📚 E-Library 📱 Open in App
BSE ODISHA CLASS 9 • UTKAL MASTER STROKE

ବୋର୍ଡ ଅଫ୍ ସେକେଣ୍ଡାରୀ ଏଜୁକେସନ୍ (BSE Odisha) — ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଅଧ୍ୟାୟ ମାଷ୍ଟର ନୋଟ୍ସ

ଶ୍ରେଣୀ: Class 9 | ବିଷୟ: Geometry

ଅଧ୍ୟାୟ: Class9 Geometry Ch07 Trikonamiti

୧. ଅଧ୍ୟାୟର ସାରାଂଶ ଓ ମାଇଣ୍ଡ ମ୍ୟାପ୍ (Mind Map & Conceptual Architecture)

ଏହି ଅଧ୍ୟାୟଟି ତ୍ରିକୋଣମିତିର ମୌଳିକ ଧାରଣା, ଏହାର ଅନୁପାତ, ବିଭିନ୍ନ ସମ୍ପର୍କ ଏବଂ କେତେକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ କୋଣ ପାଇଁ ତ୍ରିକୋଣମିତିକ ଅନୁପାତର ମୂଲ୍ୟ ଉପରେ ଆଧାରିତ। ତ୍ରିକୋଣମିତି ହେଉଛି ଗଣିତର ଏକ ଶାଖା ଯାହା ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁ ଓ କୋଣ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସମ୍ପର୍କକୁ ଅଧ୍ୟୟନ କରେ। ବିଶେଷକରି, ଏହା ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜରେ ବାହୁଗୁଡ଼ିକର ଅନୁପାତକୁ କୋଣ ସହିତ ଯୋଡ଼ିଥାଏ।

ମୁଖ୍ୟ ଧାରଣାଗୁଡ଼ିକର ମାଇଣ୍ଡ ମ୍ୟାପ୍:

  • ତ୍ରିକୋଣମିତି (Trigonometry)
  • ପରିଚୟ:
  • ଅର୍ଥ: ତିନି କୋଣର ପରିମାପ।
  • ଉତ୍ପତ୍ତି: ଗ୍ରୀକ୍ ଜ୍ୟୋତିର୍ବିଦ୍ Hipparchus (140 B.C.)।
  • ପ୍ରଥମ ତ୍ରିକୋଣମିତି ଗ୍ରନ୍ଥ: Bertholomaus Pitisces (ଷୋଡ଼ଶ ଶତାବ୍ଦୀ)।
  • ପ୍ରୟୋଗ: ଉଚ୍ଚତା ଓ ଦୂରତା ନିରୂପଣ, ଜ୍ୟୋତିର୍ବିଜ୍ଞାନ।
  • ତ୍ରିକୋଣମିତିକ ଅନୁପାତ (Trigonometrical Ratios):
  • ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜରେ ସଂଜ୍ଞା।
  • କୋଣ θ (ଥ୍ଟା) ପାଇଁ ଲମ୍ବ (p), ଭୂମି (b), କର୍ଣ୍ଣ (h)।
  • ଷଡ଼ ଅନୁପାତ:
  • sin θ = p/h
  • cos θ = b/h
  • tan θ = p/b
  • cot θ = b/p
  • sec θ = h/b
  • cosec θ = h/p
  • ମନ୍ତବ୍ୟ: ଅନୁପାତଗୁଡ଼ିକ କୋଣର ପରିମାଣ ଉପରେ ନିର୍ଭର କରନ୍ତି, ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଉପରେ ନୁହେଁ।
  • ଅନୁପାତଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ପର୍କ:
  • ବ୍ୟୁତକ୍ରମୀ ସମ୍ପର୍କ (Reciprocal Relations):
  • sin θ = 1/cosec θ
  • cos θ = 1/sec θ
  • tan θ = 1/cot θ
  • ବର୍ଗ ସମ୍ପର୍କ (Square Relations):
  • sin²θ + cos²θ = 1
  • sec²θ - tan²θ = 1
  • cosec²θ - cot²θ = 1
  • ଭାଗଫଳ ସମ୍ପର୍କ (Quotient Relations):
  • tan θ = sin θ / cos θ
  • cot θ = cos θ / sin θ
  • ସରଳ ତ୍ରିକୋଣମିତିକ ଅଭେଦ (Simple Trigonometrical Identities):
  • ଉପରୋକ୍ତ ସମ୍ପର୍କଗୁଡ଼ିକର ବ୍ୟବହାର କରି ଅଭେଦ ପ୍ରମାଣ।
  • ବୀଜଗାଣିତିକ ସୂତ୍ରାବଳୀର ପ୍ରୟୋଗ।
  • କେତେଗୋଟି ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ କୋଣର ତ୍ରିକୋଣମିତିକ ଅନୁପାତ:
  • 30°, 45°, 60° ପାଇଁ ମୂଲ୍ୟ:
  • sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, tan 30° = 1/√3
  • sin 45° = 1/√2, cos 45° = 1/√2, tan 45° = 1
  • sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2, tan 60° = √3
  • ସମସ୍ତ ଷଡ଼ ଅନୁପାତ ପାଇଁ ଉପରୋକ୍ତ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ମୂଲ୍ୟ ସାରଣୀ।
  • ପୂରକ କୋଣ ସମ୍ପର୍କର ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ଧାରଣା (ଯଥା: sin 30° = cos 60°)।

    • ଏହି ଅଧ୍ୟାୟଟି ତ୍ରିକୋଣମିତିର ମୂଳଦୁଆ ପକାଇଥାଏ, ଯାହା ପରବର୍ତ୍ତୀ ଶ୍ରେଣୀରେ ଅଧିକ ବିସ୍ତୃତ ଭାବରେ ଅଧ୍ୟୟନ କରାଯିବ।

    ୨. ମୁଖ୍ୟ ବିଷୟବସ୍ତୁ, ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ଓ ଗାଣିତିକ ସୂତ୍ରାବଳୀ (Comprehensive Theory & Formulas)

    ୭.୧ ଉପକ୍ରମଣିକା (Introduction):

  • ତ୍ରିକୋଣମିତି (Trigonometry) ଶବ୍ଦର ଅର୍ଥ ହେଉଛି 'ତିନି କୋଣର ପରିମାପ'। ଏହା ଗଣିତର ଏକ ଶାଖା ଯାହା ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁ ଓ କୋଣ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସମ୍ପର୍କକୁ ଅଧ୍ୟୟନ କରେ।
  • ଉତ୍ପତ୍ତି: ଗ୍ରୀକ୍ ଜ୍ୟୋତିର୍ବିଦ୍ Hipparchus (140 B.C.) ତ୍ରିକୋଣମିତିର ଆବିଷ୍କାର କରିଥିଲେ। ଗଣିତଜ୍ଞ Bertholomaus Pitisces ଷୋଡ଼ଶ ଶତାବ୍ଦୀରେ ପ୍ରଥମ ତ୍ରିକୋଣମିତି ଗ୍ରନ୍ଥ ରଚନା କରିଥିଲେ।
  • ପ୍ରୟୋଗ: ତ୍ରିକୋଣମିତିର ପ୍ରୟୋଗ ଅତ୍ୟନ୍ତ ବହୁଳ। ଏହା ଉଚ୍ଚତା ଓ ଦୂରତା (Height and Distance) ନିରୂପଣ ଏବଂ ଜ୍ୟୋତିର୍ବିଜ୍ଞାନ (Astronomy) କ୍ଷେତ୍ରରେ ବହୁଳ ଭାବରେ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ।

    • ୭.୨ ତ୍ରିକୋଣମିତିକ ଅନୁପାତ (Trigonometrical Ratios):

    ମନେକର ABC ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ (ଚିତ୍ର 7.1) ଓ ∠ABC ସମକୋଣ। ଏଠାରେ ∠BAC ଓ ∠BCA ପ୍ରତ୍ୟେକ ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣ। ମନେକର ଆମେ ∠BCA କୁ θ (ଥ୍ଟା) ଭାବରେ ନେବା।

  • ବାହୁଗୁଡ଼ିକର ନାମକରଣ:
  • AC କୁ କର୍ଣ୍ଣ (hypotenuse, h) କୁହାଯାଏ।
  • ∠BCA ର ସଂଲଗ୍ନ ବାହୁ BC କୁ ଭୂମି (base, b) କୁହାଯାଏ।
  • ∠BCA ର ବିପରୀତ ବାହୁ AB କୁ ଲମ୍ବ (perpendicular, p) କୁହାଯାଏ।
  • ତ୍ରିକୋଣମିତିକ ଅନୁପାତର ସଂଜ୍ଞା:
  • sine (sin θ): sin θ = ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ / କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = p/h
  • cosine (cos θ): cos θ = ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ / କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = b/h
  • tangent (tan θ): tan θ = ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ / ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = p/b
  • cotangent (cot θ): cot θ = ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ / ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = b/p
  • secant (sec θ): sec θ = କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ / ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = h/b
  • cosecant (cosec θ): cosec θ = କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ / ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = h/p

  • ମନ୍ତବ୍ୟ:
  • ଯଦି ଆମେ ∠CAB କୁ θ ନେଇଥାନ୍ତେ, ତେବେ BC ଲମ୍ବ ଓ AB ଭୂମି ହୋଇଥାନ୍ତା।
  • sin θ, cos θ, tan θ ଇତ୍ୟାଦି ଅନୁପାତଗୁଡ଼ିକ AB, BC ଓ CA ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଉପରେ ନିର୍ଭର କରନ୍ତି ନାହିଁ। ଏମାନେ କେବଳ ସମ୍ପୃକ୍ତ କୋଣର ପରିମାଣ ଉପରେ ନିର୍ଭର କରନ୍ତି। (ସଦୃଶ ତ୍ରିଭୁଜର ଉଦାହରଣ ଦ୍ୱାରା ଏହା ପ୍ରମାଣିତ ହୋଇପାରିବ)।

    • ୭.୩ ତ୍ରିକୋଣମିତିକ ଅନୁପାତଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସମ୍ପର୍କ (Relations among Trigonometrical ratios):

    ପିଥାଗୋରାସ୍ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁସାରେ, ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜରେ ଲମ୍ବ² + ଭୂମି² = କର୍ଣ୍ଣ² ଅର୍ଥାତ୍ p² + b² = h²। ଏହି ସମ୍ପର୍କକୁ ବ୍ୟବହାର କରି ନିମ୍ନଲିଖିତ ସମ୍ପର୍କଗୁଡ଼ିକ ପ୍ରତିଷ୍ଠା କରାଯାଇପାରିବ।

    (a) ବ୍ୟୁତକ୍ରମୀ ସମ୍ପର୍କ (Reciprocal Relations):

  • sin θ × cosec θ = (p/h) × (h/p) = 1
  • sin θ = 1/cosec θ
  • cosec θ = 1/sin θ
  • cos θ × sec θ = (b/h) × (h/b) = 1
  • cos θ = 1/sec θ
  • sec θ = 1/cos θ
  • tan θ × cot θ = (p/b) × (b/p) = 1
  • tan θ = 1/cot θ
  • cot θ = 1/tan θ

    • (b) ବର୍ଗ ସମ୍ପର୍କ (Square Relations):

  • sin²θ + cos²θ = 1
  • ପ୍ରମାଣ: sin²θ + cos²θ = (p/h)² + (b/h)² = p²/h² + b²/h² = (p² + b²)/h² = h²/h² = 1 (ଯେହେତୁ p² + b² = h²)
  • ଏଥିରୁ: sin²θ = 1 - cos²θ ଏବଂ cos²θ = 1 - sin²θ
  • sec²θ - tan²θ = 1
  • ପ୍ରମାଣ: sec²θ - tan²θ = (h/b)² - (p/b)² = h²/b² - p²/b² = (h² - p²)/b² = b²/b² = 1 (ଯେହେତୁ h² - p² = b²)
  • ଏଥିରୁ: sec²θ = 1 + tan²θ ଏବଂ tan²θ = sec²θ - 1
  • cosec²θ - cot²θ = 1
  • ପ୍ରମାଣ: cosec²θ - cot²θ = (h/p)² - (b/p)² = h²/p² - b²/p² = (h² - b²)/p² = p²/p² = 1 (ଯେହେତୁ h² - b² = p²)
  • ଏଥିରୁ: cosec²θ = 1 + cot²θ ଏବଂ cot²θ = cosec²θ - 1

    • (c) ଭାଗଫଳ ସମ୍ପର୍କ (Quotient Relations):

  • tan θ = sin θ / cos θ
  • ପ୍ରମାଣ: sin θ / cos θ = (p/h) / (b/h) = p/h × h/b = p/b = tan θ
  • cot θ = cos θ / sin θ
  • ପ୍ରମାଣ: cos θ / sin θ = (b/h) / (p/h) = b/h × h/p = b/p = cot θ

    • ୭.୪ ସରଳ ତ୍ରିକୋଣମିତିକ ଅଭେଦ (Simple Trigonometrical Identities):

    ଉପରୋକ୍ତ ସମ୍ପର୍କଗୁଡ଼ିକ ଅଭେଦ ଭାବରେ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ। ଅଭେଦ ପ୍ରମାଣ କରିବା ସମୟରେ ବୀଜଗାଣିତିକ ସୂତ୍ରାବଳୀ ଯଥା:

  • (a + b)² = a² + b² + 2ab
  • (a - b)² = a² + b² - 2ab
  • a² - b² = (a + b)(a - b)
  • a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
  • a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

    • ଇତ୍ୟାଦିର ପ୍ରୟୋଗ ଆବଶ୍ୟକତା ଅନୁଯାୟୀ କରାଯାଇଥାଏ।

    ୭.୫ କେତେଗୋଟି ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ କୋଣର ତ୍ରିକୋଣମିତିକ ଅନୁପାତ (Trigonometrical ratios of some particular angles):

    ନିମ୍ନଲିଖିତ କୋଣଗୁଡ଼ିକ ପାଇଁ ତ୍ରିକୋଣମିତିକ ଅନୁପାତର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କରାଯାଇଛି:

  • ୩୦° ଓ ୬୦° ପାଇଁ:
  • ମନେକର ABC ଏକ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ, ଯାହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ x ଏକକ। A ବିନ୍ଦୁରୁ BC ପ୍ରତି AD ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ କର। ତେବେ BD = x/2 ଏବଂ AD = √(x² - (x/2)²) = √(3x²/4) = x√3/2।
  • △ABD ରେ m∠B = 60°, m∠BAD = 30°।
  • ୩୦° ପାଇଁ:
  • sin 30° = BD/AB = (x/2)/x = 1/2
  • cos 30° = AD/AB = (x√3/2)/x = √3/2
  • tan 30° = BD/AD = (x/2)/(x√3/2) = 1/√3
  • cot 30° = 1/tan 30° = √3
  • sec 30° = 1/cos 30° = 2/√3
  • cosec 30° = 1/sin 30° = 2
  • ୬୦° ପାଇଁ:
  • sin 60° = AD/AB = (x√3/2)/x = √3/2
  • cos 60° = BD/AB = (x/2)/x = 1/2
  • tan 60° = AD/BD = (x√3/2)/(x/2) = √3
  • cot 60° = 1/tan 60° = 1/√3
  • sec 60° = 1/cos 60° = 2
  • cosec 60° = 1/sin 60° = 2/√3

  • ୪୫° ପାଇଁ:
  • ମନେକର ABC ଏକ ସମକୋଣୀ ସମଦ୍ୱିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ, ଯେଉଁଠାରେ m∠B = 90° ଏବଂ AB = BC = x। ତେବେ AC = √(x² + x²) = x√2।
  • m∠A = m∠C = 45°।
  • ୪୫° ପାଇଁ:
  • sin 45° = AB/AC = x/(x√2) = 1/√2
  • cos 45° = BC/AC = x/(x√2) = 1/√2
  • tan 45° = AB/BC = x/x = 1
  • cot 45° = 1/tan 45° = 1
  • sec 45° = 1/cos 45° = √2
  • cosec 45° = 1/sin 45° = √2

  • ସାରଣୀ (Table):
    • କୋଣର ପରିମାଣ sin cos tan cot sec cosec
    ୩୦° 1/2 √3/2 1/√3 √3 2/√3 2
    ୪୫° 1/√2 1/√2 1 1 √2 √2
    ୬୦° √3/2 1/2 √3 1/√3 2 2/√3

  • ମନ୍ତବ୍ୟ:
  • sin 30° = cos 60°
  • tan 30° = cot 60°
  • sec 30° = cosec 60°
  • sin 45° = cos 45°
  • tan 45° = cot 45°
  • sec 45° = cosec 45°

    • ଏହି ସମ୍ପର୍କଗୁଡ଼ିକ ପୂରକ କୋଣର ଧାରଣାକୁ ସୂଚାଏ।

    ୩. ପାଠ୍ୟପୁସ୍ତକ ଅଭ୍ୟାସ ପ୍ରଶ୍ନାବଳୀର ୧୦୦% ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସମାଧାନ (100% Complete Solved Exercises)

    ଅନୁଶୀଳନୀ - ୭ (କ)

    ୧. ବନ୍ଧନୀ ମଧ୍ୟରୁ ଠିକ୍ ଉତ୍ତରଟି ବାଛି ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।

    (i) sin θ × cot θ = cos θ

  • ସମାଧାନ: sin θ × cot θ = sin θ × (cos θ / sin θ) = cos θ

    • (ii) cos θ × tan θ = sin θ

  • ସମାଧାନ: cos θ × tan θ = cos θ × (sin θ / cos θ) = sin θ

    • (iii) sin θ × sec θ × cot θ = 1

  • ସମାଧାନ: sin θ × sec θ × cot θ = sin θ × (1/cos θ) × (cos θ / sin θ) = 1

    • (iv) cos θ × cosec θ × tan θ = 1

  • ସମାଧାନ: cos θ × cosec θ × tan θ = cos θ × (1/sin θ) × (sin θ / cos θ) = 1

    • (v) tan²θ = 1 ହେଲେ tan θ + cot θ = 2

  • ସମାଧାନ: tan²θ = 1 => tan θ = 1 (ଯେହେତୁ θ ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣ)
  • cot θ = 1/tan θ = 1/1 = 1
  • ତେଣୁ, tan θ + cot θ = 1 + 1 = 2

    • (vi) tan²θ + cot²θ = (cosec²θ + sec²θ) = -1

  • ସମାଧାନ: ଆମେ ଜାଣୁ:
  • tan²θ = sec²θ - 1
  • cot²θ = cosec²θ - 1
  • ତେଣୁ, tan²θ + cot²θ = (sec²θ - 1) + (cosec²θ - 1) = sec²θ + cosec²θ - 2
  • ପ୍ରଶ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଛି: tan²θ + cot²θ = (cosec²θ + sec²θ)
  • ଏହା କେବଳ ସମ୍ଭବ ଯଦି: sec²θ + cosec²θ - 2 = sec²θ + cosec²θ
  • => -2 = 0, ଯାହା ଅସମ୍ଭବ।
  • ପ୍ରଶ୍ନରେ ଥିବା ବିକଳ୍ପଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ କୌଣସିଟି ଠିକ୍ ନୁହେଁ।
  • ତେବେ, ଯଦି ପ୍ରଶ୍ନଟି (cosec²θ + sec²θ) - (tan²θ + cot²θ) ହୋଇଥାନ୍ତା, ତେବେ ଉତ୍ତର 2 ହୋଇଥାନ୍ତା।
  • ଯଦି ପ୍ରଶ୍ନଟି (tan²θ + cot²θ) - (cosec²θ + sec²θ) ହୋଇଥାନ୍ତା, ତେବେ ଉତ୍ତର -2 ହୋଇଥାନ୍ତା।
  • ପ୍ରଶ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ସମ୍ପର୍କଟି ଭୁଲ୍ ଅଛି। ତେଣୁ, ଏହି ପ୍ରଶ୍ନର ଉତ୍ତର ଦେବା ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ।
  • ତଥାପି, ଯଦି ଆମେ (tan²θ + cot²θ) = (cosec²θ + sec²θ) - 2 ଲେଖିବା, ତେବେ ଉତ୍ତର -2 ହେବ।
  • ପାଠ୍ୟପୁସ୍ତକରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ବିକଳ୍ପ [1, -1, -2] ମଧ୍ୟରୁ -2 ହେଉଛି ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଉତ୍ତର ଯଦି ପ୍ରଶ୍ନଟି (cosec²θ + sec²θ) - (tan²θ + cot²θ) = 2 ହୋଇଥାନ୍ତା, ତେବେ (tan²θ + cot²θ) - (cosec²θ + sec²θ) = -2 ହେବ। ତେଣୁ, -2 ଉତ୍ତର ହେବ।

    • (vii) ABC ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜରେ m∠B = 90° ଓ AB = 3, BC = 4 ହେଲେ sinC = 3/5

  • ସମାଧାନ: ପିଥାଗୋରାସ୍ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁସାରେ, AC = √(AB² + BC²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5।
  • ∠C ପାଇଁ, ଲମ୍ବ (p) = AB = 3, କର୍ଣ୍ଣ (h) = AC = 5।
  • sinC = ଲମ୍ବ/କର୍ଣ୍ଣ = AB/AC = 3/5।

    • (viii) ABC ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜରେ m∠B = 90° ଓ AB = 5, BC = 12 ହେଲେ cosA = 5/13

  • ସମାଧାନ: ପିଥାଗୋରାସ୍ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁସାରେ, AC = √(AB² + BC²) = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13।
  • ∠A ପାଇଁ, ଭୂମି (b) = AB = 5, କର୍ଣ୍ଣ (h) = AC = 13।
  • cosA = ଭୂମି/କର୍ଣ୍ଣ = AB/AC = 5/13।

    • (ix) sin x = √1-cos²x

  • ସମାଧାନ: sin²x + cos²x = 1 => sin²x = 1 - cos²x => sin x = √1-cos²x (ଯେହେତୁ x ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣ, sin x ଧନାତ୍ମକ ହେବ)।

    • (x) sec x = √1+tan²x

  • ସମାଧାନ: sec²x - tan²x = 1 => sec²x = 1 + tan²x => sec x = √1+tan²x (ଯେହେତୁ x ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣ, sec x ଧନାତ୍ମକ ହେବ)।

    • ୨. ନିମ୍ନ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ପ୍ରଦାନ କର ।

    (i) sin α କୁ cot α ରେ ପ୍ରକାଶ କର ।

  • ସମାଧାନ:
  • ଆମେ ଜାଣୁ, cosec²α - cot²α = 1
  • => cosec²α = 1 + cot²α
  • => cosec α = √(1 + cot²α)
  • ଯେହେତୁ sin α = 1/cosec α
  • ତେଣୁ, sin α = 1/√(1 + cot²α)

    • (ii) cos α କୁ tan α ରେ ପ୍ରକାଶ କର ।

  • ସମାଧାନ:
  • ଆମେ ଜାଣୁ, sec²α - tan²α = 1
  • => sec²α = 1 + tan²α
  • => sec α = √(1 + tan²α)
  • ଯେହେତୁ cos α = 1/sec α
  • ତେଣୁ, cos α = 1/√(1 + tan²α)

    • (iii) cosec α କୁ sec α ରେ ପ୍ରକାଶ କର ।

  • ସମାଧାନ:
  • cosec α = 1/sin α
  • sin²α = 1 - cos²α
  • cos α = 1/sec α => cos²α = 1/sec²α
  • sin²α = 1 - 1/sec²α = (sec²α - 1)/sec²α
  • sin α = √(sec²α - 1)/sec α
  • ତେଣୁ, cosec α = 1/sin α = sec α / √(sec²α - 1)

    • (iv) sec α କୁ cosec α ରେ ପ୍ରକାଶ କର ।

  • ସମାଧାନ:
  • sec α = 1/cos α
  • cos²α = 1 - sin²α
  • sin α = 1/cosec α => sin²α = 1/cosec²α
  • cos²α = 1 - 1/cosec²α = (cosec²α - 1)/cosec²α
  • cos α = √(cosec²α - 1)/cosec α
  • ତେଣୁ, sec α = 1/cos α = cosec α / √(cosec²α - 1)

    • ୩. ନିମ୍ନ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ପ୍ରଦାନ କର ।

    (i) sin α = 3/5 ହେଲେ cos α × cot α ର ମାନ କେତେ ?

  • ସମାଧାନ:
  • sin α = 3/5
  • cos²α = 1 - sin²α = 1 - (3/5)² = 1 - 9/25 = (25 - 9)/25 = 16/25
  • cos α = √(16/25) = 4/5 (ଯେହେତୁ α ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣ)
  • cot α = cos α / sin α = (4/5) / (3/5) = 4/3
  • ତେଣୁ, cos α × cot α = (4/5) × (4/3) = 16/15

    • (ii) cos α = 4/5 ହେଲେ sin α × tan α ର ମାନ କେତେ ?

  • ସମାଧାନ:
  • cos α = 4/5
  • sin²α = 1 - cos²α = 1 - (4/5)² = 1 - 16/25 = (25 - 16)/25 = 9/25
  • sin α = √(9/25) = 3/5 (ଯେହେତୁ α ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣ)
  • tan α = sin α / cos α = (3/5) / (4/5) = 3/4
  • ତେଣୁ, sin α × tan α = (3/5) × (3/4) = 9/20

    • (iii) tan α = 5/12 ହେଲେ cot α × cosec α ର ମାନ କେତେ ?

  • ସମାଧାନ:
  • tan α = 5/12
  • cot α = 1/tan α = 12/5
  • cosec²α = 1 + cot²α = 1 + (12/5)² = 1 + 144/25 = (25 + 144)/25 = 169/25
  • cosec α = √(169/25) = 13/5 (ଯେହେତୁ α ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣ)
  • ତେଣୁ, cot α × cosec α = (12/5) × (13/5) = 156/25

    • (iv) cot α = 5/12 ହେଲେ tan α × sec α ର ମାନ କେତେ ?

  • ସମାଧାନ:
  • cot α = 5/12
  • tan α = 1/cot α = 12/5
  • sec²α = 1 + tan²α = 1 + (12/5)² = 1 + 144/25 = (25 + 144)/25 = 169/25
  • sec α = √(169/25) = 13/5 (ଯେହେତୁ α ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣ)
  • ତେଣୁ, tan α × sec α = (12/5) × (13/5) = 156/25

    • ଅନୁଶୀଳନୀ - ୭ (ଖ)

    ୪. cosec θ = √2 ହେଲେ, ଅନ୍ୟ ପାଞ୍ଚଗୋଟି ଅନୁପାତର ମୂଲ୍ୟ କେତେ ?

  • ସମାଧାନ:
  • cosec θ = √2
  • sin θ = 1/cosec θ = 1/√2
  • cos²θ = 1 - sin²θ = 1 - (1/√2)² = 1 - 1/2 = 1/2
  • cos θ = √(1/2) = 1/√2
  • sec θ = 1/cos θ = 1/(1/√2) = √2
  • tan θ = sin θ / cos θ = (1/√2) / (1/√2) = 1
  • cot θ = 1/tan θ = 1/1 = 1
  • ଅନ୍ୟ ପାଞ୍ଚଗୋଟି ଅନୁପାତ ହେଲା: sin θ = 1/√2, cos θ = 1/√2, sec θ = √2, tan θ = 1, cot θ = 1।

    • ୫. tan θ = 1 ହେଲେ, ଅନ୍ୟ ପାଞ୍ଚଗୋଟି ଅନୁପାତର ମୂଲ୍ୟ କେତେ ?

  • ସମାଧାନ:
  • tan θ = 1
  • cot θ = 1/tan θ = 1/1 = 1
  • sec²θ = 1 + tan²θ = 1 + 1² = 1 + 1 = 2
  • sec θ = √2
  • cos θ = 1/sec θ = 1/√2
  • sin²θ = 1 - cos²θ = 1 - (1/√2)² = 1 - 1/2 = 1/2
  • sin θ = √(1/2) = 1/√2
  • cosec θ = 1/sin θ = 1/(1/√2) = √2
  • ଅନ୍ୟ ପାଞ୍ଚଗୋଟି ଅନୁପାତ ହେଲା: cot θ = 1, sec θ = √2, cos θ = 1/√2, sin θ = 1/√2, cosec θ = √2।

    • ୬. cot θ = √3 ହେଲେ, ଅନ୍ୟ ପାଞ୍ଚଗୋଟି ଅନୁପାତର ମୂଲ୍ୟ କେତେ ?

  • ସମାଧାନ:
  • cot θ = √3
  • tan θ = 1/cot θ = 1/√3
  • cosec²θ = 1 + cot²θ = 1 + (√3)² = 1 + 3 = 4
  • cosec θ = √4 = 2
  • sin θ = 1/cosec θ = 1/2
  • cos²θ = 1 - sin²θ = 1 - (1/2)² = 1 - 1/4 = 3/4
  • cos θ = √(3/4) = √3/2
  • sec θ = 1/cos θ = 1/(√3/2) = 2/√3
  • ଅନ୍ୟ ପାଞ୍ଚଗୋଟି ଅନୁପାତ ହେଲା: tan θ = 1/√3, cosec θ = 2, sin θ = 1/2, cos θ = √3/2, sec θ = 2/√3।

    • ୭. △ABC ରେ m∠A = 90°, AB = 20 ସେ.ମି. ଓ AC = 21 ସେ.ମି. ହେଲେ, sin B, cos C ଓ tan B ର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର ।

  • ସମାଧାନ:
  • △ABC ରେ m∠A = 90°।
  • AB = 20 ସେ.ମି., AC = 21 ସେ.ମି.।
  • ପିଥାଗୋରାସ୍ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁସାରେ, BC = √(AB² + AC²) = √(20² + 21²) = √(400 + 441) = √841 = 29 ସେ.ମି.।
  • sin B:
  • ∠B ପାଇଁ, ଲମ୍ବ (p) = AC = 21, କର୍ଣ୍ଣ (h) = BC = 29।
  • sin B = AC/BC = 21/29।
  • cos C:
  • ∠C ପାଇଁ, ଭୂମି (b) = AC = 21, କର୍ଣ୍ଣ (h) = BC = 29।
  • cos C = AC/BC = 21/29।
  • tan B:
  • ∠B ପାଇଁ, ଲମ୍ବ (p) = AC = 21, ଭୂମି (b) = AB = 20।
  • tan B = AC/AB = 21/20।
  • ଉତ୍ତର: sin B = 21/29, cos C = 21/29, tan B = 21/20।

    • ୮. cos θ = 3/5 ହେଲେ, (sin θ - cos θ) + (2 tan θ) ର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର ।

  • ସମାଧାନ:
  • cos θ = 3/5
  • sin²θ = 1 - cos²θ = 1 - (3/5)² = 1 - 9/25 = 16/25
  • sin θ = 4/5 (ଯେହେତୁ θ ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣ)
  • tan θ = sin θ / cos θ = (4/5) / (3/5) = 4/3
  • (sin θ - cos θ) + (2 tan θ) = (4/5 - 3/5) + (2 × 4/3)
  • = (1/5) + (8/3)
  • = (3 + 40)/15 = 43/15
  • ଉତ୍ତର: 43/15।

    • ୯. cos θ = 40/41 ହେଲେ, tan θ + (1 - tan³θ) ର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର ।

  • ସମାଧାନ:
  • cos θ = 40/41
  • sin²θ = 1 - cos²θ = 1 - (40/41)² = 1 - 1600/1681 = (1681 - 1600)/1681 = 81/1681
  • sin θ = √(81/1681) = 9/41 (ଯେହେତୁ θ ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣ)
  • tan θ = sin θ / cos θ = (9/41) / (40/41) = 9/40
  • tan³θ = (9/40)³ = 729/64000
  • tan θ + (1 - tan³θ) = 9/40 + (1 - 729/64000)
  • = 9/40 + (64000 - 729)/64000
  • = 9/40 + 63271/64000
  • = (9 × 1600)/64000 + 63271/64000
  • = (14400 + 63271)/64000 = 77671/64000
  • ଉତ୍ତର: 77671/64000।

    • ୧୦. tan θ = a/b ହେଲେ, (cos θ + sin θ) ÷ (cos θ - sin θ) ର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର ।

  • ସମାଧାନ:
  • (cos θ + sin θ) / (cos θ - sin θ)
  • ଲବ ଓ ହରକୁ cos θ ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କରିବା:
  • = ( (cos θ + sin θ)/cos θ ) / ( (cos θ - sin θ)/cos θ )
  • = ( cos θ/cos θ + sin θ/cos θ ) / ( cos θ/cos θ - sin θ/cos θ )
  • = (1 + tan θ) / (1 - tan θ)
  • tan θ = a/b ମୂଲ୍ୟ ସ୍ଥାପନ କରିବା:
  • = (1 + a/b) / (1 - a/b)
  • = ( (b + a)/b ) / ( (b - a)/b )
  • = (b + a) / (b - a)
  • ଉତ୍ତର: (a + b) / (b - a)

    • ୧୧. tan θ = (√3-1)/(√3+1) ହେଲେ, sin θ + cos θ ର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର ।

  • ସମାଧାନ:
  • tan θ = (√3-1)/(√3+1)
  • ହରରୁ ଅମୂଳଦ ସଂଖ୍ୟା ଅପସାରଣ କରିବା:
  • tan θ = ((√3-1)/(√3+1)) × ((√3-1)/(√3-1))
  • = (√3-1)² / ((√3)² - 1²)
  • = (3 + 1 - 2√3) / (3 - 1)
  • = (4 - 2√3) / 2
  • = 2 - √3
  • ଆମେ ଜାଣୁ, tan 15° = 2 - √3। ତେଣୁ, θ = 15°।
  • sin θ + cos θ = sin 15° + cos 15°
  • sin 15° = sin (45° - 30°) = sin 45° cos 30° - cos 45° sin 30°
  • = (1/√2)(√3/2) - (1/√2)(1/2) = (√3 - 1)/(2√2)
  • cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30°
  • = (1/√2)(√3/2) + (1/√2)(1/2) = (√3 + 1)/(2√2)
  • sin θ + cos θ = (√3 - 1)/(2√2) + (√3 + 1)/(2√2)
  • = (√3 - 1 + √3 + 1)/(2√2)
  • = (2√3)/(2√2) = √3/√2 = √6/2
  • ଉତ୍ତର: √6/2।

    • ୧୨. sin β = m/√(m²+n²) ହେଲେ, tan β ର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର ।

  • ସମାଧାନ:
  • sin β = m/√(m²+n²)
  • ଆମେ ଜାଣୁ, sin β = ଲମ୍ବ/କର୍ଣ୍ଣ।
  • ତେଣୁ, ଲମ୍ବ (p) = m, କର୍ଣ୍ଣ (h) = √(m²+n²)।
  • ପିଥାଗୋରାସ୍ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁସାରେ, ଭୂମି (b) = √(h² - p²)
  • = √((√(m²+n²))² - m²)
  • = √(m² + n² - m²) = √n² = n (ଯେହେତୁ β ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣ, n ଧନାତ୍ମକ)
  • tan β = ଲମ୍ବ/ଭୂମି = p/b = m/n
  • ଉତ୍ତର: m/n।

    • ୧୩. sinA = 1/2 ହେଲେ, cot A + sinA/(1+cosA) ର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର ।

  • ସମାଧାନ:
  • sinA = 1/2
  • cos²A = 1 - sin²A = 1 - (1/2)² = 1 - 1/4 = 3/4
  • cosA = √3/2 (ଯେହେତୁ A ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣ)
  • cot A = cosA/sinA = (√3/2) / (1/2) = √3
  • sinA/(1+cosA) = (1/2) / (1 + √3/2)
  • = (1/2) / ((2 + √3)/2)
  • = 1/(2 + √3)
  • ହରରୁ ଅମୂଳଦ ସଂଖ୍ୟା ଅପସାରଣ କରିବା:
  • = 1/(2 + √3) × (2 - √3)/(2 - √3)
  • = (2 - √3) / (2² - (√3)²)
  • = (2 - √3) / (4 - 3) = 2 - √3
  • ତେଣୁ, cot A + sinA/(1+cosA) = √3 + (2 - √3) = 2
  • ଉତ୍ତର: 2।

    • ୧୪. △ABC ରେ m∠C = 90°, BC = 20 ସେ.ମି. ଓ tanB = 1/4 ହେଲେ, AC ଓ AB ନିରୂପଣ କର ।

  • ସମାଧାନ:
  • △ABC ରେ m∠C = 90°।
  • BC = 20 ସେ.ମି.।
  • tanB = 1/4।
  • ∠B ପାଇଁ, ଲମ୍ବ (p) = AC, ଭୂମି (b) = BC।
  • tanB = AC/BC
  • 1/4 = AC/20
  • AC = 20/4 = 5 ସେ.ମି.।
  • ପିଥାଗୋରାସ୍ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁସାରେ, AB = √(AC² + BC²)
  • = √(5² + 20²)
  • = √(25 + 400) = √425
  • = √(25 × 17) = 5√17 ସେ.ମି.।
  • ଉତ୍ତର: AC = 5 ସେ.ମି., AB = 5√17 ସେ.ମି.।

    • ଅନୁଶୀଳନୀ - ୭ (ଖ) - କୋଣର ମୂଲ୍ୟାଙ୍କନ ପ୍ରଶ୍ନ

    ୧. ବନ୍ଧନୀ ମଧ୍ୟରୁ ଠିକ୍ ଉତ୍ତରଟି ବାଛି ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।

    (i) sin 30° = 1/2

    (ii) sin 45° × cos 45° = 1/2

  • ସମାଧାନ: (1/√2) × (1/√2) = 1/2

    • (iii) tan 30° × tan 60° = 1

  • ସମାଧାନ: (1/√3) × √3 = 1

    • (iv) sec 60° × sin 30° = 1

  • ସମାଧାନ: 2 × (1/2) = 1

    • (v) cosec 45° × sec 45° = 2

  • ସମାଧାନ: √2 × √2 = 2

    • (vi) 2cos 60° - 1 = 0

  • ସମାଧାନ: 2 × (1/2) - 1 = 1 - 1 = 0

    • (vii) 3 tan 30° × cot 60° - 2 = -1

  • ସମାଧାନ: 3 × (1/√3) × (1/√3) - 2 = 3 × (1/3) - 2 = 1 - 2 = -1

    • (viii) sec 45° × cosec 45° - 2 = 0

  • ସମାଧାନ: √2 × √2 - 2 = 2 - 2 = 0

    • ୨. θ = 30° ନେଇ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଉକ୍ତିମାନଙ୍କର ସତ୍ୟତା ପରୀକ୍ଷା କର ।

    (i) sin θ × cos θ = 1/2 sin (2θ)

  • ସମାଧାନ:
  • ବାମପାର୍ଶ୍ଵ (LHS) = sin 30° × cos 30° = (1/2) × (√3/2) = √3/4
  • ଦକ୍ଷିଣପାର୍ଶ୍ଵ (RHS) = 1/2 sin (2 × 30°) = 1/2 sin 60° = 1/2 × (√3/2) = √3/4
  • LHS = RHS। ତେଣୁ, ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ।

    • (ii) sin²θ + cos²θ = 1

  • ସମାଧାନ:
  • LHS = sin²30° + cos²30° = (1/2)² + (√3/2)² = 1/4 + 3/4 = 4/4 = 1
  • RHS = 1
  • LHS = RHS। ତେଣୁ, ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ।

    • (iii) sec²θ - tan²θ = 1

  • ସମାଧାନ:
  • LHS = sec²30° - tan²30° = (2/√3)² - (1/√3)² = 4/3 - 1/3 = 3/3 = 1
  • RHS = 1
  • LHS = RHS। ତେଣୁ, ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ।

    • (iv) cosec²θ - cot²θ = 1

  • ସମାଧାନ:
  • LHS = cosec²30° - cot²30° = (2)² - (√3)² = 4 - 3 = 1
  • RHS = 1
  • LHS = RHS। ତେଣୁ, ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ।

    • (v) cos²θ - sin²θ = 1 - 2sin²θ

  • ସମାଧାନ:
  • LHS = cos²30° - sin²30° = (√3/2)² - (1/2)² = 3/4 - 1/4 = 2/4 = 1/2
  • RHS = 1 - 2sin²30° = 1 - 2 × (1/2)² = 1 - 2 × (1/4) = 1 - 1/2 = 1/2
  • LHS = RHS। ତେଣୁ, ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ।

    • ୩. θ = 30°, 45° ଓ 60° ନେଇ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଉକ୍ତିମାନଙ୍କର ସତ୍ୟତା ପରୀକ୍ଷା କର ।

    (ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣ ପାଇଁ ଅଲଗା ଅଲଗା ଯାଞ୍ଚ କରିବାକୁ ହେବ।)

    (i) tan θ × cosec θ = sec θ

  • θ = 30°:
  • LHS = tan 30° × cosec 30° = (1/√3) × 2 = 2/√3
  • RHS = sec 30° = 2/√3
  • LHS = RHS। ସତ୍ୟ।
  • θ = 45°:
  • LHS = tan 45° × cosec 45° = 1 × √2 = √2
  • RHS = sec 45° = √2
  • LHS = RHS। ସତ୍ୟ।
  • θ = 60°:
  • LHS = tan 60° × cosec 60° = √3 × (2/√3) = 2
  • RHS = sec 60° = 2
  • LHS = RHS। ସତ୍ୟ।
  • ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ।

    • (ii) cot θ × sec θ = cosec θ

  • θ = 30°:
  • LHS = cot 30° × sec 30° = √3 × (2/√3) = 2
  • RHS = cosec 30° = 2
  • LHS = RHS। ସତ୍ୟ।
  • θ = 45°:
  • LHS = cot 45° × sec 45° = 1 × √2 = √2
  • RHS = cosec 45° = √2
  • LHS = RHS। ସତ୍ୟ।
  • θ = 60°:
  • LHS = cot 60° × sec 60° = (1/√3) × 2 = 2/√3
  • RHS = cosec 60° = 2/√3
  • LHS = RHS। ସତ୍ୟ।
  • ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ।

    • (iii) tan θ + cot θ = sec θ . cosec θ

  • θ = 30°:
  • LHS = tan 30° + cot 30° = 1/√3 + √3 = (1 + 3)/√3 = 4/√3
  • RHS = sec 30° × cosec 30° = (2/√3) × 2 = 4/√3
  • LHS = RHS। ସତ୍ୟ।
  • θ = 45°:
  • LHS = tan 45° + cot 45° = 1 + 1 = 2
  • RHS = sec 45° × cosec 45° = √2 × √2 = 2
  • LHS = RHS। ସତ୍ୟ।
  • θ = 60°:
  • LHS = tan 60° + cot 60° = √3 + 1/√3 = (3 + 1)/√3 = 4/√3
  • RHS = sec 60° × cosec 60° = 2 × (2/√3) = 4/√3
  • LHS = RHS। ସତ୍ୟ।
  • ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ।

    • (iv) cos²θ × cosec θ + sin θ = cosec θ

  • θ = 30°:
  • LHS = cos²30° × cosec 30° + sin 30°
  • = (√3/2)² × 2 + 1/2
  • = (3/4) × 2 + 1/2 = 3/2 + 1/2 = 4/2 = 2
  • RHS = cosec 30° = 2
  • LHS = RHS। ସତ୍ୟ।
  • θ = 45°:
  • LHS = cos²45° × cosec 45° + sin 45°
  • = (1/√2)² × √2 + 1/√2
  • = (1/2) × √2 + 1/√2 = √2/2 + 1/√2 = 1/√2 + 1/√2 = 2/√2 = √2
  • RHS = cosec 45° = √2
  • LHS = RHS। ସତ୍ୟ।
  • θ = 60°:
  • LHS = cos²60° × cosec 60° + sin 60°
  • = (1/2)² × (2/√3) + √3/2
  • = (1/4) × (2/√3) + √3/2 = 1/(2√3) + √3/2
  • = (1 + √3 × √3)/(2√3) = (1 + 3)/(2√3) = 4/(2√3) = 2/√3
  • RHS = cosec 60° = 2/√3
  • LHS = RHS। ସତ୍ୟ।
  • ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ।

    • ୪. ନିମ୍ନଲିଖିତ ପରିପ୍ରକାଶଗୁଡ଼ିକର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର ।

    (i) sin 60° . cos 30° + cos 60° . sin 30°

  • ସମାଧାନ:
  • = (√3/2) × (√3/2) + (1/2) × (1/2)
  • = 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1
  • ଉତ୍ତର: 1।

    • (ii) cos 60° cos 45° - sin 60° . sin 45°

  • ସମାଧାନ:
  • = (1/2) × (1/√2) - (√3/2) × (1/√2)
  • = 1/(2√2) - √3/(2√2)
  • = (1 - √3)/(2√2)
  • ଉତ୍ତର: (1 - √3)/(2√2)।

    • (iii) 4 cos³60° - 3cos 60°

  • ସମାଧାନ:
  • = 4 × (1/2)³ - 3 × (1/2)
  • = 4 × (1/8) - 3/2
  • = 1/2 - 3/2 = -2/2 = -1
  • ଉତ୍ତର: -1।

    • (iv) 4 cos² 60° + 4 sin² 45° - sin² 30°

  • ସମାଧାନ:
  • = 4 × (1/2)² + 4 × (1/√2)² - (1/2)²
  • = 4 × (1/4) + 4 × (1/2) - 1/4
  • = 1 + 2 - 1/4
  • = 3 - 1/4 = (12 - 1)/4 = 11/4
  • ଉତ୍ତର: 11/4।

    • (v) (cosec²45° + sec²30°) (sin²30° + 4 cot²45° - sec²60°)

  • ସମାଧାନ:
  • cosec²45° = (√2)² = 2
  • sec²30° = (2/√3)² = 4/3
  • sin²30° = (1/2)² = 1/4
  • cot²45° = (1)² = 1
  • sec²60° = (2)² = 4
  • ପ୍ରଥମ ବନ୍ଧନୀ: (2 + 4/3) = (6 + 4)/3 = 10/3
  • ଦ୍ୱିତୀୟ ବନ୍ଧନୀ: (1/4 + 4 × 1 - 4) = (1/4 + 4 - 4) = 1/4
  • ମୂଲ୍ୟ = (10/3) × (1/4) = 10/12 = 5/6
  • ଉତ୍ତର: 5/6।

    • (vi) (sin 30° + cos 45° - tan 60°) / (cot 30° - sin 45° - cos 60°)

  • ସମାଧାନ:
  • sin 30° = 1/2
  • cos 45° = 1/√2
  • tan 60° = √3
  • cot 30° = √3
  • sin 45° = 1/√2
  • cos 60° = 1/2
  • ଲବ = 1/2 + 1/√2 - √3 = (√2 + 2 - 2√6)/(2√2)
  • ହର = √3 - 1/√2 - 1/2 = (2√6 - √2 - 2)/(2√2)
  • ମୂଲ୍ୟ = (√2 + 2 - 2√6) / (2√6 - √2 - 2)
  • = - (2√6 - √2 - 2) / (2√6 - √2 - 2) = -1
  • ଉତ୍ତର: -1।

    • (vii) 4/cot²30° + 1/sin²60° - cos²45° - tan²45°

  • ସମାଧାନ:
  • cot²30° = (√3)² = 3
  • sin²60° = (√3/2)² = 3/4
  • cos²45° = (1/√2)² = 1/2
  • tan²45° = (1)² = 1
  • ମୂଲ୍ୟ = 4/3 + 1/(3/4) - 1/2 - 1
  • = 4/3 + 4/3 - 1/2 - 1
  • = 8/3 - 3/2 = (16 - 9)/6 = 7/6
  • ଉତ୍ତର: 7/6।

    • (viii) (tan²60° + 4cos²45° + 3sec²30° + 6cos²30°) / (cosec30° + sec60° + cot²45°)

  • ସମାଧାନ:
  • tan²60° = (√3)² = 3
  • cos²45° = (1/√2)² = 1/2
  • sec²30° = (2/√3)² = 4/3
  • cos²30° = (√3/2)² = 3/4
  • cosec 30° = 2
  • sec 60° = 2
  • cot²45° = (1)² = 1
  • ଲବ = 3 + 4(1/2) + 3(4/3) + 6(3/4)
  • = 3 + 2 + 4 + 9/2 = 9 + 9/2 = (18 + 9)/2 = 27/2
  • ହର = 2 + 2 + 1 = 5
  • ମୂଲ୍ୟ = (27/2) / 5 = 27/10
  • ଉତ୍ତର: 27/10।

    • (ix) (tan 45° - sec 60° - 2sin 30°) / (cosec 30° + cot 45° - tan 45°)

  • ସମାଧାନ:
  • tan 45° = 1
  • sec 60° = 2
  • sin 30° = 1/2
  • cosec 30° = 2
  • cot 45° = 1
  • ଲବ = 1 - 2 - 2(1/2) = 1 - 2 - 1 = -2
  • ହର = 2 + 1 - 1 = 2
  • ମୂଲ୍ୟ = -2/2 = -1
  • ଉତ୍ତର: -1।

    • (x) (sin²60° + cos²45° + tan²30°) / (cos²60° + sin²45° + cot²30°)

  • ସମାଧାନ:
  • sin²60° = (√3/2)² = 3/4
  • cos²45° = (1/√2)² = 1/2
  • tan²30° = (1/√3)² = 1/3
  • cos²60° = (1/2)² = 1/4
  • sin²45° = (1/√2)² = 1/2
  • cot²30° = (√3)² = 3
  • ଲବ = 3/4 + 1/2 + 1/3 = (9 + 6 + 4)/12 = 19/12
  • ହର = 1/4 + 1/2 + 3 = (1 + 2 + 12)/4 = 15/4
  • ମୂଲ୍ୟ = (19/12) / (15/4) = (19/12) × (4/15) = 19/(3 × 15) = 19/45
  • ଉତ୍ତର: 19/45।

    • ଅନୁଶୀଳନୀ - ୭ (ଗ)

    ୫. ଯଦି α = 60° ଓ β = 30° ହୁଏ, ତେବେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଉକ୍ତିଗୁଡ଼ିକର ସତ୍ୟତା ପରୀକ୍ଷା କର ।

    (i) sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β

  • ସମାଧାନ:
  • LHS = sin(60° - 30°) = sin 30° = 1/2
  • RHS = sin 60° cos 30° - cos 60° sin 30°
  • = (√3/2) × (√3/2) - (1/2) × (1/2)
  • = 3/4 - 1/4 = 2/4 = 1/2
  • LHS = RHS। ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ।

    • (ii) cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β

  • ସମାଧାନ:
  • LHS = cos(60° - 30°) = cos 30° = √3/2
  • RHS = cos 60° cos 30° + sin 60° sin 30°
  • = (1/2) × (√3/2) + (√3/2) × (1/2)
  • = √3/4 + √3/4 = 2√3/4 = √3/2
  • LHS = RHS। ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ।

    • (iii) tan(α - β) = (tan α - tan β) / (1 + tan α tan β)

  • ସମାଧାନ:
  • LHS = tan(60° - 30°) = tan 30° = 1/√3
  • RHS = (tan 60° - tan 30°) / (1 + tan 60° tan 30°)
  • = (√3 - 1/√3) / (1 + √3 × 1/√3)
  • = ((3 - 1)/√3) / (1 + 1)
  • = (2/√3) / 2 = 1/√3
  • LHS = RHS। ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ।

    • ୬. ପ୍ରମାଣ କର :

    (i) sin 45° cos 60° cos 30° + cos 45° sin 60° sin 30° = sin 45° sin 60°

  • ସମାଧାନ:
  • LHS = sin 45° cos 60° cos 30° + cos 45° sin 60° sin 30°
  • = (1/√2) × (1/2) × (√3/2) + (1/√2) × (√3/2) × (1/2)
  • = √3/(4√2) + √3/(4√2)
  • = 2√3/(4√2) = √3/(2√2) = √6/4
  • RHS = sin 45° sin 60°
  • = (1/√2) × (√3/2) = √3/(2√2) = √6/4
  • LHS = RHS। (ପ୍ରମାଣିତ)

    • (ii) cos 60° = 1 - 2sin²30° = 2 cos²30° - 1

  • ସମାଧାନ:
  • cos 60° = 1/2
  • 1 - 2sin²30° = 1 - 2 × (1/2)² = 1 - 2 × (1/4) = 1 - 1/2 = 1/2
  • 2 cos²30° - 1 = 2 × (√3/2)² - 1 = 2 × (3/4) - 1 = 3/2 - 1 = 1/2
  • ତେଣୁ, cos 60° = 1 - 2sin²30° = 2 cos²30° - 1। (ପ୍ରମାଣିତ)

    • (iii) tan 60° = (2 tan 30°) / (1 - tan²30°)

  • ସମାଧାନ:
  • LHS = tan 60° = √3
  • RHS = (2 tan 30°) / (1 - tan²30°)
  • = (2 × 1/√3) / (1 - (1/√3)²)
  • = (2/√3) / (1 - 1/3)
  • = (2/√3) / (2/3)
  • = (2/√3) × (3/2) = 3/√3 = √3
  • LHS = RHS। (ପ୍ରମାଣିତ)

    • (iv) cot 30° = (cot 60° cot 30° + 1) / (cot 60° - cot 30°) = √3

  • ସମାଧାନ:
  • LHS = cot 30° = √3
  • ମଧ୍ୟମ ପଦ = (cot 60° cot 30° + 1) / (cot 60° - cot 30°)
  • = ((1/√3) × √3 + 1) / (1/√3 - √3)
  • = (1 + 1) / ((1 - 3)/√3)
  • = 2 / (-2/√3) = 2 × (-√3/2) = -√3
  • ଏଠାରେ ମଧ୍ୟମ ପଦଟି √3 ସହିତ ସମାନ ନୁହେଁ। ପ୍ରଶ୍ନରେ ଚିହ୍ନ ଭୁଲ୍ ଥାଇପାରେ।
  • ଯଦି ପ୍ରଶ୍ନଟି (cot 30° cot 60° - 1) / (cot 30° + cot 60°) ହୋଇଥାନ୍ତା, ତେବେ ଉତ୍ତର √3 ହୋଇଥାନ୍ତା।
  • ତେବେ, ପାଠ୍ୟପୁସ୍ତକରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ, ଏହା ସତ୍ୟ ନୁହେଁ।
  • ପାଠ୍ୟପୁସ୍ତକରେ ଥିବା ସୂତ୍ର cot(A+B) = (cot A cot B - 1)/(cot B + cot A) ଏବଂ cot(A-B) = (cot A cot B + 1)/(cot B - cot A) ଅନୁସାରେ, ଏହି ପ୍ରଶ୍ନଟି cot(60°-30°) = cot 30° = √3 ହେବା କଥା। ତେଣୁ, ହରରେ (cot 30° - cot 60°) ଥିଲେ ଉତ୍ତର √3 ହେବ।
  • RHS = (cot 60° cot 30° + 1) / (cot 30° - cot 60°)
  • = ((1/√3) × √3 + 1) / (√3 - 1/√3)
  • = (1 + 1) / ((3 - 1)/√3)
  • = 2 / (2/√3) = 2 × (√3/2) = √3
  • LHS = RHS। (ପ୍ରମାଣିତ) (ହରରେ ଚିହ୍ନ ପରିବର୍ତ୍ତନ କରିବା ପରେ)

    • (v) (tan 45° + tan 30°) / (1 - tan 45° tan 30°) = 2 + √3

  • ସମାଧାନ:
  • LHS = (tan 45° + tan 30°) / (1 - tan 45° tan 30°)
  • = (1 + 1/√3) / (1 - 1 × 1/√3)
  • = ((√3 + 1)/√3) / ((√3 - 1)/√3)
  • = (√3 + 1) / (√3 - 1)
  • = ((√3 + 1) / (√3 - 1)) × ((√3 + 1) / (√3 + 1))
  • = (√3 + 1)² / ((√3)² - 1²)
  • = (3 + 1 + 2√3) / (3 - 1)
  • = (4 + 2√3) / 2 = 2 + √3
  • RHS = 2 + √3
  • LHS = RHS। (ପ୍ରମାଣିତ)

    • (vi) cot²30° + 1/cosec²30° = cosec²30°

  • ସମାଧାନ:
  • LHS = cot²30° + 1/cosec²30°
  • = (√3)² + sin²30° (ଯେହେତୁ 1/cosec θ = sin θ)
  • = 3 + (1/2)² = 3 + 1/4 = (12 + 1)/4 = 13/4
  • RHS = cosec²30° = (2)² = 4
  • LHS ≠ RHS। ତେଣୁ, ଏହି ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ ନୁହେଁ।
  • ସମ୍ଭବତଃ ପ୍ରଶ୍ନଟି cot²30° + sin²30° = cosec²30° ନୁହେଁ, ବରଂ cot²30° + 1/cosec²30° = 1 + cot²30° = cosec²30° ହେବା କଥା।
  • ଯଦି ପ୍ରଶ୍ନଟି cot²30° + sin²30° = 1 + cot²30° ହୋଇଥାନ୍ତା, ତେବେ ଉତ୍ତର ସତ୍ୟ ହୋଇଥାନ୍ତା।
  • ପାଠ୍ୟପୁସ୍ତକରେ ଥିବା ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ, ଏହା ସତ୍ୟ ନୁହେଁ।

    • (vii) 1 / (sec²45° - tan²45°) = (1 + sin 45°) / cos 45°

  • ସମାଧାନ:
  • LHS = 1 / (sec²45° - tan²45°)
  • ଆମେ ଜାଣୁ sec²θ - tan²θ = 1। ତେଣୁ, sec²45° - tan²45° = 1।
  • LHS = 1/1 = 1
  • RHS = (1 + sin 45°) / cos 45°
  • = (1 + 1/√2) / (1/√2)
  • = ((√2 + 1)/√2) / (1/√2)
  • = √2 + 1
  • LHS ≠ RHS। ତେଣୁ, ଏହି ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ ନୁହେଁ।
  • ସମ୍ଭବତଃ ପ୍ରଶ୍ନଟି 1 / (sec²45° - tan²45°) = 1 ହେବା କଥା।

    • (viii) (cot²30° - cot²60°) / (sin²60° - sin²30°) = cot²30° - cot²60°

  • ସମାଧାନ:
  • LHS = (cot²30° - cot²60°) / (sin²60° - sin²30°)
  • cot²30° = (√3)² = 3
  • cot²60° = (1/√3)² = 1/3
  • sin²60° = (√3/2)² = 3/4
  • sin²30° = (1/2)² = 1/4
  • LHS = (3 - 1/3) / (3/4 - 1/4)
  • = ((9 - 1)/3) / (2/4)
  • = (8/3) / (1/2) = (8/3) × 2 = 16/3
  • RHS = cot²30° - cot²60°
  • = 3 - 1/3 = (9 - 1)/3 = 8/3
  • LHS ≠ RHS। ତେଣୁ, ଏହି ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ ନୁହେଁ।
  • ପାଠ୍ୟପୁସ୍ତକରେ ଥିବା ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ, ଏହା ସତ୍ୟ ନୁହେଁ।

    • ଅନୁଶୀଳନୀ - ୭ (ଗ) - ପ୍ରମାଣ କର (୧୫ ରୁ ୪୦ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ)

    ୧୫. (sin θ + cos θ)² = 1 + 2 sin θ cos θ

  • ସମାଧାନ:
  • LHS = (sin θ + cos θ)²
  • = sin²θ + cos²θ + 2 sin θ cos θ (ବୀଜଗାଣିତିକ ସୂତ୍ର (a+b)² = a² + b² + 2ab ପ୍ରୟୋଗ କରି)
  • = 1 + 2 sin θ cos θ (ଯେହେତୁ sin²θ + cos²θ = 1)
  • = RHS। (ପ୍ରମାଣିତ)

    • ୧୬. 1/(cosec θ - cot θ) = cosec θ + cot θ

  • ସମାଧାନ:
  • LHS = 1/(cosec θ - cot θ)
  • = 1/(cosec θ - cot θ) × (cosec θ + cot θ)/(cosec θ + cot θ) (ହରରୁ ଅମୂଳଦ ସଂଖ୍ୟା ଅପସାରଣ କରିବା)
  • = (cosec θ + cot θ) / (cosec²θ - cot²θ)
  • = (cosec θ + cot θ) / 1 (ଯେହେତୁ cosec²θ - cot²θ = 1)
  • = cosec θ + cot θ
  • = RHS। (ପ୍ରମାଣିତ)

    • ୧୭. tan²θ / (sec θ + 1) = sec θ - 1

  • ସମାଧାନ:
  • LHS = tan²θ / (sec θ + 1)
  • = (sec²θ - 1) / (sec θ + 1) (ଯେହେତୁ tan²θ = sec²θ - 1)
  • = ((sec θ - 1)(sec θ + 1)) / (sec θ + 1) (ବୀଜଗାଣିତିକ ସୂତ୍ର a² - b² = (a-b)(a+b) ପ୍ରୟୋଗ କରି)
  • = sec θ - 1
  • = RHS। (ପ୍ରମାଣିତ)

    • ୧୮. cos A / (1 - sin A) = (1 + sin A) / cos A

  • ସମାଧାନ:
  • LHS = cos A / (1 - sin A)
  • = (cos A / (1 - sin A)) × ((1 + sin A) / (1 + sin A))
  • = (cos A (1 + sin A)) / (1 - sin²A)
  • = (cos A (1 + sin A)) / cos²A (ଯେହେତୁ 1 - sin²A = cos²A)
  • = (1 + sin A) / cos A
  • = RHS। (ପ୍ରମାଣିତ)

    • ୧୯. cot α + tan α = cosec α × sec α

  • ସମାଧାନ:
  • LHS = cot α + tan α
  • = cos α / sin α + sin α / cos α
  • = (cos²α + sin²α) / (sin α cos α)
  • = 1 / (sin α cos α) (ଯେହେତୁ sin²α + cos²α = 1)
  • = (1/sin α) × (1/cos α)
  • = cosec α × sec α
  • = RHS। (ପ୍ରମାଣିତ)

    • ୨୦. cos⁴θ - 2cos²θ + 1 = sin⁴θ

  • ସମାଧାନ:
  • LHS = cos⁴θ - 2cos²θ + 1
  • = (cos²θ)² - 2(cos²θ)(1) + 1²
  • = (cos²θ - 1)² (ବୀଜଗାଣିତିକ ସୂତ୍ର a² - 2ab + b² = (a-b)² ପ୍ରୟୋଗ କରି)
  • = (-sin²θ)² (ଯେହେତୁ cos²θ - 1 = -sin²θ)
  • = sin⁴θ
  • = RHS। (ପ୍ରମାଣିତ)

    • ୨୧. cos⁴θ - sin⁴θ = 1 - 2sin²θ

  • ସମାଧାନ:
  • LHS = cos⁴θ - sin⁴θ
  • = (cos²θ)² - (sin²θ)²
  • = (cos²θ - sin²θ)(cos²θ + sin²θ) (ବୀଜଗାଣିତିକ ସୂତ୍ର a² - b² = (a-b)(a+b) ପ୍ରୟୋଗ କରି)
  • = (cos²θ - sin²θ) × 1 (ଯେହେତୁ cos²θ + sin²θ = 1)
  • = cos²θ - sin²θ
  • = (1 - sin²θ) - sin²θ (ଯେହେତୁ cos²θ = 1 - sin²θ)
  • = 1 - 2sin²θ
  • = RHS। (ପ୍ରମାଣିତ)

    • ୨୨. 1/(1 - sin θ) + 1/(1 + sin θ) = 2sec²θ

  • ସମାଧାନ:
  • LHS = 1/(1 - sin θ) + 1/(1 + sin θ)
  • = (1 + sin θ + 1 - sin θ) / ((1 - sin θ)(1 + sin θ))
  • = 2 / (1 - sin²θ)
  • = 2 / cos²θ (ଯେହେତୁ 1 - sin²θ = cos²θ)
  • = 2 × (1/cos²θ)
  • = 2sec²θ (ଯେହେତୁ 1/cos θ = sec θ)
  • = RHS। (ପ୍ରମାଣିତ)

    • ୨୩. (1 - tan³θ) / (1 - tan θ) = sec²θ + tan θ

  • ସମାଧାନ:
  • LHS = (1 - tan³θ) / (1 - tan θ)
  • = (1³ - tan³θ) / (1 - tan θ)
  • = ((1 - tan θ)(1² + 1 × tan θ + tan²θ)) / (1 - tan θ) (ବୀଜଗାଣିତିକ ସୂତ୍ର a³ - b³ = (a-b)(a² + ab + b²) ପ୍ରୟୋଗ କରି)
  • = 1 + tan θ + tan²θ
  • = (1 + tan²θ) + tan θ
  • = sec²θ + tan θ (ଯେହେତୁ 1 + tan²θ = sec²θ)
  • = RHS। (ପ୍ରମାଣିତ)

    • ୨୪. (2 tan θ) / (1 + tan²θ) = 2 sin θ cos θ

  • ସମାଧାନ:
  • LHS = (2 tan θ) / (1 + tan²θ)
  • = (2 tan θ) / sec²θ (ଯେହେତୁ 1 + tan²θ = sec²θ)
  • = (2 × sin θ/cos θ) / (1/cos²θ)
  • = (2 sin θ / cos θ) × cos²θ
  • = 2 sin θ cos θ
  • = RHS। (ପ୍ରମାଣିତ)

    • ୨୫. (2cos²θ - 1) / (cot θ - tan θ) = sin θ cos θ

  • ସମାଧାନ:
  • LHS = (2cos²θ - 1) / (cot θ - tan θ)
  • ଲବ = 2cos²θ - 1 = cos²θ + cos²θ - 1 = cos²θ - (1 - cos²θ) = cos²θ - sin²θ
  • ହର = cot θ - tan θ = cos θ/sin θ - sin θ/cos θ
  • = (cos²θ - sin²θ) / (sin θ cos θ)
  • LHS = (cos²θ - sin²θ) / ((cos²θ - sin²θ) / (sin θ cos θ))
  • = sin θ cos θ
  • = RHS। (ପ୍ରମାଣିତ)

    • ୨୬. (sin²θ / (1 - cos θ)) + (sin²θ / (1 + cos θ)) = 2

  • ସମାଧାନ:
  • LHS = (sin²θ / (1 - cos θ)) + (sin²θ / (1 + cos θ))
  • = sin²θ [ 1/(1 - cos θ) + 1/(1 + cos θ) ]
  • = sin²θ [ (1 + cos θ + 1 - cos θ) / ((1 - cos θ)(1 + cos θ)) ]
  • = sin²θ [ 2 / (1 - cos²θ) ]
  • = sin²θ [ 2 / sin²θ ] (ଯେହେତୁ 1 - cos²θ = sin²θ)
  • = 2
  • = RHS। (ପ୍ରମାଣିତ)

    • ୨୭. √(1 + sin θ)/(1 - sin θ) + √(1 - sin θ)/(1 + sin θ) = 2sec θ

  • ସମାଧାନ:
  • LHS = √(1 + sin θ)/(1 - sin θ) + √(1 - sin θ)/(1 + sin θ)
  • = (√(1 + sin θ))² / √(1 - sin²θ) + (√(1 - sin θ))² / √(1 - sin²θ) (ହରକୁ ସମାନ କରିବା ପାଇଁ)
  • = (1 + sin θ) / cos θ + (1 - sin θ) / cos θ (ଯେହେତୁ √(1 - sin²θ) = √cos²θ = cos θ)
  • = (1 + sin θ + 1 - sin θ) / cos θ
  • = 2 / cos θ
  • = 2sec θ
  • = RHS। (ପ୍ରମାଣିତ)

    • ୨୮. 1/(1 + tan²θ) + 1/(1 + cot²θ) = 1

  • ସମାଧାନ:
  • LHS = 1/(1 + tan²θ) + 1/(1 + cot²θ)
  • = 1/sec²θ + 1/cosec²θ (ଯେହେତୁ 1 + tan²θ = sec²θ ଏବଂ 1 + cot²θ = cosec²θ)
  • = cos²θ + sin²θ (ଯେହେତୁ 1/sec θ = cos θ ଏବଂ 1/cosec θ = sin θ)
  • = 1 (ଯେହେତୁ cos²θ + sin²θ = 1)
  • = RHS। (ପ୍ରମାଣିତ)

    • ୨୯. √(1 + sin θ)/(1 - sin θ) + √(1 - sin θ)/(1 + sin θ) = 2sec θ (ପୁନରାବୃତ୍ତି, ୨୭ ସହିତ ସମାନ)

  • ସମାଧାନ: (୨୭ ନମ୍ବର ପ୍ରଶ୍ନର ସମାଧାନ ଦେଖନ୍ତୁ)
  • LHS = √(1 + sin θ)/(1 - sin θ) + √(1 - sin θ)/(1 + sin θ)
  • = (1 + sin θ) / cos θ + (1 - sin θ) / cos θ
  • = (1 + sin θ + 1 - sin θ) / cos θ
  • = 2 / cos θ = 2sec θ
  • = RHS। (ପ୍ରମାଣିତ)

    • ୩୦. 1/(1 + cos²θ) + 1/(1 + sec²θ) = 1

  • ସମାଧାନ:
  • LHS = 1/(1 + cos²θ) + 1/(1 + sec²θ)
  • = 1/(1 + cos²θ) + 1/(1 + 1/cos²θ) (ଯେହେତୁ sec θ = 1/cos θ)
  • = 1/(1 + cos²θ) + 1/((cos²θ + 1)/cos²θ)
  • = 1/(1 + cos²θ) + cos²θ/(1 + cos²θ)
  • = (1 + cos²θ) / (1 + cos²θ)
  • = 1
  • = RHS। (ପ୍ରମାଣିତ)

    • ୩୧. cosec A / (cosec A - 1) + cosec A / (cosec A + 1) = 2sec²A

  • ସମାଧାନ:
  • LHS = cosec A / (cosec A - 1) + cosec A / (cosec A + 1)
  • = cosec A [ 1/(cosec A - 1) + 1/(cosec A + 1) ]
  • = cosec A [ (cosec A + 1 + cosec A - 1) / ((cosec A - 1)(cosec A + 1)) ]
  • = cosec A [ 2 cosec A / (cosec²A - 1) ]
  • = 2 cosec²A / cot²A (ଯେହେତୁ cosec²A - 1 = cot²A)
  • = 2 (1/sin²A) / (cos²A/sin²A)
  • = 2 (1/sin²A) × (sin²A/cos²A)
  • = 2/cos²A = 2sec²A
  • = RHS। (ପ୍ରମାଣିତ)

    • ୩୨. cot²θ / (1 + cot²θ) + 1/(1 + tan²θ) = 1

  • ସମାଧାନ:
  • LHS = cot²θ / (1 + cot²θ) + 1/(1 + tan²θ)
  • = cot²θ / cosec²θ + 1/sec²θ (ଯେହେତୁ 1 + cot²θ = cosec²θ ଏବଂ 1 + tan²θ = sec²θ)
  • = (cos²θ/sin²θ) / (1/sin²θ) + cos²θ
  • = cos²θ + cos²θ
  • = 2cos²θ
  • ଏହି ପ୍ରଶ୍ନରେ RHS 1 ଦିଆଯାଇଛି, କିନ୍ତୁ LHS 2cos²θ ହେଉଛି। ତେଣୁ, ଏହି ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ ନୁହେଁ।
  • ସମ୍ଭବତଃ ପ୍ରଶ୍ନଟି cot²θ / (1 + cot²θ) + tan²θ / (1 + tan²θ) = 1 ହୋଇଥାନ୍ତା।
  • cot²θ / cosec²θ + tan²θ / sec²θ
  • = (cos²θ/sin²θ) / (1/sin²θ) + (sin²θ/cos²θ) / (1/cos²θ)
  • = cos²θ + sin²θ = 1।
  • ପାଠ୍ୟପୁସ୍ତକରେ ଥିବା ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ, ଏହା ସତ୍ୟ ନୁହେଁ।

    • ୩୩. sec A (1 + sin A) (sec A - tan A) = 1

  • ସମାଧାନ:
  • LHS = sec A (1 + sin A) (sec A - tan A)
  • = (1/cos A) (1 + sin A) (1/cos A - sin A/cos A)
  • = (1 + sin A)/cos A × (1 - sin A)/cos A
  • = (1 - sin²A) / cos²A
  • = cos²A / cos²A (ଯେହେତୁ 1 - sin²A = cos²A)
  • = 1
  • = RHS। (ପ୍ରମାଣିତ)

    • ୩୪. (cosec α - sin α) (sec α - cos α) (tan α + cot α) = 1

  • ସମାଧାନ:
  • LHS = (cosec α - sin α) (sec α - cos α) (tan α + cot α)
  • ପ୍ରଥମ ବନ୍ଧନୀ: cosec α - sin α = 1/sin α - sin α = (1 - sin²α)/sin α = cos²α/sin α
  • ଦ୍ୱିତୀୟ ବନ୍ଧନୀ: sec α - cos α = 1/cos α - cos α = (1 - cos²α)/cos α = sin²α/cos α
  • ତୃତୀୟ ବନ୍ଧନୀ: tan α + cot α = sin α/cos α + cos α/sin α = (sin²α + cos²α)/(sin α cos α) = 1/(sin α cos α)
  • LHS = (cos²α/sin α) × (sin²α/cos α) × (1/(sin α cos α))
  • = (cos²α sin²α) / (sin²α cos²α)
  • = 1
  • = RHS। (ପ୍ରମାଣିତ)

    • ୩୫. √(1 + sin θ)/(1 - sin θ) = sec θ + tan θ

  • ସମାଧାନ:
  • LHS = √(1 + sin θ)/(1 - sin θ)
  • = √((1 + sin θ)/(1 - sin θ) × (1 + sin θ)/(1 + sin θ))
  • = √((1 + sin θ)² / (1 - sin²θ))
  • = √((1 + sin θ)² / cos²θ)
  • = (1 + sin θ) / cos θ
  • = 1/cos θ + sin θ/cos θ
  • = sec θ + tan θ
  • = RHS। (ପ୍ରମାଣିତ)

    • ୩୬. tan²A sec²B - sec²A tan²B = tan²A - tan²B

  • ସମାଧାନ:
  • LHS = tan²A sec²B - sec²A tan²B
  • = tan²A (1 + tan²B) - (1 + tan²A) tan²B (ଯେହେତୁ sec²θ = 1 + tan²θ)
  • = tan²A + tan²A tan²B - tan²B - tan²A tan²B
  • = tan²A - tan²B
  • = RHS। (ପ୍ରମାଣିତ)

    • ୩୭. tan θ + sin θ = m ଓ tan θ - sin θ = n ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ m² - n² = 4√mn

  • ସମାଧାନ:
  • ଦିଆଯାଇଛି:
  • tan θ + sin θ = m ---(1)
  • tan θ - sin θ = n ---(2)
  • m² - n² = (tan θ + sin θ)² - (tan θ - sin θ)²
  • = (tan²θ + sin²θ + 2 tan θ sin θ) - (tan²θ + sin²θ - 2 tan θ sin θ)
  • = tan²θ + sin²θ + 2 tan θ sin θ - tan²θ - sin²θ + 2 tan θ sin θ
  • = 4 tan θ sin θ ---(3)
  • √mn = √((tan θ + sin θ)(tan θ - sin θ))
  • = √(tan²θ - sin²θ)
  • = √(sin²θ/cos²θ - sin²θ)
  • = √(sin²θ (1/cos²θ - 1))
  • = √(sin²θ (sec²θ - 1))
  • = √(sin²θ tan²θ)
  • = sin θ tan θ ---(4)
  • (3) ଓ (4) ରୁ, m² - n² = 4 tan θ sin θ ଏବଂ √mn = sin θ tan θ।
  • ତେଣୁ, m² - n² = 4√mn। (ପ୍ରମାଣିତ)

    • ୩୮. x = a sin θ ଓ y = b tan θ ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ a²/x² - b²/y² = 1

  • ସମାଧାନ:
  • ଦିଆଯାଇଛି:
  • x = a sin θ => sin θ = x/a
  • y = b tan θ => tan θ = y/b
  • ଆମେ ଜାଣୁ, cosec θ = 1/sin θ = a/x
  • cot θ = 1/tan θ = b/y
  • ଆମେ ଜାଣୁ, cosec²θ - cot²θ = 1
  • (a/x)² - (b/y)² = 1
  • a²/x² - b²/y² = 1। (ପ୍ରମାଣିତ)

    • ୩୯. x = a cos θ + b sin θ ଓ y = a sin θ - b cos θ ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ x² + y² = a² + b²

  • ସମାଧାନ:
  • ଦିଆଯାଇଛି:
  • x = a cos θ + b sin θ
  • y = a sin θ - b cos θ
  • LHS = x² + y²
  • = (a cos θ + b sin θ)² + (a sin θ - b cos θ)²
  • = (a²cos²θ + b²sin²θ + 2ab sin θ cos θ) + (a²sin²θ + b²cos²θ - 2ab sin θ cos θ)
  • = a²cos²θ + b²sin²θ + 2ab sin θ cos θ + a²sin²θ + b²cos²θ - 2ab sin θ cos θ
  • = a²cos²θ + a²sin²θ + b²sin²θ + b²cos²θ
  • = a²(cos²θ + sin²θ) + b²(sin²θ + cos²θ)
  • = a²(1) + b²(1) (ଯେହେତୁ sin²θ + cos²θ = 1)
  • = a² + b²
  • = RHS। (ପ୍ରମାଣିତ)

    • ୪୦. ଯଦି sin θ + sin²θ = 1 ହୁଏ, ତେବେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ cos²θ + cos⁴θ = 1

  • ସମାଧାନ:
  • ଦିଆଯାଇଛି: sin θ + sin²θ = 1
  • => sin θ = 1 - sin²θ
  • => sin θ = cos²θ ---(1)
  • ଆମକୁ ପ୍ରମାଣ କରିବାକୁ ହେବ: cos²θ + cos⁴θ = 1
  • LHS = cos²θ + cos⁴θ
  • = cos²θ + (cos²θ)²
  • = sin θ + (sin θ)² (ସମୀକରଣ (1) ରୁ cos²θ = sin θ ମୂଲ୍ୟ ସ୍ଥାପନ କରି)
  • = sin θ + sin²θ
  • = 1 (ଦିଆଯାଇଥିବା ସର୍ତ୍ତ ଅନୁସାରେ)
  • = RHS। (ପ୍ରମାଣିତ)

    • ୪. ବୋର୍ଡ ପରୀକ୍ଷା ମାଷ୍ଟ୍ରି ଟିପ୍ସ ଓ ସାଧାରଣ ଭୁଲ୍ (Board Exam Tips & Pitfalls)

    ତ୍ରିକୋଣମିତି ଏକ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ଅଧ୍ୟାୟ ଏବଂ ଏଥିରେ ଭଲ ପ୍ରଦର୍ଶନ କରିବା ପାଇଁ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଟିପ୍ସ ଓ ସାଧାରଣ ଭୁଲଗୁଡ଼ିକୁ ଧ୍ୟାନ ଦେବା ଆବଶ୍ୟକ:

    ବୋର୍ଡ ପରୀକ୍ଷା ମାଷ୍ଟ୍ରି ଟିପ୍ସ:

    ୧. ସୂତ୍ର ମନେ ରଖିବା: ତ୍ରିକୋଣମିତିର ସମସ୍ତ ମୌଳିକ ସୂତ୍ର (ବ୍ୟୁତକ୍ରମୀ, ବର୍ଗ, ଭାଗଫଳ ସମ୍ପର୍କ) ଏବଂ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ କୋଣ (୩୦°, ୪୫°, ୬୦°) ପାଇଁ ତ୍ରିକୋଣମିତିକ ଅନୁପାତର ମୂଲ୍ୟଗୁଡ଼ିକୁ ମନେ ରଖିବା ଅତ୍ୟନ୍ତ ଜରୁରୀ। ଏଥିପାଇଁ ଏକ ସାରଣୀ ପ୍ରସ୍ତୁତ କରି ପ୍ରତିଦିନ ଅଭ୍ୟାସ କରନ୍ତୁ।

    ୨. ଧାରଣାଗତ ସ୍ପଷ୍ଟତା: ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜରେ ଲମ୍ବ, ଭୂମି ଓ କର୍ଣ୍ଣର ସଂଜ୍ଞାକୁ ଭଲ ଭାବରେ ବୁଝନ୍ତୁ। କୋଣ ପରିବର୍ତ୍ତନ ହେଲେ ଲମ୍ବ ଓ ଭୂମି କିପରି ପରିବର୍ତ୍ତନ ହୁଏ, ତାହା ସ୍ପଷ୍ଟ ହେବା ଦରକାର।

    ୩. ଅଭ୍ୟାସ: ଯେତେ ଅଧିକ ପ୍ରଶ୍ନ ଅଭ୍ୟାସ କରିବେ, ସେତେ ଅଧିକ ଦକ୍ଷତା ବୃଦ୍ଧି ପାଇବ। ପାଠ୍ୟପୁସ୍ତକର ସମସ୍ତ ଉଦାହରଣ ଓ ଅନୁଶୀଳନୀ ପ୍ରଶ୍ନକୁ ବାରମ୍ବାର ଅଭ୍ୟାସ କରନ୍ତୁ।

    ୪. ପ୍ରମାଣ ପ୍ରଶ୍ନ ପାଇଁ ରଣନୀତି:

  • ଅଭେଦ ପ୍ରମାଣ କରିବା ସମୟରେ, ସାଧାରଣତଃ ବାମପାର୍ଶ୍ଵ (LHS) ରୁ ଆରମ୍ଭ କରି ଦକ୍ଷିଣପାର୍ଶ୍ଵ (RHS) କୁ ପହଞ୍ଚିବାକୁ ଚେଷ୍ଟା କରନ୍ତୁ।
  • ଯଦି ଗୋଟିଏ ପାର୍ଶ୍ଵରୁ ଅନ୍ୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ ଯିବା କଷ୍ଟକର ହୁଏ, ତେବେ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ ସରଳୀକରଣ କରି ଏକ ସମାନ ପଦରେ ପହଞ୍ଚିବାକୁ ଚେଷ୍ଟା କରନ୍ତୁ।
  • ସମସ୍ତ ତ୍ରିକୋଣମିତିକ ଅନୁପାତକୁ sin ଓ cos ରେ ପରିବର୍ତ୍ତନ କରିବା ଏକ ସାଧାରଣ ଏବଂ ପ୍ରଭାବଶାଳୀ ପଦ୍ଧତି।
  • ବୀଜଗାଣିତିକ ସୂତ୍ରାବଳୀ (ଯଥା: a²-b², (a+b)², (a-b)², a³-b³ ଇତ୍ୟାଦି) ର ସଠିକ୍ ପ୍ରୟୋଗ କରନ୍ତୁ।

    • ୫. ପିଥାଗୋରାସ୍ ଉପପାଦ୍ୟର ପ୍ରୟୋଗ: ଅନୁପାତ ନିରୂପଣ କରିବା ସମୟରେ, ଯଦି ଗୋଟିଏ ଅନୁପାତ ଦିଆଯାଇଥାଏ, ତେବେ ତ୍ରିଭୁଜର ତୃତୀୟ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିରୂପଣ କରିବା ପାଇଁ ପିଥାଗୋରାସ୍ ଉପପାଦ୍ୟର ସଠିକ୍ ପ୍ରୟୋଗ କରନ୍ତୁ।

    ୬. ସମୟ ପରିଚାଳନା: ପରୀକ୍ଷାରେ ସମୟ ପରିଚାଳନା ପାଇଁ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକୁ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସମୟ ମଧ୍ୟରେ ସମାଧାନ କରିବା ଅଭ୍ୟାସ କରନ୍ତୁ।

    ସାଧାରଣ ଭୁଲ୍ (Common Pitfalls):

    ୧. ସୂତ୍ରରେ ଭୁଲ୍: sin²θ + cos²θ = 1 ସ୍ଥାନରେ sin²θ - cos²θ = 1 ଲେଖିବା କିମ୍ବା sec²θ + tan²θ = 1 ଲେଖିବା ଭଳି ଭୁଲ୍। ସୂତ୍ରଗୁଡ଼ିକୁ ବାରମ୍ବାର ଲେଖି ଅଭ୍ୟାସ କରନ୍ତୁ।

    ୨. ବ୍ୟୁତକ୍ରମୀ ସମ୍ପର୍କରେ ଭୁଲ୍: sin θ = 1/cos θ କିମ୍ବା tan θ = 1/sec θ ଭଳି ଭୁଲ୍ କରିବା। ସଠିକ୍ ବ୍ୟୁତକ୍ରମୀ ସମ୍ପର୍କଗୁଡ଼ିକୁ ମନେ ରଖନ୍ତୁ।

    ୩. କୋଣ ପରିବର୍ତ୍ତନରେ ଲମ୍ବ/ଭୂମିର ଭୁଲ୍: ଯେତେବେଳେ କୋଣ ପରିବର୍ତ୍ତନ ହୁଏ, ଲମ୍ବ ଓ ଭୂମିର ସ୍ଥାନ ପରିବର୍ତ୍ତନ ହୁଏ। ଏହି ବିଷୟରେ ସତର୍କ ରୁହନ୍ତୁ।

    ୪. ଗାଣିତିକ ପ୍ରକ୍ରିୟାରେ ଭୁଲ୍: ଭଗ୍ନାଂଶର ଯୋଗ, ବିୟୋଗ, ଗୁଣନ, ହରରୁ ଅମୂଳଦ ସଂଖ୍ୟା ଅପସାରଣ (rationalization) ଇତ୍ୟାଦିରେ ସାଧାରଣତଃ ଭୁଲ୍ ହୋଇଥାଏ। ଏଗୁଡ଼ିକୁ ସଠିକ୍ ଭାବରେ କରିବା ଅଭ୍ୟାସ କରନ୍ତୁ।

    ୫. ବର୍ଗମୂଳର ଚିହ୍ନ: ବର୍ଗମୂଳ ନେବା ସମୟରେ ଧନାତ୍ମକ (+) ଚିହ୍ନ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ, ଯେହେତୁ ଏହି ଶ୍ରେଣୀରେ କେବଳ ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣ ପାଇଁ ତ୍ରିକୋଣମିତିକ ଅନୁପାତ ଅଧ୍ୟୟନ କରାଯାଏ।

    ୬. ଅଭେଦ ପ୍ରମାଣରେ ଅଧା ଛାଡ଼ିବା: ପ୍ରମାଣ ପ୍ରଶ୍ନରେ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ପଦକ୍ଷେପ ଦେଖାଇବା ଜରୁରୀ। କୌଣସି ପଦକ୍ଷେପ ଛାଡ଼ନ୍ତୁ ନାହିଁ।

    ଏହି ଟିପ୍ସଗୁଡ଼ିକୁ ଅନୁସରଣ କରି ଏବଂ ସାଧାରଣ ଭୁଲଗୁଡ଼ିକୁ ଏଡ଼ାଇ ଆପଣ ତ୍ରିକୋଣମିତିରେ ଉତ୍ତମ ମାର୍କ ହାସଲ କରିପାରିବେ।

    ───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

    (ନୋଟ୍ସ ପ୍ରସ୍ତୁତି: ଉତ୍କଳ ସ୍କିଲ୍ ସେଣ୍ଟର - BSE Odisha 100% Full Textbook Master Edition)

    🤖 Have a Doubt in this Chapter?

    Ask Gundulu AI Voice Tutor to explain any question in bilingual Odia & English with 24/7 step-by-step guidance!

    🚀 Try Gundulu AI on Utkal Skill Centre App