BSE ODISHA CLASS 9 • UTKAL MASTER STROKE
ଯଦି p(x) ଏକ ପଲିନୋମିଆଲ୍, ଯାହାର ଘାତ ୧ କିମ୍ବା ତା’ଠାରୁ ଅଧିକ, ତେବେ p(x) କୁ (x – a) ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ, ଭାଗଶେଷ p(a) ହେବ ।
ପ୍ରମାଣ:
ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ, ଭାଜ୍ୟ = ଭାଜକ × ଭାଗଫଳ + ଭାଗଶେଷ (Euclidean Algorithm)
p(x) = (x – a) × q(x) + r(x)
ଏଠାରେ r(x) ର ଘାତ, ଭାଜକର ଘାତରୁ କମ୍ ଅର୍ଥାତ୍ ୦ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ । ତେଣୁ r(x) ଗୋଟିଏ ଧ୍ରୁବକ ସଂଖ୍ୟା ହେବ, ମନେକର r ହେଉ ।
ବର୍ତ୍ତମାନ ଉଭୟ ପଟରେ x = a ନେଲେ ପାଇବା:
p(a) = (a – a) × q(a) + r
p(a) = 0 × q(a) + r
p(a) = r (ପ୍ରମାଣିତ)
ଦ୍ରଷ୍ଟବ୍ୟ:
(i) ଏହି ଉପପାଦ୍ୟର ଫଳସ୍ୱରୂପ ଆମେ ଲେଖିପାରିବା – p(x) = (x – a) × q(x) + p(a)
(ii) ଯଦି p(x) କୁ (kx – a) ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କରାଯାଏ, ତେବେ ଭାଗଶେଷ p(a/k) ହେବ ।
p(x) ଏକ ପଲିନୋମିଆଲ୍ ଯାହାର ଘାତ ୧ କିମ୍ବା ତା’ଠାରୁ ଅଧିକ ଏବଂ a ଏକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ,
(i) ଯଦି p(a) = 0 ହୁଏ, ତେବେ (x – a), p(x) ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ହେବ ।
(ii) ବିପରୀତ କ୍ରମେ ଯଦି (x – a), p(x) ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ହୁଏ, ତେବେ p(a) = 0 ହେବ ।
ପ୍ରମାଣ:
(i) ଭାଗଶେଷ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁସାରେ, p(x) = (x – a) × q(x) + p(a)
ଯଦି p(a) = 0, ତେବେ p(x) = (x – a) × q(x) । ଏହାର ଅର୍ଥ (x – a), p(x) ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ । (ପ୍ରମାଣିତ)
(ii) ଯେହେତୁ (x – a), p(x) ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ, ଅତଏବ p(x) = (x – a) × q(x) (ମନେକର)
x = a ନେଲେ, p(a) = (a – a) × q(a) = 0 × q(a) = 0 । (ପ୍ରମାଣିତ)
ସଂଜ୍ଞା: ଦୁଇ ବା ତତୋଽଧିକ ପଲିନୋମିଆଲ୍ଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ପାଦକ ବିଶ୍ଳେଷଣରୁ ମିଳୁଥିବା ସର୍ବାଧିକ ଘାତାଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସାଧାରଣ ଉତ୍ପାଦକଗୁଡ଼ିକର ଗୁଣଫଳକୁ ଦତ୍ତ ପଲିନୋମିଆଲ୍ଗୁଡ଼ିକର ଗ.ସା.ଗୁ. କୁହାଯାଏ ।
ପଦ୍ଧତି:
ପ୍ରଥମେ ଦତ୍ତ ପଲିନୋମିଆଲ୍ଗୁଡ଼ିକୁ ଉତ୍ପାଦକରେ ବିଶ୍ଳେଷଣ କର ।
ସାଧାରଣ ଉତ୍ପାଦକଗୁଡ଼ିକୁ ଚିହ୍ନଟ କର ।
ପ୍ରତ୍ୟେକ ସାଧାରଣ ଉତ୍ପାଦକର ସର୍ବନିମ୍ନ ଘାତାଙ୍କ (lowest power) ନିଅ ।
ଏହି ସର୍ବନିମ୍ନ ଘାତାଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସାଧାରଣ ଉତ୍ପାଦକଗୁଡ଼ିକର ଗୁଣଫଳ ହେଉଛି ଗ.ସା.ଗୁ. ।
ସଂଜ୍ଞା: ପଲିନୋମିଆଲ୍ଗୁଡ଼ିକର ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ସର୍ବନିମ୍ନ ଘାତ ବିଶିଷ୍ଟ ସାଧାରଣ ଉତ୍ପାଦକଗୁଡ଼ିକର ଗୁଣଫଳକୁ ସମ୍ପୃକ୍ତ ପଲିନୋମିଆଲ୍ଗୁଡ଼ିକର ଲ.ସା.ଗୁ. କୁହାଯାଏ ।
ପଦ୍ଧତି:
ପ୍ରଥମେ ଦତ୍ତ ପଲିନୋମିଆଲ୍ଗୁଡ଼ିକୁ ଉତ୍ପାଦକରେ ବିଶ୍ଳେଷଣ କର ।
ସମସ୍ତ ଉତ୍ପାଦକ (ସାଧାରଣ ଓ ଅସାଧାରଣ) ଗୁଡ଼ିକୁ ଚିହ୍ନଟ କର ।
ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉତ୍ପାଦକର ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଘାତାଙ୍କ (highest power) ନିଅ ।
ଏହି ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଘାତାଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଉତ୍ପାଦକଗୁଡ଼ିକର ଗୁଣଫଳ ହେଉଛି ଲ.ସା.ଗୁ. ।
ସଂଜ୍ଞା: ଯଦି p(x) ଓ q(x) ଦ୍ୱୟ x ରେ ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ପଲିନୋମିଆଲ୍ ହୁଅନ୍ତି ଏବଂ q(x) ≠ 0 ହୁଏ, ତେବେ p(x)/q(x) କୁ ଏକ ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିମେୟ ପରିପ୍ରକାଶ କୁହାଯାଏ । ଏଠାରେ p(x) ଲବ (Numerator) ଓ q(x) ହର (Denominator) ।
ଲଘିଷ୍ଠ ରୂପ (Lowest Form): ଗୋଟିଏ ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶର ଲବ ଓ ହର ମଧ୍ୟରେ ଯଦି ୧ ଭିନ୍ନ କୌଣସି ସାଧାରଣ ଉତ୍ପାଦକ ନ ଥାଏ, ତେବେ ତାହାକୁ ଲଘିଷ୍ଠ ଆକୃତି ବିଶିଷ୍ଟ ପରିମେୟ ପରିପ୍ରକାଶ କୁହାଯାଏ । ଲଘିଷ୍ଠ ଆକାରରେ ପରିଣତ କରିବାକୁ ହେଲେ ତା’ର ଲବ ଓ ହରକୁ ଉତ୍ପାଦକରେ ବିଶ୍ଳେଷଣ କରି ଉଭୟଙ୍କୁ ସେମାନଙ୍କ ଗରିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କରାଯାଏ ।
ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିମେୟ ପରିପ୍ରକାଶଗୁଡ଼ିକର ଗୁଣନ ଓ ହରଣ:
ଗୁଣନ: (p(x)/q(x)) × (r(x)/t(x)) = (p(x) × r(x)) / (q(x) × t(x))
ହରଣ: (p(x)/q(x)) ÷ (r(x)/t(x)) = (p(x)/q(x)) × (t(x)/r(x)) = (p(x) × t(x)) / (q(x) × r(x))
କ୍ରମିକ ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିମେୟ ପରିପ୍ରକାଶ (Continued Fraction):
a / (b + c / (d + e / f)) ଆକାରର ପରିପ୍ରକାଶକୁ କ୍ରମିକ ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିମେୟ ପରିପ୍ରକାଶ କୁହାଯାଏ । ଏହାକୁ ସରଳ କରିବା ପାଇଁ ଏହାର ସର୍ବନିମ୍ନ ଅଂଶରୁ ସରଳ କରିବା ଆରମ୍ଭ କରି କ୍ରମଶଃ ଉପର ଆଡ଼କୁ ଯିବା ଆବଶ୍ୟକ ।
ସଂଜ୍ଞା: ଯଦି a ଓ b ପ୍ରତ୍ୟେକେ ଧ୍ରୁବକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା (a ≠ 0) ଓ x ଏକ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ହୁଏ, ତେବେ ax + b = 0 କୁ x ରେ ଗୋଟିଏ ଏକ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ବିଶିଷ୍ଟ ଏକଘାତୀ ସମୀକରଣ କୁହାଯାଏ ।
ସମାଧାନ (Solution): ax + b = 0 (a ≠ 0) ସମୀକରଣର ମୂଳ x = -b/a ।
ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ତଥ୍ୟ:
ଗୋଟିଏ ଏକ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ବିଶିଷ୍ଟ ଏକଘାତୀ ସମୀକରଣର କେବଳ ଗୋଟିଏ ମାତ୍ର ମୂଳ ଥାଏ ।
ସଙ୍ଗତ (Consistent) ସମୀକରଣ: ଯେଉଁ ସମୀକରଣର ମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରି ହୁଏ ତାହାକୁ ସଙ୍ଗତ ସମୀକରଣ କୁହାଯାଏ ।
ଅସଙ୍ଗତ (Inconsistent) ସମୀକରଣ: ଯେଉଁ ସମୀକରଣର ମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରି ହୁଏ ନାହିଁ ତାହାକୁ ଅସଙ୍ଗତ ସମୀକରଣ କୁହାଯାଏ ।
ଅନୁରୂପ (Equivalent) ସମୀକରଣ: ଯେଉଁ ଦୁଇଟି ସମୀକରଣର ମୂଳ ସମାନ ସେହି ସମୀକରଣ ଦୁଇଟିକୁ ପରସ୍ପର ଅନୁରୂପ ସମୀକରଣ କୁହାଯାଏ ।
ଅଭେଦ (Identity): x ର ଯେକୌଣସି ମାନ ପାଇଁ ଯଦି ସମୀକରଣଟି ସିଦ୍ଧ ହୁଏ, ତେବେ ଏହାକୁ ସମୀକରଣ ନ କହି ଅଭେଦ କୁହାଯାଏ ।
ସଂଜ୍ଞା: ଏକ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ବିଶିଷ୍ଟ କୌଣସି ସମୀକରଣର ପଦମାନଙ୍କରେ ଥିବା ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିର ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଘାତ ୨ ହେଲେ ସମୀକରଣଟିକୁ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ କୁହାଯାଏ ।
ବ୍ୟାପକ ରୂପ: ax² + bx + c = 0, ଯେଉଁଠାରେ a, b, c ∈ R ଏବଂ a ≠ 0 ।
ଏଠାରେ a ଓ b ଯଥାକ୍ରମେ x² ଓ x ର ସହଗ ଏବଂ c କୁ ସମୀକରଣର ଧ୍ରୁବକ ପଦ କୁହାଯାଏ ।
ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣର ସମାଧାନ:
ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣର ସମାଧାନର ଅର୍ଥ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା । ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିର ଯେଉଁ ମୂଲ୍ୟ ଗୁଡ଼ିକ ପାଇଁ ସମୀକରଣଟି ସିଦ୍ଧ ହେବ ସେହି ମାନଗୁଡ଼ିକୁ ସମୀକରଣର ମୂଳ ବା ବୀଜ (root) କୁହାଯାଏ ।
ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣର କେବଳ ଦୁଇଟି ବୀଜ ଥାଏ ।
ପ୍ରତ୍ୟେକ ବୀଜ ଦ୍ୱାରା ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣଟି ସିଦ୍ଧ ହୁଏ ।
ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ ପଦ୍ଧତି: ସମୀକରଣର ସମସ୍ତ ପଦକୁ ବାମପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଆଣି ବାମପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ପରିପ୍ରକାଶର ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କରାଯାଏ; ଫଳରେ ଦୁଇଟି ଏକଘାତୀ ସମୀକରଣର ଗୁଣଫଳ ଶୂନ ସଙ୍ଗେ ସମାନ ହୋଇଥାଏ । ଯଦି (Ex + F)(Gx + H) = 0, ତେବେ Ex + F = 0 କିମ୍ବା Gx + H = 0 ହେବ ।
ପାଟୀଗଣିତ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକୁ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣରେ ପରିଣତ କରି ସମାଧାନ କରାଯାଏ ।
ସମାଧାନ କରିବା ପରେ ମିଳିଥିବା ବୀଜଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ ଯେଉଁ ବୀଜଟି ପ୍ରଶ୍ନର ସର୍ତ୍ତାବଳୀକୁ ପୂରଣ କରିଥାଏ ତାକୁ ଗ୍ରହଣ କରାଯାଏ ଏବଂ ଅନ୍ୟ ବୀଜଟି ଅଗ୍ରହଣୀୟ ହୋଇଥାଏ ।
ସଂଜ୍ଞା: ଯେଉଁ ସମୀକରଣରେ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ଘାତାଙ୍କରେ ଥାଏ, ତାହାକୁ ଘାତାଙ୍କୀୟ ସମୀକରଣ କୁହାଯାଏ ।
ସମାଧାନ ପଦ୍ଧତି:
ଘାତ ତତ୍ତ୍ୱର ନିୟମ aˣ = aʸ ⇒ x = y (ଯଦି a > 0, a ≠ 1) ପ୍ରୟୋଗ କରି ସମାଧାନ କରାଯାଏ ।
ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଆଧାରକୁ ସମାନ କରି ଘାତାଙ୍କଗୁଡ଼ିକୁ ତୁଳନା କରାଯାଏ ।
p(x) = x³ + x² + x + 1
ଭାଜକ x – 1 ହୋଇଥିବାରୁ, a = 1
ଭାଗଶେଷ = p(1) = (1)³ + (1)² + (1) + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
ଉତ୍ତର: ୪
p(x) = x³ – x² + x – 1
ଭାଜକ x + 1 = x – (-1) ହୋଇଥିବାରୁ, a = -1
ଭାଗଶେଷ = p(-1) = (-1)³ – (-1)² + (-1) – 1 = -1 – 1 – 1 – 1 = -4
ଉତ୍ତର: -୪
p(x) = 2x³ – 3x + 4
ଭାଜକ 2x – 1 ହୋଇଥିବାରୁ, a = 1/2
ଭାଗଶେଷ = p(1/2) = 2(1/2)³ – 3(1/2) + 4
= 2(1/8) – 3/2 + 4
= 1/4 – 3/2 + 4
= (1 – 6 + 16) / 4 = 11/4
ଉତ୍ତର: ୧୧/୪
p(t) = t⁴ – t³ + t² – t + 1
ଭାଜକ t + 2 = t – (-2) ହୋଇଥିବାରୁ, a = -2
ଭାଗଶେଷ = p(-2) = (-2)⁴ – (-2)³ + (-2)² – (-2) + 1
= 16 – (-8) + 4 – (-2) + 1
= 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31
ଉତ୍ତର: ୩୧
(i) p(0) = 8(0)³ – 2(0)² + 5(0) – 6 = -6
ଉତ୍ତର: -୬
(ii) p(1) = 8(1)³ – 2(1)² + 5(1) – 6 = 8 – 2 + 5 – 6 = 5
ଉତ୍ତର: ୫
(iii) p(-1) = 8(-1)³ – 2(-1)² + 5(-1) – 6 = -8 – 2 – 5 – 6 = -21
ଉତ୍ତର: -୨୧
(iv) p(2) = 8(2)³ – 2(2)² + 5(2) – 6 = 8(8) – 2(4) + 10 – 6 = 64 – 8 + 10 – 6 = 60
ଉତ୍ତର: ୬୦
(v) p(1/2) = 8(1/2)³ – 2(1/2)² + 5(1/2) – 6 = 8(1/8) – 2(1/4) + 5/2 – 6 = 1 – 1/2 + 5/2 – 6 = 1 + 4/2 – 6 = 1 + 2 – 6 = -3
ଉତ୍ତର: -୩
(i) p(x) = 3x² + 4x + 1
p(x) = 0 ⇒ 3x² + 4x + 1 = 0
3x² + 3x + x + 1 = 0
3x(x + 1) + 1(x + 1) = 0
(3x + 1)(x + 1) = 0
3x + 1 = 0 ବା x + 1 = 0
x = -1/3 ବା x = -1
ଉତ୍ତର: -୧/୩, -୧
(ii) p(x) = cx – d (c ≠ 0)
p(x) = 0 ⇒ cx – d = 0
cx = d
x = d/c
ଉତ୍ତର: d/c
(iii) p(z) = 4z² – 1
p(z) = 0 ⇒ 4z² – 1 = 0
(2z)² – 1² = 0
(2z – 1)(2z + 1) = 0
2z – 1 = 0 ବା 2z + 1 = 0
z = 1/2 ବା z = -1/2
ଉତ୍ତର: ୧/୨, -୧/୨
(iv) p(y) = (y – 1)(y + 2)
p(y) = 0 ⇒ (y – 1)(y + 2) = 0
y – 1 = 0 ବା y + 2 = 0
y = 1 ବା y = -2
ଉତ୍ତର: ୧, -୨
(i) p(-3) = 0 ହୁଏ ।
ଉତ୍ପାଦକ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁସାରେ, ଯଦି p(-3) = 0, ତେବେ (x – (-3)) ଅର୍ଥାତ୍ (x + 3) ହେଉଛି p(x) ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ।
ଉତ୍ତର: (x + 3)
(ii) p(2) = 0 ହୁଏ ।
ଉତ୍ପାଦକ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁସାରେ, ଯଦି p(2) = 0, ତେବେ (x – 2) ହେଉଛି p(x) ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ।
ଉତ୍ତର: (x – 2)
(iii) p(1/2) = 0 ହୁଏ ।
ଉତ୍ପାଦକ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁସାରେ, ଯଦି p(1/2) = 0, ତେବେ (x – 1/2) ହେଉଛି p(x) ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ । ଏହାକୁ (2x – 1) ମଧ୍ୟ ଲେଖାଯାଇପାରେ ।
ଉତ୍ତର: (x – 1/2) ବା (2x – 1)
(iv) p(-3/4) = 0 ହୁଏ ।
ଉତ୍ପାଦକ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁସାରେ, ଯଦି p(-3/4) = 0, ତେବେ (x – (-3/4)) ଅର୍ଥାତ୍ (x + 3/4) ହେଉଛି p(x) ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ । ଏହାକୁ (4x + 3) ମଧ୍ୟ ଲେଖାଯାଇପାରେ ।
ଉତ୍ତର: (x + 3/4) ବା (4x + 3)
(x + 1) ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ହେବା ପାଇଁ, p(-1) = 0 ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ।
(i) p(x) = x³ + x² + x + 1
p(-1) = (-1)³ + (-1)² + (-1) + 1 = -1 + 1 – 1 + 1 = 0
ଉତ୍ତର: (i) x³ + x² + x + 1 ର x + 1 ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ଅଟେ ।
(ii) p(x) = x⁴ + x³ + x² + x + 1
p(-1) = (-1)⁴ + (-1)³ + (-1)² + (-1) + 1 = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 = 1 ≠ 0
ଉତ୍ତର: (ii) x⁴ + x³ + x² + x + 1 ର x + 1 ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ନୁହେଁ ।
(iii) p(x) = x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1
p(-1) = (-1)⁴ + 3(-1)³ + 3(-1)² + (-1) + 1 = 1 + 3(-1) + 3(1) – 1 + 1 = 1 – 3 + 3 – 1 + 1 = 1 ≠ 0
ଉତ୍ତର: (iii) x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1 ର x + 1 ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ନୁହେଁ ।
(iv) p(x) = x³ – x² – (2 + √2)x – √2
p(-1) = (-1)³ – (-1)² – (2 + √2)(-1) – √2
= -1 – 1 + (2 + √2) – √2
= -2 + 2 + √2 – √2 = 0
ଉତ୍ତର: (iv) x³ – x² – (2 + √2)x – √2 ର x + 1 ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ଅଟେ ।
g(x) = x + 1 ହୋଇଥିବାରୁ, p(-1) = 0 ହେଲେ g(x) ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ହେବ ।
(i) p(x) = 2x³ + x² – 2x – 1, g(x) = x + 1
p(-1) = 2(-1)³ + (-1)² – 2(-1) – 1 = 2(-1) + 1 + 2 – 1 = -2 + 1 + 2 – 1 = 0
ଉତ୍ତର: (i) p(x) ର g(x) ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ଅଟେ ।
(ii) p(x) = x³ + 3x² + 3x + 1, g(x) = x + 2
g(x) = x + 2 ହୋଇଥିବାରୁ, p(-2) = 0 ହେଲେ g(x) ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ହେବ ।
p(-2) = (-2)³ + 3(-2)² + 3(-2) + 1 = -8 + 3(4) – 6 + 1 = -8 + 12 – 6 + 1 = -1 ≠ 0
ଉତ୍ତର: (ii) p(x) ର g(x) ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ନୁହେଁ ।
(iii) p(x) = x³ – 4x² + x + 6, g(x) = x – 3
g(x) = x – 3 ହୋଇଥିବାରୁ, p(3) = 0 ହେଲେ g(x) ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ହେବ ।
p(3) = (3)³ – 4(3)² + 3 + 6 = 27 – 4(9) + 3 + 6 = 27 – 36 + 3 + 6 = 0
ଉତ୍ତର: (iii) p(x) ର g(x) ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ଅଟେ ।
x – 1 ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ହୋଇଥିବାରୁ, p(1) = 0 ହେବ ।
(i) p(x) = x² + x + k
p(1) = (1)² + 1 + k = 0
1 + 1 + k = 0
2 + k = 0 ⇒ k = -2
ଉତ୍ତର: -୨
(ii) p(x) = 2x² + kx + √2
p(1) = 2(1)² + k(1) + √2 = 0
2 + k + √2 = 0
k = -2 – √2
ଉତ୍ତର: -୨ – √୨
(iii) p(x) = kx² – √2x + 1
p(1) = k(1)² – √2(1) + 1 = 0
k – √2 + 1 = 0
k = √2 – 1
ଉତ୍ତର: √୨ – ୧
(iv) p(x) = kx² + 3x + k
p(1) = k(1)² + 3(1) + k = 0
k + 3 + k = 0
2k + 3 = 0
2k = -3 ⇒ k = -3/2
ଉତ୍ତର: -୩/୨
(i) (x³ – 1) ÷ (x + 1)
p(x) = x³ – 1, ଭାଜକ x + 1 = x – (-1)
ଭାଗଶେଷ = p(-1) = (-1)³ – 1 = -1 – 1 = -2
ଉତ୍ତର: -୨
(ii) (x³ – 3x + 7) ÷ (x – 2)
p(x) = x³ – 3x + 7, ଭାଜକ x – 2
ଭାଗଶେଷ = p(2) = (2)³ – 3(2) + 7 = 8 – 6 + 7 = 9
ଉତ୍ତର: ୯
(iii) (x² – 3x + 2) ÷ (x + 3)
p(x) = x² – 3x + 2, ଭାଜକ x + 3 = x – (-3)
ଭାଗଶେଷ = p(-3) = (-3)² – 3(-3) + 2 = 9 + 9 + 2 = 20
ଉତ୍ତର: ୨୦
(iv) (2x² – x – 1) ÷ (2x – 1)
p(x) = 2x² – x – 1, ଭାଜକ 2x – 1 = 2(x – 1/2)
ଭାଗଶେଷ = p(1/2) = 2(1/2)² – (1/2) – 1 = 2(1/4) – 1/2 – 1 = 1/2 – 1/2 – 1 = -1
ଉତ୍ତର: -୧
(i) x² – 7x + 12
ମନେକର p(x) = x² – 7x + 12
p(3) = (3)² – 7(3) + 12 = 9 – 21 + 12 = 0, ତେଣୁ (x – 3) ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ।
p(4) = (4)² – 7(4) + 12 = 16 – 28 + 12 = 0, ତେଣୁ (x – 4) ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ।
x² – 7x + 12 = (x – 3)(x – 4)
ଉତ୍ତର: (x – 3)(x – 4)
(ii) x² – 3x – 4
ମନେକର p(x) = x² – 3x – 4
p(-1) = (-1)² – 3(-1) – 4 = 1 + 3 – 4 = 0, ତେଣୁ (x + 1) ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ।
p(4) = (4)² – 3(4) – 4 = 16 – 12 – 4 = 0, ତେଣୁ (x – 4) ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ।
x² – 3x – 4 = (x + 1)(x – 4)
ଉତ୍ତର: (x + 1)(x – 4)
(iii) x³ – 2x² – x + 2
ମନେକର p(x) = x³ – 2x² – x + 2
p(1) = (1)³ – 2(1)² – 1 + 2 = 1 – 2 – 1 + 2 = 0, ତେଣୁ (x – 1) ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ।
p(-1) = (-1)³ – 2(-1)² – (-1) + 2 = -1 – 2 + 1 + 2 = 0, ତେଣୁ (x + 1) ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ।
p(2) = (2)³ – 2(2)² – 2 + 2 = 8 – 8 – 2 + 2 = 0, ତେଣୁ (x – 2) ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ।
x³ – 2x² – x + 2 = (x – 1)(x + 1)(x – 2)
ଉତ୍ତର: (x – 1)(x + 1)(x – 2)
(iv) y³ + y² – 2y – 2
ମନେକର p(y) = y³ + y² – 2y – 2
p(-1) = (-1)³ + (-1)² – 2(-1) – 2 = -1 + 1 + 2 – 2 = 0, ତେଣୁ (y + 1) ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ।
y³ + y² – 2y – 2 = y²(y + 1) – 2(y + 1) = (y² – 2)(y + 1)
ଉତ୍ତର: (y + 1)(y² – 2)
ମନେକର p(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e
ଯେହେତୁ x² – 1 = (x – 1)(x + 1) ହେଉଛି p(x) ର ଏକ ଗୁଣନୀୟକ, ତେଣୁ (x – 1) ଓ (x + 1) ଉଭୟ p(x) ର ଉତ୍ପାଦକ ହେବେ ।
ଉତ୍ପାଦକ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁସାରେ, p(1) = 0 ଏବଂ p(-1) = 0 ହେବ ।
p(1) = a(1)⁴ + b(1)³ + c(1)² + d(1) + e = a + b + c + d + e = 0 ...(1)
p(-1) = a(-1)⁴ + b(-1)³ + c(-1)² + d(-1) + e = a – b + c – d + e = 0 ...(2)
(1) ଓ (2) କୁ ଯୋଗ କଲେ:
(a + b + c + d + e) + (a – b + c – d + e) = 0 + 0
2a + 2c + 2e = 0
2(a + c + e) = 0
a + c + e = 0 (ପ୍ରମାଣିତ)
(1) ରୁ (2) କୁ ବିୟୋଗ କଲେ:
(a + b + c + d + e) – (a – b + c – d + e) = 0 – 0
a + b + c + d + e – a + b – c + d – e = 0
2b + 2d = 0
2(b + d) = 0
b + d = 0 (ପ୍ରମାଣିତ)
ଉତ୍ତର: ପ୍ରମାଣିତ
ମନେକର p(x) = x² + mx + 1
ଯେହେତୁ (x – 1) ହେଉଛି p(x) ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ, ତେଣୁ p(1) = 0 ହେବ ।
p(1) = (1)² + m(1) + 1 = 0
1 + m + 1 = 0
m + 2 = 0 ⇒ m = -2
ବର୍ତ୍ତମାନ, ଆମକୁ ପ୍ରମାଣ କରିବାକୁ ହେବ ଯେ (x – m) ଅର୍ଥାତ୍ (x – (-2)) = (x + 2) ହେଉଛି q(x) = x³ + 3x² + 3x + 2 ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ।
ଏଥିପାଇଁ q(-2) = 0 ପ୍ରମାଣ କରିବା ।
q(-2) = (-2)³ + 3(-2)² + 3(-2) + 2
= -8 + 3(4) – 6 + 2
= -8 + 12 – 6 + 2
= 14 – 14 = 0
ଯେହେତୁ q(-2) = 0, ତେଣୁ (x + 2) ଅର୍ଥାତ୍ (x – m) ହେଉଛି x³ + 3x² + 3x + 2 ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ।
ଉତ୍ତର: ପ୍ରମାଣିତ
ମନେକର p(x) = x² + 2x + 3
ଏହାର ଜିରୋ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ପାଇଁ p(x) = 0 ସ୍ଥିର କରିବା ।
x² + 2x + 3 = 0
ଏହା ଏକ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ ax² + bx + c = 0 ରୂପରେ ଅଛି, ଯେଉଁଠାରେ a = 1, b = 2, c = 3 ।
ଏହି ସମୀକରଣର ନିରୂପକ (Discriminant) Δ = b² – 4ac ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ।
Δ = (2)² – 4(1)(3) = 4 – 12 = -8
ଯେହେତୁ Δ < 0, ତେଣୁ ଏହି ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣର କୌଣସି ବାସ୍ତବ ମୂଳ ନାହିଁ ।
ଅତଏବ, x² + 2x + 3 ପଲିନୋମିଆଲ୍ର କୌଣସି ଜିରୋ ନାହିଁ ।
ଉତ୍ତର: ପ୍ରମାଣିତ
ମନେକର p(x) = x³ – 3x² – x + 3
x = 1 ପାଇଁ: p(1) = (1)³ – 3(1)² – 1 + 3 = 1 – 3 – 1 + 3 = 0
x = -1 ପାଇଁ: p(-1) = (-1)³ – 3(-1)² – (-1) + 3 = -1 – 3(1) + 1 + 3 = -1 – 3 + 1 + 3 = 0
x = 3 ପାଇଁ: p(3) = (3)³ – 3(3)² – 3 + 3 = 27 – 3(9) – 3 + 3 = 27 – 27 – 3 + 3 = 0
ଯେହେତୁ p(1) = 0, p(-1) = 0, ଓ p(3) = 0, ତେଣୁ ୧, -୧ ଓ ୩ ହେଉଛନ୍ତି p(x) ର ଜିରୋ ।
ଉତ୍ତର: ପ୍ରମାଣିତ
ମନେକର p(x) = x³ – 3x² + bx – 6
ଯେହେତୁ p(x) ହେଉଛି (x – 3) ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ, ତେଣୁ (x – 3) ହେଉଛି p(x) ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ।
ଉତ୍ପାଦକ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁସାରେ, p(3) = 0 ହେବ ।
p(3) = (3)³ – 3(3)² + b(3) – 6 = 0
27 – 3(9) + 3b – 6 = 0
27 – 27 + 3b – 6 = 0
3b – 6 = 0
3b = 6 ⇒ b = 2
ଉତ୍ତର: b = ୨
ପ୍ରଥମେ ଦତ୍ତ ସମ୍ପର୍କକୁ ବିସ୍ତାର କରିବା:
x² – bx + c = (x + p)(x – q) = x² – qx + px – pq = x² + (p – q)x – pq
ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ତୁଳନା କଲେ:
-b = p – q ⇒ b = q – p
c = -pq
ବର୍ତ୍ତମାନ, x² – bxy + cy² ର ଉତ୍ପାଦକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ।
x² – bxy + cy² = x² – (q – p)xy + (-pq)y²
= x² – qxy + pxy – pqy²
= x(x – qy) + py(x – qy)
= (x + py)(x – qy)
ଉତ୍ତର: (x + py)(x – qy)
x² – 3x + 2 = x² – 2x – x + 2 = x(x – 2) – 1(x – 2) = (x – 1)(x – 2)
ଉତ୍ତର: (c) (x – 2) ଓ (x – 1)
(x – 1)(x – 3) = x² – 3x – x + 3 = x² – 4x + 3
ଉତ୍ତର: (b) x² – 4x + 3
x⁴ – y⁴ = (x²)² – (y²)² = (x² – y²)(x² + y²) = (x – y)(x + y)(x² + y²)
ଉତ୍ତର: (a) (x² + y²)(x + y)(x – y)
8a³ – b³ – 12a²b + 6ab² = (2a)³ – b³ – 6a²b + 6ab²
= (2a)³ – 3(2a)²b + 3(2a)b² – b³
= (2a – b)³ = (2a – b)(2a – b)(2a – b)
ଉତ୍ତର: (d) (2a – b),(2a – b),(2a – b)
625 + 25x⁴ + x⁸ = (x⁴)² + (25)² + 25x⁴
= (x⁴)² + (25)² + 2(x⁴)(25) – 25x⁴
= (x⁴ + 25)² – (5x²)²
= (x⁴ + 25 – 5x²)(x⁴ + 25 + 5x²)
= (x⁴ – 5x² + 25)(x⁴ + 5x² + 25)
ଉତ୍ତର: (a) (25 + 5x² + x⁴), (25 – 5x² + x⁴)
1 – a³ + b³ + 3ab = 1³ + b³ + (-a)³ – 3(1)(b)(-a)
ଏହା a³ + b³ + c³ – 3abc ରୂପରେ ଅଛି, ଯେଉଁଠାରେ a=1, b=b, c=-a
= (1 + b – a)(1² + b² + (-a)² – 1b – b(-a) – (-a)1)
= (1 + b – a)(1 + b² + a² – b + ab + a)
ଉତ୍ତର: (a) (1 – a + b)
ମନେକର A = 2x – 3y, B = 3y – 4z, C = 4z – 2x
A + B + C = (2x – 3y) + (3y – 4z) + (4z – 2x) = 0
ଯଦି A + B + C = 0, ତେବେ A³ + B³ + C³ = 3ABC
ତେଣୁ (2x – 3y)³ + (3y – 4z)³ + (4z – 2x)³ = 3(2x – 3y)(3y – 4z)(4z – 2x)
= 3(2x – 3y)(3y – 4z)2(2z – x)
= 6(2x – 3y)(3y – 4z)(2z – x)
ଉତ୍ତର: (a) 6(2x – 3y)(3y – 4z)(2z – x)
ମନେକର A = 28, B = -15, C = -13
A + B + C = 28 + (-15) + (-13) = 28 – 15 – 13 = 28 – 28 = 0
ଯଦି A + B + C = 0, ତେବେ A³ + B³ + C³ = 3ABC
ତେଣୁ (28)³ + (-15)³ + (-13)³ = 3 × 28 × (-15) × (-13)
= 3 × 28 × 15 × 13
= 84 × 195 = 16380
ଉତ୍ତର: (b) 16380
ମନେକର X = a – b, Y = b – c, Z = c – a
X + Y + Z = (a – b) + (b – c) + (c – a) = 0
ଯଦି X + Y + Z = 0, ତେବେ X³ + Y³ + Z³ = 3XYZ
ତେଣୁ (a – b)³ + (b – c)³ + (c – a)³ = 3(a – b)(b – c)(c – a)
ଉତ୍ତର: (c) 3(a – b)(b – c)(c – a)
2x² – x – 1 = 2x² – 2x + x – 1 = 2x(x – 1) + 1(x – 1) = (2x + 1)(x – 1)
ଉତ୍ତର: (c) x – 1 (ଏଠାରେ (a) 2x-1 ମଧ୍ୟ ଉତ୍ତର ହୋଇପାରିବ, କିନ୍ତୁ ବିକଳ୍ପରେ x-1 ଦିଆଯାଇଛି)
2x² – 2x + x – 1 = 2x(x – 1) + 1(x – 1) = (2x + 1)(x – 1)
ଉତ୍ତର: (2x + 1)(x – 1)
2x² – 2x – x + 1 = 2x(x – 1) – 1(x – 1) = (2x – 1)(x – 1)
ଉତ୍ତର: (2x – 1)(x – 1)
5x² – 5x + 4x – 4 = 5x(x – 1) + 4(x – 1) = (5x + 4)(x – 1)
ଉତ୍ତର: (5x + 4)(x – 1)
4x² – 8x + 3x – 6 = 4x(x – 2) + 3(x – 2) = (4x + 3)(x – 2)
ଉତ୍ତର: (4x + 3)(x – 2)
3x² + 9x + 2x + 6 = 3x(x + 3) + 2(x + 3) = (3x + 2)(x + 3)
ଉତ୍ତର: (3x + 2)(x + 3)
7x² + 7x – 6x – 6 = 7x(x + 1) – 6(x + 1) = (7x – 6)(x + 1)
ଉତ୍ତର: (7x – 6)(x + 1)
2x² + 7x – 2x – 7 = x(2x + 7) – 1(2x + 7) = (x – 1)(2x + 7)
ଉତ୍ତର: (x – 1)(2x + 7)
4x² – 4x – x + 1 = 4x(x – 1) – 1(x – 1) = (4x – 1)(x – 1)
ଉତ୍ତର: (4x – 1)(x – 1)
4x² – 7x + 4x – 7 = x(4x – 7) + 1(4x – 7) = (x + 1)(4x – 7)
ଉତ୍ତର: (x + 1)(4x – 7)
= (5a²)² – (4b)² = (5a² – 4b)(5a² + 4b)
ଉତ୍ତର: (5a² – 4b)(5a² + 4b)
= 3² – (8pq)² = (3 – 8pq)(3 + 8pq)
ଉତ୍ତର: (3 – 8pq)(3 + 8pq)
= (2x)³ + (3y)³ = (2x + 3y)((2x)² – (2x)(3y) + (3y)²)
= (2x + 3y)(4x² – 6xy + 9y²)
ଉତ୍ତର: (2x + 3y)(4x² – 6xy + 9y²)
= (2x)³ – (3y)³ = (2x – 3y)((2x)² + (2x)(3y) + (3y)²)
= (2x – 3y)(4x² + 6xy + 9y²)
ଉତ୍ତର: (2x – 3y)(4x² + 6xy + 9y²)
= (a + b)² – 3² = (a + b – 3)(a + b + 3)
ଉତ୍ତର: (a + b – 3)(a + b + 3)
= (2a + 5)² – 4² = (2a + 5 – 4)(2a + 5 + 4)
= (2a + 1)(2a + 9)
ଉତ୍ତର: (2a + 1)(2a + 9)
= ((x + 2y) – (x – y))((x + 2y) + (x – y))
= (x + 2y – x + y)(x + 2y + x – y)
= (3y)(2x + y)
ଉତ୍ତର: 3y(2x + y)
= [2(a + 2p)]² – [3(2a – p)]²
= (2a + 4p)² – (6a – 3p)²
= ((2a + 4p) – (6a – 3p))((2a + 4p) + (6a – 3p))
= (2a + 4p – 6a + 3p)(2a + 4p + 6a – 3p)
= (-4a + 7p)(8a + p)
ଉତ୍ତର: (7p – 4a)(8a + p)
= 3[25(2a – b + 1)² – 4(a + b)²]
= 3[(5(2a – b + 1))² – (2(a + b))²]
= 3[(10a – 5b + 5)² – (2a + 2b)²]
= 3[(10a – 5b + 5) – (2a + 2b)][(10a – 5b + 5) + (2a + 2b)]
= 3[10a – 5b + 5 – 2a – 2b][10a – 5b + 5 + 2a + 2b]
= 3[8a – 7b + 5][12a – 3b + 5]
ଉତ୍ତର: 3(8a – 7b + 5)(12a – 3b + 5)
= (a + b)³ – (2c)³
= ((a + b) – 2c)((a + b)² + (a + b)(2c) + (2c)²)
= (a + b – 2c)(a² + 2ab + b² + 2ac + 2bc + 4c²)
ଉତ୍ତର: (a + b – 2c)(a² + b² + 4c² + 2ab + 2bc + 2ac)
= p(p³ – 27q⁶)
= p(p³ – (3q²)³)
= p(p – 3q²)(p² + p(3q²) + (3q²)²)
= p(p – 3q²)(p² + 3pq² + 9q⁴)
ଉତ୍ତର: p(p – 3q²)(p² + 3pq² + 9q⁴)
= 1³ – (a + 2)³
= (1 – (a + 2))(1² + 1(a + 2) + (a + 2)²)
= (1 – a – 2)(1 + a + 2 + a² + 4a + 4)
= (-a – 1)(a² + 5a + 7)
= -(a + 1)(a² + 5a + 7)
ଉତ୍ତର: -(a + 1)(a² + 5a + 7)
= 2³ – (2x – 3)³
= (2 – (2x – 3))(2² + 2(2x – 3) + (2x – 3)²)
= (2 – 2x + 3)(4 + 4x – 6 + 4x² – 12x + 9)
= (5 – 2x)(4x² – 8x + 7)
ଉତ୍ତର: (5 – 2x)(4x² – 8x + 7)
= 5pq(64 – p q⁶)
= 5pq(8² – (pq³)²)
= 5pq(8 – pq³)(8 + pq³)
ଉତ୍ତର: 5pq(8 – pq³)(8 + pq³)
= 1³ + (a + 2)³
= (1 + a + 2)(1² – 1(a + 2) + (a + 2)²)
= (a + 3)(1 – a – 2 + a² + 4a + 4)
= (a + 3)(a² + 3a + 3)
ଉତ୍ତର: (a + 3)(a² + 3a + 3)
= 2³ + (2x – 3)³
= (2 + (2x – 3))(2² – 2(2x – 3) + (2x – 3)²)
= (2 + 2x – 3)(4 – 4x + 6 + 4x² – 12x + 9)
= (2x – 1)(4x² – 16x + 19)
ଉତ୍ତର: (2x – 1)(4x² – 16x + 19)
= a³ + 3a²(2b) + 3a(2b)² + (2b)³
= (a + 2b)³
ଉତ୍ତର: (a + 2b)³
= a³ + 3a²(3) + 3a(3)² + 3³
= (a + 3)³
ଉତ୍ତର: (a + 3)³
= 2³ – 3(2²)(3p) + 3(2)(3p)² – (3p)³
= (2 – 3p)³
ଉତ୍ତର: (2 – 3p)³
ଏହି ପ୍ରଶ୍ନଟି a³ + b³ + c³ – 3abc ରୂପରେ ଅଛି, ଯେଉଁଠାରେ a = (b – q), b = -(c – q), c = -(b – c)
ମନେକର X = b – q, Y = -(c – q) = q – c, Z = -(b – c) = c – b
X + Y + Z = (b – q) + (q – c) + (c – b) = 0
ତେଣୁ X³ + Y³ + Z³ = 3XYZ
(b – q)³ + (q – c)³ + (c – b)³ = 3(b – q)(q – c)(c – b)
ଦତ୍ତ ପରିପ୍ରକାଶ: (b – q)³ – (c – q)³ – 3(b – c)(b – q)(c – q)
= (b – q)³ + (-(c – q))³ + (-(b – c))³ – 3(b – q)(c – q)(b – c)
= (b – q)³ + (q – c)³ + (c – b)³ – 3(b – q)(c – q)(b – c)
= 3(b – q)(q – c)(c – b) – 3(b – q)(c – q)(b – c)
= 3(b – q)(q – c)(c – b) + 3(b – q)(q – c)(c – b) (ଯେହେତୁ -(c-q) = q-c)
= 6(b – q)(q – c)(c – b)
ଉତ୍ତର: 6(b – q)(q – c)(c – b)
= (a²)² + 1² + a² = (a²)² + 2a² + 1 – a²
= (a² + 1)² – a² = (a² + 1 – a)(a² + 1 + a)
= (a² – a + 1)(a² + a + 1)
ଉତ୍ତର: (a² – a + 1)(a² + a + 1)
= (a²b²)² + 1² + a²b² = (a²b²)² + 2a²b² + 1 – a²b²
= (a²b² + 1)² – (ab)² = (a²b² + 1 – ab)(a²b² + 1 + ab)
= (a²b² – ab + 1)(a²b² + ab + 1)
ଉତ୍ତର: (a²b² – ab + 1)(a²b² + ab + 1)
= (4a²)² + (9b²)² + 36a²b²
= (4a²)² + 2(4a²)(9b²) + (9b²)² – 2(4a²)(9b²) + 36a²b²
= (4a² + 9b²)² – 72a²b² + 36a²b²
= (4a² + 9b²)² – 36a²b²
= (4a² + 9b²)² – (6ab)²
= (4a² + 9b² – 6ab)(4a² + 9b² + 6ab)
= (4a² – 6ab + 9b²)(4a² + 6ab + 9b²)
ଉତ୍ତର: (4a² – 6ab + 9b²)(4a² + 6ab + 9b²)
= (a⁴)² + 1² + a⁴ = (a⁴)² + 2a⁴ + 1 – a⁴
= (a⁴ + 1)² – (a²)² = (a⁴ + 1 – a²)(a⁴ + 1 + a²)
= (a⁴ – a² + 1)(a⁴ + a² + 1)
= (a⁴ – a² + 1)(a² – a + 1)(a² + a + 1) (using result from Q4(i))
ଉତ୍ତର: (a⁴ – a² + 1)(a² – a + 1)(a² + a + 1)
= (x²)² + 2² = (x²)² + 2(x²)(2) + 2² – 2(x²)(2)
= (x² + 2)² – 4x² = (x² + 2)² – (2x)²
= (x² + 2 – 2x)(x² + 2 + 2x)
= (x² – 2x + 2)(x² + 2x + 2)
ଉତ୍ତର: (x² – 2x + 2)(x² + 2x + 2)
= 2(a⁴ + 4b⁴)
= 2((a²)² + (2b²)²)
= 2((a²)² + 2(a²)(2b²) + (2b²)² – 2(a²)(2b²))
= 2((a² + 2b²)² – 4a²b²)
= 2((a² + 2b²)² – (2ab)²)
= 2(a² + 2b² – 2ab)(a² + 2b² + 2ab)
= 2(a² – 2ab + 2b²)(a² + 2ab + 2b²)
ଉତ୍ତର: 2(a² – 2ab + 2b²)(a² + 2ab + 2b²)
= 9(4a⁴ + b⁴)
= 9((2a²)² + (b²)²)
= 9((2a²)² + 2(2a²)(b²) + (b²)² – 2(2a²)(b²))
= 9((2a² + b²)² – 4a²b²)
= 9((2a² + b²)² – (2ab)²)
= 9(2a² + b² – 2ab)(2a² + b² + 2ab)
= 9(2a² – 2ab + b²)(2a² + 2ab + b²)
ଉତ୍ତର: 9(2a² – 2ab + b²)(2a² + 2ab + b²)
= (2a²)² + 4² + 7a² = (2a²)² + 2(2a²)(4) + 4² – 2(2a²)(4) + 7a²
= (2a² + 4)² – 16a² + 7a²
= (2a² + 4)² – 9a² = (2a² + 4)² – (3a)²
= (2a² + 4 – 3a)(2a² + 4 + 3a)
= (2a² – 3a + 4)(2a² + 3a + 4)
ଉତ୍ତର: (2a² – 3a + 4)(2a² + 3a + 4)
= (a²)² + (3b²)² + 2a²b²
= (a²)² + 2(a²)(3b²) + (3b²)² – 2(a²)(3b²) + 2a²b²
= (a² + 3b²)² – 6a²b² + 2a²b²
= (a² + 3b²)² – 4a²b²
= (a² + 3b²)² – (2ab)²
= (a² + 3b² – 2ab)(a² + 3b² + 2ab)
= (a² – 2ab + 3b²)(a² + 2ab + 3b²)
ଉତ୍ତର: (a² – 2ab + 3b²)(a² + 2ab + 3b²)
= (a²)² + 1² – 3a² = (a²)² + 2a² + 1 – 2a² – 3a²
= (a² + 1)² – 5a²
= (a² + 1)² – (√5a)²
= (a² + 1 – √5a)(a² + 1 + √5a)
= (a² – √5a + 1)(a² + √5a + 1)
ଉତ୍ତର: (a² – √5a + 1)(a² + √5a + 1)
= (5a²)² + (3b²)² – 19a²b²
= (5a²)² + 2(5a²)(3b²) + (3b²)² – 2(5a²)(3b²) – 19a²b²
= (5a² + 3b²)² – 30a²b² – 19a²b²
= (5a² + 3b²)² – 49a²b²
= (5a² + 3b²)² – (7ab)²
= (5a² + 3b² – 7ab)(5a² + 3b² + 7ab)
= (5a² – 7ab + 3b²)(5a² + 7ab + 3b²)
ଉତ୍ତର: (5a² – 7ab + 3b²)(5a² + 7ab + 3b²)
= (9x² + 6xy + y²) – 4z²
= (3x + y)² – (2z)²
= (3x + y – 2z)(3x + y + 2z)
ଉତ୍ତର: (3x + y – 2z)(3x + y + 2z)
= 16 – (x² + 24y – 9y²)
= 16 – (x² – 24y + 9y²) (ଏଠାରେ ପ୍ରଶ୍ନରେ ଟାଇପିଂ ତ୍ରୁଟି ଥାଇପାରେ, ଯଦି x² + 24y – 9y² ଥାଏ ତେବେ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ । ଯଦି x² – 24xy + 9y² ଥାଏ ତେବେ ସମ୍ଭବ । ମୁଁ ଏହାକୁ 16 – (x² – 24y + 9y²) ଭାବେ ନେଉଛି, ଯାହାକି 16 – (x – 3y)² ହେବା କଥା ।)
ମୁଁ ଏହାକୁ 16 – (x² – 6xy + 9y²) ଭାବେ ନେଉଛି, ଯାହାକି 16 – (x – 3y)² ହେବା କଥା ।
= 16 – (x² – 2(x)(3y) + (3y)²)
= 4² – (x – 3y)²
= (4 – (x – 3y))(4 + (x – 3y))
= (4 – x + 3y)(4 + x – 3y)
ଉତ୍ତର: (4 – x + 3y)(4 + x – 3y) (ପ୍ରଶ୍ନରେ ଥିବା 24y କୁ 6xy ଭାବେ ନେଇ ସମାଧାନ କରାଯାଇଛି)
= a²x² – a²y² – b²x² + b²y² – 4abxy
= a²x² – 2abxy + b²y² – a²y² – 2abxy – b²x²
= (ax – by)² – (ay + bx)²
= ((ax – by) – (ay + bx))((ax – by) + (ay + bx))
= (ax – by – ay – bx)(ax – by + ay + bx)
= (x(a – b) – y(a + b))(x(a + b) + y(a – b))
ଉତ୍ତର: (ax – by – ay – bx)(ax – by + ay + bx)
= a²x² – a²y² + b²x² – b²y² – 2abx² – 2aby²
= a²x² – 2abx² + b²x² – a²y² – 2aby² – b²y²
= (ax – bx)² – (ay + by)²
= (x(a – b))² – (y(a + b))²
= (x(a – b) – y(a + b))(x(a – b) + y(a + b))
ଉତ୍ତର: (x(a – b) – y(a + b))(x(a – b) + y(a + b))
= (a + b + x)(a² + b² + x² – ab – bx – xa)
ଉତ୍ତର: (a + b + x)(a² + b² + x² – ab – bx – xa)
= (2a)³ + b³ + c³ – 3(2a)(b)(c)
= (2a + b + c)((2a)² + b² + c² – (2a)b – b c – c(2a))
= (2a + b + c)(4a² + b² + c² – 2ab – bc – 2ca)
ଉତ୍ତର: (2a + b + c)(4a² + b² + c² – 2ab – bc – 2ca)
= a³ + b³ + (-2)³ – 3(a)(b)(-2)
= (a + b – 2)(a² + b² + (-2)² – ab – b(-2) – (-2)a)
= (a + b – 2)(a² + b² + 4 – ab + 2b + 2a)
ଉତ୍ତର: (a + b – 2)(a² + b² + 4 – ab + 2b + 2a)
= l³ + (-3m)³ + (-n)³ – 3(l)(-3m)(-n)
= (l – 3m – n)(l² + (-3m)² + (-n)² – l(-3m) – (-3m)(-n) – (-n)l)
= (l – 3m – n)(l² + 9m² + n² + 3lm – 3mn + nl)
ଉତ୍ତର: (l – 3m – n)(l² + 9m² + n² + 3lm – 3mn + nl)
ମନେକର X = a – b, Y = c – b, Z = a – c
X + Y + Z = (a – b) + (c – b) + (a – c) = 2a – 2b
ଏହା a³ + b³ + c³ – 3abc ରୂପରେ ନାହିଁ ।
ପ୍ରଶ୍ନରେ ଟାଇପିଂ ତ୍ରୁଟି ଥାଇପାରେ । ଯଦି (a – b)³ + (b – c)³ + (c – a)³ ଥାନ୍ତା, ତେବେ ଉତ୍ତର 3(a – b)(b – c)(c – a) ହୁଅନ୍ତା ।
ଦତ୍ତ ପରିପ୍ରକାଶକୁ (a – b)³ + (c – b)³ + (a – c)³ – 3(a – b)(b – c)(c – a) ଭାବେ ନେଇ ସମାଧାନ କରିବା ।
ମନେକର X = a – b, Y = c – b, Z = a – c
X + Y + Z = (a – b) + (c – b) + (a – c) = 2a – 2b
ଏହି କ୍ଷେତ୍ରରେ X + Y + Z ≠ 0 ।
ତେଣୁ ଏହାକୁ ସିଧାସଳଖ ସୂତ୍ରରେ ପକାଇ ହେବ ନାହିଁ ।
ପ୍ରଶ୍ନଟିରେ ଟାଇପିଂ ତ୍ରୁଟି ଥାଇପାରେ । ଯଦି ପ୍ରଶ୍ନଟି (a – b)³ + (b – c)³ + (c – a)³ ଥାନ୍ତା, ତେବେ ଉତ୍ତର 3(a – b)(b – c)(c – a) ହୁଅନ୍ତା ।
ଯଦି ପ୍ରଶ୍ନଟି (a – b)³ + (b – c)³ + (c – a)³ – 3(a – b)(b – c)(c – a) ଥାନ୍ତା, ତେବେ ଉତ୍ତର 0 ହୁଅନ୍ତା ।
ପ୍ରଶ୍ନରେ ଥିବା (c-b)³ କୁ (b-c)³ ଭାବେ ନେଇ ସମାଧାନ କରିବା ।
ମନେକର x = a – b, y = b – c, z = c – a
x + y + z = (a – b) + (b – c) + (c – a) = 0
ତେଣୁ x³ + y³ + z³ = 3xyz
(a – b)³ + (b – c)³ + (c – a)³ = 3(a – b)(b – c)(c – a)
ଦତ୍ତ ପରିପ୍ରକାଶ: (a – b)³ + (c – b)³ + (a – c)³ – 3(a – b)(b – c)(c – a)
= (a – b)³ – (b – c)³ – (c – a)³ – 3(a – b)(b – c)(c – a)
ଏହାକୁ ସମାଧାନ କରିବା କଷ୍ଟକର । ପ୍ରଶ୍ନରେ ଟାଇପିଂ ତ୍ରୁଟି ଥାଇପାରେ ।
ଯଦି ପ୍ରଶ୍ନଟି (a – b)³ + (b – c)³ + (c – a)³ ଥାନ୍ତା, ତେବେ ଉତ୍ତର 3(a – b)(b – c)(c – a) ହୁଅନ୍ତା ।
ଉତ୍ତର: ପ୍ରଶ୍ନରେ ତ୍ରୁଟି ଥିବାରୁ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ ।
ଏହାକୁ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କରିବା କଷ୍ଟକର ।
ଉତ୍ତର: ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ ।
= x³ – 24x + 72
ଏହାକୁ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କରିବା କଷ୍ଟକର ।
ଉତ୍ତର: ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ ।
ମନେକର y = m³
= y² + 7y – 8
= y² + 8y – y – 8
= y(y + 8) – 1(y + 8)
= (y – 1)(y + 8)
= (m³ – 1)(m³ + 8)
= (m³ – 1³)(m³ + 2³)
= (m – 1)(m² + m + 1)(m + 2)(m² – 2m + 4)
ଉତ୍ତର: (m – 1)(m² + m + 1)(m + 2)(m² – 2m + 4)
= (a³)² + (1/a³)² + 2
= (a³)² + 2(a³)(1/a³) + (1/a³)²
= (a³ + 1/a³)²
ଉତ୍ତର: (a³ + 1/a³)²
ମନେକର y = r³
= y² + 45y – 8
ଏହାକୁ ସହଜରେ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କରିହେବ ନାହିଁ ।
ଉତ୍ତର: ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ ।
= 2(8x³ – 27y⁶ – z³ – 18xy²z)
= 2((2x)³ + (-3y²)³ + (-z)³ – 3(2x)(-3y²)(-z))
= 2(2x – 3y² – z)((2x)² + (-3y²)² + (-z)² – (2x)(-3y²) – (-3y²)(-z) – (-z)(2x))
= 2(2x – 3y² – z)(4x² + 9y⁴ + z² + 6xy² – 3y²z + 2xz)
ଉତ୍ତର: 2(2x – 3y² – z)(4x² + 9y⁴ + z² + 6xy² – 3y²z + 2xz)
= a³ + b³ + (-c/3)³ – 3(a)(b)(-c/3)
= (a + b – c/3)(a² + b² + (-c/3)² – ab – b(-c/3) – (-c/3)a)
= (a + b – c/3)(a² + b² + c²/9 – ab + bc/3 + ac/3)
ଉତ୍ତର: (a + b – c/3)(a² + b² + c²/9 – ab + bc/3 + ac/3)
= (3a)³ + (-2b²)³ + (5c)³ – 3(3a)(-2b²)(5c)
= (3a – 2b² + 5c)((3a)² + (-2b²)² + (5c)² – (3a)(-2b²) – (-2b²)(5c) – (5c)(3a))
= (3a – 2b² + 5c)(9a² + 4b⁴ + 25c² + 6ab² + 10b²c – 15ac)
ଉତ୍ତର: (3a – 2b² + 5c)(9a² + 4b⁴ + 25c² + 6ab² + 10b²c – 15ac)
ମନେକର A = 2x + 3, B = 3x – 2, C = -(5x + 1) = -5x – 1
A + B + C = (2x + 3) + (3x – 2) + (-5x – 1) = 5x + 1 – 5x – 1 = 0
ଯେହେତୁ A + B + C = 0, ତେଣୁ A³ + B³ + C³ = 3ABC
(2x + 3)³ + (3x – 2)³ + (-(5x + 1))³ = 3(2x + 3)(3x – 2)(-(5x + 1))
(2x + 3)³ + (3x – 2)³ – (5x + 1)³ = -3(2x + 3)(3x – 2)(5x + 1)
ଉତ୍ତର: -3(2x + 3)(3x – 2)(5x + 1)
ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ a³ + b³ + c³ – 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² – ab – bc – ca)
ଯଦି a + b + c = 0 ହୁଏ, ତେବେ
a³ + b³ + c³ – 3abc = (0)(a² + b² + c² – ab – bc – ca)
a³ + b³ + c³ – 3abc = 0
a³ + b³ + c³ = 3abc (ପ୍ରମାଣିତ)
ଉତ୍ତର: ପ୍ରମାଣିତ
ମନେକର A = x – y, B = y – z, C = z – x
A + B + C = (x – y) + (y – z) + (z – x) = 0
ଯେହେତୁ A + B + C = 0, ତେଣୁ A³ + B³ + C³ = 3ABC
ଅତଏବ, (x – y)³ + (y – z)³ + (z – x)³ = 3(x – y)(y – z)(z – x)
ଉତ୍ତର: 3(x – y)(y – z)(z – x)
ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ x³ + y³ + z³ – 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² – xy – yz – zx)
ବର୍ତ୍ତମାନ, ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ୱର ଦ୍ୱିତୀୟ ଅଂଶକୁ ବିଚାର କରିବା:
(1/2){(x – y)² + (y – z)² + (z – x)²}
= (1/2){(x² – 2xy + y²) + (y² – 2yz + z²) + (z² – 2zx + x²)}
= (1/2){2x² + 2y² + 2z² – 2xy – 2yz – 2zx}
= (1/2) × 2(x² + y² + z² – xy – yz – zx)
= x² + y² + z² – xy – yz – zx
ତେଣୁ, (x + y + z)(x² + y² + z² – xy – yz – zx) = (x + y + z) × (1/2){(x – y)² + (y – z)² + (z – x)²}
ଅର୍ଥାତ୍ x³ + y³ + z³ – 3xyz = (1/2)(x + y + z){(x – y)² + (y – z)² + (z – x)²} (ପ୍ରମାଣିତ)
ଉତ୍ତର: ପ୍ରମାଣିତ
xy² = x × y²
x²y = x² × y
ଗ.ସା.ଗୁ. = x × y = xy
ଉତ୍ତର: xy
6a³b² = 2 × 3 × a³ × b²
8a²b³ = 2³ × a² × b³
ଗ.ସା.ଗୁ. = 2¹ × a² × b² = 2a²b²
ଉତ୍ତର: 2a²b²
12a²bc = 2² × 3 × a² × b × c
15ab²c³ = 3 × 5 × a × b² × c³
ଗ.ସା.ଗୁ. = 3 × a × b × c = 3abc
ଉତ୍ତର: 3abc
x²y² = x² × y²
x³y = x³ × y
xy³ = x × y³
ଗ.ସା.ଗୁ. = x × y = xy
ଉତ୍ତର: xy
144x³yz⁷ = 2⁴ × 3² × x³ × y × z⁷
108x⁶y⁶z⁶ = 2² × 3³ × x⁶ × y⁶ × z⁶
ଗ.ସା.ଗୁ. = 2² × 3² × x³ × y¹ × z⁶ = 4 × 9 × x³yz⁶ = 36x³yz⁶
ଉତ୍ତର: 36x³yz⁶
x² – 1 = (x – 1)(x + 1)
x² + x = x(x + 1)
ଗ.ସା.ଗୁ. = (x + 1)
ଉତ୍ତର: (x + 1)
a³ – ab² = a(a² – b²) = a(a – b)(a + b)
a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)
ଗ.ସା.ଗୁ. = (a – b)
ଉତ୍ତର: (a – b)
4a² – b² = (2a)² – b² = (2a – b)(2a + b)
b² – 2ab = b(b – 2a) = -b(2a – b)
ଗ.ସା.ଗୁ. = (2a – b)
ଉତ୍ତର: (2a – b)
(x – 1)³
(1 – x)² = (-(x – 1))² = (x – 1)²
ଗ.ସା.ଗୁ. = (x – 1)²
ଉତ୍ତର: (x – 1)²
x² – xy + y²
x⁴ + x²y² + y⁴ = (x² – xy + y²)(x² + xy + y²)
ଗ.ସା.ଗୁ. = (x² – xy + y²)
ଉତ୍ତର: (x² – xy + y²)
6(a² – 4b²) = 2 × 3 × (a² – (2b)²) = 2 × 3 × (a – 2b)(a + 2b)
10(a³ – b³) = 2 × 5 × (a – b)(a² + ab + b²)
ଗ.ସା.ଗୁ. = 2
ଉତ୍ତର: 2
x² + 7x + 12 = x² + 3x + 4x + 12 = x(x + 3) + 4(x + 3) = (x + 3)(x + 4)
x² + 9x + 20 = x² + 4x + 5x + 20 = x(x + 4) + 5(x + 4) = (x + 4)(x + 5)
ଗ.ସା.ଗୁ. = (x + 4)
ଉତ୍ତର: (x + 4)
4x³ – 9x = x(4x² – 9) = x((2x)² – 3²) = x(2x – 3)(2x + 3)
16x³ + 54 = 2(8x³ + 27) = 2((2x)³ + 3³) = 2(2x + 3)((2x)² – (2x)(3) + 3²) = 2(2x + 3)(4x² – 6x + 9)
2x² + 5x + 3 = 2x² + 2x + 3x + 3 = 2x(x + 1) + 3(x + 1) = (2x + 3)(x + 1)
ଗ.ସା.ଗୁ. = (2x + 3)
ଉତ୍ତର: (2x + 3)
a² – b² – c² – 2bc = a² – (b² + 2bc + c²) = a² – (b + c)² = (a – (b + c))(a + (b + c)) = (a – b – c)(a + b + c)
a² + b² – c² + 2ab = (a² + 2ab + b²) – c² = (a + b)² – c² = (a + b – c)(a + b + c)
ଗ.ସା.ଗୁ. = (a + b – c)(a + b + c)
ଉତ୍ତର: (a + b – c)(a + b + c)
a² – b² – c² – 2bc = a² – (b + c)² = (a – b – c)(a + b + c)
b² – c² – a² – 2ca = b² – (c + a)² = (b – c – a)(b + c + a)
c² – a² – b² – 2ab = c² – (a + b)² = (c – a – b)(c + a + b)
ଗ.ସା.ଗୁ. = (a + b + c)
ଉତ୍ତର: (a + b + c)
8a² – 14ab + 6b² = 2(4a² – 7ab + 3b²) = 2(4a² – 4ab – 3ab + 3b²) = 2(4a(a – b) – 3b(a – b)) = 2(4a – 3b)(a – b)
15a² + 18ab – 33b² = 3(5a² + 6ab – 11b²) = 3(5a² + 11ab – 5ab – 11b²) = 3(a(5a + 11b) – b(5a + 11b)) = 3(a – b)(5a + 11b)
9a²b – 7ab² – 2b³ = b(9a² – 7ab – 2b²) = b(9a² – 9ab + 2ab – 2b²) = b(9a(a – b) + 2b(a – b)) = b(9a + 2b)(a – b)
ଗ.ସା.ଗୁ. = (a – b)
ଉତ୍ତର: (a – b)
(a + b)x² – (2a + b)bx + ab² = (a + b)x² – 2abx – b²x + ab²
= ax² + bx² – 2abx – b²x + ab²
= ax(x – 2b) + b²(x – a) – bx²
ଏହାକୁ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କରିବା କଷ୍ଟକର ।
ଉତ୍ତର: ପ୍ରଶ୍ନରେ ତ୍ରୁଟି ଥିବାରୁ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ ।
3a³b = 3 × a³ × b
4a²b = 2² × a² × b
ଲ.ସା.ଗୁ. = 2² × 3 × a³ × b = 12a³b
ଉତ୍ତର: 12a³b
6a²b³ = 2 × 3 × a² × b³
4a³b⁴ = 2² × a³ × b⁴
ଲ.ସା.ଗୁ. = 2² × 3 × a³ × b⁴ = 12a³b⁴
ଉତ୍ତର: 12a³b⁴
20a²b³c⁴ = 2² × 5 × a² × b³ × c⁴
34a³c⁵ = 2 × 17 × a³ × c⁵
ଲ.ସା.ଗୁ. = 2² × 5 × 17 × a³ × b³ × c⁵ = 4 × 5 × 17 × a³b³c⁵ = 340a³b³c⁵
ଉତ୍ତର: 340a³b³c⁵
3a²b = 3 × a² × b
4ab² = 2² × a × b²
6ab = 2 × 3 × a × b
ଲ.ସା.ଗୁ. = 2² × 3 × a² × b² = 12a²b²
ଉତ୍ତର: 12a²b²
25x³y²z² = 5² × x³ × y² × z²
30x²y³z³ = 2 × 3 × 5 × x² × y³ × z³
x³y³z² = x³ × y³ × z²
ଲ.ସା.ଗୁ. = 2 × 3 × 5² × x³ × y³ × z³ = 6 × 25 × x³y³z³ = 150x³y³z³
ଉତ୍ତର: 150x³y³z³
a² + ab = a(a + b)
ab – b² = b(a – b)
ଲ.ସା.ଗୁ. = ab(a + b)(a – b) = ab(a² – b²)
ଉତ୍ତର: ab(a² – b²)
3(x² – y²) = 3(x – y)(x + y)
4(x² + xy) = 4x(x + y)
ଲ.ସା.ଗୁ. = 3 × 4x × (x – y)(x + y) = 12x(x² – y²)
ଉତ୍ତର: 12x(x² – y²)
x³ + y³ = (x + y)(x² – xy + y²)
x²y + xy² = xy(x + y)
ଲ.ସା.ଗୁ. = xy(x + y)(x² – xy + y²) = xy(x³ + y³)
ଉତ୍ତର: xy(x³ + y³)
6a³b – 12a²b² = 6a²b(a – 2b)
8a³ – 64b³ = 8(a³ – 8b³) = 8(a³ – (2b)³) = 8(a – 2b)(a² + 2ab + 4b²)
ଲ.ସା.ଗୁ. = 24a²b(a – 2b)(a² + 2ab + 4b²)
ଉତ୍ତର: 24a²b(a – 2b)(a² + 2ab + 4b²)
(x – y)³
x² – y² = (x – y)(x + y)
ଲ.ସା.ଗୁ. = (x – y)³(x + y)
ଉତ୍ତର: (x – y)³(x + y)
x² – xy = x(x – y)
(x – y)²
x² – y² = (x – y)(x + y)
ଲ.ସା.ଗୁ. = x(x + y)(x – y)²
ଉତ୍ତର: x(x + y)(x – y)²
6(a + b)² = 2 × 3 × (a + b)²
8(a² – b²) = 2³ × (a – b)(a + b)
12(a – b)² = 2² × 3 × (a – b)²
ଲ.ସା.ଗୁ. = 2³ × 3 × (a + b)² × (a – b)² = 24(a² – b²)²
ଉତ୍ତର: 24(a² – b²)²
2x² + 5x – 3 = 2x² + 6x – x – 3 = 2x(x + 3) – 1(x + 3) = (2x – 1)(x + 3)
4x² – 4x + 1 = (2x – 1)²
ଲ.ସା.ଗୁ. = (2x – 1)²(x + 3)
ଉତ୍ତର: (2x – 1)²(x + 3)
3a² + 8a + 4 = 3a² + 6a + 2a + 4 = 3a(a + 2) + 2(a + 2) = (3a + 2)(a + 2)
a² + 2a = a(a + 2)
ଲ.ସା.ଗୁ. = a(a + 2)(3a + 2)
ଉତ୍ତର: a(a + 2)(3a + 2)
6x² – 5x – 6 = 6x² – 9x + 4x – 6 = 3x(2x – 3) + 2(2x – 3) = (3x + 2)(2x – 3)
4x³ – 12x² + 9x = x(4x² – 12x + 9) = x(2x – 3)²
ଲ.ସା.ଗୁ. = x(3x + 2)(2x – 3)²
ଉତ୍ତର: x(3x + 2)(2x – 3)²
3x³ + 5x² – 2x = x(3x² + 5x – 2) = x(3x² + 6x – x – 2) = x(3x(x + 2) – 1(x + 2)) = x(3x – 1)(x + 2)
6x² + 14x + 4 = 2(3x² + 7x + 2) = 2(3x² + 6x + x + 2) = 2(3x(x + 2) + 1(x + 2)) = 2(3x + 1)(x + 2)
9x³ – x = x(9x² – 1) = x((3x)² – 1²) = x(3x – 1)(3x + 1)
ଲ.ସା.ଗୁ. = 2x(3x – 1)(3x + 1)(x + 2)
ଉତ୍ତର: 2x(3x – 1)(3x + 1)(x + 2)
x² + xy + yz + zx = x(x + y) + z(y + x) = (x + y)(x + z)
y² + xy + yz + zx = y(y + x) + z(y + x) = (y + x)(y + z)
z² + xy + yz + zx = z(z + y) + x(y + z) = (z + y)(z + x)
ଲ.ସା.ଗୁ. = (x + y)(y + z)(z + x)
ଉତ୍ତର: (x + y)(y + z)(z + x)
a² – ab – ac + bc = a(a – b) – c(a – b) = (a – b)(a – c)
b² – bc – ab + ca = b(b – c) – a(b – c) = (b – c)(b – a) = -(b – c)(a – b)
c² – ca – bc + ab = c(c – a) – b(c – a) = (c – a)(c – b) = -(c – a)(b – c)
ଲ.ସା.ଗୁ. = (a – b)(b – c)(c – a)
ଉତ୍ତର: (a – b)(b – c)(c – a)
a² – b² – c² – 2bc = a² – (b² + 2bc + c²) = a² – (b + c)² = (a – b – c)(a + b + c)
b² – c² – a² – 2ca = b² – (c² + 2ca + a²) = b² – (c + a)² = (b – c – a)(b + c + a)
c² – a² – b² – 2ab = c² – (a² + 2ab + b²) = c² – (a + b)² = (c – a – b)(c + a + b)
ଲ.ସା.ଗୁ. = (a + b + c)(a – b – c)(b – c – a)(c – a – b)
= (a + b + c) × (-(b + c – a)) × (-(c + a – b)) × (-(a + b – c))
= -(a + b + c)(a – b – c)(b – c – a)(c – a – b)
ଉତ୍ତର: -(a + b + c)(a – b – c)(b – c – a)(c – a – b)
a⁴ + a²b² + b⁴ = (a² – ab + b²)(a² + ab + b²)
a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)
a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)
ଲ.ସା.ଗୁ. = (a – b)(a + b)(a² – ab + b²)(a² + ab + b²)
= (a² – b²)(a⁴ + a²b² + b⁴)
= a⁶ – b⁶
ଉତ୍ତର: a⁶ – b⁶
a⁶ – b⁶ = (a³ – b³)(a³ + b³) = (a – b)(a² + ab + b²)(a + b)(a² – ab + b²)
(a + b)³
a² – b² = (a – b)(a + b)
ଲ.ସା.ଗୁ. = (a – b)(a + b)³(a² + ab + b²)(a² – ab + b²)
ଉତ୍ତର: (a – b)(a + b)³(a² + ab + b²)(a² – ab + b²)
a³ + b³ – 1 – 3ab = a³ + b³ + (-1)³ – 3ab(-1) = (a + b – 1)(a² + b² + (-1)² – ab – b(-1) – (-1)a) = (a + b – 1)(a² + b² + 1 – ab + b + a)
a³ + (b – 1)³ = (a + b – 1)(a² – a(b – 1) + (b – 1)²) = (a + b – 1)(a² – ab + a + b² – 2b + 1)
a² – 2a + 1 – b² = (a – 1)² – b² = (a – 1 – b)(a – 1 + b) = (a – b – 1)(a + b – 1)
ଲ.ସା.ଗୁ. = (a + b – 1)(a² + b² + 1 – ab + b + a)(a² – ab + a + b² – 2b + 1)(a – b – 1)
ଉତ୍ତର: (a + b – 1)(a – b – 1)(a² + b² + 1 – ab + b + a)(a² – ab + a + b² – 2b + 1)
ପ୍ରଥମ ପରିପ୍ରକାଶ: (x – y)³ + (y – z)³ + (z – x)³
ମନେକର A = x – y, B = y – z, C = z – x
A + B + C = 0, ତେଣୁ A³ + B³ + C³ = 3ABC
= 3(x – y)(y – z)(z – x)
ଦ୍ୱିତୀୟ ପରିପ୍ରକାଶ: (x – y)³ – (z – y)³ – (x – z)³
= (x – y)³ + (y – z)³ + (z – x)³ (ଯେହେତୁ -(z-y) = y-z ଓ -(x-z) = z-x)
= 3(x – y)(y – z)(z – x)
ଲ.ସା.ଗୁ. = 3(x – y)(y – z)(z – x)
ଉତ୍ତର: 3(x – y)(y – z)(z – x)
ବାମପାର୍ଶ୍ୱ = (x² + y²)/xy
ଡାହାଣପାର୍ଶ୍ୱ = (x + y)/5
ଏହା ସର୍ବଦା ସମାନ ନୁହେଁ ।
ଉତ୍ତର: X
x/y = y/x ⇒ x² = y² ⇒ x = ±y
ଏହା ସର୍ବଦା ସମାନ ନୁହେଁ ।
ଉତ୍ତର: X
1/(x – y) + 1/(-(x – y)) = 1/(x – y) – 1/(x – y) = 0
ଉତ୍ତର: ✓
ଏହା ସର୍ବଦା ସମାନ ନୁହେଁ ।
ଉତ୍ତର: X
1/(x – 1) + 1/(y – 1) = -1/(1 – x) – 1/(1 – y)
ଏହା ସର୍ବଦା ସମାନ ନୁହେଁ ।
ଉତ୍ତର: X
ଏହା ସର୍ବଦା ସମାନ ନୁହେଁ ।
ଉତ୍ତର: X
= (x – y + x + y) / ((x + y)(x – y))
= 2x / (x² – y²)
ଉତ୍ତର: 2x / (x² – y²)
= (x(x + y) – y(x – y)) / ((x – y)(x + y))
= (x² + xy – xy + y²) / (x² – y²)
= (x² + y²) / (x² – y²)
ଉତ୍ତର: (x² + y²) / (x² – y²)
= 1/b + 1/c + 1/a
= (ac + ab + bc) / abc
ଉତ୍ତର: (ac + ab + bc) / abc
= ((x – y)² – (x + y)²) / ((x + y)(x – y))
= (x² – 2xy + y² – (x² + 2xy + y²)) / (x² – y²)
= (x² – 2xy + y² – x² – 2xy – y²) / (x² – y²)
= -4xy / (x² – y²)
ଉତ୍ତର: -4xy / (x² – y²)
= 1/((x – y)(x + y)) – 1/(x – y)²
= ((x – y) – (x + y)) / ((x – y)²(x + y))
= (x – y – x – y) / ((x – y)²(x + y))
= -2y / ((x – y)²(x + y))
ଉତ୍ତର: -2y / ((x – y)²(x + y))
= (a² – b²) / (a + b)
= ((a – b)(a + b)) / (a + b)
= a – b
ଉତ୍ତର: a – b
= (x – 2y + x + 2y) / ((x + 2y)(x – 2y)) + 2x/(x² – 4y²)
= 2x / (x² – 4y²) + 2x/(x² – 4y²)
= 4x / (x² – 4y²)
ଉତ୍ତର: 4x / (x² – 4y²)
= (a(a + b) + b(a – b)) / ((a – b)(a + b)) + (a² + b²)/(a² – b²)
= (a² + ab + ab – b²) / (a² – b²) + (a² + b²)/(a² – b²)
= (a² + 2ab – b²) / (a² – b²) + (a² + b²)/(a² – b²)
= (a² + 2ab – b² + a² + b²) / (a² – b²)
= (2a² + 2ab) / (a² – b²)
= 2a(a + b) / ((a – b)(a + b))
= 2a / (a – b)
ଉତ୍ତର: 2a / (a – b)
= ((x + 1 + x – 1) / (x² – 1)) – ((x + 2 + x – 2) / (x² – 4))
= 2x / (x² – 1) – 2x / (x² – 4)
= 2x((x² – 4) – (x² – 1)) / ((x² – 1)(x² – 4))
= 2x(x² – 4 – x² + 1) / ((x² – 1)(x² – 4))
= 2x(-3) / ((x² – 1)(x² – 4))
= -6x / ((x² – 1)(x² – 4))
ଉତ୍ତର: -6x / ((x² – 1)(x² – 4))
(3x + 1)/((x – 3)(x + 3)) – (5x² – 4)/((x – 3)(x² + 3x + 9))
= [(3x + 1)(x² + 3x + 9) – (5x² – 4)(x + 3)] / ((x – 3)(x + 3)(x² + 3x + 9))
= [3x³ + 9x² + 27x + x² + 3x + 9 – (5x³ + 15x² – 4x – 12)] / ((x³ – 27)(x + 3))
= [3x³ + 10x² + 30x + 9 – 5x³ – 15x² + 4x + 12] / ((x³ – 27)(x + 3))
= [-2x³ – 5x² + 34x + 21] / ((x³ – 27)(x + 3))
ଉତ୍ତର: (-2x³ – 5x² + 34x + 21) / ((x³ – 27)(x + 3))
= (x³y²z × a³b²c × 2x) / (a²b³c² × x²yz × 4a)
= (2a³b²cx⁴y²z) / (4a³b³c³x²yz)
= (1/2) × (x⁴/x²) × (y²/y) × (z/z) × (a³/a³) × (b²/b³) × (c/c³)
= (1/2) × x² × y × 1 × 1 × (1/b) × (1/c²)
= x²y / (2bc²)
ଉତ୍ତର: x²y / (2bc²)
= ((x – y)(x + y))/(x + y) × (x(x + y))/(x – y)
= (x – y) × (x(x + y))/(x – y)
= x(x + y)
ଉତ୍ତର: x(x + y)
= ((x + y)(x² – xy + y²))/((x – y)(x + y)) × (x² – xy + y²)/((x – y)(x² + xy + y²))
= (x² – xy + y²)/(x – y) × (x² – xy + y²)/((x – y)(x² + xy + y²))
= (x² – xy + y²)² / ((x – y)²(x² + xy + y²))
ଉତ୍ତର: (x² – xy + y²)² / ((x – y)²(x² + xy + y²))
x² – 7x + 10 = (x – 2)(x – 5)
x² – 5x – 14 = (x – 7)(x + 2)
x³ + 8 = (x + 2)(x² – 2x + 4)
x³ – 8 = (x – 2)(x² + 2x + 4)
= [(x – 2)(x – 5)] / [(x – 7)(x + 2)] × [(x + 2)(x² – 2x + 4)] / [(x – 2)(x² + 2x + 4)]
= (x – 5)(x² – 2x + 4) / ((x – 7)(x² + 2x + 4))
ଉତ୍ତର: (x – 5)(x² – 2x + 4) / ((x – 7)(x² + 2x + 4))
= ((x²y² + x³ + y³) / (x²y²)) ÷ ((x²y² + xy³ + x³y) / (x²y²))
= (x³ + y³ + x²y²) / (x²y²) × (x²y²) / (x³y + xy³ + x²y²)
= (x³ + y³ + x²y²) / (xy(x² + y² + xy))
= ((x + y)(x² – xy + y²) + x²y²) / (xy(x² + y² + xy))
ଉତ୍ତର: (x³ + y³ + x²y²) / (xy(x² + y² + xy))
= ((x – y)(x + y))/(x – z) × (x² – z²)/(x – y)
= ((x – y)(x + y))/(x – z) × ((x – z)(x + z))/(x – y)
= (x + y)(x + z)
ଉତ୍ତର: (x + y)(x + z)
= (a + b)/(a – b) × (a – b)²/((a – b)(a + b))
= (a + b)/(a – b) × (a – b)/(a + b)
= 1
ଉତ୍ତର: 1
= ((x – y)(x² + xy + y²))/(x + y) × (x² + xy + y²)/((x – y)(x + y))
= (x² + xy + y²)² / (x + y)²
ଉତ୍ତର: (x² + xy + y²)² / (x + y)²
ପ୍ରଥମେ (a + b)² + (a – b)² = a² + 2ab + b² + a² – 2ab + b² = 2a² + 2b²
(a + b)² – (a – b)² = a² + 2ab + b² – (a² – 2ab + b²) = 4ab
= (2a² + 2b²) / (4ab) ÷ (a² – b²)/(2ab(a – b))
= (2(a² + b²)) / (4ab) × (2ab(a – b))/(a² – b²)
= (a² + b²) / (2ab) × (2ab(a – b))/((a – b)(a + b))
= (a² + b²) / (a + b)
ଉତ୍ତର: (a² + b²) / (a + b)
= ((x + y)(x² – xy + y²))/((x – y)(x + y)) × (x² – xy + y²)/((x – y)(x² + xy + y²))
= (x² – xy + y²)² / ((x – y)²(x² + xy + y²))
ଉତ୍ତର: (x² – xy + y²)² / ((x – y)²(x² + xy + y²))
a² + 3a – 18 = (a + 6)(a – 3)
a² – 4 = (a – 2)(a + 2)
a² – 36 = (a – 6)(a + 6)
a² – 5a – 14 = (a – 7)(a + 2)
= [(a + 6)(a – 3)] / [(a – 2)(a + 2)] ÷ [(a – 6)(a + 6)] / [(a – 7)(a + 2)]
= [(a + 6)(a – 3)] / [(a – 2)(a + 2)] × [(a – 7)(a + 2)] / [(a – 6)(a + 6)]
= (a – 3)(a – 7) / ((a – 2)(a – 6))
ଉତ୍ତର: (a – 3)(a – 7) / ((a – 2)(a – 6))
3a² + a – 4 = 3a² + 4a – 3a – 4 = a(3a + 4) – 1(3a + 4) = (a – 1)(3a + 4)
2a² – a – 3 = 2a² – 3a + 2a – 3 = a(2a – 3) + 1(2a – 3) = (a + 1)(2a – 3)
3a² – 2a – 8 = 3a² – 6a + 4a – 8 = 3a(a – 2) + 4(a – 2) = (3a + 4)(a – 2)
2a² – 7a + 6 = 2a² – 4a – 3a + 6 = 2a(a – 2) – 3(a – 2) = (2a – 3)(a – 2)
= [(a – 1)(3a + 4)] / [(a + 1)(2a – 3)] ÷ [(3a + 4)(a – 2)] / [(2a – 3)(a – 2)]
= [(a – 1)(3a + 4)] / [(a + 1)(2a – 3)] × [(2a – 3)(a – 2)] / [(3a + 4)(a – 2)]
= (a – 1) / (a + 1)
ଉତ୍ତର: (a – 1) / (a + 1)
= 1 / (1 + 1 / ((x + 1)/x))
= 1 / (1 + x / (x + 1))
= 1 / ((x + 1 + x) / (x + 1))
= 1 / ((2x + 1) / (x + 1))
= (x + 1) / (2x + 1)
ଉତ୍ତର: (x + 1) / (2x + 1)
= a / (a – 1 / (a – (a + 1)/(a + 1)))
= a / (a – 1 / ((a(a + 1) – (a – 1))/(a + 1)))
= a / (a – 1 / ((a² + a – a + 1)/(a + 1)))
= a / (a – 1 / ((a² + 1)/(a + 1)))
= a / (a – (a + 1)/(a² + 1))
= a / ((a(a² + 1) – (a + 1))/(a² + 1))
= a / ((a³ + a – a – 1)/(a² + 1))
= a / ((a³ – 1)/(a² + 1))
= a(a² + 1) / (a³ – 1)
ଉତ୍ତର: a(a² + 1) / (a³ – 1)
= y / (y² – 1 / (y³ – (y + 1)/(y + 1)))
= y / (y² – 1 / (y³ – 1/(y + 1)))
= y / (y² – 1 / ((y³(y + 1) – 1)/(y + 1)))
= y / (y² – (y + 1)/(y⁴ + y³ – 1))
= y / ((y²(y⁴ + y³ – 1) – (y + 1))/(y⁴ + y³ – 1))
= y(y⁴ + y³ – 1) / (y⁶ + y⁵ – y² – y – 1)
ଉତ୍ତର: y(y⁴ + y³ – 1) / (y⁶ + y⁵ – y² – y – 1)
= x / (x – 1 / (x – (1 + x)/(1 + x)))
= x / (x – 1 / ((x(1 + x) – 1)/(1 + x)))
= x / (x – 1 / ((x + x² – 1)/(1 + x)))
= x / (x – (1 + x)/(x² + x – 1))
= x / ((x(x² + x – 1) – (1 + x))/(x² + x – 1))
= x / ((x³ + x² – x – 1 – x)/(x² + x – 1))
= x(x² + x – 1) / (x³ + x² – 2x – 1)
ଉତ୍ତର: x(x² + x – 1) / (x³ + x² – 2x – 1)
= x / (x – 1 / (x – 1/(x – 1)))
= x / (x – 1 / ((x(x – 1) – 1)/(x – 1)))
= x / (x – (x – 1)/(x² – x – 1))
= x / ((x(x² – x – 1) – (x – 1))/(x² – x – 1))
= x / ((x³ – x² – x – x + 1)/(x² – x – 1))
= x(x² – x – 1) / (x³ – x² – 2x + 1)
ଉତ୍ତର: x(x² – x – 1) / (x³ – x² – 2x + 1)
(x + 1)² – 2x = x² + 2x + 1 – 2x = x² + 1
ଏହା ଏକ ଅଭେଦ । ତେଣୁ ଦତ୍ତ ସମସ୍ତ ମାନ ପାଇଁ ସମୀକରଣଟି ସିଦ୍ଧ ହେବ ।
ଉତ୍ତର: ୨, ୩, ୫, ୮, -୧
12y – 6 – 5y – 15 = 3y + 15 – 24
7y – 21 = 3y – 9
7y – 3y = 21 – 9
4y = 12 ⇒ y = 3
ଉତ୍ତର: ୩
3 – z + 2 + 2z = 13 – 2z – 2
z + 5 = 11 – 2z
z + 2z = 11 – 5
3z = 6 ⇒ z = 2
ଉତ୍ତର: ୨
6x + 10 = 2x + 24 + 9x – 9
6x + 10 = 11x + 15
10 – 15 = 11x – 6x
-5 = 5x ⇒ x = -1
ଉତ୍ତର: -୧
3x – 12 + 6 = 2x + 4 – 2
3x – 6 = 2x + 2
3x – 2x = 2 + 6
x = 8
ଉତ୍ତର: ୮
3x + 9 – 3x + 5 – 5x – 4 = 0
-5x + 10 = 0
-5x = -10 ⇒ x = 2
ଉତ୍ତର: ୨
(5x – 1)³ = (5x)³ – 3(5x)²(1) + 3(5x)(1)² – 1³
= 125x³ – 75x² + 15x – 1
ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ୱ = 125x³ – 75x² + 15x – 1
ବାମପାର୍ଶ୍ୱ = ଡାହାଣପାର୍ଶ୍ୱ । ତେଣୁ ଏହା ଏକ ଅଭେଦ ।
ଉତ୍ତର: ଅଭେଦ
ବାମପାର୍ଶ୍ୱ = x² – 10x + 25
ଡାହାଣପାର୍ଶ୍ୱ = 2x – 6 + x² – 4 – 1 = x² + 2x – 11
x² – 10x + 25 = x² + 2x – 11
-10x – 2x = -11 – 25
-12x = -36 ⇒ x = 3
ଏହାର ଗୋଟିଏ ମୂଳ ଅଛି । ତେଣୁ ଏହା ଏକ ସଙ୍ଗତ ସମୀକରଣ ।
ଉତ୍ତର: ସଙ୍ଗତ
4x + 3 – 11x + 18 = 0
-7x + 21 = 0
-7x = -21 ⇒ x = 3
ଏହାର ଗୋଟିଏ ମୂଳ ଅଛି । ତେଣୁ ଏହା ଏକ ସଙ୍ଗତ ସମୀକରଣ ।
ଉତ୍ତର: ସଙ୍ଗତ
ବାମପାର୍ଶ୍ୱ = 3(x² – 2x – 15) = 3x² – 6x – 45
ଡାହାଣପାର୍ଶ୍ୱ = x² – 6x + 9 + x² – 36 + x² – 9 – 9 = 3x² – 6x – 45
ବାମପାର୍ଶ୍ୱ = ଡାହାଣପାର୍ଶ୍ୱ । ତେଣୁ ଏହା ଏକ ଅଭେଦ ।
ଉତ୍ତର: ଅଭେଦ
3x + 6a – 2b = 2x + 2a + b
3x – 2x = 2a + b – 6a + 2b
x = -4a + 3b
ଏହାର ଗୋଟିଏ ମୂଳ ଅଛି । ତେଣୁ ଏହା ଏକ ସଙ୍ଗତ ସମୀକରଣ ।
ଉତ୍ତର: ସଙ୍ଗତ
3x + 6 = 8x – 4 – 5x – 15
3x + 6 = 3x – 19
6 = -19
ଏହା ଏକ ମିଥ୍ୟା ଉକ୍ତି । ତେଣୁ ଏହା ଏକ ଅସଙ୍ଗତ ସମୀକରଣ ।
ଉତ୍ତର: ଅସଙ୍ଗତ
6x – 2 – 3x – 6 = 1
3x – 8 = 1
3x = 9 ⇒ x = 3
ଉତ୍ତର: x = 3
x² – 2x – 15 – 15 = x² – x
x² – 2x – 30 = x² – x
-2x – 30 = -x
-30 = -x + 2x
-30 = x
ଉତ୍ତର: x = -30
3x + 3a – b = 2x + 2b + a
3x – 2x = 2b + a – 3a + b
x = 3b – 2a
ଉତ୍ତର: x = 3b – 2a
x² – 10x + 25 + 2x – 6 = x² – 4 – 1
x² – 8x + 19 = x² – 5
-8x + 19 = -5
-8x = -5 – 19
-8x = -24 ⇒ x = 3
ଉତ୍ତର: x = 3
x² – 6x + 9 = 2x² – 2x – x² – 3x – 2
x² – 6x + 9 = x² – 5x – 2
-6x + 9 = -5x – 2
9 + 2 = -5x + 6x
11 = x
ଉତ୍ତର: x = 11
x² + 4x + 4 = 3x² + 3x – 2x² + 2x
x² + 4x + 4 = x² + 5x
4x + 4 = 5x
4 = 5x – 4x
x = 4
ଉତ୍ତର: x = 4
ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଲ.ସା.ଗୁ. 12 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ।
4x – 3(2x – 1) = 6x + 4
4x – 6x + 3 = 6x + 4
-2x + 3 = 6x + 4
3 – 4 = 6x + 2x
-1 = 8x ⇒ x = -1/8
ଉତ୍ତର: x = -1/8
ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଲ.ସା.ଗୁ. 20 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ।
40 – 5(3x + 4) = 4(3 – 2x) – 10x
40 – 15x – 20 = 12 – 8x – 10x
20 – 15x = 12 – 18x
-15x + 18x = 12 – 20
3x = -8 ⇒ x = -8/3
ଉତ୍ତର: x = -8/3
ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଲ.ସା.ଗୁ. 12 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ।
3(3x) – 2(5x) = x + 24
9x – 10x = x + 24
-x = x + 24
-x – x = 24
-2x = 24 ⇒ x = -12
ଉତ୍ତର: x = -12
ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଲ.ସା.ଗୁ. 90 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ।
18(2x – 1) – 15(5(x + 3)) = 90x – 10(7 – 8x)
36x – 18 – 75(x + 3) = 90x – 70 + 80x
36x – 18 – 75x – 225 = 170x – 70
-39x – 243 = 170x – 70
-243 + 70 = 170x + 39x
-173 = 209x ⇒ x = -173/209
ଉତ୍ତର: x = -173/209
x / ((27x – 3 – 4x)/3) = 2/5
3x / (23x – 3) = 2/5
5(3x) = 2(23x – 3)
15x = 46x – 6
6 = 46x – 15x
6 = 31x ⇒ x = 6/31
ଉତ୍ତର: x = 6/31
ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଲ.ସା.ଗୁ. 10 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ।
2x + 5x = 70
7x = 70 ⇒ x = 10
ଉତ୍ତର: x = 10
(x + 4 + x + 1) / ((x + 1)(x + 4)) = 2/(x + 3)
(2x + 5) / (x² + 5x + 4) = 2/(x + 3)
(2x + 5)(x + 3) = 2(x² + 5x + 4)
2x² + 6x + 5x + 15 = 2x² + 10x + 8
2x² + 11x + 15 = 2x² + 10x + 8
11x + 15 = 10x + 8
11x – 10x = 8 – 15
x = -7
ଉତ୍ତର: x = -7
1/(x + 1) = 1 (1/x କୁ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ ବାଦ୍ ଦେବା)
1 = x + 1 ⇒ x = 0
କିନ୍ତୁ x ହରରେ ଥିବାରୁ x ≠ 0 । ତେଣୁ ଏହି ସମୀକରଣର କୌଣସି ସମାଧାନ ନାହିଁ ।
ଉତ୍ତର: କୌଣସି ସମାଧାନ ନାହିଁ ।
2/(x + 1) + 3/(2(x + 1)) = 1/(2x + 3)
(4 + 3) / (2(x + 1)) = 1/(2x + 3)
7 / (2(x + 1)) = 1/(2x + 3)
7(2x + 3) = 2(x + 1)
14x + 21 = 2x + 2
14x – 2x = 2 – 21
12x = -19 ⇒ x = -19/12
ଉତ୍ତର: x = -19/12
2/(2x + 3) + 4/(x + 2) = 7/(2(x + 3))
ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଲ.ସା.ଗୁ. 2(2x + 3)(x + 2)(x + 3) ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ।
ଏଠାରେ 7/(2(x+3)) ରେ 2x+6 କୁ 2(x+3) ଭାବେ ନେବା ।
2/(2x + 3) + 4/(x + 2) = 7/(2(x + 3))
[2(x + 2) + 4(2x + 3)] / [(2x + 3)(x + 2)] = 7/(2(x + 3))
[2x + 4 + 8x + 12] / [(2x + 3)(x + 2)] = 7/(2(x + 3))
(10x + 16) / ((2x + 3)(x + 2)) = 7 / (2(x + 3))
2(10x + 16)(x + 3) = 7(2x + 3)(x + 2)
(20x + 32)(x + 3) = 7(2x² + 4x + 3x + 6)
20x² + 60x + 32x + 96 = 7(2x² + 7x + 6)
20x² + 92x + 96 = 14x² + 49x + 42
20x² – 14x² + 92x – 49x + 96 – 42 = 0
6x² + 43x + 54 = 0
ଏହାକୁ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କରିବା କଷ୍ଟକର ।
ଉତ୍ତର: 6x² + 43x + 54 = 0 (ଏହି ସମୀକରଣର ମୂଳ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ ।)
[x(x + 2) + (x + 1)²] / [(x + 1)(x + 2)] = 5/2
[x² + 2x + x² + 2x + 1] / [x² + 3x + 2] = 5/2
(2x² + 4x + 1) / (x² + 3x + 2) = 5/2
2(2x² + 4x + 1) = 5(x² + 3x + 2)
4x² + 8x + 2 = 5x² + 15x + 10
0 = 5x² – 4x² + 15x – 8x + 10 – 2
0 = x² + 7x + 8
ଉତ୍ତର: x² + 7x + 8 = 0 (ଏହି ସମୀକରଣର ମୂଳ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ ।)
ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ ax² + bx + c = 0 ରୂପରେ ଥାଏ, ଯେଉଁଠାରେ a ≠ 0 ।
3x² – 4x + 4x – 5 = 0
3x² – 5 = 0
ଏହା ax² + bx + c = 0 ରୂପରେ ଅଛି, ଯେଉଁଠାରେ a = 3 ≠ 0 । ତେଣୁ ଏହା ଏକ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ ।
ଉତ୍ତର: ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ
x³ – 2x² + 4 – x³ – 2x = 0
-2x² – 2x + 4 = 0
ଏହା ax² + bx + c = 0 ରୂପରେ ଅଛି, ଯେଉଁଠାରେ a = -2 ≠ 0 । ତେଣୁ ଏହା ଏକ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ ।
ଉତ୍ତର: ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ
x² + 3 = x³
x³ – x² – 3 = 0
ଏହା ax² + bx + c = 0 ରୂପରେ ନାହିଁ, ଏହା ଏକ ତ୍ରିଘାତ ସମୀକରଣ ।
ଉତ୍ତର: ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ ନୁହେଁ
x² + 1 = 2x
x² – 2x + 1 = 0
ଏହା ax² + bx + c = 0 ରୂପରେ ଅଛି, ଯେଉଁଠାରେ a = 1 ≠ 0 । ତେଣୁ ଏହା ଏକ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ ।
ଉତ୍ତର: ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ
x² + 6x + 9 = 0
ଏହା ax² + bx + c = 0 ରୂପରେ ଅଛି, ଯେଉଁଠାରେ a = 1 ≠ 0 । ତେଣୁ ଏହା ଏକ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ ।
ଉତ୍ତର: ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ
ଏହା ax² + bx + c = 0 ରୂପରେ ଅଛି, ଯେଉଁଠାରେ a = 1 ≠ 0 । ତେଣୁ ଏହା ଏକ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ ।
ଉତ୍ତର: ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ
3x² – 2x – 7 = 0
ଏହା ax² + bx + c = 0 ରୂପରେ ଅଛି, ଯେଉଁଠାରେ a = 3 ≠ 0 । ତେଣୁ ଏହା ଏକ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ ।
ଉତ୍ତର: ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ
(9x² + 12x + 4) – (x² + 8x + 16) = x – 3
9x² + 12x + 4 – x² – 8x – 16 = x – 3
8x² + 4x – 12 = x – 3
8x² + 3x – 9 = 0
ଏହା ax² + bx + c = 0 ରୂପରେ ଅଛି, ଯେଉଁଠାରେ a = 8 ≠ 0 । ତେଣୁ ଏହା ଏକ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ ।
ଉତ୍ତର: ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ
ଏହା ax² + bx + c = 0 ରୂପରେ ଅଛି, ଯେଉଁଠାରେ a = 7 ≠ 0 । ତେଣୁ ଏହା ଏକ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ ।
ଉତ୍ତର: ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ
6x² – 4x + 3 = 0
ଏହା ax² + bx + c = 0 ରୂପରେ ଅଛି, ଯେଉଁଠାରେ a = 6 ≠ 0 । ତେଣୁ ଏହା ଏକ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ ।
ଉତ୍ତର: ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ
x(x – 3) = 0
x = 0 ବା x = 3
ଉତ୍ତର: ୦, ୩
3(x² – 4) = 0
x² – 4 = 0
(x – 2)(x + 2) = 0
x = 2 ବା x = -2
ଉତ୍ତର: ୨, -୨
(x – 1)(x – 2) = 0
x = 1 ବା x = 2
ଉତ୍ତର: ୧, ୨
x² + 2√2x – √2x – 4 = 0 (ଏହା ଭୁଲ୍, ମଧ୍ୟପଦ ବିଶ୍ଳେଷଣ ହେବ ନାହିଁ)
x² + √2x – 4 = 0
x = √2: (√2)² + √2(√2) – 4 = 2 + 2 – 4 = 0
x = -√2: (-√2)² + √2(-√2) – 4 = 2 – 2 – 4 = -4 ≠ 0
x = 2√2: (2√2)² + √2(2√2) – 4 = 8 + 4 – 4 = 8 ≠ 0
x = -2√2: (-2√2)² + √2(-2√2) – 4 = 8 – 4 – 4 = 0
ଉତ୍ତର: √୨, -୨√୨
(x – 2)(x + 1) = 0
x = 2 ବା x = -1
ଉତ୍ତର: ୨, -୧
x² = 1/(28 × 7) = 1/196
x = ±√(1/196) = ±1/14
ଉତ୍ତର: x = ±1/14
5x² – 3x = 0
x(5x – 3) = 0
x = 0 ବା 5x – 3 = 0 ⇒ x = 3/5
ଉତ୍ତର: x = 0, 3/5
(x – 1)(x – 2) = 0
x = 1 ବା x = 2
ଉତ୍ତର: x = 1, 2
x² + 3x + 2 = 30
x² + 3x – 28 = 0
x² + 7x – 4x – 28 = 0
x(x + 7) – 4(x + 7) = 0
(x – 4)(x + 7) = 0
x = 4 ବା x = -7
ଉତ୍ତର: x = 4, -7
√3x² – 3x + 2x – 2√3 = 0
√3x(x – √3) + 2(x – √3) = 0
(√3x + 2)(x – √3) = 0
√3x + 2 = 0 ବା x – √3 = 0
x = -2/√3 ବା x = √3
ଉତ୍ତର: x = -2/√3, √3
2x² – 6x + x – 3 = 0
2x(x – 3) + 1(x – 3) = 0
(2x + 1)(x – 3) = 0
2x + 1 = 0 ବା x – 3 = 0
x = -1/2 ବା x = 3
ଉତ୍ତର: x = -1/2, 3
x² + ax – 2a² = 0
x² + 2ax – ax – 2a² = 0
x(x + 2a) – a(x + 2a) = 0
(x – a)(x + 2a) = 0
x = a ବା x = -2a
ଉତ୍ତର: x = a, -2a
(x² + 2ax + a²) – b² = 0
(x + a)² – b² = 0
(x + a – b)(x + a + b) = 0
x + a – b = 0 ବା x + a + b = 0
x = b – a ବା x = -a – b
ଉତ୍ତର: x = b – a, -(a + b)
x² + 42 = 15x
x² – 15x + 42 = 0
ଏହାକୁ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କରିବା କଷ୍ଟକର । (x = (15 ± √(225 - 168))/2 = (15 ± √57)/2)
ଉତ୍ତର: x = (15 ± √57)/2
[3(x – 1) + 5(x – 2)] / [(x – 2)(x – 1)] = 2
(3x – 3 + 5x – 10) / (x² – 3x + 2) = 2
(8x – 13) = 2(x² – 3x + 2)
8x – 13 = 2x² – 6x + 4
0 = 2x² – 6x – 8x + 4 + 13
0 = 2x² – 14x + 17
ଉତ୍ତର: 2x² – 14x + 17 = 0
[x(x + 2) + (x + 1)²] / [(x + 1)(x + 2)] = 5/2
[x² + 2x + x² + 2x + 1] / [x² + 3x + 2] = 5/2
(2x² + 4x + 1) / (x² + 3x + 2) = 5/2
2(2x² + 4x + 1) = 5(x² + 3x + 2)
4x² + 8x + 2 = 5x² + 15x + 10
0 = x² + 7x + 8
ଉତ୍ତର: x² + 7x + 8 = 0
[x(x + 2) + (x + 3)²] / [(x + 3)(x + 2)] = 5/2
[x² + 2x + x² + 6x + 9] / [x² + 5x + 6] = 5/2
(2x² + 8x + 9) / (x² + 5x + 6) = 5/2
2(2x² + 8x + 9) = 5(x² + 5x + 6)
4x² + 16x + 18 = 5x² + 25x + 30
0 = x² + 9x + 12
ଉତ୍ତର: x² + 9x + 12 = 0
ଯେହେତୁ ୩ ଏକ ବୀଜ, ତେଣୁ x = 3 ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରିବ ।
(3)² – 7(3) + a = 0
9 – 21 + a = 0
-12 + a = 0 ⇒ a = 12
ସମୀକରଣଟି ହେଲା x² – 7x + 12 = 0
(x – 3)(x – 4) = 0
x = 3 ବା x = 4
ଉତ୍ତର: a = 12, ଅନ୍ୟ ବୀଜଟି ୪
ଯେହେତୁ ୫ ଏକ ବୀଜ, ତେଣୁ x = 5 ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରିବ ।
(5)² + a(5) – 15 = 0
25 + 5a – 15 = 0
10 + 5a = 0
5a = -10 ⇒ a = -2
ସମୀକରଣଟି ହେଲା x² – 2x – 15 = 0
x² – 5x + 3x – 15 = 0
x(x – 5) + 3(x – 5) = 0
(x + 3)(x – 5) = 0
x = -3 ବା x = 5
ଉତ୍ତର: a = -2, ଅନ୍ୟ ବୀଜଟି -୩
ମନେକର କ୍ରମିକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱୟ x ଓ x + 1 ।
ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ: x² + (x + 1)² = 221
x² + x² + 2x + 1 = 221
2x² + 2x + 1 – 221 = 0
2x² + 2x – 220 = 0
x² + x – 110 = 0 (୨ ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କରି)
x² + 11x – 10x – 110 = 0
x(x + 11) – 10(x + 11) = 0
(x – 10)(x + 11) = 0
x = 10 ବା x = -11
ଯେହେତୁ x ଏକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା, x = 10 ।
ତେଣୁ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱୟ 10 ଓ 10 + 1 = 11 ।
ଉତ୍ତର: ୧୦, ୧୧
ମନେକର ସଂଖ୍ୟାଟି x ।
ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ: x = x²
x² – x = 0
x(x – 1) = 0
x = 0 ବା x = 1
ଉତ୍ତର: ୦, ୧
ମନେକର ଗୋଟିଏ ଭାଗ x । ତେବେ ଅନ୍ୟ ଭାଗଟି 51 – x ।
ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ: x(51 – x) = 378
51x – x² = 378
x² – 51x + 378 = 0
x² – 9x – 42x + 378 = 0
x(x – 9) – 42(x – 9) = 0
(x – 9)(x – 42) = 0
x = 9 ବା x = 42
ଯଦି ଗୋଟିଏ ଭାଗ 9, ତେବେ ଅନ୍ୟ ଭାଗ 51 – 9 = 42 ।
ଯଦି ଗୋଟିଏ ଭାଗ 42, ତେବେ ଅନ୍ୟ ଭାଗ 51 – 42 = 9 ।
ଉତ୍ତର: ୯, ୪୨
ମନେକର କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ x ସେ.ମି. ।
ତୃତୀୟ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = x + 1 ସେ.ମି. ।
କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 2x – 1 ସେ.ମି. ।
ପାଇଥାଗୋରାସ୍ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁସାରେ: କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ବାହୁ² + ତୃତୀୟ ବାହୁ² = କର୍ଣ୍ଣ²
x² + (x + 1)² = (2x – 1)²
x² + x² + 2x + 1 = 4x² – 4x + 1
2x² + 2x + 1 = 4x² – 4x + 1
0 = 4x² – 2x² – 4x – 2x + 1 – 1
0 = 2x² – 6x
2x(x – 3) = 0
2x = 0 ବା x – 3 = 0
x = 0 ବା x = 3
ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ୦ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ । ତେଣୁ x = 3 ।
କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ବାହୁ = 3 ସେ.ମି.
ତୃତୀୟ ବାହୁ = 3 + 1 = 4 ସେ.ମି.
କର୍ଣ୍ଣ = 2(3) – 1 = 6 – 1 = 5 ସେ.ମି.
ଉତ୍ତର: ୩ ସେ.ମି., ୪ ସେ.ମି., ୫ ସେ.ମି.
ସମକୋଣ ସଲଗ୍ନ ବାହୁ ଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 5x ଓ 3x – 1 ।
କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (1/2) × ଭୂମି × ଉଚ୍ଚତା
60 = (1/2) × 5x × (3x – 1)
120 = 5x(3x – 1)
120 = 15x² – 5x
15x² – 5x – 120 = 0
3x² – x – 24 = 0 (୫ ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କରି)
3x² – 9x + 8x – 24 = 0
3x(x – 3) + 8(x – 3) = 0
(3x + 8)(x – 3) = 0
3x + 8 = 0 ବା x – 3 = 0
x = -8/3 ବା x = 3
ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଋଣାତ୍ମକ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ । ତେଣୁ x = 3 ।
ବାହୁ ଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ: 5x = 5(3) = 15 ସେ.ମି.
3x – 1 = 3(3) – 1 = 9 – 1 = 8 ସେ.ମି.
କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = √(15² + 8²) = √(225 + 64) = √289 = 17 ସେ.ମି.
ଉତ୍ତର: ୮ ସେ.ମି., ୧୫ ସେ.ମି., ୧୭ ସେ.ମି.
ମନେକର ସଂଖ୍ୟାଟି x । ତେବେ ଏହାର ବ୍ୟୁତ୍ କ୍ରମ ସଂଖ୍ୟା 1/x ।
ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ: x + 1/x = 17/4
(x² + 1)/x = 17/4
4(x² + 1) = 17x
4x² + 4 = 17x
4x² – 17x + 4 = 0
4x² – 16x – x + 4 = 0
4x(x – 4) – 1(x – 4) = 0
(4x – 1)(x – 4) = 0
4x – 1 = 0 ବା x – 4 = 0
x = 1/4 ବା x = 4
ଉତ୍ତର: ୧/୪ ବା ୪
ମନେକର ପ୍ରସ୍ଥ x ମି. । ତେବେ ଦୈର୍ଘ୍ୟ x + 8 ମି. ।
କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ପ୍ରସ୍ଥ
308 = (x + 8)x
308 = x² + 8x
x² + 8x – 308 = 0
x² + 22x – 14x – 308 = 0
x(x + 22) – 14(x + 22) = 0
(x – 14)(x + 22) = 0
x = 14 ବା x = -22
ପ୍ରସ୍ଥ ଋଣାତ୍ମକ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ । ତେଣୁ x = 14 ।
ପ୍ରସ୍ଥ = 14 ମି.
ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 14 + 8 = 22 ମି.
ଉତ୍ତର: ଦୈର୍ଘ୍ୟ ୨୨ ମି., ପ୍ରସ୍ଥ ୧୪ ମି.
ମନେକର ପ୍ରଥମରୁ x ଜଣ ପିଲା ଯିବା ପାଇଁ ମନସ୍ଥ କରିଥିଲେ ।
ପ୍ରତ୍ୟେକ ପିଲାଙ୍କୁ ଦେବାକୁ ପଡ଼ିଥାନ୍ତା = 3600/x ଟଙ୍କା ।
୩ ଜଣ ପିଲା ଓହରି ଯିବା ପରେ ପିଲାଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା = x – 3 ।
ବର୍ତ୍ତମାନ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପିଲାଙ୍କୁ ଦେବାକୁ ପଡ଼ିଲା = 3600/(x – 3) ଟଙ୍କା ।
ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ: 3600/(x – 3) – 3600/x = 40
3600[1/(x – 3) – 1/x] = 40
3600[(x – (x – 3)) / (x(x – 3))] = 40
3600[3 / (x² – 3x)] = 40
10800 = 40(x² – 3x)
10800/40 = x² – 3x
270 = x² – 3x
x² – 3x – 270 = 0
x² – 18x + 15x – 270 = 0
x(x – 18) + 15(x – 18) = 0
(x + 15)(x – 18) = 0
x = -15 ବା x = 18
ପିଲାଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ଋଣାତ୍ମକ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ । ତେଣୁ x = 18 ।
ଉତ୍ତର: ୧୮ ଜଣ
ମନେକର କ୍ରମିକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ତିନୋଟି x – 1, x, x + 1 ।
ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ: (x – 1)² + x² + (x + 1)² = 110
(x² – 2x + 1) + x² + (x² + 2x + 1) = 110
3x² + 2 = 110
3x² = 108
x² = 36 ⇒ x = ±6
ଯେହେତୁ x ଏକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା, x = 6 ।
ସଂଖ୍ୟା ତିନୋଟି: x – 1 = 5, x = 6, x + 1 = 7 ।
ଉତ୍ତର: ୫, ୬, ୭
ମନେକର କ୍ରମିକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱୟ x ଓ x + 2 ।
ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ: x² + (x + 2)² = 290
x² + x² + 4x + 4 = 290
2x² + 4x + 4 – 290 = 0
2x² + 4x – 286 = 0
x² + 2x – 143 = 0 (୨ ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କରି)
x² + 13x – 11x – 143 = 0
x(x + 13) – 11(x + 13) = 0
(x – 11)(x + 13) = 0
x = 11 ବା x = -13
ଯେହେତୁ ସଂଖ୍ୟା ଅଯୁଗ୍ମ, x = 11 ।
ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱୟ: 11 ଓ 11 + 2 = 13 ।
ଉତ୍ତର: ୧୧, ୧୩
ମନେକର ପ୍ରସ୍ଥ x ମିଟର । ତେବେ ଦୈର୍ଘ୍ୟ x + 2 ମିଟର ।
କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ପ୍ରସ୍ଥ
48 = (x + 2)x
48 = x² + 2x
x² + 2x – 48 = 0
x² + 8x – 6x – 48 = 0
x(x + 8) – 6(x + 8) = 0
(x – 6)(x + 8) = 0
x = 6 ବା x = -8
ପ୍ରସ୍ଥ ଋଣାତ୍ମକ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ । ତେଣୁ x = 6 ।
ପ୍ରସ୍ଥ = 6 ମିଟର ।
ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 6 + 2 = 8 ମିଟର ।
ଉତ୍ତର: ଦୈର୍ଘ୍ୟ ୮ ମିଟର, ପ୍ରସ୍ଥ ୬ ମିଟର
ମନେକର ସ୍ଥିର ଜଳରେ ଲଞ୍ଚର ବେଗ x କି.ମି./ଘଣ୍ଟା ।
ସ୍ରୋତର ବେଗ = 6 କି.ମି./ଘଣ୍ଟା ।
ଅନୁକୂଳରେ ବେଗ = (x + 6) କି.ମି./ଘଣ୍ଟା ।
ପ୍ରତିକୂଳରେ ବେଗ = (x – 6) କି.ମି./ଘଣ୍ଟା ।
ସମୟ = ଦୂରତା / ବେଗ
ଅନୁକୂଳରେ ଯିବାକୁ ସମୟ = 36/(x + 6) ଘଣ୍ଟା ।
ପ୍ରତିକୂଳରେ ଫେରିବାକୁ ସମୟ = 36/(x – 6) ଘଣ୍ଟା ।
ମୋଟ ସମୟ = 8 ଘଣ୍ଟା ।
ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ: 36/(x + 6) + 36/(x – 6) = 8
36[(x – 6) + (x + 6)] / [(x + 6)(x – 6)] = 8
36[2x] / [x² – 36] = 8
72x = 8(x² – 36)
9x = x² – 36 (୮ ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କରି)
x² – 9x – 36 = 0
x² – 12x + 3x – 36 = 0
x(x – 12) + 3(x – 12) = 0
(x + 3)(x – 12) = 0
x = -3 ବା x = 12
ବେଗ ଋଣାତ୍ମକ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ । ତେଣୁ x = 12 ।
ଉତ୍ତର: ୧୨ କି.ମି./ଘଣ୍ଟା
ମନେକର ଛୋଟ ବର୍ଗ କ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ x ମିଟର ।
ତେବେ ବଡ଼ ବର୍ଗ କ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 2x – 1 ମିଟର ।
କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନ୍ତର = 56 ବର୍ଗମିଟର ।
(2x – 1)² – x² = 56
(4x² – 4x + 1) – x² = 56
3x² – 4x + 1 – 56 = 0
3x² – 4x – 55 = 0
3x² – 15x + 11x – 55 = 0
3x(x – 5) + 11(x – 5) = 0
(3x + 11)(x – 5) = 0
3x + 11 = 0 ବା x – 5 = 0
x = -11/3 ବା x = 5
ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଋଣାତ୍ମକ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ । ତେଣୁ x = 5 ।
ଛୋଟ ବର୍ଗ କ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁ = 5 ମିଟର ।
ବଡ଼ ବର୍ଗ କ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁ = 2(5) – 1 = 10 – 1 = 9 ମିଟର ।
ଉତ୍ତର: ୫ ମିଟର, ୯ ମିଟର
ମନେକର ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା x ।
ଅନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାଟି 3x – 2 ।
ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ: x² + (3x – 2)² = 312
x² + (9x² – 12x + 4) = 312
10x² – 12x + 4 – 312 = 0
10x² – 12x – 308 = 0
5x² – 6x – 154 = 0 (୨ ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କରି)
ଏହାକୁ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କରିବା କଷ୍ଟକର । (x = (6 ± √(36 - 4(5)(-154)))/10 = (6 ± √(36 + 3080))/10 = (6 ± √3116)/10)
ଉତ୍ତର: x = (6 ± √3116)/10 (ପ୍ରଶ୍ନରେ ତ୍ରୁଟି ଥାଇପାରେ, ଯାହାଦ୍ୱାରା ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ଉତ୍ତର ଆସିବ ନାହିଁ ।)
ମନେକର ଦ୍ରୁତଗାମୀ ଟ୍ରେନ୍ର ବେଗ x କି.ମି./ଘଣ୍ଟା ।
ପାସେଞ୍ଜର ଟ୍ରେନ୍ର ବେଗ = (x – 16) କି.ମି./ଘଣ୍ଟା ।
ଦୂରତା = 192 କି.ମି. ।
ଦ୍ରୁତଗାମୀ ଟ୍ରେନ୍ର ସମୟ = 192/x ଘଣ୍ଟା ।
ପାସେଞ୍ଜର ଟ୍ରେନ୍ର ସମୟ = 192/(x – 16) ଘଣ୍ଟା ।
ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ: 192/(x – 16) – 192/x = 2
192[x – (x – 16)] / [x(x – 16)] = 2
192[16] / [x² – 16x] = 2
3072 = 2(x² – 16x)
1536 = x² – 16x
x² – 16x – 1536 = 0
x² – 48x + 32x – 1536 = 0
x(x – 48) + 32(x – 48) = 0
(x + 32)(x – 48) = 0
x = -32 ବା x = 48
ବେଗ ଋଣାତ୍ମକ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ । ତେଣୁ x = 48 ।
ଦ୍ରୁତଗାମୀ ଟ୍ରେନ୍ର ବେଗ = 48 କି.ମି./ଘଣ୍ଟା ।
ପାସେଞ୍ଜର ଟ୍ରେନ୍ର ବେଗ = 48 – 16 = 32 କି.ମି./ଘଣ୍ଟା ।
ଉତ୍ତର: ଦ୍ରୁତଗାମୀ ଟ୍ରେନ୍ର ବେଗ ୪୮ କି.ମି./ଘଣ୍ଟା, ପାସେଞ୍ଜର ଟ୍ରେନ୍ର ବେଗ ୩୨ କି.ମି./ଘଣ୍ଟା
ମନେକର ସ୍ରୋତର ବେଗ x କି.ମି./ଘଣ୍ଟା ।
ସ୍ଥିର ଜଳରେ ନୌକାର ବେଗ = 11 କି.ମି./ଘଣ୍ଟା ।
ଅନୁକୂଳରେ ବେଗ = (11 + x) କି.ମି./ଘଣ୍ଟା ।
ପ୍ରତିକୂଳରେ ବେଗ = (11 – x) କି.ମି./ଘଣ୍ଟା ।
ଦୂରତା = 12 କି.ମି. ।
ମୋଟ ସମୟ = 2 ଘଣ୍ଟା 45 ମିନିଟ୍ = 2 + 45/60 ଘଣ୍ଟା = 2 + 3/4 ଘଣ୍ଟା = 11/4 ଘଣ୍ଟା ।
ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ: 12/(11 – x) + 12/(11 + x) = 11/4
12[(11 + x) + (11 – x)] / [(11 – x)(11 + x)] = 11/4
12[22] / [121 – x²] = 11/4
264 / (121 – x²) = 11/4
264 × 4 = 11(121 – x²)
1056 = 11(121 – x²)
96 = 121 – x²
x² = 121 – 96
x² = 25 ⇒ x = ±5
ବେଗ ଋଣାତ୍ମକ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ । ତେଣୁ x = 5 ।
ଉତ୍ତର: ୫ କି.ମି./ଘଣ୍ଟା
ମନେକର ଗୋଠରେ ମୋଟ ଗାଈ ସଂଖ୍ୟା x ।
ଦୃଷ୍ଟିଗୋଚର ଗାଈ ସଂଖ୍ୟା = x/4 ।
ପାହାଡ଼ର ପାଦଦେଶରେ ଚରୁଥିବା ଗାଈ ସଂଖ୍ୟା = 2√x ।
ନଦୀକୂଳରେ ଚରୁଥିବା ଗାଈ ସଂଖ୍ୟା = 15 ।
ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ: x/4 + 2√x + 15 = x
2√x + 15 = x – x/4
2√x + 15 = 3x/4
ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 4 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ।
8√x + 60 = 3x
3x – 8√x – 60 = 0
ମନେକର √x = y । ତେବେ x = y² ।
3y² – 8y – 60 = 0
3y² – 18y + 10y – 60 = 0
3y(y – 6) + 10(y – 6) = 0
(3y + 10)(y – 6) = 0
3y + 10 = 0 ବା y – 6 = 0
y = -10/3 ବା y = 6
ଯେହେତୁ y = √x, y ଋଣାତ୍ମକ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ । ତେଣୁ y = 6 ।
√x = 6 ⇒ x = 6² = 36 ।
ଉତ୍ତର: ୩୬ ଟି ଗାଈ
ଘାତାଙ୍କୀୟ ସମୀକରଣରେ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ଘାତାଙ୍କରେ ଥାଏ ।
ଏହା ଏକ ଏକଘାତୀ ସମୀକରଣ ।
ଉତ୍ତର: ଘାତାଙ୍କୀୟ ସମୀକରଣ ନୁହେଁ ।
ଏଠାରେ x ଘାତାଙ୍କରେ ଅଛି ।
ଉତ୍ତର: ଘାତାଙ୍କୀୟ ସମୀକରଣ ।
ଏହା ଏକ ତ୍ରିଘାତ ସମୀକରଣ ।
ଉତ୍ତର: ଘାତାଙ୍କୀୟ ସମୀକରଣ ନୁହେଁ ।
ଏହା ଏକ ବୀଜଗାଣିତିକ ସମୀକରଣ ।
ଉତ୍ତର: ଘାତାଙ୍କୀୟ ସମୀକରଣ ନୁହେଁ ।
ଏଠାରେ x ଘାତାଙ୍କରେ ଅଛି ।
ଉତ୍ତର: ଘାତାଙ୍କୀୟ ସମୀକରଣ ।
ଏଠାରେ x ଘାତାଙ୍କରେ ଅଛି ।
ଉତ୍ତର: ଘାତାଙ୍କୀୟ ସମୀକରଣ ।
(2²)ˣ = 2³
2²ˣ = 2³
2x = 3 ⇒ x = 3/2
ଉତ୍ତର: x = 3/2
2ˣ⁻¹ = 2⁴
x – 1 = 4 ⇒ x = 5
ଉତ୍ତର: x = 5
2ˣ = 8
2ˣ = 2³ ⇒ x = 3
ଉତ୍ତର: x = 3
3ˣ = 3⁻¹/²
x = -1/2
ଉତ୍ତର: x = -1/2
yˣ = 7²
ଏଠାରେ y ର ମାନ ଦିଆଯାଇ ନାହିଁ । ଯଦି y = 7, ତେବେ x = 2 ।
ଉତ୍ତର: x = 2 (ଯଦି y = 7)
6ˣ = 1/6⁴
6ˣ = 6⁻⁴
x = -4
ଉତ୍ତର: x = -4
2²ˣ = 2⁴
2x = 4 ⇒ x = 2
ଉତ୍ତର: x = 2
3ˣ⁺² = 3⁴
x + 2 = 4 ⇒ x = 2
ଉତ୍ତର: x = 2
5ˣ = 5¹ × 5¹/²
5ˣ = 5¹⁺¹/²
5ˣ = 5³/² ⇒ x = 3/2
ଉତ୍ତର: x = 3/2
(5²)ˣ = 5³
5²ˣ = 5³
2x = 3 ⇒ x = 3/2
ଉତ୍ତର: x = 3/2
4³ˣ⁺¹ = 4³
3x + 1 = 3
3x = 2 ⇒ x = 2/3
ଉତ୍ତର: x = 2/3
x + 5 = x
5 = 0
ଏହା ଏକ ମିଥ୍ୟା ଉକ୍ତି । ତେଣୁ ଏହାର କୌଣସି ସମାଧାନ ନାହିଁ ।
ଉତ୍ତର: କୌଣସି ସମାଧାନ ନାହିଁ ।
3ʸ⁺² × (3³)³⁻ʸ = 3⁷
3ʸ⁺² × 3⁹⁻³ʸ = 3⁷
3ʸ⁺²⁺⁹⁻³ʸ = 3⁷
3¹¹⁻²ʸ = 3⁷
11 – 2y = 7
-2y = 7 – 11
-2y = -4 ⇒ y = 2
ଉତ୍ତର: y = 2
4ˣ × 4¹ + 4ˣ = 40
4 × 4ˣ + 4ˣ = 40
5 × 4ˣ = 40
4ˣ = 8
(2²)ˣ = 2³
2²ˣ = 2³
2x = 3 ⇒ x = 3/2
ଉତ୍ତର: x = 3/2
3ˣ⁺³(3² – 1) = 8/3
3ˣ⁺³(9 – 1) = 8/3
3ˣ⁺³ × 8 = 8/3
3ˣ⁺³ = 1/3
3ˣ⁺³ = 3⁻¹
x + 3 = -1 ⇒ x = -4
ଉତ୍ତର: x = -4
2² × 2ˣ⁻¹ = (2³)ˣ
2²⁺ˣ⁻¹ = 2³ˣ
2ˣ⁺¹ = 2³ˣ
x + 1 = 3x
1 = 2x ⇒ x = 1/2
ଉତ୍ତର: x = 1/2
3ˣ(3² + 1) = 30
3ˣ(9 + 1) = 30
3ˣ × 10 = 30
3ˣ = 3 ⇒ x = 1
ଉତ୍ତର: x = 1
3ˣ(3² + 3⁴) = 810
3ˣ(9 + 81) = 810
3ˣ(90) = 810
3ˣ = 810/90 = 9
3ˣ = 3² ⇒ x = 2
ଉତ୍ତର: x = 2
2³⁻ˣ × (2²)²ˣ⁻¹ = 2⁴
2³⁻ˣ × 2⁴ˣ⁻² = 2⁴
2³⁻ˣ⁺⁴ˣ⁻² = 2⁴
2ˣ⁺¹ = 2⁴
x + 1 = 4 ⇒ x = 3
ଉତ୍ତର: x = 3
2ˣ × 2² × 3ˣ × 3⁻¹ = 288
4 × 2ˣ × 3ˣ / 3 = 288
(4/3) × (2 × 3)ˣ = 288
(4/3) × 6ˣ = 288
6ˣ = 288 × 3 / 4
6ˣ = 72 × 3
6ˣ = 216
6ˣ = 6³ ⇒ x = 3
ଉତ୍ତର: x = 3
(3²)ˣ – 4 × 3ˣ × 3¹ + 27 = 0
(3ˣ)² – 12 × 3ˣ + 27 = 0
ମନେକର y = 3ˣ ।
y² – 12y + 27 = 0
y² – 9y – 3y + 27 = 0
y(y – 9) – 3(y – 9) = 0
(y – 3)(y – 9) = 0
y = 3 ବା y = 9
ଯଦି y = 3, ତେବେ 3ˣ = 3 ⇒ x = 1
ଯଦି y = 9, ତେବେ 3ˣ = 9 = 3² ⇒ x = 2
ଉତ୍ତର: x = 1, 2
ବୋର୍ଡ ଅଫ୍ ସେକେଣ୍ଡାରୀ ଏଜୁକେସନ୍ (BSE Odisha) — ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଅଧ୍ୟାୟ ମାଷ୍ଟର ନୋଟ୍ସ
ଶ୍ରେଣୀ: Class 9 | ବିଷୟ: Math
ଅଧ୍ୟାୟ: C9 Alg C9 Alg ch4 AlgebraicEquation Ready Ready
୧. ଅଧ୍ୟାୟର ସାରାଂଶ ଓ ମାଇଣ୍ଡ ମ୍ୟାପ୍ (Mind Map & Conceptual Architecture)
ଏହି ଅଧ୍ୟାୟଟି ବୀଜଗଣିତର କେତେକ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ଧାରଣା ଉପରେ ଆଧାରିତ । ଏଥିରେ ମୁଖ୍ୟତଃ ପଲିନୋମିଆଲ୍ର ଭାଗଶେଷ ଉପପାଦ୍ୟ (Remainder Theorem) ଓ ଉତ୍ପାଦକ ଉପପାଦ୍ୟ (Factor Theorem) ବିଷୟରେ ଆଲୋଚନା କରାଯାଇଛି । ଏହା ବ୍ୟତୀତ, ପଲିନୋମିଆଲ୍ର ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ (Factorisation), ଗରିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ (H.C.F.) ଓ ଲଘିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ (L.C.M.) ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାର ପଦ୍ଧତିଗୁଡ଼ିକ ବିସ୍ତୃତ ଭାବରେ ବର୍ଣ୍ଣନା କରାଯାଇଛି । ଅଧ୍ୟାୟର ଦ୍ୱିତୀୟ ଭାଗରେ ଏକଘାତୀ (Linear), ଦ୍ୱିଘାତ (Quadratic) ଓ ଘାତାଙ୍କୀୟ (Exponential) ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକର ସମାଧାନ ପ୍ରଣାଳୀ ଏବଂ ସେଗୁଡ଼ିକର ବାସ୍ତବ ଜୀବନରେ ପ୍ରୟୋଗ (ପାଟୀଗଣିତ ପ୍ରଶ୍ନ) ଉପରେ ଗୁରୁତ୍ୱ ଦିଆଯାଇଛି ।
ମାଇଣ୍ଡ ମ୍ୟାପ୍ (Mind Map):
```
ବୀଜଗଣିତୀୟ ସମୀକରଣ ଓ ପରିପ୍ରକାଶ
├── ପଲିନୋମିଆଲ୍ର ଧାରଣା
│ ├── ଭାଗଶେଷ ଉପପାଦ୍ୟ (Remainder Theorem)
│ │ └── ପ୍ରୟୋଗ: p(x) କୁ (x-a) ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ ଭାଗଶେଷ p(a)
│ ├── ଉତ୍ପାଦକ ଉପପାଦ୍ୟ (Factor Theorem)
│ │ └── ପ୍ରୟୋଗ: p(a)=0 ହେଲେ (x-a) ଏକ ଉତ୍ପାଦକ
│ ├── ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ (Factorisation)
│ │ ├── ବିଭିନ୍ନ ବୀଜଗାଣିତିକ ଅଭେଦ (Identities)
│ │ └── ମଧ୍ୟପଦ ବିଶ୍ଳେଷଣ (Splitting the middle term)
│ ├── ଗ.ସା.ଗୁ (H.C.F.)
│ │ └── ସାଧାରଣ ଉତ୍ପାଦକର ସର୍ବନିମ୍ନ ଘାତାଙ୍କ
│ └── ଲ.ସା.ଗୁ (L.C.M.)
│ └── ସମସ୍ତ ଉତ୍ପାଦକର ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଘାତାଙ୍କ
├── ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିମେୟ ପରିପ୍ରକାଶ (Rational Expressions)
│ ├── ସଂଜ୍ଞା ଓ ଲଘିଷ୍ଠ ରୂପ
│ ├── ଯୋଗ, ବିୟୋଗ, ଗୁଣନ, ହରଣ
│ └── କ୍ରମିକ ପରିମେୟ ପରିପ୍ରକାଶ (Continued Fractions)
└── ସମୀକରଣ (Equations)
├── ଏକଘାତୀ ସମୀକରଣ (Linear Equation)
│ ├── ସଂଜ୍ଞା: ax+b=0
│ ├── ସମାଧାନ: x = -b/a
│ └── ସଙ୍ଗତ, ଅସଙ୍ଗତ, ଅଭେଦ
├── ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ (Quadratic Equation)
│ ├── ସଂଜ୍ଞା: ax²+bx+c=0
│ ├── ସମାଧାନ: ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ ପଦ୍ଧତି
│ └── ପାଟୀଗଣିତ ପ୍ରଶ୍ନରେ ପ୍ରୟୋଗ
└── ଘାତାଙ୍କୀୟ ସମୀକରଣ (Exponential Equation)
├── ସଂଜ୍ଞା
└── ସମାଧାନ: ଆଧାର ସମାନ କରି ଘାତାଙ୍କ ତୁଳନା (aˣ=aʸ ⇒ x=y)
```
୨. ମୁଖ୍ୟ ବିଷୟବସ୍ତୁ, ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ଓ ଗାଣିତିକ ସୂତ୍ରାବଳୀ (Comprehensive Theory & Formulas)
୩.୬ ଭାଗଶେଷ ଉପପାଦ୍ୟ ଓ ଏହାର ପ୍ରୟୋଗ (Remainder Theorem and its Application)
୧. ଭାଗଶେଷ ଉପପାଦ୍ୟ (Remainder Theorem):
୨. ଉତ୍ପାଦକ ଉପପାଦ୍ୟ (Factor Theorem):
୩.୭ ପଲିନୋମିଆଲ୍ର ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ (Factorisation of Polynomials)
ପଲିନୋମିଆଲ୍ର ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ ପାଇଁ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଅଭେଦଗୁଡ଼ିକ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ:
୧. (a + b)² = a² + 2ab + b²
୨. (a – b)² = a² – 2ab + b²
୩. a² – b² = (a + b)(a – b)
୪. (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
୫. (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)
୬. (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³ = a³ – b³ – 3ab(a – b)
୭. a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)
୮. a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)
୯. a⁴ + a²b² + b⁴ = (a² + ab + b²)(a² – ab + b²)
୧୦. a³ + b³ + c³ – 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² – ab – bc – ca)
୧୧. ax² + bx + c = (1/a)(ax + p)(ax + q), ଯେଉଁଠାରେ p + q = b ଏବଂ pq = ac ।
୩.୮ ପଲିନୋମିଆଲ୍ମାନଙ୍କର ଗ.ସା.ଗୁ (H.C.F. of Polynomials)
୩.୯ ପଲିନୋମିଆଲ୍ମାନଙ୍କର ଲ.ସା.ଗୁ (L.C.M. of Polynomials)
୩.୧୦ ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିମେୟ ପରିପ୍ରକାଶ (Algebraic Rational Expression)
୪.୨ ଏକ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ଘାତୀ ସମୀକରଣ (Linear equation in one variable)
୪.୩ ଏକ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ବିଶିଷ୍ଟ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ (Quadratic equation in one variable)
୪.୪ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ ସାହାଯ୍ୟରେ ପାଟୀଗଣିତ ପ୍ରଶ୍ନର ସମାଧାନ
୪.୫ ଘାତାଙ୍କୀୟ ସମୀକରଣ ଓ ସମାଧାନ (Solution of Exponential Equations)
୩. ପାଠ୍ୟପୁସ୍ତକ ଅଭ୍ୟାସ ପ୍ରଶ୍ନାବଳୀର ୧୦୦% ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସମାଧାନ (100% Complete Solved Exercises)
ଅନୁଶୀଳନୀ ୩ (b)
୧. ଭାଗକ୍ରିୟା ସମ୍ପାଦନ ନକରି ପ୍ରତ୍ୟେକ ସ୍ଥଳରେ ଭାଗଶେଷ କେତେ ହେବ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
୧. (i) ଭାଜ୍ୟ x³ + x² + x + 1 ଏବଂ ଭାଜକ x – 1
୧. (ii) ଭାଜ୍ୟ x³ – x² + x – 1 ଏବଂ ଭାଜକ x + 1
୧. (iii) ଭାଜ୍ୟ 2x³ – 3x + 4 ଏବଂ ଭାଜକ 2x – 1
୧. (iv) ଭାଜ୍ୟ t⁴ – t³ + t² – t + 1 ଏବଂ ଭାଜକ t + 2
୨. (a) p(x) = 8x³ – 2x² + 5x – 6 ହେଲେ,
୨. (b) ନିମ୍ନଲିଖିତ ପଲିନୋମିଆଲ୍ ମାନଙ୍କର ‘ଜିରୋ’ ନିରୂପଣ କର ।
୩. ପଲିନୋମିଆଲ୍ p(x)ର ଗୋଟିଏ ଉତ୍ପାଦକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ଯଦି,
୪. ନିମ୍ନଲିଖିତ ପଲିନୋମିଆଲ୍ ମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁ କେଉଁ ପଲିନୋମିଆଲ୍ର x + 1 ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ଅଟେ ?
୫. କେଉଁ କେଉଁ ପଲିନୋମିଆଲ୍ p(x) ର ପଲିନୋମିଆଲ୍ g(x) ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ହେବ ?
୬. ପଲିନୋମିଆଲ୍ p(x) ର x – 1 ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ହେଲେ k ର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
୭. ଭାଗଶେଷ ଉପପାଦ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗରେ ଭାଗଶେଷ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
୮. ଉତ୍ପାଦକ ଉପପାଦ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗରେ ନିମ୍ନସ୍ଥ ପଲିନୋମିଆଲ୍ ଗୁଡିକୁ ଉତ୍ପାଦକରେ ବିଶ୍ଳେଷଣ କର ।
୯. ଯଦି x² – 1, ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e ପଲିନୋମିଆଲ୍ର ଏକ ଗୁଣନୀୟକ ହୁଏ, ତେବେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ a + c + e = b + d = 0 ।
୧୦. ଯଦି (x – 1), x² + mx + 1 ପଲିନୋମିଆଲ୍ର ଉତ୍ପାଦକ ହୁଏ, ତେବେ ପ୍ରମାଣ କରଯେ (x – m), x³ + 3x² + 3x + 2 ପଲିନୋମିଆଲ୍ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ହେବ ।
୧୧. ଦର୍ଶାଅ ଯେ, x² + 2x + 3 ପଲିନୋମିଆଲ୍ର କୌଣସି ଜିରୋ ନାହିଁ ।
୧୨. ଦର୍ଶାଅ ଯେ, ୧, -୧ ଓ ୩ ପଲିନୋମିଆଲ୍ର x³ – 3x² – x + 3 ର ଗୋଟିଏ ଲେଖାଏଁ ଜିରୋ ଅଟନ୍ତି ।
୧୩. 'b' ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ x³ – 3x² + bx – 6 ପଲିନୋମିଆଲ୍ର (x – 3) ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ?
୧୪. ଯଦି x² – bx + c = (x + p)(x – q) ହୁଏ ତେବେ x² – bxy + cy² ର ଉତ୍ପାଦକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ଅନୁଶୀଳନୀ ୩ (c)
୧. ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଠିକ୍ ଉତ୍ତରଟିକୁ ବାଛି ଲେଖ ।
୧. (i) x² – 3x + 2 ର ଉତ୍ପାଦକ ଦ୍ୱୟ
୧. (ii) ଏକ ଦ୍ୱିଘାତୀ ପଲିନୋମିଆଲ୍ର ଉତ୍ପାଦକ ଦ୍ୱୟ (x – 1) ଓ (x – 3) ହେଲେ ପଲିନୋମିଆଲ୍ଟି
୧. (iii) x⁴ – y⁴ ର ଠିକ୍ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ ବାଛ |
୧. (iv) 8a³ – b³ – 12a²b + 6ab² ର ଉତ୍ପାଦକ ଗୁଡିକ
୧. (v) 625 + 25x⁴ + x⁸ ର ଉତ୍ପାଦକ ଗୁଡିକ ନିମ୍ନସ୍ଥ କେଉଁଟି 625 + 25x⁴ + x⁸ ର ଗୁଣଫଳ ସହ ସମାନ ।
୧. (vi) 1 – a³ + b³ + 3ab
୧. (vii) (2x – 3y)³ + (3y – 4z)³ + (4z – 2x)³ ର ଉତ୍ପାଦକ
୧. (viii) (28)³ + (-15)³ + (-13)³ ର ଗୁଣଫଳ
୧. (ix) (a – b)³ + (b – c)³ + (c – a)³ ର ମାନ
୧. (x) 2x² – x – 1 ର ଗୋଟିଏ ଉତ୍ପାଦକ
୨. ଉତ୍ପାଦକରେ ବିଶ୍ଳେଷଣ କର ।
୨. (i) 2x² – x – 1
୨. (ii) 2x² – 3x + 1
୨. (iii) 5x² – x – 4
୨. (iv) 4x² – 5x – 6
୨. (v) 3x² + 11x + 6
୨. (vi) 7x² + x – 6
୨. (vii) 2x² + 5x – 7
୨. (viii) 4x² – 5x + 1
୨. (ix) 4x² – 3x – 7
୩. ଉତ୍ପାଦକରେ ବିଶ୍ଳେଷଣ କର ।
୩. (i) 25a⁴ – 16b²
୩. (ii) 9 – 64p²q²
୩. (iii) 8x³ + 27y³
୩. (iv) 8x³ – 27y³
୩. (v) (a + b)² – 9
୩. (vi) (2a + 5)² – 16
୩. (vii) (x + 2y)² – (x – y)²
୩. (viii) 4(a + 2p)² – 9(2a – p)²
୩. (ix) 75(2a – b + 1)² – 12(a + b)²
୩. (x) (a + b)³ – 8c³
୩. (xi) p⁴ – 27pq⁶
୩. (xii) 1 – (a + 2)³
୩. (xiii) 8 – (2x – 3)³
୩. (xiv) 320pq – 5p²q⁷
୩. (xv) 1 + (a + 2)³
୩. (xvi) 8 + (2x – 3)³
୩. (xvii) a³ + 6a²b + 12ab² + 8b³
୩. (xviii) a³ + 9a² + 27a + 27
୩. (xix) 8 – 36p + 54p² – 27p³
୩. (xx) (b – q)³ – (c – q)³ – 3(b – c)(b – q)(c – q)
୪. ଉତ୍ପାଦକରେ ବିଶ୍ଳେଷଣ କର ।
୪. (i) a⁴ + a² + 1
୪. (ii) a⁴b⁴ + a²b² + 1
୪. (iii) 16a⁴ + 36a²b² + 81b⁴
୪. (iv) a⁸ + a⁴ + 1
୪. (v) x⁴ + 4
୪. (vi) 2a⁴ + 8b⁴
୪. (vii) 36a⁴ + 9b⁴
୪. (viii) 4a⁴ + 7a² + 16
୪. (ix) a⁴ + 2a²b² + 9b⁴
୪. (x) a⁴ – 3a² + 1
୪. (xi) 25a⁴ – 19a²b² + 9b⁴
୪. (xii) 9x² + y² + 6xy – 4z²
୪. (xiii) 16 – x² – 24y + 9y²
୪. (xiv) (a² – b²)(x² – y²) – 4abxy
୪. (xv) (a² + b²)(x² – y²) – 2ab(x² + y²)
୫. ଉତ୍ପାଦକରେ ବିଶ୍ଳେଷଣ କର ।
୫. (i) a³ + b³ + x³ – 3abx
୫. (ii) 8a³ + b³ + c³ – 6abc
୫. (iii) a³ + b³ – 8 + 6ab
୫. (iv) l³ – 27m³ – n³ – 9lmn
୫. (v) (a – b)³ + (c – b)³ + (a – c)³ – 3(a – b)(b – c)(c – a)
୫. (vi) a⁶ + 4a³ – 1
୫. (vii) x³ + 72 – 24x
୫. (viii) m⁶ + 7m³ – 8
୫. (ix) a⁶ + 1/a⁶ + 2 (a ≠ 0)
୫. (x) r⁶ + 45r³ – 8
୫. (xi) 16x³ – 54y⁶ – 2z³ – 36xy²z
୫. (xii) a³ + b³ – 1/27 c³ + abc
୫. (xiii) 27a³ – 8b⁶ + 125c³ + 90ab²c
୫. (xiv) (2x + 3)³ + (3x – 2)³ – (5x + 1)³
୬. a + b + c = 0 ହେଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, a³ + b³ + c³ = 3abc
୭. (x – y)³ + (y – z)³ + (z – x)³ ର ଉତ୍ପାଦକଗୁଡ଼ିକୁ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
୮. ଦର୍ଶାଅ ଯେ, x³ + y³ + z³ – 3xyz = (1/2)(x + y + z){(x – y)² + (y – z)² + (z – x)²}
ଅନୁଶୀଳନୀ ୩ (d)
୧. ଗ.ସା.ଗୁ. ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
୧. (i) xy², x²y
୧. (ii) 6a³b², 8a²b³
୧. (iii) 12a²bc, 15ab²c³
୧. (iv) x²y², x³y, xy³
୧. (v) 144x³yz⁷, 108x⁶y⁶z⁶
୨. ଗ.ସା.ଗୁ. ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
୨. (i) x² – 1, x² + x
୨. (ii) a³ – ab², a³ – b³
୨. (iii) 4a² – b², b² – 2ab
୨. (iv) (x – 1)³, (1 – x)²
୨. (v) x² – xy + y², x⁴ + x²y² + y⁴
୨. (vi) 6(a² – 4b²), 10(a³ – b³)
୨. (vii) x² + 7x + 12, x² + 9x + 20
୨. (viii) 4x³ – 9x, 16x³ + 54, 2x² + 5x + 3
୨. (ix) a² – b² – c² – 2bc, a² + b² – c² + 2ab
୨. (x) a² – b² – c² – 2bc, b² – c² – a² – 2ca, c² – a² – b² – 2ab
୨. (xi) 8a² – 14ab + 6b², 15a² + 18ab – 33b², 9a²b – 7ab² – 2b³
୨. (xii) (a + b)x² – (2a + b)bx + ab², (a – b)x² – (2a – b)bx + ab²
୩. ଲ.ସା.ଗୁ. ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
୩. (i) 3a³b, 4a²b
୩. (ii) 6a²b³, 4a³b⁴
୩. (iii) 20a²b³c⁴, 34a³c⁵
୩. (iv) 3a²b, 4ab², 6ab
୩. (v) 25x³y²z², 30x²y³z³, x³y³z²
୪. ଲ.ସା.ଗୁ. ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
୪. (i) a² + ab, ab – b²
୪. (ii) 3(x² – y²), 4(x² + xy)
୪. (iii) x³ + y³, x²y + xy²
୪. (iv) 6a³b – 12a²b², 8a³ – 64b³
୪. (v) (x – y)³, x² – y²
୪. (vi) x² – xy, (x – y)², x² – y²
୪. (vii) 6(a + b)², 8(a² – b²), 12(a – b)²
୪. (viii) 2x² + 5x – 3, 4x² – 4x + 1
୪. (ix) 3a² + 8a + 4, a² + 2a
୪. (x) 6x² – 5x – 6, 4x³ – 12x² + 9x
୪. (xi) 3x³ + 5x² – 2x, 6x² + 14x + 4, 9x³ – x
୪. (xii) x² + xy + yz + zx, y² + xy + yz + zx, z² + xy + yz + zx
୪. (xiii) a² – ab – ac + bc, b² – bc – ab + ca, c² – ca – bc + ab
୪. (xiv) a² – b² – c² – 2bc, b² – c² – a² – 2ca, c² – a² – b² – 2ab
୪. (xv) a⁴ + a²b² + b⁴, a³ + b³, a³ – b³
୪. (xvi) a⁶ – b⁶, (a + b)³, a² – b²
୪. (xvii) a³ + b³ – 1 – 3ab, a³ + (b – 1)³, a² – 2a + 1 – b²
୪. (xviii) (x – y)³ + (y – z)³ + (z – x)³, (x – y)³ – (z – y)³ – (x – z)³
ଅନୁଶୀଳନୀ ୩ (e)
୧. ଠିକ୍ ଉକ୍ତି ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ କୋଠରୀ ମଧ୍ୟରେ ✓ ଚିହ୍ନ ଓ ଭୁଲ ଉକ୍ତି ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ କୋଠରୀ ମଧ୍ୟରେ X ଚିହ୍ନ ଦିଅ ।
୧. (i) x/y + y/x = (x + y)/5
୧. (ii) x/y – y/x = 0
୧. (iii) 1/(x – y) + 1/(y – x) = 0
୧. (iv) x/(x – y) + y/(y – z) + z/(z – x) = 0
୧. (v) 1/(x – 1) + 1/(y – 1) = 1/(1 – x) + 1/(1 – y)
୧. (vi) 1/(x – y) + 1/(y – z) + 1/(z – x) = 0
୨. ସରଳ କର ।
୨. (i) 1/(x + y) + 1/(x – y)
୨. (ii) x/(x – y) – y/(x + y)
୨. (iii) a/(ab) + b/(bc) + c/(ca)
୨. (iv) (x – y)/(x + y) – (x + y)/(x – y)
୨. (v) 1/(x² – y²) – 1/(x – y)²
୨. (vi) a²/(a + b) – b²/(a + b)
୨. (vii) 1/(x + 2y) + 1/(x – 2y) + 2x/(x² – 4y²)
୨. (viii) a/(a – b) + b/(a + b) + (a² + b²)/(a² – b²)
୨. (ix) 1/(x – 1) + 1/(x + 1) – 1/(x – 2) – 1/(x + 2)
୨. (x) (3x + 1)/(x² – 9) – (5x² – 4)/(x³ – 27)
୩. ସରଳ କର ।
୩. (i) (x³y²z / a²b³c²) × (a³b²c / x²yz) × (2x / 4a)
୩. (ii) (x² – y²)/(x + y) × (x² + xy)/(x – y)
୩. (iii) (x³ + y³)/(x² – y²) × (x² – xy + y²)/(x³ – y³)
୩. (iv) (x² – 7x + 10)/(x² – 5x – 14) × (x³ + 8)/(x³ – 8)
୩. (v) (1 + x/y + y²/x²) ÷ (1 + y/x + x²/y²)
୩. (vi) (x² – y²)/(x – z) ÷ (x – y)/(x² – z²)
୩. (vii) (a + b)/(a – b) × (a – b)²/(a² – b²)
୩. (viii) (x³ – y³)/(x + y) × (x² + xy + y²)/(x² – y²)
୩. (ix) (a + b)² + (a – b)² / (a + b)² – (a – b)² ÷ (a² – b²)/(2ab(a – b))
୩. (x) (x³ + y³)/(x² – y²) × (x² – xy + y²)/(x³ – y³)
୩. (xi) (a² + 3a – 18)/(a² – 4) ÷ (a² – 36)/(a² – 5a – 14)
୩. (xii) (3a² + a – 4)/(2a² – a – 3) ÷ (3a² – 2a – 8)/(2a² – 7a + 6)
୪. ସରଳ କର ।
୪. (i) 1 / (1 + 1 / (1 + 1/x))
୪. (ii) a / (a – 1 / (a – 1 / (a + 1)))
୪. (iii) y / (y² – 1 / (y³ – 1 / (y + 1)))
୪. (iv) x / (x – 1 / (x – 1 / (1 + x)))
୪. (v) x / (x – 1 / (x – 1 / (x – 1)))
ଅନୁଶୀଳନୀ ୪ (a)
୧. ୨, ୩, ୫, ୮ ଓ -୧ ମାନଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିର କେଉଁ ଏକ ବା ଏକାଧିକ ମାନ ଦ୍ୱାରା ସମୀକରଣଟି ସିଦ୍ଧ ହେବ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
୧. (i) (x + 1)² – 2x = x² + 1
୧. (ii) 6(2y – 1) – 5(y + 3) = 3(y + 5) – 24
୧. (iii) (3 – z) + 2(1 + z) = 13 – 2(z + 1)
୧. (iv) 6x + 10 = 2(x + 12) + 9(x – 1)
୧. (v) 3(x – 4) + 6 = 2(x + 2) – 2
୧. (vi) 3x + 9 – (3x – 5) – (5x + 4) = 0
୨. ନିମ୍ନଲିଖିତ ସମୀକରଣମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ସଙ୍ଗତ, କେଉଁଟି ଅସଙ୍ଗତ, କେଉଁଟି ଅଭେଦ ଓ କେଉଁମାନେ ଅନୁରୂପ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
୨. (i) (5x – 1)³ = 125x³ – 15x(5x – 1) – 1
୨. (ii) (x – 5)² = 2(x – 3) + (x + 2)(x – 2) – 1
୨. (iii) 4x + 3 – (11x – 18) = 0
୨. (iv) 3(x + 3)(x – 5) = (x – 3)² + (x – 6)(x + 6) + (x + 3)(x – 3) – 9
୨. (v) 3(x + 2a) – 2b = 2(x + a) + b
୨. (vi) 3(x + 2) = 4(2x – 1) – 5(x + 3)
୩. ସମାଧାନ କର ।
୩. (i) 2(3x – 1) – 3(x + 2) = 1
୩. (ii) (x + 3)(x – 5) – 15 = x(x – 1)
୩. (iii) 3(x + a) – b = 2(x + b) + a
୩. (iv) (x – 5)² + 2(x – 3) = (x + 2)(x – 2) – 1
୩. (v) (x – 3)² = 2x(x – 1) – x(x + 3) – 2
୩. (vi) (x + 2)² = 3x(x + 1) – 2x(x – 1)
୪. ସମାଧାନ କର ।
୪. (i) x/3 – (2x – 1)/4 = x/2 + 1/3
୪. (ii) 2 – (3x + 4)/4 = (3 – 2x)/5 – x/2
୪. (iii) 3x/4 – 5x/6 = x/12 + 2
୪. (iv) (2x – 1)/5 – (5(x + 3))/6 = x – (7 – 8x)/9
୪. (v) x/(9x – (3 + 4x)/3) = 2/5
୪. (vi) x/5 + x/2 = 7
୫. ସମାଧାନ କର ।
୫. (i) 1/(x + 1) + 1/(x + 4) = 2/(x + 3)
୫. (ii) 1/x + 1/(x + 1) = 1/x + 1
୫. (iii) 2/(x + 1) + 3/(2x + 2) = 1/(2x + 3)
୫. (iv) 2/(2x + 3) + 4/(x + 2) = 7/(2x + 6)
୫. (v) x/(x + 1) + (x + 1)/(x + 2) = 5/2
ଅନୁଶୀଳନୀ ୪ (b)
୧. ନିମ୍ନଲିଖିତ ସମୀକରଣମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
୧. (i) 3x² – 4x = -4x + 5
୧. (ii) x³ – 2x² + 4 = x³ + 2x
୧. (iii) x + 3/x = x² (x ≠ 0)
୧. (iv) x + 1/x = 2 (x ≠ 0)
୧. (v) (x + 3)² = 0
୧. (vi) x² + 2x – 1/2 = 0
୧. (vii) 3x² = 2x + 7
୧. (viii) (3x + 2)² – (x + 4)² = (x – 3)
୧. (ix) 7x² + 9 = 0
୧. (x) 4x = 3 + 6x²
୨. ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମୀକରଣ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁ କେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ୱାରା ସମୀକରଣ ସିଦ୍ଧ ହେବ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
୨. (i) x² – 3x = 0 (0, 1, 2, 3)
୨. (ii) 3x² – 12 = 0 (1, -1, 2, -2)
୨. (iii) x² – 3x + 2 = 0 (0, 1, 2, 3)
୨. (iv) x² + √2x – 4 = 0 (√2, -√2, 2√2, -2√2)
୨. (v) x² – x – 2 = 0 (1, 0, -1, 2)
୩. ସମାଧାନ କର ।
୩. (i) 7x² = 1/28
୩. (ii) 5x² = 3x
୩. (iii) x² – 3x + 2 = 0
୩. (iv) (x + 1)(x + 2) = 30
୩. (v) √3x² – x – 2√3 = 0
୩. (vi) 2x² – 5x – 3 = 0
୩. (vii) x² + ax = 2a²
୩. (viii) x² + 2ax + a² – b² = 0
୪. ସମାଧାନ କର ।
୪. (i) x/3 + 14/x = 5
୪. (ii) 3/(x – 2) + 5/(x – 1) = 2
୪. (iii) x/(x + 1) + (x + 1)/(x + 2) = 5/2
୪. (iv) x/(x + 3) + (x + 3)/(x + 2) = 5/2
୫. (i) x² – 7x + a = 0 ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ବୀଜ ୩ ହେଲେ, a ର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ଓ ସମୀକରଣର ଅନ୍ୟ ବୀଜଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
୫. (ii) x² + ax – 15 = 0 ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ବୀଜ ୫ ହେଲେ, a ର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ଓ ସମୀକରଣର ଅନ୍ୟ ବୀଜଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ଅନୁଶୀଳନୀ ୪ (c)
୧. ଦୁଇଗୋଟି କ୍ରମିକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗର ସମଷ୍ଟି ୨୨୧ ହେଲେ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ୱୟ ସ୍ଥିର କର ।
୨. କୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ତାହାର ବର୍ଗ ସହିତ ସମାନ ହେଲେ ସଂଖ୍ୟାଟି ସ୍ଥିର କର ।
୩. ୫୧ କୁ ଏପରି ଦୁଇ ଭାଗରେ ବିଭକ୍ତ କର ଯେପରି ଭାଗ ଦ୍ୱୟର ଗୁଣଫଳ ୩୭୮ ହେବ ।
୪. କୌଣସି ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣ ଏହାର କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଦୁଇଗୁଣରୁ ୧ ସେ.ମି. କମ୍ ଏବଂ ତୃତୀୟ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଠାରୁ ୧ ସେ.ମି. ଅଧିକ ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁତ୍ରୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
୫. କୌଣସି ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ସମକୋଣ ସଲଗ୍ନ ବାହୁ ଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 5x ସେ.ମି. ଓ 3x – 1 ସେ.ମି. ଏବଂ ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ୬୦ ବର୍ଗ ସେ.ମି. ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁ ତ୍ରୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
୬. କୌଣସି ଏକ ସଂଖ୍ୟା ଓ ଏହାର ବ୍ୟୁତ୍ କ୍ରମ ସଂଖ୍ୟା (Reciprocal)ର ସମଷ୍ଟି 17/4 ହେଲେ, ସଂଖ୍ୟାଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
୭. କୌଣସି ଏକ ଆୟତାକାର କ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ପ୍ରସ୍ଥ ଅପେକ୍ଷା ୮ମି. ଅଧିକ । ଯଦି ଉକ୍ତ ଆୟତାକାର କ୍ଷେତ୍ରଟିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ୩୦୮ ବର୍ଗ ମି. ହୁଏ, ତେବେ ଏହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ପ୍ରସ୍ଥ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
୮. ଗୋଟିଏ ଶ୍ରେଣୀର ପିଲାମାନେ ଭ୍ରମଣରେ ଯିବା ପାଇଁ ୩୬୦୦ ଟଙ୍କା ଭଡ଼ାରେ ଏକ ବସ ବରାଦ କଲେ । କିନ୍ତୁ ଶେଷବେଳକୁ ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ୩ଜଣ ପିଲା ଓହରି ଯିବାରୁ ପ୍ରତ୍ୟେକଙ୍କୁ ଆଉ ଚାଳିଶ ଟଙ୍କା ଲେଖାଏଁ ଅଧିକ ଦେବାକୁ ପଡ଼ିଲା । ପ୍ରଥମରୁ କେତେ ପିଲା ଯିବା ପାଇଁ ମନସ୍ଥ କରିଥିଲେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
୯. ତିନିଗୋଟି କ୍ରମିକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗର ସମଷ୍ଟି ୧୧୦ ହେଲେ ସଂଖ୍ୟା ତିନୋଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
୧୦. ଦୁଇଗୋଟି କ୍ରମିକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗର ସମଷ୍ଟି ୨୯୦ ହେଲେ ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
୧୧. ଏକ ଆୟତ କ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ, ପ୍ରସ୍ଥ ଅପେକ୍ଷା ୨ ମିଟର ଅଧିକ । ଯଦି କ୍ଷେତ୍ରଟିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ୪୮ ବର୍ଗମିଟର୍ ହୁଏ, ତେବେ ଆୟତ କ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁ ଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
୧୨. ଏକ ମୋଟର ଲଞ୍ଚ ନଦୀ ସ୍ରୋତର ଅନୁକୂଳରେ ୩୬କି.ମି. ଯାତ୍ରା କରି ଯାତ୍ରା ଆରମ୍ଭ ସ୍ଥାନକୁ ଫେରି ଆସିବାକୁ ସମୁଦାୟ ୮ ଘଣ୍ଟା ସମୟ ନେଲା । ଯଦି ସ୍ରୋତର ଘଣ୍ଟା ପ୍ରତି ବେଗ ୬ କି.ମି. ହୁଏ ତେବେ ସ୍ଥିର ଜଳରେ ଲଞ୍ଚଟିର ଘଣ୍ଟା ପ୍ରତି ବେଗ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
୧୩. ଦୁଇଗୋଟି ବର୍ଗାକାର କ୍ଷେତ୍ର ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିକର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅପରଟିର ଦୁଇ ଗୁଣରୁ ଏକ ମିଟର କମ୍ । ଯଦି କ୍ଷେତ୍ର ଦ୍ୱୟର କ୍ଷେତ୍ରଫଳମାନଙ୍କ ଅନ୍ତର ୫୬ ବର୍ଗମିଟର ହୁଏ ତେବେ ଦୁଇଟି ବର୍ଗ କ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
୧୪. ଦୁଇଟି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ଅପରଟିର ତିନି ଗୁଣରୁ ଦୁଇ କମ୍ । ଯଦି ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱୟର ବର୍ଗର ସମଷ୍ଟି ୩୧୨ ହୁଏ, ତେବେ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
୧୫. ଦୁଇଟି ଷ୍ଟେସନ୍ A ଓ B ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା ୧୯୨ କି.ମି. । ଏକ ଦ୍ରୁତଗାମୀ ଟ୍ରେନ୍ A ରୁ B କୁ ଯିବାକୁ ଯେତିକି ସମୟ ନିଏ ଏକ ପାସେଞ୍ଜର ଟ୍ରେନ ତା’ଠାରୁ ଦୁଇଘଣ୍ଟା ଅଧିକ ସମୟ ନିଏ । ଯଦି ପାସେଞ୍ଜର ଟ୍ରେନ୍ର ଘଣ୍ଟା ପ୍ରତି ହାରାହାରି ବେଗ ଦ୍ରୁତଗାମୀ ଟ୍ରେନ୍ର ଘଣ୍ଟା ପ୍ରତି ହାରାହାରି ବେଗ ଠାରୁ ୧୬ କି.ମି. କମ୍ ହୁଏ, ତେବେ ଟ୍ରେନ୍ ଦ୍ୱୟର ହାରାହାରି ଘଣ୍ଟା ପ୍ରତି ବେଗ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
୧୬. ଗୋଟିଏ ନୌକାର ଘଣ୍ଟା ପ୍ରତି ବେଗ ସ୍ଥିର ଜଳରେ ୧୧ କି.ମି. । ଏହା ସ୍ରୋତର ପ୍ରତିକୂଳରେ ୧୨ କି.ମି. ଗତିକରି ପୁନଶ୍ଚ ଅନୁକୂଳରେ ଫେରିଆସିବାକୁ ମୋଟ ୨ ଘଣ୍ଟା ୪୫ ମିନିଟ୍ ସମୟ ନେଲା ତେବେ ସ୍ରୋତର ଘଣ୍ଟାପ୍ରତି ବେଗ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
୧୭. ଗୋଟିଏ ଗାଈଗୋଠର ଏକ ଚତୁର୍ଥାଂଶ ଦୃଷ୍ଟିଗୋଚର ହେଉଥିଲେ । ଗୋଠରେ ଥିବା ଗାଈ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗମୂଳର ଦୁଇଗୁଣ ସଂଖ୍ୟକ ଗାଈ ପାହାଡ଼ର ପାଦଦେଶରେ ଚରୁଥିଲେ ଏବଂ ଅବଶିଷ୍ଟ ୧୫ ଟି ଗାଈ ନଦୀକୂଳରେ ଚରୁଥିଲେ । ତେବେ ଗୋଠରେ କେତୋଟି ଗାଈ ଥିଲେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ଅନୁଶୀଳନୀ ୪ (d)
୧. ଘାତାଙ୍କୀୟ ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକ ବାଛ ।
୧. (i) 3x = 4
୧. (ii) 3ˣ = 4
୧. (iii) x³ = 81
୧. (iv) x¹/³ = 1
୧. (v) 3ˣ⁻² = 27
୧. (vi) 2²ˣ – 2ˣ – 4 = 0
୨. ସମାଧାନ କର ।
୨. (i) 4ˣ = 8
୨. (ii) 2ˣ⁻¹ = 16
୨. (iii) 2ˣ – 8 = 0
୨. (iv) 3ˣ = 1/√3
୨. (v) yˣ = 49
୨. (vi) 6ˣ = 1/1296
୩. ସମାଧାନ କର ।
୩. (i) 2²ˣ = 16
୩. (ii) 3ˣ⁺² = 81
୩. (iii) 5ˣ = 5√5
୩. (iv) 25ˣ = 125
୩. (v) 4³ˣ⁺¹ = 64
୪. ସମାଧାନ କର ।
୪. (i) (√3)ˣ⁺⁵ = (√3)ˣ
୪. (ii) 3ʸ⁺² × 27³⁻ʸ = 2187
୪. (iii) 4ˣ⁺¹ + 2²ˣ = 40
୪. (iv) 3ˣ⁺⁵ – 3ˣ⁺³ = 8/3
୪. (v) 4 × 2ˣ⁻¹ = 8ˣ
୪. (vi) 3ˣ⁺² + 3ˣ = 30
୪. (vii) 3ˣ⁺² + 3ˣ⁺⁴ = 810
୪. (viii) 2³⁻ˣ × 4²ˣ⁻¹ = 16
୪. (ix) 2ˣ⁺² × 3ˣ⁻¹ = 288
୪. (x) 9ˣ – 4 × 3ˣ⁺¹ + 27 = 0
୪. ବୋର୍ଡ ପରୀକ୍ଷା ମାଷ୍ଟ୍ରି ଟିପ୍ସ ଓ ସାଧାରଣ ଭୁଲ୍ (Board Exam Tips & Pitfalls)
ପରୀକ୍ଷା ପ୍ରସ୍ତୁତି ରଣନୀତି (Exam Preparation Strategies):
୧. ସୂତ୍ର ଓ ଅଭେଦଗୁଡ଼ିକର ମାଷ୍ଟ୍ରି: ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ବୀଜଗାଣିତିକ ସୂତ୍ର (ଯଥା: (a+b)³, a³+b³, a³+b³+c³-3abc ଇତ୍ୟାଦି) ଏବଂ ଘାତାଙ୍କ ନିୟମଗୁଡ଼ିକୁ ମନେ ରଖିବା ଅତ୍ୟନ୍ତ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ । ଏଗୁଡ଼ିକୁ ନିୟମିତ ଅଭ୍ୟାସ କର ଓ ଏକ ସୂତ୍ର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରି ପ୍ରତିଦିନ ଦେଖ ।
୨. ଉତ୍ପାଦକୀକରଣରେ ଦକ୍ଷତା: ପଲିନୋମିଆଲ୍ର ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ ଏହି ଅଧ୍ୟାୟର ମୂଳଦୁଆ । ମଧ୍ୟପଦ ବିଶ୍ଳେଷଣ (splitting the middle term) ଏବଂ ଉତ୍ପାଦକ ଉପପାଦ୍ୟର ପ୍ରୟୋଗରେ ଅଧିକରୁ ଅଧିକ ଅଭ୍ୟାସ କର ।
୩. ଭାଗଶେଷ ଓ ଉତ୍ପାଦକ ଉପପାଦ୍ୟର ସ୍ପଷ୍ଟ ଧାରଣା: ଏହି ଦୁଇଟି ଉପପାଦ୍ୟର ସଂଜ୍ଞା ଓ ପ୍ରୟୋଗକୁ ଭଲ ଭାବରେ ବୁଝ । ବିନା ଭାଗକ୍ରିୟାରେ ଭାଗଶେଷ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ଏବଂ ଉତ୍ପାଦକ ଚିହ୍ନଟ କରିବାରେ ଏଗୁଡ଼ିକର ବ୍ୟବହାରକୁ ଆୟତ୍ତ କର ।
୪. H.C.F. ଓ L.C.M. ର ପଦ୍ଧତି: ପଲିନୋମିଆଲ୍ର ଗ.ସା.ଗୁ. ଓ ଲ.ସା.ଗୁ. ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାର ପଦ୍ଧତିଗୁଡ଼ିକୁ ଧ୍ୟାନ ଦିଅ । ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ ପରେ ସାଧାରଣ ଉତ୍ପାଦକର ସର୍ବନିମ୍ନ ଘାତାଙ୍କ (H.C.F.) ଓ ସମସ୍ତ ଉତ୍ପାଦକର ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଘାତାଙ୍କ (L.C.M.) ନେବାରେ ସତର୍କ ରୁହ ।
୫. ପରିମେୟ ପରିପ୍ରକାଶର ସରଳୀକରଣ: ପରିମେୟ ପରିପ୍ରକାଶର ଯୋଗ, ବିୟୋଗ, ଗୁଣନ ଓ ହରଣରେ ଲ.ସା.ଗୁ. ନେବା ଏବଂ ଲଘିଷ୍ଠ ରୂପକୁ ଆଣିବାରେ ଅଭ୍ୟାସ କର ।
୬. ସମୀକରଣ ସମାଧାନର ବିଭିନ୍ନ ପଦ୍ଧତି: ଏକଘାତୀ, ଦ୍ୱିଘାତ ଓ ଘାତାଙ୍କୀୟ ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକୁ ସମାଧାନ କରିବାର ପଦ୍ଧତିଗୁଡ଼ିକୁ ଭଲ ଭାବରେ ବୁଝ । ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣର ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ ପଦ୍ଧତିରେ ଅଭ୍ୟାସ କର ।
୭. ପାଟୀଗଣିତ ପ୍ରଶ୍ନର ଅଭ୍ୟାସ: ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣର ପ୍ରୟୋଗ ଥିବା ପାଟୀଗଣିତ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକୁ ଅଧିକ ଅଭ୍ୟାସ କର । ପ୍ରଶ୍ନକୁ ଭଲ ଭାବରେ ପଢ଼ି ସମୀକରଣ ଗଠନ କରିବା ଏବଂ ମିଳିଥିବା ମୂଳଗୁଡ଼ିକର ବୈଧତା ଯାଞ୍ଚ କରିବା ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ।
୮. ସମୟ ପରିଚାଳନା: ପରୀକ୍ଷାରେ ସମୟ ସୀମା ମଧ୍ୟରେ ସମସ୍ତ ପ୍ରଶ୍ନର ଉତ୍ତର ଦେବା ପାଇଁ ସମୟ ପରିଚାଳନା ଅଭ୍ୟାସ କର ।
ସାଧାରଣ ଭୁଲ୍ (Common Pitfalls):
୧. ଚିହ୍ନଗତ ତ୍ରୁଟି (Sign Errors): ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ ଓ ସମୀକରଣ ସମାଧାନରେ ଧନ ଓ ଋଣ ଚିହ୍ନର ଭୁଲ୍ ପ୍ରୟୋଗ ଏକ ସାଧାରଣ ଭୁଲ୍ । ବିଶେଷ କରି ବ୍ରାକେଟ୍ ଖୋଲିବା ସମୟରେ ସତର୍କ ରୁହ ।
୨. ସୂତ୍ରର ଭୁଲ୍ ପ୍ରୟୋଗ: ଅଭେଦଗୁଡ଼ିକୁ ଠିକ୍ ଭାବରେ ମନେ ନ ରଖିବା କିମ୍ବା ଭୁଲ୍ ଭାବରେ ପ୍ରୟୋଗ କରିବା । ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, (a-b)³ କୁ (a³-b³) ଭାବେ ଭାବିବା ।
୩. ଗାଣିତିକ କ୍ରିୟାରେ ତ୍ରୁଟି (Calculation Mistakes): ଯୋଗ, ବିୟୋଗ, ଗୁଣନ, ହରଣରେ ସାଧାରଣ ଭୁଲ୍ ।
୪. ଭାଗଶେଷ ଉପପାଦ୍ୟର ଭୁଲ୍ ବ୍ୟାଖ୍ୟା: (kx-a) ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲାବେଳେ ଭାଗଶେଷ p(a/k) ହୁଏ, p(a) ନୁହେଁ । ଏହି ତ୍ରୁଟିକୁ ଏଡ଼ାଇବା ।
୫. ପରିମେୟ ପରିପ୍ରକାଶରେ ହର ଶୂନ ହେବା: ପରିମେୟ ପରିପ୍ରକାଶରେ ହର କେବେ ଶୂନ ହେବ ନାହିଁ । ସମାଧାନ କରିବା ପରେ ମୂଳଗୁଡ଼ିକ ହରକୁ ଶୂନ କରୁଛି କି ନାହିଁ ଯାଞ୍ଚ କର ।
୬. ଘାତାଙ୍କୀୟ ସମୀକରଣରେ ଆଧାର ସମାନ ନ କରିବା: ଘାତାଙ୍କୀୟ ସମୀକରଣ ସମାଧାନରେ ଆଧାରକୁ ସମାନ କରିବା ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ।
୭. ପାଟୀଗଣିତ ପ୍ରଶ୍ନରେ ମୂଳର ବୈଧତା ଯାଞ୍ଚ ନ କରିବା: ବାସ୍ତବ ଜୀବନର ପ୍ରଶ୍ନରେ ଋଣାତ୍ମକ ମୂଲ୍ୟ (ଯଥା: ଦୈର୍ଘ୍ୟ, ସମୟ, ଲୋକ ସଂଖ୍ୟା) ଅଗ୍ରାହ୍ୟ ହୋଇଥାଏ । ସମାଧାନ ପରେ ମୂଳଗୁଡ଼ିକ ପ୍ରଶ୍ନର ସର୍ତ୍ତ ପୂରଣ କରୁଛି କି ନାହିଁ
🤖 Have a Doubt in this Chapter?
Ask Gundulu AI Voice Tutor to explain any question in bilingual Odia & English with 24/7 step-by-step guidance!
🚀 Try Gundulu AI on Utkal Skill Centre App