(ii) a/b = c/d = e/f = ... ହେଲେ, (a²c/b²d) = ... (8/125, 4/25, 2/5, 25/4)

ମନେକର a/b = c/d = k ।

ତେବେ a = bk, c = dk ।

a²c/b²d = (bk)²(dk) / (b²d) = (b²k²dk) / (b²d) = k³.

ବନ୍ଧନୀରେ ଥିବା ବିକଳ୍ପଗୁଡ଼ିକ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ । ଏଥିରୁ ଅନୁମାନ କରାଯାଏ ଯେ k ର ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ ପ୍ରଶ୍ନଟି ଦିଆଯାଇଛି । ଯଦି k = 2/5 ହୁଏ, ତେବେ k³ = (2/5)³ = 8/125 ।

ଉତ୍ତର: 8/125

(iii) p:q :: r:s ହେଲେ, p:r =... (q:s, s:q, p:s, q:r)

p:q :: r:s ଅର୍ଥ p/q = r/s ।

ଏକାନ୍ତର ପ୍ରକ୍ରିୟା (Alternendo) ଅନୁଯାୟୀ, p/r = q/s ।

ଅତଏବ, p:r = q:s ।

ଉତ୍ତର: q:s

(iv) a:b=2:3 ହେଲେ, (4a+b) : (2a+3b) =.... (3:5, 5:8, 7:9, 11:13)

a:b = 2:3 ଅର୍ଥ a/b = 2/3 ।

ମନେକର a = 2k ଓ b = 3k ।

(4a+b)/(2a+3b) = (4(2k)+3k) / (2(2k)+3(3k))

= (8k+3k) / (4k+9k)

= 11k / 13k = 11/13 ।

ଅତଏବ, (4a+b) : (2a+3b) = 11:13 ।

ଉତ୍ତର: 11:13

(v) 2x=3y=4z ହେଲେ, x:y:z = .... (2:3:4, 6:4:3, 2:3:4, 4:3:2)

ମନେକର 2x = 3y = 4z = k ।

ତେବେ x = k/2, y = k/3, z = k/4 ।

x:y:z = k/2 : k/3 : k/4 ।

ହରଗୁଡ଼ିକର ଲ.ସା.ଗୁ (LCM) 12 ଦ୍ୱାରା ପ୍ରତ୍ୟେକକୁ ଗୁଣନ କଲେ:

x:y:z = (k/2)×12 : (k/3)×12 : (k/4)×12

= 6k : 4k : 3k = 6:4:3 ।

ଉତ୍ତର: 6:4:3

(vi) x:y=2:5, y:z=3:4 ହେଲେ, x:y:z =.... (20:15:6, 6:15:20, 2:5:3, 5:3:4)

x:y = 2:5

y:z = 3:4

-and-#x27;y-and-#x27; ର ମୂଲ୍ୟକୁ ସମାନ କରିବା ପାଇଁ, 5 ଓ 3 ର ଲ.ସା.ଗୁ 15 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ।

x:y = (2×3):(5×3) = 6:15

y:z = (3×5):(4×5) = 15:20

ଅତଏବ, x:y:z = 6:15:20 ।

ଉତ୍ତର: 6:15:20

(vii) 3:(k+2) :: 5:(k+4) ହେଲେ, k =.... (2,4,1,6)

3/(k+2) = 5/(k+4)

3(k+4) = 5(k+2)

3k + 12 = 5k + 10

12 - 10 = 5k - 3k

2 = 2k

k = 1 ।

ଉତ୍ତର: 1

୨. ନିମ୍ନ ଉକ୍ତି ଗୁଡିକ ଠିକ୍ ବା ଭୁଲ୍ ଦର୍ଶାଅ ।

(i) a, b, c, d ସମାନୁପାତୀ ହେଲେ, ସମସ୍ତ ରାଶି ଏକ ଜାତୀୟ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ।

(ii) a, b, c, d ସମାନୁପାତୀ ହେଲେ, ସେମାନେ କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ହେବେ ।

(iii) କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀରେ ସମସ୍ତ ରାଶି ଏକ ଜାତୀୟ ହେବେ ।

(iv) ଚାରୋଟି ରାଶି କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ହେଲେ, ପ୍ରଥମ ଓ ଚତୁର୍ଥର ଅନୁପାତ, ଦ୍ବିତୀୟ ଓ ତୃତୀୟର ଘନାନୁପାତ ସହିତ ସମାନ ।

ପ୍ରଥମ ଓ ଚତୁର୍ଥର ଅନୁପାତ = a/d = (dk³)/d = k³ ।

ଦ୍ୱିତୀୟ ଓ ତୃତୀୟର ଅନୁପାତ = b/c = (dk²)/(dk) = k ।

ଦ୍ୱିତୀୟ ଓ ତୃତୀୟର ଘନାନୁପାତ = (b/c)³ = k³ ।

ଅତଏବ, a/d = (b/c)³ ।

(v) ତିନୋଟି ରାଶି କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ହେଲେ, ପ୍ରଥମ ଓ ତୃତୀୟର ଅନୁପାତ, ଦ୍ବିତୀୟ ଓ ତୃତୀୟର ବର୍ଗାନୁପାତ ସହିତ ସମାନ ।

ପ୍ରଥମ ଓ ତୃତୀୟର ଅନୁପାତ = a/c ।

ଦ୍ୱିତୀୟ ଓ ତୃତୀୟର ବର୍ଗାନୁପାତ = (b/c)² = b²/c² ।

b² = ac ହୋଇଥିବାରୁ, b²/c² = (ac)/c² = a/c ।

ଅତଏବ, a/c = (b/c)² ।

(vi) ଚାରୋଟି ରାଶି କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ହେଲେ, ପ୍ରଥମ ଓ ଦ୍ବିତୀୟର ଅନୁପାତ, ପ୍ରଥମ ଓ ତୃତୀୟର ଉପବର୍ଗାନୁପାତ ସହିତ ସମାନ ।

ପ୍ରଥମ ଓ ଦ୍ୱିତୀୟର ଅନୁପାତ = a/b = k ।

ପ୍ରଥମ ଓ ତୃତୀୟର ଅନୁପାତ = a/c = (dk³)/(dk) = k² ।

ପ୍ରଥମ ଓ ତୃତୀୟର ଉପବର୍ଗାନୁପାତ = √(a/c) = √(k²) = k ।

ଅତଏବ, a/b = √(a/c) ।

(vii) a, b, c କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ହେଲେ, a+2, b+2, c+2 ମଧ୍ଯ କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ହେବେ ।

କିନ୍ତୁ a+2=3, b+2=4, c+2=6 । ଏମାନେ କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ନୁହଁନ୍ତି (3/4 ≠ 4/6) ।

(viii) ଚାରୋଟି ରାଶି କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ହେଲେ, ସେମାନଙ୍କର ବ୍ୟୁତ୍‌କ୍ରମ ଗୁଡିକ ମଧ୍ଯ କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ହେବେ ।

ଏହାର ବ୍ୟୁତ୍‌କ୍ରମ ଗୁଡ଼ିକ 1/a, 1/b, 1/c, 1/d ।

(1/a)/(1/b) = b/a । (1/b)/(1/c) = c/b । (1/c)/(1/d) = d/c ।

ଯେହେତୁ a/b = b/c = c/d, ତେଣୁ b/a = c/b = d/c ।

ଅତଏବ, ବ୍ୟୁତ୍‌କ୍ରମ ଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟ କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ହେବେ ।

୩. ନିମ୍ନ ରାଶିମାନଙ୍କର ଚତୁର୍ଥ ସମାନୁପାତୀ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

(i) 5, 7, 15

ମନେକର ଚତୁର୍ଥ ସମାନୁପାତୀ x ।

5 : 7 = 15 : x

5/7 = 15/x

5x = 7 × 15

x = (7 × 15) / 5 = 7 × 3 = 21 ।

ଉତ୍ତର: 21

(ii) 0.1, 0.01, 0.001

ମନେକର ଚତୁର୍ଥ ସମାନୁପାତୀ x ।

0.1 : 0.01 = 0.001 : x

0.1 / 0.01 = 0.001 / x

10 = 0.001 / x

x = 0.001 / 10 = 0.0001 ।

ଉତ୍ତର: 0.0001

(iii) a, a²b, a²b²

ମନେକର ଚତୁର୍ଥ ସମାନୁପାତୀ x ।

a : a²b = a²b² : x

a / (a²b) = a²b² / x

1 / (ab) = a²b² / x

x = ab × a²b² = a³b³ ।

ଉତ୍ତର: a³b³

(iv) a²-b², a+b, a-b

ମନେକର ଚତୁର୍ଥ ସମାନୁପାତୀ x ।

(a²-b²) : (a+b) = (a-b) : x

(a-b)(a+b) / (a+b) = (a-b) / x

a-b = (a-b) / x

x = 1 (ଯଦି a-b ≠ 0) ।

ଉତ୍ତର: 1

(v) a²+5a+6, 3a+6, 4a+12

ମନେକର ଚତୁର୍ଥ ସମାନୁପାତୀ x ।

(a²+5a+6) : (3a+6) = (4a+12) : x

(a+2)(a+3) / [3(a+2)] = [4(a+3)] / x

(a+3) / 3 = 4(a+3) / x

x = 3 × 4 = 12 (ଯଦି a+3 ≠ 0) ।

ଉତ୍ତର: 12

(vi) a³-b³, a²+ab+b², a-b

ମନେକର ଚତୁର୍ଥ ସମାନୁପାତୀ x ।

(a³-b³) : (a²+ab+b²) = (a-b) : x

(a-b)(a²+ab+b²) / (a²+ab+b²) = (a-b) / x

a-b = (a-b) / x

x = 1 (ଯଦି a-b ≠ 0) ।

ଉତ୍ତର: 1

୪. ଦତ୍ତ ରାଶିମାନଙ୍କର ତୃତୀୟ ସମାନୁପାତୀ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

(i) 9, 15

ମନେକର ତୃତୀୟ ସମାନୁପାତୀ x ।

9 : 15 = 15 : x

9/15 = 15/x

9x = 15 × 15

x = (15 × 15) / 9 = 225 / 9 = 25 ।

ଉତ୍ତର: 25

(ii) a²b, ab²

ମନେକର ତୃତୀୟ ସମାନୁପାତୀ x ।

a²b : ab² = ab² : x

a²b / (ab²) = ab² / x

a/b = ab² / x

ax = b × ab² = a b³

x = b³ (ଯଦି a ≠ 0) ।

ଉତ୍ତର: b³

(iii) x²-y², x+y

ମନେକର ତୃତୀୟ ସମାନୁପାତୀ X ।

(x²-y²) : (x+y) = (x+y) : X

(x-y)(x+y) / (x+y) = (x+y) / X

x-y = (x+y) / X

X = (x+y) / (x-y) (ଯଦି x-y ≠ 0) ।

ଉତ୍ତର: (x+y)/(x-y)

(iv) √(a/b), √(a²+b²)

ମନେକର ତୃତୀୟ ସମାନୁପାତୀ x ।

√(a/b) : √(a²+b²) = √(a²+b²) : x

√(a/b) / √(a²+b²) = √(a²+b²) / x

x √(a/b) = (√(a²+b²))²

x √(a/b) = a²+b²

x = (a²+b²) / √(a/b) = (a²+b²) √(b/a) ।

ଉତ୍ତର: (a²+b²)√(b/a)

୫. ନିମ୍ନ ରାଶିଗୁଡିକର ମଧ୍ଯ ସମାନୁପାତୀ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

(i) 9, 25

ମନେକର ମଧ୍ୟ ସମାନୁପାତୀ x ।

x² = 9 × 25

x = √(9 × 25) = √9 × √25 = 3 × 5 = 15 ।

ଉତ୍ତର: 15

(ii) 4a²b, 9bc²

ମନେକର ମଧ୍ୟ ସମାନୁପାତୀ x ।

x² = (4a²b) × (9bc²)

x² = 36 a² b² c²

x = √(36 a² b² c²) = 6abc ।

ଉତ୍ତର: 6abc

(iii) (a-b)(a+b)³, (a+b)(a-b)³

ମନେକର ମଧ୍ୟ ସମାନୁପାତୀ x ।

x² = [(a-b)(a+b)³] × [(a+b)(a-b)³]

x² = (a-b)⁴ (a+b)⁴

x = √[(a-b)⁴ (a+b)⁴] = (a-b)² (a+b)² ।

ଉତ୍ତର: (a-b)²(a+b)²

୬.

(i) (2+a) ଓ (5+a) ର ମଧ୍ୟ ସମାନୁପାତୀ (3+a) ହେଲେ, a ର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର ।

(3+a)² = (2+a)(5+a)

9 + 6a + a² = 10 + 2a + 5a + a²

9 + 6a = 10 + 7a

9 - 10 = 7a - 6a

-1 = a ।

ଉତ୍ତର: a = -1

(ii) (23-x), (28-x) ଓ (19-x) ର ମଧ୍ଯସମାନୁପାତୀ ହେଲେ, x ର ମାନ ସ୍ଥିର କର ।

(28-x)² = (23-x)(19-x)

(28)² - 2(28)x + x² = (23)(19) - 23x - 19x + x²

784 - 56x + x² = 437 - 42x + x²

784 - 56x = 437 - 42x

784 - 437 = 56x - 42x

347 = 14x

x = 347/14 ।

ଉତ୍ତର: x = 347/14

(iii) a ଓ c ର ମଧ୍ୟ ସମାନୁପାତୀ b ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ a²+b² ଓ b²+c² ର ମଧ୍ୟ ସମାନୁପାତୀ ab+bc ହେବେ ।

ଦତ୍ତ: a ଓ c ର ମଧ୍ୟ ସମାନୁପାତୀ b । ତେଣୁ b² = ac ।

ପ୍ରମାଣ କରିବାକୁ ହେବ: (ab+bc)² = (a²+b²)(b²+c²) ।

ବାମପକ୍ଷ (LHS) = (ab+bc)²

= [b(a+c)]²

= b²(a+c)²

= ac(a+c)² (ଯେହେତୁ b² = ac) ।

ଦକ୍ଷିଣପକ୍ଷ (RHS) = (a²+b²)(b²+c²)

= (a²+ac)(ac+c²) (ଯେହେତୁ b² = ac)

= a(a+c)c(a+c)

= ac(a+c)² ।

LHS = RHS । (ପ୍ରମାଣିତ)

(iv) ଯଦି b, a ଓ c ର ମଧ୍ଯସମାନୁପାତୀ ହୁଏ ତେବେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, (ab+bc+ca)³ = abc (a+b+c)³

ଦତ୍ତ: b ଓ c ର ମଧ୍ୟ ସମାନୁପାତୀ a । ତେଣୁ a² = bc ।

ପ୍ରମାଣ କରିବାକୁ ହେବ: (ab+bc+ca)³ = abc (a+b+c)³ ।

ବାମପକ୍ଷ (LHS) = (ab+bc+ca)³

= (ab+a²+ca)³ (ଯେହେତୁ bc = a²)

= [a(b+a+c)]³

= a³(a+b+c)³ ।

ଦକ୍ଷିଣପକ୍ଷ (RHS) = abc(a+b+c)³

= a(a²)(a+b+c)³ (ଯେହେତୁ bc = a²)

= a³(a+b+c)³ ।

LHS = RHS । (ପ୍ରମାଣିତ)

୭.

(i) 1, 7, 17 ପ୍ରତ୍ୟେକରେ କେଉଁ ସଂଖ୍ୟା ଯୋଗ କଲେ, ଯୋଗଫଳ ଗୁଡିକ କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ହେବେ ?

ମନେକର x ଯୋଗ କରାଗଲା ।

ତେବେ (1+x), (7+x), (17+x) କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ହେବେ ।

(7+x)² = (1+x)(17+x)

49 + 14x + x² = 17 + x + 17x + x²

49 + 14x = 17 + 18x

49 - 17 = 18x - 14x

32 = 4x

x = 8 ।

ଉତ୍ତର: 8

(ii) 6, 14, 18 ଓ 38 ପ୍ରତ୍ୟେକରେ କେତେ ଯୋଗ କଲେ ଯୋଗଫଳଗୁଡିକ ସମାନୁପାତୀ ହେବେ ?

ମନେକର x ଯୋଗ କରାଗଲା ।

ତେବେ (6+x), (14+x), (18+x), (38+x) ସମାନୁପାତୀ ହେବେ ।

(6+x)/(14+x) = (18+x)/(38+x)

(6+x)(38+x) = (14+x)(18+x)

228 + 6x + 38x + x² = 252 + 14x + 18x + x²

228 + 44x = 252 + 32x

44x - 32x = 252 - 228

12x = 24

x = 2 ।

ଉତ୍ତର: 2

(iii) 5, 9, 17 ପ୍ରତ୍ୟେକରୁ କେଉଁ ସଂଖ୍ୟା ବିୟୋଗ କଲେ, ବିୟୋଗଫଳ ଗୁଡିକ କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ହେବେ ?

ମନେକର x ବିୟୋଗ କରାଗଲା ।

ତେବେ (5-x), (9-x), (17-x) କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ହେବେ ।

(9-x)² = (5-x)(17-x)

81 - 18x + x² = 85 - 5x - 17x + x²

81 - 18x = 85 - 22x

22x - 18x = 85 - 81

4x = 4

x = 1 ।

ଉତ୍ତର: 1

(iv) 14, 17, 34 ଓ 42 ପ୍ରତ୍ୟେକରୁ କେଉଁ ସଂଖ୍ୟା ବିୟୋଗ କଲେ, ବିୟୋଗଫଳଗୁଡିକ ସମାନୁପାତୀ ହେବେ ?

ମନେକର x ବିୟୋଗ କରାଗଲା ।

ତେବେ (14-x), (17-x), (34-x), (42-x) ସମାନୁପାତୀ ହେବେ ।

(14-x)/(17-x) = (34-x)/(42-x)

(14-x)(42-x) = (17-x)(34-x)

588 - 14x - 42x + x² = 578 - 17x - 34x + x²

588 - 56x = 578 - 51x

588 - 578 = 56x - 51x

10 = 5x

x = 2 ।

ଉତ୍ତର: 2

୮.

(i) a:b = 2:3 ହେଲେ, (3a+4b) : (4a+5b) ର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର ।

ଦତ୍ତ: a/b = 2/3 ।

(3a+4b)/(4a+5b) = (3(a/b)+4) / (4(a/b)+5) (ଲବ ଓ ହରକୁ b ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କରି)

= (3(2/3)+4) / (4(2/3)+5)

= (2+4) / (8/3+5)

= 6 / ((8+15)/3)

= 6 / (23/3) = 6 × (3/23) = 18/23 ।

ଉତ୍ତର: 18:23

(ii) a:b=3:4 ହେଲେ, (6a+5b) : (5a+4b) ର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର ।

ଦତ୍ତ: a/b = 3/4 ।

(6a+5b)/(5a+4b) = (6(a/b)+5) / (5(a/b)+4) (ଲବ ଓ ହରକୁ b ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କରି)

= (6(3/4)+5) / (5(3/4)+4)

= (18/4+5) / (15/4+4)

= (9/2+5) / (15/4+4)

= ((9+10)/2) / ((15+16)/4)

= (19/2) / (31/4) = (19/2) × (4/31) = (19 × 2) / 31 = 38/31 ।

ଉତ୍ତର: 38:31

(iii) 581 କୁ a, b, c ତିନୋଟି ଅଂଶରେ ଭାଗକର ଯେପରି 4a=5b=7c ହେବ ।

ମନେକର 4a = 5b = 7c = k ।

ତେବେ a = k/4, b = k/5, c = k/7 ।

a:b:c = k/4 : k/5 : k/7 ।

ହରଗୁଡ଼ିକର ଲ.ସା.ଗୁ (LCM) 140 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କଲେ:

a:b:c = (140/4) : (140/5) : (140/7) = 35 : 28 : 20 ।

ଅନୁପାତର ସମଷ୍ଟି = 35+28+20 = 83 ।

ମୋଟ ଟଙ୍କା = 581 ।

a ର ଭାଗ = (35/83) × 581 = 35 × 7 = 245 ଟଙ୍କା ।

b ର ଭାଗ = (28/83) × 581 = 28 × 7 = 196 ଟଙ୍କା ।

c ର ଭାଗ = (20/83) × 581 = 20 × 7 = 140 ଟଙ୍କା ।

ଉତ୍ତର: A = 245 ଟଙ୍କା, B = 196 ଟଙ୍କା, C = 140 ଟଙ୍କା ।

(iv) 6x+5y : 6x-5y = 3:2 ହେଲେ, 2x+3y : 2x-3y ର ମାନ ସ୍ଥିର କର ।

ଦତ୍ତ: (6x+5y)/(6x-5y) = 3/2 ।

ଯୋଗାନ୍ତର ପ୍ରକ୍ରିୟା (Componendo and Dividendo) ପ୍ରୟୋଗ କରି:

( (6x+5y) + (6x-5y) ) / ( (6x+5y) - (6x-5y) ) = (3+2) / (3-2)

(12x) / (10y) = 5/1

6x / 5y = 5

x/y = 25/6 ।

ବର୍ତ୍ତମାନ (2x+3y)/(2x-3y) ର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ।

(2x+3y)/(2x-3y) = (2(x/y)+3) / (2(x/y)-3) (ଲବ ଓ ହରକୁ y ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କରି)

= (2(25/6)+3) / (2(25/6)-3)

= (25/3+3) / (25/3-3)

= ((25+9)/3) / ((25-9)/3)

= (34/3) / (16/3) = 34/16 = 17/8 ।

ଉତ୍ତର: 17:8

(v) (a-b):(a+b) = 1:5 ହେଲେ, a²-b² : a²+b² ର ମାନ ସ୍ଥିର କର ।

ଦତ୍ତ: (a-b)/(a+b) = 1/5 ।

5(a-b) = 1(a+b)

5a - 5b = a + b

4a = 6b

a/b = 6/4 = 3/2 ।

ବର୍ତ୍ତମାନ (a²-b²)/(a²+b²) ର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ।

(a²-b²)/(a²+b²) = ((a/b)²-1) / ((a/b)²+1) (ଲବ ଓ ହରକୁ b² ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କରି)

= ((3/2)²-1) / ((3/2)²+1)

= (9/4-1) / (9/4+1)

= ((9-4)/4) / ((9+4)/4)

= (5/4) / (13/4) = 5/13 ।

ଉତ୍ତର: 5:13

୯. a, b, c, d ସମାନୁପାତୀ ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ

ଦତ୍ତ: a, b, c, d ସମାନୁପାତୀ । ତେଣୁ a/b = c/d । ମନେକର a/b = c/d = k ।

ତେଣୁ a = bk ଓ c = dk ।

(i) pa+qc: pb+qd=ma+nc : mb+nd

ବାମପକ୍ଷ (LHS) = (pa+qc)/(pb+qd)

= (p(bk)+q(dk)) / (pb+qd)

= (k(pb+qd)) / (pb+qd) = k ।

ଦକ୍ଷିଣପକ୍ଷ (RHS) = (ma+nc)/(mb+nd)

= (m(bk)+n(dk)) / (mb+nd)

= (k(mb+nd)) / (mb+nd) = k ।

LHS = RHS । (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) 3a+4b: 3c+4d= √(a²+b²):√(c²+d²)

ବାମପକ୍ଷ (LHS) = (3a+4b)/(3c+4d)

= (3bk+4b)/(3dk+4d)

= b(3k+4) / d(3k+4) = b/d ।

ଦକ୍ଷିଣପକ୍ଷ (RHS) = √(a²+b²) / √(c²+d²)

= √((bk)²+b²) / √((dk)²+d²)

= √(b²k²+b²) / √(d²k²+d²)

= √(b²(k²+1)) / √(d²(k²+1))

= b√(k²+1) / d√(k²+1) = b/d ।

LHS = RHS । (ପ୍ରମାଣିତ)

(iii) b²:d² = a²+b²:c²+d²

ବାମପକ୍ଷ (LHS) = b²/d² ।

ଦକ୍ଷିଣପକ୍ଷ (RHS) = (a²+b²)/(c²+d²)

= ((bk)²+b²) / ((dk)²+d²)

= (b²k²+b²) / (d²k²+d²)

= b²(k²+1) / d²(k²+1) = b²/d² ।

LHS = RHS । (ପ୍ରମାଣିତ)

(iv) a²+b²:c²+d² = b²+d²:a²+c²

ପ୍ରମାଣ କରିବାକୁ ହେବ: (a²+b²)/(c²+d²) = (b²+d²)/(a²+c²) ।

ଆମେ ଜାଣୁ (a²+b²)/(c²+d²) = b²/d² (ଉପର ପ୍ରଶ୍ନ (iii) ରୁ) ।

ଏବଂ (b²+d²)/(a²+c²) = (b²+d²) / ((bk)²+(dk)²)

= (b²+d²) / (b²k²+d²k²)

= (b²+d²) / (k²(b²+d²)) = 1/k² ।

ତେଣୁ, ପ୍ରମାଣ କରିବାକୁ ହେବ b²/d² = 1/k² ।

ଏହାର ଅର୍ଥ k² = d²/b² ।

କିନ୍ତୁ k = a/b । ତେଣୁ k² = a²/b² ।

ଅତଏବ, a²/b² = d²/b² ⇒ a² = d² ।

ଏହି ସମାନତା କେବଳ a² = d² ହେଲେ ହିଁ ସତ୍ୟ ହେବ, ଯାହା ସମାନୁପାତର ଏକ ସାଧାରଣ ଗୁଣ ନୁହେଁ । ତେଣୁ ପ୍ରଶ୍ନଟିରେ ତ୍ରୁଟି ଥାଇପାରେ ।

(ଯଦି a=d ହୁଏ, ତେବେ ପ୍ରମାଣିତ)

୧୦. a/b = c/d = e/f ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,

ଦତ୍ତ: a/b = c/d = e/f । ମନେକର a/b = c/d = e/f = k ।

ତେଣୁ a = bk, c = dk, e = fk ।

(i) (ac-3c²+5e²)/(bd-3d²+5f²) = (ace)/(bdf)

ବାମପକ୍ଷ (LHS) = ( (bk)(dk) - 3(dk)² + 5(fk)² ) / (bd - 3d² + 5f²)

= (b d k² - 3 d² k² + 5 f² k²) / (bd - 3d² + 5f²)

= k² (bd - 3d² + 5f²) / (bd - 3d² + 5f²) = k² ।

ଦକ୍ଷିଣପକ୍ଷ (RHS) = (ace)/(bdf)

= (bk dk fk) / (bdf) = k³ ।

ତେଣୁ, ପ୍ରମାଣ କରିବାକୁ ହେବ k² = k³ । ଏହା କେବଳ k=1 ବା k=0 ହେଲେ ହିଁ ସତ୍ୟ ହେବ । ଏହା ସମାନୁପାତର ଏକ ସାଧାରଣ ଗୁଣ ନୁହେଁ । ତେଣୁ ପ୍ରଶ୍ନଟିରେ ତ୍ରୁଟି ଥାଇପାରେ ।

(ଯଦି k=1 ବା k=0 ହୁଏ, ତେବେ ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) (ace)/(bdf) = (a³+c³+e³)/(b³+d³+f³)

ବାମପକ୍ଷ (LHS) = (bk dk fk) / (bdf) = k³ ।

ଦକ୍ଷିଣପକ୍ଷ (RHS) = ( (bk)³ + (dk)³ + (fk)³ ) / (b³+d³+f³)

= (b³k³ + d³k³ + f³k³) / (b³+d³+f³)

= k³(b³+d³+f³) / (b³+d³+f³) = k³ ।

LHS = RHS । (ପ୍ରମାଣିତ)

(iii) (a³+c³+e³)/(b³+d³+f³) = (a+c+e)²/(b+d+f)²

ବାମପକ୍ଷ (LHS) = k³ (ଉପର ପ୍ରଶ୍ନ (ii) ରୁ) ।

ଦକ୍ଷିଣପକ୍ଷ (RHS) = ( (bk)+(dk)+(fk) )² / (b+d+f)²

= ( k(b+d+f) )² / (b+d+f)²

= k²(b+d+f)² / (b+d+f)² = k² ।

ତେଣୁ, ପ୍ରମାଣ କରିବାକୁ ହେବ k³ = k² । ଏହା କେବଳ k=1 ବା k=0 ହେଲେ ହିଁ ସତ୍ୟ ହେବ । ଏହା ସମାନୁପାତର ଏକ ସାଧାରଣ ଗୁଣ ନୁହେଁ । ତେଣୁ ପ୍ରଶ୍ନଟିରେ ତ୍ରୁଟି ଥାଇପାରେ ।

(ଯଦି k=1 ବା k=0 ହୁଏ, ତେବେ ପ୍ରମାଣିତ)

(iv) a/b = c/d = e/f = (4a-6c-9e)/(4b-6d-9f)

ବାମପକ୍ଷ (LHS) = k ।

ଦକ୍ଷିଣପକ୍ଷ (RHS) = (4bk-6dk-9fk) / (4b-6d-9f)

= k(4b-6d-9f) / (4b-6d-9f) = k ।

LHS = RHS । (ପ୍ରମାଣିତ) (ଏହା ସଂଯୋଗ ପ୍ରକ୍ରିୟାର ଏକ ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ)

(v) (a²+c²+e²)(b²+d²+f²) = (ab+cd+ef)²

ବାମପକ୍ଷ (LHS) = ( (bk)²+(dk)²+(fk)² ) (b²+d²+f²)

= (k²b²+k²d²+k²f²) (b²+d²+f²)

= k²(b²+d²+f²) (b²+d²+f²) = k²(b²+d²+f²)² ।

ଦକ୍ଷିଣପକ୍ଷ (RHS) = ( (bk)b + (dk)d + (fk)f )²

= (b²k+d²k+f²k)²

= (k(b²+d²+f²))² = k²(b²+d²+f²)² ।

LHS = RHS । (ପ୍ରମାଣିତ)

୧୧. a, b, c କ୍ରମିକ ସାମନୁପାତୀ ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,

ଦତ୍ତ: a, b, c କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ । ତେଣୁ a/b = b/c । ଏହାର ଅର୍ଥ b² = ac ।

(i) a:c = a²:b²

ବାମପକ୍ଷ (LHS) = a/c ।

ଦକ୍ଷିଣପକ୍ଷ (RHS) = a²/b² = a²/(ac) (ଯେହେତୁ b² = ac) = a/c ।

LHS = RHS । (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) a:c = (a²+b²):(b²+c²)

ବାମପକ୍ଷ (LHS) = a/c ।

ଦକ୍ଷିଣପକ୍ଷ (RHS) = (a²+b²)/(b²+c²)

= (a²+ac)/(ac+c²) (ଯେହେତୁ b² = ac)

= a(a+c) / c(a+c) = a/c ।

LHS = RHS । (ପ୍ରମାଣିତ)

(iii) (a²+b²)(b²+c²) = (ab+bc)²

ବାମପକ୍ଷ (LHS) = (a²+b²)(b²+c²)

= (a²+ac)(ac+c²) (ଯେହେତୁ b² = ac)

= a(a+c)c(a+c) = ac(a+c)² ।

ଦକ୍ଷିଣପକ୍ଷ (RHS) = (ab+bc)²

= [b(a+c)]² = b²(a+c)² ।

ଯେହେତୁ b² = ac, ତେଣୁ LHS = RHS । (ପ୍ରମାଣିତ)

(iv) 2a+3b:3a+2b = 2b+3c:3b+2c

ଦତ୍ତ: a/b = b/c । ମନେକର a/b = b/c = k ।

ବାମପକ୍ଷ (LHS) = (2a+3b)/(3a+2b)

= (2(a/b)+3) / (3(a/b)+2) (ଲବ ଓ ହରକୁ b ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କରି)

= (2k+3) / (3k+2) ।

ଦକ୍ଷିଣପକ୍ଷ (RHS) = (2b+3c)/(3b+2c)

= (2(b/c)+3) / (3(b/c)+2) (ଲବ ଓ ହରକୁ c ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କରି)

= (2k+3) / (3k+2) ।

LHS = RHS । (ପ୍ରମାଣିତ)

୧୨. a, b, c, d କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,

ଦତ୍ତ: a, b, c, d କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ । ତେଣୁ a/b = b/c = c/d । ମନେକର a/b = b/c = c/d = k ।

ତେଣୁ c = dk, b = ck = dk², a = bk = dk³ ।

(i) (b+c)(b+d) = (c+a)(c+d)

ବାମପକ୍ଷ (LHS) = (dk²+dk)(dk²+d)

= dk(k+1) d(k²+1)

= d²k(k+1)(k²+1) ।

ଦକ୍ଷିଣପକ୍ଷ (RHS) = (dk+dk³)(dk+d)

= dk(1+k²) d(k+1)

= d²k(k²+1)(k+1) ।

LHS = RHS । (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) a/b = (a²-b²+c²)/(b²-c²+d²)

ବାମପକ୍ଷ (LHS) = k ।

ଦକ୍ଷିଣପକ୍ଷ (RHS) = ( (dk³)² - (dk²)² + (dk)² ) / ( (dk²)² - (dk)² + d² )

= ( d²k⁶ - d²k⁴ + d²k² ) / ( d²k⁴ - d²k² + d² )

= d²k²(k⁴ - k² + 1) / d²(k⁴ - k² + 1)

= k² ।

ତେଣୁ, ପ୍ରମାଣ କରିବାକୁ ହେବ k = k² । ଏହା କେବଳ k=1 ବା k=0 ହେଲେ ହିଁ ସତ୍ୟ ହେବ । ଏହା ସମାନୁପାତର ଏକ ସାଧାରଣ ଗୁଣ ନୁହେଁ । ତେଣୁ ପ୍ରଶ୍ନଟିରେ ତ୍ରୁଟି ଥାଇପାରେ ।

(ଯଦି k=1 ବା k=0 ହୁଏ, ତେବେ ପ୍ରମାଣିତ)

(iii) (ab+cd)/(ab-cd) = (b²+d²)/(b²-d²)

ବାମପକ୍ଷ (LHS) = ( (dk³)(dk²) + (dk)(d) ) / ( (dk³)(dk²) - (dk)(d) )

= ( d²k⁵ + d²k ) / ( d²k⁵ - d²k )

= d²k(k⁴+1) / d²k(k⁴-1) = (k⁴+1)/(k⁴-1) ।

ଦକ୍ଷିଣପକ୍ଷ (RHS) = ( (dk²)² + d² ) / ( (dk²)² - d² )

= ( d²k⁴ + d² ) / ( d²k⁴ - d² )

= d²(k⁴+1) / d²(k⁴-1) = (k⁴+1)/(k⁴-1) ।

LHS = RHS । (ପ୍ରମାଣିତ)

(iv) a-b ଓ c-d ର ମଧ୍ୟ ସମାନୁପାତୀ b-c

ପ୍ରମାଣ କରିବାକୁ ହେବ: (b-c)² = (a-b)(c-d) ।

ବାମପକ୍ଷ (LHS) = (b-c)²

= (dk²-dk)²

= (dk(k-1))² = d²k²(k-1)² ।

ଦକ୍ଷିଣପକ୍ଷ (RHS) = (a-b)(c-d)

= (dk³-dk²)(dk-d)

= dk²(k-1) d(k-1)

= d²k²(k-1)² ।

LHS = RHS । (ପ୍ରମାଣିତ)

(v) a²-b² ଓ c²-d² ର ମଧ୍ୟ ସମାନୁପାତୀ b²-c²

ପ୍ରମାଣ କରିବାକୁ ହେବ: (b²-c²)² = (a²-b²)(c²-d²) ।

ବାମପକ୍ଷ (LHS) = (b²-c²)²

= ( (dk²)² - (dk)² )²

= ( d²k⁴ - d²k² )²

= ( d²k²(k²-1) )² = d⁴k⁴(k²-1)² ।

ଦକ୍ଷିଣପକ୍ଷ (RHS) = (a²-b²)(c²-d²)

= ( (dk³)² - (dk²)² ) ( (dk)² - d² )

= ( d²k⁶ - d²k⁴ ) ( d²k² - d² )

= d²k⁴(k²-1) d²(k²-1)

= d⁴k⁴(k²-1)² ।

LHS = RHS । (ପ୍ରମାଣିତ)

(vi) (b-c)²+(c-a)²+(b-d)² = (a-d)²

ମନେକର d=1 । ତେବେ c=k, b=k², a=k³ ।

ବାମପକ୍ଷ (LHS) = (b-c)²+(c-a)²+(b-d)²

= (k²-k)² + (k-k³)² + (k²-1)²

= k²(k-1)² + k²(1-k²)² + (k²-1)²

= k²(k-1)² + k²(k²-1)² + (k²-1)² (ଯେହେତୁ (1-k²)² = (k²-1)²)

= k²(k-1)² + (k²-1)²(k²+1)

= k²(k-1)² + (k-1)²(k+1)²(k²+1)

= (k-1)² [ k² + (k+1)²(k²+1) ]

= (k-1)² [ k² + (k²+2k+1)(k²+1) ]

= (k-1)² [ k² + k⁴+k²+2k³+2k+k²+1 ]

= (k-1)² [ k⁴+2k³+3k²+2k+1 ] ।

ଦକ୍ଷିଣପକ୍ଷ (RHS) = (a-d)²

= (k³-1)²

= ( (k-1)(k²+k+1) )²

= (k-1)²(k²+k+1)² ।

ଆମେ ଜାଣୁ (k²+k+1)² = k⁴+k²+1+2k³+2k²+2k = k⁴+2k³+3k²+2k+1 ।

ତେଣୁ LHS = RHS । (ପ୍ରମାଣିତ)

୧୩.

(i) x = 2ab/(a+b) ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, (x+a)/(x-a) + (x+b)/(x-b) = 2

ଦତ୍ତ: x = 2ab/(a+b) ।

x/a = 2b/(a+b) ।

ଯୋଗାନ୍ତର ପ୍ରକ୍ରିୟା ପ୍ରୟୋଗ କରି:

(x+a)/(x-a) = (2b+a+b)/(2b-(a+b)) = (a+3b)/(b-a) ... (1)

x/b = 2a/(a+b) ।

ଯୋଗାନ୍ତର ପ୍ରକ୍ରିୟା ପ୍ରୟୋଗ କରି:

(x+b)/(x-b) = (2a+a+b)/(2a-(a+b)) = (3a+b)/(a-b) ... (2)

(1) ଓ (2) କୁ ଯୋଗ କରି:

(x+a)/(x-a) + (x+b)/(x-b) = (a+3b)/(b-a) + (3a+b)/(a-b)

= -(a+3b)/(a-b) + (3a+b)/(a-b)

= (-a-3b+3a+b)/(a-b)

= (2a-2b)/(a-b) = 2(a-b)/(a-b) = 2 ।

(ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) x = 6ab/(a+b) ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, (x+3a)/(x-3a) + (x+3b)/(x-3b) = 2

ଦତ୍ତ: x = 6ab/(a+b) ।

x/(3a) = 2b/(a+b) ।

ଯୋଗାନ୍ତର ପ୍ରକ୍ରିୟା ପ୍ରୟୋଗ କରି:

(x+3a)/(x-3a) = (2b+a+b)/(2b-(a+b)) = (a+3b)/(b-a) ... (1)

x/(3b) = 2a/(a+b) ।

ଯୋଗାନ୍ତର ପ୍ରକ୍ରିୟା ପ୍ରୟୋଗ କରି:

(x+3b)/(x-3b) = (2a+a+b)/(2a-(a+b)) = (3a+b)/(a-b) ... (2)

(1) ଓ (2) କୁ ଯୋଗ କରି:

(x+3a)/(x-3a) + (x+3b)/(x-3b) = (a+3b)/(b-a) + (3a+b)/(a-b)

= -(a+3b)/(a-b) + (3a+b)/(a-b)

= (-a-3b+3a+b)/(a-b)

= (2a-2b)/(a-b) = 2(a-b)/(a-b) = 2 ।

(ପ୍ରମାଣିତ)

(iii) x = 8ab/(a+b) ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, (x+4a)/(x-4a) + (x+4b)/(x-4b) = 2

ଦତ୍ତ: x = 8ab/(a+b) ।

x/(4a) = 2b/(a+b) ।

ଯୋଗାନ୍ତର ପ୍ରକ୍ରିୟା ପ୍ରୟୋଗ କରି:

(x+4a)/(x-4a) = (2b+a+b)/(2b-(a+b)) = (a+3b)/(b-a) ... (1)

x/(4b) = 2a/(a+b) ।

ଯୋଗାନ୍ତର ପ୍ରକ୍ରିୟା ପ୍ରୟୋଗ କରି:

(x+4b)/(x-4b) = (2a+a+b)/(2a-(a+b)) = (3a+b)/(a-b) ... (2)

(1) ଓ (2) କୁ ଯୋଗ କରି:

(x+4a)/(x-4a) + (x+4b)/(x-4b) = (a+3b)/(b-a) + (3a+b)/(a-b)

= -(a+3b)/(a-b) + (3a+b)/(a-b)

= (-a-3b+3a+b)/(a-b)

= (2a-2b)/(a-b) = 2(a-b)/(a-b) = 2 ।

(ପ୍ରମାଣିତ)

୧୪.

(i) x+y, y+z, x-y, y-z ସମାନୁପାତୀ ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, x,y,z କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ହେବେ ।

ଦତ୍ତ: (x+y)/(y+z) = (x-y)/(y-z) ।

ବଜ୍ରଗୁଣନ କରି:

(x+y)(y-z) = (y+z)(x-y)

xy - xz + y² - yz = xy - y² + xz - yz

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ xy ଓ -yz କାଟିଦେଲେ:

-xz + y² = -y² + xz

y² + y² = xz + xz

2y² = 2xz

y² = xz ।

ଯେହେତୁ y² = xz, ତେଣୁ x, y, z କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ଅଟନ୍ତି । (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) x/(b+c) = y/(c+a) = z/(a+b) ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, (b-c)x + (c-a)y + (a-b)z = 0

ମନେକର x/(b+c) = y/(c+a) = z/(a+b) = k ।

ତେଣୁ x = k(b+c), y = k(c+a), z = k(a+b) ।

ବାମପକ୍ଷ (LHS) = (b-c)x + (c-a)y + (a-b)z

= (b-c)k(b+c) + (c-a)k(c+a) + (a-b)k(a+b)

= k [ (b-c)(b+c) + (c-a)(c+a) + (a-b)(a+b) ]

= k [ (b²-c²) + (c²-a²) + (a²-b²) ]

= k [ b²-c²+c²-a²+a²-b² ]

= k [0] = 0 ।

LHS = RHS । (ପ୍ରମାଣିତ)

(iii) x/(b²+bc+c²) = y/(c²+ca+a²) = z/(a²+ab+b²) ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, (b-c)x + (c-a)y + (a-b)z = 0

ମନେକର x/(b²+bc+c²) = y/(c²+ca+a²) = z/(a²+ab+b²) = k ।

ତେଣୁ x = k(b²+bc+c²), y = k(c²+ca+a²), z = k(a²+ab+b²) ।

ବାମପକ୍ଷ (LHS) = (b-c)x + (c-a)y + (a-b)z

= (b-c)k(b²+bc+c²) + (c-a)k(c²+ca+a²) + (a-b)k(a²+ab+b²)

= k [ (b-c)(b²+bc+c²) + (c-a)(c²+ca+a²) + (a-b)(a²+ab+b²) ]

ଆମେ ଜାଣୁ (X-Y)(X²+XY+Y²) = X³-Y³ ।

ତେଣୁ, (b-c)(b²+bc+c²) = b³-c³ ।

(c-a)(c²+ca+a²) = c³-a³ ।

(a-b)(a²+ab+b²) = a³-b³ ।

LHS = k [ (b³-c³) + (c³-a³) + (a³-b³) ]

= k [ b³-c³+c³-a³+a³-b³ ]

= k [0] = 0 ।

LHS = RHS । (ପ୍ରମାଣିତ)

୧୫. ସ୍ମିତି, ସୃଷ୍ଟି ଠାରୁ ଦୁଇ ବର୍ଷ ବଡ଼ । ଦଶ ବର୍ଷ ପୂର୍ବେ ସୃଷ୍ଟି ଓ ସ୍ମିତିର ବୟସର ଅନୁପାତ 1 : 2 ଥିଲା । ବର୍ତମାନ ସେମାନଙ୍କର ବୟସ କେତେ ?

ମନେକର ସୃଷ୍ଟିର ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ x ବର୍ଷ ।

ସ୍ମିତିର ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ (x+2) ବର୍ଷ ।

10 ବର୍ଷ ପୂର୍ବେ:

ସୃଷ୍ଟିର ବୟସ = (x-10) ବର୍ଷ ।

ସ୍ମିତିର ବୟସ = (x+2-10) = (x-8) ବର୍ଷ ।

୧୬. ଚାରି ବର୍ଷ ପୂର୍ବେ ଅନିଲ୍ ଓ ସୁନିଲ୍‌ର ବୟସର ଅନୁପାତ 3 : 5 ଥିଲା । ଚାରିବର୍ଷ ପରେ ଏହି ଅନୁପାତ 5 : 7 ହେବ । ବର୍ତ୍ତମାନ କାହାର ବୟସ କେତେ ?

ମନେକର 4 ବର୍ଷ ପୂର୍ବେ ଅନିଲ୍‌ର ବୟସ 3x ଓ ସୁନିଲ୍‌ର ବୟସ 5x ।

ଅନିଲ୍‌ର ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ = (3x+4) ବର୍ଷ ।

ସୁନିଲ୍‌ର ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ = (5x+4) ବର୍ଷ ।

4 ବର୍ଷ ପରେ:

ଅନିଲ୍‌ର ବୟସ = (3x+4)+4 = (3x+8) ବର୍ଷ ।

ସୁନିଲ୍‌ର ବୟସ = (5x+4)+4 = (5x+8) ବର୍ଷ ।

୧୭. 1400 ଜଣ ଛାତ୍ରଥିବା ଗୋଟିଏ ବିଦ୍ୟାଳୟରେ ଛାତ୍ର ଓ ଶିକ୍ଷକ ସଂଖ୍ୟାର ଅନୁପାତ 35 : 2 ଅଟେ । ଆଉ ଅଧୂକ କେତେ ଜଣ ଶିକ୍ଷକ ବିଦ୍ୟାଳୟରେ ଯୋଗଦେଲେ, ଏହି ଅନୁପାତ 25 : 2 ହେବ ?

ମୋଟ ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା = 1400 ।

ଛାତ୍ର ଓ ଶିକ୍ଷକ ସଂଖ୍ୟାର ଅନୁପାତ = 35:2 ।

ମନେକର ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା 35k ଓ ଶିକ୍ଷକ ସଂଖ୍ୟା 2k ।

35k = 1400 ⇒ k = 1400/35 = 40 ।

ଶିକ୍ଷକ ସଂଖ୍ୟା = 2k = 2 × 40 = 80 ।

ମନେକର x ଜଣ ଅଧିକ ଶିକ୍ଷକ ଯୋଗଦେଲେ ।

ନୂତନ ଶିକ୍ଷକ ସଂଖ୍ୟା = (80+x) ।

ନୂତନ ଅନୁପାତ = 25:2 ।

1400 / (80+x) = 25/2

1400 × 2 = 25(80+x)

2800 = 2000 + 25x

2800 - 2000 = 25x

800 = 25x

x = 800/25 = 32 ।

ଉତ୍ତର: 32 ଜଣ ଅଧିକ ଶିକ୍ଷକ ଯୋଗଦେବେ ।

୧୮. 60 ଲିଟର ମିଶ୍ରଣରେ କ୍ଷୀର ଓ ଜଳର ଅନୁପାତ 2 : 1 । ସେଥ୍ରେ ଆଉ କେତେ ଲିଟର ଜଳ ମିଶାଇଲେ, ମିଶ୍ରଣରେ କ୍ଷୀର ଓ ଜଳର ଅନୁପାତ 8 : 5 ହେବ ?

ମୋଟ ମିଶ୍ରଣ = 60 ଲିଟର ।

କ୍ଷୀର : ଜଳ = 2:1 ।

କ୍ଷୀର ପରିମାଣ = (2/3) × 60 = 40 ଲିଟର ।

ଜଳ ପରିମାଣ = (1/3) × 60 = 20 ଲିଟର ।

ମନେକର x ଲିଟର ଜଳ ମିଶାଗଲା ।

ନୂତନ ଜଳ ପରିମାଣ = (20+x) ଲିଟର ।

କ୍ଷୀର ପରିମାଣ ଅପରିବର୍ତ୍ତିତ ରହିବ (40 ଲିଟର) ।

ନୂତନ କ୍ଷୀର : ଜଳ ଅନୁପାତ = 8:5 ।

40 / (20+x) = 8/5

40 × 5 = 8(20+x)

200 = 160 + 8x

200 - 160 = 8x

40 = 8x

x = 5 ।

ଉତ୍ତର: 5 ଲିଟର ଜଳ ମିଶାଯିବ ।

୧୯. A ଓ B ଆୟର ଅନୁପାତ 3 : 2 ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ବ୍ୟୟର ଅନୁପାତ 5 : 3 ଅଟେ । ଯଦି ପ୍ରତ୍ୟେକ 1500 ଟଙ୍କା ସଞ୍ଚୟ କରୁଥିବେ, ତେବେ B ର ଆୟ କେତେ ?

ମନେକର A ର ଆୟ 3x ଓ B ର ଆୟ 2x ।

ମନେକର A ର ବ୍ୟୟ 5y ଓ B ର ବ୍ୟୟ 3y ।

ସଞ୍ଚୟ = ଆୟ - ବ୍ୟୟ ।

A ର ସଞ୍ଚୟ = 3x - 5y = 1500 ... (1)

B ର ସଞ୍ଚୟ = 2x - 3y = 1500 ... (2)

ସମୀକରଣ (1) କୁ 3 ଦ୍ୱାରା ଓ ସମୀକରଣ (2) କୁ 5 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରି:

(3x - 5y) × 3 ⇒ 9x - 15y = 4500 ... (3)

(2x - 3y) × 5 ⇒ 10x - 15y = 7500 ... (4)

ସମୀକରଣ (3) କୁ (4) ରୁ ବିୟୋଗ କରି:

(10x - 15y) - (9x - 15y) = 7500 - 4500

10x - 15y - 9x + 15y = 3000

x = 3000 ।

B ର ଆୟ = 2x = 2 × 3000 = 6000 ଟଙ୍କା ।

ଉତ୍ତର: B ର ଆୟ 6000 ଟଙ୍କା ।

୨୦.

(i) ଦର୍ଶାଅ ଯେ, 3 : 4 ର ବର୍ଗାନୁପାତ, 15 : 17 ର ପ୍ରତିଲୋମୀ ଅନୁପାତ ଏବଂ 25: 42 ର ବର୍ଗମୂଳାନୁପାତର ଯୌଗିକ ଅନୁପାତ 51 : 112 ହେବ ।

3:4 ର ବର୍ଗାନୁପାତ = 3²:4² = 9:16 ।

15:17 ର ପ୍ରତିଲୋମୀ ଅନୁପାତ = 17:15 ।

୨୨. ତିନି ଶ୍ରେଣୀ ବିଶିଷ୍ଟ ଗୋଟିଏ ବିଦ୍ୟାଳୟରେ ଅଷ୍ଟମ, ନବମ ଓ ଦଶମ ଶ୍ରେଣୀର ଛାତ୍ର ଓ ଛାତ୍ରୀ ସଂଖ୍ୟାର ଅନୁପାତ ଯଥାକ୍ରମେ 2 : 3, 3 : 7 ଓ 7 : 8 ଅଟେ । ଶ୍ରେଣୀ ତିନୋଟିରେ ସମାନ ସମାନ ସଂଖ୍ୟକ ପିଲା ପଢ଼ୁଥିଲେ ତେବେ ବିଦ୍ୟାଳୟରେ ଛାତ୍ର ଓ ଛାତ୍ରୀ ସଂଖ୍ୟାର ଅନୁପାତ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ଅଷ୍ଟମ ଶ୍ରେଣୀରେ ଛାତ୍ର : ଛାତ୍ରୀ = 2:3 । ମୋଟ ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀ = 2+3 = 5 ଭାଗ ।

ନବମ ଶ୍ରେଣୀରେ ଛାତ୍ର : ଛାତ୍ରୀ = 3:7 । ମୋଟ ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀ = 3+7 = 10 ଭାଗ ।

ଦଶମ ଶ୍ରେଣୀରେ ଛାତ୍ର : ଛାତ୍ରୀ = 7:8 । ମୋଟ ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀ = 7+8 = 15 ଭାଗ ।

ଶ୍ରେଣୀ ତିନୋଟିରେ ସମାନ ସଂଖ୍ୟକ ପିଲା ପଢ଼ୁଥିବାରୁ, ମୋଟ ଭାଗଗୁଡ଼ିକର ଲ.ସା.ଗୁ (LCM) ନେବା ।

5, 10, 15 ର ଲ.ସା.ଗୁ = 30 ।

ଅଷ୍ଟମ ଶ୍ରେଣୀ ପାଇଁ, 5 କୁ 30 କରିବାକୁ 6 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣିବା ।

ଛାତ୍ର = 2×6 = 12, ଛାତ୍ରୀ = 3×6 = 18 । ମୋଟ = 30 ।

ନବମ ଶ୍ରେଣୀ ପାଇଁ, 10 କୁ 30 କରିବାକୁ 3 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣିବା ।

ଛାତ୍ର = 3×3 = 9, ଛାତ୍ରୀ = 7×3 = 21 । ମୋଟ = 30 ।

ଦଶମ ଶ୍ରେଣୀ ପାଇଁ, 15 କୁ 30 କରିବାକୁ 2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣିବା ।

ଛାତ୍ର = 7×2 = 14, ଛାତ୍ରୀ = 8×2 = 16 । ମୋଟ = 30 ।

ବିଦ୍ୟାଳୟରେ ମୋଟ ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା = 12 + 9 + 14 = 35 ।

ବିଦ୍ୟାଳୟରେ ମୋଟ ଛାତ୍ରୀ ସଂଖ୍ୟା = 18 + 21 + 16 = 55 ।

ବିଦ୍ୟାଳୟରେ ଛାତ୍ର ଓ ଛାତ୍ରୀ ସଂଖ୍ୟାର ଅନୁପାତ = 35:55 = 7:11 ।

ଉତ୍ତର: 7:11

୨୩. ସମାନୁପାତ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ତଥ୍ୟ ଗୁଡିକର ପ୍ରୟୋଗରେ ସମାଧାନ କର ।

(i) (√(3x+1) + √(2x+1)) / (√(3x+1) - √(2x+1)) = 5

ଯୋଗାନ୍ତର ପ୍ରକ୍ରିୟା ପ୍ରୟୋଗ କରି:

( (√(3x+1) + √(2x+1)) + (√(3x+1) - √(2x+1)) ) / ( (√(3x+1) + √(2x+1)) - (√(3x+1) - √(2x+1)) ) = (5+1)/(5-1)

(2√(3x+1)) / (2√(2x+1)) = 6/4

√(3x+1) / √(2x+1) = 3/2

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ବର୍ଗ କରି:

(3x+1) / (2x+1) = (3/2)² = 9/4

4(3x+1) = 9(2x+1)

12x + 4 = 18x + 9

4 - 9 = 18x - 12x

-5 = 6x

x = -5/6 ।

ଉତ୍ତର: x = -5/6

(ii) (√(3x+1) + √(x+1)) / (√(3x+1) - √(x+1)) = 4

ଯୋଗାନ୍ତର ପ୍ରକ୍ରିୟା ପ୍ରୟୋଗ କରି:

( (√(3x+1) + √(x+1)) + (√(3x+1) - √(x+1)) ) / ( (√(3x+1) + √(x+1)) - (√(3x+1) - √(x+1)) ) = (4+1)/(4-1)

(2√(3x+1)) / (2√(x+1)) = 5/3

√(3x+1) / √(x+1) = 5/3

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ବର୍ଗ କରି:

(3x+1) / (x+1) = (5/3)² = 25/9

9(3x+1) = 25(x+1)

27x + 9 = 25x + 25

27x - 25x = 25 - 9

2x = 16

x = 8 ।

ଉତ୍ତର: x = 8

(iii) (√(a+x) + √(a-x)) / (√(a+x) - √(a-x)) = b

ଯୋଗାନ୍ତର ପ୍ରକ୍ରିୟା ପ୍ରୟୋଗ କରି:

( (√(a+x) + √(a-x)) + (√(a+x) - √(a-x)) ) / ( (√(a+x) + √(a-x)) - (√(a+x) - √(a-x)) ) = (b+1)/(b-1)

(2√(a+x)) / (2√(a-x)) = (b+1)/(b-1)

√(a+x) / √(a-x) = (b+1)/(b-1)

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ବର୍ଗ କରି:

(a+x) / (a-x) = (b+1)² / (b-1)²

ପୁନର୍ବାର ଯୋଗାନ୍ତର ପ୍ରକ୍ରିୟା ପ୍ରୟୋଗ କରି:

( (a+x) + (a-x) ) / ( (a+x) - (a-x) ) = ( (b+1)² + (b-1)² ) / ( (b+1)² - (b-1)² )

(2a) / (2x) = ( (b²+2b+1) + (b²-2b+1) ) / ( (b²+2b+1) - (b²-2b+1) )

a/x = (2b²+2) / (4b)

a/x = 2(b²+1) / (4b)

a/x = (b²+1) / (2b)

x = 2ab / (b²+1) ।

ଉତ୍ତର: x = 2ab / (b²+1)

୪. ବୋର୍ଡ ପରୀକ୍ଷା ମାଷ୍ଟ୍ରି ଟିପ୍ସ ଓ ସାଧାରଣ ଭୁଲ୍ (Board Exam Tips -and- Pitfalls)

ପରୀକ୍ଷା ପ୍ରସ୍ତୁତି ରଣନୀତି (Exam Preparation Strategies):

୧. ମୌଳିକ ଧାରଣା ସ୍ପଷ୍ଟ କରନ୍ତୁ: ଅନୁପାତ, ସମାନୁପାତ, ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରକାରର ଅନୁପାତ (ବର୍ଗାନୁପାତ, ଘନାନୁପାତ, ପ୍ରତିଲୋମୀ ଅନୁପାତ ଇତ୍ୟାଦି) ଏବଂ କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତର ସଂଜ୍ଞା ଓ ଉଦାହରଣ ଭଲ ଭାବରେ ବୁଝନ୍ତୁ ।

୨. ସୂତ୍ରାବଳୀ ମନେରଖନ୍ତୁ: ସମାନୁପାତର ସମସ୍ତ ପ୍ରକ୍ରିୟା (ଯୋଗ, ବିୟୋଗ, ଯୋଗାନ୍ତର, ଏକାନ୍ତର, ବ୍ୟସ୍ତାନୁପାତ, ସଂଯୋଗ) ଏବଂ କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତର ସୂତ୍ର (b² = ac) ମୁଖସ୍ଥ କରନ୍ତୁ ।

୩. ଅଭ୍ୟାସ ପ୍ରଶ୍ନାବଳୀ ସମାଧାନ: ପାଠ୍ୟପୁସ୍ତକର ସମସ୍ତ ଅଭ୍ୟାସ ପ୍ରଶ୍ନକୁ ପଦକ୍ଷେପ ଅନୁସାରେ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ । ବିଶେଷ କରି ଶବ୍ଦ ସମସ୍ୟା (Word Problems) ଉପରେ ଅଧିକ ଧ୍ୟାନ ଦିଅନ୍ତୁ ।

୪. ସମୟ ପରିଚାଳନା: ସମୟ ସୀମା ମଧ୍ୟରେ ପ୍ରଶ୍ନ ସମାଧାନ କରିବା ଅଭ୍ୟାସ କରନ୍ତୁ । ଏହା ପରୀକ୍ଷାରେ ସମୟ ପରିଚାଳନାରେ ସାହାଯ୍ୟ କରିବ ।

୫. ପୂର୍ବ ବର୍ଷର ପ୍ରଶ୍ନପତ୍ର: ପୂର୍ବ ବର୍ଷର ବୋର୍ଡ ପରୀକ୍ଷା ପ୍ରଶ୍ନପତ୍ରଗୁଡ଼ିକୁ ସମାଧାନ କରିବା ଦ୍ୱାରା ପ୍ରଶ୍ନର ପ୍ରକାର ଓ କଠିନତା ସ୍ତର ବିଷୟରେ ଧାରଣା ମିଳିବ ।

ସାଧାରଣ ଭୁଲ୍ (Common Pitfalls):

୧. ଏକକର ତ୍ରୁଟି: ଅନୁପାତ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ସମୟରେ ରାଶିଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ଏକକରେ ଅଛି କି ନାହିଁ, ତାହା ଯାଞ୍ଚ ନକରିବା । ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ମିଟର ଓ କିଲୋମିଟରକୁ ସମାନ ଏକକରେ ପରିବର୍ତ୍ତନ ନକରି ଅନୁପାତ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ।

୨. ଅନୁପାତର ପ୍ରକାର ଭୁଲ୍ ବୁଝିବା: ବର୍ଗାନୁପାତ ଓ ଉପବର୍ଗାନୁପାତ ମଧ୍ୟରେ ଦ୍ୱନ୍ଦ୍ୱ ସୃଷ୍ଟି କରିବା ।

୩. ସମାନୁପାତ ପ୍ରକ୍ରିୟାର ଭୁଲ୍ ପ୍ରୟୋଗ: ଯୋଗାନ୍ତର ପ୍ରକ୍ରିୟା ଭଳି ସୂତ୍ରଗୁଡ଼ିକୁ ଭୁଲ୍ ଭାବରେ ପ୍ରୟୋଗ କରିବା ।

୪. ବୀଜଗାଣିତିକ ତ୍ରୁଟି: ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବା ସମୟରେ ବୀଜଗାଣିତିକ ଗଣନାରେ ଭୁଲ୍ କରିବା ।

୫. ଶୂନ୍ୟ ଦ୍ୱାରା ହରଣ: ହର ଶୂନ୍ୟ ହେଉଥିବା କ୍ଷେତ୍ରରେ ସମାଧାନକୁ ଅଣଦେଖା କରିବା ।

୬. ଉତ୍ତର ଯାଞ୍ଚ ନକରିବା: ପ୍ରଶ୍ନ ସମାଧାନ ପରେ ଉତ୍ତରକୁ ମୂଳ ପ୍ରଶ୍ନରେ ସ୍ଥାପନ କରି ଯାଞ୍ଚ ନକରିବା ।

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

(ନୋଟ୍ସ ପ୍ରସ୍ତୁତି: ଉତ୍କଳ ସ୍କିଲ୍ ସେଣ୍ଟର - BSE Odisha 100% Full Textbook Master Edition)