📚 E-Library 📱 Open in App
BSE ODISHA CLASS 9 • UTKAL MASTER STROKE

ବୋର୍ଡ ଅଫ୍ ସେକେଣ୍ଡାରୀ ଏଜୁକେସନ୍ (BSE Odisha) — ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର ପରୀକ୍ଷା ପ୍ରସ୍ତୁତି ନୋଟ୍ସ

ଶ୍ରେଣୀ: ନବମ ଶ୍ରେଣୀ (Class 9) | ବିଷୟ: ଗଣିତ — ବୀଜଗଣିତ (Mathematics: Algebra - MTH)

ଅଧ୍ୟାୟ ୧: ସେଟ୍ ପ୍ରକ୍ରିୟା ଓ ସେଟ୍ ପ୍ରୟୋଗ (Set Operations & Set Applications)

୧. ଅଧ୍ୟାୟର ସାରାଂଶ (Mind Map & Core Concept Breakdown)

ସେଟ୍‌ର ଧାରଣା: ସୁସଂଜ୍ଞାୟିତ ବସ୍ତୁ ବା ଉପାଦାନମାନଙ୍କର ସମାହାରକୁ ସେଟ୍ କୁହାଯାଏ। ଏହାର ପ୍ରବର୍ତ୍ତକ ହେଉଛନ୍ତି ଜର୍ମାନ ଗଣିତଜ୍ଞ ଜର୍ଜ କ୍ୟାଣ୍ଟର (Georg Cantor)।

ସେଟ୍ ଲେଖିବାର ପ୍ରଣାଳୀ:

୧. ତାଲିକା ପଦ୍ଧତି (Roster Method): ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକୁ କମା ଦେଇ କୁଟିଳ ବନ୍ଧନୀ { } ମଧ୍ୟରେ ଲେଖାଯାଏ। ଉଦା: A = {1, 2, 3, 4, 5}

୨. ସୂତ୍ର ପଦ୍ଧତି (Set Builder Method): ସାଧାରଣ ଧର୍ମ ଉଲ୍ଲେଖ କରାଯାଏ। ଉଦା: A = {x : x ∈ N, x ≤ 5}

ମୁଖ୍ୟ ସେଟ୍ ସମ୍ପର୍କ:

  • ଉପସେଟ୍ (⊂ ବା ⊆): ଯଦି A ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉପାଦାନ B ରେ ଥାଏ, ତେବେ A ⊂ B।
  • ଅଧିସେଟ୍ (⊃): ଯଦି A ⊂ B, ତେବେ B କୁ A ର ଅଧିସେଟ୍ କୁହାଯାଏ।
  • ଶୂନ୍ୟ ସେଟ୍ (ϕ ବା { }): ଯେଉଁ ସେଟ୍‌ରେ କୌଣସି ଉପାଦାନ ନଥାଏ। (ଶୂନ୍ୟ ସେଟ୍ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସେଟ୍‌ର ଉପସେଟ୍, ଅର୍ଥାତ୍ ϕ ⊂ A)।

    • ୨. ମୁଖ୍ୟ ସଂଜ୍ଞା, ସୂତ୍ର ଓ ନିୟମାବଳୀ (Key Definitions & Formulas)

    ସେଟ୍ ପ୍ରକ୍ରିୟାସମୂହ (Set Operations):

    ୧. ସଂଯୋଗ (Union of Sets, ∪):

    A ∪ B = {x : x ∈ A ବା x ∈ B}

    ୨. ଛେଦ (Intersection of Sets, ∩):

    A ∩ B = {x : x ∈ A ଏବଂ x ∈ B}

    ୩. ସେଟ୍ ଅନ୍ତର (Difference of Sets, -):

    A - B = {x : x ∈ A ଏବଂ x ∉ B} = A ∩ B'

    B - A = {x : x ∈ B ଏବଂ x ∉ A} = B ∩ A'

    ୪. ସମମିତ ଅନ୍ତର (Symmetric Difference, Δ):

    A Δ B = (A - B) ∪ (B - A) = (A ∪ B) - (A ∩ B)

    ୫. ପରିପୂରକ ସେଟ୍ (Complement of a Set, A'):

    A' = E - A = {x : x ∈ E ଏବଂ x ∉ A} (E = ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍)

    ବୀଜଗାଣିତିକ ନିୟମାବଳୀ (Set Algebra Laws):

  • କ୍ରମବିନିମୟୀ ନିୟମ: A ∪ B = B ∪ A ଏବଂ A ∩ B = B ∩ A
  • ସହଯୋଗୀ ନିୟମ: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) ଏବଂ (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
  • ଅଭେଦ ନିୟମ: A ∪ ϕ = A, A ∪ E = E, A ∩ E = A, A ∩ ϕ = ϕ
  • ବଣ୍ଟନ ନିୟମ: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ଏବଂ A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

    • ଡି' ମରଗାନ୍‌ଙ୍କ ନିୟମ (De Morgan's Laws):

    ୧. (A ∪ B)' = A' ∩ B'

    ୨. (A ∩ B)' = A' ∪ B'

    କାର୍ଡିନାଲିଟି ସୂତ୍ରାବଳୀ (Cardinality Formulas):

    ୧. |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|

    ୨. ଯଦି A ∩ B = ϕ, ତେବେ |A ∪ B| = |A| + |B|

    ୩. |A - B| = |A| - |A ∩ B|

    ୪. |A Δ B| = |A - B| + |B - A| = |A ∪ B| - |A ∩ B|

    ୫. ୩ଟି ସେଟ୍ ପାଇଁ: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |B ∩ C| - |C ∩ A| + |A ∩ B ∩ C|

    ୩. ଭେନ୍ ଚିତ୍ର ନିର୍ଦ୍ଦେଶିକା (Venn Diagram Walkthrough)

    ପରୀକ୍ଷା ପାଇଁ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ଭେନ୍ ଚିତ୍ର:

    ୧. A ∪ B: ଆୟତକ୍ଷେତ୍ର E ଭିତରେ A ଓ B ଦୁଇଟି ପରସ୍ପରଛେଦୀ ବୃତ୍ତ ଆଙ୍କି ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ A ଓ B କ୍ଷେତ୍ରକୁ ରେଖାଙ୍କିତ କରିବେ।

    ୨. A ∩ B: କେବଳ A ଓ B ବୃତ୍ତର ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ସାଧାରଣ ଅଂଶକୁ ରେଖାଙ୍କିତ କରିବେ।

    ୩. A - B: କେବଳ A ବୃତ୍ତର ଅଂଶ (B ବୃତ୍ତ ବାହାରେ ଥିବା ଅଂଶ) କୁ ରେଖାଙ୍କିତ କରିବେ।

    ୪. (A ∪ B)': A ଓ B ବୃତ୍ତ ବାହାରେ ଥିବା ଆୟତକ୍ଷେତ୍ର E ର ସମସ୍ତ ଅଂଶକୁ ରେଖାଙ୍କିତ କରିବେ।

    ୪. ପରୀକ୍ଷା ଉପଯୋଗୀ ପାର୍ଥକ୍ୟ ଦର୍ଶାଅ (Comparison & Distinction Tables)

    ପାର୍ଥକ୍ୟ: ସସୀମ ସେଟ୍ vs ଅସସୀମ ସେଟ୍ (Finite vs Infinite Set)

    କ୍ରମ ସସୀମ ସେଟ୍ (Finite Set) ଅସସୀମ ସେଟ୍ (Infinite Set)
    ୧ ଯେଉଁ ସେଟ୍‌ର ଉପାଦାନ ସଂଖ୍ୟା ଗଣନା କରି ସ୍ଥିର କରାଯାଇପାରେ। ଯେଉଁ ସେଟ୍‌ର ଉପାଦାନ ସଂଖ୍ୟା ଗଣନା କରି ଶେଷ କରାଯାଇପାରେ ନାହିଁ।
    ୨ ଏହାର କାର୍ଡିନାଲିଟି ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ( A = n)। ଏହାର କାର୍ଡିନାଲିଟି ଅସୀମ (∞)।
    ୩ ଉଦାହରଣ: A = {x : x ≤ 10, x ∈ N} ➔ A = 10 ଉଦାହରଣ: ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ସେଟ୍ N = {1, 2, 3, ...}

    ୫. ମନେରଖିବାର ସହଜ ଉପାୟ (Memory Tricks & Mnemonics)

    ଟ୍ରିକ୍ ୧: ଡି' ମରଗାନ୍ ନିୟମ ଟ୍ରିକ୍ — "ବନ୍ଧନୀ ଫିଟିଲେ ଚିହ୍ନ ଓଲଟେ"

  • ୟୁନିୟନ୍ (∪) ଉପରେ କମ୍ପ୍ଲିମେଣ୍ଟ୍ ପଡ଼ିଲେ ଇଣ୍ଟରସେକ୍ସନ୍ (∩) ହୋଇଯାଏ ➔ (A ∪ B)' = A' ∩ B'
  • ଇଣ୍ଟରସେକ୍ସନ୍ (∩) ଉପରେ କମ୍ପ୍ଲିମେଣ୍ଟ୍ ପଡ଼ିଲେ ୟୁନିୟନ୍ (∪) ହୋଇଯାଏ ➔ (A ∩ B)' = A' ∪ B'

    • ଟ୍ରିକ୍ ୨: ଉପସେଟ୍ ସଂଖ୍ୟା ସୂତ୍ର

  • ଯଦି ଗୋଟିଏ ସେଟ୍‌ରେ n ଟି ଉପାଦାନ ଥାଏ, ତେବେ ତାର ମୋଟ ଉପସେଟ୍ ସଂଖ୍ୟା = 2^n ଏବଂ ପ୍ରକୃତ ଉପସେଟ୍ ସଂଖ୍ୟା = 2^n - 1।

    • ୬. ବୋର୍ଡ ପରୀକ୍ଷା ପ୍ରଶ୍ନୋତ୍ତର ବ୍ୟାଙ୍କ (BSE Odisha Exam-Oriented Q&A)

    ବିଭାଗ 'କ': ୫୦-ମାର୍କ ପାଇଁ ଅତ୍ୟନ୍ତ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ MCQs

    ୧. ଯଦି A = {a, b, c}, ତେବେ A ର କେତୋଟି ଉପସେଟ୍ ରହିବ?

    (କ) ୩

    (ଖ) ୬

    (ଗ) ୮

    (ଘ) ୯

    ଉତ୍ତର: (ଗ) ୮ (ବ୍ୟାଖ୍ୟା: ଉପସେଟ୍ ସଂଖ୍ୟା = 2^n = 2³ = ୮)

    ୨. ଯଦି |A| = ୧୫, |B| = ୧୨ ଏବଂ |A ∩ B| = ୫, ତେବେ |A ∪ B| ର ମାନ କେତେ?

    (କ) ୨୭

    (ଖ) ୨୨

    (ଗ) ୩୨

    (ଘ) ୧୭

    ଉତ୍ତର: (ଖ) ୨୨ (ବ୍ୟାଖ୍ୟା: |A ∪ B| = ୧୫ + ୧୨ - ୫ = ୨୨)

    ୩. A ∩ (A ∪ B) = ?

    (କ) A

    (ଖ) B

    (ଗ) ϕ

    (ଘ) E

    ଉତ୍ତର: (କ) A

    ୪. ନିମ୍ନଲିଖିତ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ଡି' ମରଗାନ୍‌ଙ୍କ ନିୟମ ଅଟେ?

    (କ) (A ∪ B)' = A' ∪ B'

    (ଖ) (A ∪ B)' = A' ∩ B'

    (ଗ) (A ∩ B)' = A' ∩ B'

    (ଘ) A - B = B - A

    ଉତ୍ତର: (ଖ) (A ∪ B)' = A' ∩ B'

    ୫. ଯଦି A ⊂ B, ତେବେ A - B = ?

    (କ) A

    (ଖ) B

    (ଗ) ϕ

    (ଘ) A ∩ B

    ଉତ୍ତର: (ଗ) ϕ

    ───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

    ବିଭାଗ 'ଖ': ୨-ମାର୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଉତ୍ତରମୂଳକ ପ୍ରଶ୍ନ

    ───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

    ପ୍ରଶ୍ନ ୧: ଯଦି E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {2, 4, 6, 8} ଏବଂ B = {3, 6, 9}, ତେବେ A - B ଏବଂ B - A ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

    ଉତ୍ତର:

    ୧. A - B = {2, 4, 6, 8} - {3, 6, 9} = {2, 4, 8}

    ୨. B - A = {3, 6, 9} - {2, 4, 6, 8} = {3, 9}

    ପ୍ରଶ୍ନ ୨: ବଣ୍ଟନ ନିୟମ ପ୍ରୟୋଗ କରି ପ୍ରମାଣ କର: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ଯେଉଁଠାରେ A = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {3, 4}।

    ଉତ୍ତର:

    ୧. L.H.S.: B ∪ C = {2, 3, 4} ➔ A ∩ (B ∪ C) = {1, 2} ∩ {2, 3, 4} = {2}

    ୨. R.H.S.: A ∩ B = {2}, A ∩ C = ϕ ➔ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = {2} ∪ ϕ = {2}

    L.H.S. = R.H.S. (ପ୍ରମାଣିତ)।

    ───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

    ବିଭାଗ 'ଗ': ୪/୫-ମାର୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଦୀର୍ଘ ଉତ୍ତରମୂଳକ ପ୍ରଶ୍ନ

    ───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

    ପ୍ରଶ୍ନ: ଗୋଟିଏ ଶ୍ରେଣୀର ୫୦ ଜଣ ଛାତ୍ରଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ୩୦ ଜଣ କ୍ରିକେଟ୍ ଖେଳନ୍ତି, ୨୫ ଜଣ ଫୁଟବଲ୍ ଖେଳନ୍ତି ଏବଂ ୧୦ ଜଣ ଉଭୟ ଖେଳ ଖେଳନ୍ତି। (i) କେତେଜଣ ଅତିକମ୍‌ରେ ଗୋଟିଏ ଖେଳ ଖେଳନ୍ତି? (ii) କେତେଜଣ କୌଣସି ଖେଳ ଖେଳନ୍ତି ନାହିଁ? (iii) କେତେଜଣ କେବଳ କ୍ରିକେଟ୍ ଖେଳନ୍ତି? (୫ ମାର୍କ)

    ଉତ୍ତର:

    ମନେକର, ମୋଟ ଛାତ୍ରଙ୍କ ସେଟ୍ = E, କ୍ରିକେଟ୍ ଖେଳାଳିଙ୍କ ସେଟ୍ = C ଏବଂ ଫୁଟବଲ୍ ଖେଳାଳିଙ୍କ ସେଟ୍ = F।

    ଦତ୍ତ ଅଛି: |E| = ୫୦, |C| = ୩୦, |F| = ୨୫, |C ∩ F| = ୧୦

    (i) ଅତିକମ୍‌ରେ ଗୋଟିଏ ଖେଳ ଖେଳୁଥିବା ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା (|C ∪ F|):

    |C ∪ F| = |C| + |F| - |C ∩ F| = ୩୦ + ୨୫ - ୧୦ = ୪୫ ଜଣ।

    (ii) କୌଣସି ଖେଳ ଖେଳୁନଥିବା ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା (|(C ∪ F)'|):

    |(C ∪ F)'| = |E| - |C ∪ F| = ୫୦ - ୪୫ = ୫ ଜଣ।

    (iii) କେବଳ କ୍ରିକେଟ୍ ଖେଳୁଥିବା ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା (|C - F|):

    |C - F| = |C| - |C ∩ F| = ୩୦ - ୧୦ = ୨୦ ଜଣ।

    ୭. ସାଧାରଣତଃ ହେଉଥିବା ଭୁଲ (Common Student Mistakes to Avoid)

    ୧. ∈ ଏବଂ ⊂ ମଧ୍ୟରେ ଭୁଲ ବ୍ୟବହାର:

    ଉପାଦାନ ପାଇଁ ∈ ବ୍ୟବହାର ହୁଏ (ଉଦା: a ∈ A), କିନ୍ତୁ ସେଟ୍ ପାଇଁ ⊂ ବ୍ୟବହାର ହୁଏ (ଉଦା: {a} ⊂ A)। କେବେବି a ⊂ A ବା {a} ∈ A ଲେଖିବେ ନାହିଁ।

    ୨. A - B ଏବଂ B - A କୁ ସମାନ ଭାବିବା:

    A - B ≠ B - A (ସେଟ୍ ଅନ୍ତର କ୍ରମବିନିମୟୀ ନୁହେଁ)।

    ୩. କାର୍ଡିନାଲିଟି ସୂତ୍ରରେ |A ∩ B| ବିୟୋଗ ନ କରିବା:

    |A ∪ B| = |A| + |B| କେବଳ ସେତିକିବେଳେ ପ୍ରଯୁଜ୍ୟ ଯେତେବେଳେ ସେଟ୍ ଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପର ଛେଦୀ ନୁହଁନ୍ତି (|A ∩ B| = 0)। ଅନ୍ୟଥା ସର୍ବଦା |A ∩ B| ବିୟୋଗ କରିବା ଅନିବାର୍ଯ୍ୟ।

    ───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

    (ନୋଟ୍ସ ପ୍ରସ୍ତୁତି: ଉତ୍କଳ ସ୍କିଲ୍ ସେଣ୍ଟର - BSE Odisha Master Series)

    🤖 Have a Doubt in this Chapter?

    Ask Gundulu AI Voice Tutor to explain any question in bilingual Odia & English with 24/7 step-by-step guidance!

    🚀 Try Gundulu AI on Utkal Skill Centre App