ବୋର୍ଡ ଅଫ୍ ସେକେଣ୍ଡାରୀ ଏଜୁକେସନ୍ (BSE Odisha) — ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଅଧ୍ୟାୟ ମାଷ୍ଟର ନୋଟ୍ସ
ଶ୍ରେଣୀ: Class 9 | ବିଷୟ: Math
ଅଧ୍ୟାୟ: C9 Alg C9 Alg Ch8 Probability Ready Ready
୧. ଅଧ୍ୟାୟର ସାରାଂଶ ଓ ମାଇଣ୍ଡ ମ୍ୟାପ୍ (Mind Map & Conceptual Architecture)
ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ ଆମେ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା (Probability) ବିଷୟରେ ଅଧ୍ୟୟନ କରିବା । ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ହେଉଛି ଏକ ଘଟଣା ଘଟିବାର ସମ୍ଭାବନାକୁ ପରିମାଣାତ୍ମକ ଭାବରେ ବର୍ଣ୍ଣନା କରିବାର ଏକ ମାପ । ଏହା ଆମ ଦୈନନ୍ଦିନ ଜୀବନରେ ଅନେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ, ଯେପରିକି ପାଣିପାଗ ପୂର୍ବାନୁମାନ, ଖେଳର ଫଳାଫଳ, ଲଟେରୀ ଇତ୍ୟାଦି ।
ମୁଖ୍ୟ ଧାରଣାଗୁଡ଼ିକ:
ମାଇଣ୍ଡ ମ୍ୟାପ୍ (Mind Map):
```
ସମ୍ଭାବ୍ୟତା (Probability)
├── ଉପକ୍ରମଣିକା (Introduction)
│ ├── ଦୈନନ୍ଦିନ ଜୀବନରେ ପ୍ରୟୋଗ (Real-life applications)
│ └── ଐତିହାସିକ ପୃଷ୍ଠଭୂମି (Historical background)
│ ├── ପାସ୍କାଲ୍, ଫର୍ମାଟ୍, ବର୍ନୋଲି, ଲାପ୍ଲାସ୍, କଲମୋଗୋରଭ୍
├── ସମ୍ଭାବ୍ୟତାର ଧାରଣା (Concept of Probability)
│ ├── ପରୀକ୍ଷଣ (Experiment)
│ │ ├── ମୁଦ୍ରା ଟସ୍ (Coin Toss)
│ │ └── ଲୁଡୁ ଗଡ଼ାଇବା (Die Roll)
│ ├── ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣ (Observation)
│ ├── ଘଟଣା (Event)
│ ├── ଅନୁଭୂତିମୂଳକ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା (Empirical Probability)
│ │ └── ସୂତ୍ର: P(E) = (ଘଟଣା E ର ବାରମ୍ବାରତା) / (ସମୁଦାୟ ପରୀକ୍ଷଣ ସଂଖ୍ୟା)
│ └── ସମ୍ଭାବ୍ୟତାର ଗୁଣଧର୍ମ (Properties of Probability)
│ ├── 0 ≤ P(E) ≤ 1
│ ├── ନିଶ୍ଚିତ ଘଟଣା P(E) = 1
│ └── ଅସମ୍ଭବ ଘଟଣା P(E) = 0
├── ସେଟ୍ ତତ୍ତ୍ୱ ଉପରେ ଆଧାରିତ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା (Set Theory based Probability)
│ ├── ସାମ୍ପଲ୍ ସ୍ପେସ୍ (Sample Space - S)
│ ├── ଘଟଣା (Event - E) (S ର ଉପସେଟ୍)
│ └── ସୂତ୍ର: P(E) = |E| / |S|
└── ଅଭ୍ୟାସ ପ୍ରଶ୍ନାବଳୀର ସମାଧାନ (Exercise Solutions)
```
୨. ମୁଖ୍ୟ ବିଷୟବସ୍ତୁ, ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ଓ ଗାଣିତିକ ସୂତ୍ରାବଳୀ (Comprehensive Theory & Formulas)
୨.୧ ଉପକ୍ରମଣିକା (Introduction)
ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ହେଉଛି ଏକ ଗାଣିତିକ ଧାରଣା ଯାହା ଏକ ଘଟଣା ଘଟିବାର ସମ୍ଭାବନାକୁ ପରିମାଣାତ୍ମକ ଭାବରେ ପ୍ରକାଶ କରେ । ଏହାକୁ ପ୍ରତିଶତ (percentage), ଭଗ୍ନାଂଶ (fraction) କିମ୍ବା ଦଶମିକ (decimal) ରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରେ ।
୨.୨ ସମ୍ଭାବ୍ୟତାର ଧାରଣା (Concept of Probability)
୨.୨.୧ ଅନୁଭୂତିମୂଳକ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା (Empirical Probability)
ଏହାକୁ ପରୀକ୍ଷଣମୂଳକ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା (Experimental Probability) ମଧ୍ୟ କୁହାଯାଏ । ଏକ ପରୀକ୍ଷଣକୁ ବାରମ୍ବାର କରି ଫଳାଫଳଗୁଡ଼ିକୁ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣ କରି ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିର୍ଦ୍ଧାରଣ କରାଯାଏ ।
ଯଦି ଏକ ଘଟଣା E ହୁଏ, ତେବେ ଘଟଣା E ର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା P(E) ନିମ୍ନଲିଖିତ ଭାବରେ ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ ହୁଏ:
P(E) = (ଘଟଣା E ଘଟିବାର ବାରମ୍ବାରତା) / (ସମୁଦାୟ ପରୀକ୍ଷଣ ସଂଖ୍ୟା)
P(E) = m / n
ଯେଉଁଠାରେ, m = ଘଟଣା E ଘଟିବାର ବାରମ୍ବାରତା
n = ସମୁଦାୟ ପରୀକ୍ଷଣ ସଂଖ୍ୟା
୨.୨.୨ ସମ୍ଭାବ୍ୟତାର ଗୁଣଧର୍ମ (Properties of Probability)
0 ≤ P(E) ≤ 1
P(ନିଶ୍ଚିତ ଘଟଣା) = 1
P(ଅସମ୍ଭବ ଘଟଣା) = 0
ଉଦାହରଣ: ମୁଦ୍ରା ଟସ୍ କଲେ P(H) + P(T) = 1/2 + 1/2 = 1 ।
୨.୩ ସେଟ୍ ତତ୍ତ୍ୱ ଉପରେ ଆଧାରିତ ସମ୍ଭାବ୍ୟତାର ଧାରଣା (Set Theory based Probability)
ଏହି ଧାରଣା ଗଣିତଜ୍ଞ କଲମୋଗୋରଭ୍ (Kolmogorov) ପ୍ରଦାନ କରିଥିଲେ ।
ଯଦି S ଏକ ସାମ୍ପଲ୍ ସ୍ପେସ୍ ଏବଂ E ଏକ ଘଟଣା ହୁଏ, ତେବେ ଘଟଣା E ର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା P(E) ନିମ୍ନଲିଖିତ ଭାବରେ ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ ହୁଏ:
P(E) = (ଘଟଣା E ରେ ଥିବା ଉପାଦାନ ସଂଖ୍ୟା) / (ସାମ୍ପଲ୍ ସ୍ପେସ୍ S ରେ ଥିବା ଉପାଦାନ ସଂଖ୍ୟା)
P(E) = |E| / |S|
୩. ପାଠ୍ୟପୁସ୍ତକ ଅଭ୍ୟାସ ପ୍ରଶ୍ନାବଳୀର ୧୦୦% ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସମାଧାନ (100% Complete Solved Exercises)
ଅନୁଶୀଳନୀ – ୮ (a)
Q1. ଗୋଟିଏ ଅପ୍ରବଣ ମୁଦ୍ରାକୁ ଟସ୍ କଲେ ଫଳାଫଳ ଦ୍ୱୟକୁ ସୂଚାଅ ।
ଉତ୍ତର:
ଗୋଟିଏ ଅପ୍ରବଣ ମୁଦ୍ରାକୁ ଟସ୍ କଲେ ଦୁଇଟି ଫଳାଫଳ ମିଳିପାରେ:
୧. Head (H)
୨. Tail (T)
Q2. ଗୋଟିଏ ଅପ୍ରବଣ ଲୁଡୁ ଗୋଟିକୁ ଗଡ଼ାଇଲେ ଫଳାଫଳ ଗୁଡିକ କଣ ହେବ ଲେଖ ।
ଉତ୍ତର:
ଗୋଟିଏ ଅପ୍ରବଣ ଲୁଡୁ ଗୋଟିକୁ ଗଡ଼ାଇଲେ ଛଅଟି ଫଳାଫଳ ମିଳିପାରେ:
୧. ୧
୨. ୨
୩. ୩
୪. ୪
୫. ୫
୬. ୬
Q3. ଗୋଟିଏ ଅପ୍ରବଣ ମୁଦ୍ରାକୁ ଥରେ ଟସ୍ କରାଗଲା । ଫଳ H କିମ୍ବା T ମିଳିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କେତେ ?
ଉତ୍ତର:
ମୁଦ୍ରାକୁ ଥରେ ଟସ୍ କଲେ ସମୁଦାୟ ଫଳାଫଳ ସଂଖ୍ୟା (n) = ୨ (H, T) ।
H ମିଳିବାର ବାରମ୍ବାରତା (m_H) = ୧
T ମିଳିବାର ବାରମ୍ବାରତା (m_T) = ୧
P(H) = m_H / n = ୧ / ୨
P(T) = m_T / n = ୧ / ୨
ଅତଏବ, ଫଳ H କିମ୍ବା T ମିଳିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ୧/୨ ଅଟେ ।
Q4. ଗୋଟିଏ ଲୁଡୁ ଗୋଟିକୁ ଥରେ ଗଡ଼ାଇଲେ ଫଳ < ୭ ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କେତେ ?
ଉତ୍ତର:
ଗୋଟିଏ ଲୁଡୁ ଗୋଟିକୁ ଥରେ ଗଡ଼ାଇଲେ ସମୁଦାୟ ଫଳାଫଳ ସଂଖ୍ୟା (n) = ୬ (୧, ୨, ୩, ୪, ୫, ୬) ।
ଘଟଣା E: ଫଳ < ୭ ହେବା ।
ଫଳ < ୭ ହେଉଥିବା ଫଳାଫଳଗୁଡ଼ିକ ହେଲା {୧, ୨, ୩, ୪, ୫, ୬} ।
ଘଟଣା E ଘଟିବାର ବାରମ୍ବାରତା (m_E) = ୬ ।
P(E) = m_E / n = ୬ / ୬ = ୧ ।
ଅତଏବ, ଫଳ < ୭ ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ୧ ଅଟେ । (ଏହା ଏକ ନିଶ୍ଚିତ ଘଟଣା) ।
Q5. ଦୁଇଟି ମୁଦ୍ରାକୁ ଏକ ସଙ୍ଗେ ଟସ୍ କରାଗଲା । ଫଳ HH କିମ୍ବା TT କିମ୍ବା HT କିମ୍ବା TH ମିଳିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କେତେ ?
ଉତ୍ତର:
ଦୁଇଟି ମୁଦ୍ରାକୁ ଏକ ସଙ୍ଗେ ଟସ୍ କଲେ ସମୁଦାୟ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଫଳାଫଳଗୁଡ଼ିକ ହେଲା {HH, HT, TH, TT} ।
ସମୁଦାୟ ଫଳାଫଳ ସଂଖ୍ୟା (n) = ୪ ।
E_HH ଘଟିବାର ବାରମ୍ବାରତା (m_HH) = ୧ ।
P(HH) = m_HH / n = ୧ / ୪ ।
E_TT ଘଟିବାର ବାରମ୍ବାରତା (m_TT) = ୧ ।
P(TT) = m_TT / n = ୧ / ୪ ।
E_HT_TH ଘଟିବାର ବାରମ୍ବାରତା (m_HT_TH) = ୨ ।
P(HT କିମ୍ବା TH) = m_HT_TH / n = ୨ / ୪ = ୧ / ୨ ।
Q6. ଗୋଟିଏ କ୍ରିକେଟ୍ ଖେଳରେ ଜଣେ ବ୍ୟାଟ୍ସ୍ମ୍ୟାନ୍ ୩୦ ବଲ୍ ଖେଳି ୬ ଟି ବଲ୍କୁ ସୀମା ପାର କରାଇ ଥିଲେ । ବ୍ୟାଟ୍ସ୍ମ୍ୟାନ୍ (i) ବଲ୍କୁ ସୀମା ପାର କରାଇବାର (ii) ସୀମା ପାର ନ କରାଇବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣ କର ।
ଉତ୍ତର:
ସମୁଦାୟ ବଲ୍ ସଂଖ୍ୟା (n) = ୩୦ ।
ସୀମା ପାର କରାଇଥିବା ବଲ୍ ସଂଖ୍ୟା = ୬ ।
ସୀମା ପାର ନ କରାଇଥିବା ବଲ୍ ସଂଖ୍ୟା = ୩୦ - ୬ = ୨୪ ।
(i) ଘଟଣା E_୧: ବଲ୍କୁ ସୀମା ପାର କରାଇବା ।
E_୧ ଘଟିବାର ବାରମ୍ବାରତା (m_୧) = ୬ ।
P(E_୧) = m_୧ / n = ୬ / ୩୦ = ୧ / ୫ ।
(ii) ଘଟଣା E_୨: ବଲ୍କୁ ସୀମା ପାର ନ କରାଇବା ।
E_୨ ଘଟିବାର ବାରମ୍ବାରତା (m_୨) = ୨୪ ।
P(E_୨) = m_୨ / n = ୨୪ / ୩୦ = ୪ / ୫ ।
Q7. କୌଣସି ଏକ ସହରର ଦୈନିକ ପାଣିପାଗର ସୂଚନା ୩୦୫ ଦିନ ପାଇଁ ୨୦୦୮ ମସିହାରେ ସତ୍ୟ ହେଲା । ତେବେ କୌଣସି ଦିବସର ପାଣିପାଗ ସୂଚନା ଅସତ୍ୟ ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣ କର ।
ଉତ୍ତର:
ସମୁଦାୟ ଦିନ ସଂଖ୍ୟା (n) = ୩୬୫ (୨୦୦୮ ମସିହା ଏକ ଲିପ୍ ବର୍ଷ, ତେଣୁ ଫେବୃଆରୀ ୨୯ ଦିନ) ।
ପାଣିପାଗ ସୂଚନା ସତ୍ୟ ହୋଇଥିବା ଦିନ ସଂଖ୍ୟା = ୩୦୫ ।
ପାଣିପାଗ ସୂଚନା ଅସତ୍ୟ ହୋଇଥିବା ଦିନ ସଂଖ୍ୟା = ୩୬୫ - ୩୦୫ = ୬୦ ।
ଘଟଣା E: ପାଣିପାଗ ସୂଚନା ଅସତ୍ୟ ହେବା ।
E ଘଟିବାର ବାରମ୍ବାରତା (m_E) = ୬୦ ।
P(E) = m_E / n = ୬୦ / ୩୬୫ ।
୬୦ ଓ ୩୬୫ ଉଭୟ ୫ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।
୬୦ ÷ ୫ = ୧୨
୩୬୫ ÷ ୫ = ୭୩
P(E) = ୧୨ / ୭୩ ।
ଅତଏବ, କୌଣସି ଦିବସର ପାଣିପାଗ ସୂଚନା ଅସତ୍ୟ ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ୧୨/୭୩ ଅଟେ ।
Q8. ଗୋଟିଏ ସ୍ଥାନରେ ୧୫୦୦ ପରିବାର ଯଦୃଚ୍ଛା (randomly) ବଛାଗଲେ । ପରିବାରରେ ଥିବା ଝିଅ ମାନଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ସମ୍ପର୍କିତ ତଥ୍ୟ ନିମ୍ନ ଟେବୁଲ୍ରେ ଦିଆଯାଇଛି ।
| ପରିବାରରେ ଝିଅ ସଂଖ୍ୟା | ୦ | ୧ | ୨ |
|---|---|---|---|
| ପରିବାର ସଂଖ୍ୟା | ୨୧୧ | ୮୧୪ | ୪୭୫ |
ତେବେ ଯେ କୌଣସି ଏକ ପରିବାରରେ
(i) ଦୁଇଟି ଝିଅ ଥୁବାର (ii) ଗୋଟିଏ ଝିଅ ଥୁବାର (iii) କୌଣସି ଝିଅ ନଥୁବାର ; ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣ କର ।
ଉତ୍ତର:
ସମୁଦାୟ ପରିବାର ସଂଖ୍ୟା (n) = ୧୫୦୦ ।
(i) ଘଟଣା E_୧: ଦୁଇଟି ଝିଅ ଥିବା ପରିବାର ।
ଦୁଇଟି ଝିଅ ଥିବା ପରିବାର ସଂଖ୍ୟା (m_୧) = ୪୭୫ ।
P(E_୧) = m_୧ / n = ୪୭୫ / ୧୫୦୦ ।
୪୭୫ ଓ ୧୫୦୦ ଉଭୟ ୨୫ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।
୪୭୫ ÷ ୨୫ = ୧୯
୧୫୦୦ ÷ ୨୫ = ୬୦
P(E_୧) = ୧୯ / ୬୦ ।
(ii) ଘଟଣା E_୨: ଗୋଟିଏ ଝିଅ ଥିବା ପରିବାର ।
ଗୋଟିଏ ଝିଅ ଥିବା ପରିବାର ସଂଖ୍ୟା (m_୨) = ୮୧୪ ।
P(E_୨) = m_୨ / n = ୮୧୪ / ୧୫୦୦ ।
୮୧୪ ଓ ୧୫୦୦ ଉଭୟ ୨ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।
୮୧୪ ÷ ୨ = ୪୦୭
୧୫୦୦ ÷ ୨ = ୭୫୦
P(E_୨) = ୪୦୭ / ୭୫୦ ।
(iii) ଘଟଣା E_୩: କୌଣସି ଝିଅ ନଥିବା ପରିବାର ।
କୌଣସି ଝିଅ ନଥିବା ପରିବାର ସଂଖ୍ୟା (m_୩) = ୨୧୧ ।
P(E_୩) = m_୩ / n = ୨୧୧ / ୧୫୦୦ ।
Q9. ତିନିଗୋଟି ଅପ୍ରବଣ ମୁଦ୍ରାକୁ ଏକ ସଙ୍ଗେ ୫୦୦ ଥର ଟସ୍ କରାଯିବାରୁ ଲବ୍ଧ ଫଳ ନିମ୍ନ ପ୍ରକାରର ହେଲା ।
| ଫଳାଫଳ | ତିନିଟି H | ଦୁଇଟି H | ଗୋଟିଏ H | କୌଣସିଟି ନୁହେଁ H |
|---|---|---|---|---|
| ବାରମ୍ବାରତା | ୬୦ | ୧୮୦ | ୧୯୫ | ୬୫ |
ନିମ୍ନଲିଖିତ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣ କର ।
(i) P (ତିନିଟି H), (ii) P (ଦୁଇଟି H), (iii) P (ଗୋଟିଏ H), (iv) P(କୌଣସିଟି ନୁହେଁ H)
ଉପରେ ନିର୍ମିତ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ମାନଙ୍କ ସମଷ୍ଟି ନିରୂପଣ କର ।
ଉତ୍ତର:
ସମୁଦାୟ ଟସ୍ ସଂଖ୍ୟା (n) = ୫୦୦ ।
(i) ଘଟଣା E_୧: ତିନିଟି H ।
ତିନିଟି H ଘଟିବାର ବାରମ୍ବାରତା (m_୧) = ୬୦ ।
P(ତିନିଟି H) = m_୧ / n = ୬୦ / ୫୦୦ = ୬ / ୫୦ = ୩ / ୨୫ ।
(ii) ଘଟଣା E_୨: ଦୁଇଟି H ।
ଦୁଇଟି H ଘଟିବାର ବାରମ୍ବାରତା (m_୨) = ୧୮୦ ।
P(ଦୁଇଟି H) = m_୨ / n = ୧୮୦ / ୫୦୦ = ୧୮ / ୫୦ = ୯ / ୨୫ ।
(iii) ଘଟଣା E_୩: ଗୋଟିଏ H ।
ଗୋଟିଏ H ଘଟିବାର ବାରମ୍ବାରତା (m_୩) = ୧୯୫ ।
P(ଗୋଟିଏ H) = m_୩ / n = ୧୯୫ / ୫୦୦ ।
୧୯୫ ଓ ୫୦୦ ଉଭୟ ୫ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।
୧୯୫ ÷ ୫ = ୩୯
୫୦୦ ÷ ୫ = ୧୦୦
P(ଗୋଟିଏ H) = ୩୯ / ୧୦୦ ।
(iv) ଘଟଣା E_୪: କୌଣସିଟି ନୁହେଁ H (ଅର୍ଥାତ୍ ତିନିଟି T) ।
କୌଣସିଟି ନୁହେଁ H ଘଟିବାର ବାରମ୍ବାରତା (m_୪) = ୬୫ ।
P(କୌଣସିଟି ନୁହେଁ H) = m_୪ / n = ୬୫ / ୫୦୦ ।
୬୫ ଓ ୫୦୦ ଉଭୟ ୫ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।
୬୫ ÷ ୫ = ୧୩
୫୦୦ ÷ ୫ = ୧୦୦
P(କୌଣସିଟି ନୁହେଁ H) = ୧୩ / ୧୦୦ ।
ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ମାନଙ୍କ ସମଷ୍ଟି:
P(ତିନିଟି H) + P(ଦୁଇଟି H) + P(ଗୋଟିଏ H) + P(କୌଣସିଟି ନୁହେଁ H)
= (୬୦ / ୫୦୦) + (୧୮୦ / ୫୦୦) + (୧୯୫ / ୫୦୦) + (୬୫ / ୫୦୦)
= (୬୦ + ୧୮୦ + ୧୯୫ + ୬୫) / ୫୦୦
= ୫୦୦ / ୫୦୦
= ୧ ।
Q10. ଗୋଟିଏ ଗୋଟିକୁ ୮୦୦ ଥର ଗଡ଼ାଗଲା । ଗୋଟି ଗଡ଼ାଇବାରେ ପଡୁଥିବା ଫଳର ବାରମ୍ବାରତା ସାରଣୀରେ ଦିଆଯାଇଛି । ତେବେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଫଳର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସ୍ଥିର କର ।
| ଫଳାଫଳ | ୧ | ୨ | ୩ | ୪ | ୫ | ୬ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| ବାରମ୍ବାରତା | ୧୪୪ | ୧୫୨ | ୧୩୬ | ୧୨୮ | ୧୧୮ | ୧୨୨ |
ଉତ୍ତର:
ସମୁଦାୟ ଥର ସଂଖ୍ୟା (n) = ୮୦୦ ।
ବାରମ୍ବାରତା (m_୧) = ୧୪୪ ।
P(୧) = ୧୪୪ / ୮୦୦ ।
୧୪୪ ଓ ୮୦୦ ଉଭୟ ୧୬ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।
୧୪୪ ÷ ୧୬ = ୯
୮୦୦ ÷ ୧୬ = ୫୦
P(୧) = ୯ / ୫୦ ।
ବାରମ୍ବାରତା (m_୨) = ୧୫୨ ।
P(୨) = ୧୫୨ / ୮୦୦ ।
୧୫୨ ଓ ୮୦୦ ଉଭୟ ୮ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।
୧୫୨ ÷ ୮ = ୧୯
୮୦୦ ÷ ୮ = ୧୦୦
P(୨) = ୧୯ / ୧୦୦ ।
ବାରମ୍ବାରତା (m_୩) = ୧୩୬ ।
P(୩) = ୧୩୬ / ୮୦୦ ।
୧୩୬ ଓ ୮୦୦ ଉଭୟ ୮ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।
୧୩୬ ÷ ୮ = ୧୭
୮୦୦ ÷ ୮ = ୧୦୦
P(୩) = ୧୭ / ୧୦୦ ।
ବାରମ୍ବାରତା (m_୪) = ୧୨୮ ।
P(୪) = ୧୨୮ / ୮୦୦ ।
୧୨୮ ଓ ୮୦୦ ଉଭୟ ୧୬ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।
୧୨୮ ÷ ୧୬ = ୮
୮୦୦ ÷ ୧୬ = ୫୦
P(୪) = ୮ / ୫୦ = ୪ / ୨୫ ।
ବାରମ୍ବାରତା (m_୫) = ୧୧୮ ।
P(୫) = ୧୧୮ / ୮୦୦ ।
୧୧୮ ଓ ୮୦୦ ଉଭୟ ୨ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।
୧୧୮ ÷ ୨ = ୫୯
୮୦୦ ÷ ୨ = ୪୦୦
P(୫) = ୫୯ / ୪୦୦ ।
ବାରମ୍ବାରତା (m_୬) = ୧୨୨ ।
P(୬) = ୧୨୨ / ୮୦୦ ।
୧୨୨ ଓ ୮୦୦ ଉଭୟ ୨ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।
୧୨୨ ÷ ୨ = ୬୧
୮୦୦ ÷ ୨ = ୪୦୦
P(୬) = ୬୧ / ୪୦୦ ।
ଅନୁଶୀଳନୀ – ୮ (b)
Q1. ଗୋଟିଏ ମୁଦ୍ରାକୁ (i) ଥରେ, (ii) ଦୁଇଥର ଟସ୍ କଲେ ସାମ୍ପଲ ସ୍ପେସ୍ ଗୁଡିକୁ ଲେଖ ।
ଉତ୍ତର:
(i) ଗୋଟିଏ ମୁଦ୍ରାକୁ ଥରେ ଟସ୍ କଲେ ସାମ୍ପଲ୍ ସ୍ପେସ୍ (S) = {H, T} ।
(ii) ଗୋଟିଏ ମୁଦ୍ରାକୁ ଦୁଇଥର ଟସ୍ କଲେ ସାମ୍ପଲ୍ ସ୍ପେସ୍ (S) = {HH, HT, TH, TT} ।
Q2. ଗୋଟିଏ ଲୁଡୁ ଗୋଟିକୁ ଥରେ ଗଡ଼ାଇଲେ ସାମ୍ପଲ ସ୍ପେସ୍ ଟି କଣ ହେବ ଲେଖ ।
ଉତ୍ତର:
ଗୋଟିଏ ଲୁଡୁ ଗୋଟିକୁ ଥରେ ଗଡ଼ାଇଲେ ସାମ୍ପଲ୍ ସ୍ପେସ୍ (S) = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ।
Q3. ଗୋଟିଏ ମୁଦ୍ରାକୁ ଥରେ ଟସ୍ କରାଗଲା । ଘଟଣା E = {T} ହେଲେ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା P(E) ନିରୂପଣ କର ।
ଉତ୍ତର:
ଗୋଟିଏ ମୁଦ୍ରାକୁ ଥରେ ଟସ୍ କଲେ ସାମ୍ପଲ୍ ସ୍ପେସ୍ S = {H, T} ।
|S| = ୨ ।
ଘଟଣା E = {T} ।
|E| = ୧ ।
P(E) = |E| / |S| = ୧ / ୨ ।
Q4. ଗୋଟିଏ ମୁଦ୍ରାକୁ ଦୁଇଥର ଟସ୍ କଲେ ଘଟଣାଟି ଅତି ବେଶିରେ ଗୋଟିଏ T ପାଇବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣ କର ।
ଉତ୍ତର:
ଗୋଟିଏ ମୁଦ୍ରାକୁ ଦୁଇଥର ଟସ୍ କଲେ ସାମ୍ପଲ୍ ସ୍ପେସ୍ S = {HH, HT, TH, TT} ।
|S| = ୪ ।
ଘଟଣା E: ଅତି ବେଶିରେ ଗୋଟିଏ T ପାଇବା । ଏହାର ଅର୍ଥ ହେଉଛି ୦ ଟି T କିମ୍ବା ୧ ଟି T ।
E = {HH, HT, TH} । (HH ରେ ୦ ଟି T, HT ରେ ୧ ଟି T, TH ରେ ୧ ଟି T) ।
|E| = ୩ ।
P(E) = |E| / |S| = ୩ / ୪ ।
Q5. ଗୋଟିଏ ଲୁଡୁ ଗୋଟିକୁ ଥରେ ଗଡ଼ାଇବାରେ ସାମ୍ପଲ୍ ସ୍ପେସ୍ଟି କଣ ହେବ ଲେଖ ଓ E ଘଟଣାଟି ଫଳ ୫ ରୁ କମ୍ ହେଲେ ଘଟଣାଟିକୁ ପ୍ରକାଶ କର ।
ଉତ୍ତର:
ଗୋଟିଏ ଲୁଡୁ ଗୋଟିକୁ ଥରେ ଗଡ଼ାଇଲେ ସାମ୍ପଲ୍ ସ୍ପେସ୍ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ।
ଘଟଣା E: ଫଳ ୫ ରୁ କମ୍ ହେବା ।
E = {1, 2, 3, 4} ।
Q6. ଗୋଟିଏ ଲୁଡୁ ଗୋଟିକୁ ଥରେ ଗଡ଼ାଇବାରେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଘଟଣା ମାନଙ୍କ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣ କର ।
ଉତ୍ତର:
ଗୋଟିଏ ଲୁଡୁ ଗୋଟିକୁ ଥରେ ଗଡ଼ାଇଲେ ସାମ୍ପଲ୍ ସ୍ପେସ୍ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ।
|S| = ୬ ।
(i) ଘଟଣା E_୧: ଫଳ ୫ ।
E_୧ = {5} ।
|E_୧| = ୧ ।
P(E_୧) = |E_୧| / |S| = ୧ / ୬ ।
(ii) ଘଟଣା E_୨: ଫଳ ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା । [ଏଠାରେ ଫଳ ୨ କିମ୍ବା ୪ କିମ୍ବା ୬]
E_୨ = {2, 4, 6} ।
|E_୨| = ୩ ।
P(E_୨) = |E_୨| / |S| = ୩ / ୬ = ୧ / ୨ ।
(iii) ଘଟଣା E_୩: ଫଳ ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା । [ଏଠାରେ ଫଳ ୧ କିମ୍ବା ୩ କିମ୍ବା ୫]
E_୩ = {1, 3, 5} ।
|E_୩| = ୩ ।
P(E_୩) = |E_୩| / |S| = ୩ / ୬ = ୧ / ୨ ।
(iv) ଘଟଣା E_୪: ଫଳ ଏକ ସଂଖ୍ୟା k < ୫ । [ଏଠାରେ ଫଳ ଗୁଡିକ ୧, ୨, ୩, ୪]
E_୪ = {1, 2, 3, 4} ।
|E_୪| = ୪ ।
P(E_୪) = |E_୪| / |S| = ୪ / ୬ = ୨ / ୩ ।
Q7. ଗୋଟିଏ ମୁଣି ଭିତରେ ଧଳା, ନାଲି, କଳା, ହଳଦିଆ ଓ ସବୁଜ ରଙ୍ଗର ଏକ ଆକାରର ୫ ଗୋଟି ମାର୍ବଲ ଗୋଟି ଅଛି । ଗୋଟିଏ ଗୋଟି ମୁଣି ଭିତରୁ ହାତ ପୁରାଇ କଢାଗଲା । ନିମ୍ନଲିଖିତ ଘଟଣା ଗୁଡିକର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣ କର ।
ଉତ୍ତର:
ମୁଣିରେ ଥିବା ସମୁଦାୟ ମାର୍ବଲ ସଂଖ୍ୟା (ସାମ୍ପଲ୍ ସ୍ପେସ୍ |S|) = ୫ (ଧଳା, ନାଲି, କଳା, ହଳଦିଆ, ସବୁଜ) ।
(i) ଘଟଣା E_୧: ଗୋଟିଟି ଧଳା ।
ଧଳା ମାର୍ବଲ ସଂଖ୍ୟା (|E_୧|) = ୧ ।
P(E_୧) = |E_୧| / |S| = ୧ / ୫ ।
(ii) ଘଟଣା E_୨: ଗୋଟିଟି ଧଳା କିମ୍ବା କଳା କିମ୍ବା ନାଲି ।
ଧଳା, କଳା, ନାଲି ମାର୍ବଲ ସଂଖ୍ୟା (|E_୨|) = ୧ (ଧଳା) + ୧ (କଳା) + ୧ (ନାଲି) = ୩ ।
P(E_୨) = |E_୨| / |S| = ୩ / ୫ ।
Q8. ଗୋଟିଏ ବ୍ୟାଗ୍ରେ ୧, ୨, ୩,..... ୧୩, ୧୪, ୧୫ ଲେଖାଥୁବା ୧୫ ଟି କାର୍ଡ଼ ଅଛି । ବ୍ୟାଗରୁ ଗୋଟିଏ କାର୍ଡ଼ ବାହାର କରିବାକୁ ହେବ । ନିମ୍ନ ଲିଖିତ ଘଟଣାମାନଙ୍କ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣ କର ।
ଉତ୍ତର:
ବ୍ୟାଗ୍ରେ ଥିବା ସମୁଦାୟ କାର୍ଡ଼ ସଂଖ୍ୟା (ସାମ୍ପଲ୍ ସ୍ପେସ୍ |S|) = ୧୫ ।
(i) ଘଟଣା E_୧: ଫଳ ଗୋଟିଏ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖାଥିବା କାର୍ଡ଼ ।
୧ ରୁ ୧୫ ମଧ୍ୟରେ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହେଲା {2, 3, 5, 7, 11, 13} ।
ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖାଥିବା କାର୍ଡ଼ ସଂଖ୍ୟା (|E_୧|) = ୬ ।
P(E_୧) = |E_୧| / |S| = ୬ / ୧୫ = ୨ / ୫ ।
(ii) ଘଟଣା E_୨: ଫଳ ଗୋଟିଏ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖାଥିବା କାର୍ଡ଼ ।
୧ ରୁ ୧୫ ମଧ୍ୟରେ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହେଲା {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} ।
ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖାଥିବା କାର୍ଡ଼ ସଂଖ୍ୟା (|E_୨|) = ୭ ।
P(E_୨) = |E_୨| / |S| = ୭ / ୧୫ ।
୪. ବୋର୍ଡ ପରୀକ୍ଷା ମାଷ୍ଟ୍ରି ଟିପ୍ସ ଓ ସାଧାରଣ ଭୁଲ୍ (Board Exam Tips & Pitfalls)
୪.୧ ପରୀକ୍ଷା ପ୍ରସ୍ତୁତି ରଣନୀତି (Exam Preparation Strategies):
୧. ମୂଳ ଧାରଣା ସ୍ପଷ୍ଟ କରନ୍ତୁ: ସମ୍ଭାବ୍ୟତାର ମୂଳ ଧାରଣା ଯଥା - ପରୀକ୍ଷଣ, ଫଳାଫଳ, ଘଟଣା, ସାମ୍ପଲ୍ ସ୍ପେସ୍ ଇତ୍ୟାଦିକୁ ଭଲ ଭାବରେ ବୁଝନ୍ତୁ ।
୨. ସୂତ୍ର ମନେରଖନ୍ତୁ: ଅନୁଭୂତିମୂଳକ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା (P(E) = m/n) ଏବଂ ସେଟ୍ ତତ୍ତ୍ୱ ଆଧାରିତ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା (P(E) = |E|/|S|) ର ସୂତ୍ରଗୁଡ଼ିକୁ ମନେରଖନ୍ତୁ ।
୩. ଉଦାହରଣ ଅଭ୍ୟାସ କରନ୍ତୁ: ପାଠ୍ୟପୁସ୍ତକରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ସମସ୍ତ ଉଦାହରଣକୁ ଭଲ ଭାବରେ ବୁଝି ଅଭ୍ୟାସ କରନ୍ତୁ ।
୪. ଅଭ୍ୟାସ ପ୍ରଶ୍ନାବଳୀ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ: ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅଭ୍ୟାସ ପ୍ରଶ୍ନକୁ ନିଜେ ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଚେଷ୍ଟା କରନ୍ତୁ । ଯେଉଁଠାରେ ଅସୁବିଧା ହେବ, ସମାଧାନ ଦେଖି ବୁଝିବାକୁ ଚେଷ୍ଟା କରନ୍ତୁ ।
୫. ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରକାର ପ୍ରଶ୍ନ ଅଭ୍ୟାସ କରନ୍ତୁ: ମୁଦ୍ରା ଟସ୍, ଲୁଡୁ ଗଡ଼ାଇବା, କାର୍ଡ଼, ବଲ୍ ଇତ୍ୟାଦି ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରକାରର ପ୍ରଶ୍ନ ଅଭ୍ୟାସ କରନ୍ତୁ ।
୬. ସମୟ ପରିଚାଳନା: ପରୀକ୍ଷାରେ ସମୟ ପରିଚାଳନା ପାଇଁ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକୁ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସମୟସୀମା ମଧ୍ୟରେ ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଅଭ୍ୟାସ କରନ୍ତୁ ।
୭. ପୂର୍ବ ବର୍ଷର ପ୍ରଶ୍ନପତ୍ର: ପୂର୍ବ ବର୍ଷର ପ୍ରଶ୍ନପତ୍ରଗୁଡ଼ିକୁ ସମାଧାନ କରିବା ଦ୍ୱାରା ପରୀକ୍ଷା ପ୍ୟାଟର୍ନ ବିଷୟରେ ଧାରଣା ମିଳିବ ।
୪.୨ ସାଧାରଣ ଭୁଲ୍ (Common Pitfalls):
୧. ସାମ୍ପଲ୍ ସ୍ପେସ୍ ନିର୍ଦ୍ଧାରଣରେ ଭୁଲ୍: ସମସ୍ତ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଫଳାଫଳକୁ ସାମ୍ପଲ୍ ସ୍ପେସ୍ରେ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ନ କରିବା । ଉଦାହରଣ: ଦୁଇଟି ମୁଦ୍ରା ଟସ୍ କଲେ {HH, HT, TH, TT} ସାମ୍ପଲ୍ ସ୍ପେସ୍ ହେବ, କେବଳ {HH, TT} ନୁହେଁ ।
୨. ଘଟଣାକୁ ଭୁଲ୍ ଭାବରେ ବୁଝିବା: ପ୍ରଶ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ଘଟଣାକୁ ଠିକ୍ ଭାବରେ ବୁଝି ନ ପାରିବା । ଉଦାହରଣ: "ଅତି ବେଶିରେ ଗୋଟିଏ T" (at most one T) ର ଅର୍ଥ ହେଉଛି ୦ ଟି T କିମ୍ବା ୧ ଟି T ।
୩. ଗଣନାରେ ଭୁଲ୍: ଘଟଣା E ରେ ଥିବା ଉପାଦାନ ସଂଖ୍ୟା କିମ୍ବା ସାମ୍ପଲ୍ ସ୍ପେସ୍ S ରେ ଥିବା ଉପାଦାନ ସଂଖ୍ୟା ଗଣନାରେ ଭୁଲ୍ କରିବା ।
୪. ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସରଳ ନ କରିବା: ସମ୍ଭାବ୍ୟତାକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ଭଗ୍ନାଂଶ (simplest fraction) ରେ ପ୍ରକାଶ ନ କରିବା ।
୫. ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ମୂଲ୍ୟର ସୀମା: ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ମୂଲ୍ୟ ୦ ରୁ ୧ ମଧ୍ୟରେ ରହିବା ଉଚିତ୍ । ଯଦି ଉତ୍ତର ୧ ରୁ ଅଧିକ କିମ୍ବା ୦ ରୁ କମ୍ ଆସେ, ତେବେ ତାହା ଭୁଲ୍ ।
୬. ଅନପେକ୍ଷ/ଅପ୍ରବଣ ଧାରଣା: ପ୍ରଶ୍ନରେ ଅନପେକ୍ଷ ବା ଅପ୍ରବଣ ଶବ୍ଦର ଉଲ୍ଲେଖ ନଥିଲେ ମଧ୍ୟ ସାଧାରଣତଃ ମୁଦ୍ରା ଓ ଲୁଡୁକୁ ଅନପେକ୍ଷ ବୋଲି ଧରି ନିଆଯାଏ । ଏହି ଧାରଣାକୁ ଭୁଲି ନ ଯିବା ।
───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
(ନୋଟ୍ସ ପ୍ରସ୍ତୁତି: ଉତ୍କଳ ସ୍କିଲ୍ ସେଣ୍ଟର - BSE Odisha 100% Full Textbook Master Edition)
🤖 Have a Doubt in this Chapter?
Ask Gundulu AI Voice Tutor to explain any question in bilingual Odia & English with 24/7 step-by-step guidance!
🚀 Try Gundulu AI on Utkal Skill Centre App