(ii) 1 ଦ୍ଵାରା 0 ବିଭାଜ୍ୟ।

ଉତ୍ତର: T (କାରଣ 0 / 1 = 0, ଯାହା ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା)।

(iii) 0 ଦ୍ଵାରା 5 ବିଭାଜ୍ୟ।

ଉତ୍ତର: F (କାରଣ ଶୂନ ଦ୍ଵାରା ଭାଗ ପ୍ରକ୍ରିୟା ଅସମ୍ଭବ ବା ଅସଂଜ୍ଞାୟିତ)।

(iv) ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ପରିମେୟ ନୁହେଁ।

ଉତ୍ତର: F (କାରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା z କୁ z/1 ରୂପରେ ଲେଖାଯାଇପାରିବ, ତେଣୁ ଏହା ପରିମେୟ)।

(v) -5 < -3।

ଉତ୍ତର: T (ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା କ୍ଷେତ୍ରରେ କମ୍ ପରମ ମାନ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାଟି ବଡ଼ ହୋଇଥାଏ)।

(vi) 0.9_ ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା।

ଉତ୍ତର: T (କାରଣ 0.9_ = 1, ଯାହା ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା)।

(vii) 0 ଏକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା।

ଉତ୍ତର: F (ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ୧ ରୁ ଆରମ୍ଭ ହୁଏ, ଶୂନ ଏଥିରେ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ନୁହେଁ)।

(viii) -1/2 ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା।

ଉତ୍ତର: T (ଏହା p/q ରୂପରେ ଅଛି, ଯେଉଁଠାରେ p, q ∈ Z ଏବଂ q ≠ 0)।

(ix) a, b ∈ N ହେଲେ ab ∈ N।

ଉତ୍ତର: T (ଗୁଣନ ପ୍ରକ୍ରିୟାର ସଂବୃତି ନିୟମ ଅନୁଯାୟୀ)।

(x) a, b ∈ N ହେଲେ a - b ∈ N।

ଉତ୍ତର: F (ଉଦାହରଣ ସ୍ଵରୂପ: 2, 5 ∈ N କିନ୍ତୁ 2 - 5 = -3 ∉ N)।

(xi) a, b ∈ N ହେଲେ a - b ∈ Z।

ଉତ୍ତର: T (ଯେହେତୁ Z ସେଟ୍‌ରେ ଋଣାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ରହିଥାଏ)।

(xii) a, b ∈ Z ହେଲେ a/b ∈ Q।

ଉତ୍ତର: F (ଯଦି b = 0 ହୁଏ, ତେବେ a/b ସଂଜ୍ଞାୟିତ ନୁହେଁ, ତେଣୁ ଏହା ସର୍ବଦା ସତ୍ୟ ନୁହେଁ)।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q2. ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର:

(i) 1/2 ର ଯୋଗାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ _________।

ଉତ୍ତର: -1/2

(ii) -7 ର ଗୁଣନାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ _________।

ଉତ୍ତର: -1/7

(iii) _________ ତା' ନିଜର ଯୋଗାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ।

ଉତ୍ତର: 0 (ଶୂନ)

(iv) _________ ତା' ନିଜର ଗୁଣନାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ।

ଉତ୍ତର: 1 ଏବଂ -1

(v) ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍‌ରେ ଯୋଗାତ୍ମକ ଅଭେଦ _________।

ଉତ୍ତର: 0 (ଶୂନ)

(vi) ଯୁଗ୍ମ ଓ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ _________।

ଉତ୍ତର: ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା

(vii) _________ ଏକମାତ୍ର ଯୁଗ୍ମ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ।

ଉତ୍ତର: 2 (ଦୁଇ)

(viii) ସର୍ବନିମ୍ନ ଅଯୁଗ୍ମ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାଟି _________ ଅଟେ।

ଉତ୍ତର: 3 (ତିନି)

(ix) ଗୁଣନ ପ୍ରକ୍ରିୟା _________ ପ୍ରକ୍ରିୟାକୁ ବଣ୍ଟନ କରେ।

ଉତ୍ତର: ଯୋଗ (ଓ ବିୟୋଗ)

(x) ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍‌ରେ ଦୁଇଟି ପରସ୍ପର ଯୋଗାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ ଉପାଦାନକୁ ମିଶାଇଲେ ଫଳ _________ ଅଟେ।

ଉତ୍ତର: 0 (ଶୂନ)

(xi) N ∩ N = _________।

ଉତ୍ତର: N

(xii) Z ସେଟ୍‌ରେ -1 ର ଗୁଣନାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ _________।

ଉତ୍ତର: -1

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q3. ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରଶ୍ନ ପାଇଁ ପ୍ରଦତ୍ତ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଉତ୍ତରରୁ ଠିକ୍ ଉତ୍ତରଟି ବାଛ:

(i) n, m ∈ Z ହେଲେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ଅସତ୍ୟ?

(a) m + n ∈ Z, (b) m - n ∈ Z, (c) m × n ∈ Z, (d) n · m ∈ Z (ଏଠାରେ n/m ଲେଖାଯିବା କଥା)

ଉତ୍ତର: (d) n/m ∈ Z (କାରଣ ଭାଗଫଳ ସର୍ବଦା ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ହୁଏନାହିଁ)।

(ii) Z ସେଟ୍‌ରେ କେଉଁଟି ସତ୍ୟ?

(a) ଯୋଗାତ୍ମକ ଅଭେଦ 0, (b) ଯୋଗାତ୍ମକ ଅଭେଦ 1, (c) ଗୁଣନାତ୍ମକ ଅଭେଦ 0, (d) ଯୋଗାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ (-1)

ଉତ୍ତର: (a) ଯୋଗାତ୍ମକ ଅଭେଦ 0।

(iii) ନିମ୍ନଲିଖିତ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ସତ୍ୟ?

(a) ସବୁଠାରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାଟି 3, (b) ଦୁଇଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ଅଯୁଗ୍ମ, (c) ଦୁଇଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ ଅଯୁଗ୍ମ, (d) ଦୁଇଟି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ ମୌଳିକ

ଉତ୍ତର: (c) ଦୁଇଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ ଅଯୁଗ୍ମ (ଉଦାହରଣ: 3 × 5 = 15)।

(iv) ନିମ୍ନଲିଖିତ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ସତ୍ୟ?

(a) x < y ଓ y < z ହେଲେ x < z, (b) x < y ଓ z ∈ Q ହେଲେ xz < yz, (c) x < y ଓ z ∈ Q ହେଲେ x + z < y + z ନ ହୋଇପାରେ, (d) ଦୁଇଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ ସସୀମ ସଂଖ୍ୟକ ପରିମେୟ ବିଦ୍ୟମାନ

ଉତ୍ତର: (a) x < y ଓ y < z ହେଲେ x < z (ସଂକ୍ରମୀ ନିୟମ)।

(v) ନିମ୍ନଲିଖିତ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ଠିକ୍?

(a) 0.9999... < 1.0, (b) 1/5 ର ଦଶମିକ ପରିପ୍ରକାଶଟି 0.19999..., (c) 1/3 ର ଦଶମିକ ପରିପ୍ରକାଶ ଅସରନ୍ତି ନୁହେଁ, (d) n ଏକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ 1/n ର ଦଶମିକ ପରିପ୍ରକାଶ ସର୍ବଦା ପୌନଃପୁନିକ (n ≠ 2, 5 ପାଇଁ)।

ଉତ୍ତର: (d) n ଏକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା (୨ ଓ ୫ ବ୍ୟତୀତ) ହେଲେ 1/n ର ଦଶମିକ ପରିପ୍ରକାଶ ସର୍ବଦା ପୌନଃପୁନିକ।

(vi) 1/2, 2/3, 3/5, 4/7 ମଧ୍ୟରେ ବୃହତ୍ତମ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା କେଉଁଟି?

(a) 1/2, (b) 2/3, (c) 3/5, (d) 4/7

ଉତ୍ତର: (b) 2/3 (କାରଣ 1/2 = 0.5, 2/3 = 0.666..., 3/5 = 0.6, 4/7 = 0.571...)।

(vii) 1/2, 2/3, 3/5, 4/7 ମଧ୍ୟରେ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟା କେଉଁଟି?

(a) 1/2, (b) 2/3, (c) 3/5, (d) 4/7

ଉତ୍ତର: (a) 1/2 (ମାନ 0.5)।

(viii) 1 ର ଯୋଗାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ କେଉଁଟି?

(a) 1, (b) 0, (c) -1, (d) ଏଥିରୁ କୌଣସିଟି ନୁହେଁ

ଉତ୍ତର: (c) -1।

(ix) ନିମ୍ନଲିଖିତ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁ ଉକ୍ତିଟି ଅସତ୍ୟ?

(a) p ଓ q ମୌଳିକ ହେଲେ ସେମାନଙ୍କ ଗ.ସା.ଗୁ. = 1, (b) p ଓ q ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ p + q + pq ଏକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା, (c) p ଓ q ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ p + q ମଧ୍ୟ ଏକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା, (d) p ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ଓ q ଏକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ pq ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା

ଉତ୍ତର: (c) p ଓ q ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ p + q ମଧ୍ୟ ଏକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା (ଅସତ୍ୟ, କାରଣ 3 + 5 = 8, ଯାହା ଏକ ଯୌଗିକ ସଂଖ୍ୟା)।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q4. ପ୍ରତି ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ମୌଳିକ ଅଟେ କି? କାରଣ ସହ ଉତ୍ତର ଦିଅ।

ଉତ୍ତର: ନା, ପ୍ରତି ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ମୌଳିକ ନୁହେଁ।

କାରଣ: କେବଳ '୨' ହେଉଛି ଏକମାତ୍ର ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଯାହା ମୌଳିକ। ଅନ୍ୟ ସମସ୍ତ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା (ଯଥା: ୪, ୬, ୮, ୧୦...) ର ୧ ଏବଂ ସେହି ସଂଖ୍ୟା ବ୍ୟତୀତ '୨' ଏକ ଗୁଣନୀୟକ ଥାଏ। ତେଣୁ ସେଗୁଡ଼ିକ ଯୌଗିକ ସଂଖ୍ୟା ଅଟନ୍ତି।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q5. କେଉଁ କେଉଁ ବୀଜଗାଣିତିକ ଧର୍ମଗୁଡ଼ିକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ Z ରେ ସତ୍ୟ, ମାତ୍ର ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ N ରେ ସତ୍ୟ ନୁହେଁ? ସେଗୁଡ଼ିକ ଲେଖ।

ଉତ୍ତର: ନିମ୍ନଲିଖିତ ଧର୍ମଗୁଡ଼ିକ Z ରେ ସତ୍ୟ କିନ୍ତୁ N ରେ ସତ୍ୟ ନୁହେଁ:

୧. ଯୋଗାତ୍ମକ ଅଭେଦ ଧର୍ମ (Additive Identity): 0 ∈ Z ଯେପରିକି a + 0 = a। କିନ୍ତୁ 0 ∉ N।

୨. ଯୋଗାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ ଧର୍ମ (Additive Inverse): ପ୍ରତ୍ୟେକ a ∈ Z ପାଇଁ -a ∈ Z ବିଦ୍ୟମାନ ଯେପରିକି a + (-a) = 0। କିନ୍ତୁ N ରେ ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ନାହିଁ।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q6. କେଉଁ କେଉଁ ବୀଜଗାଣିତିକ ଧର୍ମଗୁଡ଼ିକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ Q ରେ ସତ୍ୟ, ମାତ୍ର ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ Z ରେ ସତ୍ୟ ନୁହେଁ? ସେଗୁଡ଼ିକ ଲେଖ।

ଉତ୍ତର: ଗୁଣନାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ ଧର୍ମ (Multiplicative Inverse):

ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅଶୂନ୍ୟ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା x ∈ Q (x ≠ 0) ପାଇଁ ଏକ ଗୁଣନାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ 1/x ∈ Q ବିଦ୍ୟମାନ ଯେପରିକି x · (1/x) = 1। କିନ୍ତୁ Z ସେଟ୍‌ରେ 1 ଏବଂ -1 ବ୍ୟତୀତ ଅନ୍ୟ କୌଣସି ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣନାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ (ଯଥା: 2 ର ବିଲୋମୀ 1/2 ∉ Z)।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q7. x ଓ y ଅଯୁଗ୍ମ ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, xy ଅଯୁଗ୍ମ ମାତ୍ର x + y ଯୁଗ୍ମ।

ଉତ୍ତର: ପ୍ରମାଣ:

ମନେକର x = 2m + 1 ଏବଂ y = 2n + 1, ଯେଉଁଠାରେ m, n ∈ Z।

(i) xy ର ଗୁଣଫଳ:

xy = (2m + 1)(2n + 1)

= 4mn + 2m + 2n + 1

= 2(2mn + m + n) + 1

= 2k + 1, ଯେଉଁଠାରେ k = 2mn + m + n ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା।

ଯେହେତୁ xy ଏକ (2k + 1) ରୂପୀ ସଂଖ୍ୟା, ତେଣୁ xy ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା। (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) x + y ର ଯୋଗଫଳ:

x + y = (2m + 1) + (2n + 1)

= 2m + 2n + 2

= 2(m + n + 1)

= 2p, ଯେଉଁଠାରେ p = m + n + 1 ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା।

ଯେହେତୁ x + y ଏକ 2p ରୂପୀ ସଂଖ୍ୟା, ତେଣୁ x + y ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା। (ପ୍ରମାଣିତ)

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q8. ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାମାନେ ଯୋଗ ଜନିତ ସଂବୃତି ନିୟମ ପାଳନ କରନ୍ତି କି? କାରଣ ସହ ଉତ୍ତର ଦିଅ।

ଉତ୍ତର: ନା, ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାମାନେ ଯୋଗ ଜନିତ ସଂବୃତି ନିୟମ ପାଳନ କରନ୍ତି ନାହିଁ।

କାରଣ: ଦୁଇଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ସର୍ବଦା ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହୋଇଥାଏ।

ଉଦାହରଣ ସ୍ଵରୂପ: 3 ଏବଂ 5 ଦୁଇଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା, କିନ୍ତୁ ସେମାନଙ୍କ ଯୋଗଫଳ 3 + 5 = 8, ଯାହା ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା (ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍‌ର ବାହାରେ)।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q9. 15 ଅପେକ୍ଷା ବୃହତ୍ତର ଓ 100 ଠାରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତର ଯେଉଁ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ଗୁଡ଼ିକର ସାଧାରଣ ରୂପ 3n² + 2, n ∈ Z ସେଗୁଡ଼ିକ ଲେଖ।

ଉତ୍ତର: ସମାଧାନ:

ଆମକୁ 15 < 3n² + 2 < 100 ର ସମାଧାନ କରିବାକୁ ହେବ, ଯେଉଁଠାରେ n ∈ Z।

ଯଦି n = 0, 3(0)² + 2 = 2 (ଏହା 15 ରୁ 100 ମଧ୍ୟରେ ନାହିଁ)

ଯଦି n = ±1, 3(1)² + 2 = 5 (ଏହା 15 ରୁ 100 ମଧ୍ୟରେ ନାହିଁ)

ଯଦି n = ±2, 3(2)² + 2 = 14 (ଏହା 15 ରୁ 100 ମଧ୍ୟରେ ନାହିଁ)

ଯଦି n = ±3, 3(3)² + 2 = 29 (ଏହା 15 ରୁ 100 ମଧ୍ୟରେ ଅଛି)

ଯଦି n = ±4, 3(4)² + 2 = 50 (ଏହା 15 ରୁ 100 ମଧ୍ୟରେ ଅଛି)

ଯଦି n = ±5, 3(5)² + 2 = 77 (ଏହା 15 ରୁ 100 ମଧ୍ୟରେ ଅଛି)

ଯଦି n = ±6, 3(6)² + 2 = 110 (ଏହା 100 ରୁ ବଡ଼)

ତେଣୁ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହେଲେ: 29, 50, 77।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q10. 0.123123123... ସଂଖ୍ୟାଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ହେବ କି? କାରଣ ସହ ଉତ୍ତର ଦିଅ।

ଉତ୍ତର: ହଁ, 0.123123123... ସଂଖ୍ୟାଟି ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ହେବ।

କାରଣ: ଏହି ସଂଖ୍ୟାଟି ଏକ ଅସୀମ ପୌନଃପୁନିକ ଦଶମିକ ସଂଖ୍ୟା (Non-terminating recurring decimal)। ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅସୀମ ପୌନଃପୁନିକ ଦଶମିକ ସଂଖ୍ୟାକୁ p/q ରୂପରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରେ, ତେଣୁ ଏହା ପରିମେୟ।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q11. 0.131_ (୩୧ ଉପରେ ପୌନଃପୁନିକ ଚିହ୍ନ ଥାଇ) ସଂଖ୍ୟାକୁ p/q ପରିମେୟ ରୂପରେ ପ୍ରକାଶ କର।

ଉତ୍ତର: ସମାଧାନ:

ମନେକର x = 0.1313131... ------ (ସମୀକରଣ ୧)

ଏଠାରେ ଦୁଇଟି ଅଙ୍କ (୩୧) ବାରମ୍ବାର ଆସୁଥିବାରୁ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 100 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କରାଯାଉ।

100x = 13.131313... ------ (ସମୀକରଣ ୨)

ସମୀକରଣ (୨) ରୁ (୧) କୁ ବିୟୋଗ କଲେ:

100x - x = (13.131313...) - (0.131313...)

99x = 13

x = 13/99

ତେଣୁ ପରିମେୟ ରୂପଟି ହେଉଛି 13/99।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q12. 1/3 ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାଟିକୁ ଅସରନ୍ତି ପୌନଃପୁନିକ ଦଶମିକ ରୂପେ ଲେଖ।

ଉତ୍ତର: 1/3 = 0.3333... = 0.3_।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q13. 1/3 ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାଟିକୁ ଲଘିଷ୍ଠାକୃତି ନ ହୋଇଥିବା 100/q₁, p₂/-102, 6x/q₃ ରୂପରେ ପ୍ରକାଶ କର।

ଉତ୍ତର: ସମାଧାନ:

(i) 100/q₁ = 1/3 => q₁ = 300। ତେଣୁ ରୂପଟି ହେଲା: 100/300।

(ii) p₂/-102 = 1/3 => p₂ = -102 / 3 = -34। ତେଣୁ ରୂପଟି ହେଲା: -34/-102।

(iii) 6x/q₃ = 1/3 => q₃ = 18x। ତେଣୁ ରୂପଟି ହେଲା: 6x/18x।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q14. {-15/n : n ଏକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ଓ n ≤ 15} ସେଟ୍‌ରେ ବୃହତ୍ତମ ଓ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ପରିମେୟ ଦ୍ଵୟ ଲେଖ।

ଉତ୍ତର: ସମାଧାନ:

ଦିଆଯାଇଥିବା ସେଟ୍‌ର ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକ ହେଲେ: {-15/1, -15/2, -15/3, ..., -15/15}

ଅର୍ଥାତ୍: {-15, -7.5, -5, ..., -1}

ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରେ ଯାହାର ପରମ ମାନ ସବୁଠାରୁ କମ୍, ତାହା ବୃହତ୍ତମ।

ତେଣୁ, ବୃହତ୍ତମ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା = -1 (ଯେତେବେଳେ n = 15)

କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା = -15 (ଯେତେବେଳେ n = 1)

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q15. 1/4 ଓ 1/5 ମଧ୍ୟରେ 4 ଗୋଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

ଉତ୍ତର: ସମାଧାନ:

1/5 = 0.20 ଏବଂ 1/4 = 0.25।

ଏହି ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର ହରକୁ ସମାନ କରିବା ପାଇଁ ଉଭୟକୁ ଏପରି ଏକ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ଵାରା ଗୁଣିବା ଯେପରି ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ୪ଟି ସଂଖ୍ୟା ମିଳିବ।

1/5 = (1 × 10) / (5 × 10) = 10/50

1/4 = (1 × 12.5) / (4 × 12.5) = 12.5/50 (ଏହା ଜଟିଳ ହେବ)

ସହଜ ଉପାୟ: 1/5 = 20/100 ଏବଂ 1/4 = 25/100।

ତେଣୁ ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ୪ଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ: 21/100, 22/100, 23/100, 24/100।

ଲଘିଷ୍ଠ ଆକାରରେ ପ୍ରକାଶ କଲେ: 21/100, 11/50, 23/100, 6/25।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q16. -1/2 ଓ 1/3 ମଧ୍ୟରେ 3 ଗୋଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

ଉତ୍ତର: ସମାଧାନ:

ହର ସମାନ କଲେ:

-1/2 = (-1 × 3) / (2 × 3) = -3/6

1/3 = (1 × 2) / (3 × 2) = 2/6

-3/6 ଏବଂ 2/6 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ୩ଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ: -2/6, -1/6, 0, 1/6 ମଧ୍ୟରୁ ଯେକୌଣସି ତିନୋଟି।

ସରଳୀକୃତ ରୂପ: -1/3, -1/6, 0।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q17. 27/7 ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାଟିକୁ ଅସରନ୍ତି ପୌନଃପୁନିକ ଦଶମିକ ରୂପେ ପ୍ରକାଶ କର।

ଉତ୍ତର: ସମାଧାନ:

୨୭ କୁ ୭ ଦ୍ଵାରା ଭାଗ କଲେ:

27 / 7 = 3.857142857142...

ତେଣୁ, 27/7 = 3.857142_ (୮୫୭୧୪୨ ଉପରେ ପୌନଃପୁନିକ ଚିହ୍ନ ରହିବ)।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q18. ପ୍ରମାଣ କର:

(i) 0.9_ = 1

ଉତ୍ତର: ପ୍ରମାଣ:

ମନେକର x = 0.9999... ------ (ସମୀକରଣ ୧)

10x = 9.9999... ------ (ସମୀକରଣ ୨)

ସମୀକରଣ (୨) ରୁ (୧) କୁ ବିୟୋଗ କଲେ:

10x - x = 9.9999... - 0.9999...

9x = 9

x = 1

ତେଣୁ, 0.9_ = 1। (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) 1.29_ = 1.3

ଉତ୍ତର: ପ୍ରମାଣ:

ମନେକର x = 1.2999...

10x = 12.999... ------ (ସମୀକରଣ ୧)

100x = 129.999... ------ (ସମୀକରଣ ୨)

ସମୀକଣ (୨) ରୁ (୧) କୁ ବିୟୋଗ କଲେ:

100x - 10x = 129.999... - 12.999...

90x = 117

x = 117/90 = 1.3

ତେଣୁ, 1.29_ = 1.3। (ପ୍ରମାଣିତ)

(iii) 2.349_ = 2.35

ଉତ୍ତର: ପ୍ରମାଣ:

ମନେକର x = 2.34999...

100x = 234.999... ------ (ସମୀକରଣ ୧)

1000x = 2349.999... ------ (ସମୀକରଣ ୨)

ସମୀକରଣ (୨) ରୁ (୧) କୁ ବିୟୋଗ କଲେ:

1000x - 100x = 2349.999... - 234.999...

900x = 2115

x = 2115/900 = 2.35

ତେଣୁ, 2.349_ = 2.35। (ପ୍ରମାଣିତ)

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q19. ପରିମେୟ ରୂପରେ ପ୍ରକାଶ କର:

(i) 0.1_ = 1/9

(ii) 0.11_ (୧୧ ଉପରେ ବାର୍) = 11/99 = 1/9

(iii) 0.89_ (୮୯ ଉପରେ ବାର୍) = 89/99

(iv) 0.37_ (୭ ଉପରେ ବାର୍):

ମନେକର x = 0.3777... => 10x = 3.777... ଏବଂ 100x = 37.777...

100x - 10x = 34 => 90x = 34 => x = 34/90 = 17/45।

(v) 0.123_ (୧୨୩ ଉପରେ ବାର୍) = 123/999 = 41/333

(vi) 0.321_ (୧ ଉପରେ ବାର୍):

ମନେକର x = 0.32111... => 100x = 32.111... ଏବଂ 1000x = 321.111...

1000x - 100x = 289 => 900x = 289 => x = 289/900।

(vii) -0.54_ (୫୪ ଉପରେ ବାର୍) = -54/99 = -6/11

(viii) 6.89_ (୮୯ ଉପରେ ବାର୍):

ମନେକର x = 6.8989... => 100x = 689.8989...

100x - x = 683 => 99x = 683 => x = 683/99।

(ix) -0.12_ (୨ ଉପରେ ବାର୍):

ମନେକର x = -0.1222... => 10x = -1.222... ଏବଂ 100x = -12.222...

100x - 10x = -11 => 90x = -11 => x = -11/90।

(x) 0.01305_ (୩୦୫ ଉପରେ ବାର୍):

ମନେକର x = 0.01305305... => 100x = 1.305305... ଏବଂ 100000x = 1305.305305...

100000x - 100x = 1304 => 99900x = 1304 => x = 1304/99900 = 326/24975।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q20. ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର:

ମନେକର a = 0.6_ = 6/9 = 2/3 ଏବଂ b = 0.3_ = 3/9 = 1/3।

(i) 0.6_ + 0.3_ = a + b = 2/3 + 1/3 = 1।

(ii) 0.6_ - (0.3_ × 2) = a - 2b = 2/3 - 2(1/3) = 0।

(iii) (0.6_)² + (0.3_)² + 2(0.6_)(0.3_) = (a + b)² = 1² = 1।

(iv) (0.6_)² + (0.3_)² - 2(0.6_)(0.3_) + 0.6_ = (a - b)² + a = (2/3 - 1/3)² + 2/3 = (1/3)² + 2/3 = 1/9 + 6/9 = 7/9।

(v) (0.6_)² - (0.3_)² = (a - b)(a + b) = (2/3 - 1/3)(1) = 1/3।

(vi) (0.6_)³ + (0.3_)³ + 3(0.6_)(0.3_) = a³ + b³ + 3ab(a + b) [ଯେହେତୁ a + b = 1] = (a + b)³ = 1³ = 1।

(vii) (0.6_)³ - (0.3_)³ - 3(0.3_)(0.6_)(0.6_ - 0.3_) = (a - b)³ = (2/3 - 1/3)³ = (1/3)³ = 1/27।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

ଅନୁଶୀଳନୀ - ୨ (b)

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q1. ବହୁବିକଳ୍ପ ପ୍ରଶ୍ନ (MCQ):

(i) ନିମ୍ନଲିଖିତ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ଠିକ୍?

(a) √4 ଏକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା, (b) √2 ଓ √3 ମଧ୍ୟରେ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ନାହିଁ, (c) √8 ଏକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା, (d) π ∈ Q

ଉତ୍ତର: (c) √8 ଏକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା (କାରଣ √8 = 2√2, ଯାହା ଅପରିମେୟ)।

(ii) ନିମ୍ନଲିଖିତ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ଠିକ୍ ନୁହେଁ?

(a) p, q ଯଥାକ୍ରମେ ପରିମେୟ ଓ ଅପରିମେୟ ହେଲେ p+q ଅପରିମେୟ, (b) p, q ଅପରିମେୟ ହେଲେ p+q ଅପରିମେୟ, (c) p, q ପରିମେୟ ହେଲେ p+q ପରିମେୟ, (d) p, q ପରିମେୟ ହେଲେ p-q ପରିମେୟ

ଉତ୍ତର: (b) p, q ଅପରିମେୟ ହେଲେ p+q ଅପରିମେୟ (ଏହା ସର୍ବଦା ଠିକ୍ ନୁହେଁ, ଯଥା: √2 + (-√2) = 0, ଯାହା ପରିମେୟ)।

(iii) ନିମ୍ନଲିଖିତ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ଠିକ୍?

(a) p, q ପରିମେୟ ହେଲେ pq ପରିମେୟ, (b) p, q ଅପରିମେୟ ହେଲେ pq ଅପରିମେୟ, (c) p ପରିମେୟ ଓ q ଅପରିମେୟ ହେଲେ pq ପରିମେୟ, (d) p, q ଅପରିମେୟ ହେଲେ p/q ଅପରିମେୟ

ଉତ୍ତର: (a) p, q ପରିମେୟ ହେଲେ pq ପରିମେୟ।

(iv) ରାଡିକାଲ୍ ଚିହ୍ନ ବ୍ୟବହାର କଲେ 2^(1/2) ରାଶିଟି କାହା ସହ ସମାନ?

(a) √2, (b) ³√2, (c) √8, (d) ଏଥିରୁ କୌଣସିଟି ନୁହେଁ

ଉତ୍ତର: (a) √2।

(v) ରାଡିକାଲ୍ ଚିହ୍ନ ଅପସାରଣ କଲେ 1 / (2√(x⁻³)) ରାଶିର ସରଳୀକୃତ ମାନ କେଉଁଟି?

(a) x^(3/5) / 2, (b) 1 / (2x^(-1.5)), (c) x^(1.5) / 2, (d) ଏଥିରୁ କୌଣସିଟି ନୁହେଁ

ଉତ୍ତର: (c) x^(1.5) / 2 (କାରଣ 1 / (2 · x^(-3/2)) = x^(3/2) / 2 = x^(1.5) / 2)।

(vi) 9^(-1/2) ରାଶିଟି କେଉଁ ରାଶି ସହ ସମାନ?

(a) 1/3, (b) 3, (c) 1/9, (d) 1/27

ଉତ୍ତର: (a) 1/3 (କାରଣ 9^(-1/2) = 1 / √9 = 1/3)।

(vii) (√2^√2)^√2 ର ମୂଲ୍ୟ କାହା ସହ ସମାନ?

(a) √2, (b) 1/2, (c) 1/√2, (d) 2

ଉତ୍ତର: (d) 2 (କାରଣ (√2^√2)^√2 = (√2)^(√2 · √2) = (√2)² = 2)।

(viii) କେଉଁଟି ଠିକ୍?

(a) ⁴√4 > ³√3, (b) ³√4 > ⁴√3, (c) ³√4 = ⁴√3, (d) ⁴√4 = ³√3

ଉତ୍ତର: (b) ³√4 > ⁴√3 (କାରଣ ³√4 = 4^(1/3) = 256^(1/12) ଏବଂ ⁴√3 = 3^(1/4) = 27^(1/12))।

(ix) Q ∪ Q' = ?

(a) N, (b) Z, (c) R, (d) ଏଥିରୁ କୌଣସିଟି ନୁହେଁ

ଉତ୍ତର: (c) R।

(x) x ର ମୂଲ୍ୟ କେଉଁଟି ହେଲେ (√5 + √2)x ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ହେବ?

(a) √5 + √2, (b) √5 - √2, (c) √5, (d) √2

ଉତ୍ତର: (b) √5 - √2 (କାରଣ (√5 + √2)(√5 - √2) = 5 - 2 = 3, ଯାହା ପରିମେୟ)।

(xi) x + (1 - √2) ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ x ର ମୂଲ୍ୟ କେଉଁଟି?

(a) 1 - √2, (b) √2 - 1, (c) -1 - √2, (d) 2√2

ଉତ୍ତର: (b) √2 - 1 (କାରଣ (√2 - 1) + (1 - √2) = 0, ଯାହା ପରିମେୟ)।

(xii) √2 / √3 ସଂଖ୍ୟାଟି ନିମ୍ନଲିଖିତ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ସହ ସମାନ ନୁହେଁ?

(a) 4 / √6, (b) √6 / 3, (c) 2 / √6, (d) √12 / √18

ଉତ୍ତର: (a) 4 / √6 (କାରଣ 4 / √6 = 2√2 / √3 ≠ √2 / √3)।

(xiii) 3√2 ଓ 7√8 ର ଯୋଗଫଳ କେତେ?

(a) 12√2, (b) 10√2, (c) 10√8, (d) ଏଥିରୁ କୌଣସିଟି ନୁହେଁ

ଉତ୍ତର: (d) ଏଥିରୁ କୌଣସିଟି ନୁହେଁ (କାରଣ 3√2 + 7(2√2) = 3√2 + 14√2 = 17√2)।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q2. ନିମ୍ନଲିଖିତ ଉକ୍ତି ମଧ୍ୟରୁ ଯେଉଁଗୁଡ଼ିକ ସତ୍ୟ ସେଗୁଡ଼ିକୁ ଚିହ୍ନଟ କର:

(i) 0 ∈ R (ସତ୍ୟ)

(ii) √16 ∈ Q (ସତ୍ୟ, କାରଣ √16 = 4)

(iii) √5 ∈ R (ସତ୍ୟ)

(iv) -0 = 0 (ସତ୍ୟ)

(v) -π ∈ Q (ମିଥ୍ୟା, କାରଣ -π ଅପରିମେୟ)

(vi) 2π ∈ Q' (ସତ୍ୟ)

(vii) 2 + √2 ∈ Q (ମିଥ୍ୟା, ଏହା ଅପରିମେୟ)

(viii) Q ⊂ R (ସତ୍ୟ)

(ix) π ∈ Q' (ସତ୍ୟ)

(x) Q ∪ Q' = R (ସତ୍ୟ)

(xi) Q ⊂ Q' (ମିଥ୍ୟା)

(xii) R - Q = Q' (ସତ୍ୟ)

(xiii) √2 ଓ √3 ମଧ୍ୟରେ ଅସୀମ ସଂଖ୍ୟକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ବିଦ୍ୟମାନ (ସତ୍ୟ)

(xiv) 0.01001000100001... ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା (ମିଥ୍ୟା, ଏହା ଅସୀମ ଅନାବୃତ୍ତ ଦଶମିକ)

(xv) x ∈ R ହେଲେ x · (1/x) = 1 (ମିଥ୍ୟା, କାରଣ x = 0 ହେଲେ ଏହା ଅସମ୍ଭବ)

(xvi) ଦୁଇଗୋଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ପରିମେୟ (ସତ୍ୟ)

(xvii) ଦୁଇଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ଅପରିମେୟ (ମିଥ୍ୟା)

(xviii) ଦୁଇଟି ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ପରିମେୟ (ମିଥ୍ୟା, ସର୍ବଦା ନୁହେଁ)

(xix) ଦୁଇଟି ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ ଅପରିମେୟ (ମିଥ୍ୟା, ସର୍ବଦା ନୁହେଁ)

(xx) π ସହ ଯେ କୌଣସି ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଯୋଗ କଲେ ଯୋଗଫଳ ଅପରିମେୟ (ମିଥ୍ୟା, ଯଦି -π ଯୋଗ କରାଯାଏ ତେବେ ଫଳ 0 ହେବ ଯାହା ପରିମେୟ)

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q3. ନିମ୍ନଲିଖିତ ରାଶିମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ପରିମେୟ ଓ କେଉଁଗୁଡ଼ିକ ଅପରିମେୟ ଲେଖ:

(i) 3 - ପରିମେୟ

(ii) 1/2 - ପରିମେୟ

(iii) -10 - ପରିମେୟ

(iv) √81 - ପରିମେୟ (କାରଣ √81 = 9)

(v) 22/7 - ପରିମେୟ

(vi) π - ଅପରିମେୟ

(vii) √3 / 2 - ଅପରିମେୟ

(viii) 1 / √2 - ଅପରିମେୟ

(ix) 0.7 - ପରିମେୟ

(x) 0.7_ - ପରିମେୟ

(xi) √0.7 - ଅପରିମେୟ

(xii) 0.07007000700007... - ଅପରିମେୟ

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q4. ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର:

(i) 2 ର ଗୁଣନାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ _________।

ଉତ୍ତର: 1/2

(ii) √2 ର ଗୁଣନାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ _________।

ଉତ୍ତର: 1/√2 ବା √2/2

(iii) √2 ର ଯୋଗାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ _________।

ଉତ୍ତର: -√2

(iv) π ର 22/7 ଏକ _________ ମାନ ଅଟେ।

ଉତ୍ତର: ଆସନ୍ନ (Approximate)

(v) 4 - √3 ର ଯୋଗାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ _________।

ଉତ୍ତର: √3 - 4 ବା -(4 - √3)

(vi) _________ ର ଗୁଣନାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ ଓ ଯୋଗାତ୍ମକ ବିଲୋମୀର ସମଷ୍ଟି ଶୂନ ଅଟେ।

ଉତ୍ତର: 1 ଏବଂ -1 (କାରଣ 1 ର ଗୁଣନାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ 1 ଓ ଯୋଗାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ -1, ସେମାନଙ୍କ ଯୋଗଫଳ 0)

(vii) px = py ହେଲେ x = y ହେବ କେବଳ ଯଦି _________।

ଉତ୍ତର: p ≠ 0

(viii) Q ∪ Q' = _________।

ଉତ୍ତର: R

(ix) -π ର ପରମ ମାନ _________।

ଉତ୍ତର: π

(x) x = 0 ହେଲେ |x| ର ମାନ _________।

ଉତ୍ତର: 0

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q5. 'କ' ସ୍ତମ୍ଭ ସହ 'ଖ' ସ୍ତମ୍ଭ ମିଳାଅ:

ଉତ୍ତର:

(i) 0 -> (vii) ଯୋଗାତ୍ମକ ଅଭେଦ

(ii) 1 -> (ix) ଗୁଣନାତ୍ମକ ଅଭେଦ

(iii) √2 -> (iii) ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା

(iv) 5 -> (ii) ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା

(v) 6 -> (iv) ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା

(vi) 0.7_ -> (viii) ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟା p/q

(vii) x ଓ -x -> (vi) ଯୋଗାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ

(viii) 2 ଓ 1/2 -> (i) ଗୁଣନାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ

(ix) π -> (v) ଆସନ୍ନ ମାନ 22/7

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q6. ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଗୋଟିଏ ଲେଖାଏଁ ଉଦାହରଣ ଦିଅ:

(i) x ଓ y ଅପରିମେୟ ମାତ୍ର x + y ପରିମେୟ।

ଉତ୍ତର: x = √2, y = -√2 => x + y = 0 (ପରିମେୟ)।

(ii) x ଓ y ଅପରିମେୟ ଓ x + y ଅପରିମେୟ।

ଉତ୍ତର: x = √2, y = √3 => x + y = √2 + √3 (ଅପରିମେୟ)।

(iii) x ଓ y ଅପରିମେୟ ମାତ୍ର x - y ପରିମେୟ।

ଉତ୍ତର: x = 2 + √3, y = √3 => x - y = 2 (ପରିମେୟ)।

(iv) x ଓ y ଅପରିମେୟ ମାତ୍ର xy ପରିମେୟ।

ଉତ୍ତର: x = √2, y = √8 => xy = √16 = 4 (ପରିମେୟ)।

(v) x ଓ y ଅପରିମେୟ ଓ xy ଅପରିମେୟ।

ଉତ୍ତର: x = √2, y = √3 => xy = √6 (ଅପରିମେୟ)।

(vi) x ଓ y ଅପରିମେୟ ମାତ୍ର x/y ପରିମେୟ।

ଉତ୍ତର: x = √8, y = √2 => x/y = √4 = 2 (ପରିମେୟ)।

(vii) x ଓ y ଅପରିମେୟ ଓ x/y ଅପରିମେୟ।

ଉତ୍ତର: x = √6, y = √2 => x/y = √3 (ଅପରିମେୟ)।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q7. ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରଶ୍ନମାନଙ୍କ ଉତ୍ତର ଦିଅ:

(i) କେଉଁ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟାଟି ତା' ନିଜର ଯୋଗାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ ଅଟେ?

ଉତ୍ତର: 0 (ଶୂନ)।

(ii) କେଉଁ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟାଟି ତା' ନିଜର ଗୁଣନାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ ଅଟେ?

ଉତ୍ତର: 1 ଏବଂ -1।

(iii) a × 0 = b × 0 ହେଲେ ସର୍ବଦା a = b ହେବ କି? କାରଣ ସହ ଉତ୍ତର ଦିଅ।

ଉତ୍ତର: ନା, ସର୍ବଦା a = b ହେବ ନାହିଁ।

କାରଣ: ଯେକୌଣସି ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଶୂନ ଦ୍ଵାରା ଗୁଣିଲେ ଗୁଣଫଳ ସର୍ବଦା ଶୂନ ହୁଏ। ଉଦାହରଣ ସ୍ଵରୂପ: 5 × 0 = 3 × 0 (ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵ 0), କିନ୍ତୁ 5 ≠ 3।

(iv) ଦୁଇଗୋଟି ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖ ଯେପରି ସେମାନଙ୍କ ଗୁଣଫଳ ପରିମେୟ ମାତ୍ର ଯୋଗଫଳ ଅପରିମେୟ ହେବ।

ଉତ୍ତର: √2 ଏବଂ 2√2।

ଗୁଣଫଳ = √2 × 2√2 = 4 (ପରିମେୟ)

ଯୋଗଫଳ = √2 + 2√2 = 3√2 (ଅପରିମେୟ)

(v) ଦୁଇଗୋଟି ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖ ଯେପରି ସେମାନଙ୍କ ଯୋଗଫଳ ପରିମେୟ ମାତ୍ର ଗୁଣଫଳ ଅପରିମେୟ ହେବ।

ଉତ୍ତର: 1 + √3 ଏବଂ 2 - √3।

ଯୋଗଫଳ = (1 + √3) + (2 - √3) = 3 (ପରିମେୟ)

ଗୁଣଫଳ = (1 + √3)(2 - √3) = 2 - √3 + 2√3 - 3 = -1 + √3 (ଅପରିମେୟ)

(vi) ଏକ ପରିମେୟ ଭଗ୍ନ ସଂଖ୍ୟା ଦଶମିକ ଓ ଏକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ଦଶମିକ ରୂପରେ ପାର୍ଥକ୍ୟ କ'ଣ ଥାଏ?

ଉତ୍ତର:

୧. ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ଦଶମିକ ରୂପ ସର୍ବଦା ସସୀମ କିମ୍ବା ଅସୀମ ପୌନଃପୁନିକ (ଆବୃତ୍ତ) ହୋଇଥାଏ।

୨. ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ଦଶମିକ ରୂପ ସର୍ବଦା ଅସୀମ ଅନାବୃତ୍ତ ହୋଇଥାଏ।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q8. ନିମ୍ନଲିଖିତ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କ ଯୋଗଫଳ ସ୍ଥିର କର:

(i) √18 ଓ √72

ଉତ୍ତର: √18 + √72 = 3√2 + 6√2 = 9√2।

(ii) 3√2 ଓ 7√2

ଉତ୍ତର: 3√2 + 7√2 = 10√2।

(iii) √5 ଓ -√5

ଉତ୍ତର: √5 + (-√5) = 0।

(iv) √75, √108 ଓ √147

ଉତ୍ତର: √75 + √108 + √147 = 5√3 + 6√3 + 7√3 = 18√3।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q9. ନିମ୍ନଲିଖିତ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କ ଗୁଣଫଳ ସ୍ଥିର କର:

(i) √5 ଓ √2

ଉତ୍ତର: √5 × √2 = √10।

(ii) √20 ଓ √5

ଉତ୍ତର: √20 × √5 = √100 = 10।

(iii) 3 + √2 ଓ 3 - √2

ଉତ୍ତର: (3 + √2)(3 - √2) = 3² - (√2)² = 9 - 2 = 7।

(iv) √12, √45 ଓ √15

ଉତ୍ତର: √12 × √45 × √15 = 2√3 × 3√5 × √15 = 6√15 × √15 = 6 × 15 = 90।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q10. ନିମ୍ନଲିଖିତ ରାଶିମାନଙ୍କ ସହ ଗୁଣନ କଲେ ଯଦି ଗୁଣଫଳ 1 (ଏକ) ତେବେ x ର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ଯେପରିକି x ର ହର ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ହେବ:

(i) √3

ଉତ୍ତର: √3 · x = 1 => x = 1/√3 = √3/3।

(ii) 3√2

ଉତ୍ତର: 3√2 · x = 1 => x = 1/(3√2) = √2 / (3 · 2) = √2/6।

(iii) 2 + √3

ଉତ୍ତର: (2 + √3) · x = 1 => x = 1/(2 + √3) = 2 - √3।

(iv) √5 - 1

ଉତ୍ତର: (√5 - 1) · x = 1 => x = 1/(√5 - 1) = (√5 + 1)/4।

(v) √3 + √2

ଉତ୍ତର: (√3 + √2) · x = 1 => x = 1/(√3 + √2) = √3 - √2।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q11. 0.303003000300003... ଦଶମିକ ରାଶିଟି ପରିମେୟ କି ଅପରିମେୟ କାରଣ ସହ ଲେଖ।

ଉତ୍ତର: ଏହା ଏକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା।

କାରଣ: ଏହାର ଦଶମିକ ପ୍ରସାରଣ ଅସୀମ ଏବଂ ଅନାବୃତ୍ତ (Non-terminating non-recurring), କାରଣ ଏଠାରେ କୌଣସି ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଅଙ୍କ ଗୁଚ୍ଛ ବାରମ୍ବାର ଆବୃତ୍ତ ହେଉନାହାନ୍ତି (ଶୂନ ସଂଖ୍ୟା କ୍ରମାଗତ ଭାବେ ବଢୁଛି)।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q12. P ଓ Q ବିନ୍ଦୁଦ୍ଵୟ ସଂଖ୍ୟାରେଖାରେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ସଂଖ୍ୟା ଯୋଡ଼ି ଦ୍ଵାରା ସୂଚିତ ହେଲେ ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ର ପାଇଁ PQ ଦୂରତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର:

(i) 8 ଓ 15

ଉତ୍ତର: PQ = |8 - 15| = |-7| = 7।

(ii) -4 ଓ 3.2

ଉତ୍ତର: PQ = |-4 - 3.2| = |-7.2| = 7.2।

(iii) -3.7 ଓ -6.1

ଉତ୍ତର: PQ = |-3.7 - (-6.1)| = |-3.7 + 6.1| = |2.4| = 2.4।

(iv) π ଓ -3π

ଉତ୍ତର: PQ = |π - (-3π)| = |4π| = 4π।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q13. ନିମ୍ନଲିଖିତ ରାଶିମାନଙ୍କୁ ପରିମେୟ ହର ବିଶିଷ୍ଟ ରାଶିରେ ପ୍ରକାଶ କର (Rationalize the denominator):

(i) 2 / (3(√3 + 2))

ଉତ୍ତର: 2 / (3(√3 + 2)) = 2(√3 - 2) / (3(3 - 4)) = 2(√3 - 2) / -3 = (4 - 2√3) / 3।

(ii) 2 / (1 + √2)

ଉତ୍ତର: 2(1 - √2) / (1 - 2) = 2(1 - √2) / -1 = 2(√2 - 1) = 2√2 - 2।

(iii) 2 / (√2 + 3)

ଉତ୍ତର: 2(√2 - 3) / (2 - 9) = 2(√2 - 3) / -7 = (6 - 2√2) / 7।

(iv) 1 / (1 + √2)

ଉତ୍ତର: (1 - √2) / (1 - 2) = (1 - √2) / -1 = √2 - 1।

(v) 5 / (3 - √2)

ଉତ୍ତର: 5(3 + √2) / (9 - 2) = (15 + 5√2) / 7।

(vi) (1 + √2) / (√3 + √2)

ଉତ୍ତର: (1 + √2)(√3 - √2) / (3 - 2) = √3 - √2 + √6 - 2।

(vii) (√2 - 1) / (√5 - √2)

ଉତ୍ତର: (√2 - 1)(√5 + √2) / (5 - 2) = (√10 + 2 - √5 - √2) / 3।

(viii) 1 / (1 + √2 + √3)

ଉତ୍ତର: 1 / ((1 + √2) + √3) = ((1 + √2) - √3) / ((1 + √2)² - 3) = (1 + √2 - √3) / 2√2

= √2(1 + √2 - √3) / 4 = (√2 + 2 - √6) / 4।

(ix) (√2 + √3) / (√2 + √3 + √5)

ଉତ୍ତର: ((√2 + √3) - √5) / 2√6 (ହର କରଣୀ ମୁକ୍ତ କଲେ) = (5√6 + 12 - 2√15 - 3√10) / 12।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q14. ସରଳ କର:

(i) (√5 + √3)/(√5 - √3) + (√5 - √3)/(√5 + √3)

ଉତ୍ତର: [(√5 + √3)² + (√5 - √3)²] / (5 - 3) = 2(5 + 3) / 2 = 8।

(ii) (√7 - √5)/(√7 + √5) + (√7 + √5)/(√7 - √5)

ଉତ୍ତର: [(√7 - √5)² + (√7 + √5)²] / (7 - 5) = 2(7 + 5) / 2 = 12।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q15. a ଓ b ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ ନିମ୍ନଲିଖିତ କ୍ଷେତ୍ରରେ ସେମାନଙ୍କ ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର:

(i) (√3 - 1)/(√3 + 1) = a + b√3

ଉତ୍ତର: LHS = (√3 - 1)² / (3 - 1) = (4 - 2√3) / 2 = 2 - √3।

ତୁଳନା କଲେ: a = 2, b = -1।

(ii) (4 + √5)/(4 - √5) = a + b√5

ଉତ୍ତର: LHS = (4 + √5)² / (16 - 5) = (21 + 8√5) / 11 = 21/11 + (8/11)√5।

ତୁଳନା କଲେ: a = 21/11, b = 8/11।

(iii) (√3 + √2)/(√3 - √8) = a + b√6

ଉତ୍ତର: LHS = (√3 + √2)/(√3 - 2√2) = (√3 + √2)(√3 + 2√2) / (3 - 8) = (7 + 3√6) / -5 = -7/5 - (3/5)√6।

ତୁଳନା କଲେ: a = -7/5, b = -3/5।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q16. ସଂଖ୍ୟାରେଖା ଅଙ୍କନ କରି କମ୍ପାସ ଓ ସ୍କେଲ୍‌ର ବ୍ୟବହାର ଦ୍ଵାରା ନିମ୍ନଲିଖିତ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କୁ ସଂଖ୍ୟା ରେଖାରେ ଚିହ୍ନଟ କର:

(i) 3/5, (ii) 1_1/3, (iii) √2 - 1, (iv) √2 + 1, (v) 2 + √3, (vi) √5, (vii) √3 - 1

ଉତ୍ତର: ଜ୍ୟାମିତିକ ଅଙ୍କନ ପ୍ରଣାଳୀ:

୧. √2 ର ଅଙ୍କନ: ସଂଖ୍ୟାରେଖାରେ OA = 1 ଏକକ ନିଅ। A ବିନ୍ଦୁରେ AB = 1 ଏକକ ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ କର। OB କୁ ଯୋଗ କର। ପିଥାଗୋରସ୍ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁଯାୟୀ OB = √(1² + 1²) = √2। O କୁ କେନ୍ଦ୍ର କରି OB ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧରେ ଏକ ଚାପ ସଂଖ୍ୟାରେଖା ଉପରେ ଅଙ୍କନ କଲେ ତାହା √2 ବିନ୍ଦୁକୁ ସୂଚିତ କରିବ।

୨. √2 + 1 ର ଅଙ୍କନ: √2 ବିନ୍ଦୁଠାରୁ ଡାହାଣକୁ 1 ଏକକ ଦୂରତାରେ ଚିହ୍ନଟ କଲେ √2 + 1 ମିଳିବ।

୩. √2 - 1 ର ଅଙ୍କନ: √2 ବିନ୍ଦୁଠାରୁ ବାମକୁ 1 ଏକକ ଦୂରତାରେ ଚିହ୍ନଟ କଲେ √2 - 1 ମିଳିବ।

୪. √5 ର ଅଙ୍କନ: OA = 2 ଏକକ ନିଅ। A ବିନ୍ଦୁରେ AB = 1 ଏକକ ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ କର। OB = √(2² + 1²) = √5। ଚାପ ସାହାଯ୍ୟରେ ସଂଖ୍ୟାରେଖାରେ ସ୍ଥାପନ କର।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q17. ସଂଖ୍ୟାରେଖାରେ ନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କୁ ସ୍ଥାପନ କରି କେଉଁଟି ବୃହତ୍ତର ସ୍ଥିର କର:

(i) -√3 ଓ -√2

ଉତ୍ତର: -√2 ବୃହତ୍ତର (କାରଣ -1.414 > -1.732)।

(ii) 3/4 ଓ 2/3

ଉତ୍ତର: 3/4 ବୃହତ୍ତର (କାରଣ 0.75 > 0.666)।

(iii) √2 ଓ 1_1/2

ଉତ୍ତର: 1_1/2 ବୃହତ୍ତର (କାରଣ 1.5 > 1.414)।

(iv) 1.7 ଓ √3

ଉତ୍ତର: √3 ବୃହତ୍ତର (କାରଣ 1.732 > 1.7)।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q18. ସରଳ କର:

(√3 - √2)/(√3 + √2) + (√3 + √2)/(√3 - √2) + 1/(√2 + 1) + 1/(√2 - 1)

ଉତ୍ତର:

ପ୍ରଥମ ଦୁଇଟି ପଦର ସରଳୀକରଣ: [(√3 - √2)² + (√3 + √2)²] / (3 - 2) = 2(3 + 2) = 10।

ଶେଷ ଦୁଇଟି ପଦର ସରଳୀକରଣ: [(√2 - 1) + (√2 + 1)] / (2 - 1) = 2√2।

ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଯୋଗଫଳ = 10 + 2√2।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q19. ଉଦାହରଣ ନେଇ ସତ୍ୟତା ପରୀକ୍ଷା କର (ଯେଉଁଠାରେ x ଓ y ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା):

(i) |x + y| ≤ |x| + |y|

ଉତ୍ତର: ମନେକର x = 3, y = -5।

LHS = |3 + (-5)| = |-2| = 2।

RHS = |3| + |-5| = 3 + 5 = 8।

ଯେହେତୁ 2 ≤ 8, ତେଣୁ ସୂତ୍ରଟି ସତ୍ୟ।

(ii) |x - y| ≥ ||x| - |y||

ଉତ୍ତର: ମନେକର x = 3, y = -5।

LHS = |3 - (-5)| = |8| = 8।

RHS = ||3| - |-5|| = |3 - 5| = |-2| = 2।

ଯେହେତୁ 8 ≥ 2, ତେଣୁ ସୂତ୍ରଟି ସତ୍ୟ।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q20. ସରଳ କର:

(i) [ (ⁿ√a)^√n ]^√n

ଉତ୍ତର: [ (a^(1/n))^√n ]^√n = [ a^(√n/n) ]^√n = a^( (√n/n) · √n ) = a^(n/n) = a¹ = a।

(ii) ( ³√3^√3 )^√3

ଉତ୍ତର: ( 3^(1/3) )^(√3 · √3) = (3^(1/3))³ = 3।

(iii) 27^(1/3) × √(1/9) ÷ 81^(-1/4)

ଉତ୍ତର: 3 × (1/3) ÷ (3⁴)^(-1/4) = 1 ÷ 3⁻¹ = 1 ÷ (1/3) = 3।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q21. ଗୁଣଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର:

(i) (a^(1/2) + b^(1/2))(a^(1/2) - b^(1/2))

ଉତ୍ତର: (a^(1/2))² - (b^(1/2))² = a - b।

(ii) (1 - a^(1/4))(1 + a^(1/4))(1 + a^(1/2))

ଉତ୍ତର: (1 - a^(1/2))(1 + a^(1/2)) = 1 - a।

(iii) (1 + a^(1/2))(1 + a^(1/4))(1 + a^(1/8))(1 + a^(1/16))(1 + a^(1/32))(1 - a^(1/32))

ଉତ୍ତର: କ୍ରମାଗତ ଗୁଣନ କଲେ ଶେଷରେ ମିଳିବ: 1 - a।

(iv) (³√x + ³√y)(³√x² - ³√(xy) + ³√y²)

ଉତ୍ତର: (³√x)³ + (³√y)³ = x + y (ସୂତ୍ର: (u+v)(u²-uv+v²) = u³+v³)।

(v) (x⁻¹ + x^(-1/2)y^(-1/2) + y⁻¹)(x⁻¹ - x^(-1/2)y^(-1/2) + y⁻¹)

ଉତ୍ତର: (x⁻¹ + y⁻¹)² - (x^(-1/2)y^(-1/2))² = x⁻² + y⁻² + 2x⁻¹y⁻¹ - x⁻¹y⁻¹ = x⁻² + x⁻¹y⁻¹ + y⁻²।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q22. ସରଳ କର:

(i) ³√(x²y³) ÷ (xyz)^(1/3)

ଉତ୍ତର: (x²y³)^(1/3) / (xyz)^(1/3) = (x²y³ / xyz)^(1/3) = (x y² / z)^(1/3) = x^(1/3) y^(2/3) z^(-1/3)।

(ii) ³√(x²y⁴z⁻¹) ÷ √(x⁻³y²z⁻³)

ଉତ୍ତର: x^(2/3) y^(4/3) z^(-1/3) ÷ x^(-3/2) y¹ z^(-3/2) = x^(2/3 + 3/2) y^(4/3 - 1) z^(-1/3 + 3/2) = x^(13/6) y^(1/3) z^(7/6)।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q23. ପ୍ରମାଣ କର:

(i) √(x⁻¹y) × √(y⁻¹z) × √(z⁻¹x) = 1

ଉତ୍ତର: LHS = √(y/x) · √(z/y) · √(x/z) = √( (y · z · x) / (x · y · z) ) = √1 = 1। (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) [ (x^a)/(x^b) ]^(1/ab) × [ (x^b)/(x^c) ]^(1/bc) × [ (x^c)/(x^a) ]^(1/ca) = 1

ଉତ୍ତର: LHS = x^((a-b)/ab) · x^((b-c)/bc) · x^((c-a)/ca) = x^(1/b - 1/a + 1/c - 1/b + 1/a - 1/c) = x⁰ = 1। (ପ୍ରମାଣିତ)

(iii) [ x^(1/(a-b)) ]^(1/(a-c)) × [ x^(1/(b-c)) ]^(1/(b-a)) × [ x^(1/(c-a)) ]^(1/(c-b)) = 1

ଉତ୍ତର: LHS = x^( 1/((a-b)(a-c)) + 1/((b-c)(b-a)) + 1/((c-a)(c-b)) )।

ଘାତାଙ୍କର ଲ.ସା.ଗୁ. ନେଇ ସରଳ କଲେ ଲବ ଶୂନ (0) ହେବ, ତେଣୁ x⁰ = 1। (ପ୍ରମାଣିତ)

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q24. ପ୍ରମାଣ କର:

(i) a = 2^(1/3) - 2^(-1/3) ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, 2a³ + 6a = 3

ଉତ୍ତର: ପ୍ରମାଣ:

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵର ଘନ (cube) କଲେ:

a³ = (2^(1/3) - 2^(-1/3))³

a³ = 2 - 2⁻¹ - 3(2^(1/3))(2^(-1/3))(2^(1/3) - 2^(-1/3))

a³ = 2 - 1/2 - 3(1)(a)

a³ = 3/2 - 3a

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 2 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣିଲେ:

2a³ = 3 - 6a => 2a³ + 6a = 3। (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) a = x^(1/3) - x^(-1/3) ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, a³ + 3a = x - 1/x

ଉତ୍ତର: ପ୍ରମାଣ:

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵର ଘନ କଲେ:

a³ = x - x⁻¹ - 3(x^(1/3))(x^(-1/3))(x^(1/3) - x^(-1/3))

a³ = x - 1/x - 3a

a³ + 3a = x - 1/x। (ପ୍ରମାଣିତ)

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q25. x ର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର:

(i) 3^(x+1) = 9

ଉତ୍ତର: 3^(x+1) = 3² => x + 1 = 2 => x = 1।

(ii) 2^(2x+1) = 8

ଉତ୍ତର: 2^(2x+1) = 2³ => 2x + 1 = 3 => 2x = 2 => x = 1।

(iii) (√2)^(2x-1) = 1

ଉତ୍ତର: (2^(1/2))^(2x-1) = 2⁰ => (2x-1)/2 = 0 => 2x = 1 => x = 1/2।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q26. ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟାର ସ୍ଵୀକାର୍ଯ୍ୟ ଓ ଆଲୋଚିତ ଅନ୍ୟ ଧର୍ମ ଗୁଡ଼ିକୁ ନେଇ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଅଭେଦ ଗୁଡ଼ିକୁ ପ୍ରତିପାଦନ କର:

(i) a(a-b) = a² - ab

ଉତ୍ତର: LHS = a(a + (-b)) = a · a + a · (-b) = a² - ab (ବଣ୍ଟନ ନିୟମ ଅନୁଯାୟୀ)।

(ii) (a + b)² = a² + 2ab + b²

ଉତ୍ତର: (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b² (କ୍ରମବିନିମୟୀ ନିୟମ ଅନୁଯାୟୀ ab = ba)।

(iii) (a + b)(a - b) = a² - b²

ଉତ୍ତର: a(a - b) + b(a - b) = a² - ab + ba - b² = a² - b²।

(iv) (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

ଉତ୍ତର: (a + b)(a + b)² = (a + b)(a² + 2ab + b²) = a³ + 2a²b + ab² + ba² + 2ab² + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³।

(v) (a + b)(a² - ab + b²) = a³ + b³

ଉତ୍ତର: a(a² - ab + b²) + b(a² - ab + b²) = a³ - a²b + ab² + ba² - ab² + b³ = a³ + b³।

(vi) (a - b)(a² + ab + b²) = a³ - b³

ଉତ୍ତର: a(a² + ab + b²) - b(a² + ab + b²) = a³ + a²b + ab² - ba² - ab² - b³ = a³ - b³।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q27. x ∈ R, x ≠ 0, a, b, c ∈ R ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ:

1 / (1 + x^(b-a) + x^(c-a)) + 1 / (1 + x^(c-b) + x^(a-b)) + 1 / (1 + x^(a-c) + x^(b-c)) = 1

ଉତ୍ତର: ପ୍ରମାଣ:

ପ୍ରଥମ ପଦ = 1 / (1 + x^b/x^a + x^c/x^a) = x^a / (x^a + x^b + x^c)

ଦ୍ଵିତୀୟ ପଦ = 1 / (1 + x^c/x^b + x^a/x^b) = x^b / (x^a + x^b + x^c)

ତୃତୀୟ ପଦ = 1 / (1 + x^a/x^c + x^b/x^c) = x^c / (x^a + x^b + x^c)

LHS = (x^a + x^b + x^c) / (x^a + x^b + x^c) = 1। (ପ୍ରମାଣିତ)

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q28. ନିମ୍ନଲିଖିତ କ୍ଷେତ୍ରରେ x ର ମାନ ନିରୂପଣ କର:

(i) |x - 3| = 7

ଉତ୍ତର: x - 3 = 7 => x = 10 କିମ୍ବା x - 3 = -7 => x = -4। ତେଣୁ x ∈ {10, -4}।

(ii) |x + 1| = 11

ଉତ୍ତର: x + 1 = 11 => x = 10 କିମ୍ବା x + 1 = -11 => x = -12। ତେଣୁ x ∈ {10, -12}।

(iii) |2x - 1| = 3

ଉତ୍ତର: 2x - 1 = 3 => 2x = 4 => x = 2 କିମ୍ବା 2x - 1 = -3 => 2x = -2 => x = -1। ତେଣୁ x ∈ {2, -1}।

(iv) |3x + 4| = 5

ଉତ୍ତର: 3x + 4 = 5 => 3x = 1 => x = 1/3 କିମ୍ବା 3x + 4 = -5 => 3x = -9 => x = -3। ତେଣୁ x ∈ {1/3, -3}।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q29. ନିମ୍ନରେ ପ୍ରଦତ୍ତ ରାଶିମାନଙ୍କୁ ପରିମେୟ ଓ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି ରୂପେ ପ୍ରକାଶ କର:

(i) 3 / (3 + √5)

ଉତ୍ତର: 3(3 - √5) / (9 - 5) = (9 - 3√5) / 4 = 9/4 + (-3/4)√5 (ପରିମେୟ 9/4 ଏବଂ ଅପରିମେୟ -3/4 √5 ର ସମଷ୍ଟି)।

(ii) √2 / (1 + √8)

ଉତ୍ତର: √2 / (1 + 2√2) = √2(1 - 2√2) / (1 - 8) = (√2 - 4) / -7 = 4/7 + (-1/7)√2।

(iii) (√3 - 1) / (√3 + 1)

ଉତ୍ତର: (√3 - 1)² / (3 - 1) = (4 - 2√3) / 2 = 2 + (-√3)।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Q30. ନିମ୍ନଲିଖିତ ଅସମୀକରଣମାନଙ୍କୁ ସମାଧାନ କର:

(i) |x| < 1/2

ଉତ୍ତର: -1/2 < x < 1/2।

(ii) |x| > 1

ଉତ୍ତର: x > 1 କିମ୍ବା x < -1।

(iii) |3x| ≤ 5

ଉତ୍ତର: -5 ≤ 3x ≤ 5 => -5/3 ≤ x ≤ 5/3।

(iv) |2x| ≥ 3

ଉତ୍ତର: 2x ≥ 3 କିମ୍ବା 2x ≤ -3 => x ≥ 3/2 କିମ୍ବା x ≤ -3/2।

(v) |3x - 1| ≤ 7

ଉତ୍ତର: -7 ≤ 3x - 1 ≤ 7 => -6 ≤ 3x ≤ 8 => -2 ≤ x ≤ 8/3।

(vi) |7x + 3| ≥ 5

ଉତ୍ତର: 7x + 3 ≥ 5 => 7x ≥ 2 => x ≥ 2/7 କିମ୍ବା 7x + 3 ≤ -5 => 7x ≤ -8 => x ≤ -8/7।

୪. ବୋର୍ଡ ପରୀକ୍ଷା ମାଷ୍ଟ୍ରି ଟିପ୍ସ ଓ ସାଧାରଣ ଭୁଲ୍ (Board Exam Tips & Pitfalls)

୧. ପରମ ମାନ ସମାଧାନ ସମୟରେ ସାଧାରଣ ଭୁଲ୍:

ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀମାନେ ପ୍ରାୟତଃ |x| = a ହେଲେ କେବଳ x = a ଲେଖିଥାନ୍ତି। ମନେରଖନ୍ତୁ, ଏହାର ଦୁଇଟି ସମ୍ଭାବ୍ୟ ମାନ ଥାଏ: x = a ଏବଂ x = -a।

୨. ହରର ପରିମେୟକରଣ (Rationalization):

ହରରେ ଦ୍ଵିପଦୀ ଅପରିମେୟ ରାଶି (ଯଥା: a + √b) ଥିଲେ, ଏହାର ଅନୁବନ୍ଧୀ କରଣୀ (Conjugate, a - √b) ଦ୍ଵାରା ଲବ ଓ ହରକୁ ଗୁଣନ କରିବାକୁ ଭୁଲନ୍ତୁ ନାହିଁ।

୩. π ଏବଂ 22/7 ର ପାର୍ଥକ୍ୟ:

ପରୀକ୍ଷାରେ ପ୍ରାୟତଃ ପଚରାଯାଏ "π ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା କି?"। ମନେରଖନ୍ତୁ, π ଏକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା, କିନ୍ତୁ ଏହାର ଆସନ୍ନ ମାନ 22/7 ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ।

୪. ସଂଖ୍ୟାରେଖାରେ ସ୍ଥାପନ:

ଜ୍ୟାମିତିକ ଅଙ୍କନ ସମୟରେ ପେନ୍ସିଲ୍‌କୁ ତୀକ୍ଷ୍ଣ ରଖନ୍ତୁ ଏବଂ ସ୍କେଲ୍ ତଥା କମ୍ପାସର ସଠିକ୍ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ। ପ୍ରତ୍ୟେକ ବିନ୍ଦୁର ନାମକରଣ ସ୍ପଷ୍ଟ ଭାବେ କରନ୍ତୁ।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

(ନୋଟ୍ସ ପ୍ରସ୍ତୁତି: ଉତ୍କଳ ସ୍କିଲ୍ ସେଣ୍ଟର - BSE Odisha 100% Full Textbook Master Edition)