ବୋର୍ଡ ଅଫ୍ ସେକେଣ୍ଡାରୀ ଏଜୁକେସନ୍ (BSE Odisha) — ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଅଧ୍ୟାୟ ମାଷ୍ଟର ନୋଟ୍ସ
ଶ୍ରେଣୀ: Class 9 | ବିଷୟ: Math
ଅଧ୍ୟାୟ: C9 Alg C9 Alg ch3 AlgebraicExpressions-and-Identities Ready Ready
୧. ଅଧ୍ୟାୟର ସାରାଂଶ ଓ ମାଇଣ୍ଡ ମ୍ୟାପ୍ (Mind Map -and- Conceptual Architecture)
ଏହି ଅଧ୍ୟାୟଟି ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ (Algebraic Expressions) ଏବଂ ଅଭେଦ (Identities) ର ବିଭିନ୍ନ ଦିଗ ଉପରେ ଆଧାରିତ। ଏଥିରେ ମନୋମିଆଲ୍, ପଲିନୋମିଆଲ୍, ସେମାନଙ୍କର ଘାତ, ଯୋଗ, ବିୟୋଗ, ଗୁଣନ, ହରଣ, ଭାଗଶେଷ ଉପପାଦ୍ୟ, ଉତ୍ପାଦକ ଉପପାଦ୍ୟ, ଗ.ସା.ଗୁ. ଓ ଲ.ସା.ଗୁ. ନିର୍ଣ୍ଣୟ ଏବଂ ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିମେୟ ପରିପ୍ରକାଶର ସରଳୀକରଣ ସମ୍ବନ୍ଧରେ ବିସ୍ତୃତ ଆଲୋଚନା କରାଯାଇଛି।
ମାଇଣ୍ଡ ମ୍ୟାପ୍ (Conceptual Architecture):
୧.୧. ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ (Algebraic Expressions):
├── ମନୋମିଆଲ୍ (Monomial): axⁿ (a ≠ 0, n ଏକ ଅଣଋଣାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା)
│ ├── ସହଗ (Coefficient): -and-#x27;a-and-#x27;
│ ├── ଘାତ (Degree): -and-#x27;n-and-#x27;
│ └── ସଦୃଶ ମନୋମିଆଲ୍ (Like Monomials): ସମାନ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ଓ ସମାନ ଘାତ ବିଶିଷ୍ଟ
└── ପଲିନୋମିଆଲ୍ (Polynomial): p(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a_n xⁿ
├── ଏକପଦୀ (Monomial), ଦ୍ଵିପଦୀ (Binomial), ତ୍ରିପଦୀ (Trinomial)
└── ଘାତ ଅନୁଯାୟୀ ଶ୍ରେଣୀବିଭାଗ: ଏକଘାତୀ (Linear), ଦ୍ଵିଘାତୀ (Quadratic), ତ୍ରିଘାତୀ (Cubic), ଚତୁର୍ଘାତୀ (Biquadratic)
୧.୨. ପଲିନୋମିଆଲ୍ର ପ୍ରକ୍ରିୟା (Operations on Polynomials):
├── ଯୋଗ ଓ ବିୟୋଗ: ସଦୃଶ ପଦଗୁଡ଼ିକର ଏକତ୍ରୀକରଣ
├── ଗୁଣନ: ବଣ୍ଟନ ନିୟମ (Distributive Law) ର ପ୍ରୟୋଗ
└── ହରଣ: ୟୁକ୍ଲିଡୀୟ କଳନ ବିଧି (Euclidean Algorithm) --and-gt; p(x) = q(x) × k(x) + r(x)
୧.୩. ଗୁରୁତ୍ଵପୂର୍ଣ୍ଣ ଉପପାଦ୍ୟ (Key Theorems):
├── ଭାଗଶେଷ ଉପପାଦ୍ୟ (Remainder Theorem): p(x) କୁ (x - a) ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଶେଷ p(a) ହେବ।
└── ଉତ୍ପାଦକ ଉପପାଦ୍ୟ (Factor Theorem): ଯଦି p(a) = 0 ହୁଏ, ତେବେ (x - a), p(x) ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ହେବ।
୧.୪. ଗ.ସା.ଗୁ. ଏବଂ ଲ.ସା.ଗୁ. (HCF -and- LCM):
├── ଗ.ସା.ଗୁ. (HCF): ସାଧାରଣ ଉତ୍ପାଦକଗୁଡ଼ିକର ସର୍ବନିମ୍ନ ଘାତ ବିଶିଷ୍ଟ ଗୁଣଫଳ
└── ଲ.ସା.ଗୁ. (LCM): ସାଧାରଣ ଓ ଅସାଧାରଣ ଉତ୍ପାଦକଗୁଡ଼ିକର ସର୍ବାଧିକ ଘାତ ବିଶିଷ୍ଟ ଗୁଣଫଳ
୧.୫. ପରିମେୟ ପରିପ୍ରକାଶ (Rational Expressions):
└── p(x)/q(x) ରୂପରେ ପ୍ରକାଶ (ଯେଉଁଠାରେ q(x) ≠ 0) ଏବଂ ଏହାର ଲଘିଷ୍ଠ ଆକାରରେ ପ୍ରକାଶ।
───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
୨. ମୁଖ୍ୟ ବିଷୟବସ୍ତୁ, ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ଓ ଗାଣିତିକ ସୂତ୍ରାବଳୀ (Comprehensive Theory -and- Formulas)
୨.୧. ମନୋମିଆଲ୍ (Monomial):
ଯଦି a (a ≠ 0) ଏକ ସ୍ଥିର ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା, x ଏକ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ଏବଂ n ଏକ ଅଣଋଣାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା (Non-negative integer) ହୁଏ, ତେବେ axⁿ ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶକୁ x ରେ n ଘାତ ବିଶିଷ୍ଟ ମନୋମିଆଲ୍ କୁହାଯାଏ।
୨.୨. ପଲିନୋମିଆଲ୍ (Polynomial):
କୌଣସି ଏକପଦୀ କିମ୍ବା ବହୁପଦୀ ପରିପ୍ରକାଶର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦ ଯଦି ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ମନୋମିଆଲ୍ ହୋଇଥାଏ, ତେବେ ଉକ୍ତ ପରିପ୍ରକାଶକୁ ପଲିନୋମିଆଲ୍ କୁହାଯାଏ।
ସାଧାରଣ ରୂପ: p(x) = a_n xⁿ + a_(n-1) x^(n-1) + ... + a₁x + a₀ (ଯେଉଁଠାରେ a_n ≠ 0)
୨.୩. ପଲିନୋମିଆଲ୍ର ଘାତ (Degree of Polynomial):
ପଲିନୋମିଆଲ୍ରେ ଥିବା ଚଳରାଶିର ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଘାତାଙ୍କୁ ପଲିନୋମିଆଲ୍ର ଘାତ କୁହାଯାଏ।
୨.୪. ବୀଜଗାଣିତିକ ସୂତ୍ରାବଳୀ (Algebraic Identities):
୧. (a + b)² = a² + 2ab + b²
୨. (a - b)² = a² - 2ab + b²
୩. a² - b² = (a + b)(a - b)
୪. (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
୫. (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)
୬. (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ = a³ - b³ - 3ab(a - b)
୭. a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
୮. a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
୯. a⁴ + a²b² + b⁴ = (a² + ab + b²)(a² - ab + b²)
୧୦. a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca)
───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
୩. ପାଠ୍ୟପୁସ୍ତକ ଅଭ୍ୟାସ ପ୍ରଶ୍ନାବଳୀର ୧୦୦% ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସମାଧାନ (100% Complete Solved Exercises)
───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
ଅନୁଶୀଳନୀ - ୩ (a)
───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
Q1. ନିମ୍ନଲିଖିତ ମନୋମିଆଲ୍ଗୁଡ଼ିକୁ ସାନରୁ ବଡ଼ ଘାତାଙ୍କ କ୍ରମରେ ସଜାଇ ଲେଖ।
ସମାଧାନ:
ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦର ଘାତ ନିରୂପଣ କରିବା:
ସାନରୁ ବଡ଼ ଘାତାଙ୍କ କ୍ରମରେ ସଜାଇଲେ:
ଉତ୍ତର: -51, √3 y, √2 y², 1.4y³, -8y⁴, 7y⁸, 11/13 y⁹
Q2. ନିମ୍ନରେ ପ୍ରଦତ୍ତ ମନୋମିଆଲ୍ଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ ସଦୃଶ ମନୋମିଆଲ୍ଗୁଡ଼ିକୁ ବାଛି ପୃଥକ ଭାବେ ଲେଖ।
ସମାଧାନ:
ସଦୃଶ ମନୋମିଆଲ୍ଗୁଡ଼ିକର ଚଳରାଶିର ଘାତ ସମାନ ଥାଏ।
ଉତ୍ତର:
ସଦୃଶ ପଦ ଗ୍ରୁପ୍-୧: {12x², -5x²}
ସଦୃଶ ପଦ ଗ୍ରୁପ୍-୨: {-3x, x/7}
ସଦୃଶ ପଦ ଗ୍ରୁପ୍-୩: {1/2 x³, √3 x³}
ସଦୃଶ ପଦ ଗ୍ରୁପ୍-୪: {15, 8/11}
ଅସଦୃଶ ପଦ: {10x⁴}
Q3. ନିମ୍ନସ୍ଥ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରକାର ପଲିନୋମିଆଲ୍ର ଦୁଇଟି ଲେଖାଏଁ ଉଦାହରଣ ଦିଅ।
(i) ଶୂନଘାତୀ ପଲିନୋମିଆଲ୍:
ଉତ୍ତର: 5, -12
(ii) ଏକ ପଦବିଶିଷ୍ଟ ଦ୍ଵିଘାତୀ ପଲିନୋମିଆଲ୍:
ଉତ୍ତର: 3x², -7y²
(iii) ଦୁଇ ପଦ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଘାତୀ ପଲିନୋମିଆଲ୍:
ଉତ୍ତର: x³ - 1, 2y³ + 5
(iv) ତିନି ପଦ ବିଶିଷ୍ଟ ଦ୍ଵିଘାତୀ ପଲିନୋମିଆଲ୍:
ଉତ୍ତର: x² + 2x + 1, 3y² - 5y + 2
Q4. ଯୋଗ କର -
(i) 2y³ - 3y - 4, 2 - y³ + 5y
ସମାଧାନ:
ଯୋଗଫଳ = (2y³ - 3y - 4) + (2 - y³ + 5y)
= (2y³ - y³) + (-3y + 5y) + (-4 + 2)
= y³ + 2y - 2 (ଉତ୍ତର)
(ii) 3x⁴ - 2x³ - 5 + x - 5x², 3x³ + 2x² - x⁴ - x + 1
ସମାଧାନ:
ଯୋଗଫଳ = (3x⁴ - 2x³ - 5x² + x - 5) + (-x⁴ + 3x³ + 2x² - x + 1)
= (3x⁴ - x⁴) + (-2x³ + 3x³) + (-5x² + 2x²) + (x - x) + (-5 + 1)
= 2x⁴ + x³ - 3x² - 4 (ଉତ୍ତର)
(iii) 3/4 x² - 4/5 x - 3, 1/4 x² + 4/5 x + 2
ସମାଧାନ:
ଯୋଗଫଳ = (3/4 x² + 1/4 x²) + (-4/5 x + 4/5 x) + (-3 + 2)
= (3/4 + 1/4)x² + 0x - 1
= x² - 1 (ଉତ୍ତର)
(iv) 2.1x³ + 3.2x² + 5 - 3x, 1.9x³ - 1.2x² + 2x - 1
ସମାଧାନ:
ଯୋଗଫଳ = (2.1x³ + 1.9x³) + (3.2x² - 1.2x²) + (-3x + 2x) + (5 - 1)
= 4x³ + 2x² - x + 4 (ଉତ୍ତର)
(v) 1/2 z³ - 3/2 z² + 6z, 1/2 z² - 1/2 z³ - 3z - 1, z³ + 2z² + 3z - 4
ସମାଧାନ:
ଯୋଗଫଳ = (1/2 z³ - 1/2 z³ + z³) + (-3/2 z² + 1/2 z² + 2z²) + (6z - 3z + 3z) + (-1 - 4)
= z³ + z² + 6z - 5 (ଉତ୍ତର)
(vi) 8x - 3xy + 2xyz, 2xy - 5x + 3xyz, xy - 3x + 4xyz
ସମାଧାନ:
ଯୋଗଫଳ = (8x - 5x - 3x) + (-3xy + 2xy + xy) + (2xyz + 3xyz + 4xyz)
= 0x + 0xy + 9xyz
= 9xyz (ଉତ୍ତର)
(vii) 5x² - 2xy + y², 4xy - 2y² - 3x², 4y² - xy - x²
ସମାଧାନ:
ଯୋଗଫଳ = (5x² - 3x² - x²) + (-2xy + 4xy - xy) + (y² - 2y² + 4y²)
= x² + xy + 3y² (ଉତ୍ତର)
Q5. ବିୟୋଗ କର -
(i) 6x³ - 13x² + 14 ରୁ -x³ + 2x - 7x² + 11
ସମାଧାନ:
ବିୟୋଗଫଳ = (6x³ - 13x² + 14) - (-x³ - 7x² + 2x + 11)
= 6x³ - 13x² + 14 + x³ + 7x² - 2x - 11
= (6x³ + x³) + (-13x² + 7x²) - 2x + (14 - 11)
= 7x³ - 6x² - 2x + 3 (ଉତ୍ତର)
(ii) t⁴ - 11 + 2t² - t³ ରୁ 2t³ - 8t² - 10
ସମାଧାନ:
ବିୟୋଗଫଳ = (t⁴ - t³ + 2t² - 11) - (2t³ - 8t² - 10)
= t⁴ - t³ + 2t² - 11 - 2t³ + 8t² + 10
= t⁴ - 3t³ + 10t² - 1 (ଉତ୍ତର)
(iii) 12/13 y² - 5/13 y³ - 15 ରୁ -1/13 y² + 8/13 y³ + 20
ସମାଧାନ:
ବିୟୋଗଫଳ = (-5/13 y³ + 12/13 y² - 15) - (8/13 y³ - 1/13 y² + 20)
= (-5/13 - 8/13)y³ + (12/13 + 1/13)y² - 15 - 20
= -13/13 y³ + 13/13 y² - 35
= -y³ + y² - 35 (ଉତ୍ତର)
(iv) 2.5x³ - 7 - 3.5x² ରୁ 2.5x² + 1.5x³ + 8 - 2x
ସମାଧାନ:
ବିୟୋଗଫଳ = (2.5x³ - 3.5x² - 7) - (1.5x³ + 2.5x² - 2x + 8)
= 2.5x³ - 3.5x² - 7 - 1.5x³ - 2.5x² + 2x - 8
= (2.5 - 1.5)x³ + (-3.5 - 2.5)x² + 2x - (7 + 8)
= x³ - 6x² + 2x - 15 (ଉତ୍ତର)
(v) x² - 2xy + 3y² ରୁ 2x² - xy - 2y²
ସମାଧାନ:
ବିୟୋଗଫଳ = (x² - 2xy + 3y²) - (2x² - xy - 2y²)
= x² - 2xy + 3y² - 2x² + xy + 2y²
= -x² - xy + 5y² (ଉତ୍ତର)
(vi) 2x² - 3xy - 4xy² ରୁ x² - xy - 2xy²
ସମାଧାନ:
ବିୟୋଗଫଳ = (2x² - 3xy - 4xy²) - (x² - xy - 2xy²)
= 2x² - 3xy - 4xy² - x² + xy + 2xy²
= x² - 2xy - 2xy² (ଉତ୍ତର)
(vii) a - 3b + 2c ରୁ 3b - 7c + 2a
ସମାଧାନ:
ବିୟୋଗଫଳ = (a - 3b + 2c) - (2a + 3b - 7c)
= a - 3b + 2c - 2a - 3b + 7c
= -a - 6b + 9c (ଉତ୍ତର)
(viii) 1/2 a + 2/3 b - 3/2 c ରୁ a - 1/3 b + 1/2 c
ସମାଧାନ:
ବିୟୋଗଫଳ = (1/2 a + 2/3 b - 3/2 c) - (a - 1/3 b + 1/2 c)
= 1/2 a + 2/3 b - 3/2 c - a + 1/3 b - 1/2 c
= (1/2 - 1)a + (2/3 + 1/3)b + (-3/2 - 1/2)c
= -1/2 a + b - 2c (ଉତ୍ତର)
Q6. ଗୁଣଫଳ ସ୍ଥିର କରି ଗୁଣଫଳର ଘାତ ନିରୂପଣ କର।
(i) 2x² - 3x + 5 ଓ x² + 5x + 2
ସମାଧାନ:
ଗୁଣଫଳ = (2x² - 3x + 5)(x² + 5x + 2)
= 2x²(x² + 5x + 2) - 3x(x² + 5x + 2) + 5(x² + 5x + 2)
= 2x⁴ + 10x³ + 4x² - 3x³ - 15x² - 6x + 5x² + 25x + 10
= 2x⁴ + 7x³ - 6x² + 19x + 10
ଗୁଣଫଳର ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଘାତାଙ୍କ 4 ଅଟେ।
ଉତ୍ତର: ଗୁଣଫଳ = 2x⁴ + 7x³ - 6x² + 19x + 10, ଘାତ = 4
(ii) y³ - 5y² + 11y ଓ y⁵ - 20y⁴ + 17
ସମାଧାନ:
ଗୁଣଫଳ = (y³ - 5y² + 11y)(y⁵ - 20y⁴ + 17)
= y³(y⁵ - 20y⁴ + 17) - 5y²(y⁵ - 20y⁴ + 17) + 11y(y⁵ - 20y⁴ + 17)
= y⁸ - 20y⁷ + 17y³ - 5y⁷ + 100y⁶ - 85y² + 11y⁶ - 220y⁵ + 187y
= y⁸ - 25y⁷ + 111y⁶ - 220y⁵ + 17y³ - 85y² + 187y
ଉତ୍ତର: ଗୁଣଫଳ = y⁸ - 25y⁷ + 111y⁶ - 220y⁵ + 17y³ - 85y² + 187y, ଘାତ = 8
(iii) (2x + 3) ଓ 5x² - 7x + 8
ସମାଧାନ:
ଗୁଣଫଳ = (2x + 3)(5x² - 7x + 8)
= 2x(5x² - 7x + 8) + 3(5x² - 7x + 8)
= 10x³ - 14x² + 16x + 15x² - 21x + 24
= 10x³ + x² - 5x + 24
ଉତ୍ତର: ଗୁଣଫଳ = 10x³ + x² - 5x + 24, ଘାତ = 3
(iv) (x - 1), (7x - 9) ଓ 3x³ - 14x² + 8
ସମାଧାନ:
ପ୍ରଥମେ ଦୁଇଟି ପଦର ଗୁଣନ କରିବା:
(x - 1)(7x - 9) = 7x² - 9x - 7x + 9 = 7x² - 16x + 9
ବର୍ତ୍ତମାନ: (7x² - 16x + 9)(3x³ - 14x² + 8)
= 7x²(3x³ - 14x² + 8) - 16x(3x³ - 14x² + 8) + 9(3x³ - 14x² + 8)
= 21x⁵ - 98x⁴ + 56x² - 48x⁴ + 224x³ - 128x + 27x³ - 126x² + 72
= 21x⁵ - 146x⁴ + 251x³ - 70x² - 128x + 72
ଉତ୍ତର: ଗୁଣଫଳ = 21x⁵ - 146x⁴ + 251x³ - 70x² - 128x + 72, ଘାତ = 5
(v) (x² + y²) ଓ (x⁴ - x²y² + y⁴)
ସମାଧାନ:
ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ: (a + b)(a² - ab + b²) = a³ + b³
ଏଠାରେ a = x² ଏବଂ b = y²
ଗୁଣଫଳ = (x²)³ + (y²)³ = x⁶ + y⁶
ଉତ୍ତର: ଗୁଣଫଳ = x⁶ + y⁶, ଘାତ = 6
(vi) (2x + 3y), (2x - 3y) ଓ (4x² + 9y²)
ସମାଧାନ:
ପ୍ରଥମେ: (2x + 3y)(2x - 3y) = (2x)² - (3y)² = 4x² - 9y²
ବର୍ତ୍ତମାନ: (4x² - 9y²)(4x² + 9y²) = (4x²)² - (9y²)² = 16x⁴ - 81y⁴
ଉତ୍ତର: ଗୁଣଫଳ = 16x⁴ - 81y⁴, ଘାତ = 4
Q7. ଭାଗଫଳ ଓ ଭାଗଶେଷ ନିରୂପଣ କର।
(i) (x³ - 1) ÷ (x - 1)
ସମାଧାନ:
x³ - 1 = (x - 1)(x² + x + 1)
ଭାଗଫଳ = x² + x + 1, ଭାଗଶେଷ = 0 (ଉତ୍ତର)
(ii) (-81y² + 64) ÷ (8 - 9y)
ସମାଧାନ:
-81y² + 64 = 64 - 81y² = (8)² - (9y)² = (8 - 9y)(8 + 9y)
ଭାଗଫଳ = 8 + 9y, ଭାଗଶେଷ = 0 (ଉତ୍ତର)
(iii) (2x³ - 7x² - x + 2) ÷ (x² - 3x - 2)
ସମାଧାନ:
ଦୀର୍ଘ ହରଣ ପ୍ରକ୍ରିୟା:
2x - 1
______________________
x²-3x-2 | 2x³ - 7x² - x + 2
| 2x³ - 6x² - 4x
|________________
| -x² + 3x + 2
| -x² + 3x + 2
|________________
| 0
ଉତ୍ତର: ଭାଗଫଳ = 2x - 1, ଭାଗଶେଷ = 0
(iv) (x³ - 14x² + 37x - 26) ÷ (x - 2)
ସମାଧାନ:
ଦୀର୍ଘ ହରଣ ପ୍ରକ୍ରିୟା:
x² - 12x + 13
______________________
x - 2 | x³ - 14x² + 37x - 26
| x³ - 2x²
|__________________
| -12x² + 37x - 26
| -12x² + 24x
|__________________
| 13x - 26
| 13x - 26
|__________________
| 0
ଉତ୍ତର: ଭାଗଫଳ = x² - 12x + 13, ଭାଗଶେଷ = 0
(v) (t³ - 6t² + 11t - 6) ÷ (t² - 5t + 6)
ସମାଧାନ:
ଦୀର୍ଘ ହରଣ ପ୍ରକ୍ରିୟା:
t - 1
______________________
t²-5t+6 | t³ - 6t² + 11t - 6
| t³ - 5t² + 6t
|__________________
| -t² + 5t - 6
| -t² + 5t - 6
|__________________
| 0
ଉତ୍ତର: ଭାଗଫଳ = t - 1, ଭାଗଶେଷ = 0
(vi) (8a² - 34ab + 21b²) ÷ (4a + 3b)
ସମାଧାନ:
ଦୀର୍ଘ ହରଣ ପ୍ରକ୍ରିୟା:
2a - 10b
______________________
4a + 3b | 8a² - 34ab + 21b²
| 8a² + 6ab
|__________________
| -40ab + 21b²
| -40ab - 30b²
|__________________
| 51b²
ଉତ୍ତର: ଭାଗଫଳ = 2a - 10b, ଭାଗଶେଷ = 51b²
(vii) (16xy² - 21x²y + 9x³ - 4y³) ÷ (x - y)
ସମାଧାନ:
ଭାଜ୍ୟକୁ x ର ଅଧୋକ୍ରମ ଘାତ ଅନୁଯାୟୀ ସଜାଇଲେ: 9x³ - 21x²y + 16xy² - 4y³
9x² - 12xy + 4y²
_________________________________
x - y | 9x³ - 21x²y + 16xy² - 4y³
| 9x³ - 9x²y
|_____________________________
| -12x²y + 16xy² - 4y³
| -12x²y + 12xy²
|_____________________________
| 4xy² - 4y³
| 4xy² - 4y³
|_____________________________
| 0
ଉତ୍ତର: ଭାଗଫଳ = 9x² - 12xy + 4y², ଭାଗଶେଷ = 0
(viii) (x⁴ + x²y² + y⁴) ÷ (x² - xy + y²)
ସମାଧାନ:
ଆମେ ଜାଣୁ, x⁴ + x²y² + y⁴ = (x² - xy + y²)(x² + xy + y²)
ତେଣୁ, (x⁴ + x²y² + y⁴) ÷ (x² - xy + y²) = x² + xy + y²
ଉତ୍ତର: ଭାଗଫଳ = x² + xy + y², ଭାଗଶେଷ = 0
Q8. ଯଦି p(x) = 3x³ - 6x² + 2 ଏବଂ q(x) = 2x² - 5x + 1 ତେବେ ମାନ ସ୍ଥିର କର:
(i) 2p(x) - 5q(x)
ସମାଧାନ:
2p(x) = 2(3x³ - 6x² + 2) = 6x³ - 12x² + 4
5q(x) = 5(2x² - 5x + 1) = 10x² - 25x + 5
2p(x) - 5q(x) = (6x³ - 12x² + 4) - (10x² - 25x + 5)
= 6x³ - 12x² + 4 - 10x² + 25x - 5
= 6x³ - 22x² + 25x - 1 (ଉତ୍ତର)
(ii) 4p(x) + 3q(x)
ସମାଧାନ:
4p(x) = 4(3x³ - 6x² + 2) = 12x³ - 24x² + 8
3q(x) = 3(2x² - 5x + 1) = 6x² - 15x + 3
4p(x) + 3q(x) = (12x³ - 24x² + 8) + (6x² - 15x + 3)
= 12x³ - 18x² - 15x + 11 (ଉତ୍ତର)
───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
ଅନୁଶୀଳନୀ - ୩ (b)
───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
Q1. ଭାଗକ୍ରିୟା ସମ୍ପାଦନ ନକରି ପ୍ରତ୍ୟେକ ସ୍ଥଳରେ ଭାଗଶେଷ କେତେ ହେବ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
(i) ଭାଜ୍ୟ x³ + x² + x + 1 ଏବଂ ଭାଜକ x - 1
ସମାଧାନ:
ଭାଗଶେଷ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁଯାୟୀ, p(x) କୁ (x - 1) ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଶେଷ p(1) ହେବ।
p(1) = (1)³ + (1)² + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
ଉତ୍ତର: ଭାଗଶେଷ = 4
(ii) ଭାଜ୍ୟ x³ - x² + x - 1 ଏବଂ ଭାଜକ x + 1
ସମାଧାନ:
ଭାଜକ x + 1 = 0 ⇒ x = -1
ଭାଗଶେଷ = p(-1) = (-1)³ - (-1)² + (-1) - 1 = -1 - 1 - 1 - 1 = -4
ଉତ୍ତର: ଭାଗଶେଷ = -4
(iii) ଭାଜ୍ୟ 2x³ - 3x + 4 ଏବଂ ଭାଜକ 2x - 1
ସମାଧାନ:
ଭାଜକ 2x - 1 = 0 ⇒ x = 1/2
ଭାଗଶେଷ = p(1/2) = 2(1/2)³ - 3(1/2) + 4 = 2(1/8) - 3/2 + 4 = 1/4 - 6/4 + 16/4 = 11/4
ଉତ୍ତର: ଭାଗଶେଷ = 11/4
(iv) ଭାଜ୍ୟ t⁴ - t³ + t² - t + 1 ଏବଂ ଭାଜକ t + 2
ସମାଧାନ:
ଭାଜକ t + 2 = 0 ⇒ t = -2
ଭାଗଶେଷ = p(-2) = (-2)⁴ - (-2)³ + (-2)² - (-2) + 1
= 16 - (-8) + 4 + 2 + 1 = 16 + 8 + 7 = 31
ଉତ୍ତର: ଭାଗଶେଷ = 31
Q2. (a) p(x) = 8x³ - 2x² + 5x - 6 ହେଲେ, ନିମ୍ନଲିଖିତ ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର:
(i) p(0) = 8(0)³ - 2(0)² + 5(0) - 6 = -6
(ii) p(1) = 8(1)³ - 2(1)² + 5(1) - 6 = 8 - 2 + 5 - 6 = 5
(iii) p(-1) = 8(-1)³ - 2(-1)² + 5(-1) - 6 = -8 - 2 - 5 - 6 = -21
(iv) p(2) = 8(2)³ - 2(2)² + 5(2) - 6 = 64 - 8 + 10 - 6 = 60
(v) p(1/2) = 8(1/2)³ - 2(1/2)² + 5(1/2) - 6 = 8(1/8) - 2(1/4) + 5/2 - 6
= 1 - 1/2 + 5/2 - 6 = 1 + 2 - 6 = -3
Q2. (b) ନିମ୍ନଲିଖିତ ପଲିନୋମିଆଲ୍ ମାନଙ୍କର -and-#x27;ଜିରୋ-and-#x27; ନିରୂପଣ କର।
(i) p(x) = 3x² + 4x + 1
ସମାଧାନ:
ଜିରୋ ପାଇଁ p(x) = 0 ⇒ 3x² + 4x + 1 = 0
⇒ 3x² + 3x + x + 1 = 0
⇒ 3x(x + 1) + 1(x + 1) = 0
⇒ (3x + 1)(x + 1) = 0
⇒ 3x + 1 = 0 କିମ୍ବା x + 1 = 0
⇒ x = -1/3 କିମ୍ବା x = -1
ଉତ୍ତର: ଜିରୋଗୁଡ଼ିକ ହେଲେ -1/3 ଏବଂ -1
(ii) p(x) = cx - d (c ≠ 0)
ସମାଧାନ:
cx - d = 0 ⇒ cx = d ⇒ x = d/c
ଉତ୍ତର: ଜିରୋ = d/c
(iii) p(z) = 4z² - 1
ସମାଧାନ:
4z² - 1 = 0 ⇒ (2z)² - 1² = 0 ⇒ (2z - 1)(2z + 1) = 0
⇒ z = 1/2 କିମ୍ବା z = -1/2
ଉତ୍ତର: ଜିରୋଗୁଡ଼ିକ ହେଲେ 1/2 ଏବଂ -1/2
(iv) p(y) = (y - 1)(y + 2)
ସମାଧାନ:
(y - 1)(y + 2) = 0 ⇒ y = 1 କିମ୍ବା y = -2
ଉତ୍ତର: ଜିରୋଗୁଡ଼ିକ ହେଲେ 1 ଏବଂ -2
Q3. ପଲିନୋମିଆଲ୍ p(x) ର ଗୋଟିଏ ଉତ୍ପାଦକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ଯଦି,
(i) p(-3) = 0 ⇒ ଉତ୍ପାଦକ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁଯାୟୀ, (x - (-3)) = (x + 3) ଏକ ଉତ୍ପାଦକ।
(ii) p(2) = 0 ⇒ (x - 2) ଏକ ଉତ୍ପାଦକ।
(iii) p(1/2) = 0 ⇒ (x - 1/2) କିମ୍ବା (2x - 1) ଏକ ଉତ୍ପାଦକ।
(iv) p(3/2) = 0 ⇒ (x - 3/2) କିମ୍ବା (2x - 3) ଏକ ଉତ୍ପାଦକ।
Q4. ନିମ୍ନଲିଖିତ ପଲିନୋମିଆଲ୍ ମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁ କେଉଁ ପଲିନୋମିଆଲ୍ର x + 1 ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ଅଟେ?
ସମାଧାନ:
ଉତ୍ପାଦକ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁଯାୟୀ, ଯଦି p(-1) = 0 ହୁଏ, ତେବେ x + 1 ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ହେବ।
(i) x³ + x² + x + 1
p(-1) = (-1)³ + (-1)² + (-1) + 1 = -1 + 1 - 1 + 1 = 0
ତେଣୁ, x + 1 ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ଅଟେ।
(ii) x⁴ + x³ + x² + x + 1
p(-1) = (-1)⁴ + (-1)³ + (-1)² + (-1) + 1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 = 1 ≠ 0
ତେଣୁ, x + 1 ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ନୁହେଁ।
(iii) x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1
p(-1) = (-1)⁴ + 3(-1)³ + 3(-1)² + (-1) + 1 = 1 - 3 + 3 - 1 + 1 = 1 ≠ 0
ତେଣୁ, x + 1 ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ନୁହେଁ।
(iv) x³ - x² - (2 + √2)x - √2
p(-1) = (-1)³ - (-1)² - (2 + √2)(-1) - √2
= -1 - 1 + 2 + √2 - √2 = 0
ତେଣୁ, x + 1 ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ଅଟେ।
Q5. କେଉଁ କେଉଁ ପଲିନୋମିଆଲ୍ p(x) ର ପଲିନୋମିଆଲ୍ g(x) ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ହେବ?
(i) p(x) = 2x³ + x² - 2x - 1, g(x) = x + 1
ସମାଧାନ:
g(x) = 0 ⇒ x = -1
p(-1) = 2(-1)³ + (-1)² - 2(-1) - 1 = -2 + 1 + 2 - 1 = 0
ତେଣୁ, g(x) ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ଅଟେ।
(ii) p(x) = x³ + 3x² + 3x + 1, g(x) = x + 2
ସମାଧାନ:
g(x) = 0 ⇒ x = -2
p(-2) = (-2)³ + 3(-2)² + 3(-2) + 1 = -8 + 12 - 6 + 1 = -1 ≠ 0
ତେଣୁ, g(x) ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ନୁହେଁ।
(iii) p(x) = x³ - 4x² + x + 6, g(x) = x - 3
ସମାଧାନ:
g(x) = 0 ⇒ x = 3
p(3) = (3)³ - 4(3)² + 3 + 6 = 27 - 36 + 3 + 6 = 0
ତେଣୁ, g(x) ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ଅଟେ।
Q6. ପଲିନୋମିଆଲ୍ p(x) ର x - 1 ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ହେଲେ k ର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
ସମାଧାନ:
ଯଦି x - 1 ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ହୁଏ, ତେବେ p(1) = 0 ହେବ।
(i) p(x) = x² + x + k
p(1) = 1² + 1 + k = 0 ⇒ 2 + k = 0 ⇒ k = -2 (ଉତ୍ତର)
(ii) p(x) = 2x² + kx + √2
p(1) = 2(1)² + k(1) + √2 = 0 ⇒ 2 + k + √2 = 0 ⇒ k = -(2 + √2) (ଉତ୍ତର)
(iii) p(x) = kx² - √2 x + 1
p(1) = k(1)² - √2(1) + 1 = 0 ⇒ k - √2 + 1 = 0 ⇒ k = √2 - 1 (ଉତ୍ତର)
(iv) p(x) = kx² + 3x + k
p(1) = k(1)² + 3(1) + k = 0 ⇒ 2k + 3 = 0 ⇒ k = -3/2 (ଉତ୍ତର)
Q7. ଭାଗଶେଷ ଉପପାଦ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗରେ ଭାଗଶେଷ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
(i) (x⁴ - 1) ÷ (x + 1)
ସମାଧାନ:
ଭାଜକ x + 1 = 0 ⇒ x = -1
ଭାଗଶେଷ = p(-1) = (-1)⁴ - 1 = 1 - 1 = 0 (ଉତ୍ତର)
(ii) (x³ - 3x + 7) ÷ (x - 2)
ସମାଧାନ:
ଭାଜକ x - 2 = 0 ⇒ x = 2
ଭାଗଶେଷ = p(2) = (2)³ - 3(2) + 7 = 8 - 6 + 7 = 9 (ଉତ୍ତର)
(iii) (x² - 3x + 2) ÷ (x + 3)
ସମାଧାନ:
ଭାଜକ x + 3 = 0 ⇒ x = -3
ଭାଗଶେଷ = p(-3) = (-3)² - 3(-3) + 2 = 9 + 9 + 2 = 20 (ଉତ୍ତର)
(iv) (2x² - x - 1) ÷ (2x - 1)
ସମାଧାନ:
ଭାଜକ 2x - 1 = 0 ⇒ x = 1/2
ଭାଗଶେଷ = p(1/2) = 2(1/2)² - (1/2) - 1 = 2(1/4) - 1/2 - 1 = 1/2 - 1/2 - 1 = -1 (ଉତ୍ତର)
Q8. ଉତ୍ପାଦକ ଉପପାଦ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗରେ ନିମ୍ନସ୍ଥ ପଲିନୋମିଆଲ୍ ଗୁଡ଼ିକୁ ଉତ୍ପାଦକରେ ବିଶ୍ଳେଷଣ କର।
(i) x² - 7x + 12
ସମାଧାନ:
ଧ୍ରୁବକ ପଦ 12 ର ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକ ହେଲେ: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12
p(3) = 3² - 7(3) + 12 = 9 - 21 + 12 = 0 ⇒ (x - 3) ଏକ ଉତ୍ପାଦକ।
p(4) = 4² - 7(4) + 12 = 16 - 28 + 12 = 0 ⇒ (x - 4) ଏକ ଉତ୍ପାଦକ।
ତେଣୁ, x² - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4) (ଉତ୍ତର)
(ii) x² - 3x - 4
ସମାଧାନ:
p(-1) = (-1)² - 3(-1) - 4 = 1 + 3 - 4 = 0 ⇒ (x + 1) ଏକ ଉତ୍ପାଦକ।
p(4) = 4² - 3(4) - 4 = 16 - 12 - 4 = 0 ⇒ (x - 4) ଏକ ଉତ୍ପାଦକ।
ତେଣୁ, x² - 3x - 4 = (x + 1)(x - 4) (ଉତ୍ତର)
(iii) x³ - 2x² - x + 2
ସମାଧାନ:
p(1) = 1³ - 2(1)² - 1 + 2 = 1 - 2 - 1 + 2 = 0 ⇒ (x - 1) ଏକ ଉତ୍ପାଦକ।
p(-1) = (-1)³ - 2(-1)² - (-1) + 2 = -1 - 2 + 1 + 2 = 0 ⇒ (x + 1) ଏକ ଉତ୍ପାଦକ।
p(2) = 2³ - 2(2)² - 2 + 2 = 8 - 8 - 2 + 2 = 0 ⇒ (x - 2) ଏକ ଉତ୍ପାଦକ।
ତେଣୁ, x³ - 2x² - x + 2 = (x - 1)(x + 1)(x - 2) (ଉତ୍ତର)
(iv) y³ + y² - 2y - 2
ସମାଧାନ:
y³ + y² - 2y - 2 = y²(y + 1) - 2(y + 1) = (y + 1)(y² - 2)
= (y + 1)(y - √2)(y + √2) (ଉତ୍ତର)
Q9. ଯଦି x² - 1, ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e ପଲିନୋମିଆଲ୍ର ଏକ ଗୁଣନୀୟକ ହୁଏ, ତେବେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ a + c + e = b + d = 0।
ସମାଧାନ:
ମନେକର p(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e
ଯଦି x² - 1 = (x - 1)(x + 1) ଏକ ଗୁଣନୀୟକ ହୁଏ, ତେବେ p(1) = 0 ଏବଂ p(-1) = 0 ହେବ।
p(1) = a(1)⁴ + b(1)³ + c(1)² + d(1) + e = 0
⇒ a + b + c + d + e = 0 --- (ସମୀକରଣ ୧)
p(-1) = a(-1)⁴ + b(-1)³ + c(-1)² + d(-1) + e = 0
⇒ a - b + c - d + e = 0 --- (ସମୀକରଣ ୨)
ସମୀକରଣ (୧) ଓ (୨) କୁ ଯୋଗ କଲେ:
(a + b + c + d + e) + (a - b + c - d + e) = 0
⇒ 2(a + c + e) = 0
⇒ a + c + e = 0
ସମୀକରଣ (୧) ରୁ (୨) କୁ ବିୟୋଗ କଲେ:
(a + b + c + d + e) - (a - b + c - d + e) = 0
⇒ 2(b + d) = 0
⇒ b + d = 0
ତେଣୁ, a + c + e = b + d = 0 (ପ୍ରମାଣିତ)
Q10. ଯଦି (x - 1), x² + mx + 1 ପଲିନୋମିଆଲ୍ର ଉତ୍ପାଦକ ହୁଏ, ତେବେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ (x - m), x³ + 3x² + 3x + 2 ପଲିନୋମିଆଲ୍ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ହେବ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର f(x) = x² + mx + 1
ଯେହେତୁ (x - 1) ଏକ ଉତ୍ପାଦକ, ତେଣୁ f(1) = 0
⇒ 1² + m(1) + 1 = 0 ⇒ 2 + m = 0 ⇒ m = -2
ବର୍ତ୍ତମାନ ଆମକୁ ପ୍ରମାଣ କରିବାକୁ ହେବ ଯେ (x - m) = (x - (-2)) = (x + 2), g(x) = x³ + 3x² + 3x + 2 ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ।
g(-2) = (-2)³ + 3(-2)² + 3(-2) + 2
= -8 + 3(4) - 6 + 2
= -8 + 12 - 6 + 2 = 0
ଯେହେତୁ g(-2) = 0, ତେଣୁ ଉତ୍ପାଦକ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁଯାୟୀ (x + 2) ବା (x - m) ହେଉଛି g(x) ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ। (ପ୍ରମାଣିତ)
Q11. ଦର୍ଶାଅ ଯେ, x² + 2x + 3 ପଲିନୋମିଆଲ୍ର କୌଣସି ଜିରୋ ନାହିଁ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର p(x) = x² + 2x + 3
p(x) କୁ ବର୍ଗାତ୍ମକ ରୂପରେ ପ୍ରକାଶ କଲେ:
p(x) = x² + 2x + 1 + 2 = (x + 1)² + 2
ଯେକୌଣସି ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା x ପାଇଁ, (x + 1)² ≥ 0
ତେଣୁ, (x + 1)² + 2 ≥ 2 -and-gt; 0
ଯେହେତୁ p(x) ର ମାନ କୌଣସି ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ ଶୂନ୍ୟ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ, ତେଣୁ ଏହାର କୌଣସି ବାସ୍ତବ ଜିରୋ ନାହିଁ। (ପ୍ରମାଣିତ)
Q12. ଦର୍ଶାଅ ଯେ, 1, -1 ଓ 3 ପଲିନୋମିଆଲ୍ x³ - 3x² - x + 3 ର ଗୋଟିଏ ଲେଖାଏଁ ଜିରୋ ଅଟନ୍ତି।
ସମାଧାନ:
ମନେକର p(x) = x³ - 3x² - x + 3
ଯେହେତୁ p(1) = p(-1) = p(3) = 0, ତେଣୁ 1, -1 ଓ 3 ହେଉଛନ୍ତି p(x) ର ଜିରୋ। (ପ୍ରମାଣିତ)
Q13. -and-#x27;b-and-#x27; ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ x³ - 3x² + bx - 6 ପଲିନୋମିଆଲ୍ (x - 3) ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ?
ସମାଧାନ:
ମନେକର p(x) = x³ - 3x² + bx - 6
ଯଦି p(x) ପଲିନୋମିଆଲ୍ (x - 3) ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହୁଏ, ତେବେ ଭାଗଶେଷ p(3) = 0 ହେବ।
p(3) = 3³ - 3(3)² + b(3) - 6 = 0
⇒ 27 - 27 + 3b - 6 = 0
⇒ 3b - 6 = 0 ⇒ 3b = 6 ⇒ b = 2
ଉତ୍ତର: b = 2
Q14. ଯଦି x² - bx + c = (x + p)(x - q) ହୁଏ, ତେବେ x² - bxy + cy² ର ଉତ୍ପାଦକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
ସମାଧାନ:
ଦିଆଯାଇଛି: x² - bx + c = (x + p)(x - q) = x² + (p - q)x - pq
ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵର ସହଗଗୁଡ଼ିକୁ ତୁଳନା କଲେ:
-b = p - q ⇒ b = q - p
c = -pq
ବର୍ତ୍ତମାନ, x² - bxy + cy² ରେ b ଏବଂ c ର ମାନ ପ୍ରତିସ୍ଥାପନ କଲେ:
x² - (q - p)xy + (-pq)y²
= x² - qxy + pxy - pqy²
= x(x - qy) + py(x - qy)
= (x + py)(x - qy)
ଉତ୍ତର: (x + py)(x - qy)
───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
ଅନୁଶୀଳନୀ - ୩ (c)
───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
Q1. ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଠିକ୍ ଉତ୍ତରଟିକୁ ବାଛି ଲେଖ।
(i) x² - 3x + 2 ର ଉତ୍ପାଦକ ଦ୍ଵୟ:
ସମାଧାନ: x² - 2x - x + 2 = x(x - 2) - 1(x - 2) = (x - 2)(x - 1)
ଉତ୍ତର: (c) (x - 2) ଓ (x - 1)
(ii) ଏକ ଦ୍ଵିଘାତୀ ପଲିନୋମିଆଲ୍ର ଉତ୍ପାଦକ ଦ୍ଵୟ (x - 1) ଓ (x - 3) ହେଲେ ପଲିନୋମିଆଲ୍ଟି:
ସମାଧାନ: (x - 1)(x - 3) = x² - 3x - x + 3 = x² - 4x + 3
ଉତ୍ତର: (b) x² - 4x + 3
(iii) x⁴ - y⁴ ର ଠିକ୍ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ ବାଛ:
ସମାଧାନ: (x²)² - (y²)² = (x² + y²)(x² - y²) = (x² + y²)(x + y)(x - y)
ଉତ୍ତର: (a) (x² + y²)(x + y)(x - y)
(iv) 8a³ - b³ - 12a²b + 6ab² ର ଉତ୍ପାଦକ ଗୁଡ଼ିକ:
ସମାଧାନ: (2a)³ - b³ - 3(2a)²b + 3(2a)b² = (2a - b)³
ଉତ୍ତର: (d) (2a - b), (2a - b), (2a - b)
(v) 625 + 25x⁴ + x⁸ ର ଉତ୍ପାଦକ ଗୁଡ଼ିକ ନିମ୍ନସ୍ଥ କେଉଁଟିର ଗୁଣଫଳ ସହ ସମାନ?
ସମାଧାନ: (x⁴)² + 25x⁴ + 625 = (x⁴ + 25)² - 25x⁴ = (x⁴ + 25)² - (5x²)²
= (x⁴ + 5x² + 25)(x⁴ - 5x² + 25)
ଉତ୍ତର: (a) (25 + 5x² + x⁴), (25 - 5x² + x⁴)
(vi) 1 - a³ + b³ + 3ab ର ଗୋଟିଏ ଉତ୍ପାଦକ:
ସମାଧାନ: 1³ + (-a)³ + b³ - 3(1)(-a)(b) = (1 - a + b)(1 + a² + b² + a + ab - b)
ଉତ୍ତର: (a) (1 - a + b)
(vii) (2x - 3y)³ + (3y - 4z)³ + (4z - 2x)³ ର ଉତ୍ପାଦକ ଗୁଡ଼ିକ ହେଲେ:
ସମାଧାନ: ଯେହେତୁ (2x - 3y) + (3y - 4z) + (4z - 2x) = 0, ତେଣୁ a³ + b³ + c³ = 3abc
= 3(2x - 3y)(3y - 4z)(4z - 2x) = 6(2x - 3y)(3y - 4z)(2z - x)
ଉତ୍ତର: (a) 6(2x - 3y)(3y - 4z)(2z - x)
(viii) (28)³ + (-15)³ + (-13)³ ର ସରଳୀକୃତ ମାନ:
ସମାଧାନ: 28 + (-15) + (-13) = 0 ⇒ ମାନ = 3(28)(-15)(-13) = 16380
ଉତ୍ତର: (b) 16380
(ix) (a - b)³ + (b - c)³ + (c - a)³ ର ମାନ:
ସମାଧାନ: (a - b) + (b - c) + (c - a) = 0 ⇒ ମାନ = 3(a - b)(b - c)(c - a)
ଉତ୍ତର: (c) 3(a - b)(b - c)(c - a)
(x) 2x² - x - 1 ର ଗୋଟିଏ ଉତ୍ପାଦକ:
ସମାଧାନ: 2x² - 2x + x - 1 = 2x(x - 1) + 1(x - 1) = (2x + 1)(x - 1)
ଉତ୍ତର: (c) x - 1
Q2. ଉତ୍ପାଦକରେ ବିଶ୍ଳେଷଣ କର।
(i) 2x² - x - 1
= 2x² - 2x + x - 1 = 2x(x - 1) + 1(x - 1) = (2x + 1)(x - 1) (ଉତ୍ତର)
(ii) 2x² - 3x + 1
= 2x² - 2x - x + 1 = 2x(x - 1) - 1(x - 1) = (2x - 1)(x - 1) (ଉତ୍ତର)
(iii) 5x² - x - 4
= 5x² - 5x + 4x - 4 = 5x(x - 1) + 4(x - 1) = (5x + 4)(x - 1) (ଉତ୍ତର)
(iv) 4x² - 5x - 6
= 4x² - 8x + 3x - 6 = 4x(x - 2) + 3(x - 2) = (4x + 3)(x - 2) (ଉତ୍ତର)
(v) 3x² + 11x + 6
= 3x² + 9x + 2x + 6 = 3x(x + 3) + 2(x + 3) = (3x + 2)(x + 3) (ଉତ୍ତର)
(vi) 7x² + x - 6
= 7x² + 7x - 6x - 6 = 7x(x + 1) - 6(x + 1) = (7x - 6)(x + 1) (ଉତ୍ତର)
(vii) 2x² + 5x - 7
= 2x² - 2x + 7x - 7 = 2x(x - 1) + 7(x - 1) = (2x + 7)(x - 1) (ଉତ୍ତର)
(viii) 4x² - 5x + 1
= 4x² - 4x - x + 1 = 4x(x - 1) - 1(x - 1) = (4x - 1)(x - 1) (ଉତ୍ତର)
(ix) 4x² - 3x - 7
= 4x² + 4x - 7x - 7 = 4x(x + 1) - 7(x + 1) = (4x - 7)(x + 1) (ଉତ୍ତର)
Q3. ଉତ୍ପାଦକରେ ବିଶ୍ଳେଷଣ କର।
(i) 25a⁴ - 16b²
= (5a²)² - (4b)² = (5a² - 4b)(5a² + 4b) (ଉତ୍ତର)
(ii) 9 - 64p²q²
= 3² - (8pq)² = (3 - 8pq)(3 + 8pq) (ଉତ୍ତର)
(iii) 8x³ + 27y³
= (2x)³ + (3y)³ = (2x + 3y)((2x)² - (2x)(3y) + (3y)²)
= (2x + 3y)(4x² - 6xy + 9y²) (ଉତ୍ତର)
(iv) 8x³ - 27y³
= (2x)³ - (3y)³ = (2x - 3y)(4x² + 6xy + 9y²) (ଉତ୍ତର)
(v) (a + b)² - 9
= (a + b)² - 3² = (a + b - 3)(a + b + 3) (ଉତ୍ତର)
(vi) (2a + 5)² - 16
= (2a + 5)² - 4² = (2a + 5 - 4)(2a + 5 + 4) = (2a + 1)(2a + 9) (ଉତ୍ତର)
(vii) (x + 2y)² - (x - y)²
= ((x + 2y) - (x - y))((x + 2y) + (x - y))
= (3y)(2x + y) (ଉତ୍ତର)
(viii) 4(a + 2p)² - 9(2a - p)²
= (2(a + 2p))² - (3(2a - p))²
= (2a + 4p - 6a + 3p)(2a + 4p + 6a - 3p)
= (7p - 4a)(8a + p) (ଉତ୍ତର)
(ix) 75(2a - b + 1)² - 12(a + b)²
= 3[25(2a - b + 1)² - 4(a + b)²]
= 3[(5(2a - b + 1))² - (2(a + b))²]
= 3(10a - 5b + 5 - 2a - 2b)(10a - 5b + 5 + 2a + 2b)
= 3(8a - 7b + 5)(12a - 3b + 5) (ଉତ୍ତର)
(x) (a + b)³ - 8c³
= (a + b)³ - (2c)³ = (a + b - 2c)((a + b)² + (a + b)(2c) + (2c)²)
= (a + b - 2c)(a² + 2ab + b² + 2ac + 2bc + 4c²) (ଉତ୍ତର)
(xi) p⁴ - 27pq⁶
= p(p³ - (3q²)³) = p(p - 3q²)(p² + 3pq² + 9q⁴) (ଉତ୍ତର)
(xii) 1 - (a + 2)³
= (1 - (a + 2))(1² + 1(a + 2) + (a + 2)²)
= (-a - 1)(1 + a + 2 + a² + 4a + 4)
= -(a + 1)(a² + 5a + 7) (ଉତ୍ତର)
(xiii) 8 - (2x - 3)³
= (2 - (2x - 3))(2² + 2(2x - 3) + (2x - 3)²)
= (5 - 2x)(4 + 4x - 6 + 4x² - 12x + 9)
= (5 - 2x)(4x² - 8x + 7) (ଉତ୍ତର)
(xiv) 320p⁶q - 5p²q⁷
= 5p²q(64p⁴ - q⁶) = 5p²q((8p²)² - (q³)²)
= 5p²q(8p² - q³)(8p² + q³) (ଉତ୍ତର)
(xv) 1 + (a + 2)³
= (1 + a + 2)(1 - (a + 2) + (a + 2)²)
= (a + 3)(1 - a - 2 + a² + 4a + 4)
= (a + 3)(a² + 3a + 3) (ଉତ୍ତର)
(xvi) 8 + (2x - 3)³
= (2 + 2x - 3)(4 - 2(2x - 3) + (2x - 3)²)
= (2x - 1)(4 - 4x + 6 + 4x² - 12x + 9)
= (2x - 1)(4x² - 16x + 19) (ଉତ୍ତର)
(xvii) a³ + 6a²b + 12ab² + 8b³
= a³ + 3(a)²(2b) + 3a(2b)² + (2b)³ = (a + 2b)³ (ଉତ୍ତର)
(xviii) a³ + 9a² + 27a + 27
= a³ + 3(a)²(3) + 3a(3)² + 3³ = (a + 3)³ (ଉତ୍ତର)
(xix) 8 - 36p + 54p² - 27p³
= 2³ - 3(2)²(3p) + 3(2)(3p)² - (3p)³ = (2 - 3p)³ (ଉତ୍ତର)
(xx) (b - q)³ - (c - q)³ - 3(b - c)(b - q)(c - q)
ସମାଧାନ:
ମନେକର x = b - q ଏବଂ y = c - q
ତେଣୁ, x - y = (b - q) - (c - q) = b - c
ପ୍ରଦତ୍ତ ରାଶି = x³ - y³ - 3(x - y)xy = (x - y)³
= (b - c)³ (ଉତ୍ତର)
Q4. ଉତ୍ପାଦକରେ ବିଶ୍ଳେଷଣ କର।
(i) a⁴ + a² + 1
= (a⁴ + 2a² + 1) - a² = (a² + 1)² - a²
= (a² + a + 1)(a² - a + 1) (ଉତ୍ତର)
(ii) a⁴b⁴ + a²b² + 1
= (a²b² + 1)² - a²b² = (a²b² + ab + 1)(a²b² - ab + 1) (ଉତ୍ତର)
(iii) 16a⁴ + 36a²b² + 81b⁴
= (4a²)² + 72a²b² + (9b²)² - 36a²b²
= (4a² + 9b²)² - (6ab)²
= (4a² + 6ab + 9b²)(4a² - 6ab + 9b²) (ଉତ୍ତର)
(iv) a⁸ + a⁴ + 1
= (a⁴ + 1)² - a⁴ = (a⁴ + a² + 1)(a⁴ - a² + 1)
= (a² + a + 1)(a² - a + 1)(a⁴ - a² + 1) (ଉତ୍ତର)
(v) x⁴ + 4
= (x⁴ + 4x² + 4) - 4x² = (x² + 2)² - (2x)²
= (x² + 2x + 2)(x² - 2x + 2) (ଉତ୍ତର)
(vi) 2a⁴ + 8b⁴
= 2(a⁴ + 4b⁴) = 2[(a² + 2b²)² - (2ab)²]
= 2(a² + 2ab + 2b²)(a² - 2ab + 2b²) (ଉତ୍ତର)
(vii) 36a⁴ + 9b⁴
= 9(4a⁴ + b⁴) = 9[(2a² + b²)² - (2ab)²]
= 9(2a² + 2ab + b²)(2a² - 2ab + b²) (ଉତ୍ତର)
(viii) 4a⁴ + 7a² + 16
= (2a² + 4)² - 9a² = (2a² + 3a + 4)(2a² - 3a + 4) (ଉତ୍ତର)
(ix) a⁴ + 2a²b² + 9b⁴
= (a² + 3b²)² - 4a²b² = (a² + 2ab + 3b²)(a² - 2ab + 3b²) (ଉତ୍ତର)
(x) a⁴ - 3a² + 1
= (a² - 1)² - a² = (a² + a - 1)(a² - a - 1) (ଉତ୍ତର)
(xi) 25a⁴ - 19a²b² + 9b⁴
= (5a² + 3b²)² - 49a²b² = (5a² + 7ab + 3b²)(5a² - 7ab + 3b²) (ଉତ୍ତର)
(xii) 9x² + y² + 6xy - 4z²
= (3x + y)² - (2z)² = (3x + y - 2z)(3x + y + 2z) (ଉତ୍ତର)
(xiii) 16 - x² - 24y + 9y²
= 16 - (x² + 24y - 9y²) --and-gt; (ପ୍ରଶ୍ନରେ ତ୍ରୁଟି ଥାଇପାରେ, ଯଦି ଏହା 16 - (x² - 6xy + 9y²) ହୁଏ)
ଧରିନିଆଯାଉ ପ୍ରଶ୍ନଟି: 16 - (x - 3y)² = (4 - x + 3y)(4 + x - 3y) (ଉତ୍ତର)
(xiv) (a² - b²)(x² - y²) - 4abxy
= a²x² - a²y² - b²x² + b²y² - 4abxy
= (a²x² - 2abxy + b²y²) - (a²y² + 2abxy + b²x²)
= (ax - by)² - (ay + bx)²
= (ax - by - ay - bx)(ax - by + ay + bx) (ଉତ୍ତର)
(xv) (a² + b²)(x² - y²) - 2ab(x² + y²)
= a²x² - a²y² + b²x² - b²y² - 2abx² - 2aby²
= x²(a² - 2ab + b²) - y²(a² + 2ab + b²)
= x²(a - b)² - y²(a + b)²
= (x(a - b) - y(a + b))(x(a - b) + y(a + b)) (ଉତ୍ତର)
Q5. ଉତ୍ପାଦକରେ ବିଶ୍ଳେଷଣ କର।
(i) a³ + b³ + x³ - 3abx
= (a + b + x)(a² + b² + x² - ab - bx - ax) (ଉତ୍ତର)
(ii) 8a³ + b³ + c³ - 6abc
= (2a)³ + b³ + c³ - 3(2a)(b)(c)
= (2a + b + c)(4a² + b² + c² - 2ab - bc - 2ac) (ଉତ୍ତର)
(iii) a³ + b³ - 8 + 6ab
= a³ + b³ + (-2)³ - 3(a)(b)(-2)
= (a + b - 2)(a² + b² + 4 - ab + 2b + 2a) (ଉତ୍ତର)
(iv) l³ - 27m³ - n³ - 9lmn
= l³ + (-3m)³ + (-n)³ - 3(l)(-3m)(-n)
= (l - 3m - n)(l² + 9m² + n² + 3lm - 3mn + ln) (ଉତ୍ତର)
(v) (a - b)³ + (c - b)³ + (a - c)³ - 3(a - b)(b - c)(c - a)
ସମାଧାନ:
ମନେକର x = a - b, y = b - c, z = c - a
ଏଠାରେ x + y + z = 0
ତେଣୁ, x³ + y³ + z³ - 3xyz = 0 (ଉତ୍ତର)
(vi) a⁶ + 4a³ - 1
= (a³ + 2)² - 5 = (a³ + 2 - √5)(a³ + 2 + √5) (ଉତ୍ତର)
(vii) x³ + 72 - 24x
= x³ - 24x + 72
x = -6 ପାଇଁ, (-6)³ - 24(-6) + 72 = -216 + 144 + 72 = 0
ତେଣୁ, (x + 6) ଏକ ଉତ୍ପାଦକ।
ଭାଗଫଳ = x² - 6x + 12
ତେଣୁ, x³ - 24x + 72 = (x + 6)(x² - 6x + 12) (ଉତ୍ତର)
(viii) m⁶ + 7m³ - 8
= (m³)² + 7(m³) - 8 = (m³ + 8)(m³ - 1)
= (m + 2)(m² - 2m + 4)(m - 1)(m² + m + 1) (ଉତ୍ତର)
(ix) a⁶ + 1/a⁶ + 2 (a ≠ 0)
= (a³ + 1/a³)² = [(a + 1/a)(a² - 1 + 1/a²)]²
= (a + 1/a)²(a² - 1 + 1/a²)² (ଉତ୍ତର)
(x) r⁶ + 45r³ - 8
= (r³ + 45.125... - ଉତ୍ପାଦକ ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କରି)
= (r³ - 0.17...)(r³ + 45.17...) (ଉତ୍ତର)
(xi) 16x³ - 54y⁶ - 2z³ - 36xy²z
= 2[8x³ - 27y⁶ - z³ - 18xy²z]
= 2[(2x)³ + (-3y²)³ + (-z)³ - 3(2x)(-3y²)(-z)]
= 2(2x - 3y² - z)(4x² + 9y⁴ + z² + 6xy² - 3y²z + 2xz) (ଉତ୍ତର)
(xii) a³ + b³ - 1/27 c³ + abc
= a³ + b³ + (-1/3 c)³ - 3(a)(b)(-1/3 c)
= (a + b - 1/3 c)(a² + b² + 1/9 c² - ab + 1/3 bc + 1/3 ac) (ଉତ୍ତର)
(xiii) 27a³ - 8b⁶ + 125c³ + 90ab²c
= (3a)³ + (-2b²)³ + (5c)³ - 3(3a)(-2b²)(5c)
= (3a - 2b² + 5c)(9a² + 4b⁴ + 25c² + 6ab² + 10b²c - 15ac) (ଉତ୍ତର)
(xiv) (2x + 3)³ + (3x - 2)³ - (5x + 1)³
ସମାଧାନ:
ମନେକର A = 2x + 3, B = 3x - 2, C = -(5x + 1)
A + B + C = 2x + 3 + 3x - 2 - 5x - 1 = 0
ତେଣୁ, A³ + B³ + C³ = 3ABC
= -3(2x + 3)(3x - 2)(5x + 1) (ଉତ୍ତର)
Q6. a + b + c = 0 ହେଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, a³ + b³ + c³ = 3abc।
ସମାଧାନ:
ଆମେ ଜାଣୁ, a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca)
ଯେହେତୁ a + b + c = 0,
ତେଣୁ, a³ + b³ + c³ - 3abc = 0 × (a² + b² + c² - ab - bc - ca) = 0
⇒ a³ + b³ + c³ = 3abc (ପ୍ରମାଣିତ)
Q7. (x - y)³ + (y - z)³ + (z - x)³ ର ଉତ୍ପାଦକ ଗୁଡ଼ିକୁ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
ସମାଧାନ:
ମନେକର a = x - y, b = y - z, c = z - x
ଏଠାରେ a + b + c = (x - y) + (y - z) + (z - x) = 0
ତେଣୁ, a³ + b³ + c³ = 3abc
= 3(x - y)(y - z)(z - x) (ଉତ୍ତର)
Q8. ଦର୍ଶାଅ ଯେ, x³ + y³ + z³ - 3xyz = 1/2 (x + y + z)[(x - y)² + (y - z)² + (z - x)²]
ସମାଧାନ:
ଦକ୍ଷିଣ ପାର୍ଶ୍ଵ (RHS) = 1/2 (x + y + z)[(x - y)² + (y - z)² + (z - x)²]
= 1/2 (x + y + z)[x² - 2xy + y² + y² - 2yz + z² + z² - 2zx + x²]
= 1/2 (x + y + z)[2x² + 2y² + 2z² - 2xy - 2yz - 2zx]
= 1/2 (x + y + z) × 2[x² + y² + z² - xy - yz - zx]
= (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx)
= x³ + y³ + z³ - 3xyz = ବାମ ପାର୍ଶ୍ଵ (LHS) (ପ୍ରମାଣିତ)
───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
ଅନୁଶୀଳନୀ - ୩ (d)
───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
Q1. ଗ.ସା.ଗୁ. ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର -
(i) xy², x²y
ସମାଧାନ: xy² = x × y², x²y = x² × y
ଗ.ସା.ଗୁ. = x¹ × y¹ = xy (ଉତ୍ତର)
(ii) 6a³b², 8a²b³
ସମାଧାନ: 6a³b² = 2 × 3 × a³ × b², 8a²b³ = 2³ × a² × b³
ଗ.ସା.ଗୁ. = 2 × a² × b² = 2a²b² (ଉତ୍ତର)
(iii) 12a²b⁴c, 15ab²c³
ସମାଧାନ: ଗ.ସା.ଗୁ. = 3ab²c (ଉତ୍ତର)
(iv) x²y², x³y, xy³
ସମାଧାନ: ଗ.ସା.ଗୁ. = xy (ଉତ୍ତର)
(v) 144x³y⁹z⁷, 108x⁶y⁶z⁶
ସମାଧାନ: 144 = 36 × 4, 108 = 36 × 3
ଗ.ସା.ଗୁ. = 36x³y⁶z⁶ (ଉତ୍ତର)
Q2. ଗ.ସା.ଗୁ. ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର -
(i) x² - 1, x² + x
ସମାଧାନ: x² - 1 = (x - 1)(x + 1), x² + x = x(x + 1)
ଗ.ସା.ଗୁ. = x + 1 (ଉତ୍ତର)
(ii) a³ - ab², a³ - b³
ସମାଧାନ: a³ - ab² = a(a² - b²) = a(a - b)(a + b)
a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
ଗ.ସା.ଗୁ. = a - b (ଉତ୍ତର)
(iii) 4a² - b², b² - 2ab
ସମାଧାନ: 4a² - b² = (2a - b)(2a + b)
b² - 2ab = -b(2a - b)
ଗ.ସା.ଗୁ. = 2a - b (ଉତ୍ତର)
(iv) (x - 1)³, (1 - x)²
ସମାଧାନ: (1 - x)² = (-(x - 1))² = (x - 1)²
ଗ.ସା.ଗୁ. = (x - 1)² (ଉତ୍ତର)
(v) x² - xy + y², x⁴ + x²y² + y⁴
ସମାଧାନ: x⁴ + x²y² + y⁴ = (x² - xy + y²)(x² + xy + y²)
ଗ.ସା.ଗୁ. = x² - xy + y² (ଉତ୍ତର)
(vi) 6(a² - 4b²), 10(a³ - 8b³)
ସମାଧାନ: 6(a² - 4b²) = 6(a - 2b)(a + 2b)
10(a³ - 8b³) = 10(a - 2b)(a² + 2ab + 4b²)
ଗ.ସା.ଗୁ. = 2(a - 2b) (ଉତ୍ତର)
(vii) x² + 7x + 12, x² + 9x + 20
ସମାଧାନ: x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)
x² + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5)
ଗ.ସା.ଗୁ. = x + 4 (ଉତ୍ତର)
(viii) 4x³ - 9x, 16x³ + 54, 2x² + 5x + 3
ସମାଧାନ:
ଗ.ସା.ଗୁ. = 2x + 3 (ଉତ୍ତର)
(ix) a² - b² - c² - 2bc, a² + b² - c² + 2ab
ସମାଧାନ:
ଗ.ସା.ଗୁ. = a + b + c (ଉତ୍ତର)
(x) a² - b² - c² - 2bc, b² - c² - a² - 2ca, c² - a² - b² - 2ab
ସମାଧାନ:
ଗ.ସା.ଗୁ. = a + b + c (ଉତ୍ତର)
(xi) 8a² - 14ab + 6b², 15a² + 18ab - 33b², 9a²b - 7ab² - 2b³
ସମାଧାନ:
ଗ.ସା.ଗୁ. = a - b (ଉତ୍ତର)
(xii) (a + b)x² - (2a + b)bx + ab², (a - b)x² - (2a - b)bx + ab²
ସମାଧାନ:
ଗ.ସା.ଗୁ. = x - b (ଉତ୍ତର)
Q3. ଲ.ସା.ଗୁ. ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର -
(i) 3a³b, 4a²b
ସମାଧାନ: ଲ.ସା.ଗୁ. = 12a³b (ଉତ୍ତର)
(ii) 6a²b³, 4a³b⁴
ସମାଧାନ: ଲ.ସା.ଗୁ. = 12a³b⁴ (ଉତ୍ତର)
(iii) 20a²b³c⁴, 34a³c⁵
ସମାଧାନ: ଲ.ସା.ଗୁ. = 340a³b³c⁵ (ଉତ୍ତର)
(iv) 3a²b, 4ab², 6ab
ସମାଧାନ: ଲ.ସା.ଗୁ. = 12a²b² (ଉତ୍ତର)
(v) 25x³y²z², 30x²y³z³, x³y³z²
ସମାଧାନ: ଲ.ସା.ଗୁ. = 150x³y³z³ (ଉତ୍ତର)
Q4. ଲ.ସା.ଗୁ. ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର -
(i) a² + ab, ab - b²
ସମାଧାନ: a(a + b), b(a - b)
ଲ.ସା.ଗୁ. = ab(a + b)(a - b) = ab(a² - b²) (ଉତ୍ତର)
(ii) 3(x² - y²), 4(x² + xy)
ସମାଧାନ: 3(x - y)(x + y), 4x(x + y)
ଲ.ସା.ଗୁ. = 12x(x - y)(x + y) = 12x(x² - y²) (ଉତ୍ତର)
(iii) x³ + y³, x²y + xy²
ସମାଧାନ: (x + y)(x² - xy + y²), xy(x + y)
ଲ.ସା.ଗୁ. = xy(x + y)(x² - xy + y²) = xy(x³ + y³) (ଉତ୍ତର)
(iv) 6a³b - 12a²b², 8a³ - 64b³
ସମାଧାନ: 6a²b(a - 2b), 8(a - 2b)(a² + 2ab + 4b²)
ଲ.ସା.ଗୁ. = 24a²b(a - 2b)(a² + 2ab + 4b²) (ଉତ୍ତର)
(v) (x - y)³, x² - y²
ସମାଧାନ: (x - y)³, (x - y)(x + y)
ଲ.ସା.ଗୁ. = (x - y)³(x + y) (ଉତ୍ତର)
(vi) x² - xy, (x - y)², x² - y²
ସମାଧାନ: x(x - y), (x - y)², (x - y)(x + y)
ଲ.ସା.ଗୁ. = x(x - y)²(x + y) (ଉତ୍ତର)
(vii) 6(a + b)², 8(a² - b²), 12(a - b)²
ସମାଧାନ: 6(a + b)², 8(a - b)(a + b), 12(a - b)²
ଲ.ସା.ଗୁ. = 24(a + b)²(a - b)² (ଉତ୍ତର)
(viii) 2x² + 5x - 3, 4x² - 4x + 1
ସମାଧାନ: (2x - 1)(x + 3), (2x - 1)²
ଲ.ସା.ଗୁ. = (2x - 1)²(x + 3) (ଉତ୍ତର)
(ix) 3a² + 8a + 4, a² + 2a
ସମାଧାନ: (3a + 2)(a + 2), a(a + 2)
ଲ.ସା.ଗୁ. = a(a + 2)(3a + 2) (ଉତ୍ତର)
(x) 6x² - 5x - 6, 4x³ - 12x² + 9x
ସମାଧାନ: (2x - 3)(3x + 2), x(2x - 3)²
ଲ.ସା.ଗୁ. = x(2x - 3)²(3x + 2) (ଉତ୍ତର)
(xi) 3x³ + 5x² - 2x, 6x² + 14x + 4, 9x³ - x
ସମାଧାନ:
ଲ.ସା.ଗୁ. = 2x(3x - 1)(3x + 1)(x + 2) (ଉତ୍ତର)
(xii) x² + xy + yz + zx, y² + xy + yz + zx, z² + xy + yz + zx
ସମାଧାନ:
ଲ.ସା.ଗୁ. = (x + y)(y + z)(z + x) (ଉତ୍ତର)
───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
ଅନୁଶୀଳନୀ - ୩ (e)
───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
Q1. ଠିକ୍ ଉକ୍ତି ପାର୍ଶ୍ଵ କୋଠରୀ ମଧ୍ୟରେ tick (✓) ଚିହ୍ନ ଓ ଭୁଲ୍ ଉକ୍ତି ପାର୍ଶ୍ଵ କୋଠରୀ ମଧ୍ୟରେ cross (X) ଚିହ୍ନ ଦିଅ।
(i) x/2 + y/3 = (x + y)/5 --and-gt; [ X ] (କାରଣ ପ୍ରକୃତ ମାନ (3x + 2y)/6)
(ii) x/(y - z) - x/(z - y) = 0 --and-gt; [ X ] (କାରଣ ଏହା 2x/(y - z) ହେବ)
(iii) 1/(x - y) + 1/(y - x) = 0 --and-gt; [ ✓ ] (କାରଣ 1/(x - y) - 1/(x - y) = 0)
(iv) (x - y)/z + (y - z)/x + (z - x)/y = 0 --and-gt; [ X ]
(v) (x - 1)/x + (y - 1)/y = 1/y - 1/x --and-gt; [ X ]
(vi) 1/(x - y) + 1/(y - z) + 1/(z - x) = 0 --and-gt; [ X ]
Q2. ସରଳ କର:
(i) 1/(x + y) + 1/(x - y)
= (x - y + x + y)/((x + y)(x - y)) = 2x/(x² - y²) (ଉତ୍ତର)
(ii) x/(x - y) - y/(x + y)
= (x(x + y) - y(x - y))/(x² - y²) = (x² + xy - xy + y²)/(x² - y²)
= (x² + y²)/(x² - y²) (ଉତ୍ତର)
(iii) (a - b)/ab + (b - c)/bc + (c - a)/ca
= (c(a - b) + a(b - c) + b(c - a))/abc
= (ac - bc + ab - ac + bc - ab)/abc = 0 (ଉତ୍ତର)
(iv) (x - y)/(x + y) - (x + y)/(x - y)
= ((x - y)² - (x + y)²)/(x² - y²) = -4xy/(x² - y²) (ଉତ୍ତର)
(v) 1/(x² - y²) - 1/(x - y)²
= 1/((x - y)(x + y)) - 1/(x - y)²
= (x - y - (x + y))/((x - y)²(x + y)) = -2y/((x - y)²(x + y)) (ଉତ୍ତର)
(vi) a²/(a + b) - a + b
= (a² - (a - b)(a + b))/(a + b) = (a² - a² + b²)/(a + b)
= b²/(a + b) (ଉତ୍ତର)
(vii) 1/(x + 2y) + 1/(x - 2y) - 2x/(4y² - x²)
= (x - 2y + x + 2y)/(x² - 4y²) + 2x/(x² - 4y²)
= 2x/(x² - 4y²) + 2x/(x² - 4y²) = 4x/(x² - 4y²) (ଉତ୍ତର)
(viii) (a + b)/(a - b) + (a - b)/(a + b) + (a² + b²)/(b² - a²)
= ((a + b)² + (a - b)²)/(a² - b²) - (a² + b²)/(a² - b²)
= (2(a² + b²) - (a² + b²))/(a² - b²) = (a² + b²)/(a² - b²) (ଉତ୍ତର)
(ix) 1/(x - 1) - 1/(x + 1) - 1/(x - 2) + 1/(x + 2)
= (1/(x - 1) - 1/(x + 1)) - (1/(x - 2) - 1/(x + 2))
= 2/(x² - 1) - 4/(x² - 4)
= (2(x² - 4) - 4(x² - 1))/((x² - 1)(x² - 4))
= (-2x² - 4)/((x² - 1)(x² - 4)) (ଉତ୍ତର)
(x) (3x + 1)/(x - 3) - (x - 3)/(3x + 9) - (5x² + 24x)/(2x² - 18)
= (3x + 1)/(x - 3) - (x - 3)/(3(x + 3)) - (5x² + 24x)/(2(x² - 9))
ଲ.ସା.ଗୁ. = 6(x² - 9)
= [6(3x + 1)(x + 3) - 2(x - 3)² - 3(5x² + 24x)] / (6(x² - 9))
= [6(3x² + 10x + 3) - 2(x² - 6x + 9) - 15x² - 72x] / (6(x² - 9))
= [18x² + 60x + 18 - 2x² + 12x - 18 - 15x² - 72x] / (6(x² - 9))
= x² / (6(x² - 9)) (ଉତ୍ତର)
Q3. ସରଳ କର:
(i) (x³y/az) × (y³z/bx) × (z³x/cy)
= (x³y × y³z × z³x) / (az × bx × cy)
= (x⁴y⁴z²) / (abc xyz) = x³y³z / abc (ଉତ୍ତର)
(ii) (x - y)/(x + y) × (x² + xy)/(x²y - y³)
= (x - y)/(x + y) × x(x + y)/(y(x² - y²))
= x(x - y)/(y(x - y)(x + y)) = x / (y(x + y)) (ଉତ୍ତର)
(iii) (x³ + y³)/(x² - y²) × (x³ - y³)/(x⁴ + x²y² + y⁴)
= ((x + y)(x² - xy + y²))/((x - y)(x + y)) × ((x - y)(x² + xy + y²))/((x² - xy + y²)(x² + xy + y²))
= 1 (ଉତ୍ତର)
(iv) (x² - 7x + 10)/(x² - 5x - 14) × (x³ + 8)/(x³ - 8)
= ((x - 2)(x - 5))/((x - 7)(x + 2)) × ((x + 2)(x² - 2x + 4))/((x - 2)(x² + 2x + 4))
= ((x - 5)(x² - 2x + 4))/((x - 7)(x² + 2x + 4)) (ଉତ୍ତର)
(v) (1 + x/y + x²/y²)(1 - x/y + x²/y²)(1 - x²/y²)
= (1 + x²/y² + x⁴/y⁴)(1 - x²/y²)
= 1 - x⁶/y⁶ (ଉତ୍ତର)
(vi) (x² - y²)/(x - z) × (x² - z²)/(xy + y²) × (x + xy/(x - y))
= ((x - y)(x + y))/(x - z) × ((x - z)(x + z))/(y(x + y)) × (x²/(x - y))
= (x - y)(x + z)/y × x²/(x - y) = x²(x + z)/y (ଉତ୍ତର)
(vii) [(a + b)/(a - b) - (a - b)/(a + b)] × (a² - b²)/(2(a² + b²))
= [4ab / (a² - b²)] × (a² - b²)/(2(a² + b²))
= 2ab / (a² + b²) (ଉତ୍ତର)
(viii) (x/(x + y) + y/(x - y)) ÷ (x/(x - y) - y/(x + y))
= [(x² - xy + xy + y²)/(x² - y²)] ÷ [(x² + xy - xy + y²)/(x² - y²)]
= [(x² + y²)/(x² - y²)] ÷ [(x² + y²)/(x² - y²)] = 1 (ଉତ୍ତର)
(ix) (x³ + y³)/((x - y)² + 3xy) ÷ ((x - y)³ - 3xy(x - y))/(x³ - y³) × xy/(x² - y²)
= [(x + y)(x² - xy + y²)/(x² + xy + y²)] ÷ [((x - y)(x² - xy + y² - 3xy))/(x³ - y³)] × xy/(x² - y²)
= (x + y) ÷ 1 × xy/(x² - y²) = xy / (x - y) (ଉତ୍ତର)
(x) ((a + b)² + (a - b)²) / ((a + b)² - (a - b)²) ÷ (a⁴ - b⁴)/(2ab(a - b)) × (a² - b²)/a
= [2(a² + b²) / 4ab] ÷ [(a² + b²)(a² - b²) / (2ab(a - b))] × (a² - b²)/a
= [(a² + b²)/2ab] × [2ab(a - b) / ((a² + b²)(a + b)(a - b))] × (a² - b²)/a
= [1 / (a + b)] × (a² - b²)/a = (a - b)/a (ଉତ୍ତର)
(xi) (a² + 3a - 18)/(a² - 4) ÷ (a² - 36)/(a² - 5a - 14)
= ((a + 6)(a - 3))/((a - 2)(a + 2)) × ((a - 7)(a + 2))/((a - 6)(a + 6))
= ((a - 3)(a - 7))/((a - 2)(a - 6)) (ଉତ୍ତର)
(xii) (3a² + a - 4)/(2a² - a - 3) ÷ (3a² - 2a - 8)/(2a² - 7a + 6)
= ((3a + 4)(a - 1))/((2a - 3)(a + 1)) × ((2a - 3)(a - 2))/((3a + 4)(a - 2))
= (a - 1)/(a + 1) (ଉତ୍ତର)
Q4. ସରଳ କର:
(i) Continued Fraction:
ସମାଧାନ:
(ii) Continued Fraction:
ସମାଧାନ:
= (a(a + 1) - a² + a)/(a + 1) = 2a/(a + 1) (ଉତ୍ତର)
(iii) Continued Fraction:
ସମାଧାନ:
= y² - (y - 1)(y² + y + 1) × (y² + y + 1)/(y + 1)
= y² - (y - 1)(y² + y + 1)² / (y + 1) (ଉତ୍ତର)
(iv) Continued Fraction:
ସମାଧାନ:
───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
୪. ବୋର୍ଡ ପରୀକ୍ଷା ମାଷ୍ଟ୍ରି ଟିପ୍ସ ଓ ସାଧାରଣ ଭୁଲ୍ (Board Exam Tips -and- Pitfalls)
୪.୧. ପରୀକ୍ଷା ପ୍ରସ୍ତୁତି କୌଶଳ (Exam Preparation Strategies):
୪.୨. ସାଧାରଣ ଭୁଲ୍ (Common Pitfalls to Avoid):
───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
(ନୋଟ୍ସ ପ୍ରସ୍ତୁତି: ଉତ୍କଳ ସ୍କିଲ୍ ସେଣ୍ଟର - BSE Odisha 100% Full Textbook Master Edition)
🤖 Have a Doubt in this Chapter?
Ask Gundulu AI Voice Tutor to explain any question in bilingual Odia -and- English with 24/7 step-by-step guidance!
🚀 Try Gundulu AI on Utkal Skill Centre App