BSE ODISHA CLASS 9 • UTKAL MASTER STROKE

ବୋର୍ଡ ଅଫ୍ ସେକେଣ୍ଡାରୀ ଏଜୁକେସନ୍ (BSE Odisha) — ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଅଧ୍ୟାୟ ମାଷ୍ଟର ନୋଟ୍ସ

ଶ୍ରେଣୀ: ନବମ ଶ୍ରେଣୀ (Class 9) | ବିଷୟ: ବୀଜଗଣିତ (Algebra - MTH)

ଅଧ୍ୟାୟ ୨: ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା (Real Numbers)

---

ଭାଗ ୧: ଅଧ୍ୟାୟର ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ବିଷୟବସ୍ତୁ ଓ ଗାଣିତିକ ତତ୍ତ୍ୱ (Complete Textbook Theory)

---

୨.୧ ସଂଖ୍ୟା ପଦ୍ଧତିର ବିବର୍ତ୍ତନ (Number Systems):

୧. ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା / ସ୍ୱାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ ($N$):

$N = \{1, 2, 3, 4, 5, ...\}$

ସମ୍ପ୍ରସାରିତ ସ୍ୱାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ ($N^$): $N^ = \{0, 1, 2, 3, 4, ...\}$

୨. ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ ($Z$):

$Z = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$

୩. ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ ($Q$):

ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟାକୁ $

rac{p}{q}$ ଆକାରରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରେ (ଯେଉଁଠାରେ $p, q \in Z$ ଏବଂ $q

eq 0$), ତାହାକୁ "ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା" କୁହାଯାଏ।

ଦଶମିକ ପ୍ରକାଶ: ସସୀମ ଦଶମିକ (Terminating) କିମ୍ବା ଆବୃତ୍ତ ଅସୀମ ଦଶମିକ (Non-terminating Repeating)।

(ଉଦା: $1/2 = 0.5$, $1/3 = 0.ar{3}$, $2/7 = 0.\overline{285714}$)।

୪. ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ ($Q'$):

ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟାକୁ $

rac{p}{q}$ ଆକାରରେ ପ୍ରକାଶ କରିହୁଏ ନାହିଁ। ଏହାର ଦଶମିକ ପ୍ରକାଶ "ଅଣ-ଆବୃତ୍ତ ଅସୀମ (Non-terminating Non-repeating)" ଅଟେ।

ଉଦାହରଣ: $\sqrt{2} pprox 1.414213...$, $\sqrt{3} pprox 1.73205...$, $\pi pprox 3.14159...$

୫. ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ ($R$):

ପରିମେୟ ଓ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ମାନଙ୍କର ସଂଯୋଗ ସେଟ୍: $R = Q \cup Q'$।

୨.୨ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟାର ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟସମୂହ (Axioms of Real Numbers):

୧. ସଂବୃତି ନିୟମ (Closure Property): $

orall a, b \in R \implies a+b \in R, a \cdot b \in R$

୨. କ୍ରମବିନିମୟୀ ନିୟମ (Commutative): $a + b = b + a, \quad a \cdot b = b \cdot a$

୩. ସହଯୋଗୀ ନିୟମ (Associative): $(a + b) + c = a + (b + c), \quad (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

୪. ଅଭେଦ ନିୟମ (Identity): ଯୋଗାତ୍ମକ ଅଭେଦ = ୦, ଗୁଣନାତ୍ମକ ଅଭେଦ = ୧

୫. ବିଲୋମୀ ନିୟମ (Inverse): $a$ ର ଯୋଗାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ = $-a$, ଗୁଣନାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ = $1/a$ ($a

eq 0$)

୬. ବଣ୍ଟନ ନିୟମ (Distributive): $a(b + c) = ab + ac$

୨.୩ କରଣୀ (Surds / Radicals) ଓ ଅପରିମେୟ ରାଶିର ଯୁକ୍ତିସଙ୍ଗତୀକରଣ (Rationalisation):

ଯଦି $a > 0$ ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ $\sqrt[n]{a}$ ଏକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ହୁଏ, ତେବେ $\sqrt[n]{a}$ କୁ ଏକ $n$-ତମ ଘାତର "କରଣୀ" କୁହାଯାଏ।

ହରର ପରିମେୟକରଣ (Rationalising the Denominator):

$

rac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} =

rac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})} =

rac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b}$

───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

(ନୋଟ୍ସ ପ୍ରସ୍ତୁତି: ଉତ୍କଳ ସ୍କିଲ୍ ସେଣ୍ଟର - BSE Odisha 100% Full Textbook Master Edition)

🤖 Have a Doubt in this Chapter?

Ask Gundulu AI Voice Tutor to explain any question in bilingual Odia & English with 24/7 step-by-step guidance!

🚀 Try Gundulu AI on Utkal Skill Centre App