📚 E-Library 📱 Open in App
BSE ODISHA CLASS 9 • UTKAL MASTER STROKE

ବୋର୍ଡ ଅଫ୍ ସେକେଣ୍ଡାରୀ ଏଜୁକେସନ୍ (BSE Odisha) — ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଅଧ୍ୟାୟ ମାଷ୍ଟର ନୋଟ୍ସ

ଶ୍ରେଣୀ: Class 9 | ବିଷୟ: Math

ଅଧ୍ୟାୟ: C9 Alg C9 Alg Ch5 CoordianteGeometry Ready Ready (ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଜ୍ୟାମିତି)

୧. ଅଧ୍ୟାୟର ସାରାଂଶ ଓ ମାଇଣ୍ଡ ମ୍ୟାପ୍ (Mind Map & Conceptual Architecture)

ଏହି ଅଧ୍ୟାୟଟି ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଜ୍ୟାମିତି (Coordinate Geometry) ଉପରେ ଆଧାରିତ । ଏହା ଜ୍ୟାମିତିର ଏକ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ଶାଖା ଯାହା ବୀଜଗଣିତ ଓ ଜ୍ୟାମିତି ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ପର୍କ ସ୍ଥାପନ କରେ । ଫରାସୀ ଗଣିତଜ୍ଞ Rene Descartes ଏହି ପ୍ରଣାଳୀର ପ୍ରବର୍ତ୍ତକ ।

ମୁଖ୍ୟ ଧାରଣାଗୁଡ଼ିକ:

  • ଜ୍ୟାମିତିର ଇତିହାସ: ଗ୍ରୀକ୍ ଗଣିତଜ୍ଞ Thales, Pythagoras, Euclid ଙ୍କ ଅବଦାନ ।
  • ସଂଖ୍ୟାରେଖା (Number Line): ଏକ ମାତ୍ରା ବିଶିଷ୍ଟ (One-dimensional) ସରଳରେଖା ଉପରେ ବିନ୍ଦୁକୁ ଗୋଟିଏ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା (ସ୍ଥାନାଙ୍କ) ଦ୍ୱାରା ସୂଚାଇବା ।
  • ସମତଳରେ ବିନ୍ଦୁ (Points on a Plane):
  • ଦୁଇ ମାତ୍ରା ବିଶିଷ୍ଟ (Two-dimensional) ସମତଳରେ ବିନ୍ଦୁର ଅବସ୍ଥିତି ନିର୍ଦ୍ଧାରଣ ।
  • କାର୍ଟେସୀୟ ସ୍ଥାନାଙ୍କ ପ୍ରଣାଳୀ (Cartesian Coordinate System): ପରସ୍ପର ଲମ୍ବ ଭାବେ ଥିବା ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାରେଖା (x-ଅକ୍ଷ ଓ y-ଅକ୍ଷ) ।
  • ମୂଳବିନ୍ଦୁ (Origin): x-ଅକ୍ଷ ଓ y-ଅକ୍ଷର ଛେଦବିନ୍ଦୁ O(0, 0) ।
  • ସ୍ଥାନାଙ୍କ (Coordinates): ସମତଳରେ ଥିବା ଏକ ବିନ୍ଦୁ P କୁ (x, y) କ୍ରମିତ ଯୋଡ଼ି (Ordered Pair) ଦ୍ୱାରା ସୂଚାଇବା ।
  • ଭୁଜ (Abscissa): x-ସ୍ଥାନାଙ୍କ ।
  • କୋଟି (Ordinate): y-ସ୍ଥାନାଙ୍କ ।
  • ପାଦ (Quadrants): x-ଅକ୍ଷ ଓ y-ଅକ୍ଷ ଦ୍ୱାରା ସମତଳର ଚାରି ଭାଗ (Q₁, Q₂, Q₃, Q₄) । ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାଦରେ x ଓ y ର ଚିହ୍ନ ।
  • ଅକ୍ଷ ଉପରିସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ: x-ଅକ୍ଷ ଉପରେ (x, 0) ଓ y-ଅକ୍ଷ ଉପରେ (0, y) ।
  • xy-ସମତଳ (xy-plane): କାର୍ଟେସୀୟ ସମତଳ ବା R² ସମତଳ ।
  • ଅର୍ଦ୍ଧ ସମତଳ (Half Plane): x-ଅକ୍ଷ ଓ y-ଅକ୍ଷ ଦ୍ୱାରା ସମତଳର ବିଭାଜନ ।
  • ସରଳରେଖାର ସମୀକରଣ (Equation of a Line):
  • ଦୁଇଟି ଚଳରାଶିରେ ଏକଘାତୀ ସମୀକରଣର ବ୍ୟାପକ ରୂପ: ax + by + c = 0 ।
  • ଏହାର ଲେଖଚିତ୍ର (Graph) ସର୍ବଦା ଏକ ସରଳରେଖା ହୁଏ ।
  • ସରଳରେଖାର ପ୍ରକାରଭେଦ:
  • x-ଅକ୍ଷ ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖା: y = k ।
  • y-ଅକ୍ଷ ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖା: x = k ।
  • ତୀର୍ଯ୍ୟକ ସରଳରେଖା: y = mx + c ।
  • ସ୍ଲୋପ୍ (Slope) ବା ଅବନତି: m = tanθ = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) ।
  • y-ଛେଦଂଶ (y-intercept): c ।
  • ମୂଳବିନ୍ଦୁଗାମୀ ସରଳରେଖା: y = mx ।
  • x-ଅକ୍ଷର ସମୀକରଣ: y = 0 ।
  • y-ଅକ୍ଷର ସମୀକରଣ: x = 0 ।
  • ଲେଖଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ ପ୍ରଣାଳୀ (Graphing Procedure): ସମୀକରଣରୁ ବିନ୍ଦୁ ନିରୂପଣ, ସେଗୁଡ଼ିକୁ ସ୍ଥାପନ କରି ସରଳରେଖା ଅଙ୍କନ ।

    • ମାଇଣ୍ଡ ମ୍ୟାପ୍ (Mind Map):

    ```

    ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଜ୍ୟାମିତି (Coordinate Geometry)

    ├── ଇତିହାସ (History)

    │ ├── Thales, Pythagoras, Euclid

    │ └── Rene Descartes (ପ୍ରବର୍ତ୍ତକ)

    ├── ମୂଳ ଧାରଣା (Core Concepts)

    │ ├── ସଂଖ୍ୟାରେଖା (Number Line) - 1D

    │ ├── ସମତଳ (Plane) - 2D

    │ │ ├── କାର୍ଟେସୀୟ ପ୍ରଣାଳୀ (Cartesian System)

    │ │ │ ├── x-ଅକ୍ଷ (Horizontal)

    │ │ │ ├── y-ଅକ୍ଷ (Vertical)

    │ │ │ └── ମୂଳବିନ୍ଦୁ O(0,0)

    │ │ ├── ସ୍ଥାନାଙ୍କ (Coordinates) P(x,y)

    │ │ │ ├── ଭୁଜ (Abscissa) x

    │ │ │ └── କୋଟି (Ordinate) y

    │ │ ├── ପାଦ (Quadrants) Q₁, Q₂, Q₃, Q₄ (ଚିହ୍ନ ସହିତ)

    │ │ └── ଅକ୍ଷ ଉପରିସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ((x,0), (0,y))

    │ └── xy-ସମତଳ (xy-plane) / R²

    ├── ସରଳରେଖାର ସମୀକରଣ (Equation of a Line)

    │ ├── ବ୍ୟାପକ ରୂପ (General Form): ax + by + c = 0

    │ ├── ପ୍ରକାରଭେଦ (Types)

    │ │ ├── y = k (x-ଅକ୍ଷ ସମାନ୍ତର)

    │ │ ├── x = k (y-ଅକ୍ଷ ସମାନ୍ତର)

    │ │ └── y = mx + c (ତୀର୍ଯ୍ୟକ)

    │ ├── ସ୍ଲୋପ୍ (Slope) m = (y₂-y₁)/(x₂-x₁)

    │ ├── y-ଛେଦଂଶ (y-intercept) c

    │ └── ମୂଳବିନ୍ଦୁଗାମୀ (y=mx)

    └── ଲେଖଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ (Graphing)

    ├── ବିନ୍ଦୁ ନିରୂପଣ (Finding points)

    └── ସ୍ଥାପନ ଓ ଯୋଗ (Plotting and Joining)

    ```

    ୨. ମୁଖ୍ୟ ବିଷୟବସ୍ତୁ, ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ଓ ଗାଣିତିକ ସୂତ୍ରାବଳୀ (Comprehensive Theory & Formulas)

    ୨.୧ ଜ୍ୟାମିତିର ପରିଚୟ (Introduction to Geometry)

  • 'Geometry' ଶବ୍ଦଟି ଗ୍ରୀକ୍ ଶବ୍ଦ 'geo' (ପୃଥିବୀ) ଓ 'metrein' (ପରିମାପ) ରୁ ଆସିଛି ।
  • Thales: ଜ୍ୟାମିତିର ପ୍ରଥମ ଉପପାଦ୍ୟ (ଏକ ବୃତ୍ତ ତାର ବ୍ୟାସଦ୍ୱାରା ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡିତ ହୁଏ) ପ୍ରମାଣ କରିଥିଲେ ।
  • Pythagoras: ଅନେକ ଜ୍ୟାମିତିକ ଉପପାଦ୍ୟ ଆବିଷ୍କାର କରିଥିଲେ ।
  • Euclid: ଇଜିପ୍ଟର ଗଣିତଜ୍ଞ ଇୟୁକ୍ଲିଡ଼୍ ଜ୍ୟାମିତିର ଉପପାଦ୍ୟଗୁଡ଼ିକୁ ଏକତ୍ରିତ କରି 'Elements' ନାମକ ତେରଖଣ୍ଡି ପୁସ୍ତକରେ ରଚନା କରିଥିଲେ । ଏହାକୁ ଇୟୁକ୍ଲିଡିୟ ଜ୍ୟାମିତି କୁହାଯାଏ ।

    • ୨.୨ ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଜ୍ୟାମିତିର ଉଦ୍ଭବ (Origin of Coordinate Geometry)

  • ସପ୍ତଦଶ ଶତାବ୍ଦୀରେ ଫରାସୀ ଗଣିତଜ୍ଞ Rene Descartes (1596 – 1650) ଙ୍କ ଦ୍ୱାରା ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଜ୍ୟାମିତି (Coordinate Geometry) ବା ବିଶ୍ଳେଷଣାତ୍ମକ ଜ୍ୟାମିତି (Analytical Geometry) ଜନ୍ମଲାଭ କଲା ।
  • ଏହା ଜ୍ୟାମିତିକ ଚର୍ଚ୍ଚାରେ ବୀଜଗଣିତକୁ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ଭୂମିକା ଦେଲା ।
  • Descartes ଙ୍କ ପ୍ରଥମ ପୁସ୍ତକ ୧୬୩୭ ରେ ପ୍ରକାଶ ପାଇଥିଲା ।
  • ମୂଖ୍ୟ ଧାରଣା: ସମତଳରେ ଥିବା ବିନ୍ଦୁକୁ ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର କ୍ରମିତ ଯୋଡ଼ି (Ordered Pair) ରୂପେ ଓ ଶୂନ୍ୟରେ ଥିବା ବିନ୍ଦୁକୁ ତିନିଗୋଟି ସଂଖ୍ୟାର କ୍ରମିତ ତ୍ରୟୀ (Ordered Triad) ରୂପେ ସୂଚିତ କରିବା ।
  • ଏହା Newton ଓ Leibnitz ଙ୍କ ଦ୍ୱାରା ଆବିଷ୍କୃତ କଳନ ଶାସ୍ତ୍ର (Calculus) ର ଭିତ୍ତିଭୂମି ରୂପେ ମଧ୍ୟ ବିଚାର କରାଯାଏ ।

    • ୨.୩ ସମତଳରେ ବିନ୍ଦୁ (Points on a Plane)

    ୨.୩.୧ ସଂଖ୍ୟାରେଖା (Number Line)

  • ଏକ ମାତ୍ରା ବିଶିଷ୍ଟ (One-dimensional) ।
  • ଏହା ଉପରିସ୍ଥ ଯେକୌଣସି ବିନ୍ଦୁକୁ ଗୋଟିଏ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ସୂଚାଯାଏ, ଯାହାକୁ ଉକ୍ତ ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ (Coordinate) କୁହାଯାଏ ।
  • ସଂଖ୍ୟାରେଖା X'X ଓ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ R ସଦୃଶ ।

    • ୨.୩.୨ କାର୍ଟେସୀୟ ସ୍ଥାନାଙ୍କ ପ୍ରଣାଳୀ (Cartesian Coordinate System)

  • ସମତଳ ଦୁଇ ମାତ୍ରା ବିଶିଷ୍ଟ (Two-dimensional) ।
  • ସମତଳରେ ବିନ୍ଦୁର ଅବସ୍ଥିତି ନିର୍ଦ୍ଧାରଣ ପାଇଁ ପରସ୍ପର ଲମ୍ବ ଭାବେ ଥିବା ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାରେଖା ବ୍ୟବହାର କରାଯାଏ ।
  • x-ଅକ୍ଷ (x-axis): ଆନୁଭୂମିକ (Horizontal) ସଂଖ୍ୟାରେଖା (X'X) ।
  • y-ଅକ୍ଷ (y-axis): ଉଲ୍ଲମ୍ବ (Vertical) ସଂଖ୍ୟାରେଖା (Y'Y) ।
  • ମୂଳବିନ୍ଦୁ (Origin): x-ଅକ୍ଷ ଓ y-ଅକ୍ଷର ଛେଦବିନ୍ଦୁକୁ ମୂଳବିନ୍ଦୁ କୁହାଯାଏ । ଏହାର ସ୍ଥାନାଙ୍କ (0, 0) ।
  • ଆୟତୀୟ ଅକ୍ଷ (Rectangular Axes): x-ଅକ୍ଷ ଓ y-ଅକ୍ଷ ପରସ୍ପରକୁ ସମକୋଣରେ ଛେଦ କରୁଥିବାରୁ ଏମାନଙ୍କୁ ଆୟତୀୟ ଅକ୍ଷ କୁହାଯାଏ ।
  • ସ୍ଥାନାଙ୍କ (Coordinates): ସମତଳରେ ଥିବା ଏକ ବିନ୍ଦୁ P ର ଅବସ୍ଥିତିକୁ ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା (x, y) ର କ୍ରମିତ ଯୋଡ଼ି ଦ୍ୱାରା ସୂଚାଯାଏ । ଏହି (x, y) କୁ P ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ କୁହାଯାଏ ।
  • ଭୁଜ (Abscissa): x-ସ୍ଥାନାଙ୍କ । ଏହା y-ଅକ୍ଷରୁ ବିନ୍ଦୁର ଦୂରତାକୁ ସୂଚାଏ ।
  • କୋଟି (Ordinate): y-ସ୍ଥାନାଙ୍କ । ଏହା x-ଅକ୍ଷରୁ ବିନ୍ଦୁର ଦୂରତାକୁ ସୂଚାଏ ।

    • ୨.୩.୩ ପାଦ (Quadrants)

  • x-ଅକ୍ଷ ଓ y-ଅକ୍ଷ ଦ୍ୱାରା ସମତଳଟି ଚାରିଗୋଟି ପାଦରେ ବିଭାଜିତ ହୁଏ ।
  • ପ୍ରଥମ ପାଦ (Q₁): x > 0, y > 0 (ଉଭୟ ଧନାତ୍ମକ) ।
  • ଦ୍ୱିତୀୟ ପାଦ (Q₂): x < 0, y > 0 (x ଋଣାତ୍ମକ, y ଧନାତ୍ମକ) ।
  • ତୃତୀୟ ପାଦ (Q₃): x < 0, y < 0 (ଉଭୟ ଋଣାତ୍ମକ) ।
  • ଚତୁର୍ଥ ପାଦ (Q₄): x > 0, y < 0 (x ଧନାତ୍ମକ, y ଋଣାତ୍ମକ) ।

    • ୨.୩.୪ ଅକ୍ଷ ଉପରିସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ (Coordinates of points on axes)

  • x-ଅକ୍ଷ ଉପରେ: ଯେକୌଣସି ବିନ୍ଦୁର y-ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଶୂନ (0) ହୁଏ । ତେଣୁ ଏହି ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ (x, 0) ଆକାରର ହୁଏ ।
  • x-ଅକ୍ଷ = { (x, y) | x ∈ R, y = 0 } ବା { (x, 0) : x ∈ R } ।
  • y-ଅକ୍ଷ ଉପରେ: ଯେକୌଣସି ବିନ୍ଦୁର x-ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଶୂନ (0) ହୁଏ । ତେଣୁ ଏହି ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ (0, y) ଆକାରର ହୁଏ ।
  • y-ଅକ୍ଷ = { (x, y) | x = 0, y ∈ R } ବା { (0, y) : y ∈ R } ।
  • ମୂଳବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ (0, 0) ।

    • ୨.୪ xy-ସମତଳ (xy-plane)

  • ଯେଉଁ ସମତଳରେ x- ଓ y- ଅକ୍ଷ ଅଙ୍କନ କରି ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କୁ (x, y) ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ, ସେହି ସମତଳକୁ xy-ସମତଳ କୁହାଯାଏ ।
  • ଏହାକୁ କାର୍ଟେସୀୟ ସମତଳ (Cartesian Plane) ବା R² – ସମତଳ ମଧ୍ୟ କୁହାଯାଏ ।
  • R² = { (x, y) | x ∈ R, y ∈ R } ।

    • ୨.୫ ଅର୍ଦ୍ଧ ସମତଳ (Half Plane)

  • x-ଅକ୍ଷ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ:
  • ଉର୍ଦ୍ଧ୍ୱ ଅର୍ଦ୍ଧ ସମତଳ (Upper Half Plane): { (x, y) : y > 0, x ∈ R } ।
  • ଅଧଃ ଅର୍ଦ୍ଧ ସମତଳ (Lower Half Plane): { (x, y) : y < 0, x ∈ R } ।
  • y-ଅକ୍ଷ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ:
  • ଦକ୍ଷିଣ ଅର୍ଦ୍ଧ ସମତଳ (Right Half Plane): { (x, y) : x > 0, y ∈ R } ।
  • ବାମ ଅର୍ଦ୍ଧ ସମତଳ (Left Half Plane): { (x, y) : x < 0, y ∈ R } ।

    • ୨.୬ ସରଳରେଖାର ସମୀକରଣ (Equation of a Line)

    ୨.୬.୧ ବ୍ୟାପକ ରୂପ (General Form)

  • ଦୁଇଟି ଚଳରାଶି x ଓ y ରେ ଏକଘାତୀ ସମୀକରଣର ବ୍ୟାପକ ରୂପ ହେଉଛି: ax + by + c = 0
  • ଏଠାରେ a, b, c ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ a ଓ b ଏକ ସଙ୍ଗେ ଶୂନ ନୁହଁନ୍ତି (a ≠ 0 ବା b ≠ 0) ।
  • ଏହି ସମୀକରଣର ଲେଖଚିତ୍ର (Graph) ସର୍ବଦା ଏକ ସରଳରେଖା ହୁଏ ।

    • ୨.୬.୨ ସରଳରେଖାର ପ୍ରକାରଭେଦ (Types of Lines)

  • ପରିସ୍ଥିତି (i): ଯେତେବେଳେ a = 0 ଓ b ≠ 0
  • ସମୀକରଣର ରୂପ: by + c = 0 ⇒ by = -c ⇒ y = -c/b ।
  • ଏହାକୁ y = k ଆକାରରେ ଲେଖାଯାଏ, ଯେଉଁଠାରେ k = -c/b ।
  • ଏହି ସରଳରେଖା x-ଅକ୍ଷ ସହ ସମାନ୍ତର ହୁଏ ।
  • ଯଦି k = 0, ତେବେ y = 0 ହୁଏ, ଯାହା x-ଅକ୍ଷର ସମୀକରଣ ।
  • ଯଦି k > 0, ରେଖା x-ଅକ୍ଷର ଉପର ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥାଏ ।
  • ଯଦି k < 0, ରେଖା x-ଅକ୍ଷର ତଳ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥାଏ ।
  • ପରିସ୍ଥିତି (ii): ଯେତେବେଳେ b = 0 ଓ a ≠ 0
  • ସମୀକରଣର ରୂପ: ax + c = 0 ⇒ ax = -c ⇒ x = -c/a ।
  • ଏହାକୁ x = k ଆକାରରେ ଲେଖାଯାଏ, ଯେଉଁଠାରେ k = -c/a ।
  • ଏହି ସରଳରେଖା y-ଅକ୍ଷ ସହ ସମାନ୍ତର ହୁଏ ।
  • ଯଦି k = 0, ତେବେ x = 0 ହୁଏ, ଯାହା y-ଅକ୍ଷର ସମୀକରଣ ।
  • ଯଦି k > 0, ରେଖା y-ଅକ୍ଷର ଦକ୍ଷିଣ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥାଏ ।
  • ଯଦି k < 0, ରେଖା y-ଅକ୍ଷର ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥାଏ ।
  • ପରିସ୍ଥିତି (iii): ଯେତେବେଳେ a ≠ 0 ଓ b ≠ 0
  • ସମୀକରଣର ରୂପ: ax + by + c = 0 ⇒ by = -ax - c ⇒ y = (-a/b)x + (-c/b) ।
  • ଏହାକୁ y = mx + c ଆକାରରେ ଲେଖାଯାଏ ।
  • ଏହି ସରଳରେଖା ତୀର୍ଯ୍ୟକ (slanted) ହୁଏ ।
  • ସ୍ଲୋପ୍ (Slope) ବା ଅବନତି (m): m = -a/b । ଏହା x-ଅକ୍ଷର ଧନାତ୍ମକ ଦିଗ ସହ ସରଳରେଖା ସୃଷ୍ଟି କରୁଥିବା କୋଣ θ ର tan ମୂଲ୍ୟ ସହ ସମାନ (m = tanθ) ।
  • y-ଛେଦଂଶ (y-intercept) (c): c = -c/b । ଏହା y-ଅକ୍ଷକୁ ଛେଦ କରୁଥିବା ବିନ୍ଦୁର y-ସ୍ଥାନାଙ୍କ ।
  • ମୂଳବିନ୍ଦୁଗାମୀ ସରଳରେଖା: ଯଦି c = 0, ତେବେ ସମୀକରଣ y = mx ହୁଏ । ଏହା ମୂଳବିନ୍ଦୁ (0,0) ଦେଇ ଗତି କରେ ।

    • ୨.୬.୩ ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ ଦ୍ୱାରା ସରଳରେଖାର ସ୍ଲୋପ୍ ନିର୍ଣ୍ଣୟ (Slope of a line passing through two points)

  • ଯଦି ଏକ ସରଳରେଖା P₁(x₁, y₁) ଓ P₂(x₂, y₂) ବିନ୍ଦୁ ଦ୍ୱୟ ଦେଇ ଗତି କରେ, ତେବେ ତାର ସ୍ଲୋପ୍ (m) ନିମ୍ନ ସୂତ୍ର ଦ୍ୱାରା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ:

    • m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) (ଯେଉଁଠାରେ x₁ ≠ x₂)

  • ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର କ୍ଷେତ୍ର:
  • x-ଅକ୍ଷ ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାର ସ୍ଲୋପ୍ = 0 (ଯେହେତୁ θ = 0°, tan 0° = 0) ।
  • y-ଅକ୍ଷ ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାର ସ୍ଲୋପ୍ ଅସଂଜ୍ଞାତ (Undefined) (ଯେହେତୁ θ = 90°, tan 90° ଅସଂଜ୍ଞାତ) ।

    • ୨.୭ ଲେଖଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ ପ୍ରଣାଳୀ (Graphing Procedure)

  • ପଦକ୍ଷେପ ୧: ଦତ୍ତ ସମୀକରଣରୁ ଅତିକମରେ ଦୁଇଟି (ସାଧାରଣତଃ ତିନି ବା ଚାରୋଟି) ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ (x, y) ନିରୂପଣ କର, ଯାହା ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରୁଥିବ । ଏଥିପାଇଁ x ର କିଛି ମୂଲ୍ୟ ନେଇ y ର ମୂଲ୍ୟ ବାହାର କର ।
  • ପଦକ୍ଷେପ ୨: ଏକ ଲେଖ କାଗଜରେ x-ଅକ୍ଷ ଓ y-ଅକ୍ଷ ଅଙ୍କନ କର । ଉପଯୁକ୍ତ ସ୍କେଲ୍ ବାଛି ଅକ୍ଷଗୁଡ଼ିକରେ ସଂଖ୍ୟା ଚିହ୍ନଟ କର ।
  • ପଦକ୍ଷେପ ୩: ପଦକ୍ଷେପ ୧ ରେ ନିରୂପିତ ସମସ୍ତ ବିନ୍ଦୁକୁ ଲେଖ କାଗଜରେ ସ୍ଥାପନ କର ।
  • ପଦକ୍ଷେପ ୪: ସ୍ଥାପିତ ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ ଏକ ସରଳରେଖା ଦ୍ୱାରା ଯୋଗ କର । ଏହି ସରଳରେଖାଟି ଦତ୍ତ ସମୀକରଣର ଲେଖଚିତ୍ର ଅଟେ ।

    • ୩. ପାଠ୍ୟପୁସ୍ତକ ଅଭ୍ୟାସ ପ୍ରଶ୍ନାବଳୀର ୧୦୦% ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସମାଧାନ (100% Complete Solved Exercises)

    ଅନୁଶୀଳନୀ – 5 (a)

    ୧. ଭୁଲ୍ ଥିଲେ ଠିକ୍ କର ।

    (i) ମୂଳ ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ (0, 0)

  • ଉତ୍ତର: ଠିକ୍ ଅଛି ।

    • (ii) ପ୍ରଥମ ପାଦ(Q₁) ଉପରିସ୍ଥ (x,y)ରେ x > 0, y < 0

  • ଉତ୍ତର: ଭୁଲ୍ । ପ୍ରଥମ ପାଦରେ x > 0, y > 0 ହୁଏ ।
  • ଠିକ୍: ପ୍ରଥମ ପାଦ(Q₁) ଉପରିସ୍ଥ (x,y)ରେ x > 0, y > 0 ।

    • (iii) ଦ୍ୱିତୀୟ ପାଦ(Q₂) ଉପରିସ୍ଥ (x,y) ରେ x < 0, y < 0

  • ଉତ୍ତର: ଭୁଲ୍ । ଦ୍ୱିତୀୟ ପାଦରେ x < 0, y > 0 ହୁଏ ।
  • ଠିକ୍: ଦ୍ୱିତୀୟ ପାଦ(Q₂) ଉପରିସ୍ଥ (x,y) ରେ x < 0, y > 0 ।

    • (iv) ତୃତୀୟ ପାଦ (Q₃) ଉପରିସ୍ଥ (x,y)ରେ x < 0, y < 0

  • ଉତ୍ତର: ଠିକ୍ ଅଛି ।

    • (v) ଚତୁର୍ଥ ପାଦ (Q₄) ଉପରିସ୍ଥ (x,y)ରେ x > 0, y > 0

  • ଉତ୍ତର: ଭୁଲ୍ । ଚତୁର୍ଥ ପାଦରେ x > 0, y < 0 ହୁଏ ।
  • ଠିକ୍: ଚତୁର୍ଥ ପାଦ (Q₄) ଉପରିସ୍ଥ (x,y)ରେ x > 0, y < 0 ।

    • (vi) x-ଅକ୍ଷ ଉପରିସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ (0, y)

  • ଉତ୍ତର: ଭୁଲ୍ । x-ଅକ୍ଷ ଉପରେ y-ସ୍ଥାନାଙ୍କ 0 ହୁଏ ।
  • ଠିକ୍: x-ଅକ୍ଷ ଉପରିସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ (x, 0) ।

    • (vii) y-ଅକ୍ଷ ଉପରିସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ (x, 0)

  • ଉତ୍ତର: ଭୁଲ୍ । y-ଅକ୍ଷ ଉପରେ x-ସ୍ଥାନାଙ୍କ 0 ହୁଏ ।
  • ଠିକ୍: y-ଅକ୍ଷ ଉପରିସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ (0, y) ।

    • (viii) Q₁ ∪ Q₂ ∪ Q₃ ∪ Q₄ = R²

  • ଉତ୍ତର: ଭୁଲ୍ । Q₁, Q₂, Q₃, Q₄ ମିଶି R² ର ଅକ୍ଷଗୁଡ଼ିକୁ ଛାଡ଼ି ଅନ୍ୟ ସମସ୍ତ ବିନ୍ଦୁକୁ ସୂଚାଏ । R² ହେଉଛି ସମତଳର ସମସ୍ତ ବିନ୍ଦୁର ସେଟ୍ ।
  • ଠିକ୍: Q₁ ∪ Q₂ ∪ Q₃ ∪ Q₄ ∪ {(x, 0) : x ∈ R} ∪ {(0, y) : y ∈ R} = R² । (ଅର୍ଥାତ୍, ସମସ୍ତ ପାଦ ଓ ଅକ୍ଷଗୁଡ଼ିକର ମିଳନ R² ସମତଳକୁ ସୂଚାଏ) ।

    • (ix) R² ର ଉର୍ଦ୍ଧ୍ୱ ଅର୍ଦ୍ଧ ସମତଳ = Q₁ ∪ Q₂

  • ଉତ୍ତର: ଭୁଲ୍ । ଉର୍ଦ୍ଧ୍ୱ ଅର୍ଦ୍ଧ ସମତଳରେ x-ଅକ୍ଷ ଉପରିସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ।
  • ଠିକ୍: R² ର ଉର୍ଦ୍ଧ୍ୱ ଅର୍ଦ୍ଧ ସମତଳ = Q₁ ∪ Q₂ ∪ {(x, 0) : x ∈ R} ।

    • (x) R² ର ଦକ୍ଷିଣ ଅର୍ଦ୍ଧ ସମତଳ = Q₁ ∪ Q₄

  • ଉତ୍ତର: ଭୁଲ୍ । ଦକ୍ଷିଣ ଅର୍ଦ୍ଧ ସମତଳରେ y-ଅକ୍ଷ ଉପରିସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ।
  • ଠିକ୍: R² ର ଦକ୍ଷିଣ ଅର୍ଦ୍ଧ ସମତଳ = Q₁ ∪ Q₄ ∪ {(0, y) : y ∈ R} ।

    • (xi) (-3, -2) ବିନ୍ଦୁଟି ତୃତୀୟ ପାଦରେ ଅବସ୍ଥିତ ।

  • ଉତ୍ତର: ଠିକ୍ ଅଛି । (ଉଭୟ x ଓ y ଋଣାତ୍ମକ) ।

    • (xii) (1.2, -1) ବିନ୍ଦୁଟି ଦ୍ୱିତୀୟ ପାଦରେ ଅବସ୍ଥିତ ।

  • ଉତ୍ତର: ଭୁଲ୍ । x ଧନାତ୍ମକ (1.2 > 0) ଓ y ଋଣାତ୍ମକ (-1 < 0) ଥିବାରୁ ଏହା ଚତୁର୍ଥ ପାଦରେ ଅବସ୍ଥିତ ।
  • ଠିକ୍: (1.2, -1) ବିନ୍ଦୁଟି ଚତୁର୍ଥ ପାଦରେ ଅବସ୍ଥିତ ।

    • (xiii) (-0.5, √2) ବିନ୍ଦୁଟି ପ୍ରଥମ ପାଦରେ ଅବସ୍ଥିତ ।

  • ଉତ୍ତର: ଭୁଲ୍ । x ଋଣାତ୍ମକ (-0.5 < 0) ଓ y ଧନାତ୍ମକ (√2 > 0) ଥିବାରୁ ଏହା ଦ୍ୱିତୀୟ ପାଦରେ ଅବସ୍ଥିତ ।
  • ଠିକ୍: (-0.5, √2) ବିନ୍ଦୁଟି ଦ୍ୱିତୀୟ ପାଦରେ ଅବସ୍ଥିତ ।

    • (xiv) (x, y) = (-2, 3) ହେଲେ, x = -2 ଓ y = 3

  • ଉତ୍ତର: ଠିକ୍ ଅଛି ।

    • ───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

    ୨. ସମତଳରେ x- ଓ y- ଅକ୍ଷ ଅଙ୍କନ କରି ନିମ୍ନଲିଖିତ ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କୁ ଲେଖ କାଗଜ ଉପରେ ଦତ୍ତ କ୍ରମିତ ଯୋଡ଼ି ସାହାଯ୍ୟରେ ଚିହ୍ନଟ କର । (ଲେଖ କାଗଜରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅକ୍ଷରେ 1 ସେ.ମି ଦୈର୍ଘ୍ୟକୁ 1 ଏକକ ନିଅ ।)

    (i) P₁(2, 2)

    (ii) P₂(-3, 2)

    (iii) P₃(2, -3)

    (iv) P₄(-4, -4)

    (v) P₅(-3, 4)

    (vi) P₆(0, 3)

    (vii) P₇(3, 0)

    (viii) P₈(0, -4)

    ସମାଧାନ:

    ଲେଖ କାଗଜରେ x-ଅକ୍ଷ ଓ y-ଅକ୍ଷ ଅଙ୍କନ କର । ମୂଳବିନ୍ଦୁ O(0,0) ଚିହ୍ନଟ କର । ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅକ୍ଷରେ 1 ସେ.ମି. କୁ 1 ଏକକ ଭାବେ ନିଅ ।

  • (i) P₁(2, 2): x-ଅକ୍ଷରେ 2 ଏକକ ଡାହାଣକୁ ଓ y-ଅକ୍ଷରେ 2 ଏକକ ଉପରକୁ ଯାଇ ବିନ୍ଦୁ ସ୍ଥାପନ କର । (ପ୍ରଥମ ପାଦ)
  • (ii) P₂(-3, 2): x-ଅକ୍ଷରେ 3 ଏକକ ବାମକୁ ଓ y-ଅକ୍ଷରେ 2 ଏକକ ଉପରକୁ ଯାଇ ବିନ୍ଦୁ ସ୍ଥାପନ କର । (ଦ୍ୱିତୀୟ ପାଦ)
  • (iii) P₃(2, -3): x-ଅକ୍ଷରେ 2 ଏକକ ଡାହାଣକୁ ଓ y-ଅକ୍ଷରେ 3 ଏକକ ତଳକୁ ଯାଇ ବିନ୍ଦୁ ସ୍ଥାପନ କର । (ଚତୁର୍ଥ ପାଦ)
  • (iv) P₄(-4, -4): x-ଅକ୍ଷରେ 4 ଏକକ ବାମକୁ ଓ y-ଅକ୍ଷରେ 4 ଏକକ ତଳକୁ ଯାଇ ବିନ୍ଦୁ ସ୍ଥାପନ କର । (ତୃତୀୟ ପାଦ)
  • (v) P₅(-3, 4): x-ଅକ୍ଷରେ 3 ଏକକ ବାମକୁ ଓ y-ଅକ୍ଷରେ 4 ଏକକ ଉପରକୁ ଯାଇ ବିନ୍ଦୁ ସ୍ଥାପନ କର । (ଦ୍ୱିତୀୟ ପାଦ)
  • (vi) P₆(0, 3): x-ସ୍ଥାନାଙ୍କ 0 ଥିବାରୁ ଏହି ବିନ୍ଦୁ y-ଅକ୍ଷ ଉପରେ 3 ଏକକ ଉପରକୁ ଅବସ୍ଥିତ ।
  • (vii) P₇(3, 0): y-ସ୍ଥାନାଙ୍କ 0 ଥିବାରୁ ଏହି ବିନ୍ଦୁ x-ଅକ୍ଷ ଉପରେ 3 ଏକକ ଡାହାଣକୁ ଅବସ୍ଥିତ ।
  • (viii) P₈(0, -4): x-ସ୍ଥାନାଙ୍କ 0 ଥିବାରୁ ଏହି ବିନ୍ଦୁ y-ଅକ୍ଷ ଉପରେ 4 ଏକକ ତଳକୁ ଅବସ୍ଥିତ ।

    • (ଏହି ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ ଲେଖ କାଗଜରେ ସଠିକ୍ ଭାବରେ ସ୍ଥାପନ କରାଯିବ ।)

    ───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

    ୩. ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରଶ୍ନମାନଙ୍କର ଉତ୍ତର ଦିଅ ।

    (i) ସଂଖ୍ୟାରେଖା X'X ର ମାତ୍ରା କେତେ ?

  • ଉତ୍ତର: ସଂଖ୍ୟାରେଖା X'X ର ମାତ୍ରା ଏକ (One) ।

    • (ii) xy - ସମତଳର ମାତ୍ରା କେତେ ?

  • ଉତ୍ତର: xy - ସମତଳର ମାତ୍ରା ଦୁଇ (Two) ।

    • (iii) ସମତଳ ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଜ୍ୟାମିତି କେଉଁ ଗଣିତଜ୍ଞଙ୍କ ଦ୍ୱାରା ଆବିଷ୍କୃତ ହୋଇଥିଲା ?

  • ଉତ୍ତର: ସମତଳ ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଜ୍ୟାମିତି ଫରାସୀ ଗଣିତଜ୍ଞ Rene Descartes (ରେନେ ଡେକାର୍ଟେସ) ଙ୍କ ଦ୍ୱାରା ଆବିଷ୍କୃତ ହୋଇଥିଲା ।

    • (iv) xy - ସମତଳ କୁ x - ଅକ୍ଷ ଓ y - ଅକ୍ଷ କେତେଗୋଟି ପାଦରେ ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତି ?

  • ଉତ୍ତର: xy - ସମତଳ କୁ x - ଅକ୍ଷ ଓ y - ଅକ୍ଷ ଚାରିଗୋଟି ପାଦରେ (Q₁, Q₂, Q₃, Q₄) ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତି ।

    • (v) x'X ଅକ୍ଷ ର ଧନାତ୍ମକ ଦିଗ କେଉଁଟି ?

  • ଉତ୍ତର: x'X ଅକ୍ଷ ର ଧନାତ୍ମକ ଦିଗ ହେଉଛି OX । (O ରୁ X ଦିଗକୁ) ।

    • (vi) y'Y ଅକ୍ଷ ର ଋଣାତ୍ମକ ଦିଗ କେଉଁଟି ?

  • ଉତ୍ତର: y'Y ଅକ୍ଷ ର ଋଣାତ୍ମକ ଦିଗ ହେଉଛି OY' । (O ରୁ Y' ଦିଗକୁ) ।

    • (vii) ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଜ୍ୟାମିତିରେ ଜ୍ୟାମିତିକ ଚର୍ଚ୍ଚା ପାଇଁ ଗଣିତର କେଉଁ ଶାଖାଟିର ପ୍ରୟୋଗ କରାଯାଇ ଥାଏ ?

  • ଉତ୍ତର: ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଜ୍ୟାମିତିରେ ଜ୍ୟାମିତିକ ଚର୍ଚ୍ଚା ପାଇଁ ଗଣିତର ବୀଜଗଣିତ (Algebra) ଶାଖାଟିର ପ୍ରୟୋଗ କରାଯାଇ ଥାଏ ।

    • (viii) P(5,4) ବିନ୍ଦୁର x - ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଓ y - ସ୍ଥାନାଙ୍କ କେତେ ?

  • ଉତ୍ତର: P(5,4) ବିନ୍ଦୁର x - ସ୍ଥାନାଙ୍କ ହେଉଛି 5 ଏବଂ y - ସ୍ଥାନାଙ୍କ ହେଉଛି 4 ।

    • ───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

    ୪. A(0, y), B(7,0), C(-2,5), D(3,-4) ଓ E(-1,1) ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ କେଉଁ ପାଦରେ ଅଥବା କେଉଁ କେଉଁ ଅକ୍ଷରେ ଅବସ୍ଥିତ ଲେଖ ।

  • A(0, y): x-ସ୍ଥାନାଙ୍କ 0 ଥିବାରୁ ଏହା y-ଅକ୍ଷ ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ ।
  • B(7,0): y-ସ୍ଥାନାଙ୍କ 0 ଥିବାରୁ ଏହା x-ଅକ୍ଷ ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ ।
  • C(-2,5): x ଋଣାତ୍ମକ (-2 < 0) ଓ y ଧନାତ୍ମକ (5 > 0) ଥିବାରୁ ଏହା ଦ୍ୱିତୀୟ ପାଦ (Q₂) ରେ ଅବସ୍ଥିତ ।
  • D(3,-4): x ଧନାତ୍ମକ (3 > 0) ଓ y ଋଣାତ୍ମକ (-4 < 0) ଥିବାରୁ ଏହା ଚତୁର୍ଥ ପାଦ (Q₄) ରେ ଅବସ୍ଥିତ ।
  • E(-1,1): x ଋଣାତ୍ମକ (-1 < 0) ଓ y ଧନାତ୍ମକ (1 > 0) ଥିବାରୁ ଏହା ଦ୍ୱିତୀୟ ପାଦ (Q₂) ରେ ଅବସ୍ଥିତ ।

    • ───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

    ୫. ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।

    (i) x > 0, y > 0 ଥିଲେ, P(x, -y) ଚତୁର୍ଥ ପାଦରେ ଅବସ୍ଥିତ । (ଯେହେତୁ x ଧନାତ୍ମକ ଓ -y ଋଣାତ୍ମକ)

    (ii) x < 0, y < 0 ଥିଲେ, P(x, -y) ଦ୍ୱିତୀୟ ପାଦରେ ଅବସ୍ଥିତ । (ଯେହେତୁ x ଋଣାତ୍ମକ ଓ -y ଧନାତ୍ମକ)

    (iii) x > 0, y < 0 ଥିଲେ, P(-x, y) ଦ୍ୱିତୀୟ ପାଦରେ ଅବସ୍ଥିତ । (ଯେହେତୁ -x ଋଣାତ୍ମକ ଓ y ଧନାତ୍ମକ)

    (iv) x ∈ R, y < 0 ଥିଲେ, P(x, y) ଅଧଃ ଅର୍ଦ୍ଧତଳରେ ଅବସ୍ଥିତ । (ଯେହେତୁ y ଋଣାତ୍ମକ)

    (v) x < 0, y ∈ R ଥିଲେ, P(x, y) ବାମ ଅର୍ଦ୍ଧତଳରେ ଅବସ୍ଥିତ । (ଯେହେତୁ x ଋଣାତ୍ମକ)

    (vi) x > 0, y > 0 ଥିଲେ, P(-x, -y) ତୃତୀୟ ପାଦରେ ଅବସ୍ଥିତ । (ଯେହେତୁ -x ଋଣାତ୍ମକ ଓ -y ଋଣାତ୍ମକ)

    ଅନୁଶୀଳନୀ – 5 (b)

    ୧. ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡିକର ଉତ୍ତର ଦିଅ ।

    (i) x ଓ y ରେ ଏକଘାତୀ ସମୀକରଣର ବ୍ୟାପକ ରୂପଟିକୁ ଲେଖ ।

  • ଉତ୍ତର: x ଓ y ରେ ଏକଘାତୀ ସମୀକରଣର ବ୍ୟାପକ ରୂପଟି ହେଉଛି ax + by + c = 0 । (ଯେଉଁଠାରେ a, b, c ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ a ଓ b ଏକ ସଙ୍ଗେ ଶୂନ ନୁହଁନ୍ତି) ।

    • (ii) x ଓ y ରେ ଏକଘାତୀ ସମୀକରଣର ଲେଖଚିତ୍ରଟିର ସ୍ୱରୂପ କ’ଣ ହେବ ?

  • ଉତ୍ତର: x ଓ y ରେ ଏକଘାତୀ ସମୀକରଣର ଲେଖଚିତ୍ରଟିର ସ୍ୱରୂପ ଏକ ସରଳରେଖା ହେବ ।

    • (iii) x - ଅକ୍ଷର ସମୀକରଣଟି ଲେଖ ।

  • ଉତ୍ତର: x - ଅକ୍ଷର ସମୀକରଣଟି ହେଉଛି y = 0 ।

    • (iv) y - ଅକ୍ଷର ସମୀକରଣଟି ଲେଖ ।

  • ଉତ୍ତର: y - ଅକ୍ଷର ସମୀକରଣଟି ହେଉଛି x = 0 ।

    • (v) (3, 0) ବିନ୍ଦୁ ଦେଇ y- ଅକ୍ଷ ସହ ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାର ସମୀକରଣଟିକୁ ଲେଖ ।

  • ଉତ୍ତର: y-ଅକ୍ଷ ସହ ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାର ସମୀକରଣ x = k ଆକାରର ହୁଏ । ଯେହେତୁ ଏହା (3, 0) ବିନ୍ଦୁ ଦେଇ ଗତି କରେ, x = 3 ହେବ ।
  • ଅତଏବ, ସମୀକରଣଟି ହେଉଛି x = 3 ।

    • (vi) (0, -2) ବିନ୍ଦୁଦେଇ x- ଅକ୍ଷ ସହ ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାର ସମୀକରଣଟିକୁ ଲେଖ ।

  • ଉତ୍ତର: x-ଅକ୍ଷ ସହ ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାର ସମୀକରଣ y = k ଆକାରର ହୁଏ । ଯେହେତୁ ଏହା (0, -2) ବିନ୍ଦୁ ଦେଇ ଗତି କରେ, y = -2 ହେବ ।
  • ଅତଏବ, ସମୀକରଣଟି ହେଉଛି y = -2 ।

    • (vii) ମୂଳବିନ୍ଦୁଗାମୀ ସରଳରେଖାର ସମୀକରଣଟିର ବ୍ୟାପକ ରୂପକୁ ଲେଖ ।

  • ଉତ୍ତର: ମୂଳବିନ୍ଦୁଗାମୀ ସରଳରେଖାର ସମୀକରଣଟିର ବ୍ୟାପକ ରୂପ ହେଉଛି y = mx ।

    • (viii) (2, 3) ବିନ୍ଦୁ, 2x + 3y + 6 = 0 ସରଳରେଖା ଉପରିସ୍ଥ କି ନାହିଁ ?

  • ସମାଧାନ: ଦତ୍ତ ସମୀକରଣ ହେଉଛି 2x + 3y + 6 = 0 ।
  • ବିନ୍ଦୁ (2, 3) ର x = 2 ଓ y = 3 ମୂଲ୍ୟକୁ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରୟୋଗ କରିବା ।
  • 2(2) + 3(3) + 6 = 4 + 9 + 6 = 19 ।
  • ଯେହେତୁ 19 ≠ 0, ତେଣୁ ବିନ୍ଦୁ (2, 3) ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରୁନାହିଁ ।
  • ଉତ୍ତର: ନା, (2, 3) ବିନ୍ଦୁ, 2x + 3y + 6 = 0 ସରଳରେଖା ଉପରିସ୍ଥ ନୁହେଁ ।

    • (ix) (1, -1) ବିନ୍ଦୁ, 3x + 4y + 1 = 0 ସରଳରେଖା ଉପରିସ୍ଥ କି ନାହିଁ ?

  • ସମାଧାନ: ଦତ୍ତ ସମୀକରଣ ହେଉଛି 3x + 4y + 1 = 0 ।
  • ବିନ୍ଦୁ (1, -1) ର x = 1 ଓ y = -1 ମୂଲ୍ୟକୁ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରୟୋଗ କରିବା ।
  • 3(1) + 4(-1) + 1 = 3 - 4 + 1 = 0 ।
  • ଯେହେତୁ 0 = 0, ତେଣୁ ବିନ୍ଦୁ (1, -1) ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରୁଛି ।
  • ଉତ୍ତର: ହଁ, (1, -1) ବିନ୍ଦୁ, 3x + 4y + 1 = 0 ସରଳରେଖା ଉପରିସ୍ଥ ଅଟେ ।

    • (x) x = 0 ଓ y = 0 ସରଳରେଖା ଦ୍ୱୟର ଛେଦ ବିନ୍ଦୁଟିର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଲେଖ ।

  • ଉତ୍ତର: x = 0 ହେଉଛି y-ଅକ୍ଷର ସମୀକରଣ ଏବଂ y = 0 ହେଉଛି x-ଅକ୍ଷର ସମୀକରଣ । ଏହି ଦୁଇ ଅକ୍ଷର ଛେଦ ବିନ୍ଦୁ ହେଉଛି ମୂଳବିନ୍ଦୁ ।
  • ଅତଏବ, ଛେଦ ବିନ୍ଦୁଟିର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ହେଉଛି (0, 0) ।

    • ───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

    ୨. ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ସରଳରେଖାମାନଙ୍କୁ y = mx + c ରୂପରେ ଲେଖି m ଓ c ନିରୂପଣ କର ।

    (i) 2x + 4y - 7 = 0

  • ସମାଧାନ:

    • 2x + 4y - 7 = 0

    4y = -2x + 7

    y = (-2/4)x + (7/4)

    y = (-1/2)x + (7/4)

  • ଏହା y = mx + c ରୂପରେ ଅଛି ।
  • ଉତ୍ତର: m = -1/2, c = 7/4 ।

    • (ii) x - 2y + 5 = 0

  • ସମାଧାନ:

    • x - 2y + 5 = 0

    -2y = -x - 5

    2y = x + 5

    y = (1/2)x + (5/2)

  • ଏହା y = mx + c ରୂପରେ ଅଛି ।
  • ଉତ୍ତର: m = 1/2, c = 5/2 ।

    • (iii) 3x - 4y = 0

  • ସମାଧାନ:

    • 3x - 4y = 0

    -4y = -3x

    4y = 3x

    y = (3/4)x + 0

  • ଏହା y = mx + c ରୂପରେ ଅଛି ।
  • ଉତ୍ତର: m = 3/4, c = 0 ।

    • ───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

    ୩. x - 2y + 5 = 0 ସରଳରେଖା ଉପରିସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କୁ ଦତ୍ତ ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କରୁ ଚିହ୍ନଟ କର ।

    ଦତ୍ତ ସମୀକରଣ: x - 2y + 5 = 0

    (i) (1, 3)

  • x = 1, y = 3 ପ୍ରୟୋଗ କରିବା: 1 - 2(3) + 5 = 1 - 6 + 5 = 0 ।
  • ଯେହେତୁ 0 = 0, ବିନ୍ଦୁ (1, 3) ସରଳରେଖା ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ ।

    • (ii) (2, 4)

  • x = 2, y = 4 ପ୍ରୟୋଗ କରିବା: 2 - 2(4) + 5 = 2 - 8 + 5 = -1 ।
  • ଯେହେତୁ -1 ≠ 0, ବିନ୍ଦୁ (2, 4) ସରଳରେଖା ଉପରେ ନାହିଁ ।

    • (iii) (2, 5)

  • x = 2, y = 5 ପ୍ରୟୋଗ କରିବା: 2 - 2(5) + 5 = 2 - 10 + 5 = -3 ।
  • ଯେହେତୁ -3 ≠ 0, ବିନ୍ଦୁ (2, 5) ସରଳରେଖା ଉପରେ ନାହିଁ ।

    • (iv) (-1, 2)

  • x = -1, y = 2 ପ୍ରୟୋଗ କରିବା: -1 - 2(2) + 5 = -1 - 4 + 5 = 0 ।
  • ଯେହେତୁ 0 = 0, ବିନ୍ଦୁ (-1, 2) ସରଳରେଖା ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ ।

    • (v) (7, -6)

  • x = 7, y = -6 ପ୍ରୟୋଗ କରିବା: 7 - 2(-6) + 5 = 7 + 12 + 5 = 24 ।
  • ଯେହେତୁ 24 ≠ 0, ବିନ୍ଦୁ (7, -6) ସରଳରେଖା ଉପରେ ନାହିଁ ।

    • (vi) (-3, 1)

  • x = -3, y = 1 ପ୍ରୟୋଗ କରିବା: -3 - 2(1) + 5 = -3 - 2 + 5 = 0 ।
  • ଯେହେତୁ 0 = 0, ବିନ୍ଦୁ (-3, 1) ସରଳରେଖା ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ ।

    • ଉତ୍ତର: ସରଳରେଖା ଉପରିସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି (1, 3), (-1, 2), ଓ (-3, 1) ।

    ───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

    ୪. ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ P₁ ଓ P₂ ଦେଇ ଅଙ୍କିତ ସରଳରେଖା P₁P₂ ର ସ୍ଲୋପ୍ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

    ସ୍ଲୋପ୍ ସୂତ୍ର: m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)

    (i) P₁(1, 2) ଓ P₂(2, 3)

  • ସମାଧାନ: x₁ = 1, y₁ = 2 ଏବଂ x₂ = 2, y₂ = 3 ।
  • m = (3 - 2)/(2 - 1) = 1/1 = 1 ।
  • ଉତ୍ତର: 1 ।

    • (ii) P₁(-1, 2) ଓ P₂(5, 7)

  • ସମାଧାନ: x₁ = -1, y₁ = 2 ଏବଂ x₂ = 5, y₂ = 7 ।
  • m = (7 - 2)/(5 - (-1)) = 5/(5 + 1) = 5/6 ।
  • ଉତ୍ତର: 5/6 ।

    • (iii) P₁(-2, -3) ଓ P₂(-4, -5)

  • ସମାଧାନ: x₁ = -2, y₁ = -3 ଏବଂ x₂ = -4, y₂ = -5 ।
  • m = (-5 - (-3))/(-4 - (-2)) = (-5 + 3)/(-4 + 2) = -2/-2 = 1 ।
  • ଉତ୍ତର: 1 ।

    • (iv) P₁(2, -4) ଓ P₂(0, 6)

  • ସମାଧାନ: x₁ = 2, y₁ = -4 ଏବଂ x₂ = 0, y₂ = 6 ।
  • m = (6 - (-4))/(0 - 2) = (6 + 4)/(-2) = 10/-2 = -5 ।
  • ଉତ୍ତର: -5 ।

    • (v) P₁(0, 0) ଓ P₂(1, 1)

  • ସମାଧାନ: x₁ = 0, y₁ = 0 ଏବଂ x₂ = 1, y₂ = 1 ।
  • m = (1 - 0)/(1 - 0) = 1/1 = 1 ।
  • ଉତ୍ତର: 1 ।

    • (vi) P₁(0, 0) ଓ P₂(-1, 1)

  • ସମାଧାନ: x₁ = 0, y₁ = 0 ଏବଂ x₂ = -1, y₂ = 1 ।
  • m = (1 - 0)/(-1 - 0) = 1/-1 = -1 ।
  • ଉତ୍ତର: -1 ।

    • ଅନୁଶୀଳନୀ – 5 (c)

    ୧. ନିମ୍ନଲିଖିତ ଲେଖଚିତ୍ର ଗୁଡିକ ଅଙ୍କନ କର ।

    (i) x = 4

  • ସମାଧାନ: ଏହା y-ଅକ୍ଷ ସହ ସମାନ୍ତର ଏକ ସରଳରେଖା । ଏହା x-ଅକ୍ଷକୁ (4, 0) ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରେ ।
  • ଲେଖଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ ପାଇଁ, (4, 0), (4, 1), (4, -2) ଭଳି ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ ସ୍ଥାପନ କରି ଯୋଗ କର । ଏହା y-ଅକ୍ଷର ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ୱରେ 4 ଏକକ ଦୂରତାରେ ଅବସ୍ଥିତ ଏକ ଉଲ୍ଲମ୍ବ ସରଳରେଖା ହେବ ।

    • (ii) y = 5

  • ସମାଧାନ: ଏହା x-ଅକ୍ଷ ସହ ସମାନ୍ତର ଏକ ସରଳରେଖା । ଏହା y-ଅକ୍ଷକୁ (0, 5) ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରେ ।
  • ଲେଖଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ ପାଇଁ, (0, 5), (1, 5), (-2, 5) ଭଳି ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ ସ୍ଥାପନ କରି ଯୋଗ କର । ଏହା x-ଅକ୍ଷର ଉପର ପାର୍ଶ୍ୱରେ 5 ଏକକ ଦୂରତାରେ ଅବସ୍ଥିତ ଏକ ଆନୁଭୂମିକ ସରଳରେଖା ହେବ ।

    • (iii) x = -5

  • ସମାଧାନ: ଏହା y-ଅକ୍ଷ ସହ ସମାନ୍ତର ଏକ ସରଳରେଖା । ଏହା x-ଅକ୍ଷକୁ (-5, 0) ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରେ ।
  • ଲେଖଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ ପାଇଁ, (-5, 0), (-5, 1), (-5, -3) ଭଳି ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ ସ୍ଥାପନ କରି ଯୋଗ କର । ଏହା y-ଅକ୍ଷର ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱରେ 5 ଏକକ ଦୂରତାରେ ଅବସ୍ଥିତ ଏକ ଉଲ୍ଲମ୍ବ ସରଳରେଖା ହେବ ।

    • (iv) y = -4

  • ସମାଧାନ: ଏହା x-ଅକ୍ଷ ସହ ସମାନ୍ତର ଏକ ସରଳରେଖା । ଏହା y-ଅକ୍ଷକୁ (0, -4) ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରେ ।
  • ଲେଖଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ ପାଇଁ, (0, -4), (1, -4), (-3, -4) ଭଳି ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ ସ୍ଥାପନ କରି ଯୋଗ କର । ଏହା x-ଅକ୍ଷର ତଳ ପାର୍ଶ୍ୱରେ 4 ଏକକ ଦୂରତାରେ ଅବସ୍ଥିତ ଏକ ଆନୁଭୂମିକ ସରଳରେଖା ହେବ ।

    • ───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

    ୨. ନିମ୍ନଲିଖିତ ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକର ଲେଖଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର ।

    (i) y = x

  • ସମାଧାନ: ଏହା ମୂଳବିନ୍ଦୁଗାମୀ ଏକ ସରଳରେଖା (y = mx ରୂପ, m = 1) ।
  • ବିନ୍ଦୁ ନିରୂପଣ:
    • x 0 1 -1 2
    y 0 1 -1 2
  • (0,0), (1,1), (-1,-1), (2,2) ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ ସ୍ଥାପନ କରି ଯୋଗ କର । ଏହା ପ୍ରଥମ ଓ ତୃତୀୟ ପାଦ ଦେଇ ଯାଉଥିବା ଏକ ସରଳରେଖା ହେବ ।

    • (ii) y + x = 0 ବା y = -x

  • ସମାଧାନ: ଏହା ମୂଳବିନ୍ଦୁଗାମୀ ଏକ ସରଳରେଖା (y = mx ରୂପ, m = -1) ।
  • ବିନ୍ଦୁ ନିରୂପଣ:
    • x 0 1 -1 2
    y 0 -1 1 -2
  • (0,0), (1,-1), (-1,1), (2,-2) ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ ସ୍ଥାପନ କରି ଯୋଗ କର । ଏହା ଦ୍ୱିତୀୟ ଓ ଚତୁର୍ଥ ପାଦ ଦେଇ ଯାଉଥିବା ଏକ ସରଳରେଖା ହେବ ।

    • (iii) 2y = 3x ବା y = (3/2)x

  • ସମାଧାନ: ଏହା ମୂଳବିନ୍ଦୁଗାମୀ ଏକ ସରଳରେଖା (y = mx ରୂପ, m = 3/2) ।
  • ବିନ୍ଦୁ ନିରୂପଣ:
    • x 0 2 -2 4
    y 0 3 -3 6
  • (0,0), (2,3), (-2,-3), (4,6) ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ ସ୍ଥାପନ କରି ଯୋଗ କର । ଏହା ପ୍ରଥମ ଓ ତୃତୀୟ ପାଦ ଦେଇ ଯାଉଥିବା ଏକ ସରଳରେଖା ହେବ ।

    • ───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

    ୩. ନିମ୍ନଲିଖିତ ସମୀକରଣ ଗୁଡିକର ଲେଖଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର ।

    (i) x + y - 2 = 0 ବା y = -x + 2

  • ସମାଧାନ:
    • x 0 2 1 3
    y 2 0 1 -1
  • (0,2), (2,0), (1,1), (3,-1) ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ ସ୍ଥାପନ କରି ଯୋଗ କର ।

    • (ii) x + y + 2 = 0 ବା y = -x - 2

  • ସମାଧାନ:
    • x 0 -2 1 -1
    y -2 0 -3 -1
  • (0,-2), (-2,0), (1,-3), (-1,-1) ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ ସ୍ଥାପନ କରି ଯୋଗ କର ।

    • (iii) 2x + y - 2 = 0 ବା y = -2x + 2

  • ସମାଧାନ:
    • x 0 1 2 -1
    y 2 0 -2 4
  • (0,2), (1,0), (2,-2), (-1,4) ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ ସ୍ଥାପନ କରି ଯୋଗ କର ।

    • (iv) x + 2y - 3 = 0 ବା 2y = -x + 3 ବା y = (-1/2)x + (3/2)

  • ସମାଧାନ:
    • x 1 3 -1 5
    y 1 0 2 -1
  • (1,1), (3,0), (-1,2), (5,-1) ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ ସ୍ଥାପନ କରି ଯୋଗ କର ।

    • (v) 3x + 2y - 5 = 0 ବା 2y = -3x + 5 ବା y = (-3/2)x + (5/2)

  • ସମାଧାନ:
    • x 1 -1 3 0
    y 1 4 -2 2.5
  • (1,1), (-1,4), (3,-2), (0, 2.5) ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ ସ୍ଥାପନ କରି ଯୋଗ କର ।

    • (vi) x - y + 2 = 0 ବା y = x + 2

  • ସମାଧାନ:
    • x 0 -2 1 -1
    y 2 0 3 1
  • (0,2), (-2,0), (1,3), (-1,1) ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ ସ୍ଥାପନ କରି ଯୋଗ କର ।

    • ───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

    ୪. ଦତ୍ତ ଟେବୁଲର ତଥ୍ୟକୁ ବ୍ୟବହାର କରି ଲେଖଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର ଏବଂ ଲେଖଚିତ୍ରରୁ a ଓ b ର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର ।

    x 1 2 3 -1 a b
    y 3 1 -5 5 -1 -3

  • ସମାଧାନ:

    • ପ୍ରଥମେ ଦତ୍ତ ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ ଲେଖ କାଗଜରେ ସ୍ଥାପନ କରିବା ।

    ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି: (1, 3), (2, 1), (3, -5), (-1, 5) ।

    ଏହି ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ ଯୋଗ କଲେ ଏକ ସରଳରେଖା ମିଳିବ ।

    ଏହି ସରଳରେଖାର ସମୀକରଣ ନିରୂପଣ କରିବା ।

    (1, 3) ଓ (2, 1) ବିନ୍ଦୁ ଦ୍ୱାରା ସ୍ଲୋପ୍ m = (1 - 3)/(2 - 1) = -2/1 = -2 ।

    ସମୀକରଣ y - y₁ = m(x - x₁) ବ୍ୟବହାର କରିବା ।

    y - 3 = -2(x - 1)

    y - 3 = -2x + 2

    y = -2x + 5

    ଏହି ସମୀକରଣରେ ଅନ୍ୟ ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ ପ୍ରୟୋଗ କରି a ଓ b ର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କରିବା ।

  • a ର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ:

    • ଟେବୁଲରୁ, ଯେତେବେଳେ x = a, y = -1 ।

    ସମୀକରଣରେ ପ୍ରୟୋଗ କରିବା:

    -1 = -2(a) + 5

    -1 - 5 = -2a

    -6 = -2a

    a = -6/-2

    a = 3

  • b ର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ:

    • ଟେବୁଲରୁ, ଯେତେବେଳେ x = b, y = -3 ।

    ସମୀକରଣରେ ପ୍ରୟୋଗ କରିବା:

    -3 = -2(b) + 5

    -3 - 5 = -2b

    -8 = -2b

    b = -8/-2

    b = 4

    ଉତ୍ତର: ଲେଖଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କରିବା ପରେ, a = 3 ଓ b = 4 ମିଳିବ ।

    ───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

    ୫. 2x + 3y - 6 = 0 ର ଲେଖଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କରି ଲେଖଚିତ୍ରରୁ ଅକ୍ଷଦ୍ୱୟଙ୍କୁ ଏହା କେଉଁ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଛି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

  • ସମାଧାନ:

    • ସମୀକରଣ: 2x + 3y - 6 = 0 ।

    ଲେଖଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ ପାଇଁ ବିନ୍ଦୁ ନିରୂପଣ କରିବା:

  • ଯେତେବେଳେ x = 0: 2(0) + 3y - 6 = 0 ⇒ 3y = 6 ⇒ y = 2 । ବିନ୍ଦୁ (0, 2) ।
  • ଯେତେବେଳେ y = 0: 2x + 3(0) - 6 = 0 ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3 । ବିନ୍ଦୁ (3, 0) ।
  • ଅନ୍ୟ ଏକ ବିନ୍ଦୁ: ଯେତେବେଳେ x = -3: 2(-3) + 3y - 6 = 0 ⇒ -6 + 3y - 6 = 0 ⇒ 3y = 12 ⇒ y = 4 । ବିନ୍ଦୁ (-3, 4) ।

    • ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ: (0, 2), (3, 0), (-3, 4) ।

    ଏହି ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ ଲେଖ କାଗଜରେ ସ୍ଥାପନ କରି ଯୋଗ କଲେ ଏକ ସରଳରେଖା ମିଳିବ ।

  • ଅକ୍ଷଦ୍ୱୟକୁ ଛେଦ କରୁଥିବା ବିନ୍ଦୁ:

    • x-ଅକ୍ଷକୁ ଛେଦ କରୁଥିବା ବିନ୍ଦୁ ହେଉଛି (3, 0) ।

    y-ଅକ୍ଷକୁ ଛେଦ କରୁଥିବା ବିନ୍ଦୁ ହେଉଛି (0, 2) ।

    ଉତ୍ତର: ଲେଖଚିତ୍ରଟି x-ଅକ୍ଷକୁ (3, 0) ବିନ୍ଦୁରେ ଏବଂ y-ଅକ୍ଷକୁ (0, 2) ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଛି ।

    ───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

    ୬. y = |x| ର ଲେଖଚିତ୍ର –5 < x < 3 ପାଇଁ ଅଙ୍କନ କର ।

  • ସମାଧାନ:

    • y = |x| ର ସଂଜ୍ଞା ଅନୁଯାୟୀ:

  • ଯେତେବେଳେ x ≥ 0, y = x ।
  • ଯେତେବେଳେ x < 0, y = -x ।

    • ଦତ୍ତ ଅନ୍ତରାଳ –5 < x < 3 ପାଇଁ ବିନ୍ଦୁ ନିରୂପଣ କରିବା:

    କେସ୍ ୧: x ≥ 0 (ଅର୍ଥାତ୍ 0 ≤ x < 3)

    x 0 1 2
    y 0 1 2

    ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ: (0,0), (1,1), (2,2) ।

    କେସ୍ ୨: x < 0 (ଅର୍ଥାତ୍ -5 < x < 0)

    x -1 -2 -3 -4
    y 1 2 3 4

    ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ: (-1,1), (-2,2), (-3,3), (-4,4) ।

    ଏହି ସମସ୍ତ ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ ଲେଖ କାଗଜରେ ସ୍ଥାପନ କରି ଯୋଗ କର ।

    ଲେଖଚିତ୍ରଟି 'V' ଆକାରର ହେବ, ଯାହାର ଶୀର୍ଷ ମୂଳବିନ୍ଦୁ (0,0) ରେ ଥିବ । x-ଅକ୍ଷର ଧନାତ୍ମକ ଦିଗରେ y = x ଏବଂ ଋଣାତ୍ମକ ଦିଗରେ y = -x ସରଳରେଖା ଦ୍ୱୟ ମିଶି ଏହି ଲେଖଚିତ୍ର ଗଠନ କରିବେ ।

    ───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

    ୭. x = ±3, y = ±4 ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ ଚାରିଗୋଟି ସରଳରେଖା ଅଙ୍କନ କରି ସେମାନଙ୍କ ପାରସ୍ପରିକ ଛେଦ ହେତୁ ଉତ୍ପନ୍ନ ଆୟତ କ୍ଷେତ୍ରର ଶୀର୍ଷ ବିନ୍ଦୁ ମାନଙ୍କର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ନିରୂପଣ କର ।

  • ସମାଧାନ:

    • ଦତ୍ତ ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି:

    1. x = 3 (y-ଅକ୍ଷ ସହ ସମାନ୍ତର)

    2. x = -3 (y-ଅକ୍ଷ ସହ ସମାନ୍ତର)

    3. y = 4 (x-ଅକ୍ଷ ସହ ସମାନ୍ତର)

    4. y = -4 (x-ଅକ୍ଷ ସହ ସମାନ୍ତର)

    ଏହି ଚାରିଗୋଟି ସରଳରେଖାକୁ ଲେଖ କାଗଜରେ ଅଙ୍କନ କର ।

  • x = 3: y-ଅକ୍ଷର ଡାହାଣକୁ 3 ଏକକ ଦୂରତାରେ ଏକ ଉଲ୍ଲମ୍ବ ରେଖା ।
  • x = -3: y-ଅକ୍ଷର ବାମକୁ 3 ଏକକ ଦୂରତାରେ ଏକ ଉଲ୍ଲମ୍ବ ରେଖା ।
  • y = 4: x-ଅକ୍ଷର ଉପରକୁ 4 ଏକକ ଦୂରତାରେ ଏକ ଆନୁଭୂମିକ ରେଖା ।
  • y = -4: x-ଅକ୍ଷର ତଳକୁ 4 ଏକକ ଦୂରତାରେ ଏକ ଆନୁଭୂମିକ ରେଖା ।

    • ଏହି ଚାରି ରେଖା ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦ କରି ଏକ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ର ସୃଷ୍ଟି କରିବେ ।

    ଛେଦ ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି:

  • (x = 3, y = 4) ⇒ (3, 4)
  • (x = -3, y = 4) ⇒ (-3, 4)
  • (x = -3, y = -4) ⇒ (-3, -4)
  • (x = 3, y = -4) ⇒ (3, -4)

    • ଉତ୍ତର: ଉତ୍ପନ୍ନ ଆୟତ କ୍ଷେତ୍ରର ଶୀର୍ଷ ବିନ୍ଦୁ ମାନଙ୍କର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ହେଉଛି (3, 4), (-3, 4), (-3, -4), ଓ (3, -4) ।

    ───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

    ୮. 5x - 3y = 1 ସମୀକରଣର ଲେଖଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର । ଦର୍ଶାଅ ଯେ, P(2,3) ବିନ୍ଦୁଟି ସରଳରେଖା ଉପରିସ୍ଥ ଏକ ବିନ୍ଦୁ ହେବ ।

  • ସମାଧାନ:

    • ସମୀକରଣ: 5x - 3y = 1 ।

    ଲେଖଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ ପାଇଁ ବିନ୍ଦୁ ନିରୂପଣ କରିବା:

  • ଯେତେବେଳେ x = 2: 5(2) - 3y = 1 ⇒ 10 - 3y = 1 ⇒ 3y = 9 ⇒ y = 3 । ବିନ୍ଦୁ (2, 3) ।
  • ଯେତେବେଳେ x = -1: 5(-1) - 3y = 1 ⇒ -5 - 3y = 1 ⇒ -3y = 6 ⇒ y = -2 । ବିନ୍ଦୁ (-1, -2) ।
  • ଯେତେବେଳେ x = 0.2: 5(0.2) - 3y = 1 ⇒ 1 - 3y = 1 ⇒ 3y = 0 ⇒ y = 0 । ବିନ୍ଦୁ (0.2, 0) ।

    • ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ: (2, 3), (-1, -2), (0.2, 0) ।

    ଏହି ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ ଲେଖ କାଗଜରେ ସ୍ଥାପନ କରି ଯୋଗ କଲେ ଏକ ସରଳରେଖା ମିଳିବ ।

    P(2,3) ବିନ୍ଦୁ ସରଳରେଖା ଉପରିସ୍ଥ କି ନାହିଁ ଯାଞ୍ଚ:

    P(2,3) ବିନ୍ଦୁର x = 2 ଓ y = 3 ମୂଲ୍ୟକୁ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରୟୋଗ କରିବା:

    5(2) - 3(3) = 10 - 9 = 1 ।

    ଯେହେତୁ 1 = 1, ସମୀକରଣ ସିଦ୍ଧ ହେଉଛି ।

    ଉତ୍ତର: ଲେଖଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କଲେ P(2,3) ବିନ୍ଦୁଟି ସରଳରେଖା ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ ଥିବାର ଦେଖାଯିବ ।

    ───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

    ୯. x - 3y = 4 ସମୀକରଣର ଲେଖଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର । ଲେଖଚିତ୍ରରୁ ଦତ୍ତ କ୍ଷେତ୍ରରେ ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ସ୍ଥିର କର, ଯେତେବେଳେ (i) y = -1 ଏବଂ (ii) x = -2 ।

  • ସମାଧାନ:

    • ସମୀକରଣ: x - 3y = 4 ।

    ଲେଖଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ ପାଇଁ ବିନ୍ଦୁ ନିରୂପଣ କରିବା:

  • ଯେତେବେଳେ y = 0: x - 3(0) = 4 ⇒ x = 4 । ବିନ୍ଦୁ (4, 0) ।
  • ଯେତେବେଳେ x = 1: 1 - 3y = 4 ⇒ -3y = 3 ⇒ y = -1 । ବିନ୍ଦୁ (1, -1) ।
  • ଯେତେବେଳେ x = -2: -2 - 3y = 4 ⇒ -3y = 6 ⇒ y = -2 । ବିନ୍ଦୁ (-2, -2) ।

    • ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ: (4, 0), (1, -1), (-2, -2) ।

    ଏହି ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ ଲେଖ କାଗଜରେ ସ୍ଥାପନ କରି ଯୋଗ କଲେ ଏକ ସରଳରେଖା ମିଳିବ ।

    ଲେଖଚିତ୍ରରୁ ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ସ୍ଥିର କରିବା:

    (i) ଯେତେବେଳେ y = -1:

    ଲେଖଚିତ୍ରରେ y = -1 ରେଖା ଅଙ୍କନ କର । ଏହା ଦତ୍ତ ସରଳରେଖାକୁ ଯେଉଁଠାରେ ଛେଦ କରିବ, ସେହି ବିନ୍ଦୁର x-ସ୍ଥାନାଙ୍କ ନିରୂପଣ କର ।

    ସମୀକରଣରେ y = -1 ପ୍ରୟୋଗ କରିବା: x - 3(-1) = 4 ⇒ x + 3 = 4 ⇒ x = 1 ।

    ଉତ୍ତର: ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ହେଉଛି (1, -1) ।

    (ii) ଯେତେବେଳେ x = -2:

    ଲେଖଚିତ୍ରରେ x = -2 ରେଖା ଅଙ୍କନ କର । ଏହା ଦତ୍ତ ସରଳରେଖାକୁ ଯେଉଁଠାରେ ଛେଦ କରିବ, ସେହି ବିନ୍ଦୁର y-ସ୍ଥାନାଙ୍କ ନିରୂପଣ କର ।

    ସମୀକରଣରେ x = -2 ପ୍ରୟୋଗ କରିବା: -2 - 3y = 4 ⇒ -3y = 6 ⇒ y = -2 ।

    ଉତ୍ତର: ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ହେଉଛି (-2, -2) ।

    ───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

    ୧୦. x = 2y - 1 ଏବଂ 3y = x ସମୀକରଣ ଦ୍ୱୟର ଲେଖଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କରି ଲେଖଚିତ୍ର ଦ୍ୱୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ନିରୂପଣ କର ।

  • ସମାଧାନ:

    • ସମୀକରଣ ୧: x = 2y - 1

    ବିନ୍ଦୁ ନିରୂପଣ:

  • ଯେତେବେଳେ y = 0: x = 2(0) - 1 = -1 । ବିନ୍ଦୁ (-1, 0) ।
  • ଯେତେବେଳେ y = 1: x = 2(1) - 1 = 1 । ବିନ୍ଦୁ (1, 1) ।
  • ଯେତେବେଳେ y = 2: x = 2(2) - 1 = 3 । ବିନ୍ଦୁ (3, 2) ।

    • ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ: (-1, 0), (1, 1), (3, 2) । ଏହି ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ ଯୋଗ କରି ସରଳରେଖା L₁ ଅଙ୍କନ କର ।

    ସମୀକରଣ ୨: 3y = x ବା y = (1/3)x

    ବିନ୍ଦୁ ନିରୂପଣ:

  • ଯେତେବେଳେ x = 0: 3y = 0 ⇒ y = 0 । ବିନ୍ଦୁ (0, 0) ।
  • ଯେତେବେଳେ x = 3: 3y = 3 ⇒ y = 1 । ବିନ୍ଦୁ (3, 1) ।
  • ଯେତେବେଳେ x = -3: 3y = -3 ⇒ y = -1 । ବିନ୍ଦୁ (-3, -1) ।

    • ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ: (0, 0), (3, 1), (-3, -1) । ଏହି ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ ଯୋଗ କରି ସରଳରେଖା L₂ ଅଙ୍କନ କର ।

    ଛେଦବିନ୍ଦୁ ନିରୂପଣ:

    ଲେଖଚିତ୍ରରେ L₁ ଓ L₂ ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦ କରୁଥିବା ବିନ୍ଦୁକୁ ଚିହ୍ନଟ କର ।

    ବୀଜଗାଣିତିକ ଭାବରେ ଛେଦବିନ୍ଦୁ ନିରୂପଣ:

    x = 2y - 1 ଏବଂ x = 3y ।

    x ର ମୂଲ୍ୟକୁ ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରୟୋଗ କରିବା:

    3y = 2y - 1

    3y - 2y = -1

    y = -1 ।

    y ର ମୂଲ୍ୟକୁ x = 3y ରେ ପ୍ରୟୋଗ କରିବା:

    x = 3(-1)

    x = -3 ।

    ଉତ୍ତର: ଲେଖଚିତ୍ର ଦ୍ୱୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ହେଉଛି (-3, -1) ।

    ୪. ବୋର୍ଡ ପରୀକ୍ଷା ମାଷ୍ଟ୍ରି ଟିପ୍ସ ଓ ସାଧାରଣ ଭୁଲ୍ (Board Exam Tips & Pitfalls)

    ୪.୧ ପରୀକ୍ଷା ପ୍ରସ୍ତୁତି ରଣନୀତି (Exam Preparation Strategies)

  • ମୂଳ ଧାରଣା ସ୍ପଷ୍ଟ କରନ୍ତୁ: ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଜ୍ୟାମିତିର ମୌଳିକ ଧାରଣା ଯଥା - x-ଅକ୍ଷ, y-ଅକ୍ଷ, ମୂଳବିନ୍ଦୁ, ଭୁଜ, କୋଟି, ପାଦ ଏବଂ ସେମାନଙ୍କ ଚିହ୍ନ ସମ୍ପର୍କରେ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସ୍ପଷ୍ଟ ଧାରଣା ରଖନ୍ତୁ ।
  • ସୂତ୍ର ମନେରଖନ୍ତୁ: ସରଳରେଖାର ସମୀକରଣର ବିଭିନ୍ନ ରୂପ (y=k, x=k, y=mx+c) ଏବଂ ସ୍ଲୋପ୍ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ସୂତ୍ର (m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)) ମନେରଖନ୍ତୁ ।
  • ଲେଖଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ ଅଭ୍ୟାସ କରନ୍ତୁ: ଲେଖ କାଗଜରେ ବିଭିନ୍ନ ସମୀକରଣର ଲେଖଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କରିବାର ଅଭ୍ୟାସ କରନ୍ତୁ । ସଠିକ୍ ସ୍କେଲ୍ ବ୍ୟବହାର କରିବା ଏବଂ ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ ସଠିକ୍ ଭାବରେ ସ୍ଥାପନ କରିବା ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ।
  • ଅନୁଶୀଳନୀ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ସମାଧାନ: ପାଠ୍ୟପୁସ୍ତକର ସମସ୍ତ ଅନୁଶୀଳନୀ ପ୍ରଶ୍ନକୁ ନିଜେ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ । ଏହା ଆତ୍ମବିଶ୍ୱାସ ବଢ଼ାଇବ ।
  • ଉଦାହରଣଗୁଡ଼ିକୁ ଅନୁସରଣ କରନ୍ତୁ: ପାଠ୍ୟପୁସ୍ତକରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ଉଦାହରଣଗୁଡ଼ିକୁ ଭଲ ଭାବରେ ବୁଝନ୍ତୁ ଓ ଅଭ୍ୟାସ କରନ୍ତୁ ।
  • ସମୟ ପରିଚାଳନା: ପରୀକ୍ଷାରେ ସମୟ ପରିଚାଳନା ପାଇଁ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକୁ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସମୟସୀମା ମଧ୍ୟରେ ସମାଧାନ କରିବା ଅଭ୍ୟାସ କରନ୍ତୁ ।

    • ୪.୨ ୧୦୦/୧୦୦ ସ୍କୋରିଂ ରହସ୍ୟ (100/100 Scoring Secrets)

  • ସଠିକତା (Accuracy): ଲେଖଚିତ୍ର ଅଙ୍କନରେ ସଠିକତା ଅତ୍ୟନ୍ତ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ । ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ ସଠିକ୍ ଭାବରେ ସ୍ଥାପନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ସରଳରେଖାକୁ ସିଧା ଓ ସ୍ପଷ୍ଟ ଭାବରେ ଅଙ୍କନ କରନ୍ତୁ ।
  • ସ୍ୱଚ୍ଛତା ଓ ସୁନ୍ଦରତା (Neatness and Presentation): ଲେଖ କାଗଜରେ ସ୍ୱଚ୍ଛ ଭାବରେ ଅଙ୍କନ କରନ୍ତୁ । ଅକ୍ଷଗୁଡ଼ିକର ନାମକରଣ (X, Y, X', Y', O) ଏବଂ ସ୍କେଲ୍ (Scale) ଲେଖିବାକୁ ଭୁଲନ୍ତୁ ନାହିଁ ।
  • ପଦକ୍ଷେପଗୁଡ଼ିକୁ ଲେଖନ୍ତୁ: ଗାଣିତିକ ସମାଧାନରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦକ୍ଷେପକୁ ସ୍ପଷ୍ଟ ଭାବରେ ଲେଖନ୍ତୁ । କେବଳ ଉତ୍ତର ଲେଖିବା ପରିବର୍ତ୍ତେ ସମାଧାନର ପ୍ରକ୍ରିୟା ଦର୍ଶାନ୍ତୁ ।
  • ପୁନରାବୃତ୍ତି (Revision): ପରୀକ୍ଷା ପୂର୍ବରୁ ସମସ୍ତ ଧାରଣା ଓ ସୂତ୍ରକୁ ପୁନରାବୃତ୍ତି କରନ୍ତୁ ।

    • ୪.୩ ସାଧାରଣ ଭୁଲ୍ (Common Student Errors)

  • ସ୍ଥାନାଙ୍କର ଚିହ୍ନରେ ଭୁଲ୍: ପାଦ ଅନୁଯାୟୀ x ଓ y ସ୍ଥାନାଙ୍କର ଚିହ୍ନ (ଧନାତ୍ମକ/ଋଣାତ୍ମକ) ରେ ଭୁଲ୍ କରିବା ।
  • ଭୁଜ ଓ କୋଟିକୁ ଓଲଟାଇବା: (x, y) ପରିବର୍ତ୍ତେ (y, x) ଭାବରେ ବିନ୍ଦୁ ସ୍ଥାପନ କରିବା ।
  • ସ୍ଲୋପ୍ ଗଣନାରେ ଭୁଲ୍: ସ୍ଲୋପ୍ ସୂତ୍ର (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) ରେ x ଓ y ର ମୂଲ୍ୟକୁ ଭୁଲ୍ ଭାବରେ ପ୍ରୟୋଗ କରିବା ।
  • ଅକ୍ଷ ଉପରିସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁରେ ଭୁଲ୍: x-ଅକ୍ଷ ଉପରେ (x, 0) ଓ y-ଅକ୍ଷ ଉପରେ (0, y) ବିନ୍ଦୁକୁ ଚିହ୍ନଟ କରିବାରେ ଭୁଲ୍ କରିବା ।
  • y = k ଓ x = k ରେଖା ମଧ୍ୟରେ ଦ୍ୱନ୍ଦ୍ୱ: x-ଅକ୍ଷ ସମାନ୍ତର (y=k) ଓ y-ଅକ୍ଷ ସମାନ୍ତର (x=k) ରେଖାଗୁଡ଼ିକୁ ଚିହ୍ନଟ କରିବାରେ ଭୁଲ୍ କରିବା ।
  • ଲେଖଚିତ୍ରରେ ସ୍କେଲ୍ ନ ଲେଖିବା: ଲେଖ କାଗଜରେ ସ୍କେଲ୍ ଉଲ୍ଲେଖ ନ କରିବା ।
  • ଅସ୍ୱଚ୍ଛ ଲେଖଚିତ୍ର: ଅସ୍ୱଚ୍ଛ ଅଙ୍କନ ଯୋଗୁଁ ଛେଦବିନ୍ଦୁ ବା ଅନ୍ୟାନ୍ୟ ତଥ୍ୟ ସଠିକ୍ ଭାବରେ ପଢ଼ି ନ ପାରିବା ।

    • ───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

    (ନୋଟ୍ସ ପ୍ରସ୍ତୁତି: ଉତ୍କଳ ସ୍କିଲ୍ ସେଣ୍ଟର - BSE Odisha 100% Full Textbook Master Edition)

    🤖 Have a Doubt in this Chapter?

    Ask Gundulu AI Voice Tutor to explain any question in bilingual Odia & English with 24/7 step-by-step guidance!

    🚀 Try Gundulu AI on Utkal Skill Centre App