କାରଣ: 'a' ହେଉଛି ସେଟ୍ {a,b,c} ର ଏକ ଉପାଦାନ ।

(ii) d.... {a,b,c} [∈, ∉, ⊂, =]

ଉତ୍ତର: ∉

କାରଣ: 'd' ସେଟ୍ {a,b,c} ର ଉପାଦାନ ନୁହେଁ ।

(iii) {a,c,b} .... {a,b,c} [∈, ∉, =, ≠]

ଉତ୍ତର: =

କାରଣ: ସେଟ୍‌ରେ ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକର କ୍ରମ ପରିବର୍ତ୍ତନ ହେଲେ ମଧ୍ୟ ସେଟ୍ ଅପରିବର୍ତ୍ତିତ ରହେ ।

(iv) {a,a,b,c} ... {a,b,c} [∈, ∉, =, ≠]

ଉତ୍ତର: =

କାରଣ: ସେଟ୍‌ରେ ଗୋଟିଏ ଉପାଦାନକୁ ଏକାଧିକ ଥର ଲେଖିଲେ ମଧ୍ୟ ନୂତନ ସେଟ୍ ସୃଷ୍ଟି ହୁଏ ନାହିଁ ।

(v) {a} .. {a, b, c} [=, ⊂, ∈, ⊃]

ଉତ୍ତର: ⊂

କାରଣ: {a} ସେଟ୍‌ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉପାଦାନ {a,b,c} ସେଟ୍‌ରେ ଅଛି, ତେଣୁ ଏହା ଏକ ଉପସେଟ୍ ।

(vi) {a,b, c} ... {a} [=, ⊂, ∈, ⊃]

ଉତ୍ତର: ⊃

କାରଣ: {a,b,c} ସେଟ୍‌ଟି {a} ସେଟ୍‌ର ଏକ ଅଧିସେଟ୍ (Superset) ଅଟେ ।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q2. A = {1,2,3}, B = {3,4,5} ଓ C = {5,6} ହେଲେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ସେଟ୍ ଗୁଡ଼ିକୁ ନିରୂପଣ କର ।

(i) B ∪ C

ସମାଧାନ:

B ∪ C = {3, 4, 5} ∪ {5, 6}

= {3, 4, 5, 6}

(ii) A ∪ B

ସମାଧାନ:

A ∪ B = {1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5}

= {1, 2, 3, 4, 5}

(iii) A ∪ C

ସମାଧାନ:

A ∪ C = {1, 2, 3} ∪ {5, 6}

= {1, 2, 3, 5, 6}

(iv) B ∩ C

ସମାଧାନ:

B ∩ C = {3, 4, 5} ∩ {5, 6}

= {5}

(v) A ∩ B

ସମାଧାନ:

A ∩ B = {1, 2, 3} ∩ {3, 4, 5}

= {3}

(vi) A ∩ C

ସମାଧାନ:

A ∩ C = {1, 2, 3} ∩ {5, 6}

= ∅ (କାରଣ କୌଣସି ସାଧାରଣ ଉପାଦାନ ନାହିଁ)

(vii) B - C

ସମାଧାନ:

B - C = {3, 4, 5} - {5, 6}

= {3, 4}

(viii) A - B

ସମାଧାନ:

A - B = {1, 2, 3} - {3, 4, 5}

= {1, 2}

(ix) A - C

ସମାଧାନ:

A - C = {1, 2, 3} - {5, 6}

= {1, 2, 3}

(x) C - B

ସମାଧାନ:

C - B = {5, 6} - {3, 4, 5}

= {6}

(xi) B - A

ସମାଧାନ:

B - A = {3, 4, 5} - {1, 2, 3}

= {4, 5}

(xii) C - A

ସମାଧାନ:

C - A = {5, 6} - {1, 2, 3}

= {5, 6}

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q3. A = {1,2,3,4}, B = {4,5,6,7}, C = {6,7,8,9} ହେଲେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଉକ୍ତିମାନଙ୍କର ସତ୍ୟତା ପରୀକ୍ଷା କର ।

(i) A ∪ B = B ∪ A

ସମାଧାନ:

LHS = A ∪ B = {1, 2, 3, 4} ∪ {4, 5, 6, 7} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

RHS = B ∪ A = {4, 5, 6, 7} ∪ {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

LHS = RHS । ତେଣୁ ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ ।

(ii) B ∩ C = C ∩ B

ସମାଧାନ:

LHS = B ∩ C = {4, 5, 6, 7} ∩ {6, 7, 8, 9} = {6, 7}

RHS = C ∩ B = {6, 7, 8, 9} ∩ {4, 5, 6, 7} = {6, 7}

LHS = RHS । ତେଣୁ ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ ।

(iii) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

ସମାଧାନ:

LHS:

B ∪ C = {4, 5, 6, 7} ∪ {6, 7, 8, 9} = {4, 5, 6, 7, 8, 9}

A ∪ (B ∪ C) = {1, 2, 3, 4} ∪ {4, 5, 6, 7, 8, 9} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

RHS:

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

(A ∪ B) ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ∪ {6, 7, 8, 9} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

LHS = RHS । ତେଣୁ ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ ।

(iv) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

ସମାଧାନ:

LHS:

B ∩ C = {4, 5, 6, 7} ∩ {6, 7, 8, 9} = {6, 7}

A ∩ (B ∩ C) = {1, 2, 3, 4} ∩ {6, 7} = ∅

RHS:

A ∩ B = {1, 2, 3, 4} ∩ {4, 5, 6, 7} = {4}

(A ∩ B) ∩ C = {4} ∩ {6, 7, 8, 9} = ∅

LHS = RHS । ତେଣୁ ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ ।

(v) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

ସମାଧାନ:

LHS:

B ∩ C = {6, 7}

A ∪ (B ∩ C) = {1, 2, 3, 4} ∪ {6, 7} = {1, 2, 3, 4, 6, 7}

RHS:

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

A ∪ C = {1, 2, 3, 4} ∪ {6, 7, 8, 9} = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9}

(A ∪ B) ∩ (A ∪ C) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ∩ {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9} = {1, 2, 3, 4, 6, 7}

LHS = RHS । ତେଣୁ ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ ।

(vi) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

ସମାଧାନ:

LHS:

B ∪ C = {4, 5, 6, 7, 8, 9}

A ∩ (B ∪ C) = {1, 2, 3, 4} ∩ {4, 5, 6, 7, 8, 9} = {4}

RHS:

A ∩ B = {4}

A ∩ C = {1, 2, 3, 4} ∩ {6, 7, 8, 9} = ∅

(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = {4} ∪ ∅ = {4}

LHS = RHS । ତେଣୁ ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ ।

(vii) A - B ≠ B - A

ସମାଧାନ:

LHS = A - B = {1, 2, 3, 4} - {4, 5, 6, 7} = {1, 2, 3}

RHS = B - A = {4, 5, 6, 7} - {1, 2, 3, 4} = {5, 6, 7}

LHS ≠ RHS । ତେଣୁ ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ ।

(viii) (A - B) - C ≠ A - (B - C)

ସମାଧାନ:

LHS:

A - B = {1, 2, 3}

(A - B) - C = {1, 2, 3} - {6, 7, 8, 9} = {1, 2, 3}

RHS:

B - C = {4, 5, 6, 7} - {6, 7, 8, 9} = {4, 5}

A - (B - C) = {1, 2, 3, 4} - {4, 5} = {1, 2, 3}

ଏଠାରେ LHS = RHS ହେଉଛି । କିନ୍ତୁ ପ୍ରଶ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ସାଧାରଣ ନିୟମ ଅନୁଯାୟୀ ସେଟ୍ ଅନ୍ତର ପ୍ରକ୍ରିୟା ସହଯୋଗୀ ନୁହେଁ । ଏହି ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଉଦାହରଣ ପାଇଁ ଉଭୟ ସମାନ ହେଉଥିବାରୁ ଦିଆଯାଇଥିବା ଅସମାନତା ଉକ୍ତିଟି ଏହି କ୍ଷେତ୍ରରେ ସତ୍ୟ ପ୍ରତିପାଦିତ ହେଉନାହିଁ ।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q4. ନିମ୍ନରେ ସୂଚିତ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସେଟ୍, ବନ୍ଧନୀ ମଧ୍ୟରେ ଦିଆଯାଇଥିବା କେଉଁ ସେଟ୍ ସହ ସମାନ ବାଛି ଲେଖ ।

(i) {x | x² - 1 = 0} [∅, {1}, {-1}, {1,-1}, {0, 1}]

ସମାଧାନ:

x² - 1 = 0

⇒ x² = 1

⇒ x = √1 = ±1

ତେଣୁ ସେଟ୍‌ଟି ହେଉଛି {1, -1} ।

(ii) {x | x ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ଓ 6 ଅପେକ୍ଷା କ୍ଷୁଦ୍ରତର ଯୁଗ୍ମ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା} [∅, {1, 2, 3, 4, 5}, {2, 4}, {1, 3, 5}]

ସମାଧାନ:

6 ଅପେକ୍ଷା କ୍ଷୁଦ୍ରତର ଯୁଗ୍ମ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହେଲା 2 ଏବଂ 4 ।

ତେଣୁ ସେଟ୍‌ଟି ହେଉଛି {2, 4} ।

(iii) {x | x ଏକ ଯୁଗ୍ମ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ଓ 2 < x < 4} [∅, {2}, {4}, {2,4}]

ସମାଧାନ:

2 ଏବଂ 4 ମଧ୍ୟରେ କୌଣସି ଯୁଗ୍ମ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ନାହିଁ ।

ତେଣୁ ସେଟ୍‌ଟି ହେଉଛି ∅ (ଶୂନ୍ୟ ସେଟ୍) ।

(iv) {x | x ∈ N, x ≤ 3} [{0, 1, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {0, 1, 2, 3}]

ସମାଧାନ:

N ହେଉଛି ସମ୍ପ୍ରସାରିତ ସ୍ୱାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ {0, 1, 2, 3, ...} ।

x ≤ 3 ହେଲେ x ର ମାନ 0, 1, 2, 3 ହେବ ।

ତେଣୁ ସେଟ୍‌ଟି ହେଉଛି {0, 1, 2, 3} ।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q5. A = {a, b, d, e, p} ଓ B = {b, p, a, n, m, x, y}, C = {n, x, z, s, t} ହେଲେ:

(i) (A - B) ∪ (A ∩ B)

(ii) (A ∪ B) ∩ (B ∪ C)

(iii) (A ∩ B) ∪ (B - C) ସେଟ୍‌ମାନଙ୍କୁ ତାଲିକା ପ୍ରଣାଳୀରେ ଲେଖ ।

ସମାଧାନ:

(i) (A - B) ∪ (A ∩ B)

A - B = {a, b, d, e, p} - {b, p, a, n, m, x, y} = {d, e}

A ∩ B = {a, b, d, e, p} ∩ {b, p, a, n, m, x, y} = {a, b, p}

ତେଣୁ, (A - B) ∪ (A ∩ B) = {d, e} ∪ {a, b, p} = {a, b, d, e, p} = A

(ii) (A ∪ B) ∩ (B ∪ C)

A ∪ B = {a, b, d, e, p, n, m, x, y}

B ∪ C = {b, p, a, n, m, x, y, z, s, t}

ତେଣୁ, (A ∪ B) ∩ (B ∪ C) = {a, b, p, n, m, x, y} = B

(iii) (A ∩ B) ∪ (B - C)

A ∩ B = {a, b, p}

B - C = {b, p, a, n, m, x, y} - {n, x, z, s, t} = {b, p, a, m, y}

ତେଣୁ, (A ∩ B) ∪ (B - C) = {a, b, p} ∪ {b, p, a, m, y} = {a, b, p, m, y}

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q6. A = {a, b, c, d, e}, B = {a, e, i, o, u} ହେଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ,

(i) (A - B) ∩ (A ∩ B) = ∅, (B - A) ∩ (A ∩ B) = ∅, ଏବଂ

(ii) (A - B) ∩ (B - A) = ∅

ସମାଧାନ:

ପ୍ରଥମେ ଆବଶ୍ୟକ ସେଟ୍ ଗୁଡ଼ିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା:

A - B = {a, b, c, d, e} - {a, e, i, o, u} = {b, c, d}

B - A = {a, e, i, o, u} - {a, b, c, d, e} = {i, o, u}

A ∩ B = {a, b, c, d, e} ∩ {a, e, i, o, u} = {a, e}

(i) ପ୍ରମାଣ:

LHS 1 = (A - B) ∩ (A ∩ B) = {b, c, d} ∩ {a, e} = ∅ (ପ୍ରମାଣିତ)

LHS 2 = (B - A) ∩ (A ∩ B) = {i, o, u} ∩ {a, e} = ∅ (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) ପ୍ରମାଣ:

LHS = (A - B) ∩ (B - A) = {b, c, d} ∩ {i, o, u} = ∅ (ପ୍ରମାଣିତ)

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q7. ନିମ୍ନଲିଖିତ ସେଟ୍ ଗୁଡ଼ିକର ଭେନ୍ ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର ।

(i) (A ∩ B) ∪ (A - B)

(ii) (A ∩ B) ∪ (B - A)

(iii) (A ∪ B) - (A ∩ B)

ସମାଧାନ (ବର୍ଣ୍ଣନାତ୍ମକ ମାର୍ଗଦର୍ଶନ):

(i) (A ∩ B) ∪ (A - B):

(ii) (A ∩ B) ∪ (B - A):

(iii) (A ∪ B) - (A ∩ B):

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q8. ଏକ ଉଦାହରଣ ନେଇ ଦର୍ଶାଅ ଯେ- (A - B) ∪ (B - A) = (A ∪ B) - (A ∩ B)

ସମାଧାନ:

ମନେକର, A = {1, 2, 3} ଏବଂ B = {3, 4, 5}

LHS:

A - B = {1, 2}

B - A = {4, 5}

(A - B) ∪ (B - A) = {1, 2} ∪ {4, 5} = {1, 2, 4, 5}

RHS:

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}

A ∩ B = {3}

(A ∪ B) - (A ∩ B) = {1, 2, 3, 4, 5} - {3} = {1, 2, 4, 5}

LHS = RHS । (ପ୍ରମାଣିତ)

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q9. ଯଦି I_n = {1, 2, 3, 4, ....., n} ହୁଏ ତେବେ I_20 - I_16 ଏବଂ I_16 - I_20 ସେଟ୍ ଦ୍ୱୟକୁ ତାଲିକା ପ୍ରଣାଳୀରେ ଲେଖ ।

ସମାଧାନ:

ଦିଆଯାଇଛି, I_n = {1, 2, 3, ..., n}

ତେଣୁ,

I_20 = {1, 2, 3, ..., 16, 17, 18, 19, 20}

I_16 = {1, 2, 3, ..., 16}

I_20 - I_16 = {1, 2, 3, ..., 20} - {1, 2, 3, ..., 16}

= {17, 18, 19, 20}

I_16 - I_20 = {1, 2, 3, ..., 16} - {1, 2, 3, ..., 20}

= ∅ (ଶୂନ୍ୟ ସେଟ୍)

ଅନୁଶୀଳନୀ - ୧(b)

Q1. ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରଶ୍ନ ପାଇଁ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଉତ୍ତରମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଠିକ୍ ଉତ୍ତରଟି ବାଛି ଲେଖ ।

(i) ଯଦି E = {1,2,3,4,5} ଓ S = {2, 4} ହୁଏ ତେବେ S' = ........

(a) {1, 3} (b) {1,4,5} (c) {1,3,5} (d) {1,2,5}

ଉତ୍ତର: (c) {1,3,5}

କାରଣ: S' = E - S = {1, 2, 3, 4, 5} - {2, 4} = {1, 3, 5} ।

(ii) ଯଦି E = {a,b,c,d} ଓ T = {a,b} ହେବ ତେବେ T ∪ T' = ....

(a) E (b) {a, b} (c) {c, d} (d) ∅

ଉତ୍ତର: (a) E

କାରଣ: ଯେକୌଣସି ସେଟ୍ ଓ ଏହାର ପରିପୂରକ ସେଟ୍‌ର ସଂଯୋଗ ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍ (E) ଅଟେ ।

(iii) ଯଦି E = {a,b,c,d} ଓ T = {a,b} ହେବ ତେବେ T ∩ T' = .......

(a) E (b) {a, b} (c) {c, d} (d) ∅

ଉତ୍ତର: (d) ∅

କାରଣ: ସେଟ୍ ଓ ଏହାର ପରିପୂରକ ସେଟ୍ ମଧ୍ୟରେ କୌଣସି ସାଧାରଣ ଉପାଦାନ ନଥାଏ ।

(iv) (A ∪ A') - (A' ∩ A) = –––––

(a) A (b) A' (c) E (d) ∅

ଉତ୍ତର: (c) E

କାରଣ: A ∪ A' = E ଏବଂ A' ∩ A = ∅ । ତେଣୁ, E - ∅ = E ।

(v) E - A' = ––––

(a) E (b) A (c) A' (d) ∅

ଉତ୍ତର: (b) A

କାରଣ: ପରିପୂରକ ସେଟ୍‌ର ସଂଜ୍ଞାନୁସାରେ E - A' = A ।

(vi) (E - A) ∪ (E - B) = ––––

(a) A ∪ B (b) (A ∪ B)' (c) (A ∩ B) (d) (A ∩ B)'

ଉତ୍ତର: (d) (A ∩ B)'

କାରଣ: E - A = A' ଏବଂ E - B = B' । ଡି'ମର୍ଗାନଙ୍କ ନିୟମାନୁସାରେ A' ∪ B' = (A ∩ B)' ।

(vii) A' ∩ B' = ––––

(a) A ∪ B (b) (A ∪ B)' (c) (A ∩ B) (d) (A ∩ B)'

ଉତ୍ତର: (b) (A ∪ B)'

କାରଣ: ଏହା ସିଧାସଳଖ ଡି'ମର୍ଗାନଙ୍କ ପ୍ରଥମ ନିୟମ ଅଟେ ।

(viii) (A - B) ∪ (B - A) = ––––

(a) A ∪ B (b) A Δ B (c) A ∩ B (d) B

ଉତ୍ତର: (b) A Δ B

କାରଣ: ସମଞ୍ଜସ ଅନ୍ତରର ସଂଜ୍ଞାନୁସାରେ A Δ B = (A - B) ∪ (B - A) ।

(ix) (A - B) ∪ (B - A) = ––––

(a) (A ∪ B) - (A ∩ B) (b) (A ∪ B) - (A - B) (c) (A - B) - (A ∩ B) (d) (A - B) ∩ (B - A)

ଉତ୍ତର: (a) (A ∪ B) - (A ∩ B)

କାରଣ: ସମଞ୍ଜସ ଅନ୍ତରର ଏହା ଅନ୍ୟ ଏକ ରୂପ ଅଟେ ।

(x) (A ∪ A')' = ––––

(a) A (b) A' (c) ∅ (d) E

ଉତ୍ତର: (c) ∅

କାରଣ: A ∪ A' = E, ତେଣୁ E' = ∅ ।

(xi) (A' ∪ B')' = ––––

(a) A ∩ B (b) A ∪ B (c) A' ∩ B' (d) (A ∪ B)'

ଉତ୍ତର: (a) A ∩ B

କାରଣ: ଡି'ମର୍ଗାନଙ୍କ ନିୟମାନୁସାରେ ((A ∩ B)')' = A ∩ B ।

(xii) (A ∪ B)' = ––––

(a) A' ∪ B' (b) (A ∩ B)' (c) A' ∩ B' (d) E - (A ∩ B)

ଉତ୍ତର: (c) A' ∩ B'

କାରଣ: ଏହା ଡି'ମର୍ଗାନଙ୍କ ନିୟମ ଅଟେ ।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q2. ନିମ୍ନଲିଖିତ ଉକ୍ତିମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଠିକ୍ ଉକ୍ତି ଗୁଡ଼ିକୁ ବାଛି ଲେଖ ।

(i) (A - B) ∪ (B - A) = (A ∪ B) - (A ∩ B) -> ଠିକ୍

(ii) A Δ B = B Δ A -> ଠିକ୍ (ସମଞ୍ଜସ ଅନ୍ତର କ୍ରମବିନିମୟୀ)

(iii) (A ∪ B)' = A' ∪ B' -> ଭୁଲ୍ (ଠିକ୍ ଉକ୍ତିଟି ହେଲା A' ∩ B')

(iv) (A ∩ B)' = A' ∪ B' -> ଠିକ୍ (ଡି'ମର୍ଗାନଙ୍କ ଦ୍ୱିତୀୟ ନିୟମ)

(v) ∅' = E -> ଠିକ୍

(vi) E' = ∅ -> ଠିକ୍

(vii) A ∪ A' = ∅ -> ଭୁଲ୍ (ଠିକ୍ ଉକ୍ତିଟି ହେଲା E)

(viii) A ∩ A' = E -> ଭୁଲ୍ (ଠିକ୍ ଉକ୍ତିଟି ହେଲା ∅)

(ix) (A ∪ A')' = E -> ଭୁଲ୍ (ଠିକ୍ ଉକ୍ତିଟି ହେଲା ∅)

(x) (A ∩ A')' = ∅ -> ଭୁଲ୍ (A ∩ A' = ∅, ତେଣୁ ∅' = E)

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q3. ସମାଧାନ କର:

(i) E = Z ହେଲେ, ସମସ୍ତ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ପରିପୂରକ ସେଟ୍‌ଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍ E = Z (ସମସ୍ତ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍)

ମନେକର, ଯୁଗ୍ମ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ A = {x | x ∈ Z ଏବଂ x ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା}

ତେଣୁ, A ର ପରିପୂରକ ସେଟ୍ A' = E - A = Z - A

= {x | x ∈ Z ଏବଂ x ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା} (ସମସ୍ତ ଅଯୁଗ୍ମ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍) ।

(ii) E - A = B ହେଲେ, B ∩ A ଓ B ∪ A ସେଟ୍ ଦ୍ୱୟର ପରିପୂରକ ସେଟ୍‌ଗୁଡ଼ିକୁ ଲେଖ ।

ସମାଧାନ:

ଦିଆଯାଇଛି, E - A = B ⇒ B = A' (A ର ପରିପୂରକ ସେଟ୍)

୧. B ∩ A ର ପରିପୂରକ ସେଟ୍:

B ∩ A = A' ∩ A = ∅

ତେଣୁ, (B ∩ A)' = ∅' = E ।

୨. B ∪ A ର ପରିପୂରକ ସେଟ୍:

B ∪ A = A' ∪ A = E

ତେଣୁ, (B ∪ A)' = E' = ∅ ।

(iii) ସେଟ୍ A ଓ ଏହାର ପରିପୂରକ ସେଟ୍‌ରେ ଯଥାକ୍ରମେ 5 ଓ 6 ଟି ଉପାଦାନ ଥିଲେ ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍ E ରେ ଥିବା ଉପାଦାନ ସଂଖ୍ୟା ସ୍ଥିର କର ।

ସମାଧାନ:

ଦିଆଯାଇଛି, |A| = 5 ଏବଂ |A'| = 6

ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ, A ∪ A' = E ଏବଂ A ∩ A' = ∅

ତେଣୁ, |E| = |A| + |A'|

= 5 + 6 = 11 ।

ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍ E ରେ ଥିବା ଉପାଦାନ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି 11 ।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q4. ଉଦାହରଣ ଦ୍ୱାରା ଦର୍ଶାଅ ଯେ, "ସମଞ୍ଜସ ଅନ୍ତର ପ୍ରକ୍ରିୟା କ୍ରମବିନିମୟୀ" ।

ସମାଧାନ:

ଆମକୁ ଦର୍ଶାଇବାକୁ ହେବ ଯେ, A Δ B = B Δ A

ମନେକର, A = {1, 2, 3} ଏବଂ B = {3, 4, 5}

LHS: A Δ B

A - B = {1, 2}

B - A = {4, 5}

A Δ B = (A - B) ∪ (B - A) = {1, 2} ∪ {4, 5} = {1, 2, 4, 5}

RHS: B Δ A

B - A = {4, 5}

A - B = {1, 2}

B Δ A = (B - A) ∪ (A - B) = {4, 5} ∪ {1, 2} = {1, 2, 4, 5}

LHS = RHS ।

ତେଣୁ, ସମଞ୍ଜସ ଅନ୍ତର ପ୍ରକ୍ରିୟା କ୍ରମବିନିମୟୀ । (ପ୍ରମାଣିତ)

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q5. ଯଦି ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍ E = {a, b, c, d, e, f, g, h}, A = {a, b, c} ଏବଂ C = {b, f, g, h} ତେବେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଉକ୍ତି ଗୁଡ଼ିକର ସତ୍ୟତା ପ୍ରତିପାଦନ କର ।

(i) (A ∪ C)' = A' ∩ C'

(ii) (A ∩ C)' = A' ∪ C'

(ଟିପ୍ପଣୀ: ପାଠ୍ୟପୁସ୍ତକ ପ୍ରଶ୍ନରେ 'B' ସ୍ଥାନରେ 'C' ଦିଆଯାଇଛି, ତେଣୁ ଆମେ C କୁ ନେଇ ସମାଧାନ କରିବା)

ସମାଧାନ:

ପ୍ରଥମେ ଆବଶ୍ୟକ ପରିପୂରକ ସେଟ୍ ଗୁଡ଼ିକ ବାହାର କରିବା:

A' = E - A = {d, e, f, g, h}

C' = E - C = {a, c, d, e}

(i) (A ∪ C)' = A' ∩ C'

LHS:

A ∪ C = {a, b, c} ∪ {b, f, g, h} = {a, b, c, f, g, h}

(A ∪ C)' = E - (A ∪ C) = {d, e}

RHS:

A' ∩ C' = {d, e, f, g, h} ∩ {a, c, d, e} = {d, e}

LHS = RHS । (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) (A ∩ C)' = A' ∪ C'

LHS:

A ∩ C = {a, b, c} ∩ {b, f, g, h} = {b}

(A ∩ C)' = E - (A ∩ C) = {a, c, d, e, f, g, h}

RHS:

A' ∪ C' = {d, e, f, g, h} ∪ {a, c, d, e} = {a, c, d, e, f, g, h}

LHS = RHS । (ପ୍ରମାଣିତ)

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q6. ଏକ ଉଦାହରଣ ଦ୍ୱାରା ଡି'ମର୍ଗାନଙ୍କ ନିୟମ ଦ୍ୱୟର ସତ୍ୟତା ପ୍ରତିପାଦନ କର ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର, ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍ E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = {1, 2, 3} ଏବଂ B = {3, 4, 5}

ତେଣୁ, A' = {4, 5, 6} ଏବଂ B' = {1, 2, 6}

ନିୟମ (i): (A ∪ B)' = A' ∩ B'

LHS:

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}

(A ∪ B)' = E - (A ∪ B) = {6}

RHS:

A' ∩ B' = {4, 5, 6} ∩ {1, 2, 6} = {6}

LHS = RHS । (ପ୍ରମାଣିତ)

ନିୟମ (ii): (A ∩ B)' = A' ∪ B'

LHS:

A ∩ B = {3}

(A ∩ B)' = E - (A ∩ B) = {1, 2, 4, 5, 6}

RHS:

A' ∪ B' = {4, 5, 6} ∪ {1, 2, 6} = {1, 2, 4, 5, 6}

LHS = RHS । (ପ୍ରମାଣିତ)

ଅନୁଶୀଳନୀ - ୧(c)

Q1. (a) ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।

(i) |A| = 3 ଓ |B| = 4 ହେଲେ A × B ର ଉପାଦାନ ସଂଖ୍ୟା ––––

[(a) 7 (b) 10 (c) 11 (d) 12]

ଉତ୍ତର: (d) 12

ସୂତ୍ର: |A × B| = |A| × |B| = 3 × 4 = 12 ।

(ii) |A| = 3 ହେଲେ |A × A| = ––––

[(a) 3 (b) 6 (c) 9 (d) ଏଥିମଧ୍ୟରୁ କୌଣସିଟି ନୁହେଁ]

ଉତ୍ତର: (c) 9

ସୂତ୍ର: |A × A| = |A| × |A| = 3 × 3 = 9 ।

(iii) |A ∪ B| = 15, |A| = 12 ଓ |B| = 6 ହେଲେ |A ∩ B| = –––––

[(a) 3 (b) 6 (c) 9 (d) 12]

ଉତ୍ତର: (a) 3

ସମାଧାନ: |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|

⇒ 15 = 12 + 6 - |A ∩ B|

⇒ 15 = 18 - |A ∩ B|

⇒ |A ∩ B| = 18 - 15 = 3 ।

(iv) |A ∪ B| = 10, |A ∩ B| = 0 ଓ |A| = 4 ହେଲେ |B| = ––––

[(a) 0 (b) 4 (c) 6 (d) 12]

ଉତ୍ତର: (c) 6

ସମାଧାନ: |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|

⇒ 10 = 4 + |B| - 0

⇒ |B| = 10 - 4 = 6 ।

(v) A ∩ B = ∅, |A| = 10, |B| = 3 ହେଲେ |A ∪ B| = ––––

(a) 3 (b) 7 (c) 10 (d) 13

ଉତ୍ତର: (d) 13

ସମାଧାନ: A ∩ B = ∅ ହେଲେ, |A ∪ B| = |A| + |B| = 10 + 3 = 13 ।

(vi) |A| = |B| = 5 ଓ |A ∩ B| = 3 ହେଲେ |A Δ B| = ––––

[(a) 3 (b) 4 (c) 7 (d) 8]

ଉତ୍ତର: (b) 4

ସମାଧାନ: |A Δ B| = |A| + |B| - 2|A ∩ B|

= 5 + 5 - 2(3) = 10 - 6 = 4 ।

(vii) |A ∪ B| = 10 ଓ |A ∩ B| = 3 ହେଲେ |A Δ B| = ––––

[(a) 10 (b) 7 (c) 3 (d) 0]

ଉତ୍ତର: (b) 7

ସମାଧାନ: |A Δ B| = |A ∪ B| - |A ∩ B| = 10 - 3 = 7 ।

(viii) |A - B| = 5 ଓ |B - A| = 7 ହେଲେ |A Δ B| = ––––

[(a) 2 (b) 12 (c) 7 (d) 5]

ଉତ୍ତର: (b) 12

ସମାଧାନ: |A Δ B| = |A - B| + |B - A| = 5 + 7 = 12 ।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q1. (b) ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ x ଓ y ର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

(i) ଯଦି (2 - x, 5) = (4, y+2)

ସମାଧାନ:

କ୍ରମିତ ଯୋଡ଼ିର ସମାନତା ନିୟମାନୁସାରେ:

2 - x = 4 ⇒ -x = 4 - 2 ⇒ -x = 2 ⇒ x = -2

ଏବଂ y + 2 = 5 ⇒ y = 5 - 2 ⇒ y = 3

ଉତ୍ତର: x = -2, y = 3

(ii) ଯଦି (2x+3, 3y-4) = (7, 5)

ସମାଧାନ:

2x + 3 = 7 ⇒ 2x = 7 - 3 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2

ଏବଂ 3y - 4 = 5 ⇒ 3y = 5 + 4 ⇒ 3y = 9 ⇒ y = 3

ଉତ୍ତର: x = 2, y = 3

(iii) ଯଦି (x², y²) = (4, 9)

ସମାଧାନ:

x² = 4 ⇒ x = ±2

y² = 9 ⇒ y = ±3

ଉତ୍ତର: x = ±2, y = ±3

(iv) ଯଦି (x+y, x-y) = (3, 1)

ସମାଧାନ:

x + y = 3 ––– (ସମୀକରଣ ୧)

x - y = 1 ––– (ସମୀକରଣ ୨)

ଉଭୟ ସମୀକରଣକୁ ଯୋଗ କଲେ:

(x + y) + (x - y) = 3 + 1

⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2

x ର ମାନ ସମୀକରଣ ୧ ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ:

2 + y = 3 ⇒ y = 1

ଉତ୍ତର: x = 2, y = 1

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q1. (c) ଯଦି A = {1, 2, 3} ଓ B = {2, 3, 4} ତେବେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ସେଟ୍‌ମାନଙ୍କୁ ତାଲିକା ପଦ୍ଧତିରେ ଲେଖ ।

(i) {(x,y) | (x,y) ∈ A × B ଓ x < y}

(ii) {(x,y) | (x,y) ∈ B × A ଓ x < y}

ସମାଧାନ:

ପ୍ରଥମେ A × B ଏବଂ B × A ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା:

A × B = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,2), (3,3), (3,4)}

B × A = {(2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)}

(i) {(x,y) | (x,y) ∈ A × B ଓ x < y}

ଏଠାରେ x < y ସର୍ତ୍ତ ପୂରଣ କରୁଥିବା ଯୋଡ଼ିଗୁଡ଼ିକ ହେଲା:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)

ଉତ୍ତର: {(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)}

(ii) {(x,y) | (x,y) ∈ B × A ଓ x < y}

ଏଠାରେ x < y ସର୍ତ୍ତ ପୂରଣ କରୁଥିବା ଯୋଡ଼ିଗୁଡ଼ିକ ହେଲା:

(2,3)

ଉତ୍ତର: {(2,3)}

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q2. A ଓ B ସେଟ୍ ଦ୍ୱୟ ପାଇଁ |A| = 60, |B| = 40 ଓ |A ∪ B| = 70 ହେଲେ A ଓ B ର ସାଧାରଣ ଉପାଦାନ ସଂଖ୍ୟା ନିରୂପଣ କର ।

ସମାଧାନ:

ଦିଆଯାଇଛି:

|A| = 60, |B| = 40, |A ∪ B| = 70

ସାଧାରଣ ଉପାଦାନ ସଂଖ୍ୟା ଅର୍ଥାତ୍ |A ∩ B| ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ ହେବ ।

ଆମେ ଜାଣୁ:

⇒ 70 = 60 + 40 - |A ∩ B|

⇒ 70 = 100 - |A ∩ B|

⇒ |A ∩ B| = 100 - 70 = 30

ଉତ୍ତର: A ଓ B ର ସାଧାରଣ ଉପାଦାନ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି 30 ।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q3. A ଓ B ସେଟ୍ ଦ୍ୱୟ ପାଇଁ |A| = 80, |B| = 30 ଓ |A ∪ B| = 100 ହେଲେ |A Δ B| କେତେ ସ୍ଥିର କର ।

ସମାଧାନ:

ଦିଆଯାଇଛି:

|A| = 80, |B| = 30, |A ∪ B| = 100

ପ୍ରଥମେ |A ∩ B| ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା:

⇒ 100 = 80 + 30 - |A ∩ B|

⇒ 100 = 110 - |A ∩ B|

⇒ |A ∩ B| = 110 - 100 = 10

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମଞ୍ଜସ ଅନ୍ତରର ଉପାଦାନ ସଂଖ୍ୟା ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କରିବା:

= 100 - 10 = 90

ଉତ୍ତର: |A Δ B| ର ମାନ ହେଉଛି 90 ।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q4. ଗୋଟିଏ ଶ୍ରେଣୀରେ 100 ଜଣ ଛାତ୍ରଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ 40 ଜଣ କମ୍ପ୍ୟୁଟର ବିଜ୍ଞାନ ଓ 52 ଜଣ ପ୍ରାଣୀବିଜ୍ଞାନ ଅଧ୍ୟୟନ କରନ୍ତି । ଯଦି 23 ଜଣ ଛାତ୍ର ଉଭୟ ବିଷୟକୁ ଅଧ୍ୟୟନ କରନ୍ତି ତେବେ କେତେଜଣ ଛାତ୍ର ଏହି ଦୁଇ ବିଷୟରୁ କୌଣସିଟିକୁ ଅଧ୍ୟୟନ କରନ୍ତି ନାହିଁ ସ୍ଥିର କର ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର, ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍ E = ଶ୍ରେଣୀର ମୋଟ ଛାତ୍ର ସେଟ୍, ତେଣୁ |E| = 100

କମ୍ପ୍ୟୁଟର ବିଜ୍ଞାନ ପଢୁଥିବା ଛାତ୍ର ସେଟ୍ C, ତେଣୁ |C| = 40

ପ୍ରାଣୀବିଜ୍ଞାନ ପଢୁଥିବା ଛାତ୍ର ସେଟ୍ Z, ତେଣୁ |Z| = 52

ଉଭୟ ବିଷୟ ପଢୁଥିବା ଛାତ୍ର ସେଟ୍ C ∩ Z, ତେଣୁ |C ∩ Z| = 23

ଅତିକମରେ ଗୋଟିଏ ବିଷୟ ପଢୁଥିବା ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା |C ∪ Z|:

= 40 + 52 - 23

= 92 - 23 = 69

କୌଣସି ବିଷୟ ପଢୁନଥିବା ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା:

= |E| - |C ∪ Z|

= 100 - 69 = 31

ଉତ୍ତର: 31 ଜଣ ଛାତ୍ର କୌଣସିଟି ବିଷୟ ଅଧ୍ୟୟନ କରନ୍ତି ନାହିଁ ।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q5. ରାମଚନ୍ଦ୍ର ଉଚ୍ଚ ବିଦ୍ୟାଳୟର 80 ଜଣ ଛାତ୍ର ଗଣିତ ବା ବିଜ୍ଞାନରେ ପ୍ରଥମ ଶ୍ରେଣୀ ନମ୍ବର ରଖିଛନ୍ତି । ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ 50 ଜଣ ଗଣିତରେ, 10 ଜଣ ଉଭୟ ଗଣିତ ଓ ବିଜ୍ଞାନରେ ପ୍ରଥମ ଶ୍ରେଣୀ ନମ୍ବର ପାଇଥିଲେ । ତେବେ କେତେଜଣ କେବଳ ବିଜ୍ଞାନରେ ପ୍ରଥମ ଶ୍ରେଣୀ ନମ୍ବର ପାଇଥିଲେ?

ସମାଧାନ:

ମନେକର, ଗଣିତରେ ପ୍ରଥମ ଶ୍ରେଣୀ ପାଇଥିବା ଛାତ୍ର ସେଟ୍ M

ବିଜ୍ଞାନରେ ପ୍ରଥମ ଶ୍ରେଣୀ ପାଇଥିବା ଛାତ୍ର ସେଟ୍ S

ଦିଆଯାଇଛି:

ଗଣିତ ବା ବିଜ୍ଞାନରେ ପ୍ରଥମ ଶ୍ରେଣୀ ପାଇଥିବା ମୋଟ ଛାତ୍ର |M ∪ S| = 80

ଗଣିତରେ ପ୍ରଥମ ଶ୍ରେଣୀ ପାଇଥିବା ଛାତ୍ର |M| = 50

ଉଭୟରେ ପ୍ରଥମ ଶ୍ରେଣୀ ପାଇଥିବା ଛାତ୍ର |M ∩ S| = 10

ଆମେ ଜାଣୁ:

⇒ 80 = 50 + |S| - 10

⇒ 80 = 40 + |S|

⇒ |S| = 80 - 40 = 40 (ବିଜ୍ଞାନରେ ପ୍ରଥମ ଶ୍ରେଣୀ ପାଇଥିବା ମୋଟ ଛାତ୍ର)

କେବଳ ବିଜ୍ଞାନରେ ପ୍ରଥମ ଶ୍ରେଣୀ ପାଇଥିବା ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା:

= |S - M| = |S| - |M ∩ S|

= 40 - 10 = 30

ଉତ୍ତର: 30 ଜଣ ଛାତ୍ର କେବଳ ବିଜ୍ଞାନରେ ପ୍ରଥମ ଶ୍ରେଣୀ ନମ୍ବର ପାଇଥିଲେ ।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q6. 200 ଜଣ ଲୋକ ଇଂରାଜୀ ବା ଓଡ଼ିଆରେ କଥାବାର୍ତ୍ତା କରିପାରନ୍ତି । ଯଦି 80 ଜଣ ଲୋକ କେବଳ ଓଡ଼ିଆ ଓ 70 ଜଣ ଲୋକ କେବଳ ଇଂରାଜୀରେ କଥା ହୋଇପାରନ୍ତି, ତେବେ କେତେଜଣ ଉଭୟ ଓଡ଼ିଆ ଓ ଇଂରାଜୀରେ କଥା ହୋଇପାରନ୍ତି?

ସମାଧାନ:

ମନେକର, ଓଡ଼ିଆ କହୁଥିବା ଲୋକଙ୍କ ସେଟ୍ O

ଇଂରାଜୀ କହୁଥିବା ଲୋକଙ୍କ ସେଟ୍ E

ଦିଆଯାଇଛି:

ମୋଟ ଲୋକ ସଂଖ୍ୟା |O ∪ E| = 200

କେବଳ ଓଡ଼ିଆ କହୁଥିବା ଲୋକ |O - E| = 80

କେବଳ ଇଂରାଜୀ କହୁଥିବା ଲୋକ |E - O| = 70

ଆମେ ଜାଣୁ:

⇒ 200 = 80 + 70 + |O ∩ E|

⇒ 200 = 150 + |O ∩ E|

⇒ |O ∩ E| = 200 - 150 = 50

ଉତ୍ତର: 50 ଜଣ ଲୋକ ଉଭୟ ଓଡ଼ିଆ ଓ ଇଂରାଜୀରେ କଥା ହୋଇପାରନ୍ତି ।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q7. 100 ଜଣ ଟିଭି ଦର୍ଶକଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ 75 ଜଣ ଦୂରଦର୍ଶନ ଜାତୀୟ କାର୍ଯ୍ୟକ୍ରମ ଓ 60 ଜଣ ବି.ବି.ସି. କାର୍ଯ୍ୟକ୍ରମ ଦେଖିବାକୁ ପସନ୍ଦ କରନ୍ତି । ତେବେ କେତେଜଣ ଏହି ଉଭୟ କାର୍ଯ୍ୟକ୍ରମ ଦେଖିବାକୁ ପସନ୍ଦ କରନ୍ତି? କେତେଜଣ କେବଳ ଦୂରଦର୍ଶନ ଜାତୀୟ କାର୍ଯ୍ୟକ୍ରମ ଦେଖିବାକୁ ପସନ୍ଦ କରନ୍ତି?

ସମାଧାନ:

ମନେକର, ଦୂରଦର୍ଶନ ଜାତୀୟ କାର୍ଯ୍ୟକ୍ରମ ଦେଖୁଥିବା ଦର୍ଶକ ସେଟ୍ D

ବି.ବି.ସି. କାର୍ଯ୍ୟକ୍ରମ ଦେଖୁଥିବା ଦର୍ଶକ ସେଟ୍ B

ଦିଆଯାଇଛି:

ମୋଟ ଦର୍ଶକ ସଂଖ୍ୟା |D ∪ B| = 100

ଜାତୀୟ କାର୍ଯ୍ୟକ୍ରମ ଦେଖୁଥିବା ଦର୍ଶକ |D| = 75

비.비.ସି. କାର୍ଯ୍ୟକ୍ରମ ଦେଖୁଥିବା ଦର୍ଶକ |B| = 60

(i) ଉଭୟ କାର୍ଯ୍ୟକ୍ରମ ଦେଖୁଥିବା ଦର୍ଶକ ସଂଖ୍ୟା |D ∩ B|:

⇒ 100 = 75 + 60 - |D ∩ B|

⇒ 100 = 135 - |D ∩ B|

⇒ |D ∩ B| = 135 - 100 = 35

(ii) କେବଳ ଦୂରଦର୍ଶନ ଜାତୀୟ କାର୍ଯ୍ୟକ୍ରମ ଦେଖୁଥିବା ଦର୍ଶକ ସଂଖ୍ୟା |D - B|:

= 75 - 35 = 40

ଉତ୍ତର: ଉଭୟ କାର୍ଯ୍ୟକ୍ରମ ଦେଖୁଥିବା ଦର୍ଶକ ସଂଖ୍ୟା 35 ଏବଂ କେବଳ ଜାତୀୟ କାର୍ଯ୍ୟକ୍ରମ ଦେଖୁଥିବା ଦର୍ଶକ ସଂଖ୍ୟା 40 ।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q8. ଗୋଟିଏ ହଷ୍ଟେଲ୍‌ର 40 ଜଣ ପିଲାମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ 15 ଜଣ କେବଳ ହକି ଖେଳନ୍ତି ଓ 20 ଜଣ କେବଳ କ୍ରିକେଟ୍ ଖେଳନ୍ତି । ଯଦି ଏହି ପିଲାମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ସମସ୍ତେ ହକି କିମ୍ବା କ୍ରିକେଟ୍ ଖେଳୁଥାନ୍ତି, ତେବେ କେତେଜଣ ପିଲା ହକି ଓ କ୍ରିକେଟ୍ ଉଭୟ ଖେଳ ଖେଳନ୍ତି, ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର, ହକି ଖେଳୁଥିବା ପିଲା ସେଟ୍ H

କ୍ରିକେଟ୍ ଖେଳୁଥିବା ପିଲା ସେଟ୍ C

ଦିଆଯାଇଛି:

ମୋଟ ପିଲା ସଂଖ୍ୟା |H ∪ C| = 40 (କାରଣ ସମସ୍ତେ କିଛି ନା କିଛି ଖେଳନ୍ତି)

କେବଳ ହକି ଖେଳୁଥିବା ପିଲା |H - C| = 15

କେବଳ କ୍ରିକେଟ୍ ଖେଳୁଥିବା ପିଲା |C - H| = 20

ଆମେ ଜାଣୁ:

⇒ 40 = 15 + 20 + |H ∩ C|

⇒ 40 = 35 + |H ∩ C|

⇒ |H ∩ C| = 40 - 35 = 5

ଉତ୍ତର: 5 ଜଣ ପିଲା ହକି ଓ କ୍ରିକେଟ୍ ଉଭୟ ଖେଳ ଖେଳନ୍ତି ।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q9. 100 ଜଣ ଲୋକଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ 18 ଜଣ କାର୍ କିମ୍ବା ସ୍କୁଟର ଚଲାଇବା ଜାଣିନାହାନ୍ତି; କିନ୍ତୁ 25 ଜଣ କାର୍ ଓ ସ୍କୁଟର ଉଭୟ ଚଲାଇବା ଜାଣିଛନ୍ତି । ଯଦି ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ 55 ଜଣ ସ୍କୁଟର ଚଲାଇବା ଜାଣିଥାନ୍ତି, ତେବେ କେତେଜଣ କାର୍ ଚଲାଇବା ଜାଣିଛନ୍ତି, ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର, ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍ E = ମୋଟ ଲୋକ ସେଟ୍, ତେଣୁ |E| = 100

କାର୍ ଚଲାଇ ଜାଣିଥିବା ଲୋକ ସେଟ୍ C

ସ୍କୁଟର ଚଲାଇ ଜାଣିଥିବା ଲୋକ ସେଟ୍ S

ଦିଆଯାଇଛି:

କୌଣସି ଗାଡ଼ି ଚଲାଇ ଜାଣିନଥିବା ଲୋକ = 18

ତେଣୁ, ଅତିକମରେ ଗୋଟିଏ ଗାଡ଼ି ଚଲାଇ ଜାଣିଥିବା ଲୋକ |C ∪ S| = 100 - 18 = 82

ଉଭୟ ଗାଡ଼ି ଚଲାଇ ଜାଣିଥିବା ଲୋକ |C ∩ S| = 25

ସ୍କୁଟର ଚଲାଇ ଜାଣିଥିବା ଲୋକ |S| = 55

ଆମେ ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କରିବା:

⇒ 82 = |C| + 55 - 25

⇒ 82 = |C| + 30

⇒ |C| = 82 - 30 = 52

ଉତ୍ତର: 52 ଜଣ ଲୋକ କାର୍ ଚଲାଇବା ଜାଣିଛନ୍ତି ।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q10. ଏକ ଶ୍ରେଣୀର 50 ଜଣ ଛାତ୍ରୀଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ 22 ଜଣ ଗୀତ ଶିଖନ୍ତି ଓ 22 ଜଣ ନାଚ ଶିଖନ୍ତି । ଏଥିମଧ୍ୟରୁ କେବଳ 5 ଜଣ ଛାତ୍ରୀ ଉଭୟ ଗୀତ ଓ ନାଚ ଶିଖନ୍ତି । ତେବେ କେତେଜଣ ଛାତ୍ରୀ ଗୀତ କିମ୍ବା ନାଚ କୌଣସିଟି ଶିଖନ୍ତି ନାହିଁ ଏବଂ କେତେଜଣ ଛାତ୍ରୀ ଏହି ଦୁଇଟି ମଧ୍ୟରୁ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଶିଖନ୍ତି, ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର, ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍ E = ମୋଟ ଛାତ୍ରୀ ସେଟ୍, ତେଣୁ |E| = 50

ଗୀତ ଶିଖୁଥିବା ଛାତ୍ରୀ ସେଟ୍ G, ତେଣୁ |G| = 22

ନାଚ ଶିଖୁଥିବା ଛାତ୍ରୀ ସେଟ୍ D, ତେଣୁ |D| = 22

ଉଭୟ ଶିଖୁଥିବା ଛାତ୍ରୀ |G ∩ D| = 5

(i) ଗୀତ କିମ୍ବା ନାଚ ଶିଖୁଥିବା ମୋଟ ଛାତ୍ରୀ |G ∪ D|:

= 22 + 22 - 5

= 44 - 5 = 39

କୌଣସିଟି ଶିଖୁନଥିବା ଛାତ୍ରୀ ସଂଖ୍ୟା:

= |E| - |G ∪ D|

= 50 - 39 = 11

(ii) କେବଳ ଗୋଟିଏ ଶିଖୁଥିବା ଛାତ୍ରୀ ସଂଖ୍ୟା |G Δ D|:

= 39 - 5 = 34

ଉତ୍ତର: 11 ଜଣ ଛାତ୍ରୀ କୌଣସିଟି ଶିଖନ୍ତି ନାହିଁ ଏବଂ 34 ଜଣ ଛାତ୍ରୀ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଶିକ୍ଷା ଗ୍ରହଣ କରନ୍ତି ।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q11. ଗୋଟିଏ କଲୋନୀର ଦୁଇ ପଞ୍ଚମାଂଶ ପରିବାର 'ସମାଜ' ଓ ତିନି ଚତୁର୍ଥାଂଶ ପରିବାର 'ସମ୍ବାଦ' ପଢନ୍ତି । ଯଦି 50 ଟି ପରିବାର ଏହି ଦୁଇଟି ସମ୍ବାଦପତ୍ର ମଧ୍ୟରୁ କୌଣସିଟି ପଢନ୍ତି ନାହିଁ ଏବଂ 125 ଟି ପରିବାର ଉଭୟ ଖବରକାଗଜ ପଢନ୍ତି ତେବେ ଉକ୍ତ କଲୋନୀର ପରିବାର ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର, କଲୋନୀର ମୋଟ ପରିବାର ସଂଖ୍ୟା = N

'ସମାଜ' ପଢୁଥିବା ପରିବାର ସେଟ୍ S

'ସମ୍ବାଦ' ପଢୁଥିବା ପରିବାର ସେଟ୍ B

ଦିଆଯାଇଛି:

|S| = 2/5 N = 0.4 N

|B| = 3/4 N = 0.75 N

ଉଭୟ ପଢୁଥିବା ପରିବାର |S ∩ B| = 125

କୌଣସିଟି ପଢୁନଥିବା ପରିବାର = 50

ତେଣୁ, ଅତିକମରେ ଗୋଟିଏ ପତ୍ରିକା ପଢୁଥିବା ପରିବାର |S ∪ B| = N - 50

ଆମେ ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କରିବା:

⇒ N - 50 = 0.4 N + 0.75 N - 125

⇒ N - 50 = 1.15 N - 125

ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଏକ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଏବଂ N କୁ ଅନ୍ୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ନେଲେ:

⇒ 125 - 50 = 1.15 N - N

⇒ 75 = 0.15 N

⇒ N = 75 / 0.15

⇒ N = 7500 / 15 = 500

ଉତ୍ତର: ଉକ୍ତ କଲୋନୀର ମୋଟ ପରିବାର ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି 500 ।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q12. 2 କିମ୍ବା 3 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ 200 ଟି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରୁ 140 ଟି ଯୁଗ୍ମ ଓ 40 ଟି 6 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ । ତେବେ କେତେ ଗୋଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଓ କେତେଗୋଟି ସଂଖ୍ୟା 3 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ:

ମନେକର, ଆଲୋଚନା ପରିସରଭୁକ୍ତ ମୋଟ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ U, ତେଣୁ |U| = 200

ଏହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ 2 କିମ୍ବା 3 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।

ମନେକର, 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ (ଯୁଗ୍ମ) ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ A

3 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ B

ତେଣୁ, 6 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ (ଉଭୟ 2 ଓ 3 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ) ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ ହେବ A ∩ B ।

ଦିଆଯାଇଛି:

|A ∪ B| = 200

|A| = 140 (ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା)

|A ∩ B| = 40 (6 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ)

(i) ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ:

ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି ସେହି ସଂଖ୍ୟା ଯାହା 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ (ଅର୍ଥାତ୍ A ସେଟ୍‌ର ବାହାରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟା) ।

ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ସଂଖ୍ୟା = |A ∪ B| - |A|

= 200 - 140 = 60 ।

(ii) 3 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ସଂଖ୍ୟା |B| ନିର୍ଣ୍ଣୟ:

ଆମେ ଜାଣୁ:

⇒ 200 = 140 + |B| - 40

⇒ 200 = 100 + |B|

⇒ |B| = 200 - 100 = 100 ।

ଉତ୍ତର: ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି 60 ଏବଂ 3 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି 100 ।

୪. ବୋର୍ଡ ପରୀକ୍ଷା ମାଷ୍ଟ୍ରି ଟିପ୍ସ ଓ ସାଧାରଣ ଭୁଲ୍ (Board Exam Tips & Pitfalls)

ପରୀକ୍ଷା ପ୍ରସ୍ତୁତି ପାଇଁ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ଟିପ୍ସ (Exam Mastery Tips):

୧. ସୂତ୍ରଗୁଡ଼ିକର ସଠିକ୍ ପ୍ରୟୋଗ: |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B| ସୂତ୍ରଟିକୁ ସବୁବେଳେ ମନେରଖନ୍ତୁ । ବ୍ୟାବହାରିକ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକରେ କେଉଁଟି ସଂଯୋଗ (∪) ଏବଂ କେଉଁଟି ଛେଦ (∩) ତାହା ପ୍ରଶ୍ନରୁ ଭଲଭାବେ ବୁଝନ୍ତୁ । "କିମ୍ବା / ଅତିକମରେ ଗୋଟିଏ" ଥିଲେ ସଂଯୋଗ ଏବଂ "ଉଭୟ / ସାଧାରଣ" ଥିଲେ ଛେଦ ପ୍ରକ୍ରିୟା ବ୍ୟବହାର କରାଯାଏ ।

୨. ଭେନ୍ ଚିତ୍ରର ବ୍ୟବହାର: ଜଟିଳ ସେଟ୍ ସମସ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ସହଜରେ ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ରଫ୍‌ରେ ଏକ ଛୋଟ ଭେନ୍ ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କରନ୍ତୁ । ଏହାଦ୍ୱାରା ଭୁଲ୍ ହେବାର ସମ୍ଭାବନା ପ୍ରାୟ ଶୂନ୍ୟ ହୋଇଯାଏ ।

୩. ଡି'ମର୍ଗାନଙ୍କ ନିୟମର ପ୍ରମାଣ: ପରୀକ୍ଷାରେ ଡି'ମର୍ଗାନଙ୍କ ନିୟମର ସତ୍ୟତା ପ୍ରତିପାଦନ କରିବା ପାଇଁ ପ୍ରାୟତଃ ଦୀର୍ଘ ପ୍ରଶ୍ନ ଆସିଥାଏ । ଏଥିପାଇଁ ଏକ ସରଳ ଉଦାହରଣ ମନେରଖି ପରୀକ୍ଷା ଖାତାରେ ଉପସ୍ଥାପନ କରନ୍ତୁ ।

ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀମାନେ କରୁଥିବା ସାଧାରଣ ଭୁଲ୍ (Common Pitfalls):

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

(ନୋଟ୍ସ ପ୍ରସ୍ତୁତି: ଉତ୍କଳ ସ୍କିଲ୍ ସେଣ୍ଟର - BSE Odisha 100% Full Textbook Master Edition)