(ii) ପ୍ରଶ୍ନ: ସରଳ କର: √(1 - cos²θ)

ସମାଧାନ:

ଆମେ ଜାଣୁ sin²θ + cos²θ = 1.

ଏଥିରୁ, sin²θ = 1 - cos²θ.

ତେଣୁ, √(1 - cos²θ) = √sin²θ = sin θ.

ଉତ୍ତର: sin θ

(iii) ପ୍ରଶ୍ନ: ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର: sin²θ + cos²θ

ସମାଧାନ:

ଏହା ଏକ ମୌଳିକ ତ୍ରିକୋଣମିତିକ ଅଭେଦ ।

sin²θ + cos²θ = 1.

ଉତ୍ତର: 1

(iv) ପ୍ରଶ୍ନ: ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର: sec²θ - tan²θ

ସମାଧାନ:

ଏହା ଏକ ମୌଳିକ ତ୍ରିକୋଣମିତିକ ଅଭେଦ ।

sec²θ - tan²θ = 1.

ଉତ୍ତର: 1

(v) ପ୍ରଶ୍ନ: ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର: sin 90° + cos 0°

ସମାଧାନ:

ଆମେ ଜାଣୁ sin 90° = 1 ଏବଂ cos 0° = 1.

sin 90° + cos 0° = 1 + 1 = 2.

ଉତ୍ତର: 2

(vi) ପ୍ରଶ୍ନ: ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର: 2(cos 90° - sin 90°)

ସମାଧାନ:

ଆମେ ଜାଣୁ cos 90° = 0 ଏବଂ sin 90° = 1.

2(cos 90° - sin 90°) = 2(0 - 1) = 2(-1) = -2.

ଉତ୍ତର: -2

(vii) ପ୍ରଶ୍ନ: ଯଦି tan θ = 3/4 ହୁଏ, ତେବେ sin θ ର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜରେ, tan θ = ଲମ୍ବ / ଭୂମି (P/B) = 3/4.

ଧରାଯାଉ ଲମ୍ବ (P) = 3k ଏବଂ ଭୂମି (B) = 4k.

ପାଇଥାଗୋରାସ୍ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁସାରେ, କର୍ଣ୍ଣ (H) = √(P² + B²)

H = √((3k)² + (4k)²) = √(9k² + 16k²) = √25k² = 5k.

ବର୍ତ୍ତମାନ, sin θ = ଲମ୍ବ / କର୍ଣ୍ଣ (P/H) = 3k / 5k = 3/5.

ଉତ୍ତର: 3/5

(viii) ପ୍ରଶ୍ନ: ଯଦି cosec θ = 13/5 ହୁଏ, ତେବେ sin θ ର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ଆମେ ଜାଣୁ sin θ ଏବଂ cosec θ ପରସ୍ପରର ବ୍ୟୁତ୍‌କ୍ରମ ।

sin θ = 1 / cosec θ.

ଦିଆଯାଇଛି cosec θ = 13/5.

ତେଣୁ, sin θ = 1 / (13/5) = 5/13.

ଉତ୍ତର: 5/13

Q2. ନିମ୍ନଲିଖିତ ଅନୁପାତଗୁଡ଼ିକୁ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ତ୍ରିକୋଣମିତିକ ଅନୁପାତରେ ପ୍ରକାଶ କର:

(i) sin α କୁ cot α ରେ ପ୍ରକାଶ କର ।

(ii) cos α କୁ tan α ରେ ପ୍ରକାଶ କର ।

(iii) tan α କୁ sec α ରେ ପ୍ରକାଶ କର ।

(iv) cot α କୁ cosec α ରେ ପ୍ରକାଶ କର ।

ସମାଧାନ:

(i) ପ୍ରଶ୍ନ: sin α କୁ cot α ରେ ପ୍ରକାଶ କର ।

ସମାଧାନ:

ଆମେ ଜାଣୁ cosec²α - cot²α = 1.

ତେଣୁ, cosec²α = 1 + cot²α.

cosec α = √(1 + cot²α).

ଆମେ ମଧ୍ୟ ଜାଣୁ sin α = 1 / cosec α.

ତେଣୁ, sin α = 1 / √(1 + cot²α).

ଉତ୍ତର: 1 / √(1 + cot²α)

(ii) ପ୍ରଶ୍ନ: cos α କୁ tan α ରେ ପ୍ରକାଶ କର ।

ସମାଧାନ:

ଆମେ ଜାଣୁ sec²α - tan²α = 1.

ତେଣୁ, sec²α = 1 + tan²α.

sec α = √(1 + tan²α).

ଆମେ ମଧ୍ୟ ଜାଣୁ cos α = 1 / sec α.

ତେଣୁ, cos α = 1 / √(1 + tan²α).

ଉତ୍ତର: 1 / √(1 + tan²α)

(iii) ପ୍ରଶ୍ନ: tan α କୁ sec α ରେ ପ୍ରକାଶ କର ।

ସମାଧାନ:

ଆମେ ଜାଣୁ sec²α - tan²α = 1.

ତେଣୁ, tan²α = sec²α - 1.

tan α = √(sec²α - 1).

ଉତ୍ତର: √sec²α - 1

(iv) ପ୍ରଶ୍ନ: cot α କୁ cosec α ରେ ପ୍ରକାଶ କର ।

ସମାଧାନ:

ଆମେ ଜାଣୁ cosec²α - cot²α = 1.

ତେଣୁ, cot²α = cosec²α - 1.

cot α = √(cosec²α - 1).

ଉତ୍ତର: √cosec²α - 1

Q3. ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର:

(i) ଯଦି sin A = 15/17 ହୁଏ, ତେବେ tan A ର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

(ii) ଯଦି cos B = 20/29 ହୁଏ, ତେବେ tan B ର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

(iii) ଯଦି tan θ = 12/5 ହୁଏ, ତେବେ (sin θ + cos θ) / (sin θ - cos θ) ର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

(iv) ଯଦି tan θ = 12/5 ହୁଏ, ତେବେ (sin θ + cos θ) / (sin θ - cos θ) ର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । (ପ୍ରଶ୍ନ 3(iii) ସହିତ ସମାନ, ଉତ୍ତର ସମାନ ହେବ)

ସମାଧାନ:

(i) ପ୍ରଶ୍ନ: ଯଦି sin A = 15/17 ହୁଏ, ତେବେ tan A ର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

sin A = ଲମ୍ବ / କର୍ଣ୍ଣ (P/H) = 15/17.

ଧରାଯାଉ P = 15k, H = 17k.

ଭୂମି (B) = √(H² - P²) = √((17k)² - (15k)²) = √(289k² - 225k²) = √64k² = 8k.

tan A = ଲମ୍ବ / ଭୂମି (P/B) = 15k / 8k = 15/8.

ଉତ୍ତର: 15/8 (ପ୍ରଦତ୍ତ ଉତ୍ତରମାଳାରେ 16/15 ଅଛି, ଯାହା ସମ୍ଭବତଃ ଟାଇପିଂ ତ୍ରୁଟି । 15/8 ହେବା କଥା । ଯଦି ଉତ୍ତର 16/15 ହେବାକୁ ଥାଏ, ତେବେ ପ୍ରଶ୍ନ ଭିନ୍ନ ହେବ । ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ଯଦି cos A = 15/17 ହୁଏ, ତେବେ tan A = 8/15. ଯଦି sin A = 15/16 ହୁଏ, ତେବେ tan A = 15/√31. ତେଣୁ, ଆମେ 15/8 କୁ ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର ଭାବରେ ଗ୍ରହଣ କରିବା ।)

(ii) ପ୍ରଶ୍ନ: ଯଦି cos B = 20/29 ହୁଏ, ତେବେ tan B ର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

cos B = ଭୂମି / କର୍ଣ୍ଣ (B/H) = 20/29.

ଧରାଯାଉ B = 20k, H = 29k.

ଲମ୍ବ (P) = √(H² - B²) = √((29k)² - (20k)²) = √(841k² - 400k²) = √441k² = 21k.

tan B = ଲମ୍ବ / ଭୂମି (P/B) = 21k / 20k = 21/20.

ଉତ୍ତର: 21/20 (ପ୍ରଦତ୍ତ ଉତ୍ତରମାଳାରେ 9/20 ଅଛି, ଯାହା ସମ୍ଭବତଃ ଟାଇପିଂ ତ୍ରୁଟି । 21/20 ହେବା କଥା ।)

(iii) ପ୍ରଶ୍ନ: ଯଦି tan θ = 12/5 ହୁଏ, ତେବେ (sin θ + cos θ) / (sin θ - cos θ) ର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

tan θ = ଲମ୍ବ / ଭୂମି (P/B) = 12/5.

ଧରାଯାଉ P = 12k, B = 5k.

କର୍ଣ୍ଣ (H) = √(P² + B²) = √((12k)² + (5k)²) = √(144k² + 25k²) = √169k² = 13k.

sin θ = P/H = 12k / 13k = 12/13.

cos θ = B/H = 5k / 13k = 5/13.

ବର୍ତ୍ତମାନ, (sin θ + cos θ) / (sin θ - cos θ) = (12/13 + 5/13) / (12/13 - 5/13)

= ( (12+5)/13 ) / ( (12-5)/13 )

= (17/13) / (7/13) = 17/7.

ଉତ୍ତର: 17/7 (ପ୍ରଦତ୍ତ ଉତ୍ତରମାଳାରେ 156/25 ଅଛି, ଯାହା ସମ୍ଭବତଃ ଟାଇପିଂ ତ୍ରୁଟି । 17/7 ହେବା କଥା ।)

(iv) ପ୍ରଶ୍ନ: ଯଦି tan θ = 12/5 ହୁଏ, ତେବେ (sin θ + cos θ) / (sin θ - cos θ) ର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ଏହି ପ୍ରଶ୍ନ 3(iii) ସହିତ ସମାନ । ତେଣୁ ଉତ୍ତର ମଧ୍ୟ ସମାନ ହେବ ।

ଉତ୍ତର: 17/7 (ପ୍ରଦତ୍ତ ଉତ୍ତରମାଳାରେ 156/25 ଅଛି, ଯାହା ସମ୍ଭବତଃ ଟାଇପିଂ ତ୍ରୁଟି । 17/7 ହେବା କଥା ।)

Q4. ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର:

(i) ଯଦି sin θ = cos θ ହୁଏ, ତେବେ ସମସ୍ତ ତ୍ରିକୋଣମିତିକ ଅନୁପାତର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

(i) ପ୍ରଶ୍ନ: ଯଦି sin θ = cos θ ହୁଏ, ତେବେ ସମସ୍ତ ତ୍ରିକୋଣମିତିକ ଅନୁପାତର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

sin θ = cos θ

sin θ / cos θ = 1

tan θ = 1

ଆମେ ଜାଣୁ tan 45° = 1. ତେଣୁ, θ = 45°.

sin θ = sin 45° = 1/√2.

cos θ = cos 45° = 1/√2.

tan θ = tan 45° = 1.

cosec θ = 1 / sin θ = 1 / (1/√2) = √2.

sec θ = 1 / cos θ = 1 / (1/√2) = √2.

cot θ = 1 / tan θ = 1 / 1 = 1.

ଉତ୍ତର: sin θ = 1/√2, cos θ = 1/√2, tan θ = 1, sec θ = √2, cosec θ = √2, cot θ = 1.

Q5. ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର:

(i) ଯଦି sin θ = cos θ ହୁଏ, ତେବେ sin θ, cos θ, sec θ, cosec θ, cot θ ର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

(i) ପ୍ରଶ୍ନ: ଯଦି sin θ = cos θ ହୁଏ, ତେବେ sin θ, cos θ, sec θ, cosec θ, cot θ ର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

Q6. ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର:

(i) ଯଦି sin θ = 1/2 ହୁଏ, ତେବେ ସମସ୍ତ ତ୍ରିକୋଣମିତିକ ଅନୁପାତର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

(i) ପ୍ରଶ୍ନ: ଯଦି sin θ = 1/2 ହୁଏ, ତେବେ ସମସ୍ତ ତ୍ରିକୋଣମିତିକ ଅନୁପାତର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

sin θ = 1/2.

ଆମେ ଜାଣୁ sin 30° = 1/2. ତେଣୁ, θ = 30°.

sin θ = 1/2.

cosec θ = 1 / sin θ = 1 / (1/2) = 2.

cos θ = √(1 - sin²θ) = √(1 - (1/2)²) = √(1 - 1/4) = √(3/4) = √3/2.

sec θ = 1 / cos θ = 1 / (√3/2) = 2/√3.

tan θ = sin θ / cos θ = (1/2) / (√3/2) = 1/√3.

cot θ = 1 / tan θ = 1 / (1/√3) = √3.

ଉତ୍ତର: sin θ = 1/2, cosec θ = 2, cos θ = √3/2, sec θ = 2/√3, tan θ = 1/√3.

Q7. ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜରେ, ଯଦି ଲମ୍ବ = 21 ଏବଂ ଭୂମି = 20 ହୁଏ, ତେବେ sin θ, cos θ ଏବଂ tan θ ର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

Q8. ଯଦି tan θ = 3/40 ହୁଏ, ତେବେ sin θ ର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

Q9. ଯଦି sin θ = 360/1519 ହୁଏ, ତେବେ cos θ ର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

Q10. ଯଦି tan θ = a/b ହୁଏ, ତେବେ (sin θ + cos θ) / (sin θ - cos θ) ର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

Q11. sin 60° ର ମୂଲ୍ୟ କେତେ?

ଉତ୍ତର: √3/2

Q12. ଯଦି tan θ = m/n ହୁଏ, ତେବେ sin θ ର ମୂଲ୍ୟ କେତେ?

ସମାଧାନ:

tan θ = P/B = m/n.

P = mk, B = nk.

H = √(P² + B²) = √((mk)² + (nk)²) = √(m²k² + n²k²) = k√(m² + n²).

sin θ = P/H = mk / (k√(m² + n²)) = m / √(m² + n²).

ଉତ୍ତର: m / √(m² + n²) (ପ୍ରଦତ୍ତ ଉତ୍ତରମାଳାରେ m/n ଅଛି, ଯାହା tan θ ର ମୂଲ୍ୟ ।)

Q13. (sin 30° + cos 60°) ର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

sin 30° = 1/2, cos 60° = 1/2.

sin 30° + cos 60° = 1/2 + 1/2 = 1.

ଉତ୍ତର: 1 (ପ୍ରଦତ୍ତ ଉତ୍ତରମାଳାରେ 2 ଅଛି, ଯାହା ସମ୍ଭବତଃ ଟାଇପିଂ ତ୍ରୁଟି ।)

Q14. ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜରେ, ଯଦି ଲମ୍ବ = 5 ସେ.ମି. ଏବଂ ଭୂମି = 17 ସେ.ମି. ହୁଏ, ତେବେ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

P = 5 ସେ.ମି., B = 17 ସେ.ମି.

H = √(P² + B²) = √(5² + 17²) = √(25 + 289) = √314 ସେ.ମି.

ଉତ୍ତର: 5 ସେ.ମି., 5√17 ସେ.ମି. (ପ୍ରଦତ୍ତ ଉତ୍ତରମାଳାରେ ଦୁଇଟି ମୂଲ୍ୟ ଅଛି, ଯାହା ପ୍ରଶ୍ନ ସହିତ ମେଳ ଖାଉ ନାହିଁ ।)

ଅନୁଶୀଳନୀ – 7 (b)

Q1. ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର:

(i) sin 30°

(ii) cos 60°

(iii) sin²45° + cos²45°

(iv) sec²θ - tan²θ

(v) sin 90° + cos 0°

(vi) cos 90° - sin 90°

(vii) sin 180° + cos 180° (ଯଦି ପାଠ୍ୟକ୍ରମରେ 0-90° ବାହାରେ କୋଣ ଥାଏ)

(viii) cos 90° - cos 0°

(ix) sin 60° + cos 30°

(x) (tan 45° + cot 45°) / (sec 0° + cosec 90°)

ସମାଧାନ:

(i) ପ୍ରଶ୍ନ: sin 30°

ସମାଧାନ: sin 30° = 1/2.

ଉତ୍ତର: 1/2

(ii) ପ୍ରଶ୍ନ: cos 60°

ସମାଧାନ: cos 60° = 1/2.

ଉତ୍ତର: 1/2

(iii) ପ୍ରଶ୍ନ: sin²45° + cos²45°

ସମାଧାନ:

ଆମେ ଜାଣୁ sin²θ + cos²θ = 1.

ତେଣୁ, sin²45° + cos²45° = 1.

(ବିକଳ୍ପ ପଦ୍ଧତି: (1/√2)² + (1/√2)² = 1/2 + 1/2 = 1)

ଉତ୍ତର: 1

(iv) ପ୍ରଶ୍ନ: sec²θ - tan²θ

ସମାଧାନ: ଏହା ଏକ ମୌଳିକ ତ୍ରିକୋଣମିତିକ ଅଭେଦ । sec²θ - tan²θ = 1.

ଉତ୍ତର: 1

(v) ପ୍ରଶ୍ନ: sin 90° + cos 0°

ସମାଧାନ: sin 90° = 1, cos 0° = 1.

sin 90° + cos 0° = 1 + 1 = 2.

ଉତ୍ତର: 2

(vi) ପ୍ରଶ୍ନ: cos 90° - sin 90°

ସମାଧାନ: cos 90° = 0, sin 90° = 1.

cos 90° - sin 90° = 0 - 1 = -1.

ଉତ୍ତର: -1 (ପ୍ରଦତ୍ତ ଉତ୍ତରମାଳାରେ 0 ଅଛି, ଯାହା ଟାଇପିଂ ତ୍ରୁଟି ।)

(vii) ପ୍ରଶ୍ନ: sin 180° + cos 180° (ଯଦି ପାଠ୍ୟକ୍ରମରେ 0-90° ବାହାରେ କୋଣ ଥାଏ)

ସମାଧାନ: sin 180° = 0, cos 180° = -1.

sin 180° + cos 180° = 0 + (-1) = -1.

ଉତ୍ତର: -1

(viii) ପ୍ରଶ୍ନ: cos 90° - cos 0°

ସମାଧାନ: cos 90° = 0, cos 0° = 1.

cos 90° - cos 0° = 0 - 1 = -1.

ଉତ୍ତର: -1 (ପ୍ରଦତ୍ତ ଉତ୍ତରମାଳାରେ 0 ଅଛି, ଯାହା ଟାଇପିଂ ତ୍ରୁଟି ।)

Q4. ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର:

(i) tan 45°

(ii) (sin 30° - cos 60°) / (tan 45° + cot 45°)

(iii) (sin 90° - cos 0°)

(iv) (sin 60° + cos 30°)²

(v) (tan 30° + cot 60°)²

(vi) (sin 0° - cos 0°)

(vii) ଯଦି sin θ = 3/5 ଏବଂ cos θ = 4/5 ହୁଏ, ତେବେ sin θ + cos θ ର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

(viii) ଯଦି tan θ = 3/4 ହୁଏ, ତେବେ (sin θ + cos θ) / (sin θ - cos θ) ର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

(ix) (sin 60° + cos 30°)

(x) ଯଦି tan θ = 2/3 ହୁଏ, ତେବେ (3sin θ + 2cos θ) / (3sin θ - 2cos θ) ର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

(i) ପ୍ରଶ୍ନ: tan 45°

ସମାଧାନ: tan 45° = 1.

ଉତ୍ତର: 1

(ii) ପ୍ରଶ୍ନ: (sin 30° - cos 60°) / (tan 45° + cot 45°)

ସମାଧାନ:

sin 30° = 1/2, cos 60° = 1/2.

tan 45° = 1, cot 45° = 1.

(1/2 - 1/2) / (1 + 1) = 0 / 2 = 0.

ଉତ୍ତର: 0 (ପ୍ରଦତ୍ତ ଉତ୍ତରମାଳାରେ (1-√3)/2 ଅଛି, ଯାହା ଟାଇପିଂ ତ୍ରୁଟି ।)

(iii) ପ୍ରଶ୍ନ: (sin 90° - cos 0°)

ସମାଧାନ:

sin 90° = 1, cos 0° = 1.

1 - 1 = 0.

ଉତ୍ତର: 0 (ପ୍ରଦତ୍ତ ଉତ୍ତରମାଳାରେ -1 ଅଛି, ଯାହା ଟାଇପିଂ ତ୍ରୁଟି ।)

(iv) ପ୍ରଶ୍ନ: (sin 60° + cos 30°)²

ସମାଧାନ:

sin 60° = √3/2, cos 30° = √3/2.

(√3/2 + √3/2)² = (2√3/2)² = (√3)² = 3.

ଉତ୍ତର: 3 (ପ୍ରଦତ୍ତ ଉତ୍ତରମାଳାରେ 11/4 ଅଛି, ଯାହା ଟାଇପିଂ ତ୍ରୁଟି ।)

(v) ପ୍ରଶ୍ନ: (tan 30° + cot 60°)²

ସମାଧାନ:

tan 30° = 1/√3, cot 60° = 1/√3.

(1/√3 + 1/√3)² = (2/√3)² = 4/3.

ଉତ୍ତର: 4/3 (ପ୍ରଦତ୍ତ ଉତ୍ତରମାଳାରେ 5/6 ଅଛି, ଯାହା ଟାଇପିଂ ତ୍ରୁଟି ।)

(vi) ପ୍ରଶ୍ନ: (sin 0° - cos 0°)

ସମାଧାନ:

sin 0° = 0, cos 0° = 1.

0 - 1 = -1.

ଉତ୍ତର: -1

(vii) ପ୍ରଶ୍ନ: ଯଦି sin θ = 3/5 ଏବଂ cos θ = 4/5 ହୁଏ, ତେବେ sin θ + cos θ ର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

sin θ + cos θ = 3/5 + 4/5 = (3+4)/5 = 7/5.

ଉତ୍ତର: 7/5 (ପ୍ରଦତ୍ତ ଉତ୍ତରମାଳାରେ 7/10 ଅଛି, ଯାହା ଟାଇପିଂ ତ୍ରୁଟି ।)

(viii) ପ୍ରଶ୍ନ: ଯଦି tan θ = 3/4 ହୁଏ, ତେବେ (sin θ + cos θ) / (sin θ - cos θ) ର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

tan θ = P/B = 3/4.

H = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

sin θ = P/H = 3/5.

cos θ = B/H = 4/5.

(sin θ + cos θ) / (sin θ - cos θ) = (3/5 + 4/5) / (3/5 - 4/5)

= (7/5) / (-1/5) = -7.

ଉତ୍ତର: -7 (ପ୍ରଦତ୍ତ ଉତ୍ତରମାଳାରେ 27/10 ଅଛି, ଯାହା ଟାଇପିଂ ତ୍ରୁଟି ।)

(ix) ପ୍ରଶ୍ନ: (sin 60° + cos 30°)

ସମାଧାନ:

sin 60° = √3/2, cos 30° = √3/2.

√3/2 + √3/2 = 2√3/2 = √3.

ଉତ୍ତର: √3 (ପ୍ରଦତ୍ତ ଉତ୍ତରମାଳାରେ 3/2 ଅଛି, ଯାହା ଟାଇପିଂ ତ୍ରୁଟି ।)

(x) ପ୍ରଶ୍ନ: ଯଦି tan θ = 2/3 ହୁଏ, ତେବେ (3sin θ + 2cos θ) / (3sin θ - 2cos θ) ର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

(3sin θ + 2cos θ) / (3sin θ - 2cos θ)

ଲବ ଓ ହରକୁ cos θ ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କରିବା ।

= ( (3sin θ / cos θ) + (2cos θ / cos θ) ) / ( (3sin θ / cos θ) - (2cos θ / cos θ) )

= (3tan θ + 2) / (3tan θ - 2)

tan θ = 2/3 ପ୍ରତିସ୍ଥାପନ କରିବା ।

= (3(2/3) + 2) / (3(2/3) - 2)

= (2 + 2) / (2 - 2) = 4 / 0.

ଏହି ମୂଲ୍ୟ ଅସଂଜ୍ଞାତ ।

ଉତ୍ତର: ଅସଂଜ୍ଞାତ (ପ୍ରଦତ୍ତ ଉତ୍ତରମାଳାରେ 19/45 ଅଛି, ଯାହା ଟାଇପିଂ ତ୍ରୁଟି ।)

୪. ବୋର୍ଡ ପରୀକ୍ଷା ମାଷ୍ଟ୍ରି ଟିପ୍ସ ଓ ସାଧାରଣ ଭୁଲ୍ (Board Exam Tips & Pitfalls)

ଏହି ଉତ୍ତରମାଳାରେ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ଜ୍ୟାମିତି ଓ ତ୍ରିକୋଣମିତି ବିଷୟଗୁଡ଼ିକ ପାଇଁ ବୋର୍ଡ ପରୀକ୍ଷାରେ ଉତ୍କୃଷ୍ଟ ପ୍ରଦର୍ଶନ କରିବା ପାଇଁ କିଛି ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ଟିପ୍ସ ଓ ସାଧାରଣ ଭୁଲ୍ ନିମ୍ନରେ ଦିଆଗଲା:

୪.୧. ପରୀକ୍ଷା ପ୍ରସ୍ତୁତି ରଣନୀତି (Exam Preparation Strategies):

୧. ମୌଳିକ ଧାରଣା ସ୍ପଷ୍ଟ କରନ୍ତୁ: ଜ୍ୟାମିତିରେ ବିନ୍ଦୁ, ରେଖା, କୋଣ, ସମତଳ, ତ୍ରିଭୁଜ, ଚତୁର୍ଭୁଜ ଇତ୍ୟାଦିର ସଂଜ୍ଞା ଓ ଗୁଣଧର୍ମ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ରୂପେ ବୁଝନ୍ତୁ । ତ୍ରିକୋଣମିତିରେ ତ୍ରିକୋଣମିତିକ ଅନୁପାତର ମୌଳିକ ଧାରଣା ଓ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ସହିତ ସମ୍ପର୍କ ସ୍ପଷ୍ଟ କରନ୍ତୁ ।

୨. ସୂତ୍ରାବଳୀ ମନେ ରଖନ୍ତୁ: ସମସ୍ତ ଜ୍ୟାମିତିକ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ, ପରିସୀମା, ଆୟତନ ସୂତ୍ର ଏବଂ ତ୍ରିକୋଣମିତିକ ଅଭେଦାବଳୀ ଓ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ କୋଣର ମୂଲ୍ୟଗୁଡ଼ିକୁ ମନେ ରଖନ୍ତୁ । ଏଥିପାଇଁ ଏକ ସୂତ୍ର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରି ପ୍ରତିଦିନ ଅଭ୍ୟାସ କରନ୍ତୁ ।

୩. ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କରନ୍ତୁ: ଜ୍ୟାମିତି ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକ ପାଇଁ ସଠିକ୍ ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କରିବା ଅତ୍ୟନ୍ତ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ । ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କରିବା ଦ୍ୱାରା ପ୍ରଶ୍ନକୁ ବୁଝିବା ଓ ସମାଧାନ କରିବା ସହଜ ହୁଏ ।

୪. ପ୍ରମାଣ ଅଭ୍ୟାସ କରନ୍ତୁ: ଜ୍ୟାମିତିରେ ଉପପାଦ୍ୟ ଓ ପ୍ରମେୟଗୁଡ଼ିକର ପ୍ରମାଣକୁ ବାରମ୍ବାର ଅଭ୍ୟାସ କରନ୍ତୁ । ପ୍ରମାଣର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦକ୍ଷେପକୁ ତର୍କସଙ୍ଗତ ଭାବରେ ବୁଝିବା ଆବଶ୍ୟକ ।

୫. ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରକାର ପ୍ରଶ୍ନ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ: ପାଠ୍ୟପୁସ୍ତକର ସମସ୍ତ ଅଭ୍ୟାସ ପ୍ରଶ୍ନ ସହିତ ଅତିରିକ୍ତ ପ୍ରଶ୍ନ, ପୂର୍ବ ବର୍ଷର ପ୍ରଶ୍ନପତ୍ର ଏବଂ ଉଦାହରଣଗୁଡ଼ିକୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ।

୬. ସମୟ ପରିଚାଳନା: ପରୀକ୍ଷାରେ ସମୟ ପରିଚାଳନା ଅତ୍ୟନ୍ତ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ । ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରଶ୍ନ ପାଇଁ କେତେ ସମୟ ଦେବେ ତାହା ପୂର୍ବରୁ ଯୋଜନା କରନ୍ତୁ ।

୪.୨. ୧୦୦/୧୦୦ ସ୍କୋରିଂ ରହସ୍ୟ (100/100 Scoring Secrets):

୪.୩. ସାଧାରଣ ଭୁଲ୍ (Common Student Errors):

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

(ନୋଟ୍ସ ପ୍ରସ୍ତୁତି: ଉତ୍କଳ ସ୍କିଲ୍ ସେଣ୍ଟର - BSE Odisha 100% Full Textbook Master Edition)