂ = 4 × 12 = 48 ମିଟର

ଉତ୍ତର: 36 ମିଟର ଓ 48 ମିଟର ।

୭. ଗୋଟିଏ ଚତୁର୍ଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମକୋଣରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । ଚତୁର୍ଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 400 ବର୍ଗ ମିଟର । ଯଦି ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅନ୍ୟଟି ଅପେକ୍ଷା 7 ମିଟର ବେଶୀ ହୁଏ, ତେବେ କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 400 ବର୍ଗ ମିଟର

ମନେକର d₂ = x

d₁ = x + 7

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × d₁ × d₂

400 = (୧/୨) × (x + 7)x

800 = x² + 7x

x² + 7x - 800 = 0

x² + 32x - 25x - 800 = 0

x(x + 32) - 25(x + 32) = 0

(x + 32)(x - 25) = 0

x = -32 (ଅସମ୍ଭବ) କିମ୍ବା x = 25

d₂ = 25 ମିଟର

d₁ = 25 + 7 = 32 ମିଟର

ଉତ୍ତର: 25 ମିଟର ଓ 32 ମିଟର ।

୮. ଗୋଟିଏ ଚତୁର୍ଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମକୋଣରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ଏବଂ ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 90 ବର୍ଗ ମିଟର । ଯଦି କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ସମଷ୍ଟି 28 ମିଟର ହୁଏ, ତେବେ କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 90 ବର୍ଗ ମିଟର

d₁ + d₂ = 28 (ସମୀକରଣ ୧)

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × d₁ × d₂

90 = (୧/୨) × d₁d₂

d₁d₂ = 180 (ସମୀକରଣ ୨)

ଆମେ ଜାଣୁ, (d₁ - d₂)² = (d₁ + d₂)² - 4d₁d₂

(d₁ - d₂)² = 28² - 4 × 180 = 784 - 720 = 64

d₁ - d₂ = √64 = 8 (ସମୀକରଣ ୩)

ସମୀକରଣ ୧ ଓ ୩ କୁ ଯୋଗ କରିବା:

(d₁ + d₂) + (d₁ - d₂) = 28 + 8

2d₁ = 36 ⇒ d₁ = 18 ମିଟର

d₂ = 28 - d₁ = 28 - 18 = 10 ମିଟର

ଉତ୍ତର: 10 ମିଟର ଓ 18 ମିଟର ।

୯. ଗୋଟିଏ ଚତୁର୍ଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 396 ବର୍ଗ ମିଟର ଏବଂ ଏହାର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମକୋଣରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । ଏହାର ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅନ୍ୟ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟର 2 ଗୁଣରୁ 8 ମିଟର ବେଶୀ ହେଲେ, କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 396 ବର୍ଗ ମିଟର

ମନେକର d₂ = x

d₁ = 2x + 8

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (୧/୨) × d₁ × d₂

396 = (୧/୨) × (2x + 8)x

792 = 2x² + 8x

2x² + 8x - 792 = 0

x² + 4x - 396 = 0

x² + 22x - 18x - 396 = 0

x(x + 22) - 18(x + 22) = 0

(x + 22)(x - 18) = 0

x = -22 (ଅସମ୍ଭବ) କିମ୍ବା x = 18

d₂ = 18 ମିଟର

d₁ = 2 × 18 + 8 = 36 + 8 = 44 ମିଟର

ଉତ୍ତର: 18 ମିଟର ଓ 44 ମିଟର ।

୧୦. ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜର AB, BC, CD, DA ଏବଂ AC କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 29 ସେ.ମି., 39 ସେ.ମି., 40 ସେ.ମି., 36 ସେ.ମି. ଏବଂ 25 ସେ.ମି ହେଲେ, ଚତୁର୍ଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ଚତୁର୍ଭୁଜ ABCD କର୍ଣ୍ଣ AC ଦ୍ୱାରା ଦୁଇଟି ତ୍ରିଭୁଜ ABC ଓ ADC ରେ ବିଭକ୍ତ ।

ତ୍ରିଭୁଜ ABC ପାଇଁ:

ବାହୁଗୁଡ଼ିକ: a = 29, b = 39, c = 25

ଅର୍ଦ୍ଧ-ପରିସୀମା (s₁) = (29 + 39 + 25) / 2 = 93 / 2 = 46.5 ସେ.ମି.

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ(ABC) = √s₁(s₁-a)(s₁-b)(s₁-c)

= √46.5(46.5-29)(46.5-39)(46.5-25)

= √46.5 × 17.5 × 7.5 × 21.5

= √131015.625 ≈ 361.96 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ତ୍ରିଭୁଜ ADC ପାଇଁ:

ବାହୁଗୁଡ଼ିକ: a = 40, b = 36, c = 25

ଅର୍ଦ୍ଧ-ପରିସୀମା (s₂) = (40 + 36 + 25) / 2 = 101 / 2 = 50.5 ସେ.ମି.

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ(ADC) = √s₂(s₂-a)(s₂-b)(s₂-c)

= √50.5(50.5-40)(50.5-36)(50.5-25)

= √50.5 × 10.5 × 14.5 × 25.5

= √197300.625 ≈ 444.185 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ଚତୁର୍ଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = କ୍ଷେତ୍ରଫଳ(ABC) + କ୍ଷେତ୍ରଫଳ(ADC) = 361.96 + 444.185 = 806.145 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: ପ୍ରାୟ 806.15 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

୧୧. ଗୋଟିଏ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଚାରିବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 15 ସେ.ମି, 36 ସେ.ମି., 52 ସେ.ମି. ଓ 65 ସେ.ମି. ଏବଂ ପ୍ରଥମ ଦୁଇବାହୁର ଅନ୍ତର୍ଗତ କୋଣର ପରିମାଣ 90° ଅଟେ । ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର ଚତୁର୍ଭୁଜ ABCD ରେ AB = 15, BC = 36, CD = 52, DA = 65

∠ABC = 90°

ତ୍ରିଭୁଜ ABC ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ।

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ(ABC) = (୧/୨) × AB × BC = (୧/୨) × 15 × 36 = 15 × 18 = 270 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

କର୍ଣ୍ଣ AC = √AB² + BC² = √15² + 36² = √225 + 1296 = √1521 = 39 ସେ.ମି.

ତ୍ରିଭୁଜ ADC ପାଇଁ:

ବାହୁଗୁଡ଼ିକ: AD = 65, CD = 52, AC = 39

ଅର୍ଦ୍ଧ-ପରିସୀମା (s) = (65 + 52 + 39) / 2 = 156 / 2 = 78 ସେ.ମି.

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ(ADC) = √s(s-AD)(s-CD)(s-AC)

= √78(78-65)(78-52)(78-39)

= √78 × 13 × 26 × 39

= √(6 × 13) × 13 × (2 × 13) × (3 × 13)

= √(6 × 2 × 3 × 13⁴) = √(36 × 13⁴) = 6 × 13² = 6 × 169 = 1014 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ଚତୁର୍ଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = କ୍ଷେତ୍ରଫଳ(ABC) + କ୍ଷେତ୍ରଫଳ(ADC) = 270 + 1014 = 1284 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 1284 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

୧୨. ଗୋଟିଏ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଦୁଇଟି ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 5 ମିଟର ଓ 15 ମିଟର ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ଅନ୍ତର୍ଗତ କୋଣ ଗୋଟିଏ ସମକୋଣ । ଯଦି ଅନ୍ୟ ବାହୁ ଦୁଇଟିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ପ୍ରତ୍ୟେକ 17 ମିଟର ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ ଚତୁର୍ଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର ଚତୁର୍ଭୁଜ ABCD ରେ AB = 5, BC = 15, CD = 17, DA = 17

∠ABC = 90°

ତ୍ରିଭୁଜ ABC ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ।

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ(ABC) = (୧/୨) × AB × BC = (୧/୨) × 5 × 15 = 37.5 ବର୍ଗ ମିଟର

କର୍ଣ୍ଣ AC = √AB² + BC² = √5² + 15² = √25 + 225 = √250 = 5√10 ମିଟର

ତ୍ରିଭୁଜ ADC ପାଇଁ:

ବାହୁଗୁଡ଼ିକ: AD = 17, CD = 17, AC = 5√10

ଏହା ଏକ ସମଦ୍ୱିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ।

ଅର୍ଦ୍ଧ-ପରିସୀମା (s) = (17 + 17 + 5√10) / 2 = (34 + 5√10) / 2 = 17 + (5√10)/2

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ(ADC) = √s(s-17)(s-17)(s-5√10)

= √(17 + (5√10)/2) ((5√10)/2) ((5√10)/2) (17 - (5√10)/2)

= √((17 + (5√10)/2)(17 - (5√10)/2)) × ((5√10)/2)²

= √(17² - ((5√10)/2)²) × (25 × 10 / 4)

= √(289 - (250/4)) × (250 / 4)

= √(289 - 62.5) × 62.5

= √226.5 × 62.5 = √14156.25 = 118.979 ବର୍ଗ ମିଟର (ପାଖାପାଖି)

ଚତୁର୍ଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = କ୍ଷେତ୍ରଫଳ(ABC) + କ୍ଷେତ୍ରଫଳ(ADC) = 37.5 + 118.979 = 156.479 ବର୍ଗ ମିଟର

ଉତ୍ତର: ପ୍ରାୟ 156.48 ବର୍ଗ ମିଟର ।

୧୩. ଗୋଟିଏ ଚତୁର୍ଭୁଜର ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 20 ସେ.ମି., 20 ସେ.ମି., 16 ସେ.ମି. ଓ 12 ସେ.ମି ଏବଂ ପ୍ରଥମ ବାହୁଦ୍ୱୟର ଅନ୍ତର୍ଗତ କୋଣର ପରିମାଣ 60° ହେଲେ, କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର ଚତୁର୍ଭୁଜ ABCD ରେ AB = 20, BC = 20, CD = 16, DA = 12

∠ABC = 60°

ତ୍ରିଭୁଜ ABC ପାଇଁ:

ବାହୁଗୁଡ଼ିକ: AB = 20, BC = 20, ∠ABC = 60°

ଯେହେତୁ AB = BC ଓ ∠ABC = 60°, ତ୍ରିଭୁଜ ABC ଏକ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ।

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ(ABC) = (√3/4) × 20² = (√3/4) × 400 = 100√3 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

କର୍ଣ୍ଣ AC = 20 ସେ.ମି. (ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ତୃତୀୟ ବାହୁ)

ତ୍ରିଭୁଜ ADC ପାଇଁ:

ବାହୁଗୁଡ଼ିକ: AD = 12, CD = 16, AC = 20

ଆମେ ଯାଞ୍ଚ କରିବା ଯେ ଏହା ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ କି ନାହିଁ ।

12² + 16² = 144 + 256 = 400

20² = 400

ଯେହେତୁ 12² + 16² = 20², ତ୍ରିଭୁଜ ADC ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ।

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ(ADC) = (୧/୨) × AD × CD = (୧/୨) × 12 × 16 = 96 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ଚତୁର୍ଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = କ୍ଷେତ୍ରଫଳ(ABC) + କ୍ଷେତ୍ରଫଳ(ADC) = 100√3 + 96 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: (96 + 100√3) ବର୍ଗ ସେ.ମି.

୧୪. ଯଦି AB = BC = 50 ସେ.ମି. ଏବଂ m∠ABC = 60° ; AD = 30 ସେ.ମି. ଓ m∠ADC = 90° ହେଲେ, ଚତୁର୍ଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର ଚତୁର୍ଭୁଜ ABCD ରେ AB = 50, BC = 50, AD = 30

∠ABC = 60°

ତ୍ରିଭୁଜ ABC ପାଇଁ:

ଯେହେତୁ AB = BC ଓ ∠ABC = 60°, ତ୍ରିଭୁଜ ABC ଏକ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ।

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ(ABC) = (√3/4) × 50² = (√3/4) × 2500 = 625√3 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

କର୍ଣ୍ଣ AC = 50 ସେ.ମି.

ତ୍ରିଭୁଜ ADC ପାଇଁ:

AD = 30, AC = 50, ∠ADC = 90°

ଏହା ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ।

CD = √AC² - AD² = √50² - 30² = √2500 - 900 = √1600 = 40 ସେ.ମି.

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ(ADC) = (୧/୨) × AD × CD = (୧/୨) × 30 × 40 = 600 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ଚତୁର୍ଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = କ୍ଷେତ୍ରଫଳ(ABC) + କ୍ଷେତ୍ରଫଳ(ADC) = 625√3 + 600 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: (600 + 625√3) ବର୍ଗ ସେ.ମି.

୧୫. ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜର AB = 36 ସେ.ମି., BC = 48 ସେ.ମି., CD = DA = 50 ସେ.ମି., ଏହାର m∠ABC = 90° ହେଲେ, ଚତୁର୍ଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର ଚତୁର୍ଭୁଜ ABCD ରେ AB = 36, BC = 48, CD = 50, DA = 50

∠ABC = 90°

ତ୍ରିଭୁଜ ABC ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ।

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ(ABC) = (୧/୨) × AB × BC = (୧/୨) × 36 × 48 = 18 × 48 = 864 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

କର୍ଣ୍ଣ AC = √AB² + BC² = √36² + 48² = √1296 + 2304 = √3600 = 60 ସେ.ମି.

ତ୍ରିଭୁଜ ADC ପାଇଁ:

ବାହୁଗୁଡ଼ିକ: CD = 50, DA = 50, AC = 60

ଏହା ଏକ ସମଦ୍ୱିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ।

ଅର୍ଦ୍ଧ-ପରିସୀମା (s) = (50 + 50 + 60) / 2 = 160 / 2 = 80 ସେ.ମି.

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ(ADC) = √s(s-CD)(s-DA)(s-AC)

= √80(80-50)(80-50)(80-60)

= √80 × 30 × 30 × 20

= √(16 × 5) × (900) × (4 × 5)

= √(16 × 900 × 20 × 5) = √(16 × 900 × 100) = 4 × 30 × 10 = 1200 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ଚତୁର୍ଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = କ୍ଷେତ୍ରଫଳ(ABC) + କ୍ଷେତ୍ରଫଳ(ADC) = 864 + 1200 = 2064 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 2064 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

ଅନୁଶୀଳନୀ – 5 (f)

୧. ନିମ୍ନଲିଖୂତ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡିକର ଉତ୍ତର ଦିଅ ।

(a) ଗୋଟିଏ ଆୟତଘନାକାର ବସ୍ତୁର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟକୁ ଉଚ୍ଚତା ଓ ଉଚ୍ଚତାକୁ ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କଲେ ଏହାର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳରେ କିଛି ପରିବର୍ତନ ହେବ କି ?

ସମାଧାନ:

ମନେକର ମୂଳ ଆୟତଘନର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = l, ପ୍ରସ୍ଥ = b, ଉଚ୍ଚତା = h

ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2(lb + bh + hl)

ଯଦି ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟକୁ ଉଚ୍ଚତା ଓ ଉଚ୍ଚତାକୁ ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କରାଯାଏ, ତେବେ ନୂତନ ଦୈର୍ଘ୍ୟ = h, ପ୍ରସ୍ଥ = b, ଉଚ୍ଚତା = l

ନୂତନ ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2(hb + bl + lh) = 2(bh + lb + hl)

ଉଭୟ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସମାନ । ତେଣୁ, କୌଣସି ପରିବର୍ତ୍ତନ ହେବ ନାହିଁ ।

ଉତ୍ତର: ନାହିଁ ।

(b) କାର୍ଡ ବୋର୍ଡରେ ନିର୍ମିତ ଢାଙ୍କୁଣି ନଥୁବା ଏକ ସମଘନାକୃତି ବାକ୍ସର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁ 6 ସେ.ମି. ହେଲେ ବାକ୍ସରେ ବ୍ୟବହୃତ କାର୍ଡ଼ବୋର୍ଡ଼ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ସମଘନର ବାହୁ (a) = 6 ସେ.ମି.

ଢାଙ୍କୁଣି ନଥିବା ସମଘନର ପୃଷ୍ଠତଳ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 5a² (କାରଣ ଉପର ପୃଷ୍ଠଟି ନାହିଁ)

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 5 × 6² = 5 × 36 = 180 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 180 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

(c) ଗୋଟିଏ ଆୟତଘନର ଭୂମିର ପରିସୀମା 22 ସେ.ମି ଓ ଉଚ୍ଚତା 15 ସେ.ମି ହେଲେ, ଏହାର ପାର୍ଶ୍ଵପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ଆୟତଘନର ଭୂମିର ପରିସୀମା = 2(l + b) = 22 ସେ.ମି.

ଉଚ୍ଚତା (h) = 15 ସେ.ମି.

ପାର୍ଶ୍ଵ ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2(l + b)h = (ଭୂମିର ପରିସୀମା) × ଉଚ୍ଚତା

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 22 × 15 = 330 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 330 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

(d) ଗୋଟିଏ ସମଘନର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 216 ବର୍ଗ ମି. ହେଲେ, ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ସମଘନର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 6a²

216 = 6a²

a² = 216 / 6 = 36

a = √36 = 6 ମିଟର

ଉତ୍ତର: 6 ମିଟର

(e) ଗୋଟିଏ ଆୟତଘନର ପାର୍ଶ୍ଵପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 336 ବର୍ଗ.ମି. ଏବଂ ଭୂମିର ପରିସୀମା 24 ମିଟର ହେଲେ ଉଚ୍ଚତା କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ପାର୍ଶ୍ଵ ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 336 ବର୍ଗ ମିଟର

ଭୂମିର ପରିସୀମା = 2(l + b) = 24 ମିଟର

ପାର୍ଶ୍ଵ ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2(l + b)h = (ଭୂମିର ପରିସୀମା) × ଉଚ୍ଚତା

336 = 24 × h

h = 336 / 24 = 14 ମିଟର

ଉତ୍ତର: 14 ମିଟର

(f) a ଏକକ ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ତିନିଗୋଟି ସମଘନକୁ ଏପରି ଭାବେ ସଜାଇ ପାଖାପାଖି ରଖାଗଲା ଯେ, ଉତ୍ପନ୍ନ ଘନବସ୍ତୁଟି ଏକ ଆୟତଘନ । ତେବେ ଆୟତଘନର ସମଗ୍ରପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ତିନିଗୋଟି ସମଘନକୁ ପାଖାପାଖି ରଖିଲେ, ନୂତନ ଆୟତଘନର:

ଦୈର୍ଘ୍ୟ (l) = a + a + a = 3a

ପ୍ରସ୍ଥ (b) = a

ଉଚ୍ଚତା (h) = a

ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2(lb + bh + hl)

= 2((3a)a + a(a) + a(3a))

= 2(3a² + a² + 3a²)

= 2(7a²) = 14a² ବର୍ଗ ଏକକ

ଉତ୍ତର: 14a² ବର୍ଗ ଏକକ

(g) ଦୁଇଟି ସମଘନର ଆୟତନର ଅନୁପାତ 8 : 1 ହେଲେ, ସେମାନଙ୍କର ବାହୁମାନଙ୍କର ଅନୁପାତ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ମନେକର ସମଘନ ଦ୍ୱୟର ବାହୁ = a₁, a₂

ଆୟତନର ଅନୁପାତ = a₁³ : a₂³ = 8 : 1

(a₁/a₂)³ = 8/1

a₁/a₂ = ³√(8/1) = 2/1

ବାହୁମାନଙ୍କର ଅନୁପାତ = 2 : 1

ଉତ୍ତର: 2 : 1

(h) ତିନୋଟି ଧାତବ ସମଘନର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 5 ସେ.ମି, 4 ସେ.ମି ଓ 3 ସେ.ମି. । ଏହି ତିନୋଟି ଧାତବ ସମଘନକୁ ତରଳାଇ ଗୋଟିଏ ନୂତନ ସମଘନ ତିଆରି କଲେ ତାହାର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ପ୍ରଥମ ସମଘନର ଘନଫଳ = 5³ = 125 ଘନ ସେ.ମି.

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମଘନର ଘନଫଳ = 4³ = 64 ଘନ ସେ.ମି.

ତୃତୀୟ ସମଘନର ଘନଫଳ = 3³ = 27 ଘନ ସେ.ମି.

ନୂତନ ସମଘନର ଘନଫଳ = 125 + 64 + 27 = 216 ଘନ ସେ.ମି.

ନୂତନ ସମଘନର ବାହୁ (a) = ³√216 = 6 ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 6 ସେ.ମି.

(i) ଗୋଟିଏ ସମଘନର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଦୁଇଗୁଣ ବଢିଗଲେ ଏହାର ଆୟତନ ପୂର୍ବାପେକ୍ଷା କେତେ ଗୁଣ ବଢିବ ?

ସମାଧାନ:

ମନେକର ମୂଳ ସମଘନର ବାହୁ = a

ମୂଳ ଆୟତନ = a³

ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଦୁଇଗୁଣ ବଢିଲେ ନୂତନ ବାହୁ = 2a

ନୂତନ ଆୟତନ = (2a)³ = 8a³

ଆୟତନ 8 ଗୁଣ ବଢିବ ।

ଉତ୍ତର: 8 ଗୁଣ

(j) ଦୁଇଟି ସମଘନର ଆୟତନର ଅନୁପାତ 1 : 27 ହେଲେ, ସେମାନଙ୍କର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନୁପାତ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ଆୟତନର ଅନୁପାତ = a₁³ : a₂³ = 1 : 27

(a₁/a₂)³ = 1/27

a₁/a₂ = ³√(1/27) = 1/3

ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନୁପାତ = 6a₁² : 6a₂² = a₁² : a₂² = (a₁/a₂)² = (1/3)² = 1/9

ଉତ୍ତର: 1 : 9

(k) ଗୋଟିଏ ଆୟତାକାର ପୋଖରୀର ଆଧାରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 6500 ବର୍ଗ.ସେ.ମି. ଏବଂ ଏଥିରେ ଥିବା ପାଣିର ଆୟତନ 2.6 ଘନମିଟର ହେଲେ, ଜଳର ଗଭୀରତା କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ଆଧାରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 6500 ବର୍ଗ ସେ.ମି. = 6500 / 10000 = 0.65 ବର୍ଗ ମିଟର

ପାଣିର ଆୟତନ = 2.6 ଘନମିଟର

ଆୟତନ = ଆଧାରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ × ଗଭୀରତା

2.6 = 0.65 × ଗଭୀରତା

ଗଭୀରତା = 2.6 / 0.65 = 4 ମିଟର

ଉତ୍ତର: 4 ମିଟର

(l) 40 ମିଟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ, 16 ମିଟର ପ୍ରସ୍ଥ ଓ 2 ମିଟର ଗଭୀରତା ବିଶିଷ୍ଟ ଗୋଟିଏ ଖାତ ଖୋଳିଲେ ଖୋଳାଯାଇଥିବା ମାଟିର ଆୟତନ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 40 ମିଟର, ପ୍ରସ୍ଥ = 16 ମିଟର, ଗଭୀରତା (ଉଚ୍ଚତା) = 2 ମିଟର

ମାଟିର ଆୟତନ = ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ପ୍ରସ୍ଥ × ଉଚ୍ଚତା = 40 × 16 × 2 = 1280 ଘନ ମିଟର

ଉତ୍ତର: 1280 ଘନ ମିଟର

(m) P ଓ Q, √3 ସେ.ମି. ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ସମଘନ ଉପରିସ୍ଥ ଯେକୌଣସି ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ ହେଲେ, PQ ଦୂରତାର ସର୍ବାଧୂକ ମାନ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ସମଘନର ବାହୁ (a) = √3 ସେ.ମି.

ସମଘନ ଉପରେ ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟରେ ସର୍ବାଧିକ ଦୂରତା ହେଉଛି ସମଘନର କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ।

ସମଘନର କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = √3a = √3 × √3 = 3 ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 3 ସେ.ମି.

୨. (a) ଗୋଟିଏ ଇଟାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ, ପ୍ରସ୍ଥ ଓ ଉଚ୍ଚତା ଯଥାକ୍ରମେ 21 ସେ.ମି., 12 ସେ.ମି.ଓ 8 ସେ.ମି. ଅଟେ । ୨ ମିଟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ, 1 ମିଟର ଉଚ୍ଚତା ଓ 7 ମିଟର ପ୍ରସ୍ଥ ବିଶିଷ୍ଟ କାନ୍ଥ ନିର୍ମାଣ କରିବା ପାଇଁ କେତୋଟି ଇଟା ଲାଗିବ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ଇଟାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 21 ସେ.ମି., ପ୍ରସ୍ଥ = 12 ସେ.ମି., ଉଚ୍ଚତା = 8 ସେ.ମି.

ଇଟାର ଘନଫଳ = 21 × 12 × 8 = 2016 ଘନ ସେ.ମି.

କାନ୍ଥର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 2 ମିଟର = 200 ସେ.ମି.

କାନ୍ଥର ଉଚ୍ଚତା = 1 ମିଟର = 100 ସେ.ମି.

କାନ୍ଥର ପ୍ରସ୍ଥ = 7 ମିଟର = 700 ସେ.ମି.

କାନ୍ଥର ଘନଫଳ = 200 × 100 × 700 = 14000000 ଘନ ସେ.ମି.

ଆବଶ୍ୟକ ଇଟା ସଂଖ୍ୟା = କାନ୍ଥର ଘନଫଳ / ଇଟାର ଘନଫଳ = 14000000 / 2016 = 6944.44

ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟାରେ ଇଟା ଲାଗିବ 6945 ଟି ।

ଉତ୍ତର: ପ୍ରାୟ 6945 ଟି ।

(b) ଗୋଟିଏ ସମଘନର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁକୁ 50 ପ୍ରତିଶତ ବଢାଇଲେ ଏହାର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ପ୍ରତିଶତ ବଢିବ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର ମୂଳ ସମଘନର ବାହୁ = a

ମୂଳ ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 6a²

ବାହୁକୁ 50% ବଢାଇଲେ ନୂତନ ବାହୁ = a + 0.5a = 1.5a

ନୂତନ ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 6(1.5a)² = 6 × 2.25a² = 13.5a²

କ୍ଷେତ୍ରଫଳରେ ବୃଦ୍ଧି = 13.5a² - 6a² = 7.5a²

ପ୍ରତିଶତ ବୃଦ୍ଧି = (7.5a² / 6a²) × 100 = (7.5 / 6) × 100 = 1.25 × 100 = 125%

ଉତ୍ତର: 125%

(c) 2 ମିଟର ଗଭୀର ଏବଂ 45 ମିଟର ପ୍ରସ୍ଥ ବିଶିଷ୍ଟ ନଦୀର ଜଳ ଘଣ୍ଟାକୁ 3 କି.ମି.ହିସାବରେ ପ୍ରବାହିତ ହେଉଛି । ପ୍ରତି ମିନିଟ୍‌ରେ ସମୁଦ୍ରକୁ ପ୍ରବାହିତ ହେଉଥିବା ଜଳର ପରିମାଣ ନିରୂପଣ କର ।

ସମାଧାନ:

ନଦୀର ଗଭୀରତା (ଉଚ୍ଚତା) = 2 ମିଟର

ନଦୀର ପ୍ରସ୍ଥ = 45 ମିଟର

ଜଳର ପ୍ରବାହ ବେଗ = 3 କି.ମି./ଘଣ୍ଟା = 3000 ମିଟର/ଘଣ୍ଟା

ପ୍ରତି ମିନିଟ୍‌ରେ ଜଳର ପ୍ରବାହ ବେଗ = 3000 / 60 = 50 ମିଟର/ମିନିଟ୍

ପ୍ରତି ମିନିଟ୍‌ରେ ପ୍ରବାହିତ ଜଳର ପରିମାଣ (ଘନଫଳ) = ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ପ୍ରସ୍ଥ × ଉଚ୍ଚତା

= 50 ମିଟର × 45 ମିଟର × 2 ମିଟର = 4500 ଘନ ମିଟର

ଉତ୍ତର: 4500 ଘନ ମିଟର

(d) 12 ମିଟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ୫ ମିଟର ପ୍ରସ୍ଥ ବିଶିଷ୍ଟ ଗୋଟିଏ ବେଦି ତିଆରି କରିବାକୁ ପ୍ରତି ଘନମିଟରକୁ 10 ଟଙ୍କା ହିସାବରେ 480 ଟଙ୍କା ଖର୍ଚ୍ଚ ହେଲା, ବେଦିର ଉଚ୍ଚତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ବେଦିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 12 ମିଟର, ପ୍ରସ୍ଥ = 5 ମିଟର

ମୋଟ ଖର୍ଚ୍ଚ = 480 ଟଙ୍କା

ପ୍ରତି ଘନମିଟରକୁ ଖର୍ଚ୍ଚ = 10 ଟଙ୍କା

ବେଦିର ଘନଫଳ = ମୋଟ ଖର୍ଚ୍ଚ / ପ୍ରତି ଘନମିଟରକୁ ଖର୍ଚ୍ଚ = 480 / 10 = 48 ଘନ ମିଟର

ବେଦିର ଘନଫଳ = ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ପ୍ରସ୍ଥ × ଉଚ୍ଚତା

48 = 12 × 5 × ଉଚ୍ଚତା

48 = 60 × ଉଚ୍ଚତା

ଉଚ୍ଚତା = 48 / 60 = 4 / 5 = 0.8 ମିଟର

ଉତ୍ତର: 0.8 ମିଟର

(e) (i) 1 ସେ.ମି. ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ସମଘନର କର୍ଣ୍ଣକୁ ବାହୁ ଭାବେ ନେଇ ଗଠିତ ସମଘନର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ମୂଳ ସମଘନର ବାହୁ = 1 ସେ.ମି.

ମୂଳ ସମଘନର କର୍ଣ୍ଣ = √3 × 1 = √3 ସେ.ମି.

ନୂତନ ସମଘନର ବାହୁ = √3 ସେ.ମି.

ନୂତନ ସମଘନର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 6 × (√3)² = 6 × 3 = 18 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 18 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

(ii) ଦତ୍ତ ସମଘନ ଓ ଉତ୍ପନ୍ନ ସମଘନର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନୁପାତ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ଦତ୍ତ ସମଘନର ବାହୁ = 1 ସେ.ମି.

ଦତ୍ତ ସମଘନର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 6 × 1² = 6 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ଉତ୍ପନ୍ନ ସମଘନର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 18 ବର୍ଗ ସେ.ମି. (ଉପର ପ୍ରଶ୍ନରୁ)

ଅନୁପାତ = 6 : 18 = 1 : 3

ଉତ୍ତର: 1 : 3

୩. ଗୋଟିଏ ଆୟତଘନର ଦୈର୍ଘ୍ୟ, ପ୍ରସ୍ଥ ଓ ଉଚ୍ଚତା ଯଥାକ୍ରମେ 12 ମିଟର, 8 ମିଟର ଓ 5 ମିଟର ହେଲେ (i) ଏହାର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (ii) ଏହାର ପାର୍ଶ୍ଵପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଏବଂ (iii) ଆୟତନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ଦୈର୍ଘ୍ୟ (l) = 12 ମିଟର, ପ୍ରସ୍ଥ (b) = 8 ମିଟର, ଉଚ୍ଚତା (h) = 5 ମିଟର

(i) ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2(lb + bh + hl)

= 2(12 × 8 + 8 × 5 + 5 × 12)

= 2(96 + 40 + 60)

= 2(196) = 392 ବର୍ଗ ମିଟର

(ii) ପାର୍ଶ୍ଵ ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2(l + b)h

= 2(12 + 8) × 5

= 2(20) × 5 = 200 ବର୍ଗ ମିଟର

(iii) ଆୟତନ = lbh = 12 × 8 × 5 = 480 ଘନ ମିଟର

ଉତ୍ତର: (i) 392 ବର୍ଗ ମିଟର, (ii) 200 ବର୍ଗ ମିଟର, (iii) 480 ଘନ ମିଟର ।

୪. ଗୋଟିଏ ଆୟତଘନର ଦୈର୍ଘ୍ୟ, ପ୍ରସ୍ତର ଦୁଇଗୁଣ ଓ ଉଚ୍ଚତାର 3 ଗୁଣ । ଉଚ୍ଚତା 6 ସେ.ମି ହେଲେ, ଏହାର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ଉଚ୍ଚତା (h) = 6 ସେ.ମି.

ଦୈର୍ଘ୍ୟ (l) = 2 × ପ୍ରସ୍ଥ (b)

ଦୈର୍ଘ୍ୟ (l) = 3 × ଉଚ୍ଚତା (h)

l = 3 × 6 = 18 ସେ.ମି.

18 = 2b ⇒ b = 9 ସେ.ମି.

ତେଣୁ, l = 18 ସେ.ମି., b = 9 ସେ.ମି., h = 6 ସେ.ମି.

ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2(lb + bh + hl)

= 2(18 × 9 + 9 × 6 + 6 × 18)

= 2(162 + 54 + 108)

= 2(324) = 648 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 648 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

୫. ଗୋଟିଏ ବନ୍ଦଥୁବା ବାକ୍ସର ଦୈର୍ଘ୍ୟ, ପ୍ରସ୍ଥ ଓ ଉଚ୍ଚତା ଯଥାକ୍ରମେ 18 ସେ.ମି., 12 ସେ.ମି.ଓ 8 ସେ.ମି ହେଲେ, ଏହାର ବାହାର ପାଖକୁ ରଙ୍ଗ କରିବାରେ ପ୍ରତି ବର୍ଗ ସେ.ମିକୁ 50 ପଇସା ହିସାବରେ କେତେ ଖର୍ଚ୍ଚ ହେବ ?

ସମାଧାନ:

ଦୈର୍ଘ୍ୟ (l) = 18 ସେ.ମି., ପ୍ରସ୍ଥ (b) = 12 ସେ.ମି., ଉଚ୍ଚତା (h) = 8 ସେ.ମି.

ବାକ୍ସର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2(lb + bh + hl)

= 2(18 × 12 + 12 × 8 + 8 × 18)

= 2(216 + 96 + 144)

= 2(456) = 912 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ପ୍ରତି ବର୍ଗ ସେ.ମି.କୁ 50 ପଇସା ଖର୍ଚ୍ଚ ହୁଏ ।

ମୋଟ ଖର୍ଚ୍ଚ = 912 × 0.50 = 456 ଟଙ୍କା

ଉତ୍ତର: 456 ଟଙ୍କା ।

୬. ଏକ ସମଘନର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 264 ବର୍ଗ.ମି. ହେଲେ, ଏହାର ପାର୍ଶ୍ଵପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ସମଘନର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 6a² = 264 ବର୍ଗ ମିଟର

a² = 264 / 6 = 44

ପାର୍ଶ୍ଵ ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 4a² = 4 × 44 = 176 ବର୍ଗ ମିଟର

ଉତ୍ତର: 176 ବର୍ଗ ମିଟର ।

୭. ଗୋଟିଏ ସମଘନାକାର ଖୋଲା ପାଣି ଟାଙ୍କିର ଭିତର ପାଖ ରଂଗ କରିବାରେ ପ୍ରତି ବର୍ଗ ସେ.ମିକୁ 50 ପଇସା ହିସାବରେ ୨୦ ଟଙ୍କା ଖର୍ଚ୍ଚ ହେଲା । ପାଣି ଟାଙ୍କିର ଭିତର ପାଖର ଉଚ୍ଚତା କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ମୋଟ ଖର୍ଚ୍ଚ = 20 ଟଙ୍କା

ପ୍ରତି ବର୍ଗ ସେ.ମି.କୁ ଖର୍ଚ୍ଚ = 50 ପଇସା = 0.50 ଟଙ୍କା

ଟାଙ୍କିର ରଙ୍ଗ କରାଯାଇଥିବା କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 20 / 0.50 = 40 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ଖୋଲା ସମଘନାକାର ଟାଙ୍କିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 5a² (ଢାଙ୍କୁଣି ନଥିବାରୁ)

5a² = 40

a² = 8

a = √8 = 2√2 ସେ.ମି.

ଟାଙ୍କିର ଉଚ୍ଚତା = a = 2√2 ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 2√2 ସେ.ମି.

୮. ଗୋଟିଏ ଆୟତଘନର ଦୈର୍ଘ୍ୟ, ପ୍ରସ୍ଥ ଓ ଉଚ୍ଚତାର ଅନୁପାତ 6 : 5 : 4 ଏବଂ ଏହାର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 5328 ବର୍ଗ.ମି. ହେଲେ, ପାର୍ଶ୍ଵପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଏବଂ ଆୟତନ କେତେ ?

ସମାଧାନ:

ମନେକର l = 6x, b = 5x, h = 4x

ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2(lb + bh + hl)

5328 = 2(6x × 5x + 5x × 4x + 4x × 6x)

5328 = 2(30x² + 20x² + 24x²)

5328 = 2(74x²)

5328 = 148x²

x² = 5328 / 148 = 36

x = √36 = 6

l = 6 × 6 = 36 ମିଟର

b = 5 × 6 = 30 ମିଟର

h = 4 × 6 = 24 ମିଟର

ପାର୍ଶ୍ଵ ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2(l + b)h = 2(36 + 30) × 24 = 2 × 66 × 24 = 3168 ବର୍ଗ ମିଟର

ଆୟତନ = lbh = 36 × 30 × 24 = 25920 ଘନ ମିଟର

ଉତ୍ତର: ପାର୍ଶ୍ଵ ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 3168 ବର୍ଗ ମିଟର, ଆୟତନ = 25920 ଘନ ମିଟର ।

୯. ଗୋଟିଏ ଆୟତଘନର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 1168 ବର୍ଗ ମିଟର, ପାର୍ଶ୍ଵପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 720 ବର୍ଗ.ମିଟର ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା 12 ମି ହେଲେ, ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ପ୍ରସ୍ଥ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2(lb + bh + hl) = 1168

ପାର୍ଶ୍ଵ ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2(l + b)h = 720

ଉଚ୍ଚତା (h) = 12 ମିଟର

2(l + b) × 12 = 720

2(l + b) = 720 / 12 = 60

l + b = 30 (ସମୀକରଣ ୧)

ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2lb + 2(l + b)h

1168 = 2lb + 720

2lb = 1168 - 720 = 448

lb = 224 (ସମୀକରଣ ୨)

ଆମେ ଜାଣୁ, (l - b)² = (l + b)² - 4lb

(l - b)² = 30² - 4 × 224 = 900 - 896 = 4

l - b = √4 = 2 (ସମୀକରଣ ୩)

ସମୀକରଣ ୧ ଓ ୩ କୁ ଯୋଗ କରିବା:

(l + b) + (l - b) = 30 + 2

2l = 32 ⇒ l = 16 ମିଟର

b = 30 - l = 30 - 16 = 14 ମିଟର

ଉତ୍ତର: ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 16 ମିଟର, ପ୍ରସ୍ଥ = 14 ମିଟର ।

୧୦. ଗୋଟିଏ ଆୟତଘନାକାର ପାଣିକୁଣ୍ଡର ଭିତର ପାଖର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 10 ମି, ପ୍ରସ୍ଥ 8 ମି ଏବଂ ଗଭୀରତା 3 ମି. ହେଲେ, ଏହାର ଭିତର ପାଖରେ ସିମେଣ୍ଟ ଦେବା ଖର୍ଚ୍ଚ ବର୍ଗ ମିଟରକୁ ଟ 2.50 ଦରରେ କେତେ ଖର୍ଚ୍ଚ ହେବ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ଦୈର୍ଘ୍ୟ (l) = 10 ମିଟର, ପ୍ରସ୍ଥ (b) = 8 ମିଟର, ଗଭୀରତା (h) = 3 ମିଟର

ପାଣିକୁଣ୍ଡର ଭିତର ପାଖରେ ସିମେଣ୍ଟ ଦେବା କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + ଚାରିକାନ୍ଥର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ

= lb + 2(l + b)h

= 10 × 8 + 2(10 + 8) × 3

= 80 + 2(18) × 3

= 80 + 108 = 188 ବର୍ଗ ମିଟର

ପ୍ରତି ବର୍ଗ ମିଟରକୁ ଖର୍ଚ୍ଚ = 2.50 ଟଙ୍କା

ମୋଟ ଖର୍ଚ୍ଚ = 188 × 2.50 = 470 ଟଙ୍କା

ଉତ୍ତର: 470 ଟଙ୍କା ।

୧୧. ଗୋଟିଏ ଆୟତଘନର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 700 ବର୍ଗ ସେ.ମି., ଏହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ପ୍ରସ୍ତୁର ଦୁଇଗୁଣ ଓ ଉଚ୍ଚତା ପ୍ରସ୍ଥର ଅର୍ଦ୍ଧେକ ହେଲେ ଆୟତଘନର ଘନଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 700 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ମନେକର ପ୍ରସ୍ଥ (b) = x

ଦୈର୍ଘ୍ୟ (l) = 2x

ଉଚ୍ଚତା (h) = x / 2

ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2(lb + bh + hl)

700 = 2(2x × x + x × (x/2) + (x/2) × 2x)

700 = 2(2x² + x²/2 + x²)

700 = 2(3x² + x²/2)

700 = 2((6x² + x²)/2)

700 = 7x²

x² = 100

x = 10

ଦୈର୍ଘ୍ୟ (l) = 2 × 10 = 20 ସେ.ମି.

ପ୍ରସ୍ଥ (b) = 10 ସେ.ମି.

ଉଚ୍ଚତା (h) = 10 / 2 = 5 ସେ.ମି.

ଘନଫଳ = lbh = 20 × 10 × 5 = 1000 ଘନ ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 1000 ଘନ ସେ.ମି.

୧୨. ଗୋଟିଏ ସମଘନର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଅନ୍ୟ ଦୁଇଟି ସମଘନର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ସମଷ୍ଟି ସଙ୍ଗେ ସମାନ । ଯଦି ଏହି ଦୁଇ ସମଘନର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 24 ମି ଓ 32 ମି ହୁଏ ତେବେ ପ୍ରଥମ ସମଘନର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ପ୍ରଥମ ସମଘନର ବାହୁ = a₁

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମଘନର ବାହୁ = a₂ = 24 ମିଟର

ତୃତୀୟ ସମଘନର ବାହୁ = a₃ = 32 ମିଟର

ପ୍ରଥମ ସମଘନର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 6a₁²

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମଘନର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 6a₂² = 6 × 24² = 6 × 576 = 3456

ତୃତୀୟ ସମଘନର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 6a₃² = 6 × 32² = 6 × 1024 = 6144

ଦତ୍ତ: 6a₁² = 6a₂² + 6a₃²

6a₁² = 3456 + 6144

6a₁² = 9600

a₁² = 9600 / 6 = 1600

a₁ = √1600 = 40 ମିଟର

ଉତ୍ତର: 40 ମିଟର ।

୧୩. ଦୁଇଟି ସମଘନର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନ୍ତର 1050 ବର୍ଗ ସେ.ମି. । ସମଘନ ଦ୍ୱୟର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଅନୁପାତ 4 : 3 ହେଲେ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର ବାହୁଦ୍ୱୟ = 4x, 3x

ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନ୍ତର = 6(4x)² - 6(3x)² = 1050

6(16x²) - 6(9x²) = 1050

96x² - 54x² = 1050

42x² = 1050

x² = 1050 / 42 = 25

x = 5

ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ: a₁ = 4x = 4 × 5 = 20 ସେ.ମି.

a₂ = 3x = 3 × 5 = 15 ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 15 ସେ.ମି. ଓ 20 ସେ.ମି.

୧୪. ଗୋଟିଏ ଆୟତଘନର ଦୈର୍ଘ୍ୟ, ପ୍ରସ୍ଥ ଓ ଉଚ୍ଚତାର ଅନୁପାତ 6 : 5 : 4 ଏବଂ ଏହାର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 33300 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ହେଲେ, ଏହାର ଘନଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର l = 6x, b = 5x, h = 4x

ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2(lb + bh + hl)

33300 = 2(6x × 5x + 5x × 4x + 4x × 6x)

33300 = 2(30x² + 20x² + 24x²)

33300 = 2(74x²)

33300 = 148x²

x² = 33300 / 148 = 225

x = √225 = 15

l = 6 × 15 = 90 ସେ.ମି.

b = 5 × 15 = 75 ସେ.ମି.

h = 4 × 15 = 60 ସେ.ମି.

ଘନଫଳ = lbh = 90 × 75 × 60 = 405000 ଘନ ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 405000 ଘନ ସେ.ମି.

୧୫. 20 ମିଟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ, 16 ମିଟର ପ୍ରସ୍ଥ ଓ 12 ମିଟର ଉଚ୍ଚତା ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ କୋଠରୀରେ ରଖାଯାଇଥିବା ଦୀର୍ଘତମ ଲୁହାଛଡର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ ? (ସୂଚନା : ରଡର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = √l² + b² + h² )

ସମାଧାନ:

ଦୈର୍ଘ୍ୟ (l) = 20 ମିଟର, ପ୍ରସ୍ଥ (b) = 16 ମିଟର, ଉଚ୍ଚତା (h) = 12 ମିଟର

ଦୀର୍ଘତମ ଲୁହାଛଡର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = √l² + b² + h²

= √20² + 16² + 12²

= √400 + 256 + 144

= √800 = √400 × 2 = 20√2 ମିଟର

ଉତ୍ତର: 20√2 ମିଟର ।

୧୬. ଗୋଟିଏ ଆୟତଘନର ଦୈର୍ଘ୍ୟ, ପ୍ରସ୍ଥ ଓ ଉଚ୍ଚତାର ସମଷ୍ଟି 19 ସେ.ମି. ଏବଂ ଏହାର କର୍ଣ୍ଣ 5√5 ସେ.ମି., ହେଲେ, ଏହାର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ଦୈର୍ଘ୍ୟ (l), ପ୍ରସ୍ଥ (b), ଉଚ୍ଚତା (h)

l + b + h = 19 (ସମୀକରଣ ୧)

କର୍ଣ୍ଣ = √l² + b² + h² = 5√5

l² + b² + h² = (5√5)² = 25 × 5 = 125 (ସମୀକରଣ ୨)

ଆମେ ଜାଣୁ, (l + b + h)² = l² + b² + h² + 2(lb + bh + hl)

19² = 125 + 2(lb + bh + hl)

361 = 125 + ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ

ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 361 - 125 = 236 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 236 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

୧୭. ଦୁଇଟି ସମଘନର ଘନଫଳର ସମଷ୍ଟି 5824 ଘ.ସେ.ମି. । ସେମାନଙ୍କର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଅନୁପାତ 3:4 ହେଲେ ପ୍ରତ୍ୟେକର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସ୍ଥିର କର ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର ବାହୁଦ୍ୱୟ = 3x, 4x

ଘନଫଳର ସମଷ୍ଟି = (3x)³ + (4x)³ = 5824

27x³ + 64x³ = 5824

91x³ = 5824

x³ = 5824 / 91 = 64

x = ³√64 = 4

ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ: a₁ = 3x = 3 × 4 = 12 ସେ.ମି.

a₂ = 4x = 4 × 4 = 16 ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 12 ସେ.ମି. ଓ 16 ସେ.ମି.

୧୮. ତିନୋଟି ସମଘନର ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଯଥାକ୍ରମେ 9 ବ.ମି., 16 ବ.ମି. ଓ 25 ବ.ମି. । ଏହି ସମଘନତ୍ରୟର ଘନଫଳର ସମଷ୍ଟି ସଙ୍ଗେ ସମାନ ଘନଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ଅନ୍ୟ ଏକ ସମଘନର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ପ୍ରଥମ ସମଘନର ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = a₁² = 9 ବର୍ଗ ମିଟର ⇒ a₁ = 3 ମିଟର

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମଘନର ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = a₂² = 16 ବର୍ଗ ମିଟର ⇒ a₂ = 4 ମିଟର

ତୃତୀୟ ସମଘନର ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = a₃² = 25 ବର୍ଗ ମିଟର ⇒ a₃ = 5 ମିଟର

ପ୍ରଥମ ସମଘନର ଘନଫଳ = a₁³ = 3³ = 27 ଘନ ମିଟର

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମଘନର ଘନଫଳ = a₂³ = 4³ = 64 ଘନ ମିଟର

ତୃତୀୟ ସମଘନର ଘନଫଳ = a₃³ = 5³ = 125 ଘନ ମିଟର

ନୂତନ ସମଘନର ଘନଫଳ = 27 + 64 + 125 = 216 ଘନ ମିଟର

ନୂତନ ସମଘନର ବାହୁ (a) = ³√216 = 6 ମିଟର

ଉତ୍ତର: 6 ମିଟର ।

୪. ବୋର୍ଡ ପରୀକ୍ଷା ମାଷ୍ଟ୍ରି ଟିପ୍ସ ଓ ସାଧାରଣ ଭୁଲ୍ (Board Exam Tips & Pitfalls)

ପରୀକ୍ଷା ପ୍ରସ୍ତୁତି ରଣନୀତି (Exam Preparation Strategies):

୧. ସୂତ୍ରାବଳୀ ମୁଖସ୍ଥ କରନ୍ତୁ: ପରିମିତିର ସମସ୍ତ ସୂତ୍ର (କ୍ଷେତ୍ରଫଳ, ପରିସୀମା, ଘନଫଳ, ପୃଷ୍ଠତଳ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ) ଭଲ ଭାବରେ ମନେ ରଖନ୍ତୁ । ଏକ ସୂତ୍ର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରି ପ୍ରତିଦିନ ଅଭ୍ୟାସ କରନ୍ତୁ ।

୨. ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କରନ୍ତୁ: ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରଶ୍ନ ପାଇଁ ଉପଯୁକ୍ତ ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କରନ୍ତୁ । ଏହା ସମସ୍ୟାକୁ ସହଜରେ ବୁଝିବାରେ ଏବଂ ସମାଧାନ କରିବାରେ ସାହାଯ୍ୟ କରିବ ।

୩. ଏକକ ପରିବର୍ତ୍ତନ (Unit Conversion): ପ୍ରଶ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ଏକକଗୁଡ଼ିକୁ (ଯଥା: ସେ.ମି., ମିଟର, ଡେସିମିଟର) ସଠିକ୍ ଭାବରେ ପରିବର୍ତ୍ତନ କରିବା ଶିଖନ୍ତୁ । ସମସ୍ତ ମାପକୁ ଗୋଟିଏ ଏକକରେ ପ୍ରକାଶ କରନ୍ତୁ ।

୪. ପଦ